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7. Inferencia Estadística
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
1
Tema 7: Inferencia Estadística
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Intervalos de confianza p
para μ con muestras grandes
g
Introducción al contraste de hipótesis
Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
Interpretación
p
de un contraste usando el p
p-valor
Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Inferencia en poblaciones normales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
2
1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
Sea X una v. aleatoria
l
d
de interés
é con d
distribución
b ó cualquiera
l i
y con
Si n es grande (n>30)
Z
1
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0
3
Z ∼ N(0,1)
1- α
α /2
α /2
0
-4
-3
-2
-z α/2
-1
0
1
2
zα/2
3
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4
4
Si tomásemos infinitas muestras, y con cada una calculásemos
el intervalo
x ± zα / 2
σ
n
Entonces, el 100(1-α)% de esos intervalos tendría el valor de μ
Z ∼ N(0,1)
1- α
α /2
α /2
0
-4
-3
-2
-z α/2
-1
0
1
2
zα/2
3
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
4
5
En la práctica:
9Sólo una muestra
9Sólo un intervalo
9El intervalo sí o no contendrá a μ
9A la incertidumbre de si lo contendrá le llamaremos confianza
Z ∼ N(0,1)
1- α
α /2
α /2
0
-4
-3
-2
-z α/2
-1
0
1
2
zα/2
3
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4
6
intervalo de confianza de nivel de confianza 100×(1-α)% para μ
⎧⎪⎪
σ ⎫⎪⎪
IC(1− α ) : μ ∈ ⎨ x ± zα / 2
⎬
⎪⎩⎪
⎪
n ⎭⎪
Ejemplo
j
p
Una muestra aleatoria extraída de una población con σ²=100 de n=144
observaciones tiene una media muestral =160. se pide:
(a)
Calcular un intervalo de confianza del 95% para μ.
(b)
Calcular un intervalo de confianza del 90% para μ.
(a)
(b)
90%
Mayor confianza=más anchos
X
95%
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Cuestiones
¿Verdadero falso o incierto?
¿Verdadero,
⎧
⎪
⎪
σ ⎫
⎪
⎪
IC(1− α ) : μ ∈ ⎨ x ± zα / 2
⎬
⎪
n⎪
⎪⎩
⎪⎭
•
El intervalo de confianza nos dice entre qué valores variará μ de unas
muestras a otras
•
Es imposible que μ esté fuera del intervalo de confianza
•
El intervalo de confianza que hemos visto sólo es válido si X es normal
•
El intervalo de confianza que hemos visto sólo es válido si X es normal
•
Lo mejor será construir intervalos de confianza del 100%, así no
tendremos incertidumbre
•
El intervalo de confianza me dice entre qué valores estará la media
poblacional con una confianza determinada
•
Si tengo pocos datos, el intervalo de confianza puede no ser válido
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⎧⎪⎪
σ ⎫⎪⎪
IC(1− α ) : μ ∈ ⎨ x ± zα / 2
⎬
⎪⎩⎪
⎪
n ⎭⎪
Es también un parámetro, y será
desconocido
Lo sustituimos por un estimador
⎧⎪⎪
σˆ ⎫⎪⎪
IC(1− α ) : μ ∈ ⎨ x ± zα / 2
⎬
⎪⎩⎪
n ⎪⎭⎪
¿Qué estimador usamos para σ²?
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
9
¿Qué estimador usamos para σ² ?
Método de los momentos: varianza muestral
Se puede demostrar que
es SESGADO
subestima la
verdadera varianza
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10
¿Qué estimador usamos para σ² ?
es SESGADO
Corregimos el sesgo
Nuestro estimador ‘oficial’ será el estimador insesgado
• Cuasivarianza
• Pseudo varianza
• Varianza corregida
• Varianza corregida por grados de libertad
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intervalo de confianza de nivel de confianza 100×(1-α)% para μ
⎧⎪⎪
sˆ ⎫⎪⎪
IC(1− α ) : μ ∈ ⎨ x ± zα / 2
⎬
⎪⎩⎪
n ⎪⎭⎪
Ejemplo
Se mide la duración de 200 componentes electrónicos hasta su avería. De esos
200 datos se tiene que la media muestral es 1300 horas y la cuasivarianza es
10.000 (horas al cuadrado). Calcula un intervalo de confianza de μ de nivel de
confianza 95%
X = 1300
Sˆ 2 = 10.000
n = 200
α = 0.05
0 05
⎧
⎪
⎪
10000 ⎫
⎪
⎪
μ ∈ ⎨1300 ± 1.96
⎬
⎪
⎪
200
⎪⎩
⎪⎭
μ ∈ [1286;1314]
z0.025 = 1.96
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Determinación del tamaño muestral
Acabamos de ver que...
intervalo de confianza de nivel de confianza 100×(1-α)% para μ
⎧⎪⎪
σ ⎫⎪⎪
IC(1− α ) : μ ∈ ⎨ x ± zα / 2
⎬
⎪⎩⎪
n ⎪⎭⎪
μ ∈ { x ± L}
¿Cuál debe ser n para conseguir un L determinado?
Lo estimo con alguna
muestra piloto
Informática. Universidad Carlos III de Madrid
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Ejemplo
Sea X el contenido de impurezas en un material obtenido en cierto proceso
productivo (miligramos de impureza por kilogramo de producto obtenido). Se
toma una muestra aleatoria de 200 observaciones obteniéndose una media
muestral del consumo de 120 mg/Kg y una desviación típica muestral 20 mg/Kg.
X = 120
Sˆ = 20
n0 = 200
Estimar mediante un intervalo de un 95% de confianza el contenido medio de impurezas.
¿Qué tamaño muestral sería necesario tomar para que L=1 mg?
Informática. Universidad Carlos III de Madrid
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Tema 7: Inferencia Estadística
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Intervalos de confianza p
para μ con muestras grandes
g
Introducción al contraste de hipótesis
Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
Interpretación
p
de un contraste usando el p
p-valor
Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Inferencia en poblaciones normales
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15
2. Introducción al contraste de hipótesis
Veamos la idea de contraste de hipótesis con un ejemplo
Ejemplo
Un fabricante de transistores del tipo BC547B sabe que cuando su
producción se mantiene en los niveles de calidad deseables, el valor de la
llamada ganancia en corriente de los transistores (conocida por β,
adimensional) sigue una distribución normal de media 290 y varianza 760.
β
μ = 290
σ = 760
σ 2 = 760
Son en realidad estimaciones con muchísimos
datos históricos. A efectos prácticos, los
consideramos como si fuesen los poblacionales
μ = 290
¿Cómo puedo saber si se mantiene el proceso en
los mismos parámetros?
¿Se mantiene la media?
¿Ha aumentado la variabilidad?
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16
Ejemplo
β
μ = 290
σ = 760
¿Cómo puedo saber si se mantiene el
proceso en los mismos parámetros?
p
p
σ 2 = 760
¿Se mantiene la
media?
¿Ha aumentado la
variabilidad?
μ = 290
Son hipótesis que quiero comprobar
¿Cómo lo puedo hacer?
• Tomo una muestra de observaciones
• A la vista de los datos decido si mantengo o no la hipótesis (el objetivo no es estimar sino validar)
Si
x >> 290
parece muy probable que la media SI haya cambiado
Si
x 290
parece muy probable que la media NO haya cambiado
A la vista de los datos, tomo la decisión que sea más plausible
(nunca estaré seguro al 100%)
¿Cómo
me puede ayudar la estadística?
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Ejemplo
Veamos el método estadístico:
μ = 290
β
σ 2 = 760
Objetivo: Validar una hipótesis con los datos
σ = 760
Contraste de hipótesis
Las hipótesis serán restricciones sobre los parámetros
μ = 290
X1
X2
X , Sˆ 2
X3
...
Xn
Hipótesis nula
Hipótesis alternativa
H0
H1
¿Se mantiene la
media?
μ = 290
ó
μ ≠ 290
¿Ha aumentado
la variabilidad?
σ 2 ≤ 760
ó
σ 2 > 760
alternativa bilateral
alternativa unilateral
• Entre H0 y H1 está todo el rango de valores posibles
• H0 debe tener siempre el signo =
• Se aceptará H0 salvo que haya mucha evidencia en contra
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Ejemplo
μ = 290
β
σ = 760
2
σ = 760
H0
H1
μ = 290
μ ≠ 290
σ 2 ≤ 760
σ 2 > 760
μ = 290
X1
X2
X , Sˆ 2
X3
...
Xn
Rechazamos H0 sólo si hay mucha
evidencia en contra. Es decir, si los
datos hacen lo que dice H1 de forma
y evidente
muy
En la sección siguiente veremos
cómo obtener los límites de las
regiones de aceptación y rechazo
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
19
Tema 7: Inferencia Estadística
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Intervalos de confianza p
para μ con muestras grandes
g
Introducción al contraste de hipótesis
Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
Interpretación
p
de un contraste usando el p
p-valor
Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Inferencia en poblaciones normales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
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3. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
P
Para
contrastar una hipótesis
hi ó
i sobre
b la
l media
di μ seguimos
i
los
l siguientes
i i
pasos:
PASO 1:
Especificamos
E
ifi
lla hi
hipótesis
ót i nula
l y lla alternativa.
lt
ti
Q
Queremos contrastar
t
t
alguna de estas hipótesis, donde μ0 es un valor concreto
H0 : μ = μ0
H0 : μ ≤ μ0
H0 : μ ≥ μ0
H1 : μ ≠ μ0
H1 : μ > μ0
H1 : μ < μ0
j
p de los transistores. Se desea saber si la p
población de
Ejemplo En el ejemplo
transistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
H0
H1
μ = 290
μ ≠ 290
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21
PASO 2:
Hallamos una medida de la discrepancia entre los datos y H0
Si la discrepancia es grande: se rechaza H0
Esa medida se denomina estadístico de contraste
¿Cómo se busca el estadístico
de contraste, que resuma la
información relevante para un
contraste?
Usando las propiedades de los
estimadores, e introduciendo la
información de H0
S b
Sabemos
que, para muestras
t
grandes
d
Estadístico de contraste
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
22
Ejemplo
En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de
transistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
H0
H1
μ = 290
μ ≠ 290
Con 100 observaciones:
Resume en un número la información
para decidir entre
PASO 3:
H0
y
H1
Para valorar el estadístico de contraste, buscamos una distribución de
referencia que nos diga si es un valor grande o pequeño
La distribución de referencia es la del
estadístico de contraste cuando μ=μ0
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
N(0,1)
( , )
23
PASO 4:
Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0.
Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente.
PASO 1:
Caso (a)
PASO 2:
H 0 : μ = 290; H1 : μ ≠ 290
T0 =
X − 290
Sˆ / n
PASO 3:
T0~N(0,1)
Rechazamos H0 si
x << 290
t0 =
x >> 290
x − 290
<< 0
sˆ / n
Si H0 es falsa
tenderemos a estar
por esta zona
t0 =
N(0,1)
0 Mejora de la Calidad
Métodos Estadísticos para la
x − 290
>> 0
sˆ / n
Si H0 es falsa
tenderemos a estar
por esta zona
24
PASO 4:
Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0
Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente.
Caso (b)
PASO 1:
PASO 2:
H 0 : μ ≤ 290; H1 : μ > 290
T0 =
X − 290
Sˆ / n
PASO 3:
T0~N(0,1)
Rechazamos H0 si
x >> 290
t0 =
N(0,1)
0 Mejora de la Calidad
Métodos Estadísticos para la
x − 290
>> 0
sˆ / n
Si H0 es falsa
tenderemos a estar
por esta zona
25
PASO 4:
Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0
Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente.
PASO 1:
Caso (c)
PASO 2:
H 0 : μ ≥ 290; H1 : μ < 290
T0 =
X − 290
Sˆ / n
PASO 3:
T0~N(0,1)
Rechazamos H0 si
x << 290
t0 =
x − 290
<< 0
sˆ / n
Si H0 es falsa
tenderemos a estar
por esta zona
N(0,1)
0 Mejora de la Calidad
Métodos Estadísticos para la
26
PASO 1:
PASO 2:
PASO 4:
Rechazo H0
H0 : μ = μ0 ; H1 : μ ≠ μ0
Rechazo H0
Acepto H0
(a)
(a)
Rechazo H0
Acepto H0
H0 : μ ≤ μ0 ; H1 : μ > μ0
(b)
(b)
PASO 3:
N(0,1)
H0 : μ ≥ μ0 ; H1 : μ < μ0
Rechazo H0
Acepto H0
(c)
(c)
La región de rechazo está
donde señala H1
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27
Metodología general para hacer un
contraste de hipótesis
PASO 1:
Especificamos la hipótesis nula y la alternativa.
PASO 2:
Estadístico de contraste
PASO 3:
Distribución de referencia
PASO 4:
Localizamos las zonas donde estará la región de rechazo
Rechazo H0
Acepto H0
¿Qué área ocupa la región de rechazo?
• La región de rechazo ocupa un área pequeña
• Ese área se llama
?
α=nivel de significación
g
• Su valor lo decide el analista
• Suele ser
α=0.05, 0.10, 0.01
Valor crítico
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28
Ejemplo
En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de
transistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
H0
H1
μ = 290
μ ≠ 290
Con 100 observaciones:
Nivel de significación,
significación
α=0.05
=0 05
T0~N(0,1)
Acepto H0
Rechazo H0
Rechazo H0
1
α/2=0.025
α/2=0.025
-3
-2
-1
0
-1.96
Rechazamos H0
1
2
3
1.96
-2.78
Valores críticos
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29
Ejemplo
En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de
transistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
H0
H1
μ = 290
μ ≠ 290
Con 100 observaciones:
Nivel de significación,
significación
α=0.05
=0 05
T0~N(0,1)
La diferencia entre la media de la
muestra (282.3) y la de la hipótesis
(290) es significativa (al 5%)
Concluimos,
C
l i
con un nivel
i l de
d
significación del 5%, que la media
poblacional ha cambiado
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30
Cuestiones
¿Verdadero falso o incierto?
¿Verdadero,
•
Mediante un contraste de hipótesis buscamos el respaldo de los datos a
alguna suposición sobre la población
•
Si rechazo la hipótesis de que μ=100 con α=0.05, la conclusión es que
es imposible que μ=100
•
Quiero contrastar la hipótesis de que μ=100 con α=0.05. Con unos datos
obtengo x = 104.3 y el contraste me lleva a Aceptar H0. Entonces quiere
decir que con un nivel de significación de 0.05 μ
μ=104.3
104.3
•
Quiero contrastar la hipótesis de que μ=100 con α=0.05. Con unos datos
obtengo x = 104.3 y el contraste me lleva a Aceptar H0. Entonces quiere
d i que con un nivel
decir
i l de
d significación
i ifi
ió de
d 0.05
0 05 x = 100
•
Si tomamos pocos datos, el contraste puede ser erróneo
•
Un analista puede aceptar una hipótesis nula con α=0.05, pero
rechazarla con α=0.01
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31
Ejemplo
Según los estudios antropométricos, los jóvenes españoles entre 18 y 25 años
tienen una estatura media de μ0 =177 cm.
S toman las
Se
l alturas
l
de
d 50 jóvenes
jó
madrileños
d il ñ en ese rango de
d edad
d d y resulta
l
x = 175.9cm
sˆ = 5.93cm
¿Hay evidencia
¿H
id
i suficiente
fi i t para d
decir
i que llos jó
jóvenes madrileños
d il ñ
tiene una estatura media inferior a la nacional?
PASO 1:
Especificamos la hipótesis nula y la alternativa.
Estatura media inferior
μ < 177
E
Estatura
media
di no inferior
i f i
μ ≥ 177
Dos opciones
H 0 : μ ≥ 177
H1 : μ < 177
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
32
Ejemplo
Según los estudios antropométricos, los jóvenes españoles entre 18 y 25 años
tienen una estatura media de μ0 =177 cm.
S toman las
Se
l alturas
l
de
d 50 jóvenes
jó
madrileños
d il ñ en ese rango de
d edad
d d y resulta
l
H 0 : μ ≥ 177
H1 : μ < 177
x = 175.9cm
sˆ = 5.93cm
¿Hay evidencia
¿H
id
i suficiente
fi i t para d
decir
i que llos jó
jóvenes madrileños
d il ñ
tiene una estatura media inferior a la nacional?
PASO 2:
Estadístico de contraste
PASO 3:
Distribución de referencia
PASO 4:
Localizamos las zonas donde estará la región de rechazo
La dif
L
diferencia
i entre la
l media
di
muestral (175.9) y la hipótesis nula
no es significativa (al 5%)
N(0,1)
Acepto H0
Rechazo H0
α=0.05
0.05
La diferencia observada se atribuye, con un
nivel de significatividad del 5%, a la
variabilidad de la muestra y no a diferencias
reales
-3
-2
-1
Valor crítico=-1.65
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
0
1
2
3
-1.31
33
El resultado del
contraste
La verdad
(que nunca sabré con sólo n datos)
(sólo n datos)
Acepto H0
H0 cierta
H0 falsa
((H1 falsa))
((H1 cierta))
(Rechazo H1)
ACIERTO!!
Rechazo H0
ERROR TIPO I
(Acepto H1)
Lo cometo
L
t con
probabilidad
ERROR TIPO II
Lo cometo con
p
probabilidad
q
que
depende de cada
caso
ACIERTO!!
α
Cuando demos la conclusión de un contraste
debemos dar siempre el nivel de significación,
para dar una medida de su precisión
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34
Metodología general para hacer un
contraste de hipótesis
1
1.
Determinar
D
t
i
H0 y H1 teniendo
t i d en cuenta
t que H0 debe
d b ttener ell signo
i
=y
que el método favorecerá dicha hipótesis.
2.
Buscar el estadístico de contraste que será la medida de discrepancia
entre la muestra y H0.
3.
A partir de las propiedades del estadístico de contraste, y el nivel de
significación, delimitamos con los valores críticos las regiones de
aceptación y rechazo.
4.
Localizamos si el valor que toma el estadístico de contraste cae en la
región de aceptación o en la de rechazo.
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
35
Tema 7: Inferencia Estadística
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Intervalos de confianza p
para μ con muestras grandes
g
Introducción al contraste de hipótesis
Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
Interpretación
p
de un contraste usando el p
p-valor
Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Inferencia en poblaciones normales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
36
4. Interpretación de un contraste usando el p-valor
El resultado de un contraste tiene dos elementos:
1.
Aceptamos o rechazamos H0
Conclusión del contraste
2.
El nivel de significación
Medida de su incertidumbre
α
El nivel de significación es una medida de incertidumbre poco precisa
Ejemplo
Hacemos el contraste
H0 : μ ≥ μ0 ; H1 : μ < μ0 con
Caso 1
α = 0.05
Caso 2
Rechazo H0
Acepto H0
Rechazo H0
Acepto H0
α = 0.05
0 05
α = 0.05
-1.65
t0=-1.7
Rechazamos
H0
t0=-3
Rechazamos
-1.65
1 65
H0
En ambos casos la conclusión sería la misma: Rechazamos con α=0.05
Sin embargo en el caso 2 estamos más seguros ¿Cómo expresarlo?
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
37
Vamos a ver otra forma mejor de medir la incertidumbre del resultado del contraste
El p-valor es el nivel de significación que deberíamos usar para dejar al valor
del estadístico de contraste justo en la frontera de la región de rechazo
Caso 1
Acepto H0
Rechazo H0
α = 0.05
p-valor=
p
0.045
t0=-1.7
Rechazamos
Como p-valor<α
Rechazamos
H0
H0
El p-valor es más informativo que el
nivel de significación
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
38
El p-valor es el nivel de significación que deberíamos usar para dejar al valor
del estadístico de contraste justo en la frontera de la región de rechazo
Caso 2
Acepto H0
Rechazo H0
α = 0.05
0 05
p-valor=
0 00 3
0.0013
t0=-3
Rechazamos
Como p-valor<<α
H0
Rechazamos
H0
En este Caso 2 el p-valor es realmente
pequeño Estamos mucho más
pequeño.
seguros de nuestra conclusión
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
39
H 0 : ϑ ≤ ϑ0 ; H1 : ϑ > ϑ0
Aceptamos H0
Rechazamos H0
α
p-valor>α
t0
p-valor<α
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
t0
40
H 0 : ϑ ≥ ϑ0 ; H1 : ϑ < ϑ0
Rechazamos H0
Aceptamos H0
α
pp-valor>
valor α
t0
p-valor<α
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
t0
41
H 0 : ϑ = ϑ0 ; H1 : ϑ ≠ ϑ0
α /2
α /2
pp-valor>
valor>α
-|t0|
|t0|
p-valor: es la suma de las dos áreas
p-valor>α
-|t0|
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
|t0|
42
Tema 7: Inferencia Estadística
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Intervalos de confianza p
para μ con muestras grandes
g
Introducción al contraste de hipótesis
Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
Interpretación
p
de un contraste usando el p
p-valor
Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Inferencia en poblaciones normales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
43
5. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
I
Intervalos
l d
de confianza
fi
para la
l media
di y contrastes usan la
l misma
i
información
i f
ió
T=
X −μ
Sˆ / n
T0 =
X − μ0
~ N (0,1)
ˆ
S/ n
H0 : μ = μ0 ; H1 : μ ≠ μ0
N(0,1)
Rechazo H0
Se puede demostrar que la realización de un
contraste de hipótesis bilateral
α /2
H0 : μ = μ0 ; H1 : μ ≠ μ0
con nivel de significación α es equivalente a
realizar
a a un
u intervalo
e a o de confianza
co a a d
de nivel
(1-a) y comprobar si μ0 está dentro o fuera
de dicho intervalo.
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
Rechazo H0
Acepto H0
α /2
t0
44
Ejemplo
En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de transistores
del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
C
Con
100 observaciones:
b
i
H0 μ = 290
H1 μ ≠ 290
Contraste de hipótesis
Rechazo H0
Rechazo H0
α/2=0.025
Rechazamos
H0:μ=290
-3
3
-2
2
-2.78 -1.96
α/2=0.025
Acepto H0
-1
1
0
1
2
3
1.96
Intervalo de confianza de nivel (1-a)
(1 a)
No contiene al 290
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
45
Tema 7: Inferencia Estadística
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Intervalos de confianza p
para μ con muestras grandes
g
Introducción al contraste de hipótesis
Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
Interpretación
p
de un contraste usando el p
p-valor
Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Inferencia en poblaciones normales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
46
6. Inferencia en poblaciones normales
1.
2.
3.
4.
Inferencia
Inferencia
Inferencia
Inferencia
en muestras pequeñas
p q
con la distribución t de Student
sobre μ
sobre σ²
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
47
1. Inferencia en muestras pequeñas
En el tema anterior usamos que si X es una v. aleatoria de interés con
distribución cualquiera y con
si n es grande (n>30)
Construimos
C
i
métodos
é d estadísticos
dí i
b
basados
d
en la aproximación a esa normal
¿Y si n no es grande?
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
48
1. Inferencia en muestras pequeñas
¿Y si n no es grande?
Las propiedades estadísticas de
X −μ
σ/ n
X −μ
Sˆ / n
cambian!! Dependen de la distribución de X
Los intervalos y los contrastes del tema
anterior no serían correctos
En el caso de X normal, se tiene que independientemente del tamaño de n
X −μ
~ N (0,1)
σ/ n
X −μ
~
Sˆ / n
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
Distribución
t de Student
49
6: Inferencia en poblaciones normales
1.
2.
3.
4.
Inferencia
Inferencia
Inferencia
Inferencia
en muestras pequeñas
p q
con la distribución t de Student
sobre μ
sobre σ²
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
50
2. Inferencia con la distribución t de Student
• La distribución t de Student es una variable aleatoria continua,
simétrica, de media cero, y de perfil muy parecido a la normal estándar.
• Depende de un parámetro g que se denomina grados de libertad.
libertad Su
notación habitual es tg
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
51
2. Inferencia con la distribución t de Student
Puede demostrarse que si X N(μ,σ²),
X −μ
~ tn −1
Sˆ / n
La distribución
cambia con n
Si el tamaño muestral es grande
X −μ
~ tn −1 ~ N (0,1)
( )
Sˆ / n
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
52
6. Inferencia en poblaciones normales
1.
2.
3.
4.
Inferencia
Inferencia
Inferencia
Inferencia
en muestras pequeñas
p q
con la distribución t de Student
sobre μ
sobre σ²
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
53
3. Inferencia sobre μ
Intervalos de confianza para m
en lugar de
zα / 2
⎧⎪
Sˆ ⎫⎪
IC(1 − α ) : μ ∈ ⎨ X ± tn −1;α /2
⎬
n ⎪⎭
⎪⎩
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
54
Ejemplo
En una explotación minera las rocas excavadas se someten a un análisis
químico para determinar su contenido de Cadmio. Después de
analizar
li
25 rocas se obtiene
bti
que
x = 9.77
sˆ = 3.164
Suponiendo
p
q
que el contenido de Cadmio sigue
g
una distribución
normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 95% para el
contenido medio de Cadmio en las rocas de la mina.
⎧⎪
Sˆ ⎪⎫
IC(1 − α ) : μ ∈ ⎨ X ± tn −1;α /2
⎬
n ⎭⎪
⎩⎪
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
55
Ejemplo
En una explotación minera las rocas excavadas se someten a un análisis
químico para determinar su contenido de Cadmio. Después de
analizar
li
25 rocas se obtiene
bti
que
x = 9.77
sˆ = 3.164
Suponiendo
p
q
que el contenido de Cadmio sigue
g
una distribución
normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 95% para el
contenido medio de Cadmio en las rocas de la mina.
Para n=25
y a=0.05
a/2=0 025
a/2=0.025
t24;0.025 = 2.06
3.164 ⎫
⎧
IC(0.95)
(0 95) : μ ∈ ⎨9
9.77
77 ± 2
2.06
06
(8.47,11.07)
47 11 07)
⎬ = (8
25 ⎭
⎩
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
56
Para n=25
y a=0.05
a/2=0.025
t24;0.025 = 2.06
2 06
Usando la aproximación N(0,1) como si fuese para muestras grandes...
a/2=0.025
z0.025
0 025 = 1.96
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
57
Usando la t de Student: intervalo exacto
3.164 ⎫
⎧
IC(0.95) : μ ∈ ⎨9.77 ± 2.06
⎬ = (8.47,11.07)
25 ⎭
⎩
Usando la aproximación a N(0,1)
N(0 1) para muestras grandes
3.164 ⎫
⎧
μ ∈ ⎨9.77
9 77 ± 1
1.96
96
(8.53,11)
53 11)
⎬ = (8
25 ⎭
⎩
Si no usamos la t de Student, daremos un
intervalo más estrecho del que tiene realmente
un confianza del 95%. Este intervalo tiene una
confianza menor de la que pensamos
Para poblaciones normales usaremos siempre la t de Student
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
58
3. Inferencia sobre μ
Contraste de hipótesis
(a) H0:μ=μ0; frente a H1:μ≠μ0,
(b) H0:μ≤μ0; frente a H1:μ>μ0,
(c) H0:μ≥μ0; frente a H1:μ<μ0.
Se hacen igual, pero usando las siguientes distribuciones de referencia
X − μ0
Z0 =
~ N (0,1)
σ/ n
X − μ0
T0 =
~ tn −1
Sˆ / n
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
59
PASO 1:
PASO 2:
PASO 4:
Rechazo H0
H0 : μ = μ0 ; H1 : μ ≠ μ0
Rechazo H0
Acepto H0
(a)
(a)
− zα / 2
−tn −1;α /2
Acepto H0
H0 : μ ≤ μ0 ; H1 : μ > μ0
(b)
(b)
zα /2
tn −1;α / 2
Rechazo H0
zα
tn −1;α
PASO 3:
Z 0 ~ N (0,1)
H0 : μ ≥ μ0 ; H1 : μ < μ0
T0 ~ tn −1
Rechazo H0
(c)
(c)
Acepto H0
− zα
−tn −1;
−1;α
La región de rechazo está
60
donde señala H1
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
Ejemplo
Se quiere saber si la media de la ganancia β de los transistores
BC547B se mantiene el valor nominal μ=290
H0 : μ=290
H1: μ≠290
Con 100 datos:
p-valor del test de la chi-cuadrado para el ajuste de una normal:
p-value=0.43
l
0 43
P d
Podemos
asumir
i normalidad
lid d en X
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
61
Ejemplo
Se quiere saber si la media de la ganancia β de los transistores
BC547B se mantiene el valor nominal μ=290
a=0.05
H0 : μ=290
H1: μ≠290
Con 100 datos:
Rechazo H0
Rechazo H0
La d
diferencia
f
entre los
l d
datos y
290 es significativa
Acepto H0
(a)
−t99;0.025
-1.98
Con un nivel de significación
del 5%, rechazamos H0
t99;0.025
1.98
(z0.025 = 1.96)
1 96)
El tamaño muestral es grande,
y por eso el valor crítico es
muy similar al de N(0,1)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
62
6. Inferencia en poblaciones normales
1.
2.
3.
4.
Inferencia
Inferencia
Inferencia
Inferencia
en muestras pequeñas
p q
con la distribución t de Student
sobre μ
sobre σ²
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
63
4. Inferencia sobre σ²
Estimadores de s2
n
S2 =
∑( Xi − X )
i =1
n
sesgado
n
2
Sˆ 2 =
∑( Xi − X )
2
i =1
n −1
(cuasivarianza)
g
insesgado
En poblaciones normales
normales, la distribución muestral de estos
estimadores está relacionada con la distribución chi-cuadrado
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
64
4. Inferencia sobre σ²
La distribución chi-cuadrado
• La chi-cuadrado es una variable aleatoria no negativa. Es asimétrica
positiva
• Depende de un parámetro g que se llama grados de libertad
• Su notación es
χ g2
Si X es normal
(n − 1) Sˆ 2
σ2
nS 2
σ2
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
~ χ n2−1
~ χ n2−1
65
4. Inferencia sobre σ²
Intervalos de confianza para σ²
Operando igual que en el caso de la media...
⎧⎪ (n − 1)sˆ 2 (n − 1)sˆ 2 ⎫
⎪
2
⎪
⎪
; 2
IC(1− α ) : σ ∈ ⎨ 2
⎬
⎪⎪ χn−1;α / 2 χn−1;1−α / 2 ⎪
⎪
⎩
⎭
2
⎧⎪ ns 2
⎫
⎪
ns
⎪
⎪
IC(1− α ) : σ ∈ ⎨ 2
; 2
⎬
⎪
⎪
⎪
⎩ χn−1;α / 2 χn−1;1−α / 2 ⎪
⎭
No son simétricos
alrededor de la
estimación
2
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
66
Ejemplo
En una explotación minera las rocas excavadas se someten a un análisis
químico para determinar su contenido de Cadmio. Después de
analizar
li
25 rocas se obtiene
bti
que
x = 9.77
sˆ = 3.164
sˆ2 = 10.01
Suponiendo
p
q
que el contenido de Cadmio sigue
g
una distribución
normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 99% para la
varianza poblacional s2
⎧⎪ (n − 1)sˆ 2 (n − 1)sˆ 2 ⎫
⎪
⎪
⎪
IC(1− α ) : σ ∈ ⎨ 2
; 2
⎬
⎪⎪ χn−1;α / 2 χn−1;1−α / 2 ⎪
⎪
⎩
⎭
2
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
67
Ejemplo
En una explotación minera las rocas excavadas se someten a un análisis
químico para determinar su contenido de Cadmio. Después de
analizar
li
25 rocas se obtiene
bti
que
x = 9.77
sˆ = 3.164
sˆ2 = 10.01
Suponiendo
p
q
que el contenido de Cadmio sigue
g
una distribución
normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 99% para la
varianza poblacional s2
α/2=0.005
a/2=0.005
2
χ 24;0.995
= 9.89
2
χ 24;0.005
= 45.6
⎛ 24 × 3.1652 24 × 3.1652 ⎞
IC (0.99) : σ ∈ ⎜
,
⎟
45.6
9.89
⎝
⎠
2
Para una confianza del 99%
tenemos α/2=0.005
IC (0.99) : σ 2 ∈ ( 5.27,24.29 )
¿Podría ser σ2=25?
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
68
4. Inferencia sobre σ²
Contraste de hipótesis para σ²
( ) H0 : σ²=σ
(a):
² 0²;
² H1: σ²≠σ
² 0²
(b): H0 : σ²≤σ0²; H1: σ²>σ0²
Sigue la misma metodología que
para otros parámetros
(c): H0 : σ
σ²≥σ
≥σ0²;; H1: σ
σ²<σ
σ0²
Estadístico de contraste
X 02 =
(n − 1) Sˆ 2
σ 02
X 02 =
nS 2
σ 02
Distribución de referencia
X 02 ~ χ n2−1
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
69
PASO 1:
PASO 2:
H0 : σ²=σ0²; H1: σ²≠σ0²
(a)
X 02 =
(n − 1) Sˆ 2
σ
2
0
PASO 4:
Rechazo H0
Rechazo H0
Acepto H0
(a) χ 2
n −1;1− α / 2
X =
2
0
χ n2−1;α / 2
nS 2
σ 02
Acepto H0
H0 : σ²≤σ0²; H1: σ²>σ0²
Rechazo H0
(b)
(b)
χ n2−1;α
PASO 3:
Rechazo H0
H0 : σ²≥σ0²; H1: σ²<σ0²
(c)
Acepto H0
X 02 ~ χ n2−1
(c)
χ n2−1;1−α
La región
egión de rechazo
echa o está
donde señala H1
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
70
Ejemplo
Sobre los transistores BC547B mencionados anteriormente, teníamos el
objetivo de comprobar si la media no había cambiado, así como
comprobar si la varianza no había aumentado. Podemos ahora contrastar
este segundo punto. Los datos históricos decían que σ0²=760. Por tanto
el contraste es
H0:σ²≤760;H₁:σ²>760.
Rechazo H0
Acepto H0
χ
Con 100 datos
2
99;0.05
;
= 123.2
La diferencia entre los datos y
la hipótesis no es significativa
(con nivel 5%) y puede deberse
al azar de la muestra
x =
2
0
(n − 1) sˆ 2
σ 02
=
sˆ 2 = 766.85
99 × 766.85
= 99.89
760
7
N rechazamos
No
h
H0
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad
71