Pág. 65 - IES Reyes Católicos

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 4
PÁGINA 65
1
Resuelve:
a) 3x 4 – 12x 2 = 0
c) 7x 4 – 112 = 0
e) 3x 4 + 75x 2 = 0
g) x 4 – 9x 2 + 20 = 0
b) 7x 4 = 63x 2
d) 4x 4 – 5x 2 + 1 = 0
f ) x 4 – 10x 2 + 9 = 0
h)x 4 + 5x 2 + 4 = 0
a) 3x 4 – 12x 2 = x 2(3x 2 – 12) = 0
x=0
x = ±2
Soluciones: x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2
b) 7x 4 – 63x 2 = x 2(7x 2 – 63) = 0
x=0
x = ±3
Soluciones: x1 = 0, x2 = 3, x3 = –3
c) 7x 4 – 112 = 0 8 x 4 = 16 8 x 2 = 4 8 x = ±2
Soluciones: x1 = 2, x2 = –2
d) Hacemos el cambio z = x 2.
4z 2 – 5z + 1 = 0 8 z =
5 ± √ 25 – 16 5 ± 3
=
=
8
8
1
1/4
Si z = 1 8 x = ±1
Si z = 1 8 x = ± 1
4
2
Soluciones: x1 = 1, x2 = –1, x3 = 1 , x4 = – 1
2
2
e) 3x 4 + 75x 2 = x 2(3x 2 + 75) = 0
Solución: x = 0
x=0
x 2 = –75/3. Sin solución.
f ) Hacemos el cambio z = x 2.
z 2 – 10z + 9 = 0 8 z =
10 ± √ 100 – 36 10 ± 8
=
=
2
2
Si z = 9, x = ±3.
Si z = 1, x = ±1.
Soluciones: x1 = 3, x2 = –3, x3 = 1, x4 = –1
g) Hacemos el cambio z = x 2.
z 2 – 9z + 20 = 0 8 z =
9 ± √ 81 – 80 9 ± 1
=
=
2
2
Si z = 5, x = ± √5 .
Si z = 4, x = ±2.
Soluciones: x1 = √5 , x2 = – √5 , x3 = 2, x4 = –2
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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1
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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h) Hacemos el cambio z =
z 2 + 5z + 4 = 0 8 z =
x 2.
–5 ± √ 25 – 24 –5 ± 1
=
=
2
2
–3
–2
En ninguno de los dos casos hay solución para x.
2
Invéntate una ecuación que tenga por soluciones los valores 3, –3, √7 y – √7.
Por ejemplo:
(x – 3)(x + 3)(x – √7 )(x + √7 ) = 0
3
(x 2 – 9)(x 2 – 7) = 0
Escribe una ecuación cuyas soluciones sean 5, 0, 3 y –2.
Por ejemplo:
x(x – 5)(x – 3)(x + 2) = 0
4
x 4 – 6x 3 – x 2 + 30x = 0
Resuelve:
a) √4x + 5 = x + 2
b) √x + 2 = x
c) x – √2x – 3 = 1
d) √x + 4 – √6 – x = –2
a) Elevamos al cuadrado ambos miembros:
4x + 5 = (x + 2)2 8 4x + 5 = x 2 + 4x + 4 8 x 2 – 1 = 0 8 x = ±1
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial:
√4 · 1 + 5 = 1 + 2 8 x = 1 es válida.
√– 4 + 5 = 1 8 x = –1 es válida.
Soluciones: x1 = 1, x2 = –1
b) √x = x – 2. Elevamos al cuadrado ambos miembros:
5 ± √ 25 – 16 5 ± 3
=
=
2
2
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial:
x = x 2 – 4x + 4 8 x 2 – 5x + 4 = 0 8 x =
√4 = 4 – 2 8 x = 4 es válida.
√1 ? 1 – 2 8 x = 1 no es válida.
Solución: x = 4
c) x – 1 = √2x – 3 . Elevamos al cuadrado ambos miembros:
4 ± √ 16 – 16
=2
2
Comprobamos la solución sobre la ecuación inicial:
x 2 – 2x + 1 = 2x – 3 8 x 2 – 4x + 4 = 0 8 x =
2 – 1 = √4 – 3 . Es válida.
Solución: x = 2
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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d) √x + 4 = √6 – x – 2. Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x + 4 = (6 – x) + 4 – 4√6 – x 8 2x – 6 = – 4√6 – x
Volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros:
4x 2 – 24x + 36 = 16(6 – x) 8 4x 2 – 24x + 36 = 96 – 16x 8
8 4x 2 – 8x – 60 = 0 8 x 2 – 2x – 15 = 0
x=
2 ± √ 4 + 60 2 ± 8
=
=
2
2
5
–3
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial:
√5 + 4 ? √6 – 5 – 2 8 3 ? –1 8 x = 5 no es válida.
√–3 + 4 = √6 + 3 – 2 8 1 = 3 – 2 8 x = –3 es válida.
Solución: x = –3
5
Resuelve estas ecuaciones:
a)
x + 2x = 3
x–1 x+1
b) 5 + x = 3
x+2 x+3 2
c) 1 + 12 = 3
x x
4
d) x + 1 + 1 – x = 5
x+5 x–4 2
2
e) x + 7 + x 2 – 3x + 6 = 1
x + 3 x + 2x – 3
f ) x2 + 1 + x – 1 = 2
x
x – 2x
a) x(x + 1) + 2x(x – 1) – 3(x – 1)(x + 1) = 0
x 2 + x + 2x 2 – 2x – 3x 2 + 3 = 0
–x + 3 = 0 8 x = 3
Comprobamos sobre la ecuación original: 3 + 6 = 3 8 es válida.
2 4
Solución: x = 3
b) 10(x + 3) + 2x(x + 2) – 3(x + 2)(x + 3) = 0
10x + 30 + 2x 2 + 4x – 3x 2 – 15x – 18 = 0
–x 2 – x + 12 = 0 8 x 2 + x – 12 = 0 8 x =
–1 ± √ 1 + 48 –1 ± 7
=
=
2
2
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación original:
5 + 3 = 1 + 1 = 3 8 x = 3 es válida.
3+2 3+3
2 2
5 + – 4 = –5 + 4 = 3 8 x = – 4 es válida
–2 –1
2
2
Soluciones: x1 = 3, x2 = –4
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
–4
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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c) 4x + 4 –
x=
3x 2
=0 8
3x 2
– 4x – 4 = 0
4 ± √ 16 + 48 4 ± 8
=
=
6
6
2
–2/3
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación original:
1 + 1 = 3 8 x = 2 es válida.
2 4 4
– 3 + 9 = – 3 ? 3 8 x = – 2 no es válida
2 4
4 4
3
Solución: x = 2
d) 2(x + 1)(x – 4) + 2(1 – x)(x + 5) – 5(x + 5)(x – 4) = 0
2x 2 – 6x – 8 – 2x 2 – 8x + 10 – 5x 2 – 5x + 100 = 0
5x 2 + 19x – 102 = 0 8 x =
–19 ± √ 361 + 2 040 –19 ± 49
=
=
10
10
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial:
3 + 1 + 1 – 3 = 4 + 2 = 20 = 5 8 x = 3 es válida.
3+5 3–4 8
8
2
–29/5 + 39/5 = 29 – 39 = 135 = 5 8 x = – 34 es válida.
–9/5
–54/5
9 54 54 2
5
Soluciones: x1 = 3, x2 = – 34
5
e) Observamos que x 2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1).
(x + 7)(x – 1) + (x 2 – 3x + 6) = x 2 + 2x – 3
x 2 + 6x – 7 + x 2 – 3x + 6 – x 2 – 2x + 3 = 0
x 2 + x + 2 = 0. Esta ecuación no tiene soluciones.
f ) x + 1 + (x – 1)(x – 2) – 2(x 2 – 2x) = 0
x + 1 + x 2 – 3x + 2 – 2x 2 + 4x = 0
x 2 – 2x – 3 = 0 8 x =
2 ± √ 4 + 12 2 ± 4
=
=
2
2
3
–1
Comprobamos las soluciones sobre la ecuación inicial:
4 + 2 = 6 = 2 8 x = 3 es válida.
3 3 3
0 + –2 = 2 8 x = –1 es válida.
3 –1
Soluciones: x1 = 3, x2 = –1
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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–34/5