es aquel que tiene sus tres ángulos agudos

Escuela Preparatoria Anexa a la Normal de Tenancingo
CBT No. 1 Thomas Alva Edison, Tenango del Valle
Profesor: Carlos Justino Arévalo García
Página del curso:
Conceptos básicos de la materia:
¿Qué es la Trigonometría?
Es la rama de las matemáticas que trata de la medición de los
elementos que componen a los triángulos, así como del estudio
de las relaciones que existen entre estos. Dichos elementos son
principalmente sus tres lados y sus tres ángulos internos.
¿Qué es un ángulo?
Es la abertura formada entre dos rectas o segmentos de recta
unidos en un solo punto llamado vértice.
Ángulo positivo: es aquel que tiene su sentido de giro contrario a
las manecillas del reloj.
Ángulo negativo: es aquel que tiene su sentido de giro a favor de
las manecillas del reloj.
¿Qué es un ángulo central?
Es aquel que tiene su vértice en el centro de una circunferencia y
sus lados son dos radios de la misma.
¿Qué es un arco?
Es un segmento de circunferencia. En muchas ocasiones asociado
a un ángulo central.
Tarea: Investigar qué es un radián y un grado sexagesimal.
Unidades más utilizadas para la medición de ángulos
Grado sexagesimal
Es la magnitud de un ángulo central cuyos lados delimitan un
arco de longitud igual a
𝟏
𝟑𝟔𝟎
de la circunferencia. Su símbolo es
“°”.
Existen dos formatos para expresar la medida de un ángulo en
grados sexagesimales:
 Formato decimal: 35.34° 120.97° 90.02°
 Formato grados, minutos y segundos: un grado equivale a
60 minutos, los cuales se denotan por ’. Un minuto equivale
a 60 segundos, los cuales se denotan por ’’. En un grado
existen 3600 segundos. Ejemplos: 35° 42’ 27’’ 126° 11’
8° 36’’ .
Existen ciertas reglas para escribir un ángulo en este
formato:
1. El término de los segundos debe valer menos de 60, ya
que con 60 segundos tendríamos un minuto completo.
Si tenemos 60 o más segundos, estos se convierten a
tantos minutos enteros sea posible y se deja el resto
expresado en segundos ( 1’ = 60’’ ).
2. El término de los minutos debe valer menos de 60, ya
que con 60 minutos tendríamos un grado completo. Si
tenemos 60 o más minutos, estos se convierten a tantos
grados enteros sea posible y se deja el resto expresado
en minutos ( 1° = 60’ ) ( 1° = 3600’’).
3. El término de los grados puede tomar cualquier valor.
Ejercicio 1.1 Corregir los siguientes ángulos expresados en
formato grados, minutos y segundos:
a) 200° 200’ 200’’
b) 120° 120’ 120’’
c) 57° 166’
d) 110° 400’’
e) 58’ 288’’
Respuestas:
a) 203° 23’ 20’’
b) 122° 2’
c) 59° 46’
d) 110° 6’ 40’’
e) 1° 2’ 48’’
Radián
Se define un radián como la media de un ángulo central que
delimita un arco cuya longitud es igual a la del radio de la
circunferencia asociada. Su símbolo es “rad”.
𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟑𝟔𝟎°
𝟏 𝒓𝒂𝒅 =
𝟑𝟔𝟎°
𝟐𝝅
𝟏 𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔°
𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏𝟖𝟎°
𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏° ∗ 𝟏𝟖𝟎
𝝅
𝒓𝒂𝒅 = 𝟏°
𝟏𝟖𝟎
𝝅
𝟏° =
𝒓𝒂𝒅
𝟏𝟖𝟎
De lo anterior se deduce que un radián equivale a 57.296°
Ejercicio 1.2. Convertir los siguientes ángulos a radianes o grados
según corresponda:
a) 135°=
b) 255.5°=
c) 377°=
d) 1.7 rad=
e) 3.5 rad=
𝟐
f) 𝒓𝒂𝒅 =
𝟑
Respuestas:
a) 𝟏𝟑𝟓° =
𝟏𝟑𝟓
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟐. 𝟑𝟔 𝒓𝒂𝒅
𝝅
𝟏𝟑𝟓° = 𝟏𝟑𝟓 ∗
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟐. 𝟑𝟔 𝒓𝒂𝒅
𝟏𝟖𝟎
𝟐𝟓𝟓.𝟓
b) 𝟐𝟓𝟓. 𝟓° =
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟒. 𝟒𝟔 𝒓𝒂𝒅
𝟓𝟕.𝟐𝟗𝟔
𝟓𝟕.𝟐𝟗𝟔
𝟐𝟓𝟓. 𝟓° = 𝟐𝟓𝟓. 𝟓 ∗
c) 𝟑𝟕𝟕° =
𝟑𝟕𝟕
𝟓𝟕.𝟐𝟗𝟔
𝟑𝟕𝟕° = 𝟑𝟕𝟕 ∗
𝝅
𝟏𝟖𝟎
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟒. 𝟒𝟔 𝒓𝒂𝒅
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟔. 𝟓𝟖 𝒓𝒂𝒅
𝝅
𝟏𝟖𝟎
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟔. 𝟓𝟖 𝒓𝒂𝒅
d) 𝟏. 𝟕 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏. 𝟕 ∗ 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔° ≈ 𝟗𝟕. 𝟒𝟎°
e) 𝟑. 𝟓 𝒓𝒂𝒅 = 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔° ≈ 𝟐𝟎𝟎. 𝟓𝟒°
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
f) 𝒓𝒂𝒅 = ∗ 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔° ≈ 𝟑𝟖. 𝟐𝟎°
Conversión del formato decimal al formato grados,
minutos y segundos de los grados sexagesimales y
viceversa
 De grados, minutos y segundos a decimal:
𝒃
𝒄
𝒂° 𝒃’ 𝒄’’ = (𝒂 +
+
)°
𝟔𝟎 𝟑𝟔𝟎𝟎
Ejemplo:
𝟑𝟐
𝟓𝟗
) ° ≈ 𝟐𝟓. 𝟓𝟓°
𝟐𝟓° 𝟑𝟐’ 𝟓𝟗’’ = (𝟐𝟓 +
+
𝟔𝟎 𝟑𝟔𝟎𝟎
 De decimal a grados, minutos y segundos:
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° (𝟎. 𝟑𝟐 ∗ 𝟔𝟎)’
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° 𝟏𝟗. 𝟐’
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° 𝟏𝟗’ (𝟎. 𝟐 ∗ 𝟔𝟎)’’
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° 𝟏𝟗’ 𝟏𝟐’’
1. El término de los grados es la parte entera del
número.
2. La parte decimal se multiplica por 60 para sa ber a
cuantos minutos equivale, ya que 60 minutos hacen
un grado; la parte entera de este resultado será el
término de los minutos.
3. La parte decimal del resultado de la multiplicación
se vuelve a multiplicar por 60 para saber a cuantos
segundos equivale, ya que 60 segundos hacen un
minuto; este resultado será el término de los
segundos, expresado con parte decimal en caso de
existir.
Actividad 1.1 del libro de texto (página 26)
Realizar las conversiones que se indican a continuación:
a) Expresa en grados, minutos y segundos 127.7038°
b) Expresa sólo en grados 63° 42’ 36’’
c) Suma 98° 26’ 56’’ con 16° 47’ 13’’
d) Resta 23° 34’ 22’’ de 57° 46’ 38’’
e) Convierte 123° a radianes
f) Convierte 2.76 radianes a grados
g) Convierte 274° a radianes
h) Convierte 9.12 radianes a grados
i) Convierte 7 radianes a grados
j) Convierte
𝟓𝝅
𝟔
radianes a grados
Respuestas:
a) 127° 42’ 13.68’’
b) 63.71°
c) 115° 14’ 9’’
d) 34° 12’ 16’’
e) 2.15 rad
f) 158.14°
g) 4.78 rad
h) 522.54°
i) 401.07°
j) 150°
Clasificación de ángulos de acuerdo a su medida
Ángulo agudo: es aquel que mide menos de 90°.
Ángulo recto: es aquel que mide exactamente 90°. Se
representa con un cuadrado en su vértice.
Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90° pero
menos de 180°.
Ángulo llano: es aquel que mide exactamente 180°.
Ángulo cóncavo: es aquel que mide más de 180° pero
menos de 360°.
Ángulo perígono: es aquel que mide exactamente
360°.
Ejercicio 1.3 Determinar de qué tipo es cada uno de los
siguientes ángulos de acuerdo a su medida. Realizar
esquemas representativos de cada ángulo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
150°
35.32°
𝝅 𝒓𝒂𝒅
172.34°
360°
𝝅
𝟐
𝒓𝒂𝒅
g)
𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
h) 359.99°
i) 179.99°
j) 0.9 rad
𝝅
k)
𝟒
𝒓𝒂𝒅
Respuestas:
a)
150° - ángulo obtuso
b)
35.32° - ángulo agudo
c) 𝝅 𝒓𝒂𝒅 – ángulo llano
d)
172.34° - ángulo obtuso
e) 360° - ángulo perígono
𝝅
f)
𝟐
𝒓𝒂𝒅 – ángulo recto
g) 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 – ángulo perígono
h)
359.99° - ángulo cóncavo
i) 179.99° - ángulo obtuso
j) 0.9 rad – ángulo agudo
𝝅
k) 𝒓𝒂𝒅 – ángulo agudo
𝟒
Ángulos adyacentes: es un par de ángulos que poseen un
lado en común y los otros dos lados pertenecen a una
misma recta. Dos ángulos adyacentes entre si, siempre
suman 180°.
Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos que se
encuentran uno frente al otro al cruzarse dos rectas en un
punto llamado vértice. Una pareja de estos ángulos
siempre mide lo mismo.
Ángulos congruentes: son aquellos que tienen la misma
magnitud o medida sin importar su posición.
Ángulos complementarios: son dos ángulos cuya suma
resulta exactamente 90°.
Ángulos suplementarios: son dos ángulos cuya suma
resulta exactamente 180°.
Ángulos conjugados: son dos ángulos cuya suma resulta
exactamente 360°.
Ejercicio 1.4
Hallar el ángulo complementario:
a) 1 rad
b)
51° 14’ 52’’
𝝅
c) 𝒓𝒂𝒅
𝟒
d)
𝟎. 𝟑𝟐 𝒓𝒂𝒅
e) 47.58°
Hallar el ángulo suplementario:
f) 2.5 rad
g) 120.5°
h)
154° 50’ 15’’
𝝅
i) 𝒓𝒂𝒅
𝟖
j) 𝟏𝟔𝟓°
Hallar el ángulo conjugado:
k) 51.25°
l) 120° 55’ 15’’
m)
n)
o)
𝟑
𝟒
𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟐𝟕𝟎°
300° 30’
Respuestas:
Hallar el ángulo complementario:
a) 1 rad
32.70°
b)
51° 14’ 52’’
𝝅
c) 𝒓𝒂𝒅
𝟒
38° 45’ 8’’ ó 38.75°
45°
d)
𝟎. 𝟑𝟐 𝒓𝒂𝒅
71.67°
e) 47.58°
42.42°
Hallar el ángulo suplementario:
a) 2.5 rad
b)
120.5°
c) 154° 50’ 15’’
d)
𝝅
𝟖
36.76°
59.5°
25° 9’ 45’’ ó 25.16°
𝒓𝒂𝒅
e)𝟏𝟔𝟓°
157.5°
15°
Hallar el ángulo conjugado:
a) 51.25°
308.75°
b)
120° 55’ 15’’
239° 4’ 45’’ ó 239.08°
𝟑
c) 𝝅 𝒓𝒂𝒅
225° ó 3.93 rad
d)
𝟐𝟕𝟎°
e) 300° 30’
90°
59.5° ó 59° 30’
𝟒
Actividad del libro 1.2
Leer las páginas 12 y 13 del libro y realizar un
resumen de las mismas; titularlo: Antecedentes
históricos de la trigonometría.
Ejercicio 1.5
Determinar el valor de los ángulos marcados con las letras
mayúsculas.
180°
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una
transversal
Al cruzar dos rectas paralelas con una recta trasversal se forman
8 ángulos, de los cuales 4 toman un mismo valor y los otros 4
otro mismo valor. Se observa también que cuatro ángulos son
internos y los otros cuatro son externos:
También podemos observar que existen parejas de ángulos que
no son iguales pero que juntos suman 180°:
1 y 7; 2 y 8; 3 y 5; 4 y 6
Además todas las parejas de ángulos adyacentes sabemos
que suman 180°:
1 y 2; 2 y 4; 3 y 4; 1 y 3; 5 y 6; 6 y 8; 7 y 8; 5 y 7
Ejercicio 1.6
Determinar el valor de “z” y “w” sabiendo que la recta l1 y
l2 son paralelas.
Solución
𝟑𝒛 + 𝟖 = 𝒘
𝟑𝒛 + 𝟖 + 𝟓𝒛 − 𝟑𝟔 = 𝟏𝟖𝟎
𝟖𝒛 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟖 + 𝟑𝟔
𝟖𝒛 = 𝟐𝟎𝟖
𝟐𝟎𝟖
𝒛=
= 𝟐𝟔
𝟖
De la primera ecuación:
𝟑(𝟐𝟔) + 𝟖 = 𝒘
𝟕𝟖 + 𝟖 = 𝒘
𝟖𝟔 = 𝒘
Ejemplos de ángulos formados por rectas paralelas y una
transversal:
La unión de los segmentos ̅̅̅̅
𝐴𝐵, ̅̅̅̅
𝐵𝐶 𝑦 ̅̅̅̅
𝐶𝐴 forman un
triángulo que se designa por ∆𝐴𝐵𝐶 si y solo si A, B y C
son puntos no colineales. Los segmentos antes
mencionados son los lados del triángulo y los puntos A,
B y C son sus vértices. Los tres ángulos internos del
triángulo están definidos por la unión de dos de sus
lados en sus vértices.
De forma más sencilla se utilizarán letras mayúsculas
para hacer referencia a los ángulos y letras minúsculas
para nombrar a los lados del triángulo, utilizando la
misma letra para cada ángulo y su lado opuesto.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de
sus lados
Triángulo equilátero: tiene sus tres lados de igual medida.
Triángulo Isóceles: tiene dos lados iguales y uno diferente.
Triángulo escaleno: tiene sus tres lados de diferente
medida.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la magnitud de
sus ángulos
Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto
(90°). A los lados que conforman a dicho ángulo se les
llama catetos y al lado que se encuentra frente a dicho
ángulo se le llama hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: es aquel que no tiene ángulos
rectos (90°).
Los triángulos oblicuángulos se clasifican a su vez de la
siguiente forma:
 Triángulo obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo
obtuso (mayor de 90° pero menor de 180°).
 Triángulo acutángulo: es aquel que tiene sus tres
ángulos agudos (menores de 90°).
 Triángulo equiángulo: es aquel que tiene sus tres
ángulos iguales.
Ejercicio 1.7: Nombra de que tipo son los siguientes
triángulos tanto por la longitud de sus lados como por la
magnitud de sus ángulos.
Respuestas:
a) Escaleno. Rectángulo
b) Isóceles. Oblicuángulo. Obtusángulo.
c) Equilátero. Oblicuángulo. Equiángulo. Acutángulo.
d) Isóceles. Oblicuángulo. Acutángulo.
e) Escaleno. Oblicuángulo. Acutángulo.
f) Equilátero. Oblicuángulo. Acutángulo. Equiángulo.
g) Escaleno. Oblicuángulo. Acutángulo.
1. La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo
siempre resulta 180°.
2. El valor de cualquier ángulo exterior de un triángulo es
igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes.
Ángulo exterior: se forma desde cualquier lado
del triángulo con la prolongación de otro. Un
triángulo tiene tres ángulos exteriores.
3. La suma de los tres ángulos exteriores de cualquier
triángulo siempre resulta 360°.
4. En cualquier triángulo a mayor lado se opone mayor
ángulo.
5. Si un triángulo tiene dos lados iguales entonces los
ángulos interiores opuestos a estos lados también son
iguales.
Se dice que dos segmentos son congruentes si sus medidas
son iguales. Dos ángulos son congruentes si sus
magnitudes son iguales.
Ahora, dos triángulos son congruentes si sus tres lados
y sus tres ángulos tienen la misma magnitud en ambos
triángulos sin importar si los triángulos tienen distinta
posición.
Es importante mencionar que no hace falta saber los 6
elementos de dos triángulos para determinar si son
congruentes, basta con saber alguno de los siguientes
conjuntos de 3 elementos:
1. Criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
A ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
2. Criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el
ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
3. Criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice
en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama
adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos
respectivamente iguales y si cada una de las tres parejas de lados
homólogos guarda la misma proporción.
C
C’
b
a
A’
A
c
a’
b’
B
c’
B’
 ABC   A’B’C’ (triángulo ABC es semejante al triángulo
A’B’C’ ) si y sólo si :
i)
 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’
ii)
a
b
c
=
=
a' b' c'
Criterios de semejanza
1. Dos triángulos son sem ejante s si tienen dos ángulos iguales (AA)
2 Dos triángulos son sem ejantes si tienen los lados proporcionales (LLL)
3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual (LAL).
Toda pareja de triángulos congruentes también son
semejantes, pero no toda pareja de triángulos semejantes
son congruentes.
La familia de los triángulos congruentes es una parte de la
familia de los triángulos semejantes.
Ejercicio 1.8 Resolver los siguientes problemas:
1. Un edificio de cierta altura proyecta una sombra de
11.7 m de longitud, al mismo tiempo que un poste de 6
m de largo proporciona una sombra de 3 m. Determina
la altura del edificio.
2. Juan desea medir el ancho de un río, para lo cual se
auxilia de una construcción como se muestra en la
figura. Considere que PR es perpendicular a PS y QS es
perpendicular a ST . Ayuda a Juan a calcular el ancho
del río a cambio de unos cuantos décimos.
Unidad II Resolución de triángulos
Este teorema únicamente es válido para triángulos rectángulos y
dice lo siguiente:
“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”.
c
b
a
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
En otras palabras el área del cuadrado construido sobre la
hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos:
Ejercicio 2.1 Encontrar el valor del lado faltante de los siguientes
triángulos rectángulos:
5.3 m
5.6 m
8.8 m
7.5 m