t2. patrones y relaciones

T2. PATRONES Y RELACIONES
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MATEMÁTICAS PARA 3º ESO
MATH GRADE 9
____________________________________________________
CURRÍCULUM MATEMÁTICAS
NOVA SCOTIA
ATLANTIC CANADÁ
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TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS
T2. PATRONES Y RELACIONES
MAURICIO CONTRERAS
PATRONES Y RELACIONES




Analizar, generalizar, y crear patrones y relaciones para modelar y resolver
matemáticamente situaciones problemáticas del mundo real.
Representar patrones y relaciones en una variedad de formatos y usar estas
representaciones para predecir y justificar valores desconocidos.
Interpretar gráficos que representan datos lineales y no lineales.
TABLA Y GRÁFICO
Representa gráficamente en los ejes señalados los puntos dados por la tabla. Busca una
fórmula que describa el patrón que siguen los puntos de la tabla y del gráfico.
A 0 1 2 3 4 5
B 0 1 4 9 16 25

DOBLANDO PAPEL
Tras doblar una hoja de papel, representa gráficamente el número de dobleces frente al
número de regiones. Determina el área de cada región después de cada doblez, y determina
qué fracción del área original representan las nuevas áreas. Representa gráficamente el
número de dobleces frente al área de cada región, y también frente a la fracción del área
original que representa cada región. ¿Se observa algún patrón en los datos?

CUBOS
Construye varios cubos con cubitos unidad, tales como uno 2x2x2, uno 3x3x3, … Imagina que
has pintado el exterior de cada cubo grande y lo dejas aparte.
a)
Completa la tabla con la información requerida.
Dimensiones del
cubo grande
b)
3 caras pintadas
Núm. de cubitos con…
2 caras pintadas 1 cara pintada
0 caras pintadas
Dibuja la gráfica que muestra la dimensión del cubo grande frente a cada número de caras
pintadas, situando las cuatro gráficas en los mismos ejes coordenados. Comenta la forma
de las gráficas.
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c)
Escribe una expresión general, con palabras o simbólicamente, para el patrón que se
muestra en la tabla para ilustrar la relación entre las dimensiones de los cubos y el
número de caras pintadas en cada una. Nota: Es necesario hacer una tabla grande para
ver el patrón más claramente.

JARDÍN RECTANGULAR
Haz una tabla de todos los posibles números naturales que pueden ser dimensiones de un
jardín rectangular utilizando exactamente 48 metros de valla. Construye un gráfico que
muestre como el cambio en la anchura está relacionado con el área del jardín. Escribe cuál es
el área máxima y mínima e indica cómo se pueden localizar en el gráfico. Compara tu gráfico
con los de tus compañeros de clase.

NORIA
Clayton está montado en un asiento de la noria de una feria. Haz un gráfico de la altura de
Clayton respecto del suelo para una noria de radio 7 m, y donde una rotación completa tiene
lugar cada 15 segundos. Discute con tus compañeros cómo puede cambiar el gráfico si la
velocidad de rotación o el radio fuera incrementado. ¿Qué supuestos hay que hacer?




Analizar, generalizar y crear patrones y relaciones para modelar y resolver
matemáticamente problemas en situaciones procedentes del mundo real.
Analizar relaciones funcionales para explicar cómo el cambio en una cantidad se
relaciona con el cambio en otra cantidad.
Construir y analizar tablas y gráficos para describir cómo los cambios en una cantidad
afectan a cantidades relacionadas.
EL FRENAZO
Debbie estaba subido en su bicicleta cuando un perro cruzó corriendo, causando un fuerte
frenazo. La velocidad v a diferentes tiempos t desde que comenzara a frenar su bicicleta se
muestran en la siguiente tabla:
Tiempo t (s)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Velocidad v (m/s) 10 8
6
4
2
0
a)
b)
c)
Describe la relación entre la velocidad y el tiempo.
Dibuja un gráfico de la relación entre v y t.
Escribe una ecuación para la relación.
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d)
e)

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Como el tiempo se mide en intervalos constantes, ¿qué puedes indicar sobre las
diferencias en las velocidades?
¿Qué relación hay entre las diferencias constantes a intervalos constantes y las relaciones
lineales? ¿Cómo se relacionan esas diferencias con la pendiente de la gráfica?
NÚMEROS RECTANGULARES
Los siguientes conjuntos de puntos están ordenados como rectángulos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
¿Cuáles son los cuatro primeros números rectangulares y cuáles son las dimensiones de
esos rectángulos? [2, 6, 12, 20].
Halla los dos siguientes números rectangulares y sus dimensiones.
Representa gráficamente la relación.
Comenta sobre el cambio (diferencia) en el patrón numérico de un número al siguiente.
Observa el patrón de las diferencias en los números y discute tus observaciones. Señala
un patrón en las diferencias.
Escribe una expresión para el término n. Si es preciso, haz una tabla como la siguiente:
Figura nº
1
2
3
4
5
N
Núm. de puntos 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 nx(n+1)

NÚMEROS CUADRADOS
El patrón numérico siguiente representa los cuatro primeros números cuadrados
a)
b)
c)

¿Cuáles son los cuatro siguientes números cuadrados?
Haz una tabla y un gráfico para observar el patrón. ¿Cómo se puede usar el patrón para
averiguar si la relación es lineal? Algunos piensan que la relación no es lineal porque
aparentemente no hay un cambio constante en las diferencias. ¿Qué opinas?
Escribe una expresión para el término enésimo, usando los patrones observados en la
tabla.
TRES TABLAS
Determina si las tablas siguientes representan gráficos lineales, parabólicos o exponenciales y
justifica la elección.
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
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FUNCIONES
Usando las siguientes ecuaciones, haz tablas de valores. Analiza cada tabla de valores para
determinar si la ecuación representa gráficos lineales, parabólicos o exponenciales. Si tienes
dificultades para tomar decisiones basándote en los patrones observados en la tabla de
valores, construye la gráfica para ayudarte. Usa una calculadora gráfica.
a)
y  4x  3
b)
c)
y  3  x2
y  7x  4
d)
y  3x



Representar patrones y relaciones de múltiples formas (incluyendo el uso de
expresiones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones y exponentes).
Construir y analizar tablas y gráficas para describir cómo cambios en una cantidad
afectan a la cantidad relacionada.
LAS PULGAS DE FIDO
Fido no tenía pulgas cuando llegó el perro corriendo. Sin embargo, el número de pulgas que
tuvo en días sucesivos creció como se muestra en la tabla, donde n representa el número de
días y f el número de pulgas.
n 1 2 3 4 5
f 1 3 9 27 81
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuántas pulgas tuvo Fido el sexto día?
¿Hay una diferencia común en los valores de la variable dependiente?
¿Hay un crecimiento constante en la diferencia de valores?
¿Será significativo observar el número de pulgas en el décimo día?
Si los cocientes de los valores consecutivos de la variable dependiente permanecen
constantes, el crecimiento es exponencial. ¿Qué tipo de crecimiento se produce en los
datos de la tabla?

CAJAS
Toma una pieza cuadrada de papel cuadriculado (la cuadrícula puede ser de 1/2 o 1 cm).
Recorta una cuadrado de 1 unidad por lado en cada esquina y dobla los bordes de los lados
para hacer una caja abierta sin tapa.
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Posteriormente corta un cuadrado de 2 unidades por lado de cada esquina, y de la misma
forma para cuadrados de 3 unidades por lado, y de 4 unidades por lado, hasta que el límite del
tamaño del cuadrado cortado de cada esquina haya sido alcanzado.
a)
b)
Observa todas las cajas que has construido y predice cuál tiene el mayor volumen y cuál el
menor volumen.
Completa la información en la siguiente tabla:
Longitud del lado
Dimensiones de la caja Volumen (en unidades cúbicas)
del cuadrado cortado
c)
d)
e)
Representa gráficamente la longitud del lado del cuadrado cortado en el eje OX y el
volumen de la caja en unidades cúbicas en el eje OY, y discute y describe la forma del
gráfico.
Supongamos que la longitud del lado del cuadrado cortado es x unidades de longitud.
Completa la fila de la tabla anterior que le correspondería con la información apropiada.
Escribe una expresión general para el volumen de la caja. Usa tecnología gráfica para
obtener la gráfica más fácilmente.
Crea otras cajas de formas diversas y representa gráficamente sus volúmenes en función
de x, usando tecnología gráfica. Escribe tus conclusiones sobre los gráficos de modelos
cúbicos.



Representar patrones y relaciones de múltiples formas (incluyendo el uso de
expresiones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones y exponentes)
Determinar las ecuaciones de rectas obteniendo sus pendientes y ordenadas en el
origen a partir de los gráficos, y esbozar gráficos de ecuaciones usando la ordenada en
el origen y la pendiente.
RECTAS
Representa gráficamente cada una de las ecuaciones y 
2
x  1 , y  2x  3 usando una
3
tabla de valores.
a)
b)
c)
d)
Halla la pendiente de cada una de las gráficas.
Halla la ordenada en el origen de cada gráfica.
Compara las pendientes y ordenadas en el origen con las ecuaciones originales y explica
tus conclusiones.
Halla los puntos de corte de cada gráfica con los ejes coordenados y exprésalos mediante
coordenadas.
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
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DIAGONALES
Sea s el número de lados de una figura.
a)
b)
c)
d)
Dibuja una serie de diagramas, empezando con un triángulo y aumentando el número de
lados en uno por cada figura hasta tener 10 lados.
Dibuja todas las posibles diagonales desde un vértice en cada figura.
Dibuja todas las posibles diagonales que se pueden hacer en la figura.
Construye tablas con la siguiente información y registra los datos:
Núm. de lados Núm. diagonales desde un vértice Núm total de diagonales
e)
f)
g)
h)

Dibuja la gráfica de los datos de las columnas 1 y 2, y de las columnas 1 y 3.
Escribe una expresión general para el número de diagonales desde un vértice y para el
número de diagonales en total basándose en n lados [ diagonales desde un vértice=n-3,
diagonales en total = n(n-3)/2 ],
Determina la pendiente y la ordenada en el origen para la relación lineal.
Considera las diferencias comunes de la relación lineal y compáralas con la pendiente de
la recta. ¿Cuál es tu conclusión?
PENDIENTES DE RECTAS
¿Es posible construir más de una recta con una pendiente -4? Explica por qué si o por qué no,
usando diagramas para ayudarte en tu explicación.
¿Qué significa que la pendiente de una recta sea igual a cero? ¿Cómo es entonces la recta?
¿Cuál puede ser la pendiente de una recta vertical?

DIBUJA RECTAS
Dibuja la gráfica de cada relación a partir de una tabla de valores y halla la pendiente y la
ordenada en el origen de cada gráfica. Compara la pendiente y la ordenada en origen de cada
gráfica con la ecuación original. ¿Cuáles son tus conclusiones?

MONTAÑA
La base de una montaña está situada en el punto (-2, 1). La cumbre está en el punto (-6, 13).
a)
b)
c)
d)
Si un alpinista está situado en (-4, 7), ¿qué distancia hay hasta la cumbre?
¿Qué distancia ha cubierto el alpinista cuando alcanza el punto (-4, 7)?
Halla la pendiente de la escalada desde la base de la montaña hasta el punto (-4, 7) y
úsala para hallar la ecuación de la recta.
Halla la pendiente de la escalada desde (-4, 7) hasta la cumbre y úsala para hallar la
ecuación de la recta.
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


MAURICIO CONTRERAS
Explicar las conexiones entre representaciones algebraicas y no algebraicas de
patrones y relaciones.
Explicar las conexiones entre diferentes representaciones de patrones y relaciones.
DIABETES
El azúcar en la sangre de una persona se aumenta bebiendo regularmente bebidas rápidas. La
mayor parte de la gente puede arreglárselas con ciertos aumentos en los niveles de azúcar en
la sangre, pero algunos se convierten en bastante hiperactivos. Se ha determinado que el nivel
de azúcar en la sangre que desencadena hiperactividad es alcanzado cuando cantidades
específicas de bebida rápida son consumidas, y este número crítico depende de la masa
corporal. Esta tabla está basada en el número de mililitros de bebida consumida en 2 horas
que desencadena hiperactividad para ciertas masas corporales:
Masa corporal (kg) ml de bebida rápida
46
750 ml
55
800 ml
64
1000 ml
73
1200 ml
82
1400 ml
91
1500 ml
100
1650 ml
109
1700 ml
a)
b)
c)
d)
e)
Haz un registro gráfico de los datos y dibuja la línea de mejor ajuste.
Halla la pendiente de la recta y explica su significado en este contexto.
Determina la ordenada en el origen y discute si es significativa.
Escribe un modelo algebraico que represente la recta.
Compara/contrasta tu método con el utilizado en clase.

RELACIONES EXPONENCIALES
x
1
Dibuja las gráficas de las funciones y  2 x e y    , usando una tabla de valores que
2
contenga valores positivos y negativos de x. Describe cada gráfica y explica cómo parecen estar
relacionadas entre ellas. Si tienes disponible tecnología gráfica, dibuja cada ecuación de nuevo,
usando tecnología para confirmar que los gráficos obtenidos en papel son precisos.

PROCESOS PERIÓDICOS
Recoge información sobre cada uno de los cuatro procesos que se indican a continuación,
construye una gráfica con los datos recogidos y compara los gráficos. ¿Qué tienen en común
los gráficos?
a)
b)
c)
d)
Información sobre la marea en un período de 24 horas
Información sobre la marea para un período de seis meses
Precipitación media de lluvia por mes en un período de tres años
Temperatura media mensual en un período de tres años.
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


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Aplicar métodos algebraicos para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales e
investigar ecuaciones no lineales.
Resolver algebraicamente ecuaciones de una sola variable y verificar las soluciones.
ECUACIONES
Halla el valor o valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones:

ECUACIONES CON BALDOSAS
Resuelve las siguientes ecuaciones, usando baldosas o teselas, y registrando cada paso
algebraicamente:

ALMENDRAS
Tu colegio está vendiendo almendras para recaudar fondos. Las almendras se venden a 1 euro
por caja y el colegio recibe el 40% de las ganancias.
a)
b)
c)
¿Cuántas cajas deben ser vendidas para obtener 12000 euros?
¿Cuántas cajas deben ser vendidas para obtener al menos 12000 euros?
¿Cuántas cajas deben venderse para obtener más de 10000 euros, pero menos que o igual
que el máximo permitido por las regulaciones de distrito para la recaudación de fondos.
(Las regulaciones de distrito establecen un máximo de 15000 euros en cada proyecto de
recaudación de fondos),

CUADRILÁTERO
Cada lado de un cuadrilátero es 2 cm más largo que el anterior. Si el perímetro es de 44 cm,
¿cuál es la longitud del máximo lado posible del cuadrilátero?
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
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DINERO
Cada una de las ecuaciones siguientes representa una situación en la que están involucradas
dos cantidades de dinero que fueron invertidas con diferentes tipos de interés, y la cantidad de
interés ganado:
i)
j)
a)
b)

0.08   1000  x   0.06  x  10
0.085  3000  x   0.09  x  230
Escribe dos problemas, de forma que cada uno de ellos pueda ser resuelto usando una de
las ecuaciones dadas.
Resuelve cada ecuación y relaciona la solución con el enunciado del problema que te has
inventado.
ECUACIONES RELACIONADAS
Explica cómo están relacionadas las siguientes cuatro ecuaciones:
2p  4  4p  8 ,

 2p  4  8 ,
4p  8  8p  16 ,
 2p  4
TORRES CÓNICAS
1
El volumen de un cono se halla por la fórmula V    r 2  h . Sarah está experimentando para
3
hallar qué altura necesita para construir una torre cónica de almacenamiento. Sabe que el
volumen del material que está guardado es 112 m3. Decide reescribir la fórmula de forma que
h sea la incógnita y entonces experimenta con diferentes valores de x.
a)
b)
¿Cómo puedes escribir la fórmula con h como incógnita?
Elige varios valores de r y halla los correspondientes valores de h.




Aplicar métodos algebraicos para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales e
investigar ecuaciones no lineales.
Resolver algebraicamente inecuaciones de primer grado con una variable, verificando
las soluciones, y mostrando sus soluciones en la recta numérica.
Resolver y crear problemas que involucren ecuaciones e inecuaciones lineales.
DESIGUALDADES
Partimos de las desigualdades verdaderas -2<4 y 5>1. Construye una gráfica para cada
desigualdad e investiga cómo la verdad de cada una se ve afectada cuando se realizan las
siguientes operaciones en ambos lados de la desigualdad:
Sumar un número positivo
Restar un número positivo
Multiplicar por un número positivo
Dividir por un número positivo
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Sumar un número negativo
Restar un número negativo
Multiplicar por un número negativo
Dividir por un número negativo
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
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BALANZAS
Halla varios valores verdaderos para la incógnita en cada uno de los casos siguientes. Dibuja la
gráfica del conjunto de respuestas en la recta numérica y describe tus conclusiones a la vista
de las respuestas:

TEMPERATURAS
Supongamos que un cierto producto se dobla a temperaturas superiores a 50ºC y se rompe a
temperaturas por debajo de 0ºC. Escribe un problema basado en esta información y
resuélvelo.

TESTS MATEMÁTICOS
Taylor recibió 77%, 70%, 81%, y 78% en sus cuatro primeros tests de matemáticas. ¿Qué
puntuación necesita obtener en el quinto test para lograr como mínimo un 80% de media?

INECUACIÓN
Verifica si  2,  3,  5,  1,  9,  9,  14  son soluciones de la inecuación  2x  5  7 .
Resuelve la inecuación y representa gráficamente la solución en la recta numérica. Determina
cuántos de los números del conjunto citado forman parte de la solución gráfica.

INVENTA PROBLEMAS
Para cada una de las siguientes ecuaciones o inecuaciones
a)
b)
Inventa un problema que pueda resolverse usando la ecuación o inecuación
Resuelve la ecuación o inecuación y relaciona la solución con el problema

ADELANTAMIENTO
Dos conductores dejan la ciudad de Summerside con 1 hora de diferencia. El primero conducía
con una velocidad de 80 km/h. El segundo conductor adelanta al primero cuando ha recorrido
una distancia de 320 kilómetros. Inventa y resuelve cuestiones que estén basadas en la
información anterior.

DOS INECUACIONES
Explica por qué las inecuaciones 3n  2  8 y 3n  4  14 no tienen soluciones en común.
Modifica una de las inecuaciones para que tengan exactamente una única solución en común.
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
EQUIVALENTES
a)
b)
Inventa tres ecuaciones que sean equivalentes, y explica por qué son equivalentes.
Inventa tres inecuaciones que sean equivalentes, y explica por qué son equivalentes.







Interpretación y construcción de gráficos lineales y no lineales
Análisis de cambios en variables y relaciones
Construcción de modelos algebraicos de relaciones lineales y no lineales
Ecuaciones y representación de rectas interpretando el significado de la pendiente y la
ordenada en el origen
Conexiones entre patrones y relaciones
Resolución gráfica, pictórica y algebraica de ecuaciones con una sola incógnita
Resolución de problemas mediante ecuaciones e inecuaciones lineales
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