RED DE ESTACIONES GPS ACTIVAS Y PASIVAS DE GIPUZKOA

RED DE ESTACIONES GPS ACTIVAS Y PASIVAS DE GIPUZKOA
MEMORIA
Enero 2003
ANEXOS:
ANEXO I: RESEÑAS.
ANEXO I.1: RESEÑAS DE LOS VÉRTICES DEL I.G.N.
ANEXO I.2: RESEÑAS DE LAS ESTACIONES DE LA RED ACTIVAS Y
PASIVAS.
ANEXO II: FICHEROS DE CÁLCULO DE LOS PROGRAMAS SKI-PRO Y
BERNESE.
ANEXO II.1: COVARIANZAS DE GFA EN ITRF00.
ANEXO II.2: AJUSTES DE LA RED.
ANEXO II.2. A) AJUSTE DE LA RED GPS DE CONTROL.
ANEXO II.2. B) AJUSTE DE LA RED PASIVA CONSTREÑIDA A
CONTROL.
ANEXO II.3: COVARIANZAS SEMANALES DE BERNESE.
ANEXO II.3. a) SEMANA 1.
ANEXO II.3. b) SEMANA 2.
ANEXO II.3. c) SEMANA 3.
ANEXO III: IGS, RECOMENDACIONES PARA PROCESAR.
ANEXO IV: PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN.
ANEXO IV.1: ITRF00, ÉPOCA 2002.9 a ED50.
ANEXO IV.2: ITRF00, ÉPOCA 2002.9 a ETRS89.
ANEXO IV.3: ETRS89 a ED50.
ANEXO V: RESULTADOS.
1.- Introducción.
El presente documento reúne todas las incidencias acaecidas en la fase correspondiente a la
determinación de coordenadas en todas las estaciones activas y pasivas en el Territorio Histórico de
Gipuzkoa, dentro del concurso con nº de expediente x01054, con título: “Puesta en servicio de un
sistema de posicionamiento con estaciones GPS activas y pasivas en el Territorio”.
El trabajo ha sido realizado por el personal de GEOLan DONOSTI, S. L.
La precisión obtenida mediante el Sistema GPS está fuera de toda discusión. Sin embargo, es
fundamental determinar las coordenadas de las estaciones de referencia para poder alcanzar elevadas
precisiones con bajos costes dentro de los marcos actuales de referencia.
Por este motivo, se diseñó una red de precisión cuyos vértices están siempre a una distancia inferior a
10 km en cualquier parte del Territorio Histórico de Gipuzkoa. La materialización básica de la red es la
de cuarto orden; concretamente, los hitos de hormigón que la Excelentísima Diputación de Gipuzkoa
tiene distribuidos por todo el Territorio Histórico.
En este trabajo se presentan los resultados obtenidos en la determinación de una red de estaciones GPS
activas y pasivas en el Territorio Histórico de Gipuzkoa.
1.1- Objetivos.
El objetivo de este trabajo es, tal y como se ha adelantado en la introducción, establecer una red de
estaciones GPS activas y pasivas en el Territorio Histórico de Gipuzkoa. Sin embargo, la red ha sido
diseñada para poder apoyar en ella toda la infraestructura geodésica y topográfica que se vaya a
realizar en el futuro en el Territorio mencionado.
Por ese motivo y, con la gran ventaja de disponer de una antena GPS activa en las instalaciones de la
Excelentísima Diputación Foral de Gipuzkoa, se diseñó una red totalmente funcional, en la cual primó,
además de la situación de los vértices, el acceso a los mismos.
Debido a la gran precisión exigida y a que la red será el marco para los posteriores trabajos
relacionados con la geoinformación, se acondicionaron las estaciones con centrado forzoso, siendo
preciso el estacionamiento en ellas con basada. De esta forma, se minimiza el error de
estacionamiento, tanto para la observación en sí como para los futuros trabajos.
Adicionalmente, se han tomado una serie de puntos de control, que se corresponden con las
pertenecientes al proyecto REGENTE (REd GEodésica Nacional por Técnicas Espaciales), de forma
que se puedan determinar parámetros de transformación precisos y únicos para todo el Territorio. Cabe
reseñar que las estaciones REGENTE son las establecidas por el IGN: éstas disponen de centrado
forzoso y hay una por cada hoja del MTN50.
Además de disponer de la red de estaciones GPS activas y pasivas, se observaron estaciones fuera del
Territorio, de forma que, además de servir de marco geodésico y topográfico de precisión para el
Territorio Histórico de Gipuzkoa, se cumplen los siguientes objetivos fundamentales:
•
Cubrir todo el Territorio con un marco de referencia preciso.
•
•
Garantizar enlaces geodésicos con Territorios adyacentes.
Obtener parámetros de transformación precisos y comunes para todo el Territorio.
1.2- Materiales y métodos de trabajo.
Dadas las precisiones exigidas, y los objetivos del proyecto, es fundamental que los vértices sean
estables y que el error de estacionamiento sea mínimo. Por ello, se ha diseñado una placa de acero
inoxidable con tres cuñas, de forma que el estacionamiento se realiza sobre una basada. En la figura 1,
se adjunta una imagen de una de las placas diseñadas. Las placas se adhirieron a los hitos de hormigón
con resina de epoxi, garantizándose así su estabilidad. Se optó por este tipo de señalización debido a
que los hitos tienen en su parte más elevada una placa de fundición, que hizo que cualquier otro tipo de
solución no fuera tan adecuada.
Figura 1.- Placas de acero inoxidable diseñadas.
La distribución de la red de estaciones GPS, se ha diseñado, tal y como ya se ha comentado con
anterioridad, para que desde cualquier punto del Territorio Histórico de Gipuzkoa se disponga de una
de las estaciones GPS a una distancia inferior a 10 km. Además, se tuvo muy en cuenta el acceso, de
forma que es posible acceder a la gran mayoría de las estaciones GPS en vehículo, muchas veces
incluso en turismo. En el apartado 1.3, se adjunta información más detallada acerca de la situación
general de la red y de las estaciones que la componen.
Respecto a la observación en sí, se contó con siete antenas GPS, todas ellas bifrecuencia de doce
canales en código y fase:
•
•
•
4 antenas GPS modelo Leica 520, con antenas AT502.
2 antenas GPS modelo Leica 9500 SR, con antena AT202.
1 antena modelo Leica SR530, con antenas AT502.
Los tiempos de observación fueron variables, pero todas las estaciones han sido observabas al menos
durante 2 días, en sesiones de 7 a 8 horas, como mínimo. Hay que destacar que algunas estaciones se
han observado hasta 9 días.
En la tabla 1, se adjunta una relación con el nombre de cada estación y el número de días en que dicha
estación ha sido observada.
Estación
Días de
observación
Estación
Días de
observación
Aitzorrotz
Ametzmendi
Arrate
Artxueta*
Añugaña
Belar
Bianditz*
Garagartza
Intxorta Txiki
Iturregi*
2
4
2
4
2
2
4
2
2
6
Itxumendi*
Larrezkondo
Mendizorrotz*
Oitz*
Onddy
Pagoetagaña*
San Telmo*
Urbina*
Usurbe
Zubeltzu
9
2
9
3
2
4
6
5
2
2
Tabla 1.- Días de observación en cada estación.
Como se puede apreciar en la tabla 1, los puntos de control son los que se han observado durante más
tiempo. Esto se debe a que por un lado, son las más alejadas de la estación activa y, por otro lado, a
que el ajuste se realizó constreñido a dichas estaciones.
Desde estos puntos de control, se formaron polígonos, de forma que el resto de las estaciones se
encuentran a distancias muy cercanas de las de control.
Figura 2.- Configuración de las observaciones de los puntos de control.
Figura 3: la red de estaciones GPS activas y pasivas.
Una vez se calculó esta red, se procedió a calcular, tomando ésta como red de estaciones fijas, el resto
de las estaciones que componen la totalidad de la red de estaciones GPS activas y pasivas.
Como se puede apreciar en la figura 3, la red queda compuesta por 5 polígonos, cuyos vértices quedan
perfectamente definidos con una gran redundancia de observaciones.
Independientemente de la configuración de la red, de las observaciones,... es imprescindible proceder
de esta forma para evitar, en la medida de lo posible, sistematismos. Las observaciones GPS realizadas
en épocas comunes no son insesgadas (Craymer et al, 1992). Por este motivo, al calcular las
coordenadas con diferentes sesiones, se consigue eliminar los posibles sesgos para que, el ajuste
mínimos cuadrados sea insesgado: es la mejor estimación lineal insesgada mínima varianza (Sevilla,
1985).
1.3- Localización.
La red se ha materializado en el Territorio Histórico de Gipuzkoa y en sus Territorios adyacentes.
Figura 4.- Mapa de situación general.
En la figura 4 se adjunta un mapa donde se muestra la distribución de las estaciones GPS: los puntos
de control y la antena fija GFA se muestran en color rojo y las estaciones pasivas, en azul.
Asimismo, en la tabla 2 se detalla cada estación con sus características y su acceso. Con * se indican
las estaciones pertenecientes a REGENTE. En dicha tabla, se muestra la funcionalidad de la red, ya
que la gran mayoría de las estaciones son accesibles en turismo.
Para una descripción más detallada de cada una de las estaciones, consultar el Anexo I.
ESTACIÓN
Aitzorrotz
Ametzmendi
Arrate
Artxueta*
Añugaña
Belar
Bianditz*
Garagartza
Intxorta Txiki
Iturregi*
Itxumendi*
Larrezkondo
Mendizorrotz*
Oitz*
Onddy
Pagoetagaña*
San Telmo*
Urbina*
Usurbe
Zubeltzu
MUNICIPIO
Eskoriatza
Zarautz
Eibar
Azpeitia
Oñati
Oiartzun
Amezketa
Elgeta
Gaztelu
Azkoitia- Bergara
Idiazabal
Donostia
Urnieta
Itziar
Hondarribia
Beasain
Ventas de Irún
ACCESO
Vehículo TT.
Turismo, y caminar 10’, o vehículo TT.
Turismo.
Turismo, último tramo con dificultad.
Turismo, y caminar 5’.
Turismo, y caminar 5’, o vehículo TT.
Turismo y caminar 30’.
Turismo.
Turismo y caminar 25’, o TT y caminar 5’.
Vehículo TT.
Turismo.
Turismo y caminar 5’.
Turismo.
Vehículo TT, o turismo (algo complicado).
TT por cortafuegos, o andar 30’
Turismo y caminar 5’.
Turismo.
Vehículo TT, o turismo (algo complicado).
Turismo.
Vehículo TT, complicado con lluvia.
Tabla 2.- Estaciones seleccionadas.
2.- Desarrollo del trabajo.
Debido a que el trabajo trata sobre la precisión GPS, es necesario hacer una introducción a este sistema
de posicionamiento, de forma que, posteriormente, permita abordar los cálculos a realizar. Se puede
encontrar información más detallada en Hofmann-Wellenhof et al. (1992) y en Leick, A. (1994).
2.1- El sistema de posicionamiento global GPS.
2.1.1- Introducción.
El sistema GPS está constituido por tres segmentos bien diferenciados:
Figura 5.- Esquema de los segmentos que conforman el GPS
2.1.1.1- Segmento espacial.
Comprende la constelación NAVSTAR, que en su época de total operatividad estará formada por
veinticuatro satélites (Seeber, 1993), todos ellos en órbitas casi circulares (e=0,01), con una altitud
media de 22.200 km y un período de doce horas sidéreas. Los satélites se distribuirán en seis planos
orbitales, con una inclinación de 55º respecto al ecuador, conteniendo cada plano cuatro satélites. Esta
configuración asegurará que sobre el horizonte de cualquier lugar de la Tierra serán simultáneamente
visibles entre 4 y 7 satélites, permaneciendo aquellos que sean cenitales más de cinco horas sobre el
horizonte de la estación, por lo que tal constelación permitirá la continuidad de la observación -mínimo
de cuatro satélites - durante las veinticuatro horas del día.
La señal radiodifundida es una señal de amplio espectro (Spread Spectrum S.S), que dificulta las
interferencias y asegura las comunicaciones. Cada satélite de la constelación NAVSTAR transmite tres
señales de radio, con amplitud estable que no requieren en la etapa receptora, un control automático de
ganancia (Automatic Gain Control):
•
•
L1 a 1575,42 Mhz
L2 a 1227,60 Mhz
Existe una tercera frecuencia (L3), 1381,05 Mhz, que no se emplea para usos civiles en los sistemas de
posicionamiento.
Se expresan con la letra L porque los valores están comprendidos en la banda L de radiofrecuencia que
abarca desde 1 Ghz hasta 2 Ghz.
L1 es el resultado de multiplicar la fundamental generada por el oscilador atómico (10,23 Mhz) por
154 y tiene una longitud de onda de 19,05 cm.
La segunda portadora L2 usa el factor 120 y una longitud de onda de 24,45 cm.
Figura 6.- Datos difundidos por el satélite.
Sobre las dos portadoras L1 y L2 se envían modulados en fase dos códigos llamados C/A y P y un
mensaje de navegación (NAVMES). Los códigos y el mensaje son una secuencia de dígitos binarios
(ceros y unos) denominados Chips.
Los códigos permiten realizar posicionamientos, mientras que el mensaje aporta información a los
usuarios del sistema.
El código C/A o código S (Standard Positioning Service) consiste en una modulación sobre la
portadora L1, con una frecuencia de 1,023 MHz y una repetición de 1.023 bits cada milisegundo,
El código P, designado también como PPS (Precise Positioning Service), modulado sobre las dos
portadoras Ll y L2, consiste en una larga secuencia (10-14 bits) de modulaciones con una frecuencia de
10,23 MHz y una duración de 267 días (38 semanas), aunque se modifica todas las semanas, y dividida
de forma tal que cada satélite tiene asignada una única fracción de una semana del código, que no
puede solaparse con la asignada a otro satélite y que sirve para caracterizarlo. Un elemento en la
secuencia del código corresponde, por tanto, a un intervalo de tiempo de unos 100 nanosegundos, lo
que equivale a 30 m en distancia, si bien la resolución puede incrementarse a nivel submétrico por
interpolación.
El código P queda absolutamente reservado por el DoD para los usuarios autorizados, en general,
militares –Fuerzas Armadas de USA, de NATO o Australians Defense Forces- y, excepcionalmente,
civiles -Defense Mapping Agency, National Geodetic Survey-. Mediante el empleo de la técnica
conocida como Anti-Spoofing (A-S), el código P es transformado en el denominado código Y,
impidiendo tanto el acceso a los usuarios no autorizados como posibles perturbaciones contra los
usuarios autorizados, quienes pueden eliminar el efecto A-S y obtener la máxima precisión que en
tiempo real permite el GPS; es decir, un posicionamiento absoluto instantáneo en 16 m (SEP), Caturla
(1998).
La mayoría de los receptores civiles utilizan el código C/A para obtener la información del sistema.
Los receptores de mayor precisión y los militares emplean también el código P.
El mensaje de navegación (NAVMES) contiene los datos para poder llevar a cabo los cálculos en la
determinación de las coordenadas de los puntos en los que esté situada la antena del receptor. Se
designa como NAVDATA, y está modulado en fase sobre ambas portadoras (L1 y L2) con una
frecuencia de 50 bites por segundo. Y una duración de 12 min y 30 seg; contiene información sobre
efemérides, estado de los satélites, almanaque, parámetros del reloj y modelo ionosférico (Wells et al.,
1986).
Por tanto, básicamente y de una forma muy simplificada, se podría ver el posicionamiento absoluto
GPS como una intersección inversa respecto de los satélites que se encuentran sobre el horizonte en un
momento dado.
2.1.1.2. Segmento de control.
En la actualidad queda constituido por cuatro estaciones de rastreo y seguimiento, (monitor stations) y
una estación principal (master control station). Las primeras realizan un seguimiento permanente de la
constelación NAVSTAR, en las frecuencias que éstos emiten, y proporcionan datos precisos de las
órbitas a la estación principal.
La estación principal calcula las efemérides de los satélites y los coeficientes de corrección de los
relojes y los transmite a las estaciones de rastreo y seguimiento. Éstas transmiten los datos a cada uno
de los satélites al menos una vez al día.
2.1.1.3.- Segmento usuario.
Este segmento queda constituido por todos los equipos, permanentes u ocasionales, utilizados para la
recepción de las señales emitidas por los satélites y empleados para el posicionamiento (estático o
cinemático) o para la precisa determinación de tiempo.
En general, se conoce como receptor GPS un equipo constituido por una antena con preamplificador
para captación de las señales emitidas por los VS y un receptor integrado por los elementos físicos y
lógicos necesarios para el control, seguimiento, registro, almacenamiento y visualización de los datos,
cálculos pre y post observación, presentación de resultados, etc. Algunos receptores (geodésicos)
llevan incorporado en su interior el calculador, así como un elemento para registro de datos sobre
soporte magnético, en tanto que otros precisan de un ordenador exterior, generalmente de tipo PC, y
unidad de registro. Además, pueden acoplarse otros elementos exteriores, tales como un oscilador
atómico, sensores meteorológicos, etc. Básicamente, todos los receptores contienen un oscilador muy
estable de cuarzo, si bien tal estabilidad, fijada en el orden de 10-9 es muy inferior a la de los SV. Este
oscilador genera una frecuencia fundamental, de la que se derivan todas las que, según el modo de
funcionamiento, precise el proceso de medición.
Diversas clasificaciones pueden establecerse para los receptores. En una primera clasificación se
pueden distinguir:
A partir del tipo de señal que procesan:
•
•
Receptores no codificados (codeless)
Receptores codificados
En función del tipo de canales empleado:
•
•
•
Multicanales.
Multiplexadores.
Canales conmutados.
2.1.2- Aplicaciones GPS.
Aunque concebido con fines eminentemente militares, el GPS resulta accesible a múltiples
aplicaciones puramente científicas, abarcando dos aspectos bien diferenciados:
Posicionamiento de precisión, muy adecuado para levantamientos geodésicos, geofísicos e
hidrográficos, situación de plataformas marítimas e investigación científica.
Sistema de tiempo de alta precisión, aplicable a fines de navegación, comunicaciones digitales,
metrología e investigación.
2.1.2.1- Posicionamiento.
Bajo el concepto de posicionamiento quedan incluidas dos modalidades que requieren diferentes
metodologías:
Posicionamiento absoluto.
En el que se determinan, en general, las coordenadas 3D
del receptor directamente en forma de coordenadas
cartesianas X, Y, Z y, posteriormente, de coordenadas
geodésicas (ϕ, λ h), utilizando como sistema de
Figura 7.- Posicionamiento
referencia el convencional terrestre World Geodetic
System 1984 (WGS 84).
Posicionamiento relativo.
En él se calculan las coordenadas de uno o más
receptores con relación a otro fijo cuyas
coordenadas se suponen conocidas con precisión.
Figura 8.- Posicionamiento
En este caso, los errores inherentes al GPS - estados de los relojes, errores de las efemérides, errores
por efectos atmosféricos, etcétera- quedan notablemente reducidos al poder correlacionar las
observaciones simultáneas entre estaciones.
Esta modalidad requiere un tratamiento posterior a la recepción de los datos individuales que ha de
efectuarse en un centro de cálculo, por lo que el posicionamiento relativo de precisión se realiza en
tiempo diferido
2.1.2.2- Escalas de tiempo.
Tiempo Atómico Internacional (TAI): se define por la combinación ponderada de relojes atómicos por
parte del International Earth Rotation Service (IERS). La unidad de tiempo en el Sistema Internacional
de Unidades (SI) es el segundo, definido como la «duración de 9.192.631.770 períodos de la radiación
correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de
césium 133.
Tiempo Dinámico Terrestre (TDT) emplea la misma unidad de tiempo que el anterior y define una
escala de tiempo uniforme para el movimiento dentro del campo de gravedad terrestre. Se le conoce
oficialmente como Tiempo de Efemérides, por haber sido empleado para la descripción del
movimiento orbital de satélites próximos a la Tierra. El TDT se define como
[1]
TDT = TAI + 32 s .184
UT0 es el Tiempo Universal deducido directamente a partir de las observaciones estelares,
considerando la diferencia entre el día universal y sidéreo de 3 minutos y 560.055 segundos.
UT1 es el Tiempo Universal corregido por la componente rotacional inducida por el movimiento del
polo.
El UTC es el Tiempo Universal Coordinado cuya unidad es el segundo TAI. Para mantener el sistema
estable y exacto es necesario insertar segundos intercalares cuando la diferencia entre UTC y UT1 es
mayor de 0,9 s . Por tanto,
[2]
UT 1 = UTC + dUT 1
Para establecer una escala de tiempo para las mediciones a satélites hay que tener en cuenta que no
esté influida por las variaciones rotacionales terrestres. Con este criterio, el US Naval Observatory
establece una escala de tiempo atómico para estos fines denominado Tiempo GPS, cuya unidad es el
segundo atómico internacional.
El origen de la escala del tiempo (TGPS) coincide con el UTC el día 6 de enero de 1980 a la 0 h. Pero
en este momento el TAI difería del UTC 19 s ; por tanto, el TGPS es equivalente al TAI menos 19 s y
mantiene esta desviación constante para que ambas escalas de tiempo atómico se mantengan uniformes
y paralelas.
El día 6 de enero de 1980 a las 0 h, el TGPS y el UTC eran coincidentes pero como UTC está sujeto a
correcciones, a fin de que su diferencia CM UT1 no sea superior a 0,9 s , paulatinamente se van
incrementando las diferencias entre TGPS y UTC.
El motivo de una definición de tiempos tan precisa, exacta y accesible se debe a la necesidad en la
determinación del retardo en la propagación entre estaciones terrestres para poder obtener así su
posición, y al hecho de poder transmitir en tiempo instantáneo de alta precisión (hasta 1000 ns ),
inalcanzable con otros sistemas de radio-recepción.
2.1.3- Técnicas de medición GPS.
Las características propias de las señales emitidas por los SV (satélites) y las relativas a la
configuración instantánea de la constelación NAVSTAR -número de SV sobre el horizonte- permiten
obtener diversos tipos de observables, que serán tratados con diferentes técnicas de medición.
Los observables de posible adquisición son:
o Pseudodistancia.
o Medición Doppler (no se va a tratar).
o Medida de diferencia de fase o interferométrica.
2.1.3.1- Pseudodistancias.
Código recibido del satélite
Réplica del código generado en el
receptor
Retardo (Medida de Pseudodistancia)
Figura 9.- Código GPS recibido frente al generado.
Esquemáticamente, la técnica de posicionamiento por medidas de pseudodistancias consiste en la
determinación de un valor aproximado de la distancia SV-RC, en función del tiempo que una
determinada marca de tiempo tarda en llegar desde el satélite al receptor. Si los relojes del SV y del
RC estuviesen exactamente sincronizados, es decir, su estado relativo en el momento de la medida
fuese igual a cero, el intervalo medido en el reloj del receptor desde la salida hasta la llegada del
impulso, una vez corregido de las perturbaciones sufridas por la trayectoria, proporcionaría el valor de
la distancia al ser escalado por la velocidad de la luz. Si esta determinación se efectúa simultáneamente
sobre tres o cuatro satélites bajo los mismos condicionamientos, por un simple problema de resección intersección inversa de distancias o de las esferas con centro en el satélite y radio igual a cada
distancia-, tan empleado en navegación, se obtendría la posición de la estación con una precisión
función de las distancias, es decir, de la relativa a la medida del tiempo de tránsito.
En la realidad no se cumple la hipótesis considerada, puesto que existe un estado relativo entre los dos
relojes o, lo que es lo mismo, un estado de cada reloj con relación a GPS TS. Por lo que se refiere a
las perturbaciones introducidas durante la trayectoria -retardos ionosférico y troposférico,
interferencias, etc.-, se supone han sido eliminados.
Como consecuencia de la existencia de los estados de los relojes, el intervalo de tiempo medido en el
reloj del receptor -mediante la correlación del código recibido y la respuesta generada en RVproporciona un valor falso del tiempo de tránsito, obteniéndose a partir del mismo un valor erróneo de
la distancia, que es designado como «pseudodistancia», representada por:
Pji = c ⋅ T j − t i
[3]
(
)
y refiriendo las dos escalas de tiempo a GPS ST y teniendo presente que, en dicha escala de tiempo, a
un momento de recepción t corresponde un momento de emisión t − Pji / c , se puede escribir
[
]
(
Pji = c ⋅ t − ET j − t + Pji / c + Et i = Pji + c ⋅ Et i − ET j
)
[4]
donde se aprecia que la diferencia entre la distancia geométrica y la pseudodistancia es precisamente la
diferencia de estados multiplicada por la velocidad de la luz. Representando esta diferencia de estados
por ∆E se obtiene
Pji = D ij + c ⋅ ∆E
[5]
Generalmente, el estado del reloj del satélite ∆t i puede calcularse a partir de los datos radiodifundidos
en el mensaje de navegación y, en consecuencia, ser eliminado de (5), con lo que resulta
Pji = D ij + c ⋅ E
[6]
donde E representa, para simplificar la notación, el estado del reloj RC.
Sean
d X , d Y , d Z : correcciones más probables a los valores aproximados de las coordenadas Xj, Yj, Zj del
centro eléctrico de la antena.
dE
: corrección al estado del reloj del receptor.
i
i
i
X , Y , Z : coordenadas del satélite deducidas de las efemérides.
Supuesta una observación casi simultánea (dentro del error residual de calibración de los canales del
receptor) sobre un mínimo de cuatro satélites, para cada uno de ellos se obtiene una relación de
observación de la forma (Caturla, 1988):
dp
dp
dp
dp
[7]
dE + p c + p o + v = 0
dx +
dz +
dy +
dE
dX
dZ
dY
donde
[(
pc = X j − X i
) + (Y
2
j
−Yi
) + (Z
2
j
− Zi
)]
2 1/ 2
[8]
y p c la pseudodistancia observada.
Un mínimo de cuatro estaciones como (7) permite calcular las cuatro incógnitas dx, dy, dz; dE en un
instante determinado. Una observación continuada de varias horas (dos o tres en general), en la que se
efectúan cálculos de las incógnitas cada poco tiempo, da lugar a un sucesivo refinamiento del valor de
las incógnitas relativas a la estación, introduciendo cada vez como valores aproximados los obtenidos
en la anterior determinación, y continuados valores del estado del reloj de RC, de los que se deducen la
marcha y el movimiento del mismo.
El método de pseudodistancias es el utilizado para el posicionamiento en tiempo real. As¡ mismo, en
posicionamiento relativo, se emplea para el cálculo de las coordenadas muy aproximadas de la
estación y los parámetros del reloj del receptor, valores que se utilizan para las más precisas
observaciones de diferencias de fase.
2.1.3.2- Medida de la fase de la portadora.
Este método, conocido abreviadamente como «diferencia de fase», consiste en medir la diferencia de
fase entre las frecuencias entrante y generada tomando como referencia la del RC.
La medida de fase puede ser procesada mediante diferentes algoritmos que utilizan como observables
la pura medida de fase, la «simple diferencia», la «doble diferencia» o la «triple diferencia», dando
lugar a diversas técnicas -fundadas todas en el auténtico observable básico que, debidamente
ponderadas, deben conducir a idénticos resultados. El proceso sólo es aplicable a posicionamiento
relativo, es decir, a la determinación de los vectores ∆X, ∆Y, ∆Z, componentes de la base.
2.1.3.2.1-Observable pura medida de fase.
Figura 10.- Observable pura medida de fase
Sea t el instante en tiempo GPS ST, simiultáneo con la época T j del reloj del receptor, en que se
recibe una señal con fase ϕ i procedente del satélite i , emitida en el momento to GPS ST, simultáneo
con la época t i del reloj del satélite (Caturla, 1988).
Según se deduce de las soluciones de las ecuaciones de Maxwell (Remondi), la fase ϕ i de recepción
de la señal es la misma con que fue emitida en el momento t i , es decir,
[9]
ϕ i t i = ϕ i (t )
Aunque la señal se transmite continuamente y, en teoría, se recibe constantemente, es posible imaginar
que sólo un ciclo ha sido transmitido y más tarde recibido. A causa del movimiento relativo SV-RC, el
satélite se acercará o alejará de RC durante la emisión de este ciclo, lo que se denota en un cambio de
la longitud de onda (y de la frecuencia) de la señal en propagación. Este cambio es el denominado
“efecto Doppler”. Aunque una variación de la distancia modifica el espaciamiento entre picos
(máximos), no influye en el vuelo de un pico, argumento que se mantiene para todas las fases. Por
consiguiente, la fase propiamente dicha no resulta afectada por el movimiento, solamente la longitud
de onda. Esto demuestra que una fase instantánea de la portadora, observada y recibida, puede
considerarse como un evento que tiene asociado un tiempo de transmisión preciso y definido, es decir,
la fase en el momento de la recepción es la misma que la fase en el momento de la transmisión.
( )
Ignorando los retardos atmosféricos y relativistas y las posibles pérdidas de señal y designando por p ij
la distancia geométrica o recorrido de la señal entre el satélite y el receptor, puede escribirse
φ ij (t ) = ϕ i t i − ϕ j (T j ) + N ij
[10]
( )
donde ϕ representa la fase de una onda, φ la diferencia de fase o señal ya batida, y N ij es un número
entero.
Teniendo en cuenta los estados de los relojes y la invariabilidad de los mismos en el corto tiempo de la
transmisión de la señal
φ ij (t ) = ϕ i t − Et i − p ij / c − ϕ j (t − ET j ) + N ij
[11]
(
)
Dada la alta estabilidad de los relojes puede aceptarse
ϕ (t + ∆t ) = ϕ (t ) + f ⋅ ∆t
con una precisión superior a 0,01 ciclo en un segundo.
[12]
En consecuencia, de (1) se deduce
φ ij (t ) = ϕ i (t ) − Et i ⋅ f − p ij ⋅ f / c − ϕ j (t ) + ET j ⋅ f + N ij =
(
)
= ϕ i (t ) − ϕ j (t ) − p ij ⋅ f / c − f Et i − ET j + N ij
[13]
ecuación referida toda ella a tiempo GPS ST, época de la recepción de la señal, es decir, de la medida
de la fase. La ecuación (13) representa un modelo instantáneo del observable pura medida de fase, en
la que quedan incluidos los estados del reloj de RC y SV.
El N ij , conocido bajo la designación de «ambigüedad», corresponde al número entero de ciclos,
desconocido, que constituyen la onda portadora comprendida entre SV y RC, desde el momento en que
es radiada hasta aquel en que es batida. En consecuencia, no contiene la fracción de ciclo -auténtica
magnitud medida- sino únicamente ciclos enteros. En el momento de recibirse la señal, una vez
sincronizado el satélite, un contador de ciclos C c se pone automáticamente en funcionamiento y
comienza a contar ciclos enteros de la señal batida durante el seguimiento ininterrumpido del satélite.
Este contador puede encontrarse a cero en el momento que se desee comenzar la medida o tener ya un
valor entero y desconocido que puede designarse como «error de cero» (Ec). Si en la primera medición
~ = N i + Ec , en una posterior medición se habrá incrementado exactamente en el número de
Cc = N
j
ciclos enteros recibidos durante el intervalo transcurrido, valor que será medible, permaneciendo
desconocido el inicial. Para abreviar las notaciones, se supone que el contador está puesto a cero con lo
que evitamos introducir una variable más cuyo valor es indiferente por permanecer constante a todo lo
largo de la medida. Igualmente, durante toda la sincronización, el valor inicial desconocido N ij
permanece inalterable. Pero su conocimiento es necesario para lo cual puede procederse mediante el
empleo de algoritmos que lo eliminan de las ecuaciones o puede calcularse, siendo un procedimiento
muy utilizado la cuenta Doppler.
Si durante la observación, por causas atribuibles a un defectuoso funcionamiento del receptor o a
obstáculos que se interpongan en la trayectoria, se produce una momentánea pérdida de señal con
posterior recuperación, el contador C c no registra en ese intervalo, produciéndose el fenómeno
conocido como «pérdida de ciclos» (cycle slip) que da lugar a uno de los más graves problemas
asociados a esta técnica de medida. En tal caso, la ambigüedad adquiere un valor diferente al real, lo
que se detecta en el registro de datos como un brusco salto en el historial de la fase de la portadora y
que debe resolverse tras un análisis y bien ser corregido manualmente, bien ser eliminado mediante un
adecuado proceso de cálculo. En la formulación establecida en este apartado se supone que el
problema de la pérdida de ciclos ha sido superado.
Como se aprecia en la ecuación (11), el número total de incógnitas es muy elevado, debiendo acudir
los programas de cálculo a los necesarios artificios para la eliminación de las pérdidas de ciclos y la
medición, por técnicas como las anteriormente mencionadas, de los estados de los relojes y de las
ambigüedades, recurriendo a un gran número de observaciones reiteradas cada poco tiempo, por
ejemplo cada 15 segundos, sobre cuatro o más satélites simultáneamente, para, de esta forma, calcular
los valores ajustados de las componentes del vector interestaciones ya que, esta técnica sólo se aplica
para posicionamiento relativo.
Si se establece la hipótesis de que en (13) no existen más errores que los en ella reflejados, es decir,
que las coordenadas de los satélites son suficientemente precisas, que no hay errores de propagación,
que todos los satélites son simultáneamente visibles desde las dos estaciones y que no existe pérdida de
señal, para dos estaciones, j = 1,2, cinco satélites, i = 1, 2, 3, 4, 5 y 100 observaciones continuadas, se
obtienen: 2 x 5 x 100 = 1.000 ecuaciones con seis incógnitas en coordenadas (3 por estación), 200
incógnitas de estados de reloj (100 por estación), 500 incógnitas de estado de reloj (100 por SV) y 10
ambigüedades, es decir, 716 incógnitas, lo que indica que, en las condiciones establecidas, el sistema
es superabundante.
2.1.3.2.2 Simple diferencia de fase.
Conocido también como primera diferencia (Caturla, 1988), se define este método como la diferencia
entre dos lecturas simultáneas de la fase de la portadora batida de un mismo satélite i en dos estaciones
diferentes j,k, cuya posición relativa trata de determinarse, es decir
φ ij , k = φ ki − φ ij
[14]
donde los observables son precisamente las fases batidas en cada estación, procedentes de aplicar la
ecuación (13) en cada una de ellas.
Sustituyendo en (14) los valores obtenidos desde (13), se tiene
φ ij ,k = ϕ j (t ) − ϕ k (t ) + p ij − p ki ⋅ f / c + f ⋅ (ETk − ET j ) + N ki − N ij
(
)
[15]
ecuación en que ha quedado eliminada la incertidumbre del estado del reloj del satélite, apareciendo
sin embargo el estado del reloj en la nueva estación k así como su ambigüedad correspondiente. De
forma extractada puede representarse la ecuación por
[16]
φ ij , k = dϕ j , k (t ) + dp ij , k ⋅ f / c − dET j , k ⋅ f − dN ij , k
obteniéndose una similar para cada satélite observado y cada instante de observación (figura. 10).
Figura 11.- Simple diferencia de fase.
También se conoce bajo esta denominación de simple diferencia de fase la ecuación obtenida por
diferencia de dos ecuaciones (13) de pura fase procedentes de la observación simultánea desde una
estación j sobre dos satélites i = 1, 2, en la cual desaparece la incertidumbre del estado del reloj de la
estación pero se introduce el estado del reloj del nuevo satélite.
Es metodología tradicional considerar como primera diferencia la representada por las ecuaciones (15)
y (16).
2.1.3.2.3. Doble diferencia de fase.
Designada a veces como segunda diferencia (Caturla, 1988), se obtiene mediante la diferencia de dos
simples diferencias simultáneas desde las dos estaciones j y k sobre dos satélites i = 0 1,2 (figura 11).
Figura 12.- Doble diferencia de fase.
Aplicando la fórmula (16) a los satélites 1 y 2 en la misma época, se deduce
1
φ 1j ,,2k = φ 2j , k − φ 1j , k = dp 2j , k ⋅ f 2 − dp 1j , k ⋅ f 1 − dE j , k ⋅ f 1 + dE j , k ⋅ f 2 + dN 2j , k − dN 1j , k [17]
c
Por definición, las dos frecuencias f 1 y f 2 correspondientes a las portadoras L1 de ambos satélites
son idénticas dentro del margen de alta definición de los osciladores de los satélites NAVSTAR, por lo
que la ecuación (17) se reduce a
φ 1j ,,2k = φ 2j , k − φ 1j , k = dp 2j , k − dp 1j ,k ⋅ f / c + dN 2j , k − dN 1j , k = ddp 1j,,2k ⋅ f / c + ddN 1j,,2k
[18]
[
]
(
)
ecuación en la que han desaparecido las incertidumbres relativas a los estados de los relojes de las
estaciones y que, en consecuencia, es mucho más sencilla de tratar, razón por la cual es la utilizada
masivamente por todos los logicales que actualmente se encuentran en uso, quedando reducidos los
términos del segundo miembro a la diferencia combinada de ambigüedades. Por lo tanto, la incógnita
no relativa al vector de la base tiene carácter de sistematismo, dada su naturaleza entera. Si por algún
procedimiento puede determinarse este valor entero, todo sesgo en la solución queda eliminado,
incrementándose la precisión en la obtención de las incógnitas de posicionamiento.
2.1.3.2.4. Triple diferencia de fase.
Diferenciando dos dobles diferencias correspondientes a las mismas estaciones y satélites, pero
observados en épocas diferentes –aunque muy próximas- se obtiene el observable denominado triple
diferencia (figura 12).
Figura 13.- Triple diferencia de fase.
Para j = j, k; i = 1, 2 y t = 1, 2, de (18) se deduce
φ 1j ,,2k (t1, 2 ) = φ 1j ,,2k (t 2 ) − φ 1j ,,2k (t1 ) = ddp 1j,,2k (t 2 ) − ddp 1j,,2k (t1 ) f / c + ddN 1j,,2k (t 2 ) − ddN 1j,,2k (t1 )
[
]
i
j
[19]
donde, por la propia naturaleza de N (Caturla, 1988),
ddN 1j,,2k (t 2 ) = ddN 1j,,2k (t1 )
por lo que, en definitiva, se obtiene
φ 1j ,,2k (t1, 2 ) = φ 1j ,,2k (t 2 ) − φ 1j ,,2k (t1 ) = dddp 1j,,2k (t1, 2 )
[20]
[21]
ecuación en la que quedan eliminadas las ambigüedades, por lo que las únicas incógnitas que
permanecen son las referentes al vector de posición relativa, pudiendo el sistema ser resuelto con
facilidad.
2.1.3.2.5. Combinación lineal L3, “libre de ionosfera”.
La combinación lineal:
1
⋅ (f12 ⋅ L1 − f22 ⋅ L2 ),
[22]
− f22
se conoce como “libre de ionosfera”, ya que el efecto ionosférico se elimina (Leick, 1994).
L3 =
f12
Para la medida de código, se obtiene:
1
P3 = 2
⋅ (f12 ⋅ P1 − f22 ⋅ P2 ),
[23]
f1 − f22
Considerando las dobles diferencias en la medida de fase y sin tener en cuenta el efecto troposférico
∆ρklij, la combinación L3 viene expresada por:
Lij3kl= ρklij + Bij3kl,
[24]
donde el parámetro “libre de ionosfera”, Bij3kl, se puede expresar como:
1
ij
B ij3kl = 2
⋅ (f 12 ⋅ λ1 ⋅ n 1kl
− f 22 ⋅ λ 2 ⋅ n ij2kl )
[25]
f 1 − f 22
2.1.3.2.6- Órbitas de los satélites: efemérides precisas.
Hasta 1.992 la calidad de las órbitas se consideraba como un factor clave para limitar la precisión del
GPS, hasta que, a partir de Junio de 1.992, empezó a operar el IGS. Hoy día se pueden obtener órbitas
con una precisión sin precedentes en un intervalo de 13 días tras la observación. A continuación se
adjunta una tabla donde se muestran los distintos tipos de órbitas disponibles:
Órbita
Transmitida
CODE, predichas
CODE, rápidas
CODE, finales
IGS, ultra rápidas
IGS, rápidas
IGS, finales
Precisión (m)
3,00
0,20
0,10
0,05
0,20
0,10
0,05
Disponibles en
Tiempo real
Tiempo real
16 horas
5 - 11 días
3 horas
19 horas
13 días
Disponibles en
Mensaje de navegación
CODE (ftp)
CODE (ftp)
CODE, IGS
IGS
IGS
IGS
Tabla 3: Tipos de órbitas disponibles y sus precisiones.
A continuación se adjunta una fórmula [Bauersima, 1.983], donde se relaciona el error ∆x en una línea
base de longitud l, en función de un error orbital ∆X, para una distancia entre el satélite y receptor de
25 km:
1
l (km )
[26]
∆x(m ) ≈ ⋅ ∆X (m ) ≈
⋅ ∆X (m )
d
25
A continuación se adjunta una tabla, basada la anterior fórmula, donde se reflejan las estimaciones de
error para distintas longitudes de líneas base y errores orbitales:
Error en la
órbita (m)
2,5
2,5
2,5
2,5
0,05
0,05
0,05
0,05
Long. Línea Error en la línea Error en la línea
Base (km)
base (ppm)
base (mm)
1
0,1
10
0,1
1
100
0,1
10
1000
0,1
100
1
0,02
10
0,02
100
0,02
0,2
1000
0,02
0,2
Tabla 4: Error para distintas longitudes de líneas base y errores orbitales.
2.2- Trabajo de campo.
Las observaciones se realizaron con algunas incidencias a destacar. En primer lugar, la observación se
llevó a cabo entre los meses de Octubre y Noviembre de 2.002, por lo que las condiciones
meteorológicas a priori no son las más adecuadas: durante estas fechas se produjeron grandes
tormentas, acompañadas de rachas de fuerte viento en ciertas zonas. Todo esto hizo que la observación
o campaña de campo no fuera todo lo continua que debiera haber sido, por lo que la campaña de
campo se prolongó para poder conseguir la precisión exigida. Las estaciones, cuyas observaciones
continuas son menores de 6 horas, no se han tenido en cuenta en el cálculo final.
En las figuras 14, 15 y 16 se observan los diferentes tiempos de observación para cada estación,
organizados por semana GPS:
Figura 14.- Ventana de observación de la semana GPS 1190.
Figura 15.- Ventana de observación de la semana GPS 1191.
Figura 16.- Ventana de observación de la semana GPS 1192.
En todas las sesiones de observación se almacenaron datos cada 10 segundos, con una máscara de
elevación de 10º. En cada base, adicionalmente, se anotaron todas las lecturas de altura y constantes de
las antenas, para obtener las excentricidades sobre la vertical y también se anotaron valores de
temperatura, humedad relativa y presión atmosférica para poder realizar correcciones meteorológicas,
en caso de necesidad, en el cálculo con software científico.
Debido a que el software convencional no suele considerar dichas variables para sus cálculos, para
poder comparar los resultados de este software con el científico, no se han utilizado dichas variables.
De esta forma, los resultados obtenidos con software convencional y científico quedan sujetos a los
algoritmos y modelos adoptados, no a la introducción de las variables meteorológicas.
Sin embargo, cabe destacar que el programa científico utilizado “Bernese” realiza estimaciones
troposféricas a partir de las observaciones. Debido a la calidad de los resultados así obtenidos, se
procedió a la desestimación de las variables climatológicas antes mencionadas.
2.3- Trabajo de gabinete.
Tras lo expuesto, se puede abordar el cálculo de las líneas base GPS con garantías. Cabe destacar que
se han realizado varios cálculos en función de la máscara de elevación (15º y 20º), por lo que
finalmente se adjunta el resultado con software convencional de máscara 20º, por ser el que mejores
resultados han proporcionado.
Los cálculos se han realizado con efemérides precisas del IGS. El modelo troposférico utilizado ha
sido el de Saastamoinen (1973), tal y como recomienda el IGS y el NOAA/NGS (ver anexo III):
⎤
0.002277 ⎡
⎞
⎛ 1255
[27]
∆Trop. =
⋅ ⎢p + ⎜
+ 0.05 ⎟ ⋅ e − tan 2 z ⎥
cos z
⎠
⎝ T
⎦
⎣
siendo z el ángulo cenital del satélite, p la presión atmosférica en milibares, T la temperatura en grados
Kelvin y e la presión parcial del vapor de agua en milibares.
Respecto al efecto ionosférico, éste ha sido eliminado debido a que se ha adoptado la solución L3, es
decir el modelo “libre de ionosfera” (ver apartado 2.1.3.2.5).
Cabe destacar que ha habido líneas base con grandes diferencias respecto de los valores medios, sobre
todo en aquéllas en las que han intervenido los puntos de control Oitz y Artxueta. Las diferencias se
han detectado con software convencional, pues con software científico han sido valores normales. Esta
circunstancia se pueden deber a:
• Son dos de los vértices más alejados de GFA, o
• Están rodeados de estaciones de emisión tanto de televisión como de radio y telefonía.
Sin embargo, son estaciones REGENTE, por lo que se hizo imprescindible disponer de ellas. De
cualquier forma, los resultados finales son los esperados, como se observa en el apartado 3.
Respecto al ajuste en sí, éste se ha realizado por mínimos cuadrados. En el apartado 2.3.1 se detalla el
modelo matemático que el software convencional utilizado emplea, así como las definiciones de
fiabilidad, precisión,... que se corresponden con los valores obtenidos para la red.
La red ha sido calculada en el marco ITRF2000, para lo cual previamente se calculó la estación activa
GFA en dicho marco (véase el apartado 2.3.2.1)
Debido a las grandes precisiones a alcanzar y a la necesidad de referir las coordenadas a estaciones
globales, es necesario calcular las coordenadas de la red con sumo rigor y con las máximas garantías.
Por ello, adicionalmente al procesamiento con “software comercial”, concretamente la versión 2.5 del
software SKI- Pro de Leica, se ha calculado la red con software científico Bernese, versión 4.2. Los
resultados se adjuntan en el apartado 2.3.2.2.
De cualquier forma, si bien los datos considerados como definitivos son los obtenidos con el software
Bernese, se adjuntan los parámetros y modelos utilizados por el software SKI Pro, pues son los que
pueden ser tenidos en cuenta para futuras campañas locales.
2.3.1. Ajuste de la red: precisión, fiabilidad y pruebas estadísticas. Software comercial.
La nomenclatura utilizada en este apartado ha sido extraída del manual del usuario del software SKI
Pro, versión 2.5, de la marca comercial Leica. De esta forma, se exponen los criterios adoptados con
ese software en particular. Sin embargo, como ya se ha comentado, la solución definitiva ha sido la
obtenida con software científico “Bernese”.
2.3.1.1. Ajuste por mínimos cuadrados.
En esta sección se presentan los conceptos básicos del ajuste por mínimos cuadrados, así como los
conceptos de modelos matemáticos y estocásticos. Se explican también algunas nociones importantes
empleadas en SKI-Pro, tales como valores aproximados, parámetros adicionales que no se aplican muy
frecuentemente y ajustes forzados.
2.3.1.1.1. Ajuste por mínimos cuadrados: Consideraciones generales.
Entre los geodestas y topógrafos, es una práctica común realizar un mayor número de mediciones que
las originalmente planeadas, al establecer una red geodésica. De esta forma, se podrán compensar las
observaciones en caso de que algunas de ellas se pierdan, pero (más importante aún) para poder
mejorar la calidad de la red. Como consecuencia de estas mediciones adicionales, ya no existe
solamente una solución única que satisface las condiciones de la red en forma exacta (por ejemplo, que
los ángulos de un triángulo deban sumar 200 gon). Por lo tanto, se requiere de un método para corregir
las observaciones, con el fin de cumplir con las especificaciones señaladas. La cantidad en la que cada
observación se debe corregir se conoce como residual de la observación. El método de ajuste por
mínimos cuadrados provocará que las observaciones entren en el modelo al minimizar la suma de los
cuadrados de los residuales de las observaciones. Los residuales están referidos a las correcciones por
mínimos cuadrados.
Cualquier modelo de ajuste por mínimos cuadrados consiste de dos componentes igualmente
importantes: el modelo matemático y el modelo estocástico. El modelo matemático es una serie de
relaciones entre las observaciones y las desconocidas. El modelo estocástico describe la distribución
esperada de los errores de las observaciones.
2.3.1.1.2. Modelo Matemático.
Generalmente en un levantamiento, los observables no constituyen cantidades, las cuales son las que se
espera obtener. Más bien, se emplean las observaciones para determinar parámetros desconocidos,
como pueden ser las coordenadas de las estaciones en una red. Las observaciones se expresan como
una función de los parámetros en el llamado modelo matemático o funcional.
En algunos casos, el modelo que representa las relaciones entre los observables y los parámetros
desconocidos es muy sencillo. Por ejemplo, la relación en un problema de nivelación en 1 dimensión
entre las diferencias de alturas observadas y las alturas desconocidas, es completamente lineal:
Resulta más complicado el caso de una red GPS en la que los elementos desconocidos son las
coordenadas (X,Y,Z) a determinar en un sistema de referencia diferente al cual están referidas las
líneas base ∆X:
con
α, β, γ, µ como parámetros de transformación.
Ya que el método de mínimos cuadrados requiere de ecuaciones lineales, el modelo aquí mostrado se
debe hacer lineal. Generalmente, esto significa que se requiere de un cierto número de iteraciones para
obtener una solución. Asimismo, también se requiere de valores aproximados en el ajuste para las
coordenadas de las desconocidas. Si los valores aproximados son incorrectos, se puede provocar un
incremento en el número de iteraciones o, en el peor de los casos, impedir que converjan.
Ya que nuestro interés se enfoca en las coordenadas, no siempre se emplean los otros valores
desconocidos en el modelo matemático. Valores desconocidos, tales como los parámetros de
transformación antes mencionados, se denominan como parámetros adicionales o entorpecedores.
Ejemplos de este tipo de parámetros son: los parámetros de transformación, factores de escala, offsets
de acimut, orientación de valores desconocidos y coeficientes de refracción. Algunos de estos
parámetros se pueden mantener como fijos con un cierto valor, en cuyo caso no se corrigen en el
ajuste. La decisión de mantener fijos ciertos parámetros no es sencilla: se debe poner especial cuidado
en no ser demasiado estrictos ni dejar demasiados grados de libertad. Un ejemplo de lo anterior es la
introducción de coeficientes de refracción, ya que puede resultar en la admisión de efectos sistemáticos
que no son causados por la refracción. Sin embargo, el ignorar la refracción, cuando efectivamente
ejerce influencia sobre las mediciones, tendrá como resultado un efecto igualmente desfavorable. El
éxito de lo que podría llamarse “equilibrar” el modelo, dependerá mayoritariamente de la experiencia
del usuario.
En SKI-Pro se puede estimar un factor de escala para las mediciones de distancia. El objetivo de
introducir un factor de escala en el ajuste consiste en evitar un posible sesgo en la escala interna del
equipo de medición y, en términos más generales, prevenir una limitación exagerada de la red durante
un ajuste libre. Un factor de escala libre 'encogerá' o 'extenderá' la red para que esta se adapte a las
estaciones conocidas en un ajuste forzado. Como consecuencia, en algunos casos un factor de escala
libre puede obstruir la aplicación de pruebas estadísticas sobre las coordenadas conocidas. Las
coordenadas de una estación conocida pueden quedar fuera de los límites promedio y no detectarse
cuando, debido al efecto de 'encoger' o 'extender' la red, esta siga siendo forzada a adaptarse (sin
ningún rechazo) a las estaciones conocidas. El valor en cuestión (que excede los límites promedio) será
absorbido por el factor de escala, el cual como consecuencia, tendrá un valor diferente a 1.0 . Por lo
tanto, se recomienda analizar el valor del factor de escala después de efectuar el ajuste y, en caso de
duda, volver a efectuar el ajuste con una escala fija.
El ajuste fallará cuando el modelo matemático, tal como se representa por la matriz de diseño y la
matriz normal (véase el apartado 2.3.1.1.5), tenga características de singularidad. La singularidad es
causada por:
•
•
un problema de mal diseño o;
un modelo planteado erróneamente.
El problema de un mal diseño consiste en que quizás se espera demasiado de las observaciones, o se
incluyeron muy pocas. Un ejemplo de esto es la determinación de coordenadas en dos dimensiones de
una estación desconocida mediante la medición de una sola dirección horizontal, a partir de otra
estación. Un modelo se plantea erróneamente cuando se incluyen demasiados parámetros.
Generalmente, estos modelos no son una representación fidedigna de la realidad.
En el caso de soluciones computarizadas mediante mínimos cuadrados, la condición de mal diseño de
la matriz N puede derivar en una característica de singularidad.
La característica de singularidad es el caso limitante de un mal diseño. Una matriz de mal diseño puede
adquirir la característica de 'singularidad' como resultado de los límites internos de precisión del
hardware empleado. Un ejemplo de este problema es la intersección de una estación por dos o más
direcciones paralelas cercanas a aquella.
Además de los problemas mencionados, no es posible resolver un ajuste de observaciones terrestres a
menos que se haya establecido la ubicación, la orientación y la escala de la red, es decir, que se haya
definido un datum. Esto se logra imponiendo límites a la solución. El número mínimo de límites
dependerá de las dimensiones de la red.
En una red 3D existen 3 translaciones, 3 rotaciones y un factor de escala. La singularidad se elimina al
fijar por lo menos 7 coordenadas de 3 estaciones (Lat1, Lon1, Alt1, Lat2, Lon2, Alt2,Alt3).
2.3.1.1.3. Modelo Estocástico.
Una observación geodésica, tal como una dirección, distancia o diferencia de alturas, es una variable
aleatoria o estocástica. Una variable estocástica no puede ser descrita por un solo valor exacto, ya que
existe una gran incertidumbre involucrada en el proceso de medición. Por ejemplo, al medir
repetidamente la distancia entre dos estaciones se obtendrá un amplio rango de diferentes valores. Esta
variación se toma en cuenta para calcular la probabilidad de la distribución. Lo anterior significa que,
además del modelo matemático, es necesario formular un segundo modelo que describa las
desviaciones estocásticas de las observaciones: el modelo estocástico.
En el caso de observaciones geodésicas, se asume una probabilidad de distribución normal (Figura 17).
Esta distribución se basa en la media µ y la desviación estándar σ.
Figura 17.- Características de la distribución normal
La media µ representa el valor matemático que se espera de la observación. La desviación estándar es
una medida de la dispersión o extensión de la probabilidad. La desviación estándar caracteriza a la
precisión de la observación (véase Precisión ) Al cuadrado de σ se le llama varianza. Por definición,
existe un 0.684 de probabilidad de que las variables estocásticas con distribución normal se encuentren
en una región limitada por-σ y +σ. Para la región limitada por-2σ y +2σ , esta probabilidad es de
0.954. En general, la probabilidad de que una variable estocástica tome un valor entre x1 y x2 es igual
al área delimitada por la curva y las ordenadas x1 y x2, la cual se representa por el área sombreada de
la gráfica anterior.
Es posible que dos o más observaciones sean interdependientes o estén correlacionadas, lo cual
significa que la desviación de alguna repercutirá en la otra. La correlación entre dos observaciones x y
y se expresa matemáticamente por la covarianza σxy . La covarianza se emplea también en el
coeficiente de correlación , definida como:
El coeficiente toma valores entre - 1 y + 1: -1 ≤ ρ ≤ 1
Si las observaciones no son interdependientes, ρ = 0. Los elementos vectoriales (DX,DY,DZ) de una
línea base GPS constituyen un ejemplo de observables correlacionados. Para expresar dicha
correlación, se emplea una matriz de 3x3. En SKI-Pro, esta matriz de simetría es una combinación de
desviaciones estándar y coeficientes de correlación:
En esencia, el modelo estocástico consiste en la elección de la probabilidad de la distribución de los
observables. Prácticamente, esto significa que para cada observable se elige una desviación estándar σ.
El valor de σ estará basado en el conocimiento que se tenga del proceso de medición (condiciones
prevalecientes en el terreno, tipo de instrumento empleado) y la experiencia. Se supone que la
desviación estándar de la mayoría de los observables presenta una parte absoluta y una parte relativa.
En la parte relativa, se toma en cuenta la dependencia que existe entre la distancia de la estación y el
punto a medir, la cual caracteriza la precisión de la mayoría de los observables. Las desviaciones
estándar así definidas se ingresan en la matriz de varianza-covarianza Σb (véase 2.3.1.1.5). La precisión
de las desconocidas en el ajuste dependerá de la precisión de los observables definidos en Σb , así como
de la propagación de esta precisión a lo largo de todo el modelo matemático.
2.3.1.1.4. Ajustes Libres y Forzados.
Generalmente, el ajuste de una red se subdivide en dos pasos o fases separados:
• ajuste libre y
• ajuste forzado.
Este método tiene como objetivo separar las observaciones sujetas a pruebas de las estaciones
conocidas.
Un ajuste libre puede definirse como una red cuya disposición geométrica se determina únicamente
por las observaciones. La posición, escala y orientación de la red se fijan por un número mínimo de
límites, a través de las estaciones base. Por tanto, las estaciones base no imponen límites adicionales a
la solución del ajuste. En un ajuste libre de red se hace mayor énfasis en el control de calidad de las
observaciones, más que en el cálculo de las coordenadas. Al seleccionar otras estaciones para fijar la
posición, la escala y la orientación, las coordenadas se modificarán, pero no así las pruebas estadísticas
implementadas en SKI-Pro.
Una vez eliminados del ajuste libre los posibles datos que excedan los límites promedio, la red se
podrá conectar a las estaciones conocidas. Esto impone límites adicionales a la solución. A partir de
este punto, el énfasis se pone en el análisis de las estaciones conocidas y en el cálculo de las
coordenadas finales. Existen dos tipo de ajuste forzados: completamente forzado y forzado
promediado. La diferencia entre ambos radica en el cálculo de coordenadas. En un ajuste
completamente forzado, las coordenadas de las estaciones conocidas conservan su valor original, es
decir, no se les aplica una corrección por mínimos cuadrados A este tipo de ajuste se les denomina a
veces ajuste por seudo mínimos cuadrados. Por otro lado, en un ajuste promediado se aplica una
corrección a las estaciones conocidas. La elección entre uno y otro tipo de ajuste no modifica los
resultados de las pruebas aplicadas.
2.3.1.1.5. Fórmulas.
El modelo matemático (lineal) es:
b + e = Ax + a
donde
b = (m) vector de las observaciones;
e = (m) vector de las correcciones;
A = (m x n) matriz de diseño;
x = (n) vector de las incógnitas;
a = (n) vector de las constantes.
El modelo estocástico es:
Sb = s2Q = s2P-1
donde:
Sb = (m x m) matriz de varianza-covarianza;
s2 = varianza a-priori de la unidad ponderada;
Q = (m x m) matriz del coeficiente ponderado;
P = (m x m) matriz ponderada.
El criterio para los mínimos cuadrados es:
etPe = mínimo
La solución es:
x = N-1 At P(b - a)
s2= etPe/(m - n)
donde:
N = (At P A), (n x n) matriz de la normal;
s2= varianza a-posteriori de la unida ponderada.
La matriz de varianza-covarianza de las incógnitas:
Sx = s2N-1
Nota : se emplea el valor a-priori s2 , no el valor a-posteriori s2
En el caso de un modelo matemático lineal, la solución para el vector de las incógnitas x queda
disponible después de una serie de iteraciones para actualizar Dx de lo valores aproximados:
x = x0 + Dx
Después de cada iteración, se compara la nueva solución con la anterior. Si la diferencia entre las dos
soluciones satisface el criterio de iteración, el proceso de iteración finaliza y la última solución se
considera como la final.
2.3.1.2. Precisión y fiabilidad.
El resultado de un ajuste debe ser preciso y fiable. No es suficiente que una observación sea precisa,
significando que la repetición llevará a un grado mayor de cercanía. Las observaciones deberán ser
también fiables, es decir, cercanas al valor verdadero. La precisión, o en términos más generales, la
calidad de una red se puede definir por dos elementos: precisión y fiabilidad. En este capítulo, se
revisarán los parámetros que cuantifican la precisión y la fiabilidad.
Antes de explicar estos conceptos a mayor detalle, cabe aclarar que la precisión y la fiabilidad son dos
nociones independientes entre sí. Un proceso de medición puede ser muy preciso, pero no
necesariamente será fiable. Por otro lado, un proceso fiable no siempre será preciso. Al comparar las
frecuencias relativas f A y f B de dos procesos de medición A y B (véanse las siguientes figuras), se
observa que el proceso de medición A es mejor que el proceso de medición B; ya que el grado de
cercanía de las observaciones en el proceso A es mayor. Pero a pesar de que el proceso A es más
preciso, no resulta muy fiable. Un error sistemático ha generado un desplazamiento en la distribución
de la frecuencia, alejándola del valor µ. El proceso B no es muy preciso, pero definitivamente resulta
más fiable, ya que su distribución es más cercana al valor verdadero µ. En esta sección se introducen
los conceptos de precisión y fiabilidad, así como las herramientas implementadas en SKI-Pro para el
análisis de precisión y fiabilidad en una red.
Figura 18. -
Figura 19. -
2.3.1.2.1. Precisión.
En la sección Ajuste por mínimos cuadrados , se introduce el concepto de desviación estándar de un
observable. Esto es necesario para describir una observación tanto por el valor medido como por la
desviación estándar. La desviación estándar expresa las variables estocásticas de la observación. La
precisión de una red se puede definir como la influencia de las variables estocásticas de la red sobre las
coordenadas.
En SKI-Pro se presentan las desviaciones estándar a-posteriori de todas las observaciones y estaciones.
Las elipses estándar se emplean frecuentemente para representar la precisión de las estaciones. Dichas
elipses se pueden considerar como el equivalente en dos dimensiones de las desviaciones estándar y se
conocen también como elipses de confianza. Existe un cierto nivel de confianza de que una estación se
encuentre dentro del área delimitada por esta elipse. En el caso de elipses estándar, el nivel de
confianza es de 0.39 (para obtener un nivel de confianza de 0.95, los ejes se deben multiplicar por un
factor de 2.5). Las elipses estándar Absolutas representan la propagación de los errores aleatorios a lo
lago del modelo matemático sobre las coordenadas. Las elipses estándar Relativas representan la
precisión entre un par de estaciones. La forma de una elipse se define por el semi-eje mayor A y el
semi-eje menor B. La orientación de una elipse estándar absoluta queda definida por el ángulo Phi que
se forma entre el semi-eje menor y el eje Y Norte del sistema de coordenadas. La orientación de una
elipse estándar relativa se define por el ángulo Psi que se forma entre el semi-eje mayor y la línea que
une a la estación con el punto a observar.
2.3.1.2.2. Fiabilidad.
La fiabilidad de una red se puede describir en términos de la sensibilidad para detectar valores que
exceden los límites promedio. La fiabilidad se puede subdividir en interna y externa:
•
•
Fiabilidad interna.- se expresa por el Sesgo Mínimo Detectable (MDB). El MDB presenta el
tamaño del error mínimo posible de observación, detectable por la prueba estadística (de
análisis de datos) con una probabilidad igual al valor β de la prueba. Un valor MDB elevado
indica una observación o coordenada pobremente revisada. Por lo tanto, entre más grande sea
el valor del MDB, menor será la fiabilidad. Si una observación no está revisada en absoluto, no
es posible calcular el MDB y la observación quedará marcada como 'observación libre'.
Fiabilidad externa.- se expresa por la Relación Señal-Ruido (BNR). La fiabilidad externa se
emplea como medida para determinar la influencia de un posible error en las observaciones de
las coordenadas ajustadas. El BNR de una observación refleja dicha influencia, mientras que el
tamaño del error de la observación se define igual al MDB de esa observación en particular. El
BNR es un parámetro sin dimensión que combina la influencia de una sola observación con
todas las coordenadas. Se puede proporcionar una interpretación práctica si se considera al
BNR como un límite superior de la relación entre la influencia ∇ del MDB de una observación
sobre cualquier coordenada x, y la desviación estándar a posteriori σ de dicha coordenada:
En otras palabras: el BNR se puede interpretar como la relación que existe entre la fiabilidad y la
precisión. Lo más deseable es que el BNR sea homogéneo a lo largo de toda la red
Una cualidad importante tanto del MDB como del BNR es que ambos son independientes de la
selección de las estaciones base.
Para ilustrar el comportamiento de los parámetros de fiabilidad, analice el ejemplo que se presenta a
continuación:
Observación
Distancia A-B
Distancia A-B + ∆
Lectura (m)
1051.426
1051.476
MDB (m)
0.048
0.048
BNR
10.8
10.8
Prueba W
-0.76
3.53**
Ejemplo de fiabilidad interna y externa
En este ejemplo la distancia A-B es una observación de una red, la cual ha sido ajustada y se le han
aplicado pruebas. Como se observa en la última columna de la tabla, esta observación aprobó la prueba
que se le aplicó (valor crítico de la Prueba W = 3.29). La fiabilidad interna está dada por un MDB de
0.048 m. Esto significa que probablemente, la Prueba W detectará un error de este tamaño (véase
2.3.1.3.3). Para verificarlo, se introduce un error ∆ de 0.05 m en la distancia A-B. La red se ajusta y se
prueba nuevamente, incluyendo este error simulado. Al observar el segundo valor de la última
columna, la observación es rechazada por la prueba W debido a que excede el valor crítico.
La fiabilidad externa se da por un BNR de 10.8. Esto significa que la influencia del MDB, con un valor
de 0.048 m sobre cualquier punto de la red, es 10.8 veces a la desviación estándar de la coordenada.
Para los fines generales de la red, es deseable contar con una fiabilidad externa homogénea. En el caso
de la red del ejemplo anterior, se considera que es homogénea, ya que los valores BNR de todas las
observaciones s encuentran al mismo nivel. Por el contrario, la red no será homogénea cuando el BNR
de, por ejemplo, la distancia A-B, exceda considerablemente el valor BNR de otras observaciones en la
red. En ese caso la red será inestable, es decir que la fiabilidad dependerá principalmente de qué tan
correcta sea una sola observación.
2.3.1.3. Pruebas Estadísticas.
Las pruebas estadísticas tienen como finalidad revisar si el modelo matemático y estocástico (véase
apartado 2.3.1.1.1) proporcionan una representación correcta de la 'realidad'. Además, es importante
detectar los posibles valores que excedan los límites promedio (debidos a errores gruesos) en las
observaciones, los cuales podrían arruinar la precisión que se podría obtener. Es por todo esto que la
aplicación de pruebas estadísticas es imprescindible para el proceso de control de calidad. La prueba
estadística que aquí se presenta se lleva a cabo simultáneamente con el ajuste por mínimos cuadrados y
está basada en el análisis de los residuales de este último. La detección de errores gruesos también se
puede efectuar antes de realizar el ajuste, revisando por ejemplo los cierres de poligonal o la
numeración correcta de las estaciones. Este tipo de revisiones se consideran como un paso previo al
proceso, por lo que no serán objeto de discusión en este punto.
En SKI-Pro se llevan a cabo tres pruebas estadísticas: la prueba F, la prueba W y la prueba T. En esta
sección se explican los procedimientos que implican, a lo cual antecede una descripción general de
pruebas hipotéticas. En los últimos párrafos se presta especial atención a la interpretación de los
resultados obtenidos de estas pruebas y de los errores estimados.
2.3.1.3.1. Pruebas Estadísticas: Consideraciones generales.
Tanto el modelo matemático como el modelo estocástico están basados en una serie de suposiciones. A
esta serie de suposiciones se le denomina hipótesis estadística. Suposiciones diferentes darán lugar a
hipótesis distintas, por eso es que se aplican las pruebas estadísticas: para analizar dichas hipótesis.
Puede existir también una hipótesis nula H 0, la cual implica que:
•
•
•
no existen errores gruesos en las observaciones;
el modelo matemático ofrece una descripción correcta de las relaciones que existen entre las
observaciones y los parámetros desconocidos;
el modelo estocástico seleccionado describe en forma adecuada las propiedades estocásticas de
las observaciones.
Resulta evidente que se pueden obtener dos resultados al probar una hipótesis: que ésta sea aceptada o
que se rechace, lo cual será decidido por un punto de corte específico del valor crítico. El valor crítico
establece una ventana de aceptación. Entre más alejado se esté de estos límites, menor será la certeza
de que la hipótesis sea cumplida. Los valores críticos se determinan al seleccionar un nivel de
significancia α. La probabilidad de que el valor crítico sea excedido, aunque la serie de suposiciones
sea válida, es igual a α. En otras palabras, α es la probabilidad de un rechazo incorrecto. Asimismo, el
nivel de confianza complementario 1- α, es una medida de la confianza que se puede obtener en esta
decisión.
Al probar una hipótesis nula H 0 se pueden presentar cuatro situaciones desfavorables:
•
•
Que H 0 sea rechazada, cuando en realidad es verdadera. La probabilidad de que esto ocurra es
igual al nivel de significancia ?. A esta situación se le conoce como error de Tipo I (véase la
siguiente tabla).
Que H 0 sea aceptada, cuando en realidad es falsa. La probabilidad de que esto ocurra es de 1-?,
donde ? es el poder de la prueba. A esta situación se le conoce como error de Tipo II (véase la
tabla siguiente).
SITUACIÓN
H 0 verdadera
H 0 falsa
DECISIÓN: ACEPTAR
H0
Decisión correcta:
probabilidad = 1 - α
Error tipo II:
probabilidad = 1 - β
DECISIÓN: RECHAZAR
H0
Error tipo I:
probabilidad = α
Decisión correcta:
probabilidad = 1 - β
En los siguientes apartados se revisan los métodos para probar las hipótesis nulas y las hipótesis
alternativas.
2.3.1.3.2. Prueba F.
La prueba F es empleada comúnmente en pruebas multi dimensionales para revisar las hipótesis nulas
H 0. Se le conoce también como la prueba del modelo completo, ya que lo analiza en forma general.
El valor F se establece por la expresión:
F=s2/α2
donde
s 2 = factor de varianza a posteriori, el cual depende de los residuales calculados y de la
redundancia;
2
α = factor de varianza a priori.
El valor F se confronta con un valor crítico de la distribución F, el cual es una función de la
redundancia y el nivel de significancia α. Existen tres fuentes de rechazo, descritas más adelante, que
son: los errores gruesos, un modelo matemático incorrecto y un modelo estocástico incorrecto.
La información proporcionada por la prueba F, principalmente la aceptación o el rechazo de la
hipótesis nula, no es muy específica. Por lo tanto, si H 0 es rechazada, será necesario encontrar la
causa, tratando de encontrar errores en las observaciones o en las suposiciones planteadas. En caso de
sospechar que H 0 es rechazada debido a algún error grueso presente en alguna de las observaciones,
será necesario aplicar la prueba W. El llamado análisis de datos emplea la prueba W para buscar
errores en observaciones individuales. Las pruebas F y W están relacionadas entre sí por un valor
común del poder β. Este es el llamado método B de prueba. A continuación, se describe la prueba W y
el método B.
H0 es rechazada cuando el modelo matemático es incorrecto o no es lo suficientemente detallado. Por
ejemplo, si el coeficiente de refracción vertical no es considerado o si las observaciones referidas a
datums diferentes se combinan, sin resolver los parámetros de transformación del datum. En este caso,
el modelo matemático se debe mejorar, con el fin de prevenir un resultado de poca calidad.
Otra fuente de rechazo consiste en una matriz de varianza-covarianza a priori demasiado optimista.
Este tipo de rechazo se puede solucionar fácilmente, incrementando las desviaciones estándar de las
observaciones ingresadas. Obviamente, se debe tener presente que el propósito de las pruebas
estadísticas no consiste en aceptar todas las observaciones, sino en detectar valores que exceden los
límites promedio y errores en los modelos.
Cabe aclarar que también puede ocurrir una combinación de las tres fuentes de rechazo antes
mencionadas.
2.3.1.3.3. Prueba W.
El hecho de que la prueba F rechace los resultados no nos remite directamente a la fuente que originó
el rechazo. En caso de que la hipótesis nula sea rechazada, deberán formularse otras hipótesis que
describan un posible error, o combinación de errores.
Existe un número infinito de hipótesis que se pueden establecer como alternativa a la hipótesis nula.
Entre más complejas sean estas hipótesis, será más difícil interpretarlas. Una hipótesis simple pero
efectiva es la llamada hipótesis convencional alternativa, basada en el supuesto de que existe un valor
que excede los límites promedio en una sola observación y que el resto son correctas. La prueba de una
dimensión asociada con esta hipótesis es la prueba W.
Generalmente, el suponer que existe un solo valor que excede los límites promedio, resulta muy
cercano a la realidad. Si la prueba F es rechazada, se puede buscar la causa en un error grueso en una
sola observación. Para cada observación, existe una hipótesis convencional alternativa, que implica
aplicar la prueba en cada observación en forma individual. A este proceso de probar cada observación
de la red por la prueba W se le conoce como análisis de datos (datasnooping).
La dimensión de la corrección por mínimos cuadrados por sí sola no siempre es un indicador preciso al
hacer la revisión de observaciones que exceden los límites promedio. Una mejor forma de hacerlo,
aunque solo es adecuada para observaciones no relacionadas, consiste en la corrección por mínimos
cuadrados, dividida entre su desviación estándar. Para observaciones correlacionadas, por ejemplo los
tres elementos de la línea base, se deberá tomar en cuenta la matriz completa de las observaciones.
Esta condición es satisfecha por la prueba W, la cual tiene una distribución normal y es más sensible
para detectar un error en una de las observaciones.
El valor crítico Wcrit depende de la selección del nivel de significancia α 0. Si W> Wcrit (la prueba W es
rechazada), existe una probabilidad de 1- α 0 de que efectivamente, la observación correspondiente se
encuentre fuera de los límites promedio. Por otro lado, existe una probabilidad α 0 de que la
observación no esté fuera de dichos límites, lo cual significa que el rechazo es injustificado.
Generalmente, en geodesia se eligen los valores para α 0 entre 0.001 y 0.05. La siguiente tabla
proporciona información general de los valores de α 0 con sus correspondientes valores críticos. La
selección dependerá de qué tan estricta y rígida será la prueba que se desea aplicar a las observaciones.
Una prueba muy estricta (con un valor crítico pequeño), nos llevará a un valor α 0 más grande y en
consecuencia, se incrementará la probabilidad de rechazar observaciones que sean válidas. Un valor de
α 0 = 0.001 significa que existe una observación falsa por cada 1000 observaciones. La práctica ha
demostrado que este es el mejor valor a escoger.
Nivel de significancia α 0
Valor crítico de la prueba W
0.001
3.29
0.010
2.58
0.050
1.96
Nivel de significancia/valor crítico
Para aplicar el método B, es muy importante detectar un valor que exceda los límites promedio con la
misma probabilidad tanto en la prueba F como en la prueba W. Para este fin, generalmente se fija el
valor del poder β de ambas pruebas en 0.80. Asimismo, también se fija el nivel de significancia α 0 de
la prueba W, con lo cual el nivel de significancia α de la prueba F queda como incógnita a despejar.
Fijando los valores de α 0 y β, α dependerá principalmente de la redundancia de la red. En redes muy
grandes, con muchas observaciones y una redundancia considerable, resulta muy difícil para la prueba
F detectar un solo valor que exceda los límites promedio. Ya que la prueba F es un modelo de prueba
muy general, no es lo suficientemente sensible para tales fines. Como consecuencia del vínculo que
existe entre la prueba F y la prueba W, en las cuales el valor del poder está forzado a 0.80, el nivel de
significancia α de la prueba F se incrementará. Considerando lo anterior, es una práctica común llevar
a cabo el análisis de datos, sin importar cuál sea el resultado de la prueba F.
Durante el análisis de datos, cada observación es probada mediante una hipótesis convencional
alternativa en forma individual. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, se puede formular otra
hipótesis alternativa. SKI-Pro cuenta con una hipótesis especial, con el fin de detectar los errores de
altura de antena en las líneas base GPS. Esta hipótesis se basa en el hecho de que la dirección del error
de antena coincidirá con la dirección de la vertical local. La prueba W para la altura de antena ha
demostrado ser una herramienta muy eficiente al detectar, por ejemplo, errores de lectura de altura de
antena de 10 cm.
2.3.1.3.4. Prueba T.
Como se discutió en el capítulo de la Prueba W , la prueba W es una prueba de una dimensión que
revisa las hipótesis convencionales alternativas. En estas hipótesis se asume que existe una sola
observación incorrecta a la vez. Este análisis de datos trabaja muy bien para observaciones
individuales, por ejemplo direcciones, distancias, ángulos cenitales, acimutes y diferencias de altura.
Sin embargo, para algunas observaciones, tales como líneas base GPS, no es suficiente probar
únicamente los elementos del vector DX-, DY-, DZ- en forma separada. Es necesario probar también
la línea base como un todo.
Con este fin, se introduce la prueba T. Dependiendo de la dimensión de la cantidad que estará sujeta a
prueba, la prueba T será de 3 o 2 dimensiones. Al igual que la prueba W, la prueba T también está
relacionada a la prueba F mediante el método B de prueba. La prueba T tiene el mismo poder que las
otras dos pruebas, pero tiene su propio nivel de significancia y su propio valor crítico (véase el
siguiente ejemplo).
Nivel de significancia α 0
Nivel de significancia α (2 dim)
Valor crítico de la prueba T
0.001
0.003
5.91
0.010
0.022
3.81
0.050
0.089
2.42
Nivel de significancia/valor crítico para la prueba T en 2 dimensiones, basado en α 0 de la prueba W
Nivel de significancia α 0
Nivel de significancia α 0 (3 dim)
Valor crítico de la prueba T
0.001
0.005
4.24
0.010
0.037
2.83
0.050
0.129
1.89
Nivel de significancia/valor crítico para la prueba T en 3 dimensiones, basado en a0 de la prueba W
La prueba T es igualmente útil para probar estaciones conocidas. El análisis de datos probará la
existencia de valores que excedan los límites promedio debidos, por ejemplo, a un error en el ingreso
de datos ya sea en la coordenada X Este, o Y Norte, o Alt. El análisis de datos no podrá detectar la
deformación de una estación si esta se encuentra desplazada en la dirección X Este, Y Norte y Alt. con
valores muy pequeños. Para probar una posible deformación que influye tanto la coordenada X Este, y
Y Norte, y Alt., se requiere una hipótesis alternativa diferente. La prueba T en 3 dimensiones sobre la
tripleta completa de coordenadas, puede encontrar más fácilmente la deformación, aunque no será
capaz de ubicar la dirección exacta en la cual se ha desplazado la estación.
Nota: La situación en la que la prueba W fue aceptada y la prueba T asociada de la observación se rechazó, lo
cual es común en la práctica, no es una contradicción. Se trata únicamente de la prueba de diferentes hipótesis.
2.3.1.3.5. Prueba de altura de antena.
Durante el análisis de datos, cada observación individual es probada mediante una hipótesis
convencional alternativa. Sin embargo, también se pueden establecer otras hipótesis alternativas. En el
Ajuste se implementa una hipótesis especial, con el fin de detectar errores de altura de antena en las
líneas base GPS. Esta hipótesis se basa en el hecho de que la dirección del error de altura de antena
coincide con la dirección de la vertical local. La prueba W para la altura de antena ha demostrado ser
una herramienta muy eficiente al detectar, por ejemplo, errores de lectura de altura de antena de 10 cm.
La prueba de altura de antena siempre se calcula cuando se emplean líneas base GPS. Esta prueba
consiste en tres cálculos de la Prueba W :
• Componente Este
• Componente Norte
• Componente de Altura
La altura de antena será rechazada únicamente si el componente de altura es rechazado y se aceptan los
componentes norte y este.
2.3.2. Cálculos con software científico: Bernesse V 4.2.
Los objetivos de la red ya han sido puestos de manifiesto. Por ese motivo, es de gran importancia
calcularla con software científico, no sólo para integrar la antena activa en el marco ITRF2000 vigente
en la actualidad, sino para comprobar y contrastar los resultados obtenidos y a obtener en futuras
campañas con software comercial.
A diferencia de lo sucedido con el software comercial donde, por disponer de un elevadísimo número
de horas de observación, no se ha llevado a cabo la resolución de ambigüedades, con Bernese 4.2 se
procede a resolverlas. Para ello, se hace un cálculo inicial con la frecuencia L3 (apartado 2.1.3.2.5)
para, posteriormente, proceder a fijar las ambigüedades con el Algoritmo QIF (Quasi Iono Free).
Cabe destacar que los resultados adjuntados como definitivos se corresponden a los obtenidos con
Bernese, ya que han sido los de mayor calidad. No se han calculado en ninguna sesión líneas base
triviales.
Las diferencias halladas entre los datos obtenidos con SKI Pro y Bernese son bastante significativas,
tal y como se expone en la tabla 9.
2.3.2.1. Cálculo de la estación activa en ITRF2000.
Para calcular cualquier red en un marco de referencia, es necesario disponer de al menos una estación
con coordenadas conocidas en dicho marco.
El cálculo de la antena activa de referencia se ha llevado a cabo mediante las estaciones pertenecientes
al IGS siguientes:
ONSA
BRUS
MADR
MATE
GRAS
CASC
WTZR
Para calcular las coordenadas de GFA en el marco ITRF2000, época 2002.9 se han tomado sesiones de
duración diaria para producir una solución semanal, tal y como es habitual en IGS.
Una vez resueltas las líneas base no triviales, se ha compensado la red constreñida a los vértices
BRUS, CASC, WTZR, MATE y los restantes (ONSA, GRAS y MADR) han servido como chequeo a
los cálculos realizados.
Con esta forma de proceder, la precisión global estimada ronda el centímetro.
Figura 20- Estaciones utilizadas para calcular GFA en ITRF2000, época 2002.9.
Las coordenadas finales de GFA, en el marco ITRF2000, época 2002.9 son:
Coordenadas Geodésicas
ϕ:43º 19’ 15,74978’’
λ:1º 58’ 58,63809’’ O
HELIPS.: 82,8644 m
Coordenadas Cartesianas
X:4644833,0652 m
Y:-160817,6784 m
Z:4353575,0764 m
Tabla 5: Coordenadas GFA en ITRF00, época 2002.9.
2.3.2.3. Ajuste de la red en ITRF2000.
Una vez se conocen las coordenadas de GFA en el marco ITRF2000, época de la observación, se pasa
a calcular la campaña en dicho marco.
El ajuste se ha realizado como constreñido únicamente a la estación activa GFA. Como ya se ha
comentado con anterioridad, las líneas base han sido seleccionadas de forma que no se consideren las
triviales. Con Bernese se han procesado los datos semanalmente y los resultados definitivos son
aquellos con las varianzas más pequeñas. Se ha tomado esta decisión por dos motivos:
• Las diferencias entre las soluciones han sido mínimas.
• Según el modelo estocástico, la mejor solución es la que tiene la varianza más pequeña.
Las matrices de varianza - covarianza se adjuntan en el Anexo II.
Respecto a los modelos matemáticos de ajuste, son los ya comentados en el apartado 2.3.1.
2.3.3. Parámetros de transformación.
Los parámetros de transformación son los datos necesarios para pasar de un sistema de referencia,
concretamente ETRS89, a otro que, en este caso, es el ED50. Es importante, antes de entrar en
detalles, realiza una serie de comentarios acerca de los sistema de referencia involucrados en el
presente trabajo. Los resultados se adjuntan en el Anexo V.
A finales del siglo XIX la gran mayoría de paises de Europa disponía de sus propias redes
fundamentales en las cuales se apoyaba la cartografía y la geoinformación. Cada país disponía de su
propio Datum, que en el caso de España era como se define a continuación:
Elipsoide: Struve 1.860:
Semieje mayor (a): 6.378.298 m
Achatamiento (f): 1/295
Punto Fundamental: Madrid (Observatorio Astronómico):
ϕ0: 42º 24’ 29’’70 N
λ0: 00º 00’ 00’’ E
Azimut astronómico fundamental:
Observatorio-Hierro.
Azimutes astronómicos secundarios:
Montjuich-Matas
Lérida-Montsent
Reducto-Lobón
Desierto-Peñagolosa
Tetica-Gigante
San Fernando-Gibalbín
Escala: Base fundamental Madridejos y auxiliares de Arcos de la Frontera, Lugo, Vich, Olite y
Cartagena. Estas bases auxiliares se se ampliaron a los lados de la Red Geodésica Fundamental:
Gibalbín-Algibe, Coba-Pradairo, Rodós-Matagalls, Higa-Vigas y Columbares-Sancti Spiritus,
respectivamente.
Tanto las Redes Geodésicas Nacionales como el Mapa Topográfico Nacional 1/50.000, representado
en proyección poliédrica ó natural, quedaron referidos a este Datum.
2.3.3.1. Datum ED50.
Tras la II Guerra Mundial, e intentando unificar los diversos Datums existentesen Europa, el AMS
(Army Mapping Service ó Servicio Geográfico del Ejercito de Estados Unidos) solicitó se le
remitieran las observaciones y coordenadas de todas las redes. De esta forma, se llevó a cabo una
compensación en bloque, previa definición del Datum Europeo ED50:
Parámetros de Datum ED50 (Antwerpen, 1.979):
Elpsoide: Internacional (Hayford, 1.924):
Semieje mayor (a): 6.378.388 m
Achatamiento (f): 1/297
Punto Fundamental: Postdam (torre de Helmert)
ϕ0: 52º 21’ 51’’45 N
λ0: 13º 03’ 58’’74 E
Desviación de la vertical:
ξ0: 3’’36
η0: 1’’78
α0: Orientación mediante numerosos azimutes Laplace.
N0: No existe información sobre la ondulación del geoide.
Como soporte dinámico, para la definición del campo gravitatorio y como término de comparación
para las medidas de la gravedad, se eligió una superficie de gravedad normal, simétrica respecto al eje
de rotación, siendo esta un elipsoide de equipotencial, caracterizada por la fórmula internacional de la
gravedad (Cassinis-Silva-Heiskanen, 1.930):
γ = 9,78094 ⋅ (1 + 0,0052884 ⋅ sen 2 ϕ − 0,0000059 ⋅ sen 2 2ϕ ) m ⋅ s −2
En 1.973 se adoptó un proceso similar para unificar las líneas de nivelación europeas, fijándose en el
mareógrafo de Amsterdam el origen.
2.3.3.2. WGS84 (World Geodetic System, 1984).
La necesidad de sistemas y marcos de referencia geodésicos globales está fuera de toda discusión. Uno
de los primeros marcos definidos fue el WGS60 (World Geodetic System, 1964), definido por el DoD
(Department of Defense). Tras este primer marco de referencia, siguieron el WGS66 y WGS72, hasta
llegar al desarrollo del WGS84. Éste Sistema CTRS (Conventional Terrestrial Referenca System),
proporciona un conjunto de modelos y definiciones básicas para la navegación, geodesia y cartografía
mundiales. Consta de un sistema coordenado cartesiano rectangular 3D de la forma:
Origen coincidente (± 2m) con el centro de masas de la Tierra, incluidos océanos y atmósfera.
Eje Z en dirección del Polo CTP (Conventional Terrestrial Pole), definido por el BIH
(Bureau Internationel de l’Heure) para la época 1984.0.
El eje X es la intersección del plano Meridiano Cero de referencia definido por el BIH para la
época 1984.0 y el plano del ecuador CTP.
El eje Y completa un sistema de coordenadas ortogonal dextrorsum.
Semieje mayor del elipsoide de referencia (a)= 6378137 m
Segundo armónico zonal normalizado del potencial gravitacional de la Tierra:
C 2, 0 = −484.16685 ⋅ 10 −6
Velocidad angular media de rotación de la Tierra (ω)=7292115·10-11 rad/s.
Producto de la constante gravitacional por la masa de la Tierra (GM)= 3986004.418·108 m3·s2
.
El marco de referencia original WGS84 se estableció mediante un total de 1.591 estaciones Doppler, lo
que limitó la precisión de dicho marco a ±1-2m, si bien, por exigencias tanto civiles como militares, se
ha refinado hasta 0.1 m.
2.3.3.3. El IERS (International Earth Rotation Service).
En 1987, la IUGG (International Union of Geodesy and Geophysics) y la IAU (International
Astronomy Union) crearon el IERS, para proporcionar sistemas y marcos de referencia, así como datos
precisos sobre la rotación de la Tierra. Estableció sistemas de referencia terrestre (ITRS) y celeste
(ICRS) internacionales, así como los marcos de referencia terrestre (ITRF) y celeste (ICRF)
internacionales, controlando regularmente los movimientos relativos de estos dos marcos mediante
técnicas VLBI y LLR. De esta forma, VLBI proporciona un marco de referencia absoluto, mientras que
SLY, GPS, y DORIS permiten obtener valores diarios del movimiento del polo.
En 1989, ya se disponía de una red de estaciones con precisión centimérica, por lo que, cada año, el
IERS, calcula una nueva solución global, denominada ITRFYY, correspondiendo YY a la época:
ITRF96, publicada en Marzo de 1998, correspondería a la época 1997.0.
2.3.3.4. Campaña EUREF GPS 89.
Debido a la necesidad de un preciso Sistema de Referencia Terrestre Europeo (ETRS), se constituyeron
el Grupo de Trabajo VIII y la Subcomisión EUREF, para obtenerlo lo antes posible. Debido a que en
la parte estable de Europa la precisión de las estaciones era de centímetros, se definió el marco de
referencia ETRF89 coincidente con ITRS en la época 1989.0.
En mayo de 1989, para densificar la red de 36 estaciones, se diseñó la campaña EUREF GPS 89,
diseñada para determinar un total de 93 estaciones.
Dado que, como se ha comentado anteriormente, el IERS publica anualmente las coordenadas de las
estaciones, se hace necesario referir todas las observaciones al marco ETRF89.
2.3.3.5. Cálculo de una campaña GPS referida a ETRS89.
El objetivo es procesar datos en el Sistema de Referencia ETRS89, adoptado de forma habitual en
Europa, sacando el máximo partido de los datos facilitados por el IGS (International GPS Service for
Geodynamics), como son posiciones y efemérides precisas, que están referidos a la época actual.
Para obtener los mayores beneficios en los cálculos, es preciso partir de los sucesivos resultados
obtenidos por el IERS para cada ITRS, conocidos como ITRF-YY, que son publicados anualmente.
Estos resultados consisten en una serie de coordenadas de las estaciones de referencia, junto con:
•
•
Posiciones para la época t0.
Velocidades.
De esta forma, la posición dada para la época t, será:
XYY(t)= XYY(t0)+VYY ·(t- t0).
Para obtener resultados en ETRS89, para la época tc:
X ETRS 89 = X YY (t c ) + T YY + R YY ⋅ X YY (t c ) ⋅ (Tc − 1989.0 )
3.- Resultados.
A continuación se adjuntan los resultados obtenidos. Para ver con un mayor detalle todos los
parámetros obtenidos, véase el Anexo II; asimismo, véase el Anexo V para ver los resultados
definitivos. Cabe destacar, sin embargo, que no se adjuntan los ficheros de ajuste de Bernese, pues su
gran extensión lo hace imposible. Se adjuntan, eso sí, las matrices de varianza - covarianza de las
coordenadas semanales en el Anexo II.
En la tabla 6 se muestran las elipses de error de la red de estaciones activas y pasivas, con software
convencional. Nótese que se han realizado dos ajustes, uno con la red de puntos de control y otro con
la red de estaciones pasivas, constreñida a la red de puntos de control. Este hecho se puede consultar
con mayor detalle en el Anexo II.
En la figura 21 se muestra una gráfica donde se aprecian las estaciones de la red con sus precisiones
obtenidas con el programa Ski-Pro:
Figura 21.- Red de estaciones activas y pasivas: elipses de error y fiabilidades.
En el Anexo V se adjuntan las coordenadas definitivas de las estaciones.
Estación
Latitud
Longitud
Altura
Fiab.
Lat.
Fiab.
Lon.
Fiab.
Alt.
AITZORROTZ
43° 00' 05.99523" N 2° 32' 25.11507" W 789.8836 0.0019 0.0031 0.0036
AMETZMENDI
43° 15' 56.83001" N 2° 10' 38.71299" W 240.3969 0.0022 0.0036 0.0041
ARRATE
43° 12' 25.35028" N 2° 26' 59.83089" W 629.6972 0.0028 0.0049 0.0055
ARTXUETA
42° 57' 08.81811" N 1° 57' 54.45318" W 1395.9420 0.0044 0.0078 0.0087
AÑUGAÑA
43° 09' 15.90967" N 2° 14' 01.32205" W 379.9737 0.0020 0.0034 0.0038
BELAR
43° 00' 16.65538" N 2° 25' 19.97892" W 948.2037 0.0023 0.0035 0.0042
BIANDITZ
43° 14' 48.74883" N 1° 47' 26.70429" W 894.5210 0.0040 0.0068 0.0079
GARAGARTZA
43° 03' 26.29116" N 2° 04' 36.17881" W 406.1264 0.0018 0.0030 0.0035
GFA
43° 19' 15.74051" N 1° 58' 58.64817" W 82.7933
0.0027 0.0047 0.0053
INTXORTA TXIKI 43° 07' 42.17876" N 2° 29' 37.91511" W 765.1228 0.0018 0.0030 0.0035
ITURREGI
43° 07' 30.88908" N 2° 01' 06.86277" W 854.5028 0.0037 0.0062 0.0071
ITXUMENDI
43° 07' 39.71446" N 2° 22' 25.74952" W 775.3406 0.0036 0.0060 0.0068
LARREZKONDO
42° 56' 58.78522" N 2° 13' 54.90502" W 765.1868 0.0048 0.0078 0.0091
MENDIZORROTZ 43° 17' 52.25525" N 2° 04' 00.91723" W 464.7857 0.0033 0.0058 0.0064
OITZ
43° 13' 39.28687" N 2° 35' 28.77063" W 1076.9691 0.0035 0.0058 0.0067
ONDDY
43° 13' 57.93136" N 1° 57' 03.61413" W 596.3548 0.0016 0.0027 0.0032
PAGOETAGAÑA
43° 17' 17.42243" N 2° 17' 27.58279" W 281.1744 0.0042 0.0071 0.0080
SAN TELMO
43° 23' 05.19984" N 1° 47' 52.98433" W 166.2520 FIJO
FIJO
FIJO
URBINA
42° 56' 41.42270" N 2° 37' 09.28783" W 749.2815 0.0038 0.0060 0.0071
USURBE
43° 03' 56.55030" N 2° 12' 13.75722" W 757.4680 0.0044 0.0071 0.0078
ZUBELTZU
43° 19' 15.39390" N 1° 48' 19.89291" W 266.3425 0.0017 0.0028 0.0032
Tabla 6: Coordenadas y fiabilidades obtenidas tras el ajuste con SKI, en ETRS89, fijando San Telmo.
Las coordenadas presentadas en la tabla 6 han sido obtenidas a partir del ajuste constreñido a San
Telmo, cuyas coordenadas han sido obtenidas de la publicación “Iberia 95, red peninsular de orden
cero”, del IGN. Se ha realizado de esta forma por ser la única estación con coordenadas ETRS89
precisas de la zona.
A la vista de la figura 21 y, más concretamente, de la tabla 6, se aprecia que los resultados obtenidos
son de una enorme precisión. Concretamente se trata de una red con una precisión mejor que un
centímetro en el momento de la observación.
Sin embargo, los resultados obtenidos con Bernese proporcionan discrepancias superiores a las
estimadas. En la tabla 7 se adjunta la relación de estaciones con coordenadas y precisiones obtenidos
con Bernese, consideradas como definitivas. En la tabla 8, se muestran las coordenadas obtenidas con
los dos programas, referidas a ITRF00.
Estación
Latitud
Longitud
Altura
Fiab.
Lat.
Fiab.
Lon.
Fiab.
Alt.
AITZORROTZ
43 0 6.004521 N
2 32 25.105206 W 789.9158 0.0008 0.0007
AMETZMENDI
43 15 56.839405 N 2 10 38.703050 W 240.4518 0.001
0.0007
ANUGANA
43 9 15.918881 N 2 14 1.312263 W
380.0219 0.0009 0.0007
ARRATE
43 12 25.359663 N 2 26 59.820974 W 629.713
0.0011 0.0008
ARTXUETA
42 57 8.827367 N 1 57 54.443548 W 1396.0167 0.0008 0.0006
BELAR
43 0 16.664476 N 2 25 19.968793 W 948.2397 0.0009 0.0007
BIANDITZ
43 14 48.757948 N 1 47 26.694210 W 894.599
0.0007 0.0005
GARAGARTZA
43 3 26.300403 N 2 4 36.169074 W
406.2042 0.0008 0.0006
GFA
43 19 15.749780 N 1 58 58.638092 W 82.8644
FIJO
FIJO
INTXORTA TXIKI 43 7 42.187837 N 2 29 37.904939 W 765.1736 0.0011 0.0009
ITURREGI
43 7 30.898255 N 2 1 6.852585 W
854.557
0.0009 0.0006
ITXUMENDI
43 7 39.723652 N 2 22 25.739608 W 775.3845 0.0006 0.0005
LARREZKONDO
42 56 58.794435 N 2 13 54.895258 W 765.2199 0.0008 0.0006
MENDIZORROTZ 43 17 52.264470 N 2 4 0.906918 W
464.8197 0.0006 0.0004
OITZ
43 13 39.296060 N 2 35 28.760683 W 1077.0376 0.0008 0.0007
ONDDY
43 13 57.940672 N 1 57 3.604008 W
596.4085 0.0008 0.0006
PAGOETAGANA
43 17 17.431691 N 2 17 27.572799 W 281.2192 0.0008 0.0007
SAN TELMO
43 23 5.209051 N 1 47 52.974307 W 166.344
0.0006 0.0005
URBINA
42 56 41.432017 N 2 37 9.278024 W
749.2944 0.0009 0.0007
USURBE
43 3 56.559468 N 2 12 13.747449 W 757.5017 0.0009 0.0006
ZUBELTZU
43 19 15.403209 N 1 48 19.882725 W 266.3885 0.0008 0.0006
Tabla 7: Resultados obtenidos con Bernese, en ITRF00, época 2002.9.
0.0039
0.0045
0.0041
0.0053
0.0036
0.0041
0.0034
0.0038
FIJO
0.0052
0.0038
0.0027
0.0037
0.0028
0.0038
0.0039
0.0035
0.0028
0.0036
0.0042
0.0038
Las discrepancias entre esta solución y la presentada en la tabla 6 se debe a que las coordenadas de la
tabla 6 se han calculado en ETRS89, con San Telmo como estación fija, mientras que los resultados
presentados en la tabla 7 son los obtenidos en ITRF00, época 2002.9. Las coordenadas definitivas se
adjuntan en los Anexos I y V.
Coordenadas SKI-Pro, ITRF00, época 2002.9
Coordenadas Bernese, ITRF00, época 2002.9
Estación
X
Y
Z
X
Y
Z
AITZORROTZ
4667813.030 -207091.237 4328176.036 4667813.004 -207091.238 4328176.011
AMETZMENDI
4648581.584 -176745.626 4349215.111 4648581.571 -176745.628 4349215.102
ARRATE
4652438.482 -199058.200 4344726.801 4652438.441 -199058.200 4344726.766
ARTXUETA
4673825.572 -160365.141 4324588.331 4673825.576 -160365.149 4324588.334
AÑUGAÑA
4656972.501 -181645.881 4340292.571 4656972.487 -181645.886 4340292.554
BELAR
4668121.438 -197465.299 4328524.625 4668121.419 -197465.294 4328524.598
BIANDITZ
4651583.852 -145430.078 4348133.060 4651583.860 -145430.078 4348133.061
GARAGARTZA
4664840.126 -169153.493 4332432.909 4664840.133 -169153.500 4332432.914
GFA
4644833.065 -160817.678 4353575.076 4644833.065 -160817.678 4353575.076
INTXORTA TXIKI 4658356.668 -202888.297 4338445.160 4658356.661 -202888.293 4338445.146
ITURREGI
4660182.660 -164249.441 4338251.958 4660182.650 -164249.437 4338251.945
ITXUMENDI
4658830.936 -193130.142 4338396.641 4658830.920 -193130.143 4338396.621
LARREZKONDO 4672777.689 -182116.772 4323931.903 4672777.664 -182116.776 4323931.877
MENDIZORROTZ 4646636.379 -167698.003 4351962.263 4646636.354 -167697.997 4351962.236
OITZ
4650697.735 -210481.140 4346696.119 4650697.738 -210481.141 4346696.116
ONDDY
4652015.649 -158468.868 4346786.210 4652015.636 -158468.866 4346786.199
PAGOETAGAÑA 4646548.061 -185892.983 4351053.889 4646548.044 -185892.983 4351053.871
SAN TELMO
4640529.554 -145676.295 4358781.594 4640529.569 -145676.297 4358781.607
URBINA
4671792.863 -213717.241 4323528.834 4671792.823 -213717.242 4323528.796
USURBE
4664072.749 -179486.914 4333355.101 4664072.726 -179486.919 4333355.074
ZUBELTZU
4645449.614 -146437.375 4353693.225 4645449.594 -146437.373 4353693.208
Tabla 8: Coordenadas obtenidas con SKI-Pro y Bernese en ITRF00, época 2002.9.
La tabla 9, presenta las discrepancias entre las dos soluciones: convencional y científica. Cabe reseñar
que las coordenadas se presentan en ITRF00, con las coordenadas presentadas en la tabla 6
transformadas a dicho marco.
DIFERENCIAS
DX
Estación
DY
AITZORROTZ
AMETZMENDI
ARRATE
ARTXUETA
AÑUGAÑA
BELAR
BIANDITZ
GARAGARTZA
GFA
INTXORTA TXIKI
ITURREGI
DZ
DIFERENCIAS
DX
Estación
DY
0.025 0.001 0.025
ITXUMENDI
0.016
0.014 0.002 0.008
LARREZKONDO
0.024
0.041 0.000 0.035
MENDIZORROTZ
0.025
-0.004 0.009 -0.003
OITZ
-0.003
0.014 0.005 0.017
ONDDY
0.013
0.019 -0.004 0.027
PAGOETAGAÑA
0.018
-0.008 0.000 -0.002
SAN TELMO
-0.015
-0.007 0.007 -0.005
URBINA
0.040
USURBE
0.023
0.008 -0.005 0.018
ZUBELTZU
0.020
0.009 -0.003 0.013
Tabla 9: Discrepancias entre la solución Bernese y la Ski-Pro.
0.001
0.004
-0.007
0.001
-0.002
0.000
0.002
0.001
0.004
-0.003
DZ
0.020
0.026
0.027
0.003
0.011
0.018
-0.013
0.038
0.027
0.016
A la vista de las comparaciones de los resultados, podemos decir que son discrepancias admisibles, ya
que se trata de coordenadas absolutas. Estas diferencias no se corresponden con los resultados de
precisión obtenidos tras el ajuste, pero cabe reseñar que los ajustes proporcionan precisiones bajo una
serie de criterios de regiones de confianza. Además, las distancias entre las estaciones observadas son
elevadas, por lo que las discrepancias están dentro de lo esperado.
Concretamente, las diferencias medias entre ambas soluciones son de 0.013 m, 0.001m y 0.015 m para
las componentes X, Y, Z respectivamente.
Adicionalmente, la tabla 9 muestra un patrón o guía de las precisiones que pueden ser tanto exigidas
como obtenidas en los futuros trabajos de alta precisión calculados con programas convencionales,
realizados con técnicas GPS en el Territorio Histórico de Gipuzkoa.
3.1. Cálculo de los parámetros de transformación.
El objetivo perseguido es el de unificar los parámetros para todo el Territorio, de forma que el usuario
final pueda disponer de coordenadas en ambos sistemas de manera directa, única y común.
Para llevar a cabo los cálculos, se han utilizado las coordenadas ETRS89 calculadas en esta campaña y
las ED50 facilitadas por el IGN, que se adjuntan el Anexo I. Sin embargo, cabe reseñar que las
coordenadas ETRS89 de esta campaña se han obtenido a partir de las coordenadas ETRS89 de la red
REGENTE, ya que no se dispone de velocidades para las estaciones GPS activas y pasivas. Además se
garantiza la homogeneidad de los resultados con los territorios limítrofes, que se apoyan en esta red.
Los resultados obtenidos son muy buenos, ya que hay que tener presente que abarcan una zona de
extensión mayor que el Territorio Histórico de Guipúzcoa.
La totalidad de los parámetros de transformación se adjuntan en el Anexo IV.
3.1.1. Parámetros de transformación ITRF2000 (época 2002.9) a ETRS89.
Con el fin de facilitar los cálculos y la obtención directa de coordenadas en el sistema ED50, se
adjuntan los parámetros de transformación de ITRF00, época 2002,9 a ED50. Estos parámetros son
válidos únicamente para el Territorio Histórico de Gipuzkoa. Se recomienda utilizar estos parámetros
con extrema cautela, pues si bien las discrepancias entre los resultados con unos u otros parámetros no
serán importantes, no es el proceder habitual.
Sin embargo, para homogeneizar los resultados se recomienda utilizar en todos los casos los
parámetros de ETRS89 a ED50, por ser ETRS89 un sistema de referencia común en las campañas
GPS.
3.1.2. Parámetros de transformación ETRS89 a ED50.
Los parámetros a utilizar para obtener los resultados más homognéneos son los presentados en este
apartado. Tal y como se ha adelantado en párrafos anteriores, se han llevado a cabo dos
transformaciones:
ITRF00, época 2002,9 a ETRS89: ambos en WGS84, necesarios para obtener las coordenadas de la
red de estaciones GPS activas y pasivas en ambos sistemas de referencia. Se han utilizado las
estaciones REGENTE, por disponer de coordenadas ETRS89.
ETRS89 a ED50.
Como se puede apreciar tras examinar los dos parámetros adjuntos en el Anexo IV, los residuos
obtenidos tanto en la transformación ITRF00 a ED50 como ETRS89 a ED50 son idénticos. Esto se
debe a que la transformación ITRF00 a ETRS89 en la zona objeto de estudio es prácticamente una
traslación: las rotaciones y el factor de escala son prácticamente despreciables. Esto es lo que hace que
sea posible haber calculado en primer lugar una red en ETRS89 fijando San Telmo y posteriormente
otra fijando GFA en ITRF00. Sin embargo, se recomienda utilizar directamente los parámetros de
transformación ETRS89 a ED50, ya que en los posibles enlaces geodésicos con los Territorios
limítrofes se garantizará la correcta transmisión de los mismos.
Independientemente de los parámetros a utilizar y, vistos los residuos obtenidos en cualquiera de
ambos, se puede decir que se ha conseguido la unificación de parámetros de transformación para la
totalidad del Territorio Histórico de Gipuzkoa al menos para las componentes planimétricas.
Analizando los residuos se comprueba que, si bien inicialmente pueden parecer algo elevados en los
bordes, en las estaciones de la zona central (Iturregi e Itxumendi), la precisión ronda los 15 cm, lo cual
es muy significativo.
Si bien es posible determinar parámetros más precisos disminuyendo las zonas, no se cree conveniente,
ya que se tendrá, por un lado, el inconveniente de cambio de zona y, por otro, la ventaja de obtener
precisiones absolutas algo menores, pero unificadas, siempre sin perder la precisión interna de las
futuras observaciones.
4.- Conclusiones.
A la vista de los resultados podemos concluir el trabajo diciendo que los objetivos iniciales han sido
sobradamente cumplidos. Se puede afirmar que el Territorio Histórico de Gipuzkoa cuenta en la
actualidad con una red de estaciones GPS activas y pasivas de precisión muy elevada, difícilmente
alcanzable con técnicas y metodologías convencionales.
Se ha conseguido que en todo el Territorio se disponga de una estación GPS de fácil acceso con
precisión milimétrica, garantizada con un centrado forzoso. Este hecho hace que, mediante la
metodología correcta de cálculo, sea posible determinar en toda la Provincia, posiciones de una
elevadísima precisión con un escaso coste. Además, al considerar estaciones REGENTE de los
Territorios adyacentes, se garantizan en todo momento los enlaces geodésicos tanto en ETRS89 (GPS)
como en ED50 (geodesia clásica, en las componentes planimétricas).
En definitiva y, como conclusión final, se puede decir que el Territorio Histórico de Gipuzkoa cuenta
con una red de estaciones GPS activas y pasivas de precisión tal que debe ser el “esqueleto” en el que
se apoye toda la geoinformación generada en el Territorio. La red de estaciones GPS activas y pasivas
del Territorio Histórico de Gipuzkoa es funcional no sólo a nivel local, sino que, al estar integrada en
ITRF00 con precisión centimétrica, puede ser el soporte de todas las campañas geodésicas en los
diferentes marcos de referencia, a excepción de las altimétricas.
Sin embargo, tras la comparación de los resultados obtenidos tanto con software convencional como
con software científico, hace tratar, en un futuro, las observaciones con extrema cautela, a fin de evitar
la pérdida de precisión de la red de estaciones GPS activas y pasivas por procesamientos incorrectos.
En este aspecto, este hecho ya se ha puesto de manifiesto en campañas de similares características,
siendo la más destacable “Monitoring the deformation of Guntur Volcano using repeated GPS survey
method”, H. Z. Abidin et. Al.
La red de estaciones GPS activas y pasivas del Territorio Histórico de Gipuzkoa será el marco de
referencia de precisión para la geodesia tetradimensional a realizar en el Territorio Histórico de
Gipuzkoa.