CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES Pasos

CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Pasos necesarios para la construcción de los números racionales.
1. Definir el conjunto a través de las parejas ordenadas y la relación de equivalencia.
2. Demostrar las propiedades de la equivalencia; simetría reflexividad y transitividad.
3. Definir la operación suma en el conjunto y demostrar las propiedades.
4. Definir la operación multiplicación en el conjunto y demostrar las propiedades.
5. Realizar la partición del conjunto con la relación de equivalencia
6. Introducir la relación de orden en el conjunto y demostrar las propiedades; reflexividad,
antisimetría y transitividad.
1. Sea el conjunto B definido como una ley de composición interna del conjunto de ℤℤ
𝐵 = ℤ × ℤ = {(𝑎, 𝑏)⁄𝑎, 𝑏 ∈ ℤ}
La definición de composición del conjunto a través de la relación de equivalencia en B
(𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) ⟺ (𝑎𝑑 = 𝑏𝑐)
2. Para comprobar que es una relación de equivalencia tenemos que demostrar las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
a. Reflexiva ∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)~(𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏)~(𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏)~(𝑎, 𝑏) ⟺ (𝑎𝑏 = 𝑏𝑎)
(𝑎𝑏 = 𝑎𝑏) 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 ℤ
b. Simetría ∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑)~(𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑)~(𝑎, 𝑏)
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 ∧ 𝑐𝑏 = 𝑑𝑎
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 ∧ 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑por conmutatividad de la multiplicación en ℤ
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 ∧ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐por la propiedad simétrica de la igualdad
c. Transitividad ∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑒, 𝑓) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑)~(𝑒, 𝑓) ⇒ (𝑎, 𝑏)~(𝑒, 𝑓)
(𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑)~(𝑒, 𝑓) → (𝑎, 𝑏)~(𝑒, 𝑓)
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 ∧ 𝑐𝑓 = 𝑑𝑒
𝑎𝑑𝑐𝑓 = 𝑏𝑐𝑑𝑒por la propiedad uniforme de la igualdad
𝑎𝑑𝑐𝑓 − 𝑏𝑐𝑑𝑒 = 0
𝑑𝑐(𝑎𝑓 − 𝑏𝑒) = 0factor común
Las dos opciones que hay de que sea cero, si dc es cero o si af – be es cero
Si 𝑎𝑓 − 𝑏𝑒 = 0𝑎𝑓 = 𝑏𝑒
Si 𝑎𝑓 = 𝑏𝑒
(𝑎, 𝑏)~(𝑒, 𝑓) y quedaría demostrada la transitividad…
Si dc es cero d es cero o c es cero
Si c es cero ad=0 y de =0
Si d es cero bc = 0 y cf = 0
Y todo sería cero y por tanto transitivo, es en este punto donde entraríamos a
restringir la ley de composición del conjunto B, tendríamos que aclarar que la
segunda componente de las parejas ordenadas no podría ser cero.
𝐵 = ℤ × ℤ∗ = {(𝑎, 𝑏)⁄𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0}
ℤ∗ = 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 sin 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑟𝑜
3. Definimos la operación suma en el conjunto B
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)⨁(𝑐, 𝑑) ~ (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐, 𝑏𝑑)
⨁ 𝐸𝑙 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑎ú𝑛 𝑛𝑜 𝑙𝑎 ℎ𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
Ahora toca demostrar las propiedades asociativa, conmutativa, modulativa y elemento
inverso, para demostrar que es la misma suma de enteros.
a. Propiedad asociativa: ∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑒, 𝑓) ∈ 𝐵, [(𝑎, 𝑏)⨁(𝑐, 𝑑)]⨁(𝑒, 𝑓) =
(𝑎, 𝑏)⨁[(𝑐, 𝑑)⨁(𝑒, 𝑓)]
(𝑎𝑑 + 𝑐𝑏, 𝑏𝑑)⨁(𝑒, 𝑓) = (𝑎, 𝑏)⨁(𝑐𝑓 + 𝑑𝑒, 𝑑𝑓)
((𝑎𝑑𝑓 + 𝑐𝑏𝑓) + 𝑏𝑑𝑒, 𝑏𝑑𝑓) = (𝑎𝑑𝑓 + (𝑏𝑐𝑓 + 𝑏𝑑𝑒), 𝑏𝑑𝑓)porla distributividad de la
multiplicación con respecto a la suma en ℤ.
b. Propiedad conmutativa:
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)⨁(𝑐, 𝑑)~(𝑐, 𝑑)⨁(𝑎, 𝑏)
(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐, 𝑏𝑑)~(𝑐𝑏 + 𝑑𝑎, 𝑑𝑏)
(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑑𝑏 = (𝑐𝑏 + 𝑑𝑎)𝑏𝑑
𝑎𝑑𝑑𝑏 + 𝑏𝑐𝑑𝑏 = 𝑐𝑏𝑏𝑑 + 𝑑𝑎𝑏𝑑
por la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma en ℤ
𝑎𝑑𝑑𝑏 + 𝑏𝑐𝑑𝑏 = 𝑎𝑑𝑑𝑏 + 𝑏𝑐𝑑𝑏
por la asociatividad de la multiplicación y la conmutatividad de la suma en ℤ
c. Propiedad modulativa: ∀(𝑎, 𝑏), (0, 𝑑) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)⨁(0, 𝑑)~(𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏)⨁(0, 𝑑)~(𝑎, 𝑏)
(𝑎𝑑 + 𝑏0, 𝑏𝑑)~(𝑎, 𝑏)
(𝑎𝑑, 𝑏𝑑)~(𝑎, 𝑏)por multiplicar por cero
𝑎𝑑𝑏 = 𝑏𝑑𝑎
𝑎𝑑𝑏 = 𝑎𝑑𝑏porla asociatividad de la multiplicación de ℤ.
d. Elemento inverso: ∀(𝑎, 𝑏), (−𝑎, 𝑏) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)⨁(−𝑎, 𝑏)~(0, 𝑑)
(𝑎𝑏 − 𝑏𝑎, 𝑏 2 )~(0, 𝑑)
(𝑎𝑏 − 𝑏𝑎)𝑑 = 0𝑏 2
0𝑑 = 0𝑏 2
4. Ahora vamos a definir la operación multiplicación en el conjunto B
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)⨂(𝑐, 𝑑) ~ (𝑎𝑐, 𝑏𝑑)
⨂ 𝐸𝑙 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑎ú𝑛 𝑛𝑜 𝑙𝑎 ℎ𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
Para poder decir que la operación producto es la misma que en ℤ vamos a demostrar las
propiedades asociativa, conmutativa, modulativa y elemento inverso.
a. Propiedad asociativa:
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑒, 𝑓) ∈ 𝐵, [(𝑎, 𝑏)⨂(𝑐, 𝑑)]⨂(𝑒, 𝑓)~(𝑎, 𝑏)⨂[(𝑐, 𝑑)⨂(𝑒, 𝑓)]
[(𝑎, 𝑏)⨂(𝑐, 𝑑)]⨂(𝑒, 𝑓)~(𝑎, 𝑏)⨂[(𝑐, 𝑑)⨂(𝑒, 𝑓)]
(𝑎𝑐, 𝑏𝑑)⨂(𝑒, 𝑓)~(𝑎, 𝑏)⨂(𝑐𝑒, 𝑑𝑓)
(𝑎𝑐𝑒, 𝑏𝑑𝑓)~(𝑎𝑐𝑒, 𝑏𝑑𝑓)
𝑎𝑐𝑒𝑏𝑑𝑓 = 𝑏𝑑𝑓𝑎𝑐𝑒
𝑎𝑐𝑒𝑏𝑑𝑓 = 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑑𝑓porasociatividad de la multiplicación de ℤ.
b. Propiedad conmutativa:
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)⨂(𝑐, 𝑑)~(𝑐, 𝑑)⨂(𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏)⨂(𝑐, 𝑑)~(𝑐, 𝑑)⨂(𝑎, 𝑏)
(𝑎𝑐, 𝑏𝑑)~(𝑐𝑎, 𝑑𝑏)
𝑎𝑐𝑑𝑏 = 𝑏𝑑𝑐𝑎
𝑎𝑐𝑑𝑏 = 𝑎𝑐𝑑𝑏por la asociatividad de la multiplicación en ℤ
c. Propiedad modulativa:
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)⨂(𝑐, 𝑑)~(𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏)⨂(𝑐, 𝑑)~(𝑎, 𝑏)
(𝑎𝑐, 𝑏𝑑)~(𝑎, 𝑏)
𝑎𝑐𝑏 = 𝑏𝑑𝑎
𝑎𝑐𝑏 − 𝑏𝑑𝑎 = 0
𝑎𝑏(𝑐 − 𝑑) = 0
hay dos opciones, que ab sea cero y cualquier numero multiplicado por cero es cero
y cumpliría la condición ó que c-d =0 y el módulo de la multiplicación en los
racioinales sería (x,x)
d. Elemento inverso:
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐵, (𝑎, 𝑏)⨂(𝑏, 𝑎)~ (𝑥, 𝑥)
(𝑎, 𝑏)⨂(𝑏, 𝑎)~ (𝑥, 𝑥)
(𝑎𝑏, 𝑏𝑎)~ (𝑥, 𝑥)
𝑎𝑏𝑥 = 𝑏𝑎𝑥
𝑎𝑏𝑥 = 𝑎𝑏𝑥porasociatividad de la multiplicación en ℤ
5. Para diferenciar los elementos del conjunto es necesario reconocer que el conjunto se
generó al combinar cada elemento de ℤ con todos los elementos de ℤ∗ , para poder
ordenar el conjunto y poderlo contar es necesario identificar los elementos que se
repiten dentro del conjunto y agruparlos. Éste trabajo se hace por medio de la relación
de equivalencia.
𝐵 ⁄~ = ℚ
al escoger un representante de cada clase de equivalencia se cuentan como uno sólo
parejas de números equivalentes como (3,4) y (9,12) ó (7,5) y (28,20) . Una forma
para reconocer las parejas de números que representan las demás de su clase es que
en esas parejas ordenadas el primer componente y el segundo son primos relativos, no
tienen divisor en común.
6. Para saber si el conjunto ℚ que obtuvimos es ordenado procedemos a probar la relación
de orden dentro de los elementos del conjunto.
La relación de orden está definida en ℚ como:
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ ℚ, (𝑎, 𝑏) ≤ (𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎𝑑 ≤ 𝑏𝑐
Tendremos que probar que sea reflexiva, antisimétrica y que sea transitiva.
a. Propiedad reflexiva:
∀(𝑎, 𝑏) ∈ ℚ, (𝑎, 𝑏) ≤ (𝑎, 𝑏)
𝑎𝑏 ≤ 𝑏𝑎
𝑎𝑏 ≤ 𝑎𝑏por la conmutatividad de la multiplicación en ℤ
b. Propiedad antisimetríca:
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ ℚ, (𝑎, 𝑏) ≤ (𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑) ≤ (𝑎, 𝑏) ⇒ (𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑)
Para comprobar esta afirmación tenemos que verificar las cuatro
posibilidades de conformar este enunciado.
(𝑎, 𝑏) < (𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑) < (𝑎, 𝑏)
𝑎𝑑 < 𝑏𝑐 ∧ 𝑐𝑏 < 𝑑𝑎 Falso
(𝑎, 𝑏) < (𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑) = (𝑎, 𝑏)
𝑎𝑑 < 𝑏𝑐 ∧ 𝑐𝑏 = 𝑑𝑎 Falso
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑) < (𝑎, 𝑏)
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 ∧ 𝑐𝑏 < 𝑑𝑎 Falso
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑) = (𝑎, 𝑏)
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 ∧ 𝑐𝑏 = 𝑑𝑎 Verdadero
c. Propiedad transitiva:
∀(𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑒, 𝑓) ∈ ℚ, (𝑎, 𝑏) ≤ (𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑) ≤ (𝑒, 𝑓) ⇒ (𝑎, 𝑏) ≤ (𝑒, 𝑓)
(𝑎, 𝑏) ≤ (𝑐, 𝑑) ∧ (𝑐, 𝑑) ≤ (𝑒, 𝑓) ⇒ (𝑎, 𝑏) ≤ (𝑒, 𝑓)
𝑎𝑑 ≤ 𝑏𝑐 ∧ 𝑐𝑓 ≤ 𝑑𝑒
por la propiedad uniforme de la igualdad, multiplico a conveniencia en ambas
igualdades
𝑎𝑑𝑓 ≤ 𝑏𝑐𝑓 ∧ 𝑏𝑐𝑓 ≤ 𝑏𝑑𝑒
por transitividad en ℤ
𝑎𝑑𝑓 ≤ 𝑏𝑑𝑒
𝑎𝑑𝑓 − 𝑏𝑑𝑒 ≤ 0
𝑑(𝑎𝑓 − 𝑏𝑒) ≤ 0
𝑑 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑓 − 𝑏𝑒 ≤ 0
𝑎𝑓 ≤ 𝑏𝑒
(𝑎, 𝑏) ≤ (𝑒, 𝑓)