El conjunto de los Números Reales

1) N = Conjunto de los Números Naturales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser
humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número ilimitado de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
2) N* = N 0 = Conjunto de los Números Cardinales
N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}
Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números
Cardinales.
3) Z = Conjunto de los Números Enteros
= { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues
cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos
Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la
izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico,
situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la
derecha y el otro a la izquierda de él).
Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos
Z = Tiene 3 Subconjuntos:
Enteros Negativos: Z ¯
Enteros Positivos: Z +
Enteros Positivos y el Cero: Z 0+
Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.
Z = Z ¯ U {0} U Z +
4)
Q = Conjunto de los Números Racionales
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban
en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se
puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero,
del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los
números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el
denominador b, es un número entero distinto de cero.
El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números
Enteros (Z).
Se expresa por comprensión como:
Q = { a /b tal que a y b
Z; y b
0}
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios
iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con
denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.
5)
I = Q* = Conjunto de Números Irracionales
I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos
anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los
números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una
fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos,
infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.
Ejemplos: 1,4142135....
0,10200300004000005....
Los números reales
Se representan con la letra
.
El conjunto de los Números Reales (
) está integrado por:
• El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos los números cuya
expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.
• El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que
admiten una expresión infinita no periódica.
Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o
infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales (
unido con I .
) está formado por los elementos del conjunto
El siguiente cuadro es ilustrativo:
Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.
A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe una
correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales.
Importante:
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números
reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están
definidas.
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no
existe la operación de dividir entre nada.
En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando
negativo.
Infinito no es un número real
Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.
Recuerde, además, que cualquier fracción con numerador cero, tiene como resultado final, el cero (cero
dividido cualquier cosa es igual a cero)
Ver un video:
http://www.youtube.com/watch?v=40VpwaisiMs
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se
llaman elementos del mismo.
Un conjunto es una colección de objetos dotados de una propiedad que permita decidir, sin
ninguna ambigüedad posible, si un objeto cualquiera forma parte o no de la colección.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.
Ejemplos de conjuntos:
o
o
o
o
o
o
Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
o
o
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
o
o
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {pÎ Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de
B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad
característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota Ã
(A).
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces à (A) = {Æ ,{a},{b},A}.
Si a Î A entonces {a} ÎÃ (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
Tipos de Conjuntos
Conjunto Disjunto, Conjunto Subconjunto
1) Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen
elementos en común.
Por ejemplo:
El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El
conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay
elementos comunes entre los conjuntos A y B. En otras palabras,
ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su
vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.
En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.
Tomando otro ejemplo:
Si E = { pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador)
F = { tiza, profesor, regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)
G = { niño, cuaderno, sala, lápiz } (Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz)
E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G.
E y F no son disjuntos ya que tiza pertenece a E y también a F.
F y G son conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no
pertenecen a F.
2) Conjunto Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto
también pertenecen al otro.
Si se tienen los siguientes conjuntos:
P = { a, e, i, o, u }
y
R = { a, i }
R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P.
En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo
. En este ejemplo se escribe:
R
P
Se lee “ R es subconjunto de P”
no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El
símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“ es
.
Si se tienen los siguientes conjuntos:
C = { 3, 5, 7, 9 }
y
H = { 3, 5, 8 }
H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe:
H
C
Se lee “ H no es subconjunto de C”
También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn.
Ejemplo:
S
C
Propiedades de la relación subconjunto
1.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Si T = { x, z, y, z }, se tiene que T
T
2.- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene
elementos; se representa por: { } o bien por Ø
Si se tiene el conjunto B se puede establecer que Ø
T
En el Diagrama de Venn de la izquierda se puede observar que el
conjunto U contiene a los conjuntos M y N. U es el conjunto
universo porque es un conjunto que contiene a todos los
conjuntos.
Otro ejemplo:
Sea Y = { enero, febrero } ; Ñ = { marzo, junio, agosto }
El conjunto universo será:
U = { meses del año }
Operaciones entre conjuntos
Intersección de conjuntos (
)
La intersección entre dos o más conjuntos es otro conjunto formado por los elementos comunes a ellos; es
decir, a los elementos comunes o repetidos de ambos conjuntos A y B.
La intersección se simboliza con el signo
y se coloca entre las letras que representan a cada conjunto.
Conjunto A = {3, 8, 24}
Conjunto B = {13, 7, 8, 12}
Los elementos que se repiten entre A y B son: 3 y 8. Estos elementos se
anotan en la parte de color amarillo pues representa el lugar común
entre ambos conjuntos.
Otro ejemplo:
B = { a, b, c, d, e, f }
C = { a, d, f, g, h }
B
C = { a, d, f }
En el diagrama de Venn la parte ennegrecida representa la
intersección de B y C.
Unión de conjuntos: La unión de dos o más conjuntos es otro conjunto formado por los elementos que
pertenecen a uno u otro conjunto o a ambos.
La unión se representa por el símbolo
Si un elemento está repetido, se coloca una sola vez.
Cuando no hay elementos comunes o repetidos (esquema 1) se
anotan todos los elementos en un solo conjunto (una sola figura
cerrada):
A
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Si hay elementos repetidos, éstos se anotan en la zona común a
ambos conjuntos (esquema 2), donde se juntan ambas figuras
cerradas:
W
Z = {9, 6, 8, 5, 7}.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los
elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
A' = { x/x
Ejemplo:
Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }
Su complemento de A es: A' = { m, a, r }
En forma gráfica:
Ejemplos de ejercicios de conjuntos
Uyx
A}
Se pueden consultar mas problemas resueltos ingresando al siguiente link
http://www.scribd.com/doc/14003263/problemas-resueltos-de-conjuntos