Análisis de la varianza

LLIÇÓ 8. ANÀLISI DE LA VARIÀNCIA
Experiments estadístics
El propòsit d’un experiment és determinar l’efecte d’una o més variables
independents sobre una o diverses variables dependents, controlant i neutralitzant
la influència que altres factors poden exercir sobre la variable que es vol estudiar.
V a ria b le
In d e p e n d e n t
E
F
E
C
T
E
C o n tro l
V a ria b le s
E x te rn e s
V a ria b le
dependent
L’experimentació és un procediment científic de contrastació d’hipòtesis sobre
qualsevol àrea del coneixement humà.
Fases
1. Formulació del problema.
2. Identificació de la variable dependent.
3. Identificació de la o les variables independents.
4. Elecció dels nivells o tractaments.
5. Elecció de les unitats experimentals.
6. Eliminació o control de les variables externes.
72
Anàlisi de la variància
És una tècnica d’anàlisi estadística que permet comprovar si la diferència de
mitjanes de més de dues poblacions és significativa o si les diferències
observades poden assignar-se a fluctuacions del mostreig.
El propòsit de l’anàlisi de la variància és analitzar la variabilitat de la variable
dependent i assignar components d’aquesta variabilitat a les variables
independents, més un residu que és l’error aleatori.
Variabilitat de la variable dependent
Variabilitat de la variable independent 1
Variabilitat de la variable independent 2
Variabilitat de la variable independent …
Variabilitat de la variable independent n
Variabilitat aleatòria o error
La variabilitat o dispersió es mesura mitjançant la suma de quadrats de les
desviacions.
N
SQ = ∑( yi − y )
2
i=1
Variació total = variació entre grups (var. ind.) + variació intragrup. (Var. error)
Models d’anàlisi de la variància
N’hi ha molts, de models. Estudiem només els dos següents:
1. Model d’un factor d’efectes fixos completament aleatoritzat. (Una variable
independent).
2. Model d’un factor d’efectes fixos aleatoritzat en blocs. (Dues variables
independents).
Model d’un factor d’efectes fixos completament aleatoritzat
Donats diversos grups, a cada un se li assigna un tractament. Es calcula la mitjana
de cada grup. Això fa que cada grup tingui una mitjana diferent per a la mateixa
variable. La qüestió és si aquestes mitjanes són significativament diferents o si les
diferències són degudes a l’atzar.
73
Situació experimental
Nivell 1
Nivell 2
Nivell 3
Variable
independent
Grup 1
Grup 2
Grup 3
Variable
dependent
ANOVA
UNIDIRECCIONAL
Hipòtesi
nul.la
Hipòtesi
alternativa
Contrast
F
Hipòtesis que s’han de contrastar:
H0= µ1=µ2= µ3=…
H1= µ1≠µ2≠ µ3≠…
A priori se suposa que en les dades hi ha dues variacions:
Variació deguda als tractaments o entre grups i variació deguda a l’atzar o
intragrup.
Origen
Suma quadrats
Graus
Mitjanes
F
llibertat
quadràtiques
2
Tractament
entre grups
Intragrups
2
 nj

 N

 ∑ xij 
x


∑
k


r
i =1
 −  k =1 
SQE = ∑ 
nj
N
j =1
SQI = SQT - SQE
74
r-1
SQE/(r-1) =MQE
N-r
SQI/(N-r) = MQI
F=MQE/MQI
Total
 N

 ∑ xk 
N
SQT = ∑ x k2 −  k =1 
N
k =1
2
Resum del model ANOVA d’un factor d’efectes fixos completament
aleatoritzat
1. Hipòtesi:
H0: µ1 = µ2 = ... = µr
H1: µ1 ≠ µ2 ≠ ... ≠ µr
2. Supòsits:
• Les mostres són aleatòries i independents.
• Les poblacions són normals.
• Les poblacions tenen la mateixa variància (homoscedasticitat).
3. Estadístic de contrast:
F = MQE/MQI
4. Decisió:
Si F > Fα (r-1)(N-r) rebutjarem H0.
5. Conclusió.
Si rebutgem H0, les mitjanes de les poblacions no són iguals, és a dir, hi ha
diferències significatives en els tractaments.
Model d’un factor d’efectes fixos, aleatoritzat en blocs
•
S’aplica quan tenim dues variables independents per analitzar.
•
En aquest cas s’han de verificar dues hipòtesis, una per a cada variable
independent:
H0: µ1 = µ2 = ... = µr
H1: µ1 ≠ µ2 ≠ ... ≠ µr
H0: µ1 = µ2 = ... = µn
H1: µ1 ≠ µ2 ≠ ... ≠ µn
75
Origen
Suma quadrats
Graus
llibertat
Mitjanes
quadràtiques
F
r-1
SQE/(r-1)=MQE
Fj=MQE/MQI
n-1
SQB/(n-1)=MQB
Fk=MQB/MQI
(r-1)(n-1)
SQI/((r-1)(n-1))=
MQI
2
Tractament
entre grups
2
 nj

 N

 ∑ xij 
 ∑ xk 

r 
i =1
k =1



SQE = ∑
−
n
N
j =1
j
2
Blocs
entre grups
 r

 N

x


 ∑ xk 
∑
ij
nj
 −  k =1 
SQB = ∑  1
r
N
i =1
Intragrups
SQI = SQT – (SQE+SQB)
Total
 N

 ∑ xk 
N
SQT = ∑ x k2 −  k =1 
N
k =1
2
2
Resum del model ANOVA d’un factor d’efectes fixos aleatoritzat en blocs
1. Hipòtesi:
H0: µ1 = µ2 = ... = µr
H1: µ1 ≠ µ2 ≠ ... ≠ µr
H0: µ1 = µ2 = ... = µn
H1: µ1 ≠ µ2 ≠ ... ≠ µn
2. Supòsits:
• Les mostres són aleatòries i independents.
• Les poblacions són normals.
• Les poblacions tenen la mateixa variància (homoscedasticitat).
3. Estadístics de contrast:
Ft = MQE/MQI
Fb = MQB/MQI
4. Decisió:
Si Ft > Fα (r-1),(r-1)(n-1) rebutjarem H0.
76
Si Fb > Fα (n-1),(r-1)(n-1) rebutjarem H0.
5. Conclusió
Si rebutgem H0, les mitjanes de les poblacions no són iguals, és a dir, hi ha
diferències significatives en els tractaments.
Si rebutgem H0, les mitjanes de les poblacions no són iguals, és a dir, hi ha
diferències significatives en els blocs.
77
EXEMPLE D’APLICACIÓ DEL MODEL
Una empresa es dedica a la fabricació i venda de un licor extret de canya de
sucre i coco. Fins al moment, la seva promoció s’ha basat en publicitat a la
premsa d’àmbit nacional. Actualment, els seus directius estan considerant la
possibilitat d’introduir la publicitat en tanques publicitàries. Per estudiar els efectes
d’aquesta variable en les vendes, han realitzat un experiment consistent a agafar
tres ciutats de característiques similars i fer una forta campanya de publicitat
d’aquest tipus en una (ciutat 1), una campanya de tipus mitjà en una altra ciutat
(ciutat 2) i cap a la tercera. Transcorregut cert temps des del començament de les
campanyes, es mesuren les vendes en les tres ciutats durant vuit setmanes. Els
resultats es recullen a la taula següent:
Vendes (u.f.)
Setmana
Ciutat 1
Ciutat 2
Ciutat 3
1
110
90
85
2
115
95
90
3
120
100
95
4
125
110
100
5
130
115
100
6
120
110
90
7
115
100
90
8
110
100
90
945
820
740
Total
Gran total = 945 + 820 +740 = 2.505
Per resoldre el problema, primer plantejarem les hipòtesis:
H0: µ1 = µ2 = µ3
H1: µ1 ≠ µ2 ≠ µ3
Assumim que es compleixen els quatre supòsits teòrics necessaris per a
l’aplicació del model d’anàlisi de la variància.
78
Vendes (u.f.)
(Ciutat 1)2
(Ciutat 2)2
(Ciutat 3)2
1
12.100
8.100
7.225
2
13.225
9.025
8.100
3
14.400
10.000
9.025
4
15.625
12.100
10.000
5
16.900
13.225
10.000
6
14.400
12.100
8.100
7
13.225
10.000
8.100
8
12.100
10.000
8.100
Total
111.975
84.550
68.650
Setmana
Suma total = 265.175
Si cerquem la F(Taules):
F(2,21);0.01 = 5,78
F(2,21);0.05 = 3,47
Conclusió:
Com que F > F(Taules), es rebutja la hipòtesi nul·la, és a dir, hi ha una diferència
significativa entre les mitjanes. Per tant, la publicitat a les tanques influeix en les
vendes.
79