Problema Tanque de gasolina y la piloto

T2. Una piloto llena el tanque de 106 litros de su avión en la mañana,
cuando la temperatura es de 4ºC.La temperatura por la tarde sube y una
parte de la gasolina se derrama. Al día siguiente por la mañana, de nuevo
la temperatura bajo a 4ºC; la piloto al revisar el tanque del avión solo
encontró 103.4 litros. ¿Que temperatura máxima alcanzaron tanque y
combustible en la tarde anterior? Los coeficientes de expansión son:
Gasolina: 95x10-5 K-1; tanque (de aluminio): 7.2x10-5 K-1
CLAVE: entender los procesos de dilatación y contracción, tal
como se muestra en las explicaciones que siguen con las figuras
Figuras ilustrativas y explicaciones de los fenómenos de dilatación y contracción
ΔVderramad
o
Situación inicial.
Mañana del
primer día:
Situación intermedia
Tarde del primer día:
(4)
(4)
= 𝑉𝑔
La gasolina llena
completamente el
tanque
Tfinal = 4ºC
Tintermedia = T
Tinicial = 4ºC
𝑉𝑡
Situación final
Mañana del día
siguiente
(𝑇)
𝑉𝑡
La gasolina se dilata más
que el tanque (ver los
coef. β de cada material)
(𝑇)
𝑉𝑡
(𝑇)
𝑉𝑔
′(𝑇)
= 𝑉𝑔
′(𝑇)
= 𝑉𝑔
+ 𝑉𝑑𝑒𝑟𝑟
Notación
Simbología en las figuras:
Azul celeste: gasolina
Rojo oscuro: tanque
Rojo pálido: el tanque a 4ºC
(4)
𝑉𝑡
(𝑇)
< 𝑉𝑔
′′(4)
> 𝑉𝑔
De forma análoga la
gasolina se contrae más
que el tanque: como la
cantidad de gasolina que
ahora se contrae es menor
que la inicial (una parte se
derramó), en el tanque
queda menos que al
principio
(4)
Volumen gasolina a 4ºC = 𝑉𝑔
(4)
(𝑇)
Volumen total gasolina a T = 𝑉𝑔
Volumen tanque a 4ºC = 𝑉𝑡
(𝑇)
Volumen tanque a T = 𝑉𝑡
(𝑇)
Volumen gasolina dentro del tanque a T = 𝑉′𝑔
(4)
Volumen gasolina dentro del tanque al siguiente día a 4ºC = 𝑉′′𝑔
DATOS
(4)
(4)
𝑉𝑡 = 𝑉𝑔 =106 litros; 𝑉′′𝑔(4) = 103.4 litros; Tinicial = 4ºC
βgasolina = 95x10-5 K-1; βaluminio=7.2x10-5 K-1

Dilatación del tanque al pasar de 4ºC (mañana día 1º) a T (tarde día
primero):
(𝑇)
𝑉𝑡

Contracción de la gasolina en el tanque, 𝑽´(𝑻)
𝒈 , al pasar de T (tarde día 1º) a
(𝟒)
4ºC (mañana día siguiente), 𝑽′′𝒈 :
(𝑇)
𝑉´𝑔

Volumen del tanque a la mañana del día
primero (a 4ºC) = 106 lt
= 𝑉𝑡(4) [1+𝛽𝑎𝑙 (T-4)]
=
Volumen gasolina dentro del
tanque al siguiente día a 4ºC = 103.4 lt
(4)
𝑉′′𝑔 [1+𝛽𝑔 (T-4)]
Relación volumen total de gasolina a T vs. volumen gasolina en el tanque a
T
(𝑇)
𝑉𝑔
(𝑇)
= 𝑉′𝑔 + 𝛥𝑉𝑑𝑒𝑟𝑟
A la temperatura T de la tarde del día primero, evidentemente tanque y volumen de la
(𝑻)
(𝑻)
gasolina, que a esa temperatura lo llena, son iguales ≡ 𝑽𝒕 = 𝑽´𝒈 (no se trata de toda
la gasolina; se está excluyendo, lógicamente, lo que se derramó)
(4)
⟹ 𝑉𝑡
(4)
[1 + 𝛽𝑎𝑙 𝛥𝑇] = 𝑉′′𝑔 [1 + 𝛽𝑔 𝛥𝑇] ;
(𝛥𝑇 = T - 4)
De ahí despejamos y: 𝑉𝑡(4) − 𝑉′′𝑔(4) = [𝑉′′𝑔(4) 𝛽𝑔 − 𝑉𝑡(4) 𝛽𝑎𝑙 ] 𝛥𝑇
𝑻= 𝟒+
(𝟒)
(𝟒)
𝑽𝒕 −𝑽′′𝒈
(𝟒)
(𝟒)
𝑽′′𝒈 𝜷𝒈 − 𝑽𝒕
𝜷𝒂𝒍
= 4+
(106−103.4)∗105
(103.4∗95−106∗7.2)
= 32.7 º
Comentarios:
o Han de evitarse dos posibles errores a la hora de resolver el problema:
1) Utilizar la fórmula de dilatación con la idea de que el volumen que se calcula es volumen
‘final’ ( = después del cambio de temperatura) y el que aparece habitualmente en el 2º
miembro de la ecuación de dilatación es volumen ‘inicial’ ( = el que había antes de que se
produjera la variación de temperatura); antes bien, aquél siempre es volumen a la
temperatura alta y éste, volumen a temperatura baja. Pudiera, en este sentido, parecer que
las fórmulas usadas para los dos procesos (en los dos primeros ‘puntos’, arriba)
corresponden a fenómenos de dilatación (aunque en el primero se hable, como corresponde,
de contracción). No es así y la razón es la que se acaba de explicar.
2) Olvidar que la gasolina que finalmente se halla en el tanque no es toda la gasolina del
inicio, dado que al alcanzar la temperatura T (32.7ºC) una parte se derramó fuera.
o Desde un punto de vista práctico es conveniente saber que es más provechoso llenar un
tanque en la mañana que al mediodía o a media tarde; como la gasolina se vende por volumen,
es mejor comprarla cuando ocupa menor volumen: así cabrá más en el tanque.