tesis - Ingeniería Mecánica Aplicada y Computacional

UNIVERSIDAD PÚBLICA DE NAVARRA
NAFARROAKO UNIBERTSITATE PUBLIKOA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA
ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
INGENIERITZA MEKANIKOA, ENERGETIKOA ETA
MATERIALEEN SAILA
SÍNTESIS CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE
MECANISMOS.
MANIPULADOR PARALELO 6-RKS
MEMORIA
que para optar al Grado de Doctor Ingeniero Industrial
presenta
ISIDRO ZABALZA VILLAVA
Dirigida por
José Manuel Jiménez Bascones y Jesús María Pintor Borobia
Pamplona, diciembre de 1999
A la memoria de mi padre,
a mi madre, a mis hermanos y hermanas,
sin cuya ayuda no habría llegado hasta este punto.
Nire emazte Feli eta nire alaba Arantxa eta Iratxeri
hainbat ordu kendu dizuedanoi
tesi hau burutu ahal izateko.
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar, a todos mis profesores desde los Estudios Primarios
hasta los Cursos de Doctorado.
En cuanto a la dirección de la tesis a: Alejo Avello Iturriagoitia, del
Departamento de Mecánica Aplicada de la Universidad de Navarra, por la
propuesta del tema y dirección inicial, José González Vián, del Departamento
de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales de la Universidad Pública
de Navarra por la dirección inicial de la tesis, José Manuel Jiménez Bascones,
del Departamento de Mecánica Aplicada de la Universidad de Navarra y Jesús
María Pintor Borobia, del Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y
de Materiales de la Universidad Pública de Navarra, los que debido a un cambio
de organigrama y por mayor afinidad al tema, asumieron la dirección de la tesis
hasta estar concluida.
Al resto de profesores del Departamento de Ingeniería Mecánica,
Energética y de Materiales de la Universidad Pública de Navarra por su ayuda,
ánimo y consejos sobre la tesis, a las Secretarias del Departamento por la
realización de los trabajos administrativos que la tesis conlleva, a los técnicos
de laboratorio, especialmente a Iñaki Calvo Elizazu, por la construcción de
prototipos.
Quiero mostrar mi agradecimiento también al Departamento de
Proyectos e Ingeniería Rural de la Universidad Pública de Navarra y
especialmente a los profesores José Ramón Alfaro López y Miguel Ángel
Pascual Buisan por sugerirme y permitirme la utilización del programa CATIA
para la visualización del espacio de trabajo del manipulador, y al becario Iker
Echarri Carasatorre por su manejo del programa CATIA y la realización de
figuras.
Por la atención que han tenido enviándome sus artículos, algunos
incluso antes de ser publicados en las revistas, mi agradecimiento a los
profesores e investigadores J. Ángeles (McGill University) Canadá, R. Clavel
(École Politechnique Fédérale de Lausanne) Suiza, C. L. Colins (California
Institute of Technology) USA, G. Danescu (Laboratoire de Méchanique
Appliquée de BesanÇon) Francia, A. Ferrand, M. Renaud y J. Catala
(Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systemes, Toulouse) Francia, A.
Ghosal (Indian Institute of Science, Bangalore) India, M. Giordano y E. Benoit
(LMécA, Universiteé de Savoie) Francia, C. Gosselin y R. Ricard (Université
Laval, Québec) Canadá, C. Innocenti (Universitá degli Studi di Bologna) Italia,
L. Notash (Queen’s University Kingston) Canadá, Y Takeda (Tokio Institute of
Technology) Japón, L. W. Tsai (University of Maryland) USA, V. Zamanov
(Technical University of Sofia) Bulgaria, D. Zlatanov, R. G. Fenton y B.
Benhabid (University of Toronto) Canadá. Al resto de investigadores que
figuran en las referencias porque sus artículos han supuesto una gran ayuda para
el desarrollo de esta tesis.
Finalmente un agradecimiento muy especial a J. P. Merlet (INRIA,
Francia) por tener a disposición pública toda su contribución al estudio de los
Robots Paralelos y las referencias de otros autores.
RESUMEN
Esta tesis se enmarca en el campo de la síntesis de mecanismos e
incluye un trabajo desarrollado en el campo de la optimización de mecanismos
planos y un estudio de las características cinemáticas de un manipulador
paralelo, un mecanismo espacial formado por dos plataformas, una fija y otra
móvil con varios grados de libertad, unidas por varias cadenas cinemáticas
sobre las que accionan los actuadores.
Después de una introducción contenida en el Capítulo I, en el Capítulo
II se realiza un estudio sobre el proceso de síntesis, desde la elección de
mecanismo, pasando por una síntesis de puntos de precisión y acabando con la
optimización dinámica, poniendo ejemplos por medio de mecanismos planos
(Anexos I y II).
Al intentar aplicar el proceso expuesto en el párrafo anterior a
mecanismos espaciales, se encuentran infinidad de mecanismos, con unas
características cinemáticas y dinámicas propias de cada uno, lo que obliga a
analizarlas, para ver si el mecanismo resulta idóneo para realizar el trabajo
deseado, antes de pasar al proceso de optimización.
Para realizar el estudio de las características cinemáticas y dinámicas
de un mecanismo espacial, se toma el conjunto de manipuladores paralelos y, de
entre éstos, el manipulador paralelo 6-RKS1.
En el Capítulo III, se hace una aproximación al estado del arte sobre
los manipuladores paralelos, y en particular a las características cinemáticas de
los manipuladores 6-RKS conocidos.
El manipulador paralelo 6-RKS, debido a que las cadenas cinemáticas
de unión de las plataformas se pueden considerar mecanismos de bielamanivela, posee unas configuraciones de insensitividad de posición de la
plataforma móvil, en las que la plataforma móvil permanece fija
independientemente del movimiento introducido por los actuadores. Entre estas
configuraciones hay algunas que son de insensitividad total y otras de
insensitividad parcial, dependiendo de si la plataforma móvil permanece fija al
introducir movimiento por todos los actuadores o por parte de ellos
respectivamente.
1
6-RKS - Manipulador paralelo, con las dos plataformas unidas por seis cadenas cinemáticas,
conteniendo cada una: un par giratorio, una junta cardan y un par esférico.
El Capítulo IV comprende el estudio de las configuraciones de
insensitividad de posición de la plataforma móvil. En un ejemplo numérico, se
determinan todas las configuraciones de insensitividad total para unas
determinadas dimensiones del manipulador.
Debido a las ventajas que ofrecen este tipo de configuraciones, en el
Capítulo V se propone un método para conseguir que varias posiciones
prefijadas de la plataforma móvil se consigan en configuración de insensitividad
total. En dos ejemplos numéricos, se determinan las dimensiones del
manipulador para lograr, respectivamente, dos y tres posiciones.
Finalmente, en el Capítulo VI, se realiza un estudio para comprobar si
son alcanzables todas las configuraciones de insensitividad total, para unas
determinadas dimensiones del manipulador. Esta comprobación se lleva a cabo
mediante el establecimiento de un proceso a seguir con una serie de reglas, que
tienen cierta similitud con las leyes de Grashof aplicables al cuadrilátero
articulado.
ÍNDICE
Índice
ii
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
ÍNDICE
CAPÍTULO I - INTRODUCCIÓN
I.1 - Introducción...............................................................................................
I.2 - Situación actual de la síntesis de mecanismos...........................................
I.3 - Objetivos de la tesis...................................................................................
I.4 - Proceso seguido en la realización de la tesis.............................................
3
5
7
8
CAPÍTULO II - SÍNTESIS DE MECANISMOS
II.1 - Introducción a la síntesis de mecanismos...............................................
II.2 - Métodos clásicos de síntesis de mecanismos.........................................
II.3 - Métodos actuales de síntesis de mecanismos.........................................
II.3.1 - Síntesis de tipo y de número o síntesis estructural......................
II.3.1.1 - Ejemplo de síntesis estructural..........................................
II.3.2 - Síntesis de generación de trayectoria y de puntos de precisión...
II.3.2.1 - Ejemplo de síntesis de generación de trayectoria.............
II.3.3 - Optimización dinámica................................................................
II.3.3.1 - Estudio cinemático............................................................
II.3.3.2 - Estudio dinámico...............................................................
II.3.3.3 - Simulación dinámica.........................................................
II.3.3.4 - Optimización del mecanismo............................................
II.4 - Conclusiones...........................................................................................
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22
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25
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CAPÍTULO III - MANIPULADORES PARALELOS
III.1 - Introducción..........................................................................................
III.2 - Manipuladores paralelos.......................................................................
III.2.1 - Manipuladores paralelos 6-RKS................................................
II.2.1.1 - Características de los manipuladores paralelos 6-RKS....
III.3 - Conclusiones..........................................................................................
iii
35
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47
48
Índice
CAPÍTULO IV - CONFIGURACIONES DE INSENSITIVIDAD
IV.1 - Introducción..........................................................................................
IV.2 - CIP y CIN en mecanismos espaciales...................................................
IV.2.1 - CIP y CIN en manipuladores paralelos......................................
IV.2.1.1 - CIP y CIN en manipuladores paralelos 6-RKS...............
IV.3 - CIP en manipuladores paralelos 6-RKS................................................
IV.3.1 - Configuraciones de insensitividad total y parcial.......................
IV.3.2 - Determinación de las 64 CIP del manipulador 6-RKS...............
IV.3.3 - Comprobación de las 64 configuraciones logradas....................
IV.4 - Ejemplo numérico.................................................................................
IV.4.1 - Cálculo de la primera configuración de insensitividad..............
IV.4.1.1 - Resolución del sistema....................................................
IV.4.1.2 - Solución...........................................................................
IV.4.2 - Cálculo de las CIP......................................................................
IV.4.3 - Cálculo de velocidades...............................................................
IV.4.3.1 - Comprobación de las CIP................................................
IV.5 - Conclusiones.........................................................................................
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CAPÍTULO V - SÍNTESIS DE UN MANIPULADOR 6-RKS
V.1 - Introducción............................................................................................ 95
V.2 - Posiciones predeterminadas en CIP........................................................ 96
V.2.1 - Una posición predetermina en CIP.............................................. 98
V.2.2 - Dos posiciones predeterminadas en CIP...................................... 100
V.2.2.1 - Formas de obtener dos posiciones en CIP........................ 101
V.2.3 - Tres posiciones predeterminadas en CIP..................................... 103
V.2.3.1 - Formas de obtener tres posiciones en CIP........................ 105
V.2.4 - Cuatro posiciones predeterminadas en CIP................................. 106
V.2.4.1 - Formas de obtener cuatro posiciones en CIP................... 106
V.3 - Ejemplo numérico para dos CIP............................................................ 107
V.3.1 - Introducción de datos.................................................................. 108
V.3.2 - Condiciones de restricción.......................................................... 110
V.3.3 - Resolución del sistema................................................................ 113
V.3.4 - Soluciones.................................................................................... 114
V.3.5 - Conclusiones de la síntesis para dos CIP..................................... 122
V.4 - Ejemplo numérico para tres CIP............................................................ 123
V.4.1 - Introducción de datos.................................................................. 123
V.4.2 - Condiciones de restricción.......................................................... 126
V.4.3 - Resolución del sistema................................................................ 130
V.4.4 - Soluciones................................................................................... 131
V.5 - Conclusiones.......................................................................................... 132
iv
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
CAPÍTULO VI - COMPROBACIÓN DEL GIRO
DE MANIVELAS
VI.1 - Introducción..........................................................................................
VI.2 - Situación actual....................................................................................
VI.3 - Proceso a seguir....................................................................................
VI.3.1 - Dimensiones previas..................................................................
VI.3.2 - Comprobación de la longitud de las bielas................................
VI.3.2.1 - Comprobación de la longitud de las bielas "2" y "3".....
VI.3.2.2 - Comprobación de la longitud de las bielas "4" y "5".....
VI.3.2.3 - Comprobación de la longitud de las bielas "6" y "1".....
VI.3.2.4 - Conclusiones sobre las longitudes de las bielas.............
VI.3.3 - Dimensiones de las aristas de la plataforma móvil....................
VI.3.3.1 - Comprobación de la longitud de la arista "A12".............
VI.3.3.2 - Distancias de los puntos "123" y "161" analíticamente..
VI.3.3.3 - Distancias de los puntos "123" y "161"
por el método numérico de Newton-Raphson...............
VI.3.3.4 - Distancias de los puntos "123" y "161" gráficamente....
VI.3.3.5 - Distancias entre los puntos "123" y "145"
y entre los puntos "145" y "161"...................................
VI.3.3.6 - Conclusiones sobre la longitud de una arista..................
VI.3.4 - Dimensiones de la plataforma móvil.........................................
VI.4 - Conclusiones........................................................................................
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CONCLUSIONES GENERALES
C.1 - Síntesis de mecanismos.........................................................................
C.2 - Manipuladores Paralelos........................................................................
C.3 - Configuraciones de insensitividad de posición......................................
C.4 - Síntesis de un manipulador paralelo 6-RKS..........................................
C.5 - Comprobación del giro de las manivelas...............................................
179
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181
LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ABIERTAS
L.1 - Síntesis de un manipulador paralelo 6-RKS...........................................
L.2 - Dimensiones del manipulador................................................................
L.3 - Espacio de trabajo...................................................................................
L.4 - Configuraciones de incertidumbre.........................................................
L.5 - Dinámica del manipulador.....................................................................
L.6 - Optimización del manipulador...............................................................
v
187
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188
188
Índice
ANEXO I.- SINTESIS DE PUNTOS DE PRECISIÓN
AI.1 - Ejemplo numérico................................................................................
AI.1.1 - Introducción de datos................................................................
AI.1.2 - Condiciones de restricción........................................................
AI.1.3 - Resolución del sistema..............................................................
AI.1.4 - Solución.....................................................................................
ANEXO II - OPTIMIZACIÓN DE UN
ARTICULADO
191
191
192
193
194
CUADRILÁTERO
AII.1 - Ejemplo numérico...............................................................................
AII.1.1 - Datos del mecanismo...............................................................
AII.1.2 - Estudio cinemático...................................................................
AII.1.2.1 - Cálculo de posición.......................................................
AII.1.2.2 - Cálculo de velocidades..................................................
AII.1.2.3 - Cálculo de aceleraciones...............................................
AII.1.3 - Cálculo dinámico.....................................................................
AII.1.3.1 - Simulación dinámica....................................................
AII.1.4 - Cálculo de sensibilidad cinemática..........................................
AII.1.4.1 - Sensibilidad de posición................................................
AII.1.4.2 - Sensibilidad de velocidades..........................................
AII.1.4.3 - Sensibilidad de aceleraciones........................................
AII.1.5 - Cálculo de sensibilidad dinámica.............................................
AII.2 - Resolución del ejemplo numérico.......................................................
AII.2.1 - Longitudes de los eslabones.....................................................
AII.2.2 - Simulación dinámica................................................................
AII.2.3 - Resultados................................................................................
AII.2.4 - Diagramas del par motor..........................................................
AII.3 - Conclusiones.......................................................................................
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REFERENCIAS
Referencias..................................................................................................... 231
vi
NOMENCLATURA
Nomenclatura
viii
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
NOMENCLATURA
Apq......... Longitud del lado de la plataforma móvil entre las bielas "p" y "q",
para pq = [12, 34, 56].
b.............. Vector de variables de diseño.
bT ........... Vector "b" traspuesto.
CIN......... Configuración de incertidumbre de posición.
CIP.......... Configuración de insensitividad de posición total.
CIP-1...... Configuración de insensitividad de posición para una cadena
cinemática.
CIP-2...... Configuración de insensitividad de posición para dos cadenas
cinemáticas.
CIP-3...... Configuración de insensitividad de posición para tres cadenas
cinemáticas.
CIP-4...... Configuración de insensitividad de posición para cuatro cadenas
cinemáticas.
CIP-5...... Configuración de insensitividad de posición para cinco cadenas
cinemáticas.
CIP-6...... Configuración de insensitividad de posición total (CIP).
Di-j.......... Distancia entre los puntos "i" y "j".
Dmax...... Distancia máxima entre dos puntos.
Dm1........ Distancia máxima o mínima relativa "1" entre dos puntos.
Dm2........ Distancia máxima o mínima relativa "2" entre dos puntos.
Dmc........ Distancia máxima o mínima entre dos puntos con las bielas
cruzadas.
Dmin....... Distancia mínima entre dos puntos.
(Dmax)max.. Máximo de las distancias máximas entre dos puntos.
(Dmin)max.. Máximo de las distancias mínimas entre dos puntos.
(Dmax)min.. Mínimo de las distancias máximas entre dos puntos.
(Dmin)min.. Mínimo de las distancias mínimas entre dos puntos.
Ei............ Descentramiento del actuador "i" respecto de los ejes de simetría del
triángulo formado por los ejes de los actuadores.
K............ Junta cardan.
Li............ Longitud del eslabón o de la biela "i".
M............ Matriz de masas referida a las coordenadas naturales.
M............ Par del motor eléctrico.
M b ......... Sensibilidad de la matriz de masas respecto de las variables de
diseño.
PI............ Posición de insensitividad.
Q............ Vector de fuerzas exteriores.
ix
Nomenclatura
Qt............ Relación de tiempos de las carreras de ida y retorno.
Q q .......... Derivada de las fuerzas exteriores respecto de las coordenadas
naturales.
Q b .......... Sensibilidad de las fuerzas exteriores respecto de las variables de
diseño.
Qq& .......... Derivada de las fuerzas exteriores respecto de las velocidades.
q............. Vector de coordenadas naturales (vector de posición de los puntos de
referencia).
qi............. Vector de posición en la iteración "i".
qi+1.......... Vector de posición en la iteración "i+1".
T
q .......... Vector "q" traspuesto.
q& ............ Vector de velocidades de los puntos de referencia.
&q& ............ Vector de aceleraciones de los puntos de referencia.
q b ........... Sensibilidad del vector de posición respecto de las variables de
diseño.
q& b .......... Sensibilidad de las velocidades respecto de las variables de diseño.
&q&b .......... Sensibilidad de las aceleraciones respecto de las variables de diseño.
R.............
Ri............
R2............
S.............
S.............
V.............
X2...........
& ...........
X
& ...........
Y
Z& ...........
&& ...........
X
&& ...........
Y
&& ...........
Z
α ...........
α ...........
αi ..........
β ............
θi ...........
λ ...........
Par giratorio.
Longitud de la manivela "i".
Resistencia del rotor del motor eléctrico.
Par esférico.
Deslizamiento del campo magnético del motor eléctrico
Velocidad de un punto.
Reactancia del rotor del motor eléctrico.
Componente "X" de la velocidad de un punto.
Componente "Y" de la velocidad de un punto.
Componente "Z" de la velocidad de un punto.
Componente "X" de la aceleración de un punto.
Componente "Y" de la aceleración de un punto.
Componente "Z" de la aceleración de un punto.
Coeficiente de la corrección de Baungarte.
Ángulo entre las dos posiciones del eslabón acoplador en
configuración de insensitividad.
Aceleración angular de la manivela "i".
Coeficiente de la corrección de Baungarte.
Ángulo del eslabón o de la manivela "i".
Vector de multiplicadores de Lagrange.
x
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
λ b .......... Sensibilidad de los multiplicadores de Lagrange respecto de las
variables de diseño.
φ............. Ecuación de restricción.
Φ ........... Sistema de ecuaciones de restricción.
& ........... Derivada implícita2 de " Φ " respecto de "t".
Φ
&& ........... Derivada segunda implícita de " Φ " respecto de "t".
Φ
Φ q ......... Matriz jacobiana de las condiciones de restricción respecto de "q".
ΦTq ......... Matriz jacobiana traspuesta.
& q .......... Derivada implícita de " Φ q " respecto de "t".
Φ
&& q .......... Derivada segunda implícita de " Φ q " respecto de "t".
Φ
& qq ........ Derivada implícita de " Φ qq " respecto de "t".
Φ
Φ qq ........ Derivada segunda de " Φ " respecto de las coordenadas naturales.
ΦTqq ........ Matriz " Φ qq " traspuesta.
Φ qb ........ Derivada de la matriz Jacobiana respecto de las variables de diseño.
ΦTqb ........ Matriz " Φ qb " traspuesta.
& qb ........ Derivada implícita de " Φ qb " respecto de "t".
Φ
Φ b .......... Derivada de " Φ " respecto de las variables de diseño.
& b .......... Derivada implícita de " Φ b " respecto de "t".
Φ
&& b .......... Derivada segunda implícita de " Φ b " respecto de "t".
Φ
3
Φ t .......... Derivada explícita de las condiciones de restricción respecto "t".
& t .......... Derivada implícita de " Φ t " respecto de "t".
Φ
Φ tq ......... Derivada de " Φ t " respecto de las coordenadas naturales.
Φ tb ......... Derivada de " Φ t " respecto de las variables de diseño.
& tq ......... Derivada implícita de " Φ tq " respecto de "t".
Φ
ωi .......... Velocidad angular de la manivela "i".
0i............ Punto del eje del actuador "i", en la base de la perpendicular trazada
a dicho eje desde el punto "1i".
1i............ Centro de la articulación cardan del extremo de la manivela del
actuador "i".
1jk.......... Centro de la rótula de la plataforma móvil donde se unen las bielas
"j" y "k", para jk = [23, 45, 61].
6-RKS..... Seis cadenas cinemáticas con pares "R", "K" y "S".
2
Derivada implícita quiere decir que se derivan respecto de "t" todos los términos que dependen
del tiempo.
3
Derivada explícita quiere decir que se derivan respecto de "t" solamente los términos en los que
aparece la variable "t".
xi
Nomenclatura
xii
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
Introducción
2
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
CAPÍTULO I - INTRODUCCIÓN
I.1 – INTRODUCCIÓN
Esta tesis se enmarca, dentro de la mecánica, en el campo de la
síntesis de mecanismos.
Según Reuleaux una máquina se puede considerar como "una
combinación de cuerpos resistentes de tal manera que, por medio de ellos,
las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encauzar para realizar un
trabajo acompañado de movimientos determinados". Y un mecanismo se
puede considerar como "una combinación de cuerpos resistentes conectados
por medio de articulaciones para formar una cadena cinemática cerrada
con un eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el movimiento".
En el diseño de una máquina pueden intervenir muchos campos de la
ciencia como por ejemplo la mecánica, la termodinámica, la mecánica de
fluidos o la ciencia de materiales, y se deben tener en cuenta aspectos como el
económico, el estético, ..... No obstante, de todos los estudios que se deben de
realizar en el diseño de una máquina, el estudio mecánico es de primordial
importancia, ya que la mecánica es la ciencia que relaciona la geometría, las
fuerzas y los desplazamientos, factores que determinan el funcionamiento de la
máquina. En el diseño de los mecanismos, el estudio mecánico será uno de los
más importantes ya que, según la definición de mecanismo, el objetivo de éstos
es transformar el movimiento y el análisis del movimiento lo realiza la
mecánica.
Al principio de la revolución industrial, el trabajo de los animales y el
trabajo más pesado del hombre fue sustituido por el de las máquinas. Poco a
poco, se ha ido sustituyendo el trabajo físico del hombre y, actualmente, con la
reconversión industrial, se está sustituyendo por el de las máquinas, incluso el
trabajo más cualificado realizado por hombre.
De lo expuesto anteriormente, se deduce la importancia del "Diseño
de Máquinas" para que éstas sean capaces de realizar los trabajos más
complejos, a gran velocidad, con seguridad para las personas y bienes que estén
a su alrededor, y con unos costes competitivos.
El diseño global de una máquina comienza por el diseño particular de
los mecanismos que la componen; ya que los movimientos necesarios en la
3
Introducción
máquina se consiguen por medio de diferentes mecanismos y, por lo tanto,
desde el punto de vista mecánico, las máquinas se pueden considerar formadas
por la combinación de varios mecanismos.
En muchas máquinas, la energía se introduce por medio del
movimiento giratorio de un motor eléctrico o térmico y su objetivo es generar
unos movimientos que no son giratorios, o si lo son, son más rápidos o más
lentos que el movimiento de entrada. Estos cambios entre el movimiento de
entrada y el de salida se consiguen por medio de mecanismos.
Otras máquinas, como por ejemplo los motores de combustión interna
alternativos, aprovechan la energía que el combustible suministra al pistón, que
realiza un movimiento rectilíneo alternativo. Como el movimiento más
fácilmente aprovechable a la salida de un motor es el giratorio, se necesita el
mecanismo pistón-biela-manivela para hacer la conversión del movimiento
alternativo en giratorio.
Por lo visto en los párrafos anteriores, se deduce que es muy
importante hacer un buen diseño de mecanismos para realizar un buen diseño
mecánico de máquinas.
El diseño de un mecanismo en particular, o de una máquina en
general, consta de dos partes diferenciadas: "Síntesis" y "Análisis".
La síntesis consiste en establecer a priori los tamaños, formas,
composición de materiales y disposición de las piezas, del tal modo que el
mecanismo o máquina resultante desempeñe el trabajo deseado.
Mediante el análisis se hace un estudio sobre un mecanismo o
máquina previamente sintetizada, para determinar si los movimientos que
realiza (trayectorias, velocidades y aceleraciones) son los deseados, y si los
esfuerzos que aparecen en los diferentes puntos de las piezas son menores que
los esfuerzos que son capaces de soportar.
La síntesis requiere imaginación, creatividad, sentido común y
experiencia. En cambio, en el análisis se necesitan una serie de conocimientos
de mecánica para determinar si el mecanismo o máquina sintetizado realiza los
movimientos prescritos, y si es suficientemente resistente como para soportar
los esfuerzos a que se verá sometido. No obstante, el trabajo de análisis puede
resultar muy complejo; por ejemplo, cuando se trata de determinar el
movimiento de un mecanismo sometido a unas fuerzas exteriores.
4
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
En el diseño de un mecanismo o máquina, el proceso habitual es el
siguiente: En primer lugar, se sintetiza el mecanismo o máquina, normalmente
de forma aproximada. Posteriormente, se realiza el análisis. Por regla general, el
mecanismo o máquina sintetizada no suele realizar perfectamente el
movimiento prescrito, o está mal dimensionado en cuanto a resistencia. Por ello,
se hace necesario variar el diseño, y volver a realizar el análisis, en un proceso
iterativo hasta comprobar que el mecanismo o máquina realiza el movimiento
deseado, y sus piezas están dimensionadas de forma que serán capaces de
soportar los esfuerzos a que vayan a estar sometidas.
Hasta hace aproximadamente 40 años, el proceso indicado en el
párrafo anterior se hacía manualmente y, normalmente, no se tenía en cuenta si
la solución obtenida era la óptima. En muchos casos, las máquinas y
mecanismos se iban optimizando gracias a la experiencia adquirida con los
resultados reales de otras máquinas construidas anteriormente. En las últimas
décadas, con el desarrollo de la informática, el proceso iterativo se ha realizado
por medio de ordenadores, que reducen el tiempo de cálculo y permiten añadir
la optimización de las diferentes soluciones posibles; algo impensable realizar
manualmente, para problemas ligeramente complicados, por lo tedioso y
costoso en tiempo que resultaba.
I.2 - SITUACIÓN ACTUAL DE LA SÍNTESIS DE MECANISMOS
En la actualidad, al realizar la síntesis de mecanismos, se debe
conseguir que ésta sea óptima bajo algún punto de vista preestablecido por el
diseñador.
Para conseguir un diseño óptimo, éste se divide en dos grandes
bloques, tal como se ha visto en el apartado anterior: Elección del tipo de
mecanismo y optimización del mismo.
Para la elección del tipo, es necesario conocer las características
cinemáticas y dinámicas de muchos mecanismos, cuantos más mejor, y así
poder hacer la elección de uno, entre los que sean capaces de desarrollar el
trabajo deseado.
El punto de vista mecánico bajo el que se suelen optimizar los
mecanismos puede depender de la cinemática del mecanismo (posiciones,
velocidades y aceleraciones) y de la dinámica (fuerzas y momentos).
Hoy en día, en la síntesis de mecanismos se está trabajando, por un
lado, en el desarrollo de nuevos mecanismos, estudiando sus características
5
Introducción
cinemáticas y dinámicas y, por otro lado, en la optimización de los mecanismos
ya desarrollados.
Esta tesis incluye un trabajo desarrollado en el campo de la
optimización de mecanismos planos y un estudio de las características
cinemáticas de un manipulador paralelo, un mecanismo espacial formado por
dos plataformas, una fija y otra móvil con varios grados de libertad, unidas por
varias cadenas cinemáticas, en paralelo, sobre las que accionan los actuadores
(Fig. I-1).
Fig. I-1 Manipulador paralelo
6
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
I.3 - OBJETIVOS DE LA TESIS
El objetivo ideal de una tesis de síntesis de mecanismos, es desarrollar
un método que permita realizar el diseño óptimo, tanto de mecanismos planos
como espaciales.
En esta tesis se describe un proceso para llevar a cabo la síntesis de
mecanismos, desde la elección del tipo de mecanismo hasta la optimización
cinemática y dinámica del mismo, poniendo ejemplos de los pasos seguidos en
el proceso, por medio de mecanismos planos.
El proceso a seguir con mecanismos espaciales sería el mismo que
para mecanismos planos; pero debido a las diversas características cinemáticas
y dinámicas de los innumerables tipos que existen o que se pueden diseñar,
aunque el objetivo final sería la síntesis óptima, sólo se estudiarán algunas
características cinemáticas de un determinado tipo de mecanismo espacial, el
manipulador paralelo 6-RKS propuesto por Hunt en 1983 [HUN. 83].
Se estudiarán, en primer lugar, las características cinemáticas y
dinámicas propias de los Manipuladores Paralelos 6-RKS, para disponer de una
información que permita la síntesis estructural o elección del mecanismo para
un trabajo para el que sea idóneo.
Entre las características cinemáticas de estos manipuladores se
encuentran las "configuraciones de insensitividad de posición de la plataforma
móvil". Se analizarán estas configuraciones y se introducirá el concepto de su
utilidad, pues no se conoce ningún trabajo anterior que lo haga. La mayoría de
investigadores que han estudiado configuraciones singulares lo han hecho con el
objeto de eliminarlas del espacio de trabajo. A continuación se determinará el
número de configuraciones de este tipo que puede alcanzar el manipulador y un
método para localizarlas.
Se propondrá un método para conseguir que varias posiciones
predeterminadas de la plataforma móvil se alcancen estando el mecanismo en
configuración de insensitividad total.
Se propondrá un proceso a seguir con unas reglas, con cierta similitud
a las leyes de Grashof, que permita comprobar si todas las manivelas del
manipulador pueden dar vueltas completas y así conseguir todas las
configuraciones de insensitividad de posición posibles.
7
Introducción
I.4 - PROCESO SEGUIDO EN LA REALIZACIÓN DE LA TESIS
Esta tesis se inició con el objetivo general de realizar "síntesis
cinemáticas y dinámicas de mecanismos asistidas por computador".
Para realizar la síntesis se siguió un proceso basado en algunos
métodos propuestos por García de Jalón J. y Bayo E. [GAR. 94]. Por ejemplo:
- Utilización de coordenadas naturales para determinar la posición del
mecanismo. Con estas coordenadas se definen puntos característicos como
los pares cinemáticos.
- Planteamiento de condiciones de restricción entre los puntos definidos por
las coordenadas naturales, como distancias fijas entre puntos o ángulos
constantes entre determinadas direcciones.
- Cálculo de las posiciones de los puntos del mecanismo, definidos por las
coordenadas naturales, por el método iterativo de Newton-Raphson de
linealización de las condiciones de restricción.
- Cálculo de velocidades y aceleraciones por derivación de las condiciones de
restricción respecto del tiempo.
- Simulación cinemática a partir de unas posiciones, velocidades y
aceleraciones dadas.
- Planteamiento de las ecuaciones de la dinámica con las aceleraciones de los
puntos definidos por las coordenadas naturales, lo que obliga a introducir la
matriz de masa y los multiplicadores de Lagrange.
- Simulación dinámica por integración numérica, a partir de unas posiciones y
velocidades iniciales, resolviendo en cada paso las ecuaciones dinámicas del
mecanismo.
- Aplicación del método de Baumgarte durante la simulación dinámica para
garantizar la convergencia de la integración numérica.
- Análisis de sensibilidades cinemática y dinámica, con el objeto de
determinar las sensibilidades de posiciones, velocidades, aceleraciones,
masas, multiplicadores y fuerzas exteriores respecto de las variables de
diseño.
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Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
- Planteamiento de una función objetivo dependiente de la cinemática y
dinámica del mecanismo, cálculo de sus sensibilidades respecto de las
variables de diseño y variación de éstas, en el sentido indicado por la
sensibilidad correspondiente, hasta minimizar o maximizar la función.
Siguiendo los pasos expuestos, se realizaron programas en Qbasic
Visual-Basic y Matlab para el cálculo cinemático y dinámico de cuadriláteros
articulados, levas y mecanismos de Whitworth.
En el cálculo cinemático se determinaron posiciones, velocidades y
aceleraciones de los puntos definidos por las coordenadas naturales y se
realizaron simulaciones cinemáticas en el tiempo a partir de la posición,
velocidad y aceleración del eslabón de entrada. También se realizó un programa
para síntesis de puntos de precisión, haciendo que un punto del eslabón
acoplador de un cuadrilátero articulado alcance cinco posiciones
predeterminadas.
En dinámica, los programas resuelven tanto los problemas inversos,
en los que se determinan las fuerzas a partir de una cinemática dada, como los
problemas directos en los que se determinan las aceleraciones a partir de unas
fuerzas exteriores dadas. En dinámica directa, también realizan la simulación en
el tiempo a partir de unas posiciones y velocidades dadas por medio de
integración numérica con corrección de Baungarte.
En Matlab, se realizaron programas de optimización de cuadriláteros
articulados y mecanismos de Whitworth, tomando como función objetivo la
minimización del par motor máximo, de un motor asíncrono que impulse al
mecanismo, durante una revolución de la manivela. La optimización se realizó
determinando la sensibilidad del par motor respecto de las variables de diseño,
variando éstas paso a paso en el sentido indicado por la sensibilidad hasta que la
sensibilidad fuese cero.
Una vez seguido el proceso de síntesis cinemática y optimización
dinámica, resolviendo ejemplos de mecanismos planos, el objetivo era aplicar la
misma teoría para mecanismos espaciales.
De mecanismos espaciales hay tal variedad, con unas características
cinemáticas propias de cada uno, que hizo que el estudio se centrase en los
manipuladores paralelos. Estos mecanismos están formados por una plataforma
fija y otra móvil unidas por medio de varias cadenas cinemáticas en paralelo
sobre las que accionan los actuadores.
9
Introducción
En la bibliografía referente a manipuladores paralelos se da gran
importancia a las características cinemáticas:
- Cinemática directa o determinación de la posición de la plataforma móvil a
partir de las posiciones de los actuadores.
- Cinemática inversa o determinación de las posiciones de los actuadores a
partir de la posición de la plataforma móvil.
- Configuraciones singulares, posiciones del mecanismo en las que la
plataforma móvil pierde o gana algún grado de libertad.
- Espacio de trabajo o posiciones que puede llegar a alcanzar la plataforma
móvil.
Una vez realizado el estudio de las características cinemáticas
anteriores, se inicia el estudio dinámico del manipulador.
Al realizar un repaso sobre diferentes tipos de manipuladores
paralelos y sus características cinemáticas, se centró la atención en el
manipulador paralelo 6-RKS propuesto por Hunt en 1983. Este manipulador
está formado por una plataforma fija sobre la que están fijados seis actuadores
giratorios (R) y una plataforma móvil triangular. Esta plataforma está unida a
los actuadores por seis cadenas cinemáticas, cada una formada por una manivela
y una biela unidas por una junta cardan (K). A cada vértice de la plataforma
móvil se unen dos bielas por medio de juntas esféricas (S).
Como en este manipulador las plataformas están unidas con cadenas
cinemáticas de manivela biela se pensó que, de forma similar a los mecanismos
planos de piston-biela-manivela y manivela-oscilador tienen configuraciones de
insensitividad (puntos muertos o posiciones de volquete), en los que la
velocidad del eslabón de salida es nula independientemente de la del de entrada,
ellos deberían tener también configuraciones de insensitividad, en las que las
velocidades de los puntos de la plataforma móvil fuesen nulas
independientemente de las de los actuadores.
En las configuraciones de insensitividad, la posición del eslabón de
salida es de gran precisión, ya que pequeños errores en las posiciones de los
eslabones de entrada no le afectan. Además, al pasar de una de estas
configuraciones a otra, tanto la velocidad inicial como la final de los puntos del
eslabón de salida son nulas, con la consiguiente ventaja dinámica que esto
representa.
En estas configuraciones, los pares a aplicar a los actuadores para
equilibrar a las fuerzas y momentos que actúan sobre la plataforma móvil son
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Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
nulos. Ello es debido a que las líneas de acción de las fuerzas que actúan en los
extremos de las manivelas cortan a los ejes de sus actuadores correspondientes.
Viendo la utilidad de las configuraciones de insensitividad, por
ejemplo de cara a posicionar piezas a mecanizar, se desarrolló un método para
su localización sistemática, comprobándose a continuación que las
configuraciones alcanzadas son realmente de insensitividad.
A continuación, y de forma similar a la síntesis de puntos de precisión
en mecanismos planos, se estudió la síntesis de manipuladores con el fin de
lograr que varias posiciones de la plataforma móvil preestablecidas se
consiguiesen estando el mecanismo en configuración de insensitividad.
Finalmente, con el fin de comprobar que todas las configuraciones de
insensitividad con alcanzables, se estudió un proceso con unas reglas a seguir
tipo leyes de Grashof.
11
Introducción
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CAPÍTULO II
SÍNTESIS DE MECANISMOS
Síntesis de Mecanismos
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Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
CAPÍTULO II - SÍNTESIS DE MECANISMOS
II.1 – INTRODUCCIÓN A LA SÍNTESIS DE MECANISMOS
La síntesis de mecanismos más o menos complicados, se ha venido
utilizando desde la más remota antigüedad. A continuación, según la
clasificación de J. Nieto [NIE. 78], se expone una relación de los diferentes
tipos de síntesis de mecanismos que se han ido utilizando.
- Síntesis de tipo o de Reuleaux
Trata de determinar la tipología de los eslabones a utilizar (barras,
levas, engranajes, etc.) y pares que los unen, en función de los criterios de
equivalencia, idoneidad y de diversas cualidades de los mecanismos a
conseguir.
- Síntesis de número o de Grubbler
Estudia los grados de libertad de la cadena cinemática, inversiones,
isomorfismos, posibles configuraciones de un número de barras dado, de
movilidad dada, etc.
Las dos síntesis anteriores unidas se conocen como síntesis
estructural.
- Síntesis dimensional
Una vez realizada las síntesis de tipo y de número, se inicia la síntesis
dimensional, de la que se puede hacer la clasificación siguiente:
- Síntesis dimensional o de Burmester
Aunque en principio se asignaba esta denominación a los trabajos
tendentes a obtener las dimensiones de las barras de un mecanismo, actualmente
se reserva a las síntesis geométrico-planas que elaboró Burmester.
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Síntesis de Mecanismos
- Síntesis de generación de funciones o de coordinación de barra
El objetivo se plantea como una relación entre varias posiciones de
eslabones de entrada y salida. Se suele referir a un número finito de posiciones.
- Síntesis de generación de trayectorias
Trata de situar algún o algunos puntos de los eslabones de un
mecanismo a lo largo de una trayectoria.
- Síntesis de puntos de precisión
En esta síntesis se pretende que se cumplan las exigencias de diseño
en unos puntos determinados. Se puede considerar una variante del anterior.
- Síntesis de guiado de cuerpo rígido
El problema se plantea no como obtención de una serie de puntos,
sino como situación y orientación de uno de los eslabones del mecanismo.
- Síntesis de Chebyshev
Se mide la desviación entre la función generada por el mecanismo y la
perseguida a través de los polinomios de Chebyshev.
- Síntesis por tanteo gráfico o método "overlay"
Consiste en la búsqueda de la solución mediante procesos de tanteo
que se ayudan de elementos auxiliares como gráficos. No comporta cálculo pero
su convergencia es dudosa. Su principal ventaja es la sencillez.
- Síntesis cinemáticas
En este tipo de síntesis, se incluyen exigencias de tipo cinemático,
como posición, valores de velocidades y aceleraciones. A este tipo de síntesis
pertenecerían todas las citadas anteriormente.
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Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
- Síntesis analíticas, gráficas, grafo-analíticas
Se clasifica la síntesis según la herramienta de cálculo utilizada sea
analítica, gráfica o una mezcla de ambas.
- Síntesis planas y espaciales
Según sea el ámbito del movimiento del mecanismo al que se aplica la
síntesis en el plano o en el espacio.
- Síntesis exactas
Este tipo de síntesis supone la existencia de, al menos, una solución
que haga posible el cumplimiento de todas las exigencias de diseño.
- Síntesis aproximadas
Cuando, a diferencia del caso anterior, no se dispone de una solución
que cumpla todas las exigencias de diseño, se trata de aproximar en lo posible
los resultados a los objetivos propuestos.
- Síntesis óptima
Cuando en la síntesis exacta se tiene varias o infinitas soluciones o en
la síntesis aproximada no se tiene ninguna solución exacta, se puede, desde
algún punto de vista, fijar una función objetivo que en la síntesis óptima se
puede minimizar o maximizar utilizando técnicas de optimización.
- Optimización dinámica
Reciben este nombre las síntesis en las que se engloban objetivos
dinámicos como minimización de fuerzas de inercia, de fuerzas de restricción,
pares motores, etc.
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Síntesis de Mecanismos
II.2 - MÉTODOS CLÁSICOS DE SÍNTESIS DE MECANISMOS
Tradicionalmente los problemas considerados por la síntesis
cinemática, y que están estrechamente relacionados entre sí en todo el proceso
de diseño del nuevo mecanismo, son clasificados en tres categorías. La primera
categoría incluye aquellas consideraciones que conciernen a la selección del
tipo de mecanismo que mejor cumple con los requerimientos del diseño.
Actualmente, se denomina "Síntesis de Tipo" y es el primer paso que se debe
dar para iniciar el análisis. El objetivo es determinar la clase de eslabones o
unidades constructivas a emplear: cuerpos, juntas, levas, engranajes, etc.
El segundo nivel o categoría se conoce como "Síntesis de Número".
Dado un mecanismo particular, este tipo de síntesis trata de determinar el
número de cuerpos y el más apropiado número y clase de juntas cinemáticas
que el mecanismo debe incluir para obtener un número dado de grados de
libertad.
La última categoría trata de seleccionar los valores más apropiados
para los parámetros geométricos y dimensiones del mecanismo con el fin de
cumplir los requerimientos impuestos por el diseñador, o al menos ser
considerado como diseño óptimo desde algún punto de vista. Esta categoría se
llama normalmente "Síntesis Dimensional".
Entre las tres categorías citadas, la resolución de los problemas de
síntesis de tipo y de número depende mucho de la experiencia del diseñador y
resulta difícil desarrollar un algoritmo para resolverlos. En cambio, en la
síntesis dimensional es más fácil utilizar métodos gráficos o analíticos para
resolver el problema.
En general, los problemas tratados por la síntesis dimensional se
agrupan en tres familias diferentes: síntesis de generación de funciones, síntesis
de generación de trayectorias y síntesis de guiado de cuerpo rígido.
II.3 - MÉTODOS ACTUALES DE SÍNTESIS DE MECANISMOS
En la actualidad los métodos de síntesis clásicos han sido
complementados con la optimización de las síntesis cinemática y la
optimización dinámica. Además, ha aumentado el número de mecanismos
desarrollados y el conocimiento de sus características cinemáticas y dinámicas,
por lo que han aumentado las posibilidades de cara a la elección del mecanismo.
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Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
A continuación se exponen a modo de ejemplo tres tipos de síntesis
actuales:
- Estructural.
- De puntos de precisión.
- Dinámica óptima.
II.3.1 - Síntesis de tipo y de número o síntesis estructural
La síntesis de tipo y de número conjuntas, o síntesis estructural
consiste en elegir un tipo de mecanismo para realizar un determinado trabajo.
Para poder realizar esta elección se deben conocer todas las
características cinemáticas y dinámicas de un gran número de mecanismos
articulados, levas, engranajes....; y dentro de estos grupos, las diferentes
características que pueden tener según sean sus dimensiones. Por ejemplo, un
mecanismo articulado puede: ser manivela oscilador, tener puntos límite, ser de
retorno rápido, etc.
II.3.1.1 - Ejemplo de síntesis estructural
Se desea conseguir un movimiento giratorio oscilante, que se
aproxime a los extremos de la oscilación con velocidad angular decreciente, a
partir de un movimiento de entrada giratorio de velocidad angular constante.
Para conseguir el tipo de movimiento deseado se puede intentar
diseñar un mecanismo totalmente nuevo, aunque eso no es lo más habitual,
normalmente se estudian las características cinemáticas de mecanismos ya
existentes, y en la mayoría de los casos, se pueden utilizar una serie de
mecanismos que cumplan con las exigencias planteadas.
Por ejemplo, en el problema propuesto, se podría utilizar un
mecanismo de leva (Fig. II-1) o un manivela-oscilador basado en el cuadrilátero
articulado (Fig. II-2) ya que ambos cumplen con las exigencias planteadas de
que el eslabón de salida realice un movimiento giratorio oscilante entre dos
posiciones extremas a las que llega con velocidad angular decreciente.
Las posiciones globales del mecanismo en las que la velocidad del
eslabón de salida es nula, independientemente de la velocidad del eslabón de
entrada, se denominan configuraciones de insensitividad.
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Síntesis de Mecanismos
Fig. II-1 Mecanismo de leva
Fig. II-2 Mecanismo manivela-oscilador
Si los dos mecanismos son de unas dimensiones apropiadas, tienen el
mismo diagrama de posición y el mismo diagrama de velocidad. El diagrama de
posición representa el ángulo que forma el eslabón "4" con la horizontal frente
al ángulo que forma el eslabón "2" también con la horizontal (Fig. II-3) y el
diagrama de velocidades representa la velocidad angular del eslabón "4" en
función de la posición del eslabón "2", suponiendo la velocidad angular de éste
constante (Fig. II-4).
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Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Fig. II-3 Diagrama de posición
Fig. II-4 Diagrama de velocidad
Finalmente, por ejemplo, se decide utilizar el mecanismo de manivelaoscilador por razones de situación del mecanismo en el conjunto de la máquina.
Esta metodología seguida en el estudio de los diferentes tipos de
mecanismos que pueden cumplir con las exigencias pedidas y la elección de uno
de esos mecanismos, siguiendo algún criterio propuesto por el diseñador, se
correspondería con la síntesis estructural.
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Síntesis de Mecanismos
Una vez realizada la síntesis estructural o elección del tipo de
mecanismo y del número de eslabones, se van estableciendo otros tipos de
síntesis, como síntesis cinemáticas o dinámicas, en las que se puede aplicar
métodos de optimización, con el fin de lograr, dentro del tipo de mecanismo
escogido, que éste tenga unas determinadas dimensiones y sea óptimo bajo
algún punto de vista.
II.3.2 - Síntesis de generación de trayectoria y de puntos de precisión
Una vez realizada la síntesis estructural, la síntesis de generación de
trayectoria trata de conseguir que un punto de un sólido rígido del mecanismo,
describa una trayectoria predeterminada. Si en vez de exigir que un determinado
punto describa una trayectoria completa, se fija que este punto pase por un
determinado número de posiciones, a ésta variante se le puede llamar síntesis de
puntos de precisión.
II.3.2.1 - Ejemplo de síntesis de generación de trayectoria
Como ejemplo de síntesis de generación de trayectoria se puede poner
el diseño de un cuadrilátero articulado plano (Fig. II-5) de tal forma que un
punto del eslabón acoplador (punto 3) describa una trayectoria definida por una
serie de puntos dados.
Fig. II-5 Cuadrilátero articulado para generación de trayectoria
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Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
En este caso, la síntesis comprende la determinación de las
dimensiones de los eslabones del mecanismo que hacen que se cumplan las
condiciones preestablecidas. Estas dimensiones serán las variables de diseño.
Utilizando las coordenadas naturales, introducidas por García de Jalón
J. y Bayo E. [GAR. 94], siguiendo el método propuesto por Jiménez, Álvarez,
Cardenal y Cuadrado [JIM. 97], suponiendo que los puntos "A" y "B" son fijos
y que se pueden variar las longitudes de la manivela y del eslabón seguidor y las
dimensiones y la forma del eslabón acoplador, resulta que las variables de
diseño son los elementos del vector
bT = {L1, L2, L3, L4, L5}
(II-1)
siendo L1 la longitud de la manivela, L2 la longitud del eslabón
acoplador, L3 la longitud del eslabón seguidor, L4 la distancia entre el punto "1"
y la base de la perpendicular trazada desde el punto "3" al eslabón acoplador y
L5 la distancia entre el punto "3" y la base de la perpendicular antes citada.
El vector de coordenadas dependientes de los puntos "1", "2" y "3",
que irán variando a lo largo de las trayectorias que describan según sea la
posición del mecanismo, será:
qT = {X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3}
(II-2)
Las restricciones geométricas que deben cumplir los diferentes puntos
del mecanismo, para cualquier posición en la que se encuentre, se pueden
expresar de la forma siguiente:
φ1 = (X1 - XA)2 + (Y1 - YA)2 - L12 = 0
φ2 = (X1 - X2)2 + (Y1 - Y2)2 - L22 = 0
(II-3)
φ3 = (X2 (Y2 =0
φ4 = X3 - X1 - (X2 - X1) · L4 / L2 + (Y2 - Y1) · L5 / L2 = 0
φ5 = Y3 - Y1 - (Y2 - Y1) · L4 / L2 - (X2 - X1) · L5 / L2 = 0
φ6 = X3 - Xp = 0
φ7 = Y3 - Yp = 0
(II-5)
(II-6)
(II-7)
(II-8)
(II-9)
XB)2+
YB)2
2
L3
(II-4)
Las tres primeras restricciones, ecuaciones (II-3), (II-4) y (II-5),
corresponden a las longitudes fijas de la manivela, el acoplador y el seguidor,
las ecuaciones (II-6) y (II-7), indican la perpendicularidad entre los segmentos
de longitudes "L4" y "L5" y las ecuaciones (II-8) y (II-9), recogen la condición
23
Síntesis de Mecanismos
de que las coordenadas del punto “3“ deben ser las coordenadas de los puntos
“P“ que se desean conseguir.
Si la trayectoria a seguir por el punto "3" se diese por menos de cinco
puntos, por ejemplo por cuatro, resultaría que las 7 condiciones de restricción
anteriores se convertirían en 28 ecuaciones, siete por cada punto propuesto. El
número de incógnitas sería 29: cuatro valores de los seis elementos del vector
de coordenadas dependientes "q", más los cinco elementos del vector "b" de las
variables de diseño. En este caso, se tendría 28 ecuaciones y 29 incógnitas
resultando un problema indeterminado con infinitas soluciones, por lo que
admitiría poder plantear una optimización, por ejemplo buscar la solución en la
que la suma de las longitudes de las barras sea mínima. También se podría
predeterminar la longitud de un eslabón, con lo que quedaría reducido el
problema a un sistema de 28 ecuaciones con 28 incógnitas que, en general,
tendría solución única.
Ahora, se contempla el caso en que la trayectoria a seguir por el punto
"3" venga dada por más de cinco puntos, por ejemplo por "6". En este caso se
tendrán siete condiciones de restricción por seis puntos que darían 42
ecuaciones de restricción. Por otro lado, seis valores de los seis elementos del
vector "q" de coordenadas dependientes más los cinco valores del vector "b" de
las variables de diseño, da un total de 41 incógnitas. En este problema, se
tendrían 42 ecuaciones de restricción y 41 incógnitas por lo que, en general, no
tendría solución, o sea no se podría conseguir que el punto "3" pasase por los
seis puntos preestablecidos de la trayectoria. En este caso, se puede buscar una
solución de manera que la suma de los cuadrados de las distancias entre los
puntos previstos y los puntos logrados sea mínima, lo que supone optimizar una
solución aproximada.
En el caso de que la trayectoria se dé exactamente por cinco puntos, se
tendrán siete condiciones de restricción por cinco puntos, es decir un total de 35
ecuaciones. Por otro lado, cinco valores de los seis elementos del vector "q" de
coordenadas más cinco valores del vector "b" de variables de diseño, resulta un
total de 35 incógnitas. Como en este caso se tienen 35 ecuaciones con 35
incógnitas, el problema, en general, tendrá solución y se podrá conseguir que el
punto "3" del eslabón acoplador alcance las cinco posiciones preestablecidas.
En este caso, a la síntesis se le puede considerar "síntesis de puntos de
precisión".
En el Anexo I, se muestra la resolución de un ejemplo numérico de
"síntesis de puntos de precisión" para un cuadrilátero articulado plano, en el que
se pretende que un punto del eslabón acoplador alcance cinco posiciones
predeterminadas.
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Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
II.3.3 - Optimización dinámica
Hasta hace pocos años, sólo se disponía de programas de análisis
dinámico; esto es, programas que analizaban el comportamiento dinámico de un
mecanismo después de haber definido de antemano su geometría y sus
características dinámicas. En la actualidad se están desarrollando programas de
diseño dinámico que no sólo analizan el comportamiento dinámico del
mecanismo, sino que modifican automáticamente los parámetros del mismo
hasta conseguir una solución óptima bajo algún punto de vista. Por ello,
actualmente, diseño dinámico es sinónimo de solución óptima.
El diseño óptimo de un mecanismo se inicia con la definición de la
función objetivo que valora el funcionamiento del mecanismo. La solución del
problema será la configuración que minimice la función objetivo en relación
con las variables de diseño. El problema puede tener ecuaciones de restricción,
esto es, igualdades o desigualdades que deben cumplir ciertas funciones de las
variables de diseño. Dependiendo de la aplicación, la función objetivo se puede
definir a lo largo de un intervalo de tiempo, pudiendo ser de tipo integral a lo
largo de todo el intervalo, o puede estar definida en varios puntos del intervalo,
o en un solo punto. La función objetivo normalmente depende de las variables
de diseño no sólo de forma explícita, sino también implícitamente a través de
los resultados del análisis dinámico: posiciones, velocidades, aceleraciones,
fuerzas de restricción, ....
La mayoría de los programas de diseño dinámico se basan, para su
realización, en el cálculo de las derivadas de la función objetivo respecto de las
variables de diseño. Este método se conoce como análisis de sensibilidad y es el
primer paso en el proceso de optimización. Se puede considerar también
separadamente, ya que la sensibilidad determina la tendencia de la función
objetivo con respecto a la variación del diseño y esto resulta muy útil en los
procesos de diseño iterativo no automático realizados paso a paso por el
diseñador.
Para la realización de la optimización dinámica se utilizarán las
coordenadas naturales y se aplica el método expuesto por García de Jalón J. y
Bayo E. [GAR. 94].
II.3.3.1 – Estudio cinemático
La resolución del problema de optimización comienza por el estudio
cinemático. Es decir, el cálculo de la posición, velocidad y aceleración de una
serie de puntos característicos del mecanismo.
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Síntesis de Mecanismos
Sea "q" el vector de coordenadas naturales de los puntos
característicos del mecanismo, "b" el vector de parámetros o variables de diseño
(por ejemplo longitudes de los eslabones) y "Φ" el conjunto de restricciones
geométricas que debe cumplir el mecanismo durante su funcionamiento.
Las restricciones geométricas del mecanismo se pueden escribir, de
forma compacta, como:
Φ(q, b, t) = 0
(II-10)
La resolución del problema de posición consiste en determinar el
vector "q" de coordenadas naturales que cumpla con las condiciones de
restricción, para una determinada posición del eslabón de entrada.
Como las condiciones de restricción normalmente son no lineales, se
utiliza en su resolución el método de linealización iterativo de NewtonRaphson. Con este método, se obtiene el vector de coordenadas naturales para
una posición del mecanismo que cumple las restricciones geométricas, para una
determinada posición del eslabón de entrada.
Para iniciar el método de Newton-Raphson se debe partir de un vector
de coordenadas naturales aproximadas. Según sea ese vector inicial puede que
el método no converja a una solución aceptable; en cuyo caso, se debe probar
con otro vector inicial de coordenadas naturales, y así sucesivamente hasta
conseguir converger a una solución que represente una posición real del
mecanismo. Un buen vector inicial suele ser el correspondiente a una posición
real del mecanismo y fácil de determinar, que sea próxima a la posición que se
desea calcular.
Una vez resuelto el problema de posición, derivando las ecuaciones de
restricción respecto del tiempo y suponiendo que los parámetros de diseño no
varían con el tiempo, se obtiene:
Φq q& + Φt = 0
(II-11)
ecuaciones que relacionan las velocidades de los puntos dados por las
coordenadas naturales, para la posición determinada del mecanismo.
Volviendo a derivar las ecuaciones de restricción respecto del tiempo
se obtiene:
& q q&  Φ
&t=0
Φq &q& + Φ
26
(II-12)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
ecuaciones que relacionan las aceleraciones de los puntos dados por
las coordenadas naturales, para la posición determinada del mecanismo.
& q " representan, la matriz
En las ecuaciones (II-11) y (II-12) "Φq" y " Φ
jacobiana de las condiciones de restricción respecto de las coordenadas
naturales y la derivada de esa matriz respecto del tiempo respectivamente, "q",
" q& " y " &q& " representan las posiciones, velocidades y aceleraciones de los
& t representan la primera y
puntos característicos del mecanismo y "Φt" y Φ
segunda derivadas de las condiciones de restricción respecto del tiempo.
II.3.3.2 – Estudio dinámico
Una vez resuelto el problema cinemático, se estudia el problema
dinámico, que es el estudio de las ecuaciones que relacionan las masas con la
cinemática del mecanismo y con las fuerzas.
Debido a que el conjunto de coordenadas naturales no son
independientes, se introducen los multiplicadores de Lagrange en las ecuaciones
que relacionan las masas con las fuerzas y las aceleraciones. Las ecuaciones
para el estudio dinámico son:
M &q& + Φ Tq λ = Q
(II-13)
donde "M" representa la matriz de masas, " Φ Tq " la matriz jacobiana
traspuesta, "λ" el vector de los multiplicadores de Lagrange y "Q" el vector de
las fuerzas exteriores.
En el sistema (II-13) de "n" ecuaciones, se tienen "(n+m)" incógnitas:
los "n" elementos de vector de aceleraciones más los "m" elementos del vector
de los multiplicadores. Para poder resolver este sistema, se toman en
consideración también las "m" ecuaciones cinemáticas (II-12) del cálculo de las
aceleraciones, formando así un sistema de "n+m" ecuaciones con "n+m"
incógnitas, que se puede expresar en forma matricial como:
 M Φ Tq   &q&  
Q


·  = 

&
&
&
Φ q 0  λ   − Φq q − Φ t 
27
(II-14)
Síntesis de Mecanismos
Sistema de ecuaciones que sirve tanto para resolver los problemas
dinámicos directos, en los que las incógnitas son las aceleraciones, como los
dinámicos inversos, en los que las incógnitas son las fuerzas.
II.3.3.3 – Simulación dinámica
En los problemas dinámicos directos, para poder hacer una simulación
dinámica en el tiempo, partiendo de una posición y velocidad dadas, se van
integrando numéricamente las ecuaciones dinámicas para obtener las nuevas
velocidades y posiciones. No obstante esta integración puede no converger a la
solución real y puede ir violando cada vez más las condiciones de restricción
geométricas y de velocidades.
Para evitar este problema, en este caso, se utiliza el método de
estabilización de Baumgarte [BAU. 72]:
- Tomando las ecuaciones de restricción (II-10) y su primera y
segunda derivada respecto del tiempo (II-11) y (II-12) respectivamente, se
tendrá los siguientes sistemas de ecuaciones:
Φ(q, t) = 0
Φq q& + Φt = 0
&t=0
& q q& + Φ
Φq q&& + Φ
- que esquemáticamente se pueden representar como:
Φ=0
& =0
Φ
&& = 0
Φ
(II-15)
(II-16)
(II-17)
- Si se cumplen las condiciones de restricción de posición y de
& " serán iguales a cero, por lo que la ecuación (II-17) se
velocidad, "Φ" y " Φ
puede escribir:
&& + 2 α Φ
& + β2 Φ = 0
Φ
(II-18)
- Si al ir realizando la simulación dinámica, se van violando las
condiciones de restricción de posición o de velocidad, el sistema de ecuaciones
(II-18) deja de cumplirse. En ese momento, los parámetros "α" y "β" introducen
28
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
una corrección, que hacen que la integración converja a la solución real en la
mayoría de los casos.
- Al introducir los parámetros "α" y "β" propuestos por Baumgarte, se
sustituye la ecuación (II-12) por la (II-18), y el conjunto de ecuaciones
cinemáticas y dinámicas queda de la siguiente forma:
 M Φ Tq   &q&  Q 

·  =  
Φ q 0  λ   g 
(II-19)
& q q& − Φ
& t − 2α(Φ q q& + Φ t ) − β2 Φ
g=- Φ
(II-20)
- siendo:
II.3.3.4 – Optimización del mecanismo
Una vez resuelto el problema cinemático y dinámico del mecanismo,
comienza la optimización, que consiste en minimizar o maximizar una cierta
función objetivo que habrá definido el diseñador.
Para iniciar la optimización se realiza el análisis de sensibilidad, que
determina la variación de la respuesta del mecanismo en relación con la
variación de los parámetros de diseño.
En el estudio de la sensibilidad se parte de las ecuaciones de
restricción (II-10) y se deriva respecto de los parámetros de diseño,
obteniéndose:
Φqqb + Φb = 0
(II-21)
ecuaciones de las que se determina el vector "qb" de sensibilidad de
posición respecto de los parámetros de diseño, siendo "Φb" la matriz de
derivadas de las ecuaciones de restricción respecto de los parámetros de diseño.
Derivando las ecuaciones que relacionan las velocidades (II-11)
respecto de los parámetros de diseño se obtiene:
Φq q& b + Φ qqqb q& + Φqb q& + Φtqqb + Φtb = 0
29
(II-22)
Síntesis de Mecanismos
ecuaciones donde "Φqq" y "Φqb" son hipermatrices, resultado de
derivar la matriz jacobiana respecto de las coordenadas dependientes y de las
variables de diseño respectivamente, y "Φtq" y "Φtb" son las matrices de
derivadas respecto de las coordenadas dependientes y de las variables de diseño
respectivamente, del vector "Φt". Con estas ecuaciones se determina el vector
" q& b " de sensibilidad de las velocidades respecto de los parámetros de diseño.
Derivando respecto de los parámetros de diseño las ecuaciones que
relacionan las aceleraciones (II-12) se obtiene:
& q q& b + Φ
& qq qb q& + Φ
& qb q& + Φ
& tq qb + Φtb = 0 (II-23)
Φq &q&b + Φqqqb &q& + Φqb &q& + Φ
ecuaciones que relacionan la sensibilidad de las aceleraciones respecto
& qq ", " Φ
& qb ", " Φ
& q" y "Φ
& tq "
de los parámetros de diseño " &q&b ", donde " Φ
representan las derivadas respecto del tiempo de matrices ya conocidas.
En los párrafos anteriores se han estudiado las sensibilidades
cinemáticas de posición y velocidad respecto de los parámetros de diseño,
necesarias para determinar las sensibilidades en el problema dinámico.
Tomando ahora la ecuación (II-13) de la dinámica del mecanismo y derivando
respecto de los parámetros de diseño se obtiene:
M &q&b + ΦTq λ b = Qb + Qq q b + Qq& q& b − M b &q& − Φ Tqq q b λ − Φ Tqb λ
(II-24)
ecuaciones que relacionan las sesibilidades cinemáticas con las de los
multiplicadores de Lagrange y las fuerzas, y en las que " λ b " es la matriz de
derivadas de los multiplicadores respecto de las variables de diseño, " Qb ",
" Qq " y " Qq& " son las matrices de derivadas de las fuerzas exteriores respecto de
las variables de diseño, de las coordenadas y de las velocidades y "Mb" es la
hipermatriz de las derivadas de la matriz de masas respecto de las variables de
diseño.
La ecuación anterior, junto con la de sensibilidad de aceleraciones
(II-23) se puede escribir en forma compacta como:
 M Φ Tq  &q&b   Q 

·  =  
Φ q 0  λ b   g 
30
(II-25)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
donde:
Q = Qb + Qq q b + Qq& q& b − M b &q& − Φ Tqq q b λ − Φ Tqb λ
(II-26)
g = - Φqqqb &&
q - Φqb &&
q - Φ& qq qb q& - Φ& qb q& - Φ& q q& b - Φ& tq qb - Φtb
(II-27)
Con el sistema de ecuaciones (II-25) se pueden obtener, en cada caso
distintas sensibilidades, dependiendo de cuales sean incógnitas.
Una vez se han obtenido las sensibilidades de posición, velocidad,
aceleración, multiplicadores de Lagrange, masas y fuerzas exteriores respecto
de los parámetros de diseño, se puede calcular la sensibilidad de la función
objetivo respecto de dichos parámetros. Ello proporcionará información para
saber cómo se deben variar los parámetros o variables de diseño con el fin de
conseguir que la función objetivo sea máxima o mínima, bien paso a paso o
aplicando algoritmos de optimización.
En el anexo II, siguiendo el proceso expuesto en este apartado, se
presenta un ejemplo numérico de optimización de las dimensiones de un
cuadrilátero articulado, accionado por un motor asíncrono, para que el valor
máximo del par motor durante un ciclo, es decir una revolución completa de la
manivela, sea mínimo. Como condiciones de restricción se toman: el ángulo
girado por el eslabón oscilador, su longitud y la relación de tiempos entre la
carreras de ida y de retorno.
II.4 CONCLUSIONES
En este capítulo se ha hecho un repaso de los métodos de síntesis
clásicos y actuales, aplicando los actuales a tres ejemplos típicos:
- Síntesis estructural, que consiste en la preselección de una serie de
mecanismos que cumplen con las características prescritas (leva y manivelaoscilador)
y,
finalmente
la
elección
de
uno
de
ellos
(manivela-oscilador).
- Síntesis de puntos de precisión, que se encuadra dentro de la síntesis
cinemática y su objetivo es el dimensionamiento de un mecanismo ya
escogido, de forma que un punto determinado alcance una serie de
posiciones predeterminadas. Como ejemplo, en el Anexo I, se determinan las
dimensiones de un cuadrilátero articulado para que un punto del eslabón
acoplador alcance cinco posiciones prefijadas.
31
Síntesis de Mecanismos
- Optimización dinámica o determinación de las dimensiones de un
mecanismo que hagan máxima o mínima una determinada función objetivo.
Como ejemplo en el Anexo II se presenta la optimización de las dimensiones
de un cuadrilátero articulado accionado por un motor asíncrono, cuya
función objetivo minimizada es el par motor máximo.
32
CAPÍTULO III
MANIPULADORES PARALELOS
Manipuladores Paralelos
34
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
CAPÍTULO III - MANIPULADORES PARALELOS
III.1 – INTRODUCCIÓN
En el Capítulo II se ha expuesto un método actual para la síntesis
óptima de mecanismos, mostrando su aplicación por medio de tres ejemplos:
Síntesis estructural, síntesis de puntos de precisión y optimización dinámica en
mecanismos planos.
La síntesis óptima de mecanismos planos está muy desarrollada, con
numerosos programas de ordenador para su consecución.
La teoría para la realización de la síntesis óptima de mecanismos
espaciales es la misma que para los mecanismos planos, sin embargo, tiene
dificultades de aplicación por las diversas características cinemáticas y
dinámicas de los innumerables tipos de mecanismos espaciales que existen o
que se pueden diseñar.
Particularizando el proceso expuesto en el Capítulo II "Métodos
actuales de síntesis de mecanismos", para mecanismos espaciales, se seguirían
los pasos siguientes:
- Síntesis estructural o elección del tipo de mecanismo.
- Síntesis cinemática.
- Optimización dinámica.
En la síntesis cinemática, también se podrá aplicar un proceso de
optimización planteando una función objetivo que deberá ser optimizada.
Para resolver el primer paso de la optimización dinámica, que es la
síntesis estructural o elección del mecanismo, se deben conocer las
características cinemáticas y dinámicas de los mecanismos espaciales y, sobre
todo, las del mecanismo que se pretende elegir para desarrollar el trabajo
deseado.
También se pueden sintetizar mecanismos nuevos, sobre los que
todavía no se ha realizado estudio alguno, con características mecánicas
desconocidas, en los que se deberá comenzar por analizar sus características,
continuar con el desarrollo de programas para realizar su análisis cinemático y
dinámico y finalmente realizar su diseño óptimo.
35
Manipuladores Paralelos
Las características cinemáticas y dinámicas del mecanismo elegido o
sintetizado condicionan todo el proceso de síntesis posterior, según sean éstas,
el mecanismo será capaz o no de conseguir los objetivos propuestos.
Como consecuencia de lo expuesto en los párrafos anteriores, para
realizar la síntesis óptima de mecanismos espaciales, se ha fijado la atención
solamente en los manipuladores paralelos, y en el conjunto de éstos, en el
manipulador paralelo 6-RKS propuesto por Hunt [HUN. 83], en el que se
realiza el estudio de una serie de características cinemáticas y dinámicas que le
son propias.
III.2 – MANIPULADORES PARALELOS
En una clasificación de mecanismos espaciales, un tipo podría ser el
conjunto de robots paralelos, caracterizados por el hecho de ser mecanismos de
cadena cinemática cerrada y constituidos por un elemento móvil con varios
grados de libertad que está unido a la base fija del mecanismo por varias
cadenas cinemáticas en paralelo. Merlet J. P. [MER 90/97].
De este tipo de mecanismos el más utilizado y estudiado es el
conocido con el nombre de Plataforma de Stewart Generalizada (Fig. III-1).
Aunque su configuración coincide con la plataforma de Gough [GOU. 62]
(Fig. III-2) que fue diseñada con anterioridad a la de Stewart.
Fig. III-1 Plataforma de Stewart generalizada
36
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Debido a que la plataforma de Stewart [STE. 65] (Fig. III-3 y III-4)
fue utilizada para la construcción de simuladores de vuelo, hizo que fuese la
más conocida cuando fue diseñada, y después ha ido cambiando su
configuración hasta coincidir con la de Gough, manteniendo su denominación
inicial.
La actual Plataforma de Stewart o Plataforma de Stewart Generalizada
está constituida por una plataforma móvil con varios grados de libertad, unida a
una plataforma fija por medio de varias cadenas cinemáticas en paralelo,
constituidas por actuadores lineales de longitud variable.
Fig. III-2 Plataforma de Gough
37
Manipuladores Paralelos
Fig. III-3 Plataforma de Stewart inicial, esquema
Fig. III-4 Plataforma de Stewart inicial, prototipo
38
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
En el estudio de los manipuladores paralelos, varios investigadores,
como [BEN. 96-2], [CLA 91], [MER. 87] a [MER. 90/97], [STA. 97], analizan
los siguientes puntos:
-
Estudio cinemático directo de posición.
Estudio cinemático inverso de posición.
Configuraciones singulares.
Espacio de trabajo.
Análisis cinemático de velocidades y aceleraciones.
Cálculo estático.
Cálculo dinámico.
En el estudio cinemático directo, se determina la posición de la
plataforma móvil, conociendo las coordenadas articulares de los actuadores. Por
ejemplo, se determina la posición de la plataforma móvil conociendo la longitud
de los actuadores lineales que unen la plataforma fija y la móvil. Este estudio
suele ser complejo ya que para unas determinadas coordenadas articulares el
manipulador puede adquirir varias configuraciones diferentes.
En el estudio cinemático inverso, se determinan las coordenadas
articulares de los actuadores para conseguir una determinada posición de la
plataforma móvil. Por ejemplo, se calculan las longitudes de los actuadores
rectilíneos para una determinada posición de la plataforma móvil. Este estudio
suele resultar más sencillo que el cinemático directo; aunque a veces las
coordenadas articulares admiten dos soluciones para una posición de la
plataforma móvil, por ejemplo cuando los actuadores son giratorios.
En las configuraciones singulares, por lo general, se estudian aquellas
posiciones del manipulador en las que aparece algún grado de libertad más de
los que tiene el manipulador controlados por los actuadores. Por lo tanto, en las
proximidades de esa posición, el manipulador tiene algún movimiento
incontrolado. Este tipo de configuraciones singulares hay que evitarlas en la
zona de trabajo en la que se va a utilizar el manipulador. También algunos
investigadores, que se verán en el Capítulo IV, estudian configuraciones
singulares en las que se pierde algún grado de libertad, es decir el órgano
terminal del manipulador permanece inmóvil para una determinada velocidad
articular.
En el estudio del espacio de trabajo se determina las posiciones que
puede alcanzar, por ejemplo, el centro de gravedad de la plataforma móvil para
una determinada orientación de la misma y también los ángulos máximos que
puede girar la plataforma para una determinada posición de su centro de
gravedad.
39
Manipuladores Paralelos
En el análisis de velocidades y aceleraciones, se calculan las
velocidades y aceleraciones de puntos de la plataforma móvil en función de las
velocidades y aceleraciones articulares de los actuadores. Por ejemplo el cálculo
de la velocidad y aceleración del centro de gravedad de la plataforma móvil,
conociendo las velocidades y aceleraciones articulares de los actuadores
lineales.
En el cálculo estático se determinan las fuerzas que hará cada actuador
para equilibrar una determinada resultante y a un par que actúen sobre la
plataforma móvil.
Finalmente, en el problema dinámico se relacionan fuerzas y
aceleraciones. Este puede ser dinámico inverso o directo. En el inverso, se
conocen las velocidades y aceleraciones de unos puntos determinados del
manipulador y se deben calcular las fuerzas que deben ejercer los actuadores
para conseguir el movimiento previsto. En el dinámico directo, se conocen las
fuerzas que ejercen los actuadores y se debe calcular las aceleraciones que
adquirirá el manipulador. En ambos casos, se pueden calcular toda una serie de
fuerzas de restricción que aparecerán en los puntos de unión de los eslabones
del mecanismo.
En el estudio dinámico directo, se pueden ir integrando en el tiempo
las aceleraciones y velocidades para obtener nuevas velocidades y posiciones a
partir de unas velocidades y posición iniciales, consiguiendo así una simulación
dinámica.
III.2.1 – Manipuladores paralelos 6-RKS
Aparte de la Plataforma de Stewart, en la familia de manipuladores
paralelos existen infinidad de tipos diferentes. Por ejemplo, manipuladores
paralelos planos, espaciales y entre los espaciales de tres, cuatro, cinco y seis
grados de libertad, con sus características cinemáticas y dinámicas propias. Un
tipo de estos mecanismos es el "Manipulador Paralelo 6-RKS" (Fig. III-5)
propuesto por Hunt [HUN. 83], sobre el que se centrarán los capítulos
siguientes de esta tesis.
Estos mecanismos se caracterizan por estar constituidos por una
plataforma móvil, con seis grados de libertad, unida a una plataforma fija por
medio de seis cadenas cinemáticas formadas por actuador giratorio, manivela y
biela.
40
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Fig. III-5 Manipulador paralelo 6-RKS de Hunt
Los actuadores giratorios "R" están montados sobre la plataforma fija,
las manivelas están montadas sobre los ejes de los actuadores y las bielas están
conectadas por un extremo al extremo de la manivela por medio de una junta
cardan "K" y por el otro extremo a la plataforma móvil por medio de una junta
esférica "S".
Sobre este tipo de robots aparte del diseño realizado por Hunt
[HUN. 83] se han realizado algunos estudios, conociéndose los realizados por:
- Pierrot; Dauchez, Fraisse, Begon, Fournier, Uchiyama, Iimura, Unno,
Toyama, etc.
- Zamanov de la Universidad Técnica de Sofía (Bulgaria).
- Plitea, Giordano y Benea.
- Takeda, Funabashi e Ichimaru.
- Zanganeh, Sinatra y Angeles.
41
Manipuladores Paralelos
Pierrot, Dauchez, Fraisse, Begon y Fournier de la Universidad de
Montpellier II (Francia), Uchiyama e Iimura de la Universidad de Tohoku
(Japón) y Unno y Toyama de la empresa Toyoda Machine Works, Ltd.
[PIE. 90], [PIE. 91-1], [PIE. 91-2], [PIE. 91-3], [PIE. 92-1], [PIE. 92-2],
[UCH. 92], [BEG. 93], [TOY. 93], [BEG. 95], desarrollaron el robot paralelo
de 6 grados de libertad HEXA (Fig. III-6) como generalización del robot de tres
grados de libertad DELTA desarrollado por Clavel de la Escuela Técnica
Federal de Lausana (Suiza) [CLA. 88] (Fig. III-7). Estos manipuladores tienen
la estructura del manipulador paralelo 6-RKS de Hunt, no obstante, debido a las
dimensiones de las manivelas y de la plataforma móvil, no poseen, y sus autores
tampoco han puesto de manifiesto, las características cinemáticas del modelo
que se verá en los capítulos siguientes.
Fig. III-6 Manipulador paralelo Hexa
42
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Fig. III-7 Manipulador paralelo Delta
El profesor Zamanov de la Universidad Técnica de Sofía (Bulgaria) ha
diseñado y construido un prototipo de estructura parecida al manipulador
6-RKS de Hunt (Fig. III-8), pero con la dirección de los ejes de los actuadores
diferente, con lo que cambian algunas características cinemáticas.
Fig. III-8 Manipulador paralelo de Zamanov
43
Manipuladores Paralelos
Los estudios realizados en la Universidad de Savoia (Francia) por
Giordano y en la Universidad Técnica de Cluj-Napoca (Rumania) por Benea y
Plitea [PLI. 94], [GIO. 95], [BEN. 96-1], [BEN. 96-2] sobre un manipulador
paralelo 6-RKS (Fig. III-9 y III-10) siguen la estructura clásica de los estudios
realizados sobre los manipuladores paralelos: estudio de posición directo e
inverso, configuraciones singulares, espacio de trabajo, estática y dinámica.
La composición de las cadenas cinemáticas de unión de las
plataformas son las mismas que las del manipulador propuesto por Hunt, pero la
disposición de los actuadores es diferente, por lo que varían bastante las
características cinemáticas respecto de las del manipulador de Hunt.
Fig. III-9 Manipulador 6-RKS estudiado por Benea, esquema
44
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Fig. III-10 Manipulador 6-RKS estudiado por Benea, prototipo
Takeda y Funabashi, del Instituto Tecnológico de Tokio, e Ichimaru,
de la empresa Sumimoto Steel Corporation, [TAK. 97] han construido y
estudiado un prototipo basado en la estructura 6-RKS de Hunt (Fig. III-11 y
III-12). En el trabajo referenciado, realizan una optimización de las dimensiones
del mecanismo basándose en el índice de transmisión; pero no realizan un
estudio de las características cinemáticas del manipulador.
45
Manipuladores Paralelos
Fig. III-11 Manipulador 6-RKS de Takeda, esquema
Fig. III-12 Manipulador 6-RKS de Takeda, prototipo
46
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Zanganeh de la Universidad de Toronto (Canadá), Sinatra de la
Universidad de Catania (Italia) y Angeles de la Universidad McGill de Montreal
(Canadá) [ZAN. 97] realizan un estudio cinemático y dinámico de un
manipulador que tiene la misma estructura que el 6-RKS de Hunt (Fig. III-13),
pero no abordan el tema de características cinemáticas del manipulador.
Fig. III-13 Manipulador 6-RKS de Zanganeh
III.2.1.1 – Características de los manipuladores paralelos 6-RKS
Este tipo de manipuladores paralelos, al tener la plataforma superior e
inferior unidas por medio de cadenas cinemáticas de actuador giratorio,
manivela y biela, tiene unas características cinemáticas y dinámicas propias.
Características que no posee, por ejemplo, la plataforma de Stewart
generalizada, ya que en ésta la unión entre las plataformas se realiza por medio
de actuadores lineales.
Una característica cinemática de los manipuladores paralelos 6-RKS
es poseer configuraciones de insensitividad de posición (CIP). En estas
configuraciones, las velocidades de los puntos de la plataforma móvil son nulas
47
Manipuladores Paralelos
independientemente de las velocidades articulares de los actuadores, poseyendo
además una serie de ventajas que se pondrán de manifiesto en el Capítulo IV.
III.3 – CONCLUSIONES
En este capítulo se ha realizado una aproximación al arte de los
manipuladores paralelos basados en la estructura 6-RKS propuesta por Hunt, y
se ha introducido el concepto de utilidad de las configuraciones de
insensitividad posición (CIP), característica cinemática ventajosa que posee este
tipo de manipuladores, si tienen unas dimensiones apropiadas.
En los manipuladores 6-RKS conocidos, los investigadores que han
trabajado sobre ellos no han puesto de manifiesto las ventajas de las
configuraciones de insensitividad de posición, bien porque debido a sus
dimensiones no se pueden alcanzar o porque las han considerado perjudiciales,
y por lo tanto, tratan de eliminarlas del espacio de trabajo del manipulador.
48
CAPÍTULO IV
CONFIGURACIONES DE
INSENSITIVIDAD
Configuraciones de Insensitividad.
50
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
CAPÍTULO IV - CONFIGURACIONES DE
INSENSITIVIDAD
En este capítulo se definen las configuraciones de insensitividad de
posición (CIP) del manipulador paralelo 6-RKS propuesto por Hunt. Se pone de
manifiesto las ventajas de las (CIP), determinando el número de
configuraciones de este tipo existente, y se propone un método numérico para
lograrlas. También se definen las configuraciones de incertidumbre de posición
(CIN) que es necesario eliminarlas del espacio de trabajo del manipulador por
resultar perjudiciales o negativas.
IV.1 – INTRODUCCIÓN
Los mecanismos planos de pistón-biela-manivela y manivelaoscilador se utilizan en muchos automatismos: el primero cuando se necesita un
movimiento rectilíneo y el segundo cuando se precisa un movimiento giratorio.
Ambos son movimientos alternativos y parten de un movimiento giratorio
continuo.
En estas aplicaciones, el movimiento giratorio continuo, en ambos
mecanismos, se introduce por el eslabón llamado manivela. En el mecanismo
pistón-biela-manivela, el movimiento de salida será el del pistón, y en el
mecanismo de manivela-oscilador será el del seguidor.
Ambos mecanismos se utilizan de forma extensa porque tienen la
peculiaridad de poseer, cada uno, dos configuraciones (llamadas también puntos
límite, muertos o de volquete) [BUR. 79], [ERD. 91] y [SHI. 80], en las que la
velocidad del pistón en uno o la velocidad del seguidor en el otro son nulas para
cualquier valor de la velocidad de la manivela. Estas configuraciones se dan en
el mecanismo pistón-biela-manivela cuando la manivela y la biela están
alineadas, superpuestas o en prolongación (Fig. IV-1). En el mecanismo
manivela-oscilador; estas configuraciones se dan cuando la manivela y el
eslabón acoplador están alineados, en superposición o en prolongación
(Fig. IV-2).
Estas configuraciones recibirán el nombre de "configuraciones de
insensitividad de posición" (CIP).
51
Configuraciones de Insensitividad.
Fig. IV-1 CIP en el mecanismo Pistón-Biela-Manivela
Fig. IV-2 CIP en el mecanismo Manivela-Oscilador
52
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Estas CIP son configuraciones de gran precisión de posición para el
pistón en el mecanismo pistón-biela-manivela, y para el eslabón seguidor en el
mecanismo manivela-oscilador. En ellas, pequeños errores en la posición de las
manivelas de entrada apenas influyen en la posición del pistón y del seguidor
respectivamente, de ahí su calificativo de insensitividad de posición.
El ser nula la velocidad del eslabón de salida en las CIP supone una
gran ventaja cuando con estos mecanismos se realiza una carrera que finaliza en
una detención. Así se aprovecha para detener el mecanismo en las CIP, cuando
el eslabón de salida tiene velocidad nula, lo que hace que las fuerzas de inercia
en el mecanismo sean reducidas. Ello es debido a que en ese momento la
aceleración del eslabón de salida, por muy rápida que sea la detención, será la
misma que si pasase por esa configuración sin detenerse; en cambio, la
detención brusca del mecanismo en cualquier otra configuración donde la
velocidad del eslabón de salida no es nula, producirá una aceleración muy
elevada.
En las CIP citadas, el par de entrada en la manivela será nulo
independiente de las fuerzas o momentos aplicados al eslabón de salida. Esto es
debido a que la reacción que aparece en la articulación de unión de la manivela
y el eslabón acoplador tiene la dirección de la manivela.
De los párrafos anteriores se desprende que en los mecanismos de
pistón-biela-manivela y manivela oscilador las CIP descritas resultan positivas,
y por ello, estos mecanismos se vienen empleando desde hace años en
automatismos y máquinas, haciendo uso de sus CIP.
En los mecanismos planos, pueden existir "configuraciones de
incertidumbre de posición" (CIN), que suelen resultar perjudiciales o negativas,
en las que el eslabón de salida puede realizar pequeños desplazamientos aunque
el eslabón de entrada permanezca inmóvil, de ahí la incertidumbre de posición.
También, el eslabón de salida puede tener una cierta velocidad, siendo nula la
velocidad del eslabón de entrada. Un ejemplo de este tipo de CIN se puede dar
en cualquiera de los mecanismos citados anteriormente si se introduce el
movimiento por el pistón en uno o por el eslabón seguidor en el otro y se toma
la manivela como eslabón de salida. En ambos casos, si no se toma ningún tipo
de precaución, los mecanismos pueden quedar fuera de control en esas
configuraciones, al surgir un nuevo grado de libertad para el eslabón de salida.
53
Configuraciones de Insensitividad.
IV.2 – CIP Y CIN EN MECANISMOS ESPACIALES
En los mecanismos espaciales de un grado de libertad cabrá hablar de
una configuración de insensitividad de posición (CIP) cuando se tenga una
configuración del mecanismo tal que, aunque se introduzca un movimiento con
una velocidad cualquiera en el eslabón de entrada, el eslabón de salida
permanezca inmóvil. De manera análoga, se hablará de una configuración de
incertidumbre de posición (CIN) cuando el eslabón de salida pueda realizar
determinados movimientos estando inmóvil el eslabón de entrada.
Para algunos mecanismos espaciales de un grado de libertad, basados
en el cuadrilátero articulado, muchos autores han estudiado, por razones varias,
los límites de su espacio de trabajo, que son posiciones de los mecanismos en
las que se producen las CIP. Entre dichos autores, cabe citar a Harrisberger
[HAR. 64], Skreiner [SKR. 67], Freudenstein y Kiss [FRE. 69], Sticher
[STI. 69], Botema [BOT. 70], Gupta y Radcliffe [GUP. 71], Freudenstein y
Primrose [FRE. 76], Soylemez y Freudenstein [SOY. 82], Gupta y Kazerounian
[GUP. 83], Sandor y Zhuang [SAN. 84], Tinubu y Gupta [TIN. 84], Alizade y
Sandor [ALI. 85], Williams y Reinholtz [WIL. 87] y Rastegar y Tu [RAS. 92].
Hunt [HUN. 78/90] se refiere a este tipo de configuraciones en
mecanismos articulados planos y espaciales llamándolas "configuraciones
estacionarias" a las aquí referidas como (CIP) y "configuraciones de
incertidumbre" a las (CIN).
En los mecanismos planos o espaciales de varios grados de libertad, se
dará una CIP cuando el eslabón de salida permanezca inmóvil para una
velocidad cualquiera de uno o varios eslabones de entrada. Del mismo modo, se
tendrá una CIN cuando el eslabón de salida tenga algún movimiento estando
inmóviles todos los eslabones de entrada.
En mecanismos de varios grados de libertad, autores como Uchiyama
[UCH. 79], Hunt [HUN. 82] y [HUN. 87], Sugimoto, Duffy y Hunt [SUG. 82]
y Rastegar y Deravi [RAS. 87-1] y [RAS. 87-2], han realizado estudios sobre
CIP en robots tipo serie. En estas configuraciones, un determinado punto del
brazo del robot describe una superficie que suele ser, de alguna manera, límite
del espacio de trabajo. Mientras ese punto determinado se encuentre en la
superficie límite puede permanecer inmóvil independientemente del
movimiento de algún actuador, perdiendo el robot algún grado de libertad. A
estas configuraciones, normalmente las denominan como "configuraciones
singulares" y las estudian como límites negativos del espacio de trabajo, no
habiendo ningún estudio que se conozca en el que las consideren ventajosas.
54
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
IV.2.1 – CIN y CIP en manipuladores paralelos
En manipuladores paralelos de varios grados de libertad, desde que
Stewart [STE. 65] propuso su plataforma citando que tenía dos posibles
posiciones de inestabilidad (positions of instability), es decir dos CIN, varios
investigadores han realizado estudios sobre las CIP y las CIN de estos
mecanismos. Así, Hunt [HUN. 83] cita dos posibles tipos de configuraciones (él
las llama "special configurations"): un tipo se produce cuando la plataforma
móvil permanece inmóvil aunque se introduzca algún movimiento por alguno o
varios actuadores "stationary singularity" (lo que aquí se denomina CIP), y otro
tipo en el que la plataforma móvil puede realizar pequeños desplazamientos
aunque todos los actuadores permanezcan fijos "uncertainty singularity" (CIN).
Kokkinis y Stoughton [KOK. 88] estudian las CIP y CIN de un
manipulador paralelo de 3 grados de libertad, denominándolas, al igual que
Hunt, "stationary singularity" y "uncertainty singularity".
Hunt, Samuel y McAree [HUN. 91] estudian las configuraciones
especiales para un tipo de manipulador con una mezcla de actuadores en serie y
paralelo, utilizando los ejes instantáneos de rotación y deslizamiento.
Determinan configuraciones en las que el eslabón de salida del manipulador
pierde o gana algún grado de libertad (CIP) y (CIN) respectivamente,
estudiando el conjunto de vectores que representan el giro y deslizamiento de
los actuadores sobre los ejes instantáneos.
Merlet [MER. 88] estudia las CIN de varios manipuladores,
denominándolas configuraciones singulares, utilizando los vectores de Plücker
y la geometría de Grassmann, con el fin de evitar esas configuraciones en el
espacio de trabajo de los manipuladores. Por el mismo método autores como
Mouly [MOU. 93], Collins y Long [COL. 94], Notash y Podhorodeski
[NOT. 94], Pasqui-Boutard [PAS. 94], Long [LON. 97], Hao y McCarthy
[HAO. 98] y Notash [NOT. 98], estudian fundamentalmente las CIN por medio
de la geometría de Grassmann.
A su vez, Gosselin y Angeles [GOS 90-1] clasifican las CIP y CIN
(singularity), teniendo en cuenta los valores de los determinantes de las matrices
que relacionan las velocidades articulares de los actuadores y las velocidades
lineales y angulares de la plataforma móvil, en tres tipos:
- Tipo I, coincide con la CIP.
- Tipo II, coincide con la CIN.
- Tipo III, cuando una configuración es al mismo tiempo CIP y CIN.
55
Configuraciones de Insensitividad.
Siguiendo la clasificación de Gosselin y Angeles varios autores como
Funabashi, Horie, Kubota y Takeda [FUN. 91], Uchiyama [UCH. 94], Sefrioui
y Gosselin [SEF. 94] y [SEF. 95], Gosselin y Wang [GOS. 95] y [GOS. 97],
Mohammadi, Zsombor-Murray y Ángeles [MOH. 95], Chablat y Wenger
[CHA 96], St-Onge y Gosselin [ST-O. 96] y Wang y Gosselin [WAN.J. 97],
estudian las CIP y CIN de diversos tipos de manipuladores paralelos.
Al mismo tiempo, Gosselin [GOS. 90-2] relaciona las configuraciones
singulares con los mapas de rigidez de la plataforma móvil en todo el espacio de
trabajo de los manipuladores paralelos.
De forma análoga, Tahmasebi y Tsai [TAH. 93] clasifican las
configuraciones singulares en: "Inverse kinematics singularities" y "Direct
kinematics singularities" que coinciden con las CIP y las CIN respectivamente,
o con las singularidades Tipo I y Tipo II de Gosselin y Angeles. A continuación,
estudian esas configuraciones para un manipulador paralelo de tres brazos y 6
grados de libertad.
Por otro lado, Basu y Ghosal [BAS 96] estudian configuraciones
singularidades de un manipulador paralelo basándose en el método geométrico
de la tangente común para las velocidades de los puntos de dos eslabones
coincidentes en una articulación. Suponiendo que se elimine dicha articulación,
para que las velocidades de los dos puntos tengan tangente común, los
eslabones unidos por dicha articulación deben estar contenidos en el mismo
plano, condición que se da en las CIP y CIN.
Mientras, Zlatanov, Fenton y Benhabib [ZLA. 94-1] a [ZLA. 98],
estudian seis tipos de singularidades para varios manipuladores paralelos.
Singularidades que, como normalmente se dan dos al mismo tiempo, coinciden
aproximadamente con la clasificación de tres tipos hecha por Gosselin y
Angeles.
Innocenti y Parenti-Castelli [INN. 92] estudian las singularidades y el
paso entre zonas del espacio de trabajo limitadas por superficies de
configuraciones singulares tanto en robots serie como en manipuladores
paralelos.
Por último, otros autores como Clavel [CLA. 89], [CLA. 91] y
[CLA. 94], Pierrot [PIE. 91-4], Kumar [KUM. 92], Lee y Kim [LEE. 93], Lui,
Lewis, Lebret y Taylor [LIU. 93], Ait-Ahmed [AIT. 93], Fioretti [FIO 94],
Wang [WAN.S. 94], Tadokoro [TAD. 94], Vischer [VIS. 95], ZsomborMurray, Husty y Hartmann [ZSO. 95], Ferrand y Renaud [FER. 95], Takeda y
Funabashi [TAK. 95] y [TAK. 96], Merlet [MER. 96], Funabashi y Takeda
56
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
[FUN. 97], Collins y McCarthy [COL. 97-1], [COL. 97-2] y [COL. 97-3],
Nenchev y Uchiyama [NEN. 97-1] y [NEN. 98], Nenchev, Bhattacharya y
Uchiyama [NEN 97-2], Dafaoui, Amirat, Pontnau y François [DAF. 98] y
Dasgupta y Mruthyunjaya [DAS. 98-1] y [DAS. 98-2], han estudiado por algún
método las CIP y CIN de algún manipulador paralelo.
No obstante, resulta importante constatar como, en los artículos
citados, se estudian normalmente con detenimiento las CIN con el fin de
evitarlas en el espacio de trabajo y, como mucho, se cita que existen las CIP, sin
hacer mención en ningún caso conocido, a su posible utilidad.
IV.2.1.1. - CIP y CIN en manipuladores paralelos 6-RKS
Entre los estudios sobre configuraciones singulares CIP y CIN
realizados sobre manipuladores paralelos tipo 6-RKS, cabe señalar los
siguientes:
- En el manipulador HEXA (Fig. III-6) por Pierrot, Uchiyama, Dauchez y
Fourier [PIE. 90], Pierrot, Dauchez y Fourier [PIE. 91-2] y [PIE. 91-3] y
Uchiyama, Iimura, Pierrot, Dauchez, Unno y Toyama [UCH. 92]. En estos
trabajos se estudian las configuraciones singulares distinguiendo dos tipos:
"Undermobility", que coincide con las CIP, y "Overmobility", que coincide
con las CIN. También, sobre este mismo manipulador, ha realizado estudios
Begon [BEG. 95-2] basándose en los seis tipos de singularidades expuestos
por Zlatanov y otros. Al final los reduce a dos tipos que los denomina:
"Sous-movilité" y "Sur-movilité" que coinciden con las CIP y CIN
respectivamente.
- En el prototipo construido y estudiado por Takeda, Funabashi e Ichimaru
[TAK. 97] (Fig. III-11 y III-12), realizan una optimización del manipulador
y localizan las regiones de configuraciones singulares basándose en el índice
de transmisión, índice que relaciona la velocidad angular de un actuador con
la velocidad de la rótula de unión de la plataforma móvil con la biela
correspondiente a ese actuador, y lo calculan para diferentes puntos del
espacio de trabajo siguiendo un método aleatorio.
- En el prototipo 6-RKS estudiado por Plitea, Giordano y Benea
[BEN. 96-2] (Fig. III-9 y III-10), Benea realiza un estudio sobre las
configuraciones singulares clasificándolas en Singularités de type 1
("parallèles") que coinciden con las CIN y con las singularidades Tipo II de
Gosselin y Angeles y Singularités de type 2 ("série") que coinciden con las
CIP y con las singularidades Tipo I de Gosselin y Angeles. Para la
57
Configuraciones de Insensitividad.
localización de las singularidades utiliza un método numérico de cálculo del
valor del determinante de la matriz jacobiana haciendo un mallado a través
del espacio de trabajo que puede alcanzar la plataforma móvil. Como
conclusiones, cita que se han encontrado 26 = 64 posiciones de singularidad
que deberían poder ser evitadas.
En esta tesis se obtendrán las CIP por un método directo de paso de
una configuración a otra siguiendo un orden preestablecido. Además, se pondrá
de manifiesto las ventajas de estas configuraciones, al contrario que los autores
anteriores que las determinan con el fin de eliminarlas del espacio de trabajo.
IV.3 - CIP EN MANIPULADORES PARALELOS 6-RKS
El Manipulador Paralelo 6-RKS de Hunt (Fig. IV-3 y IV-4) está
formado por una plataforma inferior fija sobre la que están montados seis
actuadores con movimiento giratorio, y cuyos ejes de giro se encuentran en un
plano paralelo a dicha plataforma, y una plataforma superior móvil conectada a
los actuadores por medio de seis cadenas cinemáticas biela-manivela.
Fig. IV-3 Manipulador Paralelo 6-RKS de Hunt
Los actuadores "R" están montados sobre la plataforma inferior, en los
lados de un imaginario triángulo. La plataforma superior también es un
triángulo, en cada uno de cuyos vértices están conectadas dos bielas. Las bielas
58
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
están conectadas por un extremo a las manivelas por medio de articulaciones
cardan "K" y por el otro a la plataforma superior por medio de rótulas "S".
Fig. IV-4 Nomenclatura del Manipulador Paralelo 6-RKS de Hunt
La nomenclatura utilizada en la definición de la topología de este
manipulador (Fig. IV-4) es:
- 1i
Centro de la articulación cardan del extremo de la manivela del
actuador "i".
- 0i
Punto del eje del actuador "i", en la base de la perpendicular trazada a
dicho eje desde el punto "1i".
- Ri
Longitud de la manivela correspondiente al actuador "i" y que une los
puntos 0i con 1i
- Li
Longitud de la biela correspondiente al actuador "i" y que une el punto
"1i" con el correspondiente vértice de la plataforma móvil
- 1jk Centro de la rótula de la plataforma móvil donde se unen las bielas "j"
y "k", para jk = [23, 45, 61].
- Apq Longitud del lado de la plataforma móvil entre las bielas "p" y "q",
para pq = [12, 34, 56].
59
Configuraciones de Insensitividad.
Como una generalización de las configuraciones de insensitividad de
posición (CIP) de los mecanismos planos de pistón-biela-manivela y manivelaoscilador, al estar constituida la estructura de los manipuladores 6-RKS por dos
plataformas unidas por varias cadenas de actuador-manivela-biela, es lógico
suponer que estos mecanismos poseerán CIP [ZAB. 99]. Estas configuraciones
se darán cuando la posición de alguna cadena sea tal que el eje del actuador, la
manivela y la biela se encuentren en el mismo plano. Esta posición de la cadena
se denominará posición de insensitividad (PI).
De alguna manera, esta condición ya fue planteada por Harrisberger
[HAR. 64] y Freudenstein y Kiss [FRE. 69] como condición para determinar la
posición límite en un cuadrilátero articulado espacial, por Nombrail [NOM. 93]
al estudiar las singularidades tipo serie en los manipuladores con actuadores
rotativos y por Benea [BEN. 96-2] al estudiar las singularidades tipo 2 ("Serie")
en un manipulador 6-RKS.
Analizando las posibles posiciones del eje del actuador, la manivela y
la biela, se observa que cada cadena tendrá dos posiciones de insensitividad (PI)
por encima de la plataforma fija: una cuando la manivela y biela estén casi en
prolongación y otra cuando estén casi superpuestas (Fig. IV-5)4.
Fig. IV-5 Posiciones de Insensitividad sobre la Plataforma Fija
4
Se ha supuesto, en todos los desarrollos a lo largo de esta tesis, que la longitud de la biela es
mayor que la de la manivela.
60
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Cada cadena actuador-manivela-biela también tendrá dos PI similares
a las anteriores por debajo de la plataforma fija (Fig. IV-6); pero estas dos
posiciones normalmente no se utilizarán ya que, por lo general, no se podrán
alcanzar sin desmontar el manipulador.
Fig. IV-6 Posiciones de Insensitividad bajo la Plataforma Fija
IV.3.1 - Configuraciones de insensitividad total y parcial
El manipulador paralelo 6-RKS se encontrará en una configuración de
insensitividad total cuando sus seis cadenas cinemáticas de unión de las
plataformas se encuentren en posición de insensitividad. En estas
configuraciones, la plataforma móvil permanecerá fija aunque se introduzca
movimiento por todos los actuadores. Y se encontrará en una configuración de
insensitividad parcial cuando solamente algunas cadenas se encuentren en
posición de insensitividad. En estos casos, la plataforma móvil permanecerá fija
si el movimiento se introduce por los actuadores cuya cadena cinemática
correspondiente se encuentre en posición de insensitividad.
Este manipulador tiene seis cadenas actuador-manivela-biela y cada
una tiene cuatro PI. Por lo tanto, cabría hablar teóricamente de 46 = 4096
posibles CIP totales (CIP-6) de la plataforma móvil frente a movimientos de
todos los actuadores.
Sin embargo, si solamente se tienen en cuenta las dos posibles PI de
cada cadena sobre la plataforma fija (Fig. IV-5), ya que las combinaciones de PI
61
Configuraciones de Insensitividad.
sobre la plataforma con PI bajo la plataforma normalmente serán imposibles
debido a la interferencia física de la plataforma móvil con la fija, se obtienen
26 = 64 CIP-6 de la plataforma fija. Valor que coincide con las 64
configuraciones de singularidad tipo 2 (serie) encontradas por Benea haciendo
un mallado del espacio de trabajo del manipulador y calculando el valor del
determinante de la matriz jacobiana que relaciona las velocidades articulares de
los actuadores con las velocidades de la plataforma móvil.
Estas 64 CIP-6 de insensitividad total son configuraciones puntuales,
encontrándose los vértices de la plataforma móvil en la intersección de las
superficies que describen los extremos de las bielas cuando su cadena
correspondiente se encuentra en PI. También, como se verá más adelante, sobre
estas superficies se encontrarán los vértices de la plataforma móvil
correspondientes a las cadenas en PI en las CIP parciales del manipulador. Por
lo tanto las CIP-6 se pueden considerar como intersección de CIP parciales.
Analizando el movimiento del extremo de la biela unido a la
plataforma móvil, es fácil deducir que las cuatro posibles PI de cada cadena
actuador-manivela-biela se dan cuando el extremo de la biela está contenida en
la superficie toroidal (Figs. IV-7 y IV-8). Esto es debido a que el extremo de la
manivela describe una circunferencia contenida en un plano perpendicular al eje
del actuador y a partir de esa circunferencia el extremo de la biela describe otra
circunferencia contenida en el plano del eje del actuador y de la manivela, por
lo tanto, contenida en un plano perpendicular en cada punto a la circunferencia
primera, condiciones que cumplen las superficies toroidales.
Fig. IV-7 Superficie toroidal del extremo de la biela, sección
62
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Fig. IV-8 Superficie toroidal del extremo de la biela, perspectiva
Las dos PI sobre la plataforma, se dan cuando el extremo de la biela
está contenida en la superficie de la parte del toro que queda sobre la plataforma
fija.
Considerando solamente el volumen del toro sobre la plataforma fija,
que será la zona donde realmente se podrá encontrar el vértice de la plataforma
móvil correspondiente, si la cadena actuador-manivela-biela se encuentra en
(PI), habrá dos posibles superficies donde se pueda encontrar dicho vértice, que
serán las dos superficies toroidales (Fig. IV-9).
Fig. IV-9 Superficies toroidales sobre la plataforma fija
63
Configuraciones de Insensitividad.
Considerando todas las posibles PI de las seis cadenas, se podrán
obtener 6 x 2 = 12 CIP en las que la plataforma móvil permanecerá fija si
solamente se introduce movimiento por el actuador correspondiente a la cadena
que se encuentre en PI, independientemente de la posición de los otros
actuadores. Este tipo de configuración se denomina CPI-1, y en ellas el extremo
de la biela en PI se encontrará en una porción de una superficie toroidal,
dependiendo su posición de las posiciones de los otros actuadores. Por eso, estas
CIP se consideran superficiales.
Para combinaciones de dos cadenas en PI habrá 60 CIP-2, en las que
la plataforma móvil permanecerá fija para entradas de movimiento simultáneo
por dos actuadores cuyas cadenas correspondientes se encuentre en PI. De estas
60 CIP-2 habrá 48 que son superficiales, en las que el extremo de cada biela se
encontrará sobre una porción de su superficie toroidal correspondiente, y 12
lineales, que se producirán cuando las cadenas actuador-manivela-biela en PI
vayan unidas a un mismo vértice de la plataforma móvil. En este caso los
extremos de las bielas en PI se encontrarán sobre las líneas de intersección de
las superficies toroidales correspondientes (Figs. IV-10 y IV-11).
Fig. IV-10 Intersección de dos superficies toroidales con el plano horizontal
64
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Fig. IV-11 Intersección de dos superficies toroidales, dos vistas
Siguiendo con el razonamiento de los párrafos anteriores, se pueden
encontrar 120 CIP-3, 240 CIP-4 y 192 CIP-5, en las que los extremos de las
bielas correspondientes a las cadenas que se encuentren en PI estarán situados
en líneas o superficies, según vayan los extremos de esas bielas a unirse al
mismo punto de la plataforma móvil o no. En estos casos la plataforma superior
permanecerá inmóvil cuando se introduzca un determinado movimiento
simultáneo por 3, 4 ó 5 manivelas adecuadas. Finalmente se tiene las 64 citadas
CIP-6 ó CIP totales y que son las que en adelante se denominarán CIP.
Las 64 CIP son configuraciones de gran precisión de posición de la
plataforma superior móvil, pequeños errores en la posición de los actuadores
apenas influyen en la posición de la plataforma móvil. En estas configuraciones
se puede detener el manipulador evitando la aparición de grandes fuerzas de
inercia debidas a las aceleraciones de detención. Y además los pares que
aparecen en los ejes de los actuadores son nulos.
65
Configuraciones de Insensitividad.
De forma similar a las aplicaciones de los mecanismos de pistónbiela-manivela y manivela-oscilador en los que se aprovechan las CIP, los
manipuladores basados en el 6-RKS de Hunt se pueden utilizar para posicionar
piezas o herramientas cuyas diversas posiciones necesarias coincidan con las
CIP del manipulador.
Aparte de estas 64 CIP, en el manipulador existen otras
configuraciones de incertidumbre de posición de la plataforma móvil; es decir,
que la plataforma móvil puede realizar pequeños desplazamientos aunque los
actuadores permanezcan inmóviles. Estas configuraciones son las llamadas
CIN, y han sido ya objeto de estudio por un gran número de investigadores. Son
configuraciones indeseables en el espacio de trabajo del manipulador ya que
introducen grados de libertad adicionales al sistema, y en esta tesis no se entra
en su estudio.
IV.3.2 - Determinación de las 64 CIP del Manipulador 6-RKS
A lo largo de este subapartado, se llevará a cabo la determinación
analítica de las 64 CIP utilizando las coordenadas naturales definidas por García
de Jalón y Bayo [GAR. 94] y tomando como origen de un único sistema de
coordenadas el baricentro del triángulo formado por los ejes de los actuadores
montados sobre la plataforma fija, con los ejes "X" e "Y" contenidos en el plano
de los ejes de los actuadores, y con el eje "Y" paralelo al eje de los actuadores
"1" y "2", (fig. IV-3).
Suponiendo conocidas las posiciones de los actuadores y las
longitudes de las manivelas, bielas y lados del triángulo de la plataforma móvil,
y utilizando la nomenclatura introducida en el apartado IV-3. Para las
longitudes constantes de las manivelas se pueden establecer las siguientes
condiciones de restricción:
(X 11 − X 01 )2 + (Y11 − Y01 )2 + (Z11 − Z 01 )2 − R 12 = 0
(X 12 − X 02 )2 + (Y12 − Y02 )2 + (Z12 − Z 02 )2 − R 22 = 0
(X 13 − X 03 )2 + (Y13 − Y03 )2 + (Z13 − Z 03 )2 − R 32 = 0
(X 14 − X 04 )2 + (Y14 − Y04 )2 + (Z14 − Z 04 )2 − R 24 = 0
(X 15 − X 05 )2 + (Y15 − Y05 )2 + (Z15 − Z 05 )2 − R 52 = 0
(X 16 − X 06 )2 + (Y16 − Y06 )2 + (Z16 − Z 06 )2 − R 26 = 0
66
(IV-1)
(IV-2)
(IV-3)
(IV-4)
(IV-5)
(IV-6)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Para evitar, en lo posible, la interferencia de la biela con el eje del
actuador la manivela ha de tener una cierta inclinación tal y como se observa en
la Fig. IV-12. Por ello, los puntos 01 a 06 no son propiamente los de unión de
las manivelas con los ejes de los actuadores, sino que están sobre las
perpendiculares a dichos ejes trazadas desde los puntos de unión biela-manivela
y se toman así para simplificar los cálculos.
Fig. IV-12 Puntos de unión manivela-eje del actuador
De forma análoga, para las longitudes constantes de las bielas se
establecen las siguientes condiciones de restricción:
(X 161 − X 11 )2 + (Y161 − Y11 )2 + (Z161 − Z11 )2 − L21 = 0
(X 123 − X12 )2 + (Y123 − Y12 )2 + (Z123 − Z12 )2 − L22 = 0
(X 123 − X13 )2 + (Y123 − Y13 )2 + (Z123 − Z13 )2 − L23 = 0
(X 145 − X 14 )2 + (Y145 − Y14 )2 + (Z145 − Z14 )2 − L24 = 0
(X 145 − X 15 )2 + (Y145 − Y15 )2 + (Z145 − Z15 )2 − L25 = 0
(X 161 − X 16 )2 + (Y161 − Y16 )2 + (Z161 − Z16 )2 − L26 = 0
(IV-7)
(IV-8)
(IV-9)
(IV-10)
(IV-11)
(IV-12)
A su vez, para las longitudes constantes de los lados del triángulo de
la plataforma móvil se tendrá:
(X 161 − X 123 )2 + (Y161 − Y123 )2 + (Z161 − Z123 )2 − A 122 = 0
(X 145 − X 123 )2 + (Y145 − Y123 )2 + (Z145 − Z123 )2 − A 342 = 0
(X 161 − X 145 )2 + (Y161 − Y145 )2 + (Z161 − Z145 )2 − A 562 = 0
67
(IV-13)
(IV-14)
(IV-15)
Configuraciones de Insensitividad.
Los puntos 11 a 16, que son los extremos de las manivelas, describen
circunferencias en planos perpendiculares a los ejes de los actuadores
(Fig. IV-4). Para expresar la perpendicularidad entre el radio de la
circunferencia y el eje del actuador correspondiente, teniendo en cuenta que los
ejes de los actuadores "1" y "2" son coincidentes y lo mismo ocurre para los
actuadores "3" y "4" y para los actuadores "5" y "6", se plantean las condiciones
de restricción siguientes:
(X11 − X01)·(X02 − X 01) + ( Y11 − Y 01)·(Y 02 − Y01) +
( Z11 − Z01)·(Z02 − Z01) = 0
(X12 − X02)·(X 02 − X01) + ( Y12 − Y02)·(Y02 − Y01) +
( Z12 − Z02)·( Z02 − Z01) = 0
(X13 − X 03)·(X04 − X03) + (Y13 − Y 03)·(Y04 − Y03) +
( Z13 − Z03)·( Z04 − Z03) = 0
(X14 − X04)·(X 04 − X03) + (Y14 − Y04)·(Y04 − Y 03) +
( Z14 − Z04)·( Z04 − Z03) = 0
(X15 − X05)·(X06 − X05) + ( Y15 − Y 05)·(Y06 − Y 05) +
( Z15 − Z05)·( Z06 − Z05) = 0
(X16 − X06)·(X 06 − X05) + ( Y16 − Y 06)·(Y06 − Y05) +
( Z16 − Z06)·( Z06 − Z05) = 0
(IV-16)
(IV-17)
(IV-18)
(IV-19)
(IV-20)
(IV-21)
Finalmente, cada cadena cinemática actuador-manivela-biela estará en
posición de insensitividad cuando el producto mixto de tres vectores orientados
respectivamente según el eje del actuador, la manivela y la biela sea cero, ya
que los tres deben estar contenidos en el mismo plano:
(X 02 − X01)·(Y11 − Y 01)·(Z161 − Z11) − ( X02 − X 01)·(Z11 − Z01)·(Y161 − Y11) +
(Y 02 − Y01)·( Z11 − Z01)·(X161 − X11) − ( Y02 − Y 01)·(X11 − X01)·( Z161 − Z11) +
( Z02 − Z01)·(X11 − X01)·(Y161 − Y11) − ( Z02 − Z01)·(Y11 − Y 01)·(X161 − X11) = 0
(IV-22)
68
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
(X 02 − X01)·(Y12 − Y02)·( Z123 − Z12) − (X02 − X01)·(Z12 − Z02)·(Y123 − Y12) +
(Y 02 − Y01)·( Z12 − Z02)·(X123 − X12) − (Y02 − Y01)·(X12 − X 02)·(Z123 − Z12) +
( Z02 − Z01)·(X12 − X 02)·(Y123 − Y12) − ( Z02 − Z01)·(Y12 − Y02)·(X123 − X12) = 0
(IV-23)
(X 04 − X03)·(Y13 − Y03)·(Z123 − Z13) − ( X04 − X03)·(Z13 − Z03)·(Y123 − Y13) +
(Y 04 − Y03)·( Z13 − Z03)·(X123 − X13) − ( Y04 − Y03)·(X13 − X 03)·(Z123 − Z13) +
( Z04 − Z03)·(X13 − X03)·(Y123 − Y13) − ( Z04 − Z03)·(Y13 − Y03)·(X123 − X13) = 0
(IV-24)
(X 04 − X03)·(Y14 − Y04)·( Z145 − Z14) − ( X04 − X 03)·(Z14 − Z04)·(Y145 − Y14) +
(Y 04 − Y03)·( Z14 − Z04)·(X145 − X14) − ( Y04 − Y 03)·(X14 − X 04)·(Z145 − Z14) +
( Z04 − Z03)·(X14 − X 04)·(Y145 − Y14) − ( Z04 − Z03)·(Y14 − Y04)·(X145 − X14) = 0
(IV-25)
(X 06 − X05)·(Y15 − Y05)·( Z145 − Z15) − (X 06 − X05)·(Z15 − Z05)·(Y145 − Y15) +
(Y 06 − Y05)·(Z15 − Z05)·(X145 − X15) − (Y 06 − Y05)·(X15 − X05)·(Z145 − Z15) +
( Z06 − Z05)·(X15 − X05)·(Y145 − Y15) − ( Z06 − Z05)·(Y15 − Y 05)·(X145 − X15) = 0
(IV-26)
(X 06 − X05)·(Y16 − Y 06)·(Z161 − Z16) − ( X06 − X05)·( Z16 − Z06)·(Y161 − Y16) +
(Y 06 − Y05)·(Z16 − Z06)·(X161 − X16) − ( Y06 − Y05)·(X16 − X06)·( Z161 − Z16) +
( Z06 − Z05)·(X16 − X06)·(Y161 − Y16) − ( Z06 − Z05)·(Y16 − Y06)·(X161 − X16) = 0
(IV-27)
Las condiciones de restricción anteriores, ecuaciones de la (IV-1) a la
(IV-27), forman un sistema de 27 ecuaciones, con 27 incógnitas, que debe
cumplir el manipulador para estar en una configuración de insensitividad de
posición CIP, y que se pueden expresar abreviadamente como:
Φ(q) = 0
69
(IV-28)
Configuraciones de Insensitividad.
siendo "q" el vector de las 27 incógnitas correspondientes a las
coordenadas "X", "Y" y "Z" de los tres vértices de la plataforma móvil (puntos
123, 145 y 161) y de los extremos de las seis manivelas (puntos 11 a 16).
Sistema de ecuaciones que se resolverá mediante la aplicación del
método de Newton-Raphson.
Φ ( qi ) = Φq( qi )·( qi - qi +1 )
(IV-29)
Tomando una posición aproximada de los puntos de unión de las
manivelas con las bielas y de los vértices de la plataforma móvil para iniciar la
primera iteración, se logra una CIP. Determinada una CIP, para ir calculando el
resto, se gira una manivela 180º, por ejemplo en 6 etapas de 30º, haciendo que
las otras cinco cadenas actuador-manivela-biela se coloquen en PI al final de
cada etapa. Partiendo de esta configuración, en la que se tiene cinco cadenas
actuador-manivela-biela en posición de insensitividad y un conjunto girado
180º, de nuevo por Newton-Raphson, se localiza una nueva CIP de la
plataforma móvil. Repitiendo esta operación con todas las cadenas actuadormanivela-biela las veces necesarias, y siguiendo un orden preestablecido, se
consiguen las 64 CIP de la plataforma móvil.
El giro de la manivela de la cadena que se quiere pasar de una PI a
otra, se hace en varias etapas debido a que si, por ejemplo, se efectúa un giro de
180º de una sola vez, al buscar la nueva CIP del manipulador por el método de
Newton-Raphson, la solución no converge a la nueva configuración deseada
sino a la configuración anterior, o sea a la configuración de la que se ha partido.
Esto es debido a que la solución encontrada por el método de Newton-Raphson
depende de los valores con los que se inicie la iteración, de ahí la importancia
de tomar unos valores iniciales lo más próximos posibles a la solución buscada.
IV.3.3 - Comprobación de las 64 configuraciones logradas
La comprobación de que las configuraciones logradas son CIP se hace
determinando que las velocidades de los vértices de la plataforma móvil son
nulas independientemente de las velocidades de giro de los actuadores, o lo que
es lo mismo, de las velocidades de los extremos de las manivelas (puntos 11 a
16).
Tomando las seis ecuaciones de restricción (IV-7) a (IV-12) de
longitud constante de las bielas y las tres de longitud constante de los lados de
la plataforma móvil (IV-13) a (IV-15), derivándolas respecto del tiempo y
ordenando los términos se llega al siguiente sistema de ecuaciones:
70
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
& 123
 X
 X 123 − X 12 Y123 − Y12 Z123 − Z12
0
0
0
0
0
0



& 123
−
−
−
0
0
0
0
0
0
 Y
 X123 X13 Y123 Y 13 Z123 Z13



0
0
0
0
0
0
X 145 − X 14 Y 145 − Y14 Z145 − Z14
  Z& 123 

& 

0
0
0
0
0
0
X 145 − X15 Y145 − Y15 Z145 − Z15
 X145 

& 

0
0
0
0
0
0
X 161 − X 16 Y161 − Y 16 Z161 − Z16 ·Y
145 

& 

0
0
0
0
0
0
X
Y
Z
161 − X 11
161 − Y11
161 − Z11  Z145 


& 
X − X
0
0
0
Y 123 − Y 161 Z123 − Z161
X 161 − X123 Y161 − Y 123 Z161 − Z123  X
161
161
 123
& 

X 123 − X 145 Y123 − Y145 Z123 − Z145 X 145 − X123 Y145 − Y123 Z145 − Z123
0
0
0
Y
  161

& 161 
0
0
0
X145 − X161 Y145 − Y 161 Z145 − Z161 X 161 − X 145 Y161 − Y145 Z161 − Z145   Z


& 12 + ( Y123 − Y12)·Y
& 12 + ( Z123 − Z12)·Z& 12 
 ( X123 − X12)·X


& 13 + (Y123 − Y13)·Y
& 13 + ( Z123 − Z13)·Z
& 13 
 (X123 − X13)·X

& 14 + (Y145 − Y14)·Y
& 14 + ( Z145 − Z14)·Z& 14 
( X145 − X14)·X
 (X −
& 15 + ( Z145 − Z15)·Z& 15 
)· & + ( Y145 − Y15)·Y

 145 X15 X15
& 16 + (Y161 − Y16)·Y
& 16 + ( Z161 − Z16)·Z& 16 
=  ( X161 − X16)·X


 (X161 − X11)·X
& 11 + (Y161 − Y11)·Y
& 11 + ( Z161 − Z11)·Z& 11 


0




0




0


=
(IV-30)
El sistema de ecuaciones (IV-30) relaciona las velocidades de los
vértices de la plataforma móvil con las velocidades de los puntos extremos de
las manivelas. Tomando, por ejemplo, la primera fila de este sistema de
ecuaciones:
& 123 + ( Y123 − Y12)·Y
& 123 + ( Z123 − Z12)·Z& 123 =
(X123 − X12)·X
& 12 + ( Y123 − Y12)·Y
& 12 + ( Z123 − Z12)·Z& 12
= ( X123 − X12)·X
(IV-31)
Se observa que el término de la derecha es cero si la cadena "2" se
encuentra en PI, ya que es el desarrollo del producto escalar de un vector en la
dirección de la biela "2" con el vector velocidad del extremo de la manivela "2".
La velocidad del extremo de la manivela es perpendicular a ésta y al eje del
actuador, por lo tanto perpendicular al plano formado por ellos, y en el que
estará contenida la biela.
Luego, si el término de la derecha es nulo, deben ser nulas las
& 123 , Y
& 123 y Z& 123 del vértice de la plataforma, ya que el término de
velocidades X
71
Configuraciones de Insensitividad.
la izquierda de la ecuación representa el desarrollo del producto escalar de un
vector en la dirección de la biela "2", con el vector velocidad del punto "123"
que son dos vectores cuyo producto escalar no tiene por que ser nulo.
En efecto, el vector velocidad del extremo de una biela, como ésta no
gira alrededor de un punto fijo como la manivela, sino que su movimiento viene
impuesto por las otras cinco cadenas cinemáticas actuador-manivela-biela, en
principio puede tener cualquier dirección. Por lo tanto, si el producto escalar del
vector velocidad con un vector no nulo en la dirección de la biela es cero, en el
caso más general, debe ser cero el vector velocidad.
Haciendo este mismo razonamiento con las seis primeras filas del
sistema de ecuaciones (IV-30) se llega a la conclusión que si el eje del actuador,
la manivela y la biela se encuentran en el mismo plano, esa cadena cinemática
se encuentra en PI, y si se cumple para las seis cadenas a la vez, el manipulador
se encontrará en una CIP.
IV.4 - EJEMPLO NUMÉRICO
En este apartado, por medio del programa INSENSI5, se calcularán las
64 configuraciones de insensitividad de posición (CIP) de la plataforma móvil
para un manipulador de unas dimensiones dadas y se demostrará que las CIP
logradas, comprobándolo para dos de ellas, son realmente de insensitividad.
Para ello, dadas unas determinadas velocidades giratorias de las manivelas, se
calcularán las velocidades de los vértices de la plataforma móvil en las dos CIP,
comprobándose que son nulas.
Para determinar las 64 CIP, se toma un manipulador paralelo 6-RKS
(Fig. IV-13) en el que los ejes de los actuadores montados sobre la plataforma
fija forman un triángulo equilátero de un metro de lado. Los actuadores están
montados simétricamente respecto de los ejes de simetría del triángulo, siendo
0.1 metros la distancia entre los puntos de las manivelas que están sobre los ejes
de los actuadores de un mismo lado del triángulo, o sea las distancias de los
puntos "01" a "02", "03" a "04" y "05" a "06". Las manivelas son todas iguales
con una longitud de 0.1 metros, las bielas son también todas iguales de 0.6
metros de longitud, y la plataforma móvil será un triángulo equilátero de 0.5
metros de lado.
5
INSENSI, programa realizado en Matlab para la determinación y comprobación de las
configuraciones de insensitividad (CIP) por el método iterativo de Newton-Raphson.
72
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Con los datos y condiciones anteriores, y tomando como origen de
coordenadas el baricentro del triángulo equilátero formado por los ejes
actuadores, con los ejes "X" e "Y" contenidos en plano de los actuadores, el eje
"Y" paralelo a los ejes de actuadores "1" y "2" y con el eje "Z" hacia la
plataforma móvil, se tendrá las coordenadas de los puntos siguientes:
01 = (-0.288675134, -0.05,
02 = (-0.288675134, 0.05,
03 = (0.101036297, 0.275,
04 = (0.187638837, 0.225,
05 = (0.187638837, -0.225,
06 = (0.101036297, -0.275,
0)
0)
0)
0)
0)
0)
Fig. IV-13 Manipulador Paralelo 6-RKS
73
Configuraciones de Insensitividad.
IV.4.1 - Cálculo de la primera configuración de insensitividad
Siguiendo el proceso expuesto en el apartado IV.3.2 para la obtención
de las configuraciones de insensitividad, teniendo en cuenta la geometría del
manipulador de este ejemplo, se tendrá las 27 ecuaciones de restricción
siguientes:
(X 11 − X 01 )2 + (Y11 − Y01 )2 + (Z11 − Z 01 )2 − R 12 = 0
(X 12 − X 02 )2 + (Y12 − Y02 )2 + (Z12 − Z 02 )2 − R 22 = 0
(X 13 − X 03 )2 + (Y13 − Y03 )2 + (Z13 − Z 03 )2 − R 32 = 0
(X 14 − X 04 )2 + (Y14 − Y04 )2 + (Z14 − Z 04 )2 − R 24 = 0
(X 15 − X 05 )2 + (Y15 − Y05 )2 + (Z15 − Z 05 )2 − R 52 = 0
(X 16 − X 06 )2 + (Y16 − Y06 )2 + (Z16 − Z 06 )2 − R 26 = 0
(X 161 − X 11 )2 + (Y161 − Y11 )2 + (Z161 − Z11 )2 − L21 = 0
(X 123 − X12 )2 + (Y123 − Y12 )2 + (Z123 − Z12 )2 − L22 = 0
(X 123 − X13 )2 + (Y123 − Y13 )2 + (Z123 − Z13 )2 − L23 = 0
(X 145 − X 14 )2 + (Y145 − Y14 )2 + (Z145 − Z14 )2 − L24 = 0
(X 145 − X 15 )2 + (Y145 − Y15 )2 + (Z145 − Z15 )2 − L25 = 0
(X 161 − X 16 )2 + (Y161 − Y16 )2 + (Z161 − Z16 )2 − L26 = 0
(X 161 − X 123 )2 + (Y161 − Y123 )2 + (Z161 − Z123 )2 − A 122 = 0
(X 145 − X 123 )2 + (Y145 − Y123 )2 + (Z145 − Z123 )2 − A 342 = 0
(X 161 − X 145 )2 + (Y161 − Y145 )2 + (Z161 − Z145 )2 − A 562 = 0
Y11 − Y01 = 0
Y12 − Y02 = 0
3 ⋅ (X 13 − X 03 ) − (Y13 − Y03 ) = 0
(IV-32)
(IV-33)
(IV-34)
(IV-35)
(IV-36)
(IV-37)
(IV-38)
(IV-39)
(IV-40)
(IV-41)
(IV-42)
(IV-43)
(IV-44)
(IV-45)
(IV-46)
(IV-47)
(IV-48)
(IV-49)
3 ⋅ (X 14 − X 04 ) − (Y14 − Y04 ) = 0
(IV-50)
3 ⋅ (X 15 − X 05 ) − (Y15 − Y05 ) = 0
(IV-51)
3 ⋅ (X 16 − X 06 ) − (Y16 − Y06 ) = 0
(Z11 − Z 01 ) ⋅ (X161 − X11 ) − (X11 − X 01 ) ⋅ (Z161 − Z11 ) = 0
(Z12 − Z 02 ) ⋅ (X123 − X12 ) − (X12 − X 02 ) ⋅ (Z123 − Z12 ) = 0
− (Z13 − Z 03 )·(X123 − X 13 ) − 3 (Z13 − Z 03 )(
· Y123 − Y13 ) +
3 (Y13 − Y03 )(
· Z123 − Z13 ) + (X 13 − X 03 )·(Z123 − Z13 ) = 0
74
(IV-52)
(IV-53)
(IV-54)
(IV-55)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
− (Z14 − Z 04 )·(X 145 − X 14 ) − 3 (Z14 − Z 04 )(
· Y145 − Y14 ) +
3 (Y14 − Y04 )(
· Z145 − Z14 ) + (X14 − X 04 )(
· Z145 − Z14 ) = 0
− (Z15 − Z 05 )·(X145 − X 15 ) − 3 (Z15 − Z 05 )(
· Y145 − Y15 ) +
3 (Y15 − Y05 )(
· Z145 − Z15 ) + (X 15 − X 05 )·(Z145 − Z15 ) = 0
− (Z16 − Z 06 )(
· X161 − X 16 ) − 3 (Z16 − Z 06 )(
· Y161 − Y16 ) +
3 (Y16 − Y06 )(
· Z161 − Z16 ) + (X 16 − X 06 )(
· Z161 − Z16 ) = 0
(IV-56)
(IV-57)
(IV-58)
IV.4.1.1 - Resolución del sistema
Tomando una posición aproximada para iniciar la primera iteración,
por ejemplo, suponiendo que las seis manivelas están verticales hacia arriba y la
plataforma móvil centrada con su centro de gravedad sobre el eje "Z" y con sus
vértices en unas coordenadas "Z" de 0.7 metros, igual a la suma de longitudes
de una biela y una manivela, resolviendo el sistema de 27 ecuaciones, (IV-32) a
(IV-58), por medio del programa "INSENSI", se obtendrá una CIP en la que los
puntos de unión manivela-biela de los seis conjuntos se encontrarán por encima
de la plataforma fija. En este caso, debido a la simetría del mecanismo, la
plataforma móvil se encontrará horizontal.
IV.4.1.2 - Solución
Una vez resuelto el sistema, las coordenadas de los puntos de unión de
las manivelas con las bielas serán los siguientes:
11 = (-0.266992585, -0.05,
12 = (-0.266992585, 0.05,
13 = (0.090195022, 0.256222361,
14 = (0.176797562, 0.206222361,
15 = (0.176797562, -0.206222361,
16 = (0.090195022, -0.256222361,
0.097621038)
0.097621038)
0.097621038)
0.097621038)
0.097621038)
0.097621038)
Y las coordenadas de los vértices de la plataforma móvil:
123 = (-0.144337567, 0.25,
145 = (0.288675134,
0,
161 = (-0.144337567, -0.25,
0.649849022)
0.649849022)
0.649849022)
75
Configuraciones de Insensitividad.
IV.4.2 - Cálculo de las 64 configuraciones de insensitividad de
posición
Una vez determinada la primera CIP, en la que los ángulos de la
manivelas son los correspondientes a la primera fila de la tabla (IV-1), girando
las manivelas de una PI a otra, siguiendo un orden conveniente establecido en el
programa INSENSI, se conseguirán las otras 63 CIP.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Ángulo de
la manivela
"1"
θ1
1.3522
4.825
4.9521
1.4474
1.3522
4.8537
4.6973
1.2347
1.1394
4.6182
4.7222
1.2178
1.2852
4.8032
4.7222
1.2347
1.3522
4.8424
4.9521
1.4201
1.3137
4.8347
4.6911
1.2178
1.2852
4.7111
4.93
1.4201
1.5806
Ángulo de Ángulo de Ángulo de Ángulo de Ángulo de
la manivela la manivela la manivela la manivela la manivela
"2"
"3"
"4"
"5"
"6"
θ2
θ3
θ4
θ5
θ6
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.4474
1.4474
1.2347
1.2347
0.9229
4.9521
1.0298
1.1394
1.1394
1.0298
4.825
0.9229
1.2347
1.2347
1.4474
4.3514
4.3514
1.3522
1.3522
1.3522
4.4862
4.4862
1.2178
1.2178
0.9461
0.9924
4.9091
1.2852
1.2852
0.8248
0.9229
4.825
1.4474
1.4474
1.2347
1.0298
4.9521
4.9521
1.0298
1.1394
1.1538
5.0854
4.8032
0.9055
0.7682
4.67
4.67
4.7222
0.8432
0.8432
4.4862
4.4862
4.8537
0.9461
1.2178
4.9091
0.9924
4.6973
0.8248
1.2852
5.0854
1.1538
4.6182
0.7682
0.9055
1.5806
1.5806
4.7222
0.8432
0.8432
1.4474
1.4474
4.825
0.9229
1.2347
1.3522
1.3522
4.3514
4.3514
1.3522
1.4201
1.4201
4.2454
4.2454
0.9369
4.9521
1.0298
4.1356
4.1356
1.0298
4.8424
0.9369
4.2454
4.2454
1.4201
4.3973
4.3973
4.3973
4.3973
1.3137
4.5166
4.5166
4.2513
4.2513
0.9307
1.0104
4.93
4.3322
4.3322
0.8203
0.9461
4.8537
4.4862
4.4862
1.2178
0.8248
4.6973
0.9924
4.9091
1.2852
0.835
4.7111
0.835
4.7111
0.835
4.3322
4.3322
0.8203
4.6911
1.0104
4.2454
4.2454
0.9369
4.8424
1.4201
4.7222
0.8432
0.8432
4.7222
1.5806
76
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
5.0854
4.9091
1.4474
1.0298
4.4862
4.67
1.1538
1.0298
4.5166
4.3322
0.9055
0.8432
4.2513
4.3973
0.9307
1.0104
4.5166
4.3973
0.9461
0.8248
4.2454
4.3322
0.835
0.8203
4.2513
4.1356
0.7682
0.8432
4.2454
4.3973
0.9369
0.9924
4.4862
4.3514
0.9229
4.8032
1.2852
1.2347
1.1394
1.2178
4.7222
4.6182
4.1356
4.2513
0.8203
0.7682
0.8432
0.9307
4.3973
4.2513
4.6911
4.8347
1.3137
1.2178
1.2852
1.4201
4.93
4.7111
4.3322
4.5166
1.0298
0.9055
0.8432
0.9369
4.3973
4.2454
4.6973
4.8537
1.3522
1.2347
0.9055
1.2852
1.2347
1.1394
1.2178
0.8432
0.7682
4.1356
4.2513
4.6911
4.6182
4.7222
4.8347
4.3973
4.2513
0.8203
0.9307
1.3137
1.2178
1.2852
1.4201
1.0104
0.835
4.3322
4.5166
4.9521
4.8032
4.7222
4.8424
4.3973
4.2454
0.8248
0.9461
1.3522
1.2347
0.7682
0.8248
0.9229
1.0298
0.9461
0.8432
0.9055
1.0298
0.9307
1.0104
1.1538
4.67
4.5166
4.3973
4.5166
4.3322
4.2513
4.3973
4.4862
4.9091
4.8424
4.6911
4.7111
4.93
4.8347
4.9521
5.0854
1.5806
1.4201
1.3137
1.4201
1.2852
1.2178
1.3522
1.4474
4.6182
4.6973
4.825
4.9521
4.8537
4.7222
4.8032
4.9521
4.8347
4.93
5.0854
4.67
4.5166
4.3973
4.5166
4.3322
4.2513
4.3973
4.4862
0.9924
0.9369
0.8203
0.835
1.0104
0.9307
1.0298
1.1538
1.5806
1.4201
1.3137
1.4201
1.2852
1.2178
1.3522
1.4474
Tabla IV-1 Ángulos de las manivelas en las 64 CIP
77
1.1538
0.9924
1.4474
4.9521
4.4862
4.67
5.0854
4.9521
4.5166
4.3322
4.8032
4.7222
4.2513
4.3973
4.8347
4.93
4.5166
4.3973
4.8537
4.6973
4.2454
4.3322
4.7111
4.6911
4.2513
4.1356
4.6182
4.7222
4.2454
4.3973
4.8424
4.9091
4.4862
4.3514
4.825
Configuraciones de Insensitividad.
Las coordenadas de los vértices de la plataforma móvil en las 64 CIP
serán los siguientes:
Y123
Z123
X145
Z145
X161
Y161
Z161
1
2
-0.1443
-0.2139
X123
0.25
0.3706
0.6498
0.6026
0.2887
0.117
0
0
Y145
0.6498
0.6587
-0.1443
-0.3447
-0.25
-0.0999
0.6498
0.4948
3
-0.3993
0.25
0.4524
-0.006
0
0.6335
-0.3993
-0.25
0.4524
4
-0.3447
0.0999
0.4948
0.117
0
0.6587
-0.2139
-0.3706
0.6026
5
-0.1194
0.2069
0.4482
0.2887
0
0.6498
-0.1443
-0.25
0.6498
6
-0.1925
0.3335
0.4179
0.094
0
0.6561
-0.3583
-0.1328
0.4893
7
0.0195
0.4307
0.4721
0.1891
0
0.6612
-0.2812
0.0318
0.4943
8
0.0858
0.3484
0.4948
0.4279
0
0.6026
-0.0585
-0.1013
0.6587
9
-0.0169
0.4708
0.4524
0.4161
0.2208
0.4524
0.003
0.0052
0.6335
10 -0.1278
0.5712
0.3631
0.2324
0.2515
0.4974
-0.2434
0.0988
0.4791
11 -0.275
0.4763
0.3219
0.1395
0.2584
0.4971
-0.2935
0.0084
0.4971
12 -0.1925
0.3335
0.4179
0.2942
0.2439
0.4893
-0.047
-0.0814
0.6561
13 -0.3827
0.1984
0.4721
0.113
0.2594
0.4943
-0.0945
-0.1637
0.6612
14 -0.4308
0.3963
0.3631
0.0361
0.2602
0.4791
-0.334
-0.0755
0.4974
15 -0.2935
0.5083
0.4872
0.1395
0.2584
0.4971
-0.2935
0.0084
0.4971
16 -0.2139
0.3706
0.6026
0.2588
0.2485
0.4948
-0.0585
-0.1013
0.6587
17 -0.1443
0.25
0.6498
0.2389
0
0.4482
-0.1443
-0.25
0.6498
18 -0.1945
0.3369
0.6198
0.1301
0
0.4435
-0.353
-0.1197
0.4918
19 -0.3993
0.25
0.4524
0.0325
0
0.4188
-0.3993
-0.25
0.4524
20 -0.353
0.1197
0.4918
0.1301
0
0.4435
-0.1945
-0.3369
0.6198
21 -0.1443
0.25
0.4428
0.2887
0
0.4428
-0.1155
-0.2001
0.6585
22 -0.2083
0.3607
0.4054
0.1358
0
0.4444
-0.3493
-0.1109
0.4932
23 0.0019
0.4505
0.4632
0.2184
0
0.4491
-0.2782
0.0374
0.4935
24 0.0641
0.3767
0.4893
0.385
0
0.4179
-0.047
-0.0814
0.6561
25 0.1682
0.2276
0.4943
0.3632
-0.2322
0.4721
-0.0945
-0.1637
0.6612
26 0.1604
27 -0.1092
0.24
0.1892
0.496
0.4491
0.1276
0.1067
-0.2589
-0.2596
0.496
0.4935
-0.2881
-0.3911
0.0189
-0.2236
0.496
0.4632
28 -0.0651
0.1127
0.4435
0.2801
-0.2458
0.4918
-0.1945
-0.3369
0.6198
29 -0.2935
-0.0084 0.4971
0.1395
-0.2584
0.4971
-0.2935
-0.5083
0.4872
30 -0.334
0.0755
0.4974
0.0361
-0.2602
0.4791
-0.4308
-0.3963
0.3631
31 -0.0945
0.1637
0.6612
0.113
-0.2594
0.4943
-0.3827
-0.1984
0.4721
32 -0.0585
0.1013
0.6587
0.2588
-0.2485
0.4948
-0.2139
-0.3706
0.6026
33 0.003
-0.0052 0.6335
0.4161
-0.2208
0.4524
-0.0169
-0.4708
0.4524
34 -0.047
0.0814
0.6561
0.2942
-0.2439
0.4893
-0.1925
-0.3335
0.4179
35 -0.2935
-0.0084 0.4971
0.1395
-0.2584
0.4971
-0.275
-0.4763
0.3219
36 -0.2434
-0.0988 0.4791
0.2324
-0.2515
0.4974
-0.1278
-0.5712
0.3631
37 -0.0162
0.0281
0.4188
0.4161
-0.2208
0.4524
-0.0169
-0.4708
0.4524
38 -0.0679
0.1176
0.4444
0.2707
-0.2471
0.4932
-0.2083
-0.3607
0.4054
39 0.1715
0.2222
0.4935
0.3892
-0.2269
0.4632
-0.1092
-0.1892
0.4491
40 0.2073
0.1614
0.4791
0.5586
-0.1749
0.3631
0.1016
-0.327
0.4974
41 0.154
0.25
0.4971
0.55
0
0.3219
0.154
-0.25
0.4971
78
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
42 0.0786
0.3579
0.4932
0.4165
0
0.4054
-0.0679
-0.1176
0.4444
43 -0.1443
0.25
0.4428
0.2887
0
0.4428
-0.1443
-0.25
0.4428
44 -0.0679
0.1176
0.4444
0.4165
0
0.4054
0.0786
-0.3579
0.4932
45 -0.2782
-0.0374 0.4935
0.2184
0
0.4491
0.0019
-0.4505
0.4632
46 -0.3493
0.1109
0.1358
0
0.4444
-0.2083
-0.3607
0.4054
0.4932
47 -0.1155
0.2001
0.6585
0.2887
0
0.4428
-0.1443
-0.25
0.4428
48 -0.047
0.0814
0.6561
0.385
0
0.4179
0.0641
-0.3767
0.4893
49 -0.0945
0.1637
0.6612
0.3632
0.2322
0.4721
0.1682
-0.2276
0.4943
50 -0.1945
0.3369
0.6198
0.2801
0.2458
0.4918
-0.0651
-0.1127
0.4435
51 -0.3911
0.2236
0.4632
0.1067
0.2596
0.4935
-0.1092
-0.1892
0.4491
52 -0.2881
-0.0189 0.496
0.1276
0.2589
0.496
0.1604
-0.24
0.496
53 -0.1092
0.1892
0.4491
0.3892
0.2269
0.4632
0.1715
-0.2222
0.4935
54 -0.2083
0.3607
0.4054
0.2707
0.2471
0.4932
-0.0679
-0.1176
0.4444
55 -0.0169
0.4708
0.4524
0.4161
0.2208
0.4524
-0.0162
-0.0281
0.4188
56 0.1016
0.327
0.4974
0.5586
0.1749
0.3631
0.2073
-0.1614
0.4791
57 0.154
0.25
0.4971
0.5869
0
0.4872
0.154
-0.25
0.4971
58 0.0728
0.3655
0.4918
0.3891
0
0.6198
-0.0651
-0.1127
0.4435
59 -0.1443
0.25
0.4428
0.2311
0
0.6585
-0.1443
-0.25
0.4428
60 -0.0651
0.1127
0.4435
0.3891
0
0.6198
0.0728
-0.3655
0.4918
61 -0.2812
-0.0318 0.4943
0.1891
0
0.6612
0.0195
-0.4307
0.4721
62 -0.3583
0.1328
0.4893
0.094
0
0.6561
-0.1925
-0.3335
0.4179
63 -0.1443
0.25
0.6498
0.2887
0
0.6498
-0.1194
-0.2069
0.4482
64 -0.0585
0.1013
0.6587
0.4279
0
0.6026
0.0858
-0.3484
0.4948
Tabla IV-2 Coordenadas de los vértices de la Plataforma móvil en las 64 CIP
En la tabla IV-3, en las páginas siguientes, se representan las 64
configuraciones de insensitividad de posición que puede adoptar el Manipulador
Paralelo 6-RKS del ejemplo que se está considerando en este apartado.
La numeración sobre la plataforma móvil indica la posición de los
extremos de las manivelas. Por ejemplo, "1-0-1-0-1-0" representa que los
extremos de las manivelas "1", "3" y "5" se encuentran sobre la plataforma fija
y los de las manivelas "2", "4" y "6" se encuentran por debajo de dicha
plataforma.
79
Configuraciones de Insensitividad.
80
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
81
Configuraciones de Insensitividad.
82
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
83
Configuraciones de Insensitividad.
84
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
85
Configuraciones de Insensitividad.
86
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Tabla IV-3 64 configuraciones de insensitividad de posición
87
Configuraciones de Insensitividad.
IV.4.3 - Cálculo de velocidades
Como comprobación de que las configuraciones logradas, son
configuraciones de insensitividad de posición, se calcularán las velocidades de
los vértices de la plataforma móvil para unas velocidades cualesquiera de las
manivelas y se verificará si son nulas, condición que se debe cumplir en las CIP.
Las velocidades de los puntos de unión de las manivelas con las
bielas, para unas determinadas velocidades angulares de los manivelas "ω1",
"ω2", "ω3", "ω4", "ω5" y "ω6", serán:
Vx11 = - ω1 R1 sin θ1
Vx12 = - ω2 R2 sin θ2
Vx13 = 0.5 ω3 R3 sin θ3
Vx14 = 0.5 ω4 R4 sin θ4
Vx15 = 0.5 ω5 R5 sin θ5
Vx16 = 0.5 ω6 R6 sin θ6
(IV-59)
(IV-60)
(IV-61)
(IV-62)
(IV-63)
(IV-64)
Vy11 = 0
Vy12 = 0
Vy13 = 3 /2 ω3 R3 sin θ3
(IV-65)
(IV-66)
(IV-67)
3 /2 ω4 R4 sin θ4
(IV-68)
Vy14 =
Vy15 = - 3 /2 ω5 R5 sin θ5
(IV-69)
Vy16 = - 3 /2 ω6 R6 sin θ6
(IV-70)
Vz11 = ω1 R1 cos θ1
Vz12 = ω2 R2 cos θ2
Vz13 = ω3 R3 cos θ3
Vz14 = ω4 R4 cos θ4
Vz15 = ω5 R5 cos θ5
Vz16 = ω6 R6 cos θ6
(IV-71)
(IV-72)
(IV-73)
(IV-74)
(IV-75)
(IV-76)
Una vez calculadas las velocidades de los puntos 11 a 16 con las
ecuaciones (IV-59) a (IV-76), por medio del sistema (IV-30), se calcularán las
velocidades de los vértices de la plataforma móvil.
88
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
IV.4.3.1 - Comprobación de las CIP
Resolviendo el sistema de ecuaciones (IV-30), por medio del
programa "INSENSI", para la CIP correspondiente a los valores de las primeras
filas de tablas (IV-1) y (IV-2), introduciendo unas velocidades angulares de 1
rad/s. a todas las manivelas, resultan las velocidades de los vértices de la
plataforma móvil siguientes:
Vx123 = -6.192186911252181e-017
Vy123 = 2.313274611394614e-017
Vz123 = -2.603771706316032e-017
Vx145 = -1.214154295405641e-017
Vy145 = 1.093548002088909e-016
Vz145 = 5.601110253714043e-018
Vx161 = 3.763878316494410e-017
Vy161 = 2.313274611394616e-017
Vz161 = -3.767776844629405e-017
Como se puede observar, las velocidades de los vértices de la
plataforma móvil son despreciables cuando el manipulador se encuentra en una
CIP, que es lo que se pretendía demostrar.
Para otra CIP del manipulador, por ejemplo para la configuración
"0-1-0-1-0-1" correspondiente a la fila 26 de las tablas (IV-1) y (IV-2), que
tendrá las manivelas 1", "3" y "5" por debajo, y las manivelas "2", "4" y "6"
sobre la plataforma fija, se tendrá que las coordenadas de los puntos de unión
del eje del actuador con la manivela (puntos de 01 a 06), al ser fijos, serán los
mismos que en el ejemplo anterior:
01 = (-0.288675134, -0.05,
02 = (-0.288675134, 0.05,
03 = (0.101036297, 0.275,
04 = (0.187638837, 0.225,
05 = (0.187638837, -0.225,
06 = (0.101036297, -0.275,
0)
0)
0)
0)
0)
0)
Partiendo de la primera CIP lograda "1-1-1-1-1-1", girando las
manivelas "1", "3" y "5" por medio del programa "INSENSI", se obtendrá la
CIP que se pretende estudiar "0-1-0-1-0-1", cuyas coordenadas de los puntos de
unión manivela-biela serán los siguientes:
89
Configuraciones de Insensitividad.
11 = (-0.288675134, -0.05,
12 = (-0.221559188, 0.05,
13 = (0.101098857, 0.275108358,
14 = (0.154080864, 0.166875885,
15 = (0.187701397, -0.225108358,
16 = (0.067478324, -0.216875885,
-0.099999921)
0.074131301)
-0.099999921)
0.074131301)
-0.099999921)
0.074131301)
Y las coordenadas de los vértices de la plataforma móvil:
123 = ( 0.160411877, 0.240002840, 0.496028238)
145 = ( 0.127642618, -0.258922180, 0.496028239)
161 = (-0.288054494, 0.018919340, 0.496028238)
Calculando las velocidades de los vértices de la plataforma móvil para
unas velocidades angulares de las manivelas de 1 rad/s, resultan en este caso,
los valores siguientes:
Vx123 = -5.422162348772668e-015
Vy123 = 5.157982651548186e-015
Vz123 = 2.569677055887484e-015
Vx145 = 1.035113226518595e-015
Vy145 = 4.733870557753380e-015
Vz145 = 4.817838154888438e-015
Vx161 = -2.560816408164872e-015
Vy161 = -6.462380843204576e-016
Vz161 = -1.772153366471474e-015
Se puede observar, que al igual que en el caso anterior, las velocidades
de los vértices de la plataforma móvil son despreciables, lo que demuestra que
el manipulador se encuentra en otra CIP.
IV.5 - CONCLUSIONES
Como una generalización de la utilidad de las configuraciones de
insensitividad de posición de los mecanismos planos de pistón-biela-manivela y
manivela-oscilador, se expone la utilidad de las configuraciones de
insensitividad de posición "CIP" del manipulador paralelo 6-RKS propuesto por
Hunt.
90
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Se determina el número de CIP de todos los tipos posibles,
constatando que existen 12 CIP-1, 60 CIP-2, 120 CIP-3, 240 CIP-4, 192 CIP-5
y 64 CIP-6 ó total.
Las 64 CIP-6 son las que se han llamado y se llamarán CIP y
corresponden con configuraciones puntuales de gran precisión de posición para
la plataforma móvil. En estas configuraciones, pequeños errores en la posición
de los actuadores no afectan a la posición de la plataforma.
Al pasar de una CIP a otra, la velocidad cuando se acerque a la nueva
posición disminuirá progresivamente, por lo que las fuerzas de inercia, si el
manipulador se detiene en esa posición, serán muy reducidas, permitiendo la
utilización de motores eléctricos asíncronos, más económicos que los motores
que permiten un control de su velocidad, y que sería necesario utilizar si se
produjesen detenciones del manipulador fuera de sus CIP.
En estas configuraciones, los pares a aplicar a los actuadores para
equilibrar a las fuerzas y pares aplicados sobre la plataforma móvil serán nulos.
Ello es debido a que las fuerzas que aparecen en los extremos de las manivelas
cortan a los ejes de los actuadores.
Se ha expuesto un método numérico para la obtención de una de estas
configuraciones y a partir de ella, las 63 restantes.
Observando el sistema de ecuaciones que relaciona las velocidades de
los extremos de las manivelas y de los vértices de la plataforma móvil, se
comprueba que si en cada cadena cinemática se cumple que el eje del actuador,
la manivela y la biela están en el mismo plano, el manipulador se encuentra en
una CIP.
Finalmente, en el ejemplo numérico del apartado IV.4, se determinan
las 64 CIP para un manipulador de unas dimensiones determinadas,
comprobándose numéricamente que las CIP obtenidas son realmente
configuraciones de insensitividad de posición.
91
Configuraciones de Insensitividad.
92
CAPÍTULO V
SÍNTESIS DE UN MANIPULADOR
6-RKS
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
94
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
CAPÍTULO V - SÍNTESIS DE UN
MANIPULADOR 6-RKS
V.1 – INTRODUCCIÓN
En este capítulo se sintetizará un manipulador para lograr que varias
posiciones prefijadas de la plataforma móvil se consigan estando el manipulador
en configuración de insensitividad de posición.
Así como los mecanismos planos de pistón-biela-manivela y de
manivela-oscilador es interesante diseñarlos de forma que las posiciones de
detención deseadas coincidan con configuraciones de insensitividad, también en
los mecanismos espaciales tipo manipulador paralelo 6-RKS resulta ventajoso
conseguir que varias posiciones de detención prefijadas de la plataforma móvil
se alcancen estando el manipulador en configuración de insensitividad de
posición. De esta forma se consigue que estas configuraciones sean de gran
precisión de posición, que los pares sobre los actuadores sean nulos y que las
velocidades de los puntos de la plataforma móvil sean nulas, con lo que las
aceleraciones, y por lo tanto las fuerzas de inercia, serán menores que si se
detiene al mecanismo en cualquier otra configuración.
En el Capítulo IV se ha visto que son 64 las CIP totales y que éstas
son puntuales; es decir, que para una determinada posición de los actuadores
sobre la plataforma fija, unas longitudes de las manivelas, de las bielas y de los
lados del triángulo de la plataforma móvil, el manipulador tendrá 64
configuraciones de insensitividad de posición sobre la plataforma fija
perfectamente determinadas.
Para ciertas aplicaciones, como posicionar piezas o utillajes en
máquina-herramienta, se puede utilizar el manipulador paralelo 6-RKS
aprovechando sus CIP por las ventajas que se han descrito anteriormente. Por
ello, sería importante conseguir que las posiciones que deba tener la pieza o
utillaje se alcancen estando el manipulador en CIP.
En este capítulo, se trata de dimensionar el manipulador de forma que
varias posiciones predeterminadas de la plataforma móvil necesarias para
realizar una determinada labor, coincidan con CIP.
El problema, así planteado, se corresponde con la "Síntesis
Dimensional". Después de haber llevado a cabo la "Síntesis de Tipo y de
95
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
Número" al seleccionar el de tipo de mecanismo por el hecho de que posee una
plataforma móvil con 6 grados de libertad y configuraciones de insensitividad
de posición. Ahora, se trata de calcular las dimensiones de los diferentes
eslabones con el fin de conseguir que varias posiciones deseadas de la
plataforma móvil se puedan alcanzar estando el manipulado en CIP. Este
estudio se puede corresponder con la "síntesis de puntos de precisión" de
mecanismos planos puesta como ejemplo en el Anexo I.
V.2 – POSICIONES PREDETERMINADAS EN CIP
En principio, se podrían predeterminar 64 posiciones de la plataforma
móvil, que son las correspondientes a las 64 configuraciones de insensitividad
de posición que alcanza el manipulador 6-RKS. Sin embargo, esto es muy
difícil ya que para cada posición se deben cumplir 24 condiciones de restricción
por lo tanto se tendrían 64 por 24 igual a 1536 ecuaciones. Por otro lado, se
tendría 18 coordenadas de los seis extremos de las manivelas, que para las 64
posiciones representarían 1152 incógnitas, por lo que se necesitarían añadir 364
incógnitas para que resultase un sistema de ecuaciones determinado. Teniendo
en cuenta que el manipulador tiene 6 cadenas cinemáticas de unión de la
plataforma fija con la plataforma móvil, corresponden 64 incógnitas por cada
cadena. Es decir, que en cada cadena formada por el actuador, la manivela y la
biela se deben introducir 64 variables.
Las 24 condiciones de restricción del párrafo anterior corresponden: 6
a las longitudes constantes de las manivelas, 6 a las longitudes constantes de las
bielas, 6 a la condición de que los extremos de las manivelas describan unas
circunferencias perpendiculares a los ejes de los actuadores y finalmente otras 6
condiciones asociadas a que el eje de un actuador, la manivela y la biela
correspondientes estén en el mismo plano para que se dé una CIP. Las otras tres
condiciones de restricción expuestas en el Capítulo IV referentes a las
longitudes constantes de los lados del triángulo de la plataforma móvil no son
necesarias ya que la posición deseada de la plataforma móvil se da por medio de
las coordenadas de los vértices del triángulo y, por lo tanto, estas condiciones de
restricción ya se cumplen.
En lugar de intentar resolver el problema más complejo, se inicia el
estudio para dos configuraciones de insensitividad de posición y posteriormente
se irán considerando más configuraciones. En la realidad de la industria, con
unas pocas posiciones ya suele ser suficiente, ya que la mayoría de las piezas, al
colocarlas en una máquina, suele ser necesario colocarlas, como mucho, en tres
o cuatro posiciones determinadas.
96
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Con el fin de que las ecuaciones de restricción, introducidas en el
Capítulo IV, resulten más sencillas, y sin perder generalidad, en este capítulo se
supone que los ejes de los actuadores forman un triángulo equilátero (Fig. V-1).
Fig. V-1 Actuadores sobre la plataforma fija
Se toma como origen de coordenadas el baricentro del triángulo
formado por los ejes de los actuadores, con los ejes "X" e "Y" contenidos en el
plano de los ejes de los actuadores y el eje "Y" paralelo a los ejes de los
actuadores "1" y "2" y con el eje "Z" hacia la plataforma móvil.
97
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
V.2.1 – Una posición predeterminada en CIP
Para una posición predeterminada de la plataforma móvil como CIP
(Fig. V-2), se tendrán 24 ecuaciones de restricción para el manipulador:
- 6 para las longitudes constantes de las manivelas.
- 6 para las longitudes constantes de las bielas.
- 6 para indicar que el extremo de la manivela se mueve en un plano
perpendicular al eje del actuador.
- 6 para determinar que los elementos de cada cadena actuador, manivela y
biela se encuentran en un plano y por lo tanto el manipulador en una CIP.
Fig. V-2 Manipulador 6-RKS en una CIP
Las condiciones de restricción para las longitudes constantes de las
manivelas serán las siguientes:
(X 11 − X 01 )2 + (Y11 − Y01 )2 + (Z11 − Z 01 )2 − R 12 = 0
(X 12 − X 02 )2 + (Y12 − Y02 )2 + (Z12 − Z 02 )2 − R 22 = 0
(X 13 − X 03 )2 + (Y13 − Y03 )2 + (Z13 − Z 03 )2 − R 32 = 0
(X 14 − X 04 )2 + (Y14 − Y04 )2 + (Z14 − Z 04 )2 − R 24 = 0
(X 15 − X 05 )2 + (Y15 − Y05 )2 + (Z15 − Z 05 )2 − R 52 = 0
(X 16 − X 06 )2 + (Y16 − Y06 )2 + (Z16 − Z 06 )2 − R 26 = 0
98
(V-1)
(V-2)
(V-3)
(V-4)
(V-5)
(V-6)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Las condiciones de restricción para las longitudes constantes de las
bielas serán las siguientes:
(X 161 − X 11 )2 + (Y161 − Y11 )2 + (Z161 − Z11 )2 − L21 = 0
(X 123 − X 12 )2 + (Y123 − Y12 )2 + (Z123 − Z12 )2 − L22 = 0
(X 123 − X13 )2 + (Y123 − Y13 )2 + (Z123 − Z13 )2 − L23 = 0
(X145 − X 14 )2 + (Y145 − Y14 )2 + (Z145 − Z14 )2 − L24 = 0
(X 145 − X15 )2 + (Y145 − Y15 )2 + (Z145 − Z15 )2 − L25 = 0
(X 161 − X 16 )2 + (Y161 − Y16 )2 + (Z161 − Z16 )2 − L26 = 0
(V-7)
(V-8)
(V-9)
(V-10)
(V-11)
(V-12)
Para indicar la perpendicularidad entre la manivela y el eje del
actuador correspondiente:
Y11 − Y01 = 0
Y12 − Y02 = 0
(V-13)
(V-14)
3 ⋅ (X 13 − X 03 ) − (Y13 − Y03 ) = 0
(V-15)
3 ⋅ (X 14 − X 04 ) − (Y14 − Y04 ) = 0
3 ⋅ (X 15 − X 05 ) − (Y15 − Y05 ) = 0
(V-16)
(V-17)
3 ⋅ (X 16 − X 06 ) − (Y16 − Y06 ) = 0
(V-18)
Y finalmente para conseguir que el eje del actuador, la manivela y la
biela se encuentren en un plano:
(Z11 − Z 01 ) ⋅ (X161 − X11 ) − (X11 − X 01 ) ⋅ (Z161 − Z11 ) = 0
(Z12 − Z 02 ) ⋅ (X123 − X12 ) − (X12 − X 02 ) ⋅ (Z123 − Z12 ) = 0
− (Z13 − Z 03 )·(X123 − X 13 ) − 3 (Z13 − Z 03 )(
· Y123 − Y13 ) +
3 (Y13 − Y03 )(
· Z123 − Z13 ) + (X 13 − X 03 )·(Z123 − Z13 ) = 0
− (Z14 − Z 04 )·(X 145 − X 14 ) − 3 (Z14 − Z 04 )(
· Y145 − Y14 ) +
3 (Y14 − Y04 )(
· Z145 − Z14 ) + (X14 − X 04 )(
· Z145 − Z14 ) = 0
− (Z15 − Z 05 )·(X145 − X 15 ) − 3 (Z15 − Z 05 )(
· Y145 − Y15 ) +
3 (Y15 − Y05 )(
· Z145 − Z15 ) + (X 15 − X 05 )·(Z145 − Z15 ) = 0
− (Z16 − Z 06 )(
· X161 − X 16 ) − 3 (Z16 − Z 06 )(
· Y161 − Y16 ) +
3 (Y16 − Y06 )(
· Z161 − Z16 ) + (X 16 − X 06 )(
· Z161 − Z16 ) = 0
99
(V-19)
(V-20)
(V-21)
(V-22)
(V-23)
(V-24)
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
V.2.2 – Dos posiciones predeterminadas en CIP
Si se desean dos posiciones predeterminadas como CIP (Fig. V-3) se
tendrá un total de 48 ecuaciones de restricción, 24 para cada posición.
Fig. V-3 Manipulador 6-RKS en dos CIP
Para que este sistema de 48 ecuaciones tenga solución, en el caso más
general, deben existir 48 incógnitas. En principio, podrían ser las 18
coordenadas de posición de los puntos extremos de las manivelas, puntos de
unión de las manivelas con las bielas, que al ser para dos posiciones
representarían 36 incógnitas. Como se necesitan 12 incógnitas más, se pueden
tomar como variables las longitudes de las manivelas y de las bielas. De este
modo, se tiene un sistema con 48 ecuaciones y 48 incógnitas que, en principio,
tendrá solución, siendo ésta las posiciones de los puntos extremos de las
manivelas para las dos CIP y las longitudes de bielas y manivelas.
Aparte de las dos CIP predeterminadas, el manipulador tendrá otras 62
CIP más, ya que éste tiene un total de 64 sobre la plataforma fija. Las 62 CIP
restantes podrán ser aprovechadas en algunos casos, si en vez de necesitarse una
posición determinada, se puede ajustar la posición de trabajo a una de las CIP
que proporciona el manipulador.
100
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
V.2.2.1 –Formas de obtener dos posiciones en CIP
Tal y como se vio en el Capítulo IV, atendiendo a las seis últimas
condiciones de restricción, las que hacen que el eje del actuador, la manivela y
la biela estén contenidos en un plano para que el manipulador esté en CIP, se
llega a la conclusión de que los extremos de las bielas deben estar sobre unas
superficies tóricas (Fig. V-4).
Fig. V-4 Lugar geométrico del extremo de una biela en PI
Como a cada extremo de la plataforma móvil van unidas dos bielas,
por ejemplo la biela "2" y la "3" que se unen al punto "123", este punto debe
estar contenido en dos superficies tóricas: una la correspondiente a la cadena
cinemática 2 y otra correspondiente a la cadena 3.
La intersección de dos toros, del tipo que resultan cuando la manivela
tiene menor longitud que la biela, o sea que son toros que no tienen agujero
central, se produce a lo largo de 4 líneas cerradas (Fig. V-5). Por lo que el punto
"123", vértice de la plataforma móvil, puede estar sobre cuatro líneas diferentes
cuando las cadenas actuador, manivela y biela "2" y "3" estén en PI.
101
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
Fig. V-5 Lugar geométrico de un vértice de la plataforma móvil en PI
Que el lugar geométrico del vértice de la plataforma móvil sean 4
líneas resulta lógico, ya que cada cadena actuador, manivela y biela tiene dos
PI, por lo tanto el punto "123", que es la unión de dos bielas, tendrá 22 = 4 PI.
Teniendo en cuenta que la plataforma móvil, en las dos posiciones
predeterminadas, debe tener cada uno de sus vértices en alguna de las cuatro
líneas intersección de los dos toros correspondientes a cada vértice, resulta que
dos posiciones predeterminadas se pueden conseguir de varias formas
diferentes. El número teórico de soluciones para cada vértice de la plataforma
móvil será variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de dos en
dos que es igual a 16 y, como son tres vértices, resulta 163; es decir, 4096
posibles soluciones, al menos en teoría.
De estas 4096 posibles soluciones, existen 64 en las que las dos
posiciones prefijadas para la plataforma móvil son la misma. Esto es debido a
que dos posiciones diferentes de la plataforma móvil pueden tener un vértice de
la plataforma móvil sobre la misma línea de intersección de los dos toros
correspondientes, incluso puede ocurrir esto para dos vértices, pero si cada uno
de los tres vértices de la plataforma, en las dos posiciones de ésta, se encontrase
sobre la misma línea, resultaría que esas dos posiciones serían la misma. Estas
posibles soluciones han sido contabilizadas al calcular variaciones con
102
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
repetición y, como no es lógico que se prefijen dos posiciones iguales para la
plataforma móvil, resulta que el número de posibles soluciones teóricas, para
conseguir que dos posiciones de la plataforma móvil sean CIP, es 4032.
Para conseguir las posibles soluciones mencionadas en el párrafo
anterior se utiliza el método iterativo de Newton-Raphson. El proceso es el
siguiente: Se introducen como valores iniciales las coordenadas de los vértices
de la plataforma móvil para las dos posiciones deseadas, las longitudes iniciales
de las seis manivelas y de las seis bielas y los dos conjuntos de coordenadas
iniciales de los puntos extremos de las seis manivelas para las dos posiciones de
la plataforma prefijada. Se consideran las 48 ecuaciones de restricción
correspondientes a las dos posiciones prefijadas. Se itera, tomando como
valores iniciales para una iteración los resultados de la iteración anterior, y así
sucesivamente, hasta obtener unas longitudes de manivelas y bielas y unas
coordenadas de los puntos extremos de las manivelas que cumplan las
ecuaciones de restricción cometiendo un error inferior a una cantidad prefijada.
Como el método de Newton-Raphson no siempre converge, y con el
fin de obtener el máximo de soluciones posibles, se repite el proceso 4.096
veces. Para ello se inician las iteraciones con las 64 x 64 combinaciones
posibles de coordenadas de los puntos extremos de las manivelas obtenidas al
conseguir las 64 CIP de un manipulador con las seis manivelas de la misma
longitud y las seis bielas también de la misma longitud.
Es este un punto en el que podría haberse hecho uso de un método
aleatorio para tomar los valores iniciales de las coordenadas de los seis puntos
extremos de las manivelas y las longitudes de las manivelas y bielas para las dos
posiciones prefijadas. No obstante, como en el capítulo anterior se ha expuesto
un método para determinar las 64 CIP, y en un ejemplo numérico se han
determinado las CIP para un manipulador con longitudes de manivelas iguales y
también con longitudes de bielas iguales, parece lógico tomar como
configuraciones iniciales dos CIP ya determinadas, y como longitudes de bielas
y manivelas iniciales las longitudes del manipulador al que corresponden esas
CIP.
V.2.3 – Tres posiciones predeterminadas en CIP
Si se desean alcanzar tres posiciones predeterminadas de la plataforma
móvil estando el manipulador en configuración de insensitividad de posición
(Fig. V-6), se tendrá, igual que en el caso de dos posiciones:
- 6 ecuaciones de restricción para las longitudes constantes de las manivelas.
- 6 para las longitudes constantes de las bielas.
103
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
-
6 para indicar que el extremo de la manivela se mueve en un plano
perpendicular al eje del actuador.
6 para determinar que cada cadena actuador-manivela-biela se encuentra en
un plano y por lo tanto en posición de insensitividad.
Es decir, resultan 24 ecuaciones de restricción por cada posición y,
por lo tanto, un total de 72 ecuaciones de restricción para las tres posiciones
predeterminadas de la plataforma móvil deseadas.
Para que este sistema de 72 ecuaciones tenga solución, deben existir
72 incógnitas. En principio, podrían ser las 18 coordenadas de posición de los
puntos extremos de las manivelas que, al ser para tres configuraciones,
representarían 54 incógnitas. Como son necesarias 18 incógnitas más, se pueden
tomar como variables las longitudes de las manivelas y de las bielas y por
ejemplo las coordenadas "X" de los actuadores. De esta manera, se tiene un
sistema con 72 ecuaciones y 72 incógnitas que, en principio, tendrá solución,
siendo ésta las posiciones de los puntos extremos de las manivelas para las tres
configuraciones de insensitividad, las longitudes de manivelas y bielas y las
coordenadas "X" de los actuadores.
Fig. V-6 Manipulador 6-RKS en tres CIP
Aparte de las tres configuraciones de insensitividad predeterminadas,
el manipulador tendrá otras 61 configuraciones de insensitividad más, ya que
puede alcanzar un total de 64. Las 61 configuraciones restantes podrán ser
104
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
aprovechadas siempre que se ajuste las necesidades del trabajo a la posición de
la plataforma móvil.
V.2.3.1 – Formas de obtener tres posiciones en CIP
Para tres posiciones predeterminadas, de forma similar a lo expuesto
para el caso de dos posiciones, cada vértice de la plataforma móvil se debe
encontrar sobre alguna de las líneas intersección de las superficies toroidales
correspondientes a las cadenas actuador, manivela y biela cuyas bielas van
unidas al vértice considerado.
Teniendo en cuenta que la plataforma móvil, en las tres posiciones
predeterminadas, debe tener cada uno de sus vértices en alguna de las cuatro
líneas intersección de los dos toros correspondientes a cada vértice, resulta que
tres posiciones predeterminadas se pueden conseguir de varias formas
diferentes. El número teórico de soluciones para cada vértice de la plataforma
móvil será variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de tres en
tres, que es igual a 64, y como son tres vértices, se tienen 643 igual a 262.144
posibles soluciones.
Haciendo el mismo razonamiento que para dos posiciones, de estas
262.144 posibles soluciones existen 64.000 en las que las dos o tres posiciones
prefijadas para la plataforma móvil son la misma. Como no es lógico que se
prefijen dos o tres posiciones iguales para la plataforma móvil, resulta que el
número de posibles soluciones teóricas para conseguir que tres posiciones de la
plataforma móvil se consigan estando el manipulador en configuración de
insensitividad es de 198.144.
Para conseguir las posibles soluciones mencionadas en el párrafo
anterior se utiliza el método iterativo de Newton-Raphson. El proceso es el
siguiente: Se introducen como valores iniciales las coordenadas de los vértices
de la plataforma móvil para las tres posiciones deseadas, las longitudes iniciales
de las seis manivelas y de las seis bielas, las coordenadas "X" de los actuadores
y los tres conjuntos de coordenadas de los puntos extremos de las seis
manivelas para las tres posiciones de la plataforma. Se consideran las 72
ecuaciones de restricción correspondientes a las tres posiciones prefijadas. Se
itera, tomando como valores iniciales para una iteración los resultados de la
iteración anterior, y así sucesivamente, hasta obtener unas longitudes de
manivelas y bielas, unas coordenadas "X" de los actuadores y unas coordenadas
de los puntos extremos de las manivelas que cumplan las ecuaciones de
restricción cometiendo un error inferior a una cantidad prefijada.
105
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
Como el método de Newton-Raphson no siempre converge o
converge a soluciones no constructivas, por ejemplo con longitudes de bielas y
manivelas de miles de metros y, con el fin de obtener el máximo de soluciones
posibles, se repite el proceso 262.144 veces, iniciando las iteraciones con las 64
x 64 x 64 combinaciones posibles de coordenadas de los puntos extremos de las
manivelas de las 64 CIP determinadas en el ejemplo numérico del Capítulo IV.
Se toman como valores iniciales para determinar las dimensiones del
manipulador todas las combinaciones posibles de CIP porque, de ese modo, es
más fácil que entre todas las soluciones obtenidas haya varias constructivas.
V.2.4 – Cuatro posiciones predeterminadas en CIP
Haciendo el mismo razonamiento que para dos y tres posiciones
prefijadas, como se tienen 24 condiciones de restricción, se tendrá un sistema de
96 ecuaciones. Por otro lado se tienen 72 incógnitas que serán las coordenadas
de los extremos de las manivelas. Serán necesarias 24 incógnitas más, que se
pueden tomar, por ejemplo, las longitudes de manivelas y bielas y las
coordenadas "X" e "Y" de los actuadores.
Igual que en los casos anteriores, aparte de las cuatro posiciones de
insensitividad de la plataforma móvil predeterminadas, el manipulador tendrá
otras 60 configuraciones de insensitividad de posición más.
V.2.4.1 – Formas de obtener 4 posiciones en CIP
Teniendo en cuenta que la plataforma móvil, en las cuatro posiciones
predeterminadas, debe tener cada uno de sus vértices en alguna de las cuatro
líneas intersección de los dos toros correspondientes a cada vértice, resulta que
cuatro posiciones predeterminadas se pueden conseguir de varias formas
diferentes. El número teórico de soluciones para cada vértice de la plataforma
móvil será variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de cuatro en
cuatro que es igual a 256; y como son tres vértices resulta 2563 igual a
16.777.216 posibles soluciones.
De estas 16.777.216 posibles soluciones, existen 1.528.192 en las que
las dos, tres o cuatro posiciones prefijadas para la plataforma móvil son la
misma. Como no es lógico que se prefijen dos, tres o cuatro posiciones iguales
para la plataforma móvil, resulta que el número de posibles soluciones teóricas
para conseguir que cuatro posiciones de la plataforma móvil, se consigan
estando el manipulador en configuraciones de insensitividad de posición, es de
12.249.024.
106
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Para obtener las posibles soluciones mencionadas en el párrafo
anterior se utiliza el método iterativo de Newton-Raphson para la resolución del
sistema de 96 ecuaciones: Se introducen como datos para la primera iteración
las coordenadas de los vértices de la plataforma móvil para las cuatro posiciones
deseadas, las longitudes iniciales de las manivelas y de las bielas, las
coordenadas "X" e "Y" iniciales de los actuadores, los cuatro conjuntos de
coordenadas iniciales de los puntos extremos de las seis manivelas para las
cuatro posiciones de la plataforma. Se consideran las 96 ecuaciones de
restricción correspondientes a las cuatro posiciones prefijadas. Se itera,
tomando como valores iniciales para cada iteración los resultados de la iteración
anterior, y así sucesivamente, hasta obtener como resultado las longitudes de
manivelas y bielas, las coordenadas "X" e "Y" de los actuadores y las
coordenadas de los puntos extremos de las manivelas que cumplan las
condiciones de restricción con un error inferior a una cantidad prefijada.
Al igual que en los casos anteriores, como el método de NewtonRaphson no siempre converge y con el fin de obtener el máximo de soluciones
constructivas posibles, se repite el proceso iniciando la iteración con las
64 x 64 x 64 x 64 combinaciones posibles de coordenadas de los puntos
extremos de las manivelas obtenidas al determinar las 64 CIP de un
manipulador con las seis manivelas de la misma longitud y las seis bielas
también de la misma longitud.
Debido a lo costoso en tiempo que resultaría este método, ya que
habría que resolver 644 = 16.777.216 veces un sistema de 96 ecuaciones, y en
cada una de ellas al menos se deben realizar un mínimo de 8 iteraciones hasta
conseguir la convergencia, en este caso, se puede utilizar un método aleatorio
para tomar los valores iniciales en cada una de las aplicaciones del método de
Newton-Raphson dentro de la serie de 16.777.216 posibles, hasta conseguir
varias soluciones para las longitudes de bielas y manivelas y posiciones de los
actuadores que se consideren satisfactorias.
V.3 – EJEMPLO NUMÉRICO PARA DOS CIP
En este ejemplo numérico, se aplicará el método descrito en el
Apartado V.2.2 para lograr que dos posiciones prefijadas de la plataforma móvil
se consigan estando el manipulador en configuración de insensitividad de
posición (CIP).
Se pretende mecanizar, en una esfera de 100 milímetros de diámetro
apoyada en el centro de la plataforma móvil, dos caras de un icosaedro. Para
poder mecanizar correctamente, las caras deben estar horizontales, con sus
107
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
baricentros coincidiendo con el eje "Z" del manipulador y con la arista entre las
dos caras paralela al eje "Y". La primera cara se mecanizará estando la
plataforma móvil horizontal (Fig. V-7).
Fig. V-7 Superficies a mecanizar
V.3.1 – Introducción de datos
Con las condiciones propuestas en el apartado anterior, tomando como
primera posición de la plataforma móvil la primera de las 64 CIP del ejemplo
del apartado IV.4, y teniendo en cuenta que el ángulo entre caras de un
icosaedro es de 41.81º, las coordenadas de los vértices de la plataforma móvil
en la primera posición serán las siguientes:
X123A = -0.1441
Y123A = 0.25
Z123A = 0.6498
X145A = 0.2887
Y145A = 0
Z145A = 0.6498
X161A = -0.1441
Y161A = -0.25
Z161A = 0.6498
108
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Para la segunda posición, la plataforma móvil deberá realizar un giro
de 41.81º alrededor de un eje paralelo al eje "Y" que pase por el centro de la
esfera a mecanizar, resultando que las coordenadas de los vértices de la
plataforma en esta segunda posición serán las siguientes:
X123B = -0.1409
Y123B = 0.25
Z123B = 0.7587
X145B = 0.1819
Y145B = 0
Z145B = 0.4701
X161B = -0.1409
Y161B = -0.25
Z161B = 0.7587
Tomando las dimensiones de la plataforma fija y la posición de los
actuadores igual que en el ejemplo del Capítulo IV, resultará que las
coordenadas de los puntos 01 a 06 serán:
01 = (-0.288675134, -0.05,
02 = (-0.288675134, 0.05,
03 = (0.101036297, 0.275,
04 = (0.187638837, 0.225,
05 = (0.187638837, -0.225,
06 = (0.101036297, -0.275,
0)
0)
0)
0)
0)
0)
Para la primera iteración se tomará, como longitudes de las manivelas:
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 0.1 metros.
Y como longitudes de las bielas:
L1 = L2 = L3 = L4 = L5 = L6 = 0.6 metros
Las longitudes de los lados del triángulo de la plataforma móvil, de
0.5 metros, ya quedan determinados por las dos posiciones preestablecidas.
Para las coordenadas de los extremos de las manivelas, puntos del
"11" al "16" en sus dos posiciones, se irán tomando las 64 x 64 = 4096
combinaciones de coordenadas de estos puntos en las 64 CIP del manipulador
obtenidas en el ejemplo del Capítulo IV.
109
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
V.3.2 – Condiciones de restricción
Como condiciones de restricción se tendrá:
Para las longitudes constantes de las manivelas en la primera posición:
(X 11A − X 01 )2 + (Y11A − Y01 )2 + (Z11A − Z 01 )2 − R 12 = 0
(X 12A − X 02 )2 + (Y12A − Y02 )2 + (Z12A − Z 02 )2 − R 22 = 0
(X 13A − X 03 )2 + (Y13A − Y03 )2 + (Z13A − Z 03 )2 − R 32 = 0
(X 14A − X 04 )2 + (Y14A − Y04 )2 + (Z14A − Z 04 )2 − R 24 = 0
(X 15A − X 05 )2 + (Y15A − Y05 )2 + (Z15A − Z 05 )2 − R 52 = 0
(X 16A − X 06 )2 + (Y16A − Y06 )2 + (Z16A − Z 06 )2 − R 62 = 0
(V-25)
(V-26)
(V-27)
(V-28)
(V-29)
(V-30)
Para las longitudes constantes de las manivelas en la segunda
posición:
(X 11B − X 01 )2 + (Y11B − Y01 )2 + (Z11B − Z 01 )2 − R 12 = 0
(X 12B − X 02 )2 + (Y12B − Y02 )2 + (Z12B − Z 02 )2 − R 22 = 0
(X 13B − X 03 )2 + (Y13B − Y03 )2 + (Z13B − Z 03 )2 − R 32 = 0
(X 14B − X 04 )2 + (Y14B − Y04 )2 + (Z14B − Z 04 )2 − R 24 = 0
(X 15B − X 05 )2 + (Y15B − Y05 )2 + (Z15B − Z 05 )2 − R 52 = 0
(X 16B − X 06 )2 + (Y16B − Y06 )2 + (Z16B − Z 06 )2 − R 62 = 0
(V-31)
(V-32)
(V-33)
(V-34)
(V-35)
(V-36)
Para las longitudes constantes de las bielas en la primera posición:
(X 161A − X 11A )2 + (Y161A − Y11A )2 + (Z161A − Z11A )2 − L21 = 0
(X 123A − X 12A )2 + (Y123A − Y12A )2 + (Z123A − Z12A )2 − L22 = 0
(X 123A − X 13A )2 + (Y123A − Y13A )2 + (Z123A − Z13A )2 − L23 = 0
(X 145B − X 14A )2 + (Y145B − Y14A )2 + (Z145B − Z14A )2 − L24 = 0
(X 145A − X 15A )2 + (Y145A − Y15A )2 + (Z145A − Z15A )2 − L25 = 0
(X 161A − X 16A )2 + (Y161A − Y16A )2 + (Z161A − Z16A )2 − L26 = 0
110
(V-37)
(V-38)
(V-39)
(V-40)
(V-41)
(V-42)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Para las longitudes constantes de las bielas en la segunda posición:
(X 161B − X 11B )2 + (Y161B − Y11B )2 + (Z161B − Z11B )2 − L21 = 0
(X 123B − X12B )2 + (Y123B − Y12B )2 + (Z123B − Z12B )2 − L22 = 0
(X 123B − X13B )2 + (Y123B − Y13B )2 + (Z123B − Z13B )2 − L23 = 0
(X 145B − X 14B )2 + (Y145B − Y14B )2 + (Z145B − Z14B )2 − L24 = 0
(X 145B − X 15B )2 + (Y145B − Y15B )2 + (Z145B − Z15B )2 − L25 = 0
(X 161B − X 16B )2 + (Y161B − Y16B )2 + (Z161B − Z16B )2 − L26 = 0
(V-43)
(V-44)
(V-45)
(V-46)
(V-47)
(V-48)
Para indicar la perpendicularidad de las circunferencias descritas por
los extremos de las manivelas con los ejes de los actuadores respectivos, en la
primera posición:
Y11A − Y01 = 0
Y12 A − Y02 = 0
(V-49)
(V-50)
3 ⋅ (X 13A − X 03 ) − (Y13A − Y03 ) = 0
3 ⋅ (X 14 A − X 04 ) − (Y14 A − Y04 ) = 0
3 ⋅ (X 15 A − X 05 ) − (Y15A − Y05 ) = 0
3 ⋅ (X 16 A − X 06 ) − (Y16 A − Y06 ) = 0
(V-51)
(V-52)
(V-53)
(V-54)
Para la perpendicularidad de las circunferencias descritas por los
extremos de las manivelas con los ejes de los actuadores respectivos, en la
segunda posición:
Y11B − Y01 = 0
Y12 B − Y02 = 0
(V-55)
(V-56)
3 ⋅ (X 13B − X 03 ) − (Y13B − Y03 ) = 0
(V-57)
3 ⋅ (X 14 B − X 04 ) − (Y14 B − Y04 ) = 0
(V-58)
3 ⋅ (X 15 B − X 05 ) − (Y15 B − Y05 ) = 0
(V-59)
3 ⋅ (X 16 B − X 06 ) − (Y16 B − Y06 ) = 0
(V-60)
111
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
Para la condición de que los ejes de los actuadores, las manivela y las
bielas en cada cadena deben estar contenidas en un plano, para la primera
posición de la plataforma móvil:
(Z11A − Z 01 ) ⋅ (X161A − X11A ) − (X11A − X 01 ) ⋅ (Z161A − Z11A ) = 0
(V-61)
(Z12A − Z 02 ) ⋅ (X123A − X12A ) − (X12A − X 02 ) ⋅ (Z123A − Z12A ) = 0
(V-62)
− (Z13 A − Z 03 )(
· X123A − X 13A ) − 3 (Z13 A − Z 03 )(
· Y123A − Y13A ) +
3 (Y13A − Y03 )(
· Z123A − Z13A ) + (X 13A − X 03 )·(Z123A − Z13A ) = 0
− (Z14 A − Z 04 )(
· X 145A − X 14 A ) − 3 (Z14 A − Z 04 )(
· Y145 A − Y14 A ) +
3 (Y14 A − Y04 )·(Z145A − Z14 A ) + (X 14 A − X 04 )·(Z145A − Z14 A ) = 0
− (Z15 A − Z 05 )(
· X145A − X 15 A ) − 3 (Z15 A − Z 05 )(
· Y145A − Y15A ) +
3 (Y15 A − Y05 )(
· Z145A − Z15 A ) + (X 15 A − X 05 )·(Z145A − Z15 A ) = 0
− (Z16 A − Z 06 )(
· X 161A − X 16 A ) − 3 (Z16 A − Z 06 )(
· Y161A − Y16 A ) +
3 (Y16 A − Y06 )(
· Z161A − Z16 A ) + (X16 A − X 06 )(
· Z161A − Z16 A ) = 0
(V-63)
(V-64)
(V-65)
(V-66)
Para la condición de que los ejes de los actuadores, las manivela y las
bielas en cada cadena deben estar contenidas en un plano, para la segunda
posición de la plataforma móvil:
(Z11B − Z 01 ) ⋅ (X161B − X11B ) − (X11B − X 01 ) ⋅ (Z161B − Z11B ) = 0
(V-67)
(Z12B − Z 02 ) ⋅ (X123B − X12B ) − (X12B − X 02 ) ⋅ (Z123B − Z12B ) = 0
(V-68)
− (Z13 B − Z 03 )·(X123B − X 13B ) − 3 (Z13B − Z 03 )(
· Y123B − Y13B ) +
3 (Y13B − Y03 )(
· Z123B − Z13B ) + (X 13B − X 03 )·(Z123B − Z13B ) = 0
− (Z14 B − Z 04 )(
· X145 B − X 14 B ) − 3 (Z14 B − Z 04 )·(Y145B − Y14 B ) +
3 (Y14 B − Y04 )(
· Z145 B − Z14 B ) + (X14 B − X 04 )(
· Z145 B − Z14 B ) = 0
112
(V-69)
(V-70)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
− (Z15 B − Z 05 )·(X145 B − X 15B ) − 3 (Z15 B − Z 05 )(
· Y145 B − Y15B ) +
3 (Y15 B − Y05 )(
· Z145 B − Z15B ) + (X 15B − X 05 )·(Z145B − Z15 B ) = 0
− (Z16 B − Z 06 )(
· X 161B − X 16 B ) − 3 (Z16 B − Z 06 )(
· Y161B − Y16 B ) +
3 (Y16 B − Y06 )(
· Z161B − Z16 B ) + (X 16 B − X 06 )·(Z161B − Z16 B ) = 0
(V-71)
(V-72)
V.3.3 – Resolución del sistema
Resolviendo el sistema de 48 ecuaciones, de la (V-25) a (V-72), para
las 4096 combinaciones de valores iniciales, por el método iterativo de NewtonRaphson con el programa "DOSINSENSI" realizado en MATLAB, se han
conseguido 68 combinaciones diferentes de longitudes de manivelas y bielas en
lugar de las 4032 teóricamente posibles. Esto es lógico ya que, por ejemplo, si
la coordenada "Z123" de la posición prefijada "1" es mayor que la coordenada
"Z123" de la posición prefijada "2", las 16 posibles combinaciones para un
vértice de la plataforma quedarían reducidas a 6 (Fig. V-8), siendo entonces el
número de posibles soluciones 63 = 216. Si este mismo razonamiento se aplica a
las coordenadas "X123" e "Y123", se reducirán las posibles soluciones, resultando
aceptable que éstas sean 68.
Fig. V-8 Posibles posiciones de un vértice de la plataforma móvil en PI
De las 4096 veces que se ha aplicado el método iterativo de NewtonRaphson por medio del programa "DOSINSENSI", en muchos casos no
converge a una solución, y en los casos que converge, lo hace a una de las 68
soluciones que pueden verse en las tablas (V-1) a (V-4).
113
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
V.3.4 – Soluciones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Ángulo de Ángulo de Ángulo de Ángulo de Ángulo de
la manivela la manivela la manivela la manivela la manivela
Ángulo de
la manivela
"3"
θ3
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
4.494
1.7892
1.3524
1.3524
4.9308
1.3524
1.3524
1.3524
4.9308
1.3524
4.9308
1.5708
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
4.494
4.494
1.3524
1.3524
4.9308
4.9308
1.3524
1.3524
4.9308
1.3524
"6"
θ6
1.7893
1.3522
1.7893
1.3522
1.7893
1.3522
4.4938
1.3522
1.7893
1.3522
4.4938
4.9309
1.7893
1.3522
4.4938
1.3522
1.7893
4.9309
1.3522
4.4938
4.9309
1.7893
1.3522
4.4938
4.9309
1.7893
1.3522
4.4938
4.9309
1.7893
1.3522
4.4938
1.3522
"1"
θ1
1.7894
4.4938
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
4.4938
4.4938
4.4938
1.7894
4.4938
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
1.7894
"2"
θ2
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
4.4935
4.4935
1.3519
1.3519
1.3519
1.3519
1.3519
1.3519
1.3519
1.3519
1.3519
4.9313
1.3519
1.3519
1.3519
4.9313
1.3519
114
"4"
θ4
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
4.9304
4.9309
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
4.9309
1.3522
1.3522
4.9309
4.9309
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
"5"
θ5
4.9309
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
4.9309
0.9762
4.9309
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
4.3216
1.3522
1.3522
1.3522
4.931
1.3522
1.3522
1.3522
4.931
4.931
1.3522
1.3522
1.3522
4.931
1.3522
1.3522
4.931
1.3522
1.3522
4.931
1.3522
4.931
4.931
4.931
1.3522
1.3522
4.931
1.3522
1.3522
4.931
4.931
1.3522
1.3522
4.931
1.3522
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
1.7897
4.4935
4.4935
1.3519
1.3519
4.9313
4.9313
1.3519
1.3519
1.3519
4.9313
1.3519
1.3519
4.9313
4.9313
1.3519
1.3519
4.9313
1.3519
4.494
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
4.494
1.7892
1.3524
1.3524
4.9308
4.9308
1.3524
1.3524
4.9308
1.3524
1.5708
1.5708
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
1.7892
4.494
1.7892
1.3524
1.3524
4.9308
4.9308
1.3524
1.3524
4.9308
1.3524
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
4.9309
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
4.9309
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
4.9309
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
4.9309
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
4.9309
4.9309
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
4.9309
1.3522
1.3522
1.3522
Tabla V-1 Ángulos de las manivelas en la primera posición.
115
1.3522
1.7893
1.3522
1.7893
1.3522
1.7893
1.3522
4.4938
1.3522
1.7893
1.3522
4.4938
4.9309
1.7893
1.3522
4.4938
1.3522
4.4938
4.4938
1.7893
1.3522
1.7893
1.3522
1.7893
1.3522
4.4938
1.3522
1.7893
1.3522
1.7893
1.3522
1.7893
1.3522
1.7893
1.3522
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
Ángulo de Ángulo de Ángulo de Ángulo de Ángulo de la Ángulo de la
la manivela la manivela la manivela la manivela manivela
manivela
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
"1"
θ1
4.9048
1.3784
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
1.3784
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
1.1936
"2"
θ2
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
1.3784
1.3784
1.3784
1.3784
1.3784
1.3784
1.3784
1.3784
1.3784
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
4.9048
"3"
θ3
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
1.385
4.8982
1.385
1.385
4.8982
1.385
1.385
1.385
4.8982
1.385
4.8982
1.5216
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
1.385
1.385
1.385
1.385
4.8982
4.8982
1.385
1.385
4.8982
1.385
1.385
116
"4"
θ4
4.3142
4.3142
4.3142
4.3142
1.1727
1.1727
5.1105
1.1727
4.3142
4.3142
1.9689
4.3142
1.1727
1.1727
5.1105
1.1727
5.1078
1.9689
4.3142
1.9689
4.3142
1.1727
1.1727
5.1105
5.1105
4.3142
4.3142
1.9689
1.9689
1.1727
1.1727
5.1105
1.1727
1.9689
"5"
θ5
1.9689
1.9689
1.1727
1.1727
4.3142
1.9689
1.1727
1.1727
1.9689
4.3142
1.1727
1.1727
4.3142
1.9689
1.1727
1.1727
4.3142
5.1105
1.9689
4.0397
5.1105
4.3142
1.9689
1.1727
1.1727
1.9689
4.3142
1.1727
1.1727
4.3142
4.3142
1.1727
1.1727
1.9689
"6"
θ6
4.8982
1.385
4.8982
1.385
4.8982
1.385
1.385
1.385
4.8982
1.385
1.385
4.8982
4.8982
1.385
1.385
1.385
4.8982
4.8982
1.385
1.385
4.8982
4.8982
1.385
1.385
4.8982
4.8982
1.385
1.385
4.8982
4.8982
1.385
1.385
1.385
1.385
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
1.3784
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
1.3784
1.3784
4.9048
4.9048
1.3784
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
4.9048
4.9048
4.9048
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
1.3784
4.9048
4.9048
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
4.9048
1.3784
1.3784
1.3784
1.3784
4.9048
4.9048
1.3784
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
1.3784
4.9048
4.9048
1.3784
1.3784
4.9048
1.3784
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
1.385
4.8982
1.385
1.385
4.8982
4.8982
1.385
1.385
4.8982
1.385
1.5216
1.5216
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
4.8982
1.385
4.8982
1.385
1.385
4.8982
4.8982
1.385
1.385
4.8982
1.385
4.3142
4.3142
4.3142
4.3142
1.1727
1.1727
5.1105
1.1727
4.3142
4.3142
1.9689
1.9689
1.1727
1.1727
5.1105
1.1727
1.9689
5.1105
4.3142
4.3142
4.3142
4.3142
1.1727
1.1727
5.1105
1.1727
4.3142
4.3142
4.3142
4.3142
1.1727
1.1727
5.1105
1.1727
4.3142
1.9689
1.1727
1.1727
4.3142
1.9689
1.1727
1.1727
1.9689
1.9689
1.1727
1.1727
4.3142
4.3142
1.1727
1.1727
1.9689
5.1105
1.9689
1.9689
1.1727
1.1727
4.3142
1.9689
1.1727
1.1727
1.9689
4.3142
1.1727
1.1727
1.9689
4.3142
1.1727
1.1727
4.8982
1.385
4.8982
1.385
4.8982
1.385
1.385
1.385
4.8982
1.385
1.385
4.8982
4.8982
1.385
1.385
1.385
1.385
1.385
4.8982
1.385
4.8982
1.385
4.8982
1.385
1.385
1.385
4.8982
1.385
4.8982
1.385
4.8982
1.385
4.8982
1.385
Tabla V-2 Ángulos de las manivelas para la segunda posición.
117
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Longitud
de la
manivela
"1" R1
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0537
0.0566
Longitud
de la
manivela
"2" R2
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.0536
Longitud Longitud
de la
de la
manivela manivela
"3" R4
"4" R4
0.0528
0.0899
0.0528
0.0899
0.0528
0.0899
0.0528
0.0899
0.0528
0.6792
0.0528
0.6792
0.0528
0.6792
0.0528
0.6792
0.7136
0.0899
0.7136
0.0899
0.7136
0.0899
0.7136
0.0899
0.7136
0.6792
0.7136
0.6792
0.7136
0.6792
0.7136
0.6792
0.7136
0.6814
0.7665
0.0899
0.0528
0.0899
0.0528
0.0899
0.0528
0.0899
0.0528
0.6792
0.0528
0.6792
0.0528
0.6792
0.0528
0.6792
0.7136
0.0899
0.7136
0.0899
0.7136
0.0899
0.7136
0.0899
0.7136
0.6792
0.7136
0.6792
0.7136
0.6792
0.7136
0.6792
0.0528
0.0899
118
Longitud
de la
manivela
"5" R5
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.6792
0.0899
0.106
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
Longitud
de la
manivela
"6" R6
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.7133
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.0536
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.7193
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.7665
0.7665
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.0528
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.7136
0.0899
0.0899
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.6792
0.6792
0.0899
0.6792
0.0899
0.0899
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
0.0899
0.0899
0.6792
0.6792
Tabla V-3 Longitudes de las manivelas para dos CIP
119
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.0528
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
0.0528
0.7133
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
Longitud Longitud Longitud Longitud Longitud
biela "1" biela "2" biela "3" biela "4" biela "5"
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
L1
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.2071
L2
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.7466
0.7466
L3
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.1654
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.7457
0.7457
120
L4
0.6095
0.6095
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.2005
0.2005
0.1993
0.6095
0.6095
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
L5
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
Longitud
biela "6"
L6
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.2056
0.7457
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.7466
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.2071
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.1654
0.1654
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.7457
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.2055
0.6095
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.2005
0.2005
0.6095
0.2005
0.6095
0.6095
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.2005
0.2005
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
0.6095
0.6095
0.2005
0.2005
Tabla V-4 Longitudes de las bielas para dos CIP
121
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.7457
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
0.7457
0.2056
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
V.3.5 – Conclusiones de la síntesis para dos CIP
Observando los valores de las longitudes de las manivelas, se observa,
que de las 68 combinaciones solamente es aceptable la primera, ya que las
demás tienen alguna manivela de mayor longitud que su biela correspondiente y
por lo tanto, esa manivela no podría alcanzar las dos posiciones de
insensitividad al haber interferencia de la plataforma móvil con la fija.
Como conclusión, para que el manipulador del ejemplo pueda
conseguir las dos posiciones predeterminadas, deberá tener las dimensiones
siguientes:
Longitudes de manivelas:
R1 = 0.0537 metros.
R2 = 0.0536
"
R3 = 0.0528
"
R4 = 0.0899
"
"
R5 = 0.0899
R6 = 0.0528
"
Y longitudes de bielas:
L1 = 0.7466 metros.
L2 = 0.7466
"
"
L3 = 0.7457
L4 = 0.6095
"
L5 = 0.6095
"
"
L6 = 0.7457
Para la solución aceptable, otra conclusión interesante es, que la
primera posición se consigue con las manivelas "1", "2", "3", "4" y "6" hacia
arriba y la "5" hacia abajo y la segunda posición se consigue con las manivelas
totalmente opuestas, es decir, las manivelas "1", "2", "3", "4" y "6" hacia abajo y
la "5" hacia arriba.
122
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
V.4 – EJEMPLO NUMÉRICO PARA TRES CIP
En este ejemplo, siguiendo el proceso expuesto en el apartado V.2.3,
se sintetizará un manipulador paralelo 6-RKS para lograr que tres posiciones
predeterminadas de la plataforma móvil se consigan estando el manipulador en
configuración de insensitividad de posición (CIP).
Con el manipulador expuesto como ejemplo del Capítulo IV, se desea
posicionar horizontalmente para realizar un mecanizado, tres triángulos
equiláteros de 0.15 metros de altura, y que forman un ángulo de 10º entre ellos
(Fig. V-9), de forma que:
-
En la primera posición la plataforma móvil y el triángulo "1" deben estar
horizontales, la arista entre los triángulos "1" y "2" paralela al eje "Y" del
manipulador y con el baricentro del triángulo "1" sobre el eje "Z".
En la segunda posición el triángulo "2" debe estar horizontal, con la arista
entre los triángulos "1" y "2" paralela al eje "Y" del manipulador y con el
baricentro del triángulo "2" sobre el eje "Z".
Y en la tercera posición el triángulo "3" horizontal, con la arista de la
derecha paralela al eje "Y" y con el baricentro sobre el eje "Z".
La altura del baricentro de los triángulos, en todos los casos, debe ser
0.1 metros por encima del baricentro del triángulo de la plataforma móvil
correspondiente a la primera CIP del ejemplo del Capítulo IV, es decir, a 0.7498
metros.
V.4.1 – Introducción de datos
Realizando los cálculos oportunos resulta que las coordenadas de los
vértices de la plataforma móvil para la primera posición serán las siguientes:
X123A = -0.1441
Y123A = 0.25
Z123A = 0.6498
X145A = 0.2887
Y145A = 0
Z145A = 0.6498
X161A = -0.1441
Y161A = -0.25
Z161A = 0.6498
123
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
Fig. V-9 Posiciones de las superficies a mecanizar
Para la segunda posición la pieza debe realizar un giro de 10º
alrededor de un eje paralelo al eje "Y", que corte al eje "Z" y que esté 0.4715
metros por debajo de la plataforma móvil, resultando las coordenadas
siguientes:
X123B = -0.0603
Y123B = 0.25
Z123B = 0.6677
X145B = 0.3656
Y145B = 0
Z145B = 0.5919
X161B = -0.0603
Y161B = -0.25
Z161B = 0.6677
124
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Para la tercera posición, partiendo de la primera, la pieza debe realizar
un giro de 10º alrededor de un eje paralelo a los ejes de los actuadores "3" y "4",
que corte al eje "Z" y que esté 0.4715 metros por debajo de plataforma móvil,
resultando las coordenadas siguientes de los vértices de la plataforma móvil:
X123C = -0.1863
Y123C = 0.1773
Z123C = 0.6677
X145C = 0.3656
Y145C = -0.073
Z145C = 0.6677
X161C = -0.1828
Y161C = -0.317
Z161C = 0.5919
Tomando las dimensiones de la plataforma fija y la posición de los
actuadores igual que en el ejemplo del Capítulo IV, resultará que las
coordenadas de los puntos 01 a 06 serán:
01 = (-0.288675134, -0.05,
02 = (-0.288675134, 0.05,
03 = (0.101036297, 0.275,
04 = (0.187638837, 0.225,
05 = (0.187638837, -0.225,
06 = (0.101036297, -0.275,
0)
0)
0)
0)
0)
0)
Como valores para la primera iteración se tomará, longitudes de las
manivelas:
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 0.1 metros.
Y como longitudes de las bielas:
L1 = L2 = L3 = L4 = L5 = L6 = 0.6 metros
Las longitudes de los lados del triángulo de la plataforma móvil ya
quedan determinados al introducir las coordenadas de los vértices para las tres
posiciones preestablecidas.
Para las coordenadas de los extremos de las manivelas, puntos del 11
al 16, se irán tomando como coordenadas las 64 x 64 x 64 = 262.144
combinaciones de coordenadas de estos puntos obtenidas en las 64 CIP del
manipulador del ejemplo del Capítulo IV.
125
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
V.4.2 – Condiciones de restricción
Como condiciones de restricción se tendrá:
Para las longitudes constantes de las manivelas en la primera posición:
(X 11A − X 01 )2 + (Y11A − Y01 )2 + (Z11A − Z 01 )2 − R 12 = 0
(X 12A − X 02 )2 + (Y12A − Y02 )2 + (Z12A − Z 02 )2 − R 22 = 0
(X 13A − X 03 )2 + (Y13A − Y03 )2 + (Z13A − Z 03 )2 − R 32 = 0
(X 14A − X 04 )2 + (Y14A − Y04 )2 + (Z14A − Z 04 )2 − R 24 = 0
(X 15A − X 05 )2 + (Y15A − Y05 )2 + (Z15A − Z 05 )2 − R 52 = 0
(X 16A − X 06 )2 + (Y16A − Y06 )2 + (Z16A − Z 06 )2 − R 62 = 0
(V-73)
(V-74)
(V-75)
(V-76)
(V-77)
(V-78)
Para las longitudes constantes de las manivelas en la segunda
posición:
(X 11B − X 01 )2 + (Y11B − Y01 )2 + (Z11B − Z 01 )2 − R 12 = 0
(X 12B − X 02 )2 + (Y12B − Y02 )2 + (Z12B − Z 02 )2 − R 22 = 0
(X 13B − X 03 )2 + (Y13B − Y03 )2 + (Z13B − Z 03 )2 − R 32 = 0
(X 14B − X 04 )2 + (Y14B − Y04 )2 + (Z14B − Z 04 )2 − R 24 = 0
(X 15B − X 05 )2 + (Y15B − Y05 )2 + (Z15B − Z 05 )2 − R 52 = 0
(X 16B − X 06 )2 + (Y16B − Y06 )2 + (Z16B − Z 06 )2 − R 62 = 0
(V-79)
(V-80)
(V-81)
(V-82)
(V-83)
(V-84)
Para las longitudes constantes de las manivelas en la tercera posición:
(X 11C − X 01 )2 + (Y11C − Y01 )2 + (Z11C − Z 01 )2 − R 12 = 0
(X 12C − X 02 )2 + (Y12C − Y02 )2 + (Z12C − Z 02 )2 − R 22 = 0
(X 13C − X 03 )2 + (Y13C − Y03 )2 + (Z13C − Z 03 )2 − R 32 = 0
(X 14C − X 04 )2 + (Y14C − Y04 )2 + (Z14C − Z 04 )2 − R 24 = 0
(X 15C − X 05 )2 + (Y15C − Y05 )2 + (Z15C − Z 05 )2 − R 52 = 0
(X 16C − X 06 )2 + (Y16C − Y06 )2 + (Z16C − Z 06 )2 − R 62 = 0
126
(V-85)
(V-86)
(V-87)
(V-88)
(V-89)
(V-90)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Para las longitudes constantes de las bielas en la primera posición:
(X 161A − X 11A )2 + (Y161A − Y11A )2 + (Z161A − Z11A )2 − L21 = 0
(X 123A − X 12A )2 + (Y123A − Y12A )2 + (Z123A − Z12A )2 − L22 = 0
(X 123A − X 13A )2 + (Y123A − Y13A )2 + (Z123A − Z13A )2 − L23 = 0
(X 145A − X 14A )2 + (Y145A − Y14A )2 + (Z145A − Z14A )2 − L24 = 0
(X 145A − X 15A )2 + (Y145A − Y15A )2 + (Z145A − Z15A )2 − L25 = 0
(X 161A − X 16A )2 + (Y161A − Y16A )2 + (Z161A − Z16A )2 − L26 = 0
(V-91)
(V-92)
(V-93)
(V-94)
(V-95)
(V-96)
Para las longitudes constantes de las bielas en la segunda posición:
(X 161B − X 11B )2 + (Y161B − Y11B )2 + (Z161B − Z11B )2 − L21 = 0
(X 123B − X12B )2 + (Y123B − Y12B )2 + (Z123B − Z12B )2 − L22 = 0
(X 123B − X13B )2 + (Y123B − Y13B )2 + (Z123B − Z13B )2 − L23 = 0
(X 145B − X 14B )2 + (Y145B − Y14B )2 + (Z145B − Z14B )2 − L24 = 0
(X 145B − X 15B )2 + (Y145B − Y15B )2 + (Z145B − Z15B )2 − L25 = 0
(X 161B − X 16B )2 + (Y161B − Y16B )2 + (Z161B − Z16B )2 − L26 = 0
(V-97)
(V-98)
(V-99)
(V-100)
(V-101)
(V-102)
Para las longitudes constantes de las bielas en la tercera posición:
(X 161C − X 11C )2 + (Y161C − Y11C )2 + (Z161C − Z11C )2 − L21 = 0
(X 123C − X12C )2 + (Y123C − Y12C )2 + (Z123C − Z12C )2 − L22 = 0
(X 123C − X13C )2 + (Y123C − Y13C )2 + (Z123C − Z13C )2 − L23 = 0
(X 145C − X 14C )2 + (Y145C − Y14C )2 + (Z145C − Z14C )2 − L24 = 0
(X 145C − X 15C )2 + (Y145C − Y15C )2 + (Z145C − Z15C )2 − L25 = 0
(X 161C − X 16C )2 + (Y161C − Y16C )2 + (Z161C − Z16C )2 − L26 = 0
127
(V-103)
(V-104)
(V-105)
(V-106)
(V-107)
(V-108)
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
Para la perpendicularidad de las circunferencias descritas por los
extremos de las manivelas con los ejes de los actuadores respectivos, en la
primera posición:
Y11A − Y01 = 0
Y12 A − Y02 = 0
(V-109)
(V-110)
3 ⋅ (X 13A − X 03 ) − (Y13A − Y03 ) = 0
3 ⋅ (X 14 A − X 04 ) − (Y14 A − Y04 ) = 0
3 ⋅ (X 15 A − X 05 ) − (Y15A − Y05 ) = 0
3 ⋅ (X 16 A − X 06 ) − (Y16 A − Y06 ) = 0
(V-111)
(V-112)
(V-113)
(V-114)
Para la perpendicularidad de las circunferencias descritas por los
extremos de las manivelas con los ejes de los actuadores respectivos, en la
segunda posición:
Y11B − Y01 = 0
Y12 B − Y02 = 0
(V-115)
(V-116)
3 ⋅ (X 13B − X 03 ) − (Y13B − Y03 ) = 0
3 ⋅ (X 14 B − X 04 ) − (Y14 B − Y04 ) = 0
3 ⋅ (X 15 B − X 05 ) − (Y15 B − Y05 ) = 0
3 ⋅ (X 16 B − X 06 ) − (Y16 B − Y06 ) = 0
(V-117)
(V-118)
(V-119)
(V-120)
Para la perpendicularidad de las circunferencias descritas por los
extremos de las manivelas con los ejes de los actuadores respectivos, en la
tercera posición:
Y11C − Y01 = 0
Y12C − Y02 = 0
(V-121)
(V-122)
3 ⋅ (X 13C − X 03 ) − (Y13C − Y03 ) = 0
3 ⋅ (X 14 C − X 04 ) − (Y14C − Y04 ) = 0
3 ⋅ (X 15C − X 05 ) − (Y15C − Y05 ) = 0
3 ⋅ (X 16 C − X 06 ) − (Y16C − Y06 ) = 0
128
(V-123)
(V-124)
(V-125)
(V-126)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Para la condición de que el eje del actuador, la manivela y la biela de
cada cadena deben estar contenidas en un plano, para la primera posición de la
plataforma móvil:
(Z11A − Z 01 ) ⋅ (X161A − X11A ) − (X11A − X 01 ) ⋅ (Z161A − Z11A ) = 0
(V-127)
(Z12A − Z 02 ) ⋅ (X123A − X12A ) − (X12A − X 02 ) ⋅ (Z123A − Z12A ) = 0
(V-128)
− (Z13 A − Z 03 )(
· X123A − X 13A ) − 3 (Z13 A − Z 03 )(
· Y123A − Y13A ) +
3 (Y13A − Y03 )(
· Z123A − Z13A ) + (X 13A − X 03 )·(Z123A − Z13A ) = 0
− (Z14 A − Z 04 )(
· X 145A − X 14 A ) − 3 (Z14 A − Z 04 )(
· Y145 A − Y14 A ) +
3 (Y14 A − Y04 )·(Z145A − Z14 A ) + (X 14 A − X 04 )·(Z145A − Z14 A ) = 0
− (Z15 A − Z 05 )(
· X145A − X 15 A ) − 3 (Z15 A − Z 05 )(
· Y145A − Y15A ) +
3 (Y15 A − Y05 )(
· Z145A − Z15 A ) + (X 15 A − X 05 )·(Z145A − Z15 A ) = 0
− (Z16 A − Z 06 )(
· X 161A − X 16 A ) − 3 (Z16 A − Z 06 )(
· Y161A − Y16 A ) +
3 (Y16 A − Y06 )(
· Z161A − Z16 A ) + (X16 A − X 06 )(
· Z161A − Z16 A ) = 0
(V-129)
(V-130)
(V-131)
(V-132)
Para la condición de que el eje del actuador, la manivela y la biela de
cada cadena deben estar contenidas en un plano, para la segunda posición de la
plataforma móvil:
(Z11B − Z 01 ) ⋅ (X161B − X11B ) − (X11B − X 01 ) ⋅ (Z161B − Z11B ) = 0
(V-133)
(Z12B − Z 02 ) ⋅ (X123B − X12B ) − (X12B − X 02 ) ⋅ (Z123B − Z12B ) = 0
(V-134)
− (Z13 B − Z 03 )·(X123B − X 13B ) − 3 (Z13B − Z 03 )(
· Y123B − Y13B ) +
3 (Y13B − Y03 )(
· Z123B − Z13B ) + (X 13B − X 03 )·(Z123B − Z13B ) = 0
− (Z14 B − Z 04 )(
· X145 B − X 14 B ) − 3 (Z14 B − Z 04 )·(Y145B − Y14 B ) +
3 (Y14 B − Y04 )(
· Z145 B − Z14 B ) + (X14 B − X 04 )(
· Z145 B − Z14 B ) = 0
129
(V-135)
(V-136)
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
− (Z15 B − Z 05 )·(X145 B − X 15B ) − 3 (Z15 B − Z 05 )(
· Y145 B − Y15B ) +
3 (Y15 B − Y05 )(
· Z145 B − Z15B ) + (X 15B − X 05 )·(Z145B − Z15 B ) = 0
− (Z16 B − Z 06 )(
· X 161B − X 16 B ) − 3 (Z16 B − Z 06 )(
· Y161B − Y16 B ) +
3 (Y16 B − Y06 )(
· Z161B − Z16 B ) + (X 16 B − X 06 )·(Z161B − Z16 B ) = 0
(V-137)
(V-138)
Para la condición de que el eje del actuador, la manivela y la biela de
cada cadena deben estar contenidas en un plano, para la tercera posición de la
plataforma móvil:
(Z11C − Z 01 ) ⋅ (X161C − X11C ) − (X11C − X 01 ) ⋅ (Z161C − Z11C ) = 0
(V-139)
(Z12C − Z 02 ) ⋅ (X123C − X12C ) − (X12C − X 02 ) ⋅ (Z123C − Z12C ) = 0
(V-140)
− (Z13C − Z 03 )·(X123C − X 13C ) − 3 (Z13C − Z 03 )(
· Y123C − Y13C ) +
3 (Y13C − Y03 )(
· Z123C − Z13C ) + (X 13C − X 03 )·(Z123C − Z13C ) = 0
− (Z14 C − Z 04 )(
· X145C − X 14C ) − 3 (Z14C − Z 04 )·(Y145C − Y14 C ) +
3 (Y14 C − Y04 )(
· Z145C − Z14C ) + (X14 C − X 04 )(
· Z145C − Z14C ) = 0
− (Z15C − Z 05 )·(X145C − X 15C ) − 3 (Z15C − Z 05 )(
· Y145C − Y15C ) +
3 (Y15C − Y05 )(
· Z145C − Z15C ) + (X 15C − X 05 )·(Z145C − Z15C ) = 0
− (Z16 C − Z 06 )(
· X161C − X 16C ) − 3 (Z16C − Z 06 )(
· Y161C − Y16 A ) +
3 (Y16 C − Y06 )(
· Z161C − Z16 C ) + (X 16C − X 06 )(
· Z161C − Z16 C ) = 0
(V-141)
(V-142)
(V-143)
(V-144)
V.4.3 – Resolución del sistema
Resolviendo este sistema de 72 ecuaciones (V-73) a (V-144) por el
método de Newton-Raphson para las 262.144 combinaciones de valores
iniciales por medio del programa "TRESINSENSI" realizado en MATLAB,
tomando como variables las 54 coordenadas de los extremos de las manivelas,
las doce longitudes de manivelas y bielas y las seis coordenadas "X" de los
actuadores, se han conseguido 1701 combinaciones diferentes de longitudes de
manivelas y bielas y coordenadas "X" de los actuadores.
130
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
V.4.4 – Soluciones
De las 262.144 iteraciones realizadas en muchos casos no converge a
una solución, y en otros muchos casos converge a una de las 1701 soluciones
citadas.
Cabe resaltar que se han obtenido 1.701 soluciones diferentes en vez
de las 198.144 teóricamente posibles. Esto es lógico ya que como se ha visto en
el caso de dos posiciones prefijadas, no todas las combinaciones teóricamente
posibles son posibles en la realidad.
Una de estas soluciones es por ejemplo:
Longitudes de las manivelas:
R1 = 0.0065 metros.
R2 = 0.0014
"
R3 = 0.0123
"
R4 = 0.0066 metros.
R5 = 0.0094
"
R6 = 0.0141
"
Longitudes de las bielas:
L1 = 0.6960 metros.
L2 = 0.6625
"
L3 = 0.8765
"
L4 = 0.7317 metros.
L5 = 0.7579
"
L6 = 0.7308
"
Coordenadas "X" de los actuadores:
X01 = 0.1471 metros.
X02 = -0.0348 "
X03 = -0.1552 "
X04 = -0.2488 metros.
X05 = 0.0115 "
X06 = 0.2690 "
En la mayoría de las soluciones, la posición de los actuadores es tal
que se pueden producir interferencias entre las bielas de distintas cadenas
cinemáticas. Habría que estudiar más a fondo este problema, haciendo variar
por ejemplo las coordenadas "Y" ó "Z" de los actuadores para ver que otras
soluciones aparecen, también se puede prefijar de otra forma diferente las tres
posiciones de la plataforma móvil, ya que lo importante es la posición relativa
entre las tres posiciones prefijadas.
131
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
V.5 - CONCLUSIONES
El Manipulador Paralelo 6-RKS puede alcanzar 64 configuraciones de
insensitividad de posición (CIP) y, dadas las ventajas de estas configuraciones
expuestas en el Capítulo IV, resulta interesante poder sintetizar este tipo de
mecanismos de forma que la posición de la plataforma móvil, en varias de estas
configuraciones, coincida con unas posiciones deseadas.
En este capítulo, se ha puesto de manifiesto que conseguir que las 64
CIP posibles coincidan con posiciones predeterminadas es muy difícil por la
gran cantidad de variables que habría que introducir en cada cadena cinemática
(actuador-manivela-biela) de unión de la plataforma fija con la móvil.
También se ha visto que para conseguir dos posiciones de la
plataforma móvil estando el manipulador en CIP es necesario que puedan variar
las longitudes de las manivelas y de las bielas. Si se desea conseguir tres
posiciones predeterminadas en CIP habrá que añadir otra variable más por cada
cadena, por ejemplo, las coordenadas "X" de los actuadores, y así
sucesivamente. Cuantas más posiciones predeterminadas se desee lograr,
estando el manipulador en CIP, más variables se deberán introducir en el
proceso de síntesis.
Se ha propuesto un método numérico para la obtención de los valores
de las variables de diseño de forma que las posiciones deseadas se consigan en
CIP, poniendo de manifiesto que hay muchas combinaciones de valores de las
variables que lo cumplen. A estos diferentes valores se llega dependiendo de los
valores iniciales de cada proceso iterativo utilizando el método de NewtonRaphson. Por ello, se toman como valores iniciales de iteración todas las
posibles combinaciones de valores de las 64 CIP alcanzadas por el manipulador
paralelo del ejemplo del Capítulo IV.
Si las posiciones predeterminadas son en número superior a tres, el
número de combinaciones de valores iniciales, correspondientes a las CIP del
manipulador del ejemplo del Capítulo IV, es tan grande que en este caso es
interesante tomar de forma aleatoria valores entre todas las combinaciones
posibles y aplicar el proceso iterativo hasta que se consigan unos valores de las
variables de diseño que resulten aceptables.
En el ejemplo numérico, para conseguir que dos posiciones prefijadas
de la plataforma móvil se consigan estando el manipulador en CIP, se han
conseguido 68 combinaciones diferentes de longitudes de manivelas y bielas.
132
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Para tres posiciones de la plataforma móvil estando el manipulador en
CIP, se han obtenido 1.701 soluciones diferentes de longitudes de manivelas y
bielas y coordenadas "X" de los actuadores. En estas soluciones, la posición de
los actuadores es tal que se pueden producir interferencias entre las bielas de
distintas cadenas cinemáticas, por lo que se deberá estudiar más a fondo esta
síntesis.
133
Síntesis de un Manipulador 6-RKS
134
CAPÍTULO VI
COMPROBACIÓN DEL GIRO DE
MANIVELAS
Comprobación del giro de manivelas
136
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
CAPÍTULO VI - COMPROBACIÓN DEL GIRO
DE MANIVELAS
VI.1 - INTRODUCCIÓN
En los capítulos anteriores, se ha visto que el manipulador paralelo
6-RKS de Hunt tiene 64 configuraciones de insensitividad de posición (CIP) de
la plataforma móvil, las ventajas de estas configuraciones, y que se puede
diseñar un manipulador de forma que se consiga que varias posiciones
predeterminadas de la plataforma móvil se consigan estando el manipulador en
CIP. Esto se logra a base de construir el manipulador con unas determinadas
longitudes para las manivelas y bielas y unas coordenadas "X" e "Y" para los
actuadores sobre la plataforma fija.
En este capítulo, se estudiará un proceso, siguiendo unas reglas que
tienen cierta similitud con las leyes Grashof, para comprobar si las seis
manivelas de un manipulador, con unas determinadas dimensiones, son capaces
de dar vueltas completas y, por lo tanto, la plataforma móvil es capaz de
alcanzar todas las configuraciones de insensitividad de posición posibles.
VI.2 - SITUACIÓN ACTUAL
En el mecanismo plano formado por el cuadrilátero articulado, la ley
de Grashof [GRA. 1883] indica que para que uno de los eslabones sea capaz de
dar vueltas completas y, por lo tanto, pueda ser un mecanismo de manivela
oscilador, alcanzando dos posiciones de insensitividad del eslabón oscilador, se
debe cumplir que la suma de las longitudes del eslabón más largo y del más
corto debe ser menor que la suma de las longitudes de los eslabones de longitud
intermedia.
De forma similar, la movilidad del cuadrilátero articulado espacial, ha
sido estudiada, entre otros, por Hunt [HUN. 59], Harrisberger [HAR. 64],
Skreiner [SKR. 67], Freudenstein y Kiss [FRE. 69], Sticher [STI. 70], Bottema
[BOT. 71], Gupta y Radcliffe [GUP. 71], Freudenstein y Primrose [FRE. 76],
Söylemez y Freudenstein [SOY. 82], Gupta y Kazerounian [GUP. 83], Sandor
y Zhuang [SAN. 84], Alizade y Sandor [ALI. 85] y Williams y Reinholtz
[WIL. 87]. Y en otros tipos de mecanismos por Rastegar y Deravi [RAS. 87-1]
y [RAS. 87-2] y Rastegar [RAS. 88], [RAS. 89] y [RAS. 92]. En estos estudios,
137
Comprobación del giro de manivelas
se llega a la conclusión que no se puede definir una ley tan sencilla como la de
Grashof y que se debe seguir un determinado proceso para determinar si el
eslabón de entrada será capaz de dar vueltas completas.
VI.3 - PROCESO A SEGUIR
Para comprobar si se pueden obtener las 64 CIP, de forma similar al
cuadrilátero articulado espacial, se establecerá un proceso que se debe seguir
para determinar si es posible o no alcanzar todas las configuraciones de
insensitividad.
VI.3.1 - Dimensiones previas
En este capítulo, con el fin de simplificar los cálculos y sin perder
generalidad en el proceso, se considerará que los ejes de los actuadores del
manipulador, al igual que el considerado en el Capítulo V, forman un triángulo
equilátero.
Fig. VI-1 Longitudes de manivelas para evitar interferencias
138
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Por conveniencia constructiva, para que no interfieran las distintas
manivelas, se tomarán éstas con unas longitudes de forma que no lleguen a las
bisectrices de los ángulos del triángulo que forman los ejes de los actuadores
sobre la plataforma fija (Fig. VI-1).
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, resulta que las
longitudes de las manivelas deberán ser:
R1 <
R2 <
R3 <
R4 <
R5 <
R6 <
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
(L-2E1)
(VI-1)
(L-2E2)
(VI-2)
(L-2E3)
(VI-3)
(L-2E4)
(VI-4)
(L-2E5)
(VI-5)
(L-2E6)
(VI-6)
Por ejemplo, suponiendo que la longitud del lado del triángulo
formado por los ejes de los actuadores "L" sea 1 metro y el descentramiento del
actuador respecto del eje de simetría "E" sea 0.05 metros, resulta que la longitud
de las manivelas debe ser menor de 0.2598 metros.
Para que la plataforma móvil esté siempre por encima de la plataforma
fija, aunque las manivelas den vueltas completas, se debe cumplir que la
longitud de la manivela sea siempre inferior al de la biela correspondiente:
R1 < L1
(VI-7)
R2 < L2
(VI-8)
R3 < L3
(VI-9)
R4 < L4
(VI-10)
R5 < L5
(VI-11)
R6 < L6
(VI-12)
139
Comprobación del giro de manivelas
VI.3.2 - Comprobación de la longitud de las bielas
Según se ve en la figura VI-2, las bielas "2" y "3" se unen a la
plataforma móvil en el punto "123", las bielas "4" y "5" en el punto "145" y las
bielas "6" y "1" en el punto "161". Para que las dos bielas correspondientes a un
vértice de la plataforma móvil se puedan unir a ese punto, y además las
manivelas correspondientes a esas bielas puedan dar vueltas completas se
deberán cumplir ciertas condiciones.
Analizando la figura VI-2 se observa que, por ejemplo, para que las
bielas "2" y "3" lleguen a poder conectarse al punto "123" de la plataforma
móvil es necesario que las bielas, conectadas entre ellas, sean capaces de unir
los puntos "12" y "13". De forma similar, las bielas "4" y "5" deberán ser
capaces de unir los puntos "14" y "15" y las bielas "1" y "6" deberán poder unir
los puntos "11" y "16".
Fig. VI-2 Uniones de bielas y manivelas
140
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
VI.3.2.1 - Comprobación de la longitud de las bielas "2" y "3"
Centrándose en las bielas "2" y "3" (Fig. VI-3), para que puedan
conectar los puntos "12" y "13" se debe cumplir que:
-
La suma de las longitudes de las dos bielas sea mayor que la mínima
distancia entre estos dos puntos.
El módulo de la diferencia de las longitudes de las dos bielas sea menor que
la distancia máxima entre estos dos puntos.
Para ver que son necesarias estas dos condiciones basta con considerar
que los puntos "12", "13" y "123" forman un triángulo y por lo tanto se debe de
cumplir que la suma de las longitudes de dos lados sea mayor que la longitud
del otro lado.
Fig. VI-3 Conjunto de manivelas y bielas "2" y "3"
Fig. VI-4 Sentido del ángulo de las manivelas
141
Comprobación del giro de manivelas
Para determinar las distancias máxima y mínima entre los puntos "12"
y "13", teniendo en cuenta que los ejes de los actuadores forman un triángulo
equilátero, tomando el origen de los ángulos de las manivelas en el interior del
triángulo formado por los ejes de los actuadores y sentido según se indica en la
figura VI-4, siendo el origen de coordenadas el baricentro del triángulo formado
por los ejes de los actuadores, con los ejes "X" e "Y" contenidos en el plano de
los ejes de los actuadores, con el eje "Y" paralelo a los ejes de los actuadores
"1" y "2" y el eje "Z" hacia arriba, se plantean las coordenadas de estos puntos,
que serán:
X12 = X02 + R2 cos θ2
Y12 = Y02
Z12 = Z02 + R2 sin θ2
(VI-13)
(VI-14)
(VI-15)
X13 = X03 – 1/2 R3 cos θ3
Y13 = Y03 – 3 /2 R3 cos θ3
Z13 = Z03 + R3 sin θ3
(VI-16)
(VI-17)
(VI-18)
Las coordenadas de los puntos "12" y "13" irán variando al girar las
manivelas "2" y "3" y el cuadrado de la distancia entre ellos será:
(X03 – 1/2 R3 cos θ3 - X02 - R2 cos θ2)2 + (Y03 –
3 /2 R3 cos θ3 - Y02)2 +
+ (Z03 + R3 sin θ3 - Z02 - R2 sin θ2)2 = D2
(VI-19)
La distancia será máxima si es máximo su cuadrado y lo mismo
ocurrirá con la distancia mínima. Para hallar las distancias máxima y mínima al
variar los ángulos "θ2" y "θ3", se deriva la distancia al cuadrado respecto de
estos ángulos y se iguala a cero.
Derivando la ecuación (VI-19) respecto de "θ2" e igualando a cero
δ D2
δθ2
= 2 (X03 – 1/2 R3 cos θ3 - X02 - R2 cos θ2) R2 sin θ2 –
- 2 (Z03 + R3 sin θ3 - Z02 - R2 sin θ2) R2 cos θ2 = 0
(VI-20)
Simplificando
(X03 – 1/2 R3 cos θ3 - X02 - R2 cos θ2) sin θ2 –
- (Z03 + R3 sin θ3 - Z02 - R2 sin θ2) cos θ2 = 0
142
(VI-21)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Dividiendo por "cos θ2" resulta que, para que la derivada sea cero y
por lo tanto la distancia sea máxima o mínima, "θ2" debe ser tal que:
tg θ2 =
Z − Z12
Z03 + R 3 sin θ3 − Z02 − R 2 sin θ2
= 13
X03 − 1 / 2 R 3 cos θ3 − X02 − R 2 cos θ2 X13 − X12
(VI-22)
Esta ecuación representa, ver figura VI-5, que para un determinado
ángulo "θ3" y, por lo tanto, una determinada posición del punto del "13", para
que la distancia entre los puntos "12" y "13" sea máxima o mínima, la manivela
"2" deberá estar contenida en el plano formado por el eje del actuador "2" y el
punto "13". Dicho de otra forma, el eje del actuador "2", el punto "12" y el
punto "13" deberán estar contenidos en un mismo plano.
Fig. VI-5 Distancias mínima y máxima entre los puntos "12" y "13" para un
determinado punto "13"
143
Comprobación del giro de manivelas
Derivando la ecuación (VI-19) respecto de "θ3" e igualando a cero
δ D2
δθ3
= 2 (X03 – 1/2 R3 cos θ3 - X02 - R2 cos θ2) 1/2 R3 sin θ3 +
+ 2 (Y03 –
3 /2 R3 cos θ3 - Y02)
3 /2 R3 sin θ3 +
+ 2 (Z03 + R3 sin θ3 - Z02 - R2 sin θ2) R3 cos θ3 = 0
(VI-23)
Simplificando
(1/2 (X03 – 1/2 R3 cos θ3 - X02 - R2 cos θ2) +
+ 3 /2 (Y03 – 3 /2 R3 cos θ3 - Y02)) sin θ3 +
+ (Z03 + R3 sin θ3 - Z02 - R2 sin θ2) cos θ3 = 0
(VI-24)
Poniendo esta ecuación en función de las coordenadas de los puntos
"12" y "13", ecuaciones (VI-13) a (VI-18), resulta:
(1/2 (X13 – X12) +
3 /2 (Y13 Y12)) sin θ3 + (Z13 – Z12) cos θ3 = 0 (VI-25)
Dividiendo por "cos θ3"resulta que, para que la derivada sea cero y por
lo tanto la distancia sea máxima o mínima, "θ3" debe ser tal que:
tg θ3 =
Z12 − Z13
1 / 2(X13 − X12) + 3 / 2(Y13 − Y12)
(VI-26)
De forma análoga al caso anterior, de esta expresión se deduce que
para un determinado ángulo "θ2" y, por lo tanto, un determinado punto "12", la
manivela "3" debe estar contenida en un plano formado por el eje del actuador
"3" y el punto "12". Dicho de otra forma, el eje del actuador "3", el punto "12" y
el punto "13" deberán estar contenidos en el mismo plano (Fig. VI-6).
144
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Fig. VI-6 Distancias mínima y máxima entre los puntos "12" y "13" para un
determinado punto "12"
En un manipulador paralelo, con una geometría como la que se está
considerando, donde "Z03" = "Z02", para que se cumplan las ecuaciones (VI-22)
y (VI-26), se deberá dar, por la primera, que el eje del actuador "2", el punto
"12" y el punto "13" estén en un plano y, por la segunda, que el eje del actuador
"3" y los puntos "12" y "13" estén en otro plano.
Para que ambas condiciones se cumplan a la vez, los ejes de los
actuadores "2" y "3" y los puntos "12" y "13" deberán estar contenidos todos en
un mismo plano, que será el plano de los ejes de los actuadores. Si sucede esto,
los ángulos de las manivelas "θ2" y "θ3" serán iguales a 0º ó a 180º.
Con los ángulos de las manivelas "θ2" y "θ3" y los valores de 0º y 180º
se tendrá cuatro combinaciones donde las distancias serán máximas o mínimas
(Fig. VI-7), estas serán:
- Una distancia máxima entre "12" y "13" (Dmax) cuando θ2 = θ3 = 180º.
- Una distancia mínima entre "12" y "13" (Dmin) cuando θ2 = θ3 = 0º.
- Una distancia máxima o mínima relativa entre "12" y "13" (Dm1) cuando
θ2 =0º y θ3 = 180º.
- Una distancia máxima o mínima relativa entre "12" y "13" (Dm2) cuando
θ2 =180º y θ3 = 0º.
145
Comprobación del giro de manivelas
-
Fig. 43 Distancias máxima, mínima y distancias extremas intermedias.
En la figura VI-8 se representan las curvas de equidistancia y las
posiciones donde las distancias entre los puntos "12" y "13" son máxima,
mínima o extremas intermedias, en función de los ángulos de las manivelas "θ2"
y "θ3".
Fig. VI-8 Distancias máxima, mínima y extremas intermedias en función de los
ángulos de las manivelas "2" y "3"
146
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Con la geometría propuesta para este manipulador, expuesta al inicio
del apartado VI.3.1, las cuatro distancias definidas entre los puntos "12" y "13"
pueden expresarse:
2
Dmax =
( X03 − X02 + R 2 + 1 / 2 R 3) + (Y03 − Y02 + 3 / 2 R 3)
Dmin =
( X03 − X02 − R 2 − 1 / 2 R 3) + ( Y03 − Y02 + 3 / 2 R 3)
2
2
2
(VI-27)
(VI-28)
Dm1 =
( X03 − X02 − R 2 + 1 / 2 R 3) + (Y 03 − Y02 + 3 / 2 R 3)
2
2
(VI-29)
Dm2 =
( X03 − X02 + R 2 − 1 / 2 R 3) + (Y 03 − Y02 − 3 / 2 R 3)
2
2
(VI-30)
Una vez determinadas las distancias máxima, mínima y máximas o
mínimas intermedias podrán tener lugar, entre otras, las siguientes
posibilidades:
-
Si L2 + L3 > Dmín y L2 − L3 < Dmax, las bielas "2" y "3" se podrán
ensamblar.
Si L2 + L3 > Dm2 y L2 − L3 < Dm1, la manivela "2" podrá dar vueltas
-
completas, si la manivela "3" está en una posición conveniente.
Si L2 + L3 > Dm1 y L2 − L3 < Dm2, la manivela "3" podrá dar vueltas
-
completas, si la manivela "2" está en una posición conveniente.
Si L2 + L3 > Dmax y L2 − L3 < Dmin, las manivelas "2" y "3" podrán dar
-
vueltas completas.
De estas cuatro condiciones, como en este capítulo se está estudiando
un método para comprobar que todas las manivelas puedan dar vueltas
completas, las realmente importantes serán:
-
La primera, que garantiza que las dos bielas correspondientes a un vértice
de la plataforma móvil se podrán ensamblar entre ellas en dicho vértice.
La cuarta, que garantiza que cada manivela pueda dar vueltas completas
independientemente de la posición de las otras.
147
Comprobación del giro de manivelas
VI.3.2.2 - Comprobación de la longitud de las bielas "4" y "5"
En este subapartado, se comprobará las dimensiones que deben tener
las bielas "4" y "5" para que se puedan conectar entre ellas y permitan que las
manivelas correspondientes puedan girar completamente.
Fig. VI-9 Distancias máxima y mínima entre los puntos “14“ y “15“
Siguiendo para las bielas y manivelas "4" y "5", (Fig. VI-9), un
razonamiento similar al establecido en el apartado anterior, se llegara a la
conclusión de que:
Para que las bielas "4" y "5" se puedan ensamblar entre ellas, se deberá
cumplir que:
L4 + L5 > Dmin entre los puntos "14" y "15".
L4 − L5 < Dmax entre los puntos "14" y "15".
-
Para que las manivelas "4" y "5" puedan girar vueltas completas, se deberá
cumplir que:
L4 + L5 > Dmax entre los puntos "14" y "15".
L4 − L5 < Dmin entre los puntos "14" y "15".
siendo:
2
2
(VI-31)
2
2
(VI-32)
Dmax = (X 05 − X 04 + 1 / 2 R 5 − 1 / 2 R 4) + (Y05 − Y04 − 3 / 2 R 5 − 3 / 2 R 4 )
Dmin = (X 05 − X 04 − 1 / 2 R 5 + 1 / 2 R 4) + (Y05 − Y04 + 3 / 2 R 5 + 3 / 2 R 4)
148
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
VI.3.2.3 - Comprobación de la longitud de las bielas "6" y "1"
En este subapartado, se comprobará las dimensiones que deben tener
las bielas "6" y "1" para que se puedan conectar entre ellas y permitan que las
manivelas correspondientes puedan girar completamente.
Fig. VI-10 Distancias máxima y mínima entre los puntos "11" y "16"
Siguiendo el mismo razonamiento de los apartados anteriores, para las
manivelas "1" y "6" (Fig. VI-10), se tendrá:
-
Para que las bielas "6" y "1" se puedan ensamblar entre ellas, se deberá
cumplir que:
L1 + L6 > Dmin entre los puntos "11" y "16".
L1 − L 6 < Dmax entre los puntos "11" y "16".
-
Para que las manivelas "6" y "1" puedan girar vueltas completas, se deberá
cumplir que:
L1 + L6 > Dmax entre los puntos "11" y "16".
L1 − L 6 < Dmin entre los puntos "11" y "16".
siendo:
2
Dmax =
( X06 − X01 + R1 + 1 / 2 R 6) + ( Y06 − Y01 − 3 / 2 R 6)
Dmin =
( X06 − X01 − R1 − 1 / 2 R 6) + (Y 06 − Y01 + 3 / 2 R 6)
2
149
2
2
(VI-33)
(VI-34)
Comprobación del giro de manivelas
VI.3.2.4 - Conclusiones sobre las longitudes de las bielas
Al calcular las distancias máximas y mínimas entre los extremos de
manivelas cuyas bielas correspondientes van unidas a un vértice de la
plataforma móvil, se observa que estas distancias se producen en puntos de
"insensitividad de distancia" respecto de los ángulos de las manivelas, ya que
sus derivadas respecto de dichos ángulos deben ser cero en los máximos y
mínimos.
Como resumen de este apartado se puede afirmar que:
-
-
Para que dos bielas contiguas se puedan ensamblar en un vértice de la
plataforma móvil, se debe cumplir que:
-
La suma de las longitudes de esas bielas sea mayor que la distancia
mínima entre los puntos extremos de las manivelas a las que van
acopladas.
-
El módulo de la diferencia de las longitudes de las bielas sea menor
que la distancia máxima entre los extremos de las manivelas.
Para que dos bielas contiguas se ensamblen en un vértice de la plataforma
móvil y permitan, en cualquier posición, que sus dos manivelas
correspondientes den vueltas completas se debe cumplir que:
-
La suma de las longitudes de las dos bielas sea mayor que la distancia
máxima entre los puntos extremos de las manivelas.
-
El módulo de la diferencia de longitudes de las bielas sea menor que
la distancia mínima entre los extremos de las manivelas
correspondientes.
Por ejemplo, para un manipulador en que el lado del triángulo
equilátero formado por los ejes de los actuadores sea de 1 metro y el
descentramiento de los actuadores de 0.05 metros, para unas longitudes de
manivelas iguales a 0.1 metros, las bielas, si son iguales, deberán tener unas
longitudes mayores de 0.3116 metros.
150
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
VI.3.3 - Dimensiones de las aristas de la plataforma móvil
En los apartados anteriores se ha estudiado la influencia de las
longitudes de las bielas para permitir su ensamble y que sus manivelas
correspondientes puedan dar vueltas completas. En este apartado se tratará la
influencia de las dimensiones de la plataforma móvil, (Fig. VI-11),
comprobando si:
-
La arista "A12" de la plataforma móvil es capaz de ensamblar los puntos
"123" y "161".
-
La arista "A34" es capaz de ensamblar los puntos "123" y "145".
-
La arista "A56" es capaz de unir los puntos "145" y "161".
Permitiendo en todo momento que todas las manivelas puedan girar
vueltas completas.
Fig. VI-11 Nomenclatura del Manipulador Paralelo 6-RKS de Hunt
151
Comprobación del giro de manivelas
VI.3.3.1 - Comprobación de la longitud de la arista "A12"
En este subapartado se tratará de determinar las dimensiones de la
arista "A12" de la plataforma móvil para que sea capaz de ensamblar los puntos
"123" y "161", permitiendo el giro completo de las manivelas "1", "2", "3" y
"6".
Para unas posiciones determinadas de los puntos "12" y "13", el punto
"123" se hallará sobre una circunferencia cuyo eje de revolución será la recta
que pasa por los puntos "12" y "13".
De forma similar, para unas posiciones determinadas de los puntos
"11" y "16", el punto "161" se hallará sobre una circunferencia cuyo eje de
revolución será la recta que pasa por los puntos "11" y "16".
Para que la arista "A12" de la plataforma móvil sea capaz de ensamblar
los puntos "123" y "161", para una posición determinada de las manivelas "1",
"2", "3" y "6", sin tener en cuenta si las manivelas pueden girar, se deberá
cumplir que la longitud de la arista sea:
- Mayor que la distancia mínima entre los puntos a unir, (A12 > D123-161 min).
- Menor que la distancia máxima entre los puntos a unir, (A12 < D123-161 max).
Al ir girando las 4 manivelas, los puntos "11", "12", "13" y "16" van
variando de posición. Por lo tanto, irán variando las distancias máxima y
mínima entre los puntos "123" y "161" y apareciendo más posibilidades que se
analizan a continuación:
-
Para que la arista "A12" sea capaz de ensamblar los puntos "123" y "161",
aunque las manivelas no giren 360º, se deberá cumplir que la longitud de la
arista sea:
Mayor que el mínimo de la distancia mínima entre los puntos "123" y
"161", (A12 > (D123-161 min) min).
Menor que el máximo de la distancia máxima entre dichos puntos,
( A12 < (D123-161 max) max).
-
Para que las cuatro manivelas sean capaces de girar vueltas completas y en
todo momento la arista "A12" llegue a ensamblar los puntos "123" y "161"
se deberá cumplir que la longitud de la arista sea:
Mayor que el máximo de las distancias mínimas entre los puntos
"123" y "161", (A12 > (D123-161 min) max).
Menor que el mínimo de las distancias máximas entre dichos puntos,
(A12 < (D123-161 max) min).
152
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
VI.3.3.2 - Distancias de los puntos "123" y "161" analíticamente
En el proceso de determinación de las distancias máxima y mínima
entre los puntos "123" y "161", con unas posiciones determinadas de los puntos
"11", "12", "13" y "16", para el punto "123" se pueden plantear las ecuaciones
de restricción siguientes:
(X123 - X12)2 + (Y123 - Y12)2 + (Z123 - Z12)2 - L 22 = 0
(X123 - X13)2 + (Y123 - Y13)2 + (Z123 - Z13)2 - L32 = 0
(VI-35)
(VI-36)
Éstas son las ecuaciones de dos superficies esféricas, con centros en
los puntos "12" y "13", cuya intersección será una circunferencia, contenida en
un plano perpendicular a la recta que pasa por dichos puntos, sobre la que se
encontrará el punto "123".
Despejando "X123" en la ecuación (VI-35) se tiene
X123 = X12 ±
obtiene
Y123 =
L2 + 2 Y123 Y12 + 2 Z123 Z12 − Y12 − Z12 − Y123 − Z123
2
2
2
2
2
(VI-37)
Sustituyendo este valor en la ecuación (VI-36) y despejando "Y123" se
(Y13 − Y12)a + 2 Y12 (X12 − X13)
2
2
2((Y12 − Y13) + (X12 − X13) )
2
±
2
2
2
2
2
(( Y12 − Y13)a − 2 Y12 (X12 − X13) ) − ((X12 − X13) + (Y12 − Y13) )(a + 4b)
2
2
2((Y12 − Y13) + (X12 − X13) )
(VI-38)
siendo:
2
2
2
2
2
2
a = L 22 + X12
− Y12
− Z12
+ X13
+ Y13
+ Z13
− L32 + 2 Z123 Z12 − 2 Z123 Z13 − 2 X13 X12
2
2
2
b = ( X 12 − X13) ·(Y12
+ Z12
+ Z123 − L 22 − 2 Z123 Z12)
153
(VI-39)
(VI-40)
Comprobación del giro de manivelas
Comenzando ahora por despejar "Y123" de la ecuación (VI-35) se tiene
Y123 = Y12 ±
L 2 + 2 X123 X12 + 2 Z123 Z12 − X12 − Z12 − X123 − Z123
2
2
2
2
2
(VI-41)
Sustituyendo este valor en la ecuación (VI-36) y despejando después
"X123" se obtiene
X123 =
(X13 − X12)c + 2 X12 (Y12 − Y13)
2
2
2((Y12 − Y13) + (X12 − X13) )
2
±
2
2
2
(( X12 − X13)c − 2 X12 (Y12 − Y13)2) − ((Y12 − Y13) + (X12 − X13) )(c 2 + 4d)
2
2
2((Y12 − Y13) + (X12 − X13) )
(VI-42)
siendo:
2
2
2
2
2
2
c = L 22 + Y12
− X12
− Z12
+ X13
+ Y13
+ Z13
− L32 + 2 Z123 Z12 − 2 Z123 Z13 − 2 Y13 Y12
(VI-43)
2
2
2
d = (Y12 − Y13) 2 (X12
+ Z12
+ Z123
− L 22 − 2 Z123 Z12)
(VI-44)
Con las ecuaciones (VI-38) y (VI-42) se obtiene las coordenadas "X"
e "Y" del punto "123" en función de las coordenadas de los puntos "12" y "13",
de las longitudes de las bielas "2" y "3" y de la coordenada "Z" del punto "123".
Siguiendo el mismo proceso que para el punto "123", para determinar
la posición del punto "161" se pueden plantear las siguientes condiciones de
restricción:
(X161 - X11)2 + (Y161 - Y11)2 + (Z161 - Z11)2 - L12 = 0
(X161 - X16)2 + (Y161 - Y16)2 + (Z161 - Z16)2 - L62 = 0
(VI-45)
(VI-46)
Que son las ecuaciones de dos superficies esféricas con centros en los
puntos "11" y "16" cuya intersección será la circunferencia donde se deberá
encontrar el punto "161".
154
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Operando de forma similar a lo realizado anteriormente, para el punto
"161" se obtendrá:
Y161 =
(Y16 − Y11)e + 2 Y11 (X11 − X16)
2
2
±
2
2((Y11 − Y16) + (X11 − X16) )
2
2
2
((Y11 − Y16)e − 2 Y11 (X11 − X16)2) − ((X11 − X16) + (Y11 − Y16) )(e 2 + 4f )
2
2
2((Y11 − Y16) + (X11 − X16) )
(VI-47)
siendo:
2
2
2
2
2
2
e = L12 + X11
− Y11
− Z11
+ X16
+ Y16
+ Z16
− L62 + 2 Z161 Z11 − 2 Z161 Z16 − 2 X16 X11
(VI-48)
2
2
2
f = (X11 − X16)2 (Y11
+ Z11
+ Z161
− L12 − 2 Z161 Z11)
(VI-49)
De forma similar, para "X161" se obtendrá
X161 =
(X16 − X11)g + 2 X11 (Y11 − Y16)
2
2
2((Y11 − Y16) + (X11 − X16) )
2
±
2
2
2
2
((X11 − X16)g − 2 X11 (Y11 − Y16)2) − ((Y11 − Y16) + (X11 − X16) )(g + 4h )
2
2
2((Y11 − Y16) + (X11 − X16) )
(VI-50)
siendo:
2
2
2
2
2
2
g = L12 + Y11
− X11
− Z11
+ X16
+ Y16
+ Z16
− L 26 + 2 Z161 Z11 − 2 Z161 Z16 − 2 Y161 Y11
(VI-51)
2
2
2
h = (Y11 − Y16)2 (X11
+ Z11
+ Z161
− L12 − 2 Z161 Z11)
(VI-52)
Con las ecuaciones (VI-47) y (VI-50) se obtienen las coordenadas "X"
e "Y" del punto "161" en función de las coordenadas de los puntos "11" y "16",
de las longitudes de las bielas "1" y "6" y de la coordenada "Z" del punto "161".
Una vez determinadas las coordenadas de los puntos "123" y "161",
ecuaciones (VI-38), (VI-42), (VI-47) y (VI-50), la distancia entre dichos puntos
al cuadrado será:
(D123-161)2 = (X123 – X161)2 + (Y123 – Y161)2 + (Z123 – Z161)2
155
(VI-53)
Comprobación del giro de manivelas
En este punto, se debería:
-
-
Sustituir "X123", "X161", "Y123" e "Y161" por las expresiones deducidas
anteriormente, teniendo en cuenta que cada coordenada puede tener dos
valores.
Comprobar para los puntos "123" y "161", cual de los dos valores de la
coordenada "Y" se corresponde con cada uno de los valores de la
coordenada "X".
Obtener cuatro ecuaciones diferentes para las distancias una vez sustituidas
las expresiones correspondientes.
Derivar las 4 ecuaciones de la distancia respecto de "Z123" y de "Z161",
igualar a cero ambas derivadas parciales de cada ecuación y determinar para
que coordenadas "Z123" y "Z161" la distancia entre los puntos "123" y "161"
es máxima y mínima.
Una vez determinadas las coordenadas "Z" de los dos puntos, calcular sus
correspondientes coordenadas "X" e "Y".
Finalmente, determinar las distancias máximas y mínimas, absolutas y
relativas, entre los puntos "123" y "161".
Teniendo en cuenta que el proceso expuesto en el párrafo anterior se
realizaría para unas posiciones fijas de los puntos "11", "12", "13" y "16",
ahora, habría que derivar las expresiones de las distancias extremas respecto de
los ángulos de las cuatro manivelas para hallar los máximos y mínimos de las
distancias extremas al ir girando las manivelas, lo que resultaría a todas luces
poco operativo.
El proceso expuesto en los párrafos anteriores se ha intentado
implementar por medio de programas como Matlab y Mathematica, resultando
que estos programas son incapaces de resolver el problema.
Por todo ello, y como conclusión de este subapartado, se puede llegar
a afirmar que el tratamiento analítico de las distancias máximas y mínimas entre
los dos puntos de unión de cuatro bielas correspondientes a dos vértices de la
plataforma móvil, resulta extremadamente complicado. Esto es debido a que el
lugar geométrico donde se puede encontrar cada uno de los dos puntos, cuyas
distancias máximas y mínimas se pretende determinar, es la intersección de dos
superficies toroidales. En la superficie de cada toro, para unas determinadas
coordenadas "X" e "Y", la coordenada "Z" puede tomar cuatro valores
diferentes, resultando que el número de combinaciones de posibles soluciones
es muy grande, perdiéndose el concepto físico de las mismas.
156
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
IV-3-3-3. - Distancias de los puntos "123" y "161" por el método
numérico de Newton-Raphson.
En el subapartado anterior se ha concluido que, para determinar las
distancias máximas y mínimas absolutas y relativas entre los puntos "123" y
"161", el método analítico resulta extremadamente engorroso. Por ello, a
continuación se expondrá un proceso numérico con apoyo gráfico, basado en el
método de Newton-Raphson, que facilitará su estudio.
Fig. VI-12 Distancias máximas y mínimas absolutas y relativas.
157
Comprobación del giro de manivelas
Para simplificar la nomenclatura (Fig. VI-12) las distancias extremas
entre los puntos "123" y "161" se denominarán de la forma siguiente:
- Distancia máxima absoluta (Dmáx).
- Distancia mínima absoluta (Dmín).
- Distancia máxima o mínima intermedia "1", (Dm1).
- Distancia máxima o mínima intermedia "2", (Dm2).
Teóricamente pueden existir más distancias extremas intermedias, por
ejemplo, cuando las bielas "2" y "3" están cruzadas con las bielas "1" y "6" o
cuando las bielas "2" y "3" están sobre la plataforma fija y las bielas "1" y "6"
por debajo. Como estas posibilidades no tienen utilidad en un manipulador real,
no se considerarán.
En el subapartado (VI.3.2.1), cuando se estudiaron analíticamente las
distancias (Dmáx), (Dmín), (Dm1) y (Dm2) entre los puntos "12" y "13", se
llegó a la conclusión de que, para un determinado punto "12", la distancias
extremas se producían cuando el punto "13" estaba en una posición tal que el
eje del actuador "3", el punto "13" y el punto "12" estaban en el mismo plano; y
para un determinado punto "13", la distancias extremas se producían cuando el
punto "12" estaba en una posición tal que el eje del actuador "2", el punto "12"
y el punto "13" estaban en un mismo plano.
Fig. VI-13 Posición de los puntos "123" y "161" con distancias máximas y
mínimas entre ellos
158
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Por analogía con este caso, ahora se afirma que, para unos
determinados puntos "12", "13" y "161", la distancia entre los puntos "123" y
"161" será máxima o mínima cuando el punto "123" sea tal que los puntos "12",
"13", "123" y "161" estén contenidos en el mismo plano (Fig. VI-13).
Para demostrar la afirmación del párrafo anterior se tiene que, para
unos determinados puntos "12", "13" y "161", el punto "123" puede describir
una circunferencia contenida en un plano perpendicular a la recta que une los
puntos "12" y 13". Si se hace girar a este plano alrededor de su eje arrastrando
al punto "123" a lo largo de la circunferencia y se va proyectando
continuamente el punto "161" sobre el plano giratorio se tendrá que las
proyecciones del punto forman otra circunferencia concéntrica con la anterior.
En la figura (VI-14), se puede observar que las distancias extremas se darán
cuando la proyección del punto "161" y el punto "123" estén sobre el mismo
diámetro de las circunferencias. Como la recta proyectante del punto 161 y el
eje de giro que une los puntos "12" y "13" son paralelos queda demostrado
geométricamente que los puntos "12", "13", "123" y "161" se encuentran en el
mismo plano cuando la distancia entre un determinado punto "161" y el punto
"123" es máxima o mínima.
Fig. VI-14 Distancias máxima y mínima entre los vértices "123" y "161" para
unos puntos "12", "13" y "161" dados
159
Comprobación del giro de manivelas
Haciendo el mismo razonamiento para unos determinados puntos
"11", "16" y "123", la distancia entre los vértices "123" y "161" será máxima o
mínima cuando los puntos "11", "16", "161" y "123" se encuentren en el mismo
plano.
Juntando las dos condiciones anteriores se tendrá que, la distancia
entre los puntos "123" y "161" será máxima o mínima cuando por un lado los
puntos "12", "13", "123" y "161" estén en un plano, y por otro lado los puntos
"11", "16", "123" y "161" estén contenidos en otro plano. Es decir, los puntos
"123" y "161" estarán contenidos en la recta intersección de dos planos: uno que
contiene a los puntos "12" y "13" y otro que contiene a los puntos "11" y "16"
(Fig. VI-15).
Fig.VI-15 Intersección del plano formado por los puntos "12", "13" y "123" y el
formado por los puntos "11", "16" y "161"
Al combinar las distancias máximas y mínimas de las dos condiciones
anteriores aparecerán las distancias extremas siguientes: Dmáx, Dmín, Dm1,
Dm2 y, si las bielas correspondientes a los actuadores "2" y "3" se cruzan con
las bielas correspondientes a los actuadores "1" y "3" se tendrá una distancia
extrema de bielas cruzadas (Dmc), que no tiene utilidad en el manipulador.
En este punto se puede observar que la distancia entre los puntos
"123" y "161" presenta una insensitividad con respecto a pequeños giros de los
puntos "123" y "161" alrededor de los ejes que pasan por los puntos "12" y "13"
y por los puntos "11" y "16" respectivamente.
160
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Al ir girando las manivelas "1", "2", "3" y "6", las distancias máxima
y mínima entre los puntos "123" y "161" irán variando y se producirá que las
distancias máxima y mínima tendrán sus máximos y mínimos respectivos.
Para que las cuatro manivelas puedan dar vueltas completas, con la
arista "A12" acoplada, se deberá cumplir que:
- (Dmáx)mín entre los puntos "123" y "161" > "A12".
- (Dmín)máx entre los puntos "123" y "161" < "A12".
Para determinar el mínimo de la distancia máxima y el máximo de la
distancia mínima, apoyándose en un método geométrico, se inicia observando
que el extremo de cada biela se puede mover en el interior de un volumen
toroidal, (Fig.VI-16), cuyo eje será el eje del actuador correspondiente. La
sección del toro será una circunferencia cuyo radio será la longitud de la biela y
el centro de esta sección será la circunferencia descrita por el extremo de la
manivela. Para un punto determinado del extremo de la manivela, el extremo de
la biela estará en una superficie esférica que será tangente a la superficie
toroidal. Esta tangencia se producirá cuando la biela esté contenida en un plano
perpendicular a la circunferencia descrita por el extremo de la manivela, por lo
tanto, cuando la biela, la manivela y el eje del actuador estén comprendidos en
el mismo plano. O sea que el extremo de la biela alcanzará las posiciones
extremas, estará sobre la superficie toroidal, cuando el eje del actuador, la
manivela y la biela estén contenidas en el mismo plano.
Fig. VI-16 Lugar geométrico del extremo de una biela.
161
Comprobación del giro de manivelas
Tomando, por ejemplo el punto "123", como este punto es el extremo
de las bielas "2" y "3", deberá estar en el interior de dos toros cuyos ejes serán:
el eje del actuador "2" y el eje del actuador "3". Por lo tanto, el punto "123"
estará en el interior de un volumen que será la intersección de estos dos toros, y
para simplificar su denominación, debido a su forma, se le llamará "BANANA"
(Fig. VI-17)
Fig. VI-17 Banana, lugar geométrico de un extremo de la plataforma móvil
La sección aproximadamente normal de esta "banana" será un
polígono de cuatro lados en el que los lados serán arcos de circunferencia de las
superficies de los toros (Fig. VI-18).
Fig. VI-18 Polígono sección de la banana
162
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Al ir girando las manivelas "2" y "3", si el punto "123" se encuentra
en esta sección, se moverá por ella y alcanzará sus posiciones extremas sobre
los arcos del polígono cuando alguna de las cadenas cinemáticas eje del
actuador, manivela y biela estén en el mismo plano, es decir, se encuentre en
posición de insensitividad (PI).
Las condiciones, que una cadena cinemática se encuentre en PI o que
el extremo de la biela se encuentre sobre la superficie toroidal, son equivalentes.
El punto "123" se encontrará en uno de los cuatro vértices del
polígono sección de la banana cuando:
- El eje del actuador "2", la manivela "2" y la biela "2" estén en un plano.
- El eje del actuador "3", la manivela "3" y la biela "3" estén en un plano.
Todo lo dicho para el punto "123" es aplicable para el punto "161", el
cual se encontrará en el interior de la "banana" correspondiente a los actuadores
"1" y "6".
El punto "161" se encontrará en uno de los cuatro vértices de su
polígono respectivo cuando:
- El eje del actuador "1", la manivela "1" y la biela "1" estén en un plano.
- El eje del actuador "6", la manivela "6" y la biela "6" estén en un plano.
Cuando el manipulador se encuentre en alguna configuración de
insensitividad de posición (CIP), los puntos "123" y "161" se encontrarán en
alguno de los cuatro vértices de los polígonos respectivos, ya que todas las
cadenas cinemáticas de unión de las plataformas se encontrarán en posición de
insensitividad (PI).
Fig. VI-19 Zonas de distancias extremas entre los puntos "123" y "161"
163
Comprobación del giro de manivelas
Teniendo en cuenta la forma de los polígonos secciones de las
bananas en los que se pueden encontrar los puntos "123" y "161", parece lógico
suponer que los máximos y los mínimos de las distancias máxima y mínima se
producirán cuando los puntos "123" y "161" se encuentren en algún vértice de
su polígono correspondiente y estos polígonos se encuentren lo más alejados o
lo más próximos posible (Fig. VI-19).
Las condiciones del párrafo anterior se pueden expresar como:
-
Los puntos "12", "13", "123" y "161" estarán en el mismo plano.
Los puntos "11", "16", "123" y "161" estarán en el mismo plano.
Cada una de las cadenas cinemáticas correspondientes a los actuadores "1",
"2", "3" y "6" estará contenida en un plano.
Las dos primeras condiciones imponen que las distancias entre los
puntos "123" y "161" sean extremas para unas posiciones determinadas de las
manivelas, y la tercera impone que estas distancias extremas sean máximas o
mínimas al variar los ángulos de las manivelas.
En este subapartado, tal como se indicó anteriormente, solo interesará
la mínima de las distancias máximas y la máxima de las distancias mínimas,
para comprobar que la longitud del lado correspondiente de la plataforma móvil
se encuentra entre ellas y de ese modo se pueda ensamblar permitiendo el giro
de todas las manivelas.
Fig. VI-20 (Dmáx)mín y (Dmín)máx entre vértices de polígonos curvos.
164
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
En la figura VI-20, que representa dos secciones de la figura VI-19
donde se encuentrarán las distancias máximas y mínimas. Se comprueba
gráficamente que en ambos casos, las (Dmáx)mín y (Dmín)máx se producen
entre vértices de los polígonos secciones de las bananas, lo que confirma la
suposición inicial de que estas distancias se producirían estando las cuatro
cadenas cinemáticas en posición de insensitividad.
Para determinar las posiciones de los puntos "123" y "161" para los
cuales las distancias entre ellos serán extremas, se utilizará el método iterativo
de Newton-Raphson, por medio un programa realizado en MATLAB.
Suponiendo que los ejes de los actuadores forman un triángulo
equilátero, para simplificar las expresiones sin perder generalidad, las
condiciones de restricción serán las siguientes:
-
Para que las cadenas cinemáticas "1", "2", "3" y "6" se encuentren en
posición de insensitividad, en cada cadena, el producto mixto de los
vectores en la dirección del eje del actuador, de la manivela y de la biela
debe ser cero:
(X123 - X12)·(Z12 - Z02) - (X12 – X02)·(Z123 – Z12) = 0
3 (Y13 – Y03)(Z123 – Z13) -
-
(VI-54)
3 (Y123 – Y13)(Z13 – Z03) +
(X13 – X03)(Z123 – Z13) - (X123 – X13)(Z13 – Z03) = 0
(VI-55)
3 (Y16 – Y06)(Z161 – Z16) - 3 (Y161 – Y16)(Z16 – Z06) (X16 – X06)(Z161 – Z16) + (X161 – X16)(Z16 – Z06) = 0
(VI-56)
(X161 - X11)(Z11 - Z01) - (X11 – X01)(Z161 – Z11) = 0
(VI-57)
Para que el punto "161" se encuentre en el plano formado por los puntos
"12", "13" y "123", el producto mixto de los vectores de dirección del punto
"12" al "13", del "12" al "123" y del "12" al "161" debe ser cero.
(X13 - X12)[(Y123 - Y12)(Z161 – Z12) - (Y161 – Y12)(Z123 – Z12)]+
(Y13 - Y12)[(X161 - X12)(Z123 – Z12) - (X123 – X12)(Z161 – Z12)]+
(VI-58)
(Z13 - Z12)[(X123 - X12)(Y161 – Y12) - (X161 – X12)(Y123 – Y12)] = 0
165
Comprobación del giro de manivelas
-
Para que el punto "123" se encuentre en el plano formado por los puntos
"11", "16" y "161", el producto mixto de los vectores de dirección del punto
11 al 16, del "11" al "161" y del "11" al "123" debe ser cero.
(X16 - X11)[(Y123 - Y11)(Z161 – Z11) - (Y161 – Y11)(Z123 – Z11)]+
(Y16 - Y11)[(X161 - X11)(Z123 – Z11) - (X123 – X11)(Z161 – Z11)]+
(VI-59)
(Z16 - Z11)[(X123 - X11)(Y161 – Y11) - (X161 – X11)(Y123 – Y11)] = 0
-
-
Para indicar la longitud constante de las manivelas:
2
- R 22 = 0
(X12 – X02)2 + Z12
(VI-60)
2
(X13 – X03)2 + (Y13 – Y03)2 + Z13
- R 32 = 0
(VI-61)
2
- R 62 = 0
(X16 – X06)2 + (Y16 – Y06)2 + Z16
(VI-62)
2
(X11 – X01)2 + Z11
- R12 = 0
(VI-63)
Para indicar que los extremos de las manivelas giran en unos planos
perpendiculares a los ejes de los actuadores, el producto escalar de los
vectores en la dirección del eje del actuador y de la manivela debe ser cero:
Y12 – Y02 = 0
(VI-64)
3 (X13 – X03) – (Y13 – Y03) = 0
(VI-65)
3 (X16 – X06) + (Y16 – Y06) = 0
(VI-66)
Y11 – Y01 = 0
-
(VI-67)
Para indicar las longitudes constantes de las bielas:
(X123 - X12)2 + (Y123 - Y12)2 + (Z123 - Z12)2 - L 22 = 0
(VI-68)
(X123 - X13)2 + (Y123 - Y13)2 + (Z123 - Z13)2 - L32 = 0
(VI-69)
(X161 - X16)2 + (Y161 - Y16)2 + (Z161 - Z16)2 - L62 = 0
(VI-70)
(X161 - X11)2 + (Y161 - Y11)2 + (Z161 - Z11)2 - L12 = 0
(VI-71)
166
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Las condiciones de restricción (VI-54) a (VI-71) forman un sistema de
18 ecuaciones, donde las longitudes de las manivelas y las bielas "2", "3", "6" y
"1" y las posiciones de los puntos "02", "03", "06" y "01" serán datos, y las 18
incógnitas serán las coordenadas de los puntos "12", "13", "16", "11", "123" y
"161". Este sistema se resolverá por el método iterativo de Newton-Raphson
partiendo de unas coordenadas aproximadas de los puntos "12", "13", "16",
"11", "123" y "161" para iniciar la primera iteración.
Por ejemplo, tomando un manipulador en el que los ejes de los
actuadores formen un triángulo equilátero de 1 metro de lado, con un
descentramiento de los actuadores de 0.05 metros, unas longitudes de las cuatro
manivelas de 0.1 metros y unas longitudes de las cuatro bielas de 0.6 metros,
resulta que la distancia mínima de las máximas es 1.22807 metros y la máxima
de las mínimas es 0.2226 metros. Entre estas dos dimensiones deberá estar
comprendida la longitud de la arista de la plataforma móvil para que se pueda
ensamblar y permita el giro completo de las cuatro manivelas.
Al resolver el sistema de 18 ecuaciones de restricción por el método
de Newton-Raphson, la solución converge, en principio, a cualquiera de las
soluciones posibles. Por ejemplo, en la zona de distancias mínimas, converge a
cualquiera de las dieciséis combinaciones de distancia entre los vértices de los
dos polígonos sección de las bananas, y lo mismo ocurre en la zona de
distancias máximas y distancias extremas intermedias. El converger a una
solución u otra dependerá de las coordenadas iniciales que se introduzcan para
iniciar la primera iteración.
En el programa realizado con Matlab, para poder analizar todas las
distancias, se sigue un proceso de paso de un vértice a otro del polígono sección
de la banana haciendo girar las manivelas de una posición de insensitividad a
otra, similar al seguido en el Capítulo IV para la determinación de las CIP.
Como conclusión de este subapartado se puede expresar que los
máximos y mínimos de las distancias extremas (Dmáx, Dmín, Dm1, Dm2 y
Dmc) se producirán cuando:
- Las cuatro cadenas cinemáticas actuador-manivela-biela estén en PI.
- El punto "123" se encuentre el plano formado por las bielas "1" y "6".
- El punto "161" se encuentre el plano formado por las bielas "2" y "3".
Las soluciones de las condiciones anteriores son numerosas, lo que
obliga a tener que analizarlas todas. En estas posiciones se produce
insensitividad de los máximos y mínimos de las distancias extremas respecto de
los giros de las manivelas y, de los giros de las bielas alrededor de los extremos
de las manivelas.
167
Comprobación del giro de manivelas
IV.3.3.4 - Distancias de los puntos "123" y "161" gráficamente
En el subapartado anterior se ha expuesto que los máximos y mínimos
de las distancias extremas son numerosos y que el método iterativo de NewtonRaphson puede converger a cualquiera de ellos dependiendo de las coordenadas
con las que se inicie cada iteración. Por ello, en este subapartado se expondrá un
método gráfico con el fin de lograr unos valores iniciales de las coordenadas
próximas a la solución deseada, y así garantizar la convergencia a ella.
También se utilizará el programa CATIA para representar las bananas
y poder determinar gráficamente el mínimo de la distancia máxima y el máximo
de la distancia mínima entre los puntos "123" y "161" que son los valores que
realmente son interesantes.
Fig. VI-21 Determinación de las aristas de las bananas por puntos
168
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
En la figura VI-21 se expone un método para localizar las líneas
intersección de las superficies toroidales, es decir, las aristas de las bananas
entre las que se producirán los máximos y mínimos de las distancias extremas.
Se trazan las secciones de los toros correspondientes a los actuadores
"2" y "3" sobre el plano formado por los ejes de los actuadores. Haciendo centro
en el vértice "A", punto de corte de los ejes de los actuadores cuya banana se
pretende determinar, se traza el arco "JDEI". Al girar las secciones anteriores
alrededor de sus respectivos ejes se generarán los toros y, debido a que están
sobre las superficies exteriores de los toros y equidistantes del punto "A", los
puntos "D" y "E" trazarán unas trayectorias que se cortarán en la arista superior
de la banana. La proyección del punto de corte sobre el plano de los ejes de los
actuadores será "F". Siguiendo el mismo procedimiento se encontrarán los
puntos "K", "M" y "L" como proyecciones de las intersecciones en las aristas
laterales e inferior de la banana de las trayectorias de los puntos "J", "I", "D" y
"E" pertenecientes a las superficies exterior e interior de los toros. Por
abatimiento de un plano perpendicular al eje del actuador "2", se determinará la
cota "Z" de una de las intersecciones anteriores.
EL método expuesto en párrafo anterior resulta muy laborioso, ya que
se determinan las aristas de las bananas por puntos, y son necesarios muchos
puntos para poder analizar las zonas donde se producirán las distancias
extremas.
Fig. VI-22 Bananas correspondientes a los puntos "123" y "161"
169
Comprobación del giro de manivelas
Con el fin de lograr un método gráfico más rápido para determinar las
aristas de las bananas se utiliza el programa CATIA. Con este programa se
dibuja los toros y se obtienen rápidamente las aristas de las bananas como
intersección de las superficies de toroidales, pudiéndose determinar fácilmente
las distancias entre puntos de dichas aristas.
Analizando las bananas correspondientes a los vértices "123" y "161"
(Fig. VI-22) se observa que el mínimo de las distancias máximas se produce
entre las intersecciones de las bananas con el plano de los ejes de los actuadores
y el máximo de las distancias mínimas en la zona de corte de las bananas.
Para la geometría del manipulador que se esta considerando, con los
manipuladores formando un triángulo equilátero de un metro de lado, con un
descentramiento de los puntos "01", "02", "03", "04", "05" y "06" de 0.05
metros respecto de los ejes de simetría del citado triángulo, con las seis
manivelas iguales de 0.1 metros y con las seis bielas iguales de 0.6 metros, el
mínimo de la distancias máximas y el máximo de las distancias mínimas son, al
igual que los determinados por el método numérico, 1.22807 y 0.2226 metros.
VI.3.3.5 - Distancias entre los puntos "123" y "145" y entre los
puntos "145" y "161"
Para la determinación del mínimo de las distancias máximas y el
máximo de las distancias mínimas entre los puntos "123" y "145" y entre los
puntos 145 y 161 se seguirá el mismo proceso expuesto para los puntos "123" y
"161", ya que el vértice "145" de la plataforma móvil se encontrará en el interior
de otra banana similar a las correspondientes a los vértices "123" y "161".
VI.3.3.6 - Conclusiones sobre la longitud de una arista
Para que una arista de la plataforma móvil sea capaz de unir los
puntos extremos de las cuatro bielas correspondientes, permitiendo el giro
completo de sus cuatro manivelas, sin tener en cuenta las longitudes de las otras
aristas, se deberá cumplir que la longitud de arista esté comprendida entre el
mínimo de las distancias máximas y el máximo de las distancias mínimas entre
los puntos a unir.
El mínimo de las distancias máximas y el máximo de las distancias
mínimas se producen entre las aristas de las bananas, es decir, con las cadenas
cinemáticas en PI.
170
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
De los métodos utilizados, el más rápido para determinar los valores
extremos de la longitud de una arista ha sido el gráfico por medio del programa
CATIA.
En el ejemplo de manipulador que se ha expuesto, la longitud de una
arista de la plataforma móvil debe estar comprendida entre 1.22807 y 0.2226
metros.
VI.3.4 - Dimensiones de la plataforma móvil
En los apartados anteriores se ha analizado cuales deben ser las
dimensiones máxima y mínima de una arista de la plataforma móvil por
separado. Si se analiza ahora, por ejemplo, los máximos de las distancias
mínimas entre las bananas "123" y la "161" y entre la "123" y la "145", resultará
que los puntos sobre la banana "123" en los que se producen los dos máximos
no coincidirán, y por lo tanto, si se pretende ensamblar dos aristas
simultáneamente permitiendo el giro completo de todas las manivelas, al menos
la dimensión de una de esas dos aristas deberá ser mayor que el máximo de los
mínimos correspondiente a esa arista.
Fig. VI-23 Conjunto de las tres bananas.
171
Comprobación del giro de manivelas
Fig. VI-24 Esfera que corta simultáneamente a todas las aristas de las bananas.
172
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Para garantizar que una plataforma móvil triangular será capaz de unir
simultáneamente tres aristas de tres bananas (Fig. VI-23), se debería estudiar las
43 = 64 combinaciones de máximos de distancias mínimas, como esto resultaría
muy engorroso, por medio del programa CATIA, se dibujará una esfera que
incluya o sea tangente a las doce aristas de las tres bananas simultáneamente
(Fig. VI-24) y se dimensionará una plataforma móvil que sea triángulo
equilátero con una longitud de lado igual al diámetro de la esfera.
En la mayoría de los casos tomando como lado del triángulo el
diámetro de la esfera será suficiente, no obstante, si se quisiera ajustar más las
dimensiones de la plataforma móvil, se puede analizar los puntos de tangencia
de las aristas de las bananas con la esfera y comprobar si el lado del triángulo
puede ser menor o debe ser mayor que el diámetro de la esfera.
En el ejemplo que se ha estudiando, debido a la simetría que supone
que las longitudes de las manivelas sean iguales y de las bielas por otra parte
también sean iguales. Se producen tres puntos de tangencia en la esfera sobre su
diámetro máximo, repartidos a 120º, por lo que el lado del triángulo puede ser
A = D cos 30º.
Con las dimensiones del manipulador que se han considerando en los
ejemplos anteriores, el diámetro de la esfera que contacta con todas las aristas
de las bananas es de 0.52076 metros, por lo que la longitud mínima de la arista
de una plataforma móvil triángulo equilátero debe ser de 0.451 metros. Como se
puede observar la lóngitud mínima considerando los tres lados (0.451 m), es
mayor que la longitud mínima considerando un solo lado (0.2226 m).
En cuanto a las dimensiones máximas de las aristas, si se toma un
triángulo equilátero para plataforma móvil, su lado deberá ser menor que el
menor de los tres mínimos de las distancias máximas, en el ejemplo que se
viene considerando, debido a la simetría del manipulador, el lado del triángulo
de longitud máxima podría ser 1.22807 metros. Estas dimensiones máximas no
tienen excesiva utilidad ya que si se diseñara un manipulador con la longitud de
las aristas de la plataforma móvil muy próxima a las máximas el manipulador
tendría poca movilidad y, por tanto, poco espacio de trabajo.
Cuando las manivelas y bielas tengan longitudes diferentes, se podría
dar el caso de que la mínima longitud del lado del triángulo equilátero sea
mayor que el menor de los mínimos de las distancias máximas, entonces no se
podría diseñar el manipulador con plataforma móvil triángulo equilátero.
173
Comprobación del giro de manivelas
VI.4 - CONCLUSIONES
Para garantizar que las seis manivelas del Manipulador Paralelo
6-RKS con una determinada posición de los actuadores sobre la plataforma fija,
puedan dar vueltas completas se sigue el proceso siguiente:
-
Aunque no sea estrictamente necesario, se fijan unas dimensiones máximas
de las manivelas para que no interfieran entre ellas, por ejemplo, se hace
que no puedan llegar a las bisectrices de los ángulos del triángulo formado
por los ejes de los actuadores. Se toman unas longitudes de las manivelas
mayores que las de sus manivelas correspondientes con el fin de evitar
interferencias de la plataforma móvil con la fija.
-
Una vez hechas esas consideraciones preliminares y escogidas las
longitudes de manivelas y bielas, para verificar si las bielas se pueden
ensamblar y las manivelas pueden dar vueltas completas, se calcula si la
suma de las longitudes de las dos bielas que se unen a un determinado
vértice de la plataforma móvil es mayor que la distancia máxima de los
extremos de las manivelas correspondientes y si el módulo de la diferencia
de las longitudes de esas bielas es menor que la distancia mínima entre los
extremos de las manivelas. Si se cumplen las dos condiciones, las bielas se
podrán ensamblar y las dos manivelas correspondientes, en principio,
podrán dar vueltas completas.
-
Después de comprobar, por lo que respecta a las longitudes de las bielas,
que las manivelas pueden dar vueltas completas, se determinan las
longitudes mínima y máxima de cada lado de la plataforma móvil. Si se
desea una plataforma móvil con forma de triángulo equilátero deberá tener
una longitud de lado mayor que la longitud mínima y que, en principio, se
puede tomar como el diámetro de una esfera que contacte con las doce
aristas de las bananas calculadas por puntos o por medio de un programa
gráfico como CATIA.
Si las longitudes de las manivelas o de las bielas fueran diferentes, se
podría dar el caso de no poder diseñarse un manipulador con plataforma móvil
triángulo equilátero en el que las manivelas diesen vueltas completas. En este
caso, por medio del programa CATIA se podría analizar las 64 combinaciones
de unión de las aristas de las tres bananas y se diseñaría una plataforma móvil
con diferentes longitudes de lados que permitiera a las manivelas dar vueltas
completas.
Con las longitudes de las aristas de la plataforma móvil próximas a las
máximas, el manipulador tendrá poco espacio de movilidad. Si hubiera alguna
174
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
arista de la plataforma móvil que tuviera su longitud mínima, se tendría riesgo
de que se produzca alguna CIN, ya que la distancia mínima entre aristas de las
bananas se producen cuando la arista de la plataforma móvil esta contenida en
el plano formado por dos bielas y en este caso se podría producir una
configuración de incertidumbre de posición.
En principio, lo ideal es que la plataforma móvil tenga la forma de
triángulo equilátero y que la longitud del lado sea la mínima, así se consigue
que sea mayor que la distancia mínima para un solo lado, evitando la aparición
de CIN y se logra que el espacio de trabajo sea amplio.
Analizando experimentalmente el movimiento del manipulador se
observa que al girar una manivela cualquiera, el manipulador realiza un
movimiento de oscilación, de forma que, cuando la manivela pasa por las
configuraciones de insensitividad de posición, el manipulador se encuentra en
los extremos de la oscilación, de aquí se llega a la conclusión de que "el
manipulador Paralelo 6-RKS tendrá las 64 CIP, si y solo si, las seis manivelas
son capaces de dar vueltas completas en cualquier posición".
175
Comprobación del giro de manivelas
176
CONCLUSIONES GENERALES
Conclusiones generales
178
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
CONCLUSIONES GENERALES
C.1 - SÍNTESIS DE MECANISMOS
En el Capítulo I y en los Anexos I y II, para mostrar el proceso a
seguir en la síntesis de mecanismos, se ha expuesto tres tipos de síntesis sobre
mecanismos planos:
- Síntesis estructural o elección del tipo de mecanismo para desarrollar un
determinado trabajo.
- Síntesis de puntos de precisión para lograr que un determinado punto del
eslabón acoplador de un mecanismo manivela-oscilador pase por cinco
puntos predeterminados.
- Optimización dinámica para conseguir que el par motor máximo durante
una revolución de la manivela en un mecanismo manivela-oscilador
accionado por un motor asíncrono sea mínimo.
C.2 - MANIPULADORES PARALELOS
Al intentar aplicar el proceso de síntesis expuesto en el Capítulo II a
mecanismos espaciales, resulta que hay gran cantidad de dichos mecanismos,
con unas características cinemáticas y dinámicas propias de cada uno. Por ello
se ha optado por iniciar la síntesis de un tipo de mecanismos, el manipulador
paralelo 6-RKS, estudiando algunas de sus características cinemáticas.
En el Capítulo III se ha realizado una aproximación al arte de los
manipuladores paralelos, sobre todo a las configuraciones singulares de los del
tipo 6-RKS, no habiéndose encontrado ninguna cita sobre las ventajas de un
tipo de configuraciones singulares que en esta tesis se han definido como
configuraciones de insensitividad de posición (CIP).
C.3 - CONFIGURACIONES DE INSENSITIVIDAD DE POSICIÓN
En el Capítulo IV, como una generalización de la utilidad de las
configuraciones de insensitividad de posición de los mecanismos planos de
pistón-biela-manivela y manivela-oscilador, se ha expuesto la utilidad de las
configuraciones de insensitividad de posición "CIP" del manipulador paralelo
6-RKS propuesto por Hunt para posicionar piezas, herramientas o utillajes en
máquina-herramienta.
179
Conclusiones generales
Estudiando los toros, lugares geométricos de los extremos de las
bielas, se ha demostrado que un vértice de la plataforma móvil se encuentra en
la intersección de los toros correspondientes a las cadenas cinemáticas actuadormanivela-biela que van unidas a dicho vértice.
Una cadena cinemática se halla en posición de insensitividad (PI)
cuando el eje del actuador, la manivela y la biela se encuentran en un plano. En
esta posición, el extremo de la biela se encontrará sobre la superficie de la
intersección de los toros. Si las dos cadenas correspondientes a un vértice están
en PI, dicho vértice se encontrará sobre una de las cuatro aristas de la
intersección.
En función del número de cadenas cinemáticas que están en PI, se ha
determinado que existen: 12 CIP-1, 60 CIP-2, 120 CIP-3, 240 CIP-4 y 192
CIP-5 configuraciones de insensitividad parcial y (64 CIP-6) de insensitividad
total del manipulador respecto del giro de las manivelas.
Las 64 CIP-6, que se han llamado solamente CIP, son configuraciones
puntuales de gran precisión de posición para la plataforma móvil. En estas
configuraciones, pequeños errores en la posición de los actuadores no afectan a
la posición de la plataforma.
Al pasar de una CIP a otra, la velocidad cuando se llegue a la nueva
posición será nula, por lo que las fuerzas de inercia, si el manipulador se detiene
en esa posición, serán muy reducidas, permitiendo la utilización de motores
eléctricos asíncronos, más económicos que los motores que permiten un control
de su velocidad, y que sería necesario utilizar si se produjesen detenciones del
manipulador fuera de sus CIP.
En estas configuraciones, los pares a aplicar a los actuadores para
equilibrar a las fuerzas y pares aplicados sobre la plataforma móvil serán nulos.
Ello es debido a que las fuerzas que aparecen en los extremos de las manivelas
cortan a los ejes de los actuadores.
Se ha expuesto un método numérico para la obtención de una de estas
configuraciones y a partir de ella, las 63 restantes.
Observando el sistema de ecuaciones que relaciona las velocidades de
los extremos de las manivelas y de los vértices de la plataforma móvil, se ha
comprobado que si en todas las cadenas cinemáticas se cumple que el eje del
actuador, la manivela y la biela están en el mismo plano, el manipulador se
encuentra en una CIP.
180
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
En el ejemplo numérico del Capítulo IV, se han determinado las 64
CIP para un manipulador de unas dimensiones determinadas, comprobándose
numéricamente que las configuraciones obtenidas son realmente CIP.
C.4 - SÍNTESIS DE UN MANIPULADOR PARALELO 6-RKS
Teniendo en cuenta las ventajas de las configuraciones de
insensitividad de posición, en el Capítulo V se ha expuesto un método numérico
y se han realizado ejemplos para lograr que dos y tres posiciones
predeterminadas de la plataforma móvil se consigan estando el manipulador en
CIP.
Como valores iniciales para las iteraciones del método numérico, se
han tomado combinaciones de las posiciones que alcanza un manipulador en el
que sus manivelas tienen la misma longitud y las bielas también tienen la misma
longitud. Estas posiciones se han determinado en el ejemplo numérico de
Capítulo IV.
Al aumentar el número de posiciones predeterminadas de la
plataforma móvil, debe ir aumentando el número de variables de diseño, así se
han tomado como variables las longitudes de la manivelas y de las bielas y las
coordenadas "X" de los actuadores sobre la plataforma fija.
Al diseñar el manipulador para tres CIP, en la mayoría de las
soluciones que se han obtenido, la posición de los actuadores es tal que se
pueden producir interferencias entre las bielas de distintas cadenas cinemáticas.
Habrá que estudiar más a fondo este problema, haciendo variar por ejemplo las
coordenadas "Y" ó "Z" de los actuadores para ver que otras soluciones aparecen,
o prefijar de forma diferente las tres posiciones de la plataforma móvil.
C.4 - COMPROBACIÓN DEL GIRO DE LAS MANIVELAS
Puestas de manifiesto las ventajas de las CIP, en el Capítulo VI se ha
propuesto un proceso para comprobar si se pueden alcanzar las 64 posibles.
Al principio, se han propuesto unas precauciones, que no son
estrictamente necesarias pero si son convenientes, sobre las medidas de las
manivelas para evitar interferencias entre ellas y una relación entre medidas de
las bielas y las manivelas para evitar que la plataforma móvil interfiera con la
fija.
181
Conclusiones generales
Una vez fijadas las longitudes de manivelas y bielas, para que dos
bielas se puedan ensamblar a un vértice de la plataforma móvil y a sus
manivelas respectivas, permitiendo el giro de éstas, se debe cumplir que la suma
de las longitudes de las dos bielas sea mayor que la distancia máxima entre los
extremos de sus manivelas correspondientes y que el módulo de la diferencia de
sus longitudes sea menor que la distancia mínima entre los extremos de dichas
manivelas.
También se han comprobado las dimensiones de la plataforma móvil
para que las seis manivelas puedan girar vueltas completas. La longitud de cada
lado, analizado por separado, debe estar comprendida entre unos valores
mínimo y máximo. Pero si se toma la plataforma móvil como un triángulo
equilátero, resulta que las longitudes mínimas de los lados deben ser mayores
que las longitudes mínimas calculadas por separado.
El extremo de cada biela queda limitado por una superficie toroidal.
Al unir dos bielas en un vértice de la plataforma móvil, este vértice se
encontrará en un volumen intersección de los dos toros correspondientes. A este
volumen intersección se le ha llamado banana por su similitud de forma.
Cuando el manipulador se encuentra en alguna CIP, todos los vértices de la
plataforma móvil se encuentran sobre las aristas de las bananas. Se ha
comprobado que las distancias máximas y mínimas posibles entre vértices de la
plataforma móvil se producen entre aristas de las bananas.
Por medio del programa gráfico CATIA se ha dibujado una esfera que
contacta a la vez con las doce aristas de las tres bananas. En la mayoría de los
casos, con tomar como longitud del lado del triángulo equilátero de la
plataforma móvil, la longitud del diámetro de la esfera es suficiente.
Si los ejes de los actuadores forman un triángulo equilátero y su
descentramiento respecto de los ejes de simetría del triángulo es el mismo, las
manivelas son iguales y las bielas, por otro lado, también son iguales, en ese
caso, la longitud del lado del triángulo de la plataforma móvil puede ser A = D
cos 30º.
Si las longitudes de las manivelas entre si y de las bielas por otro lado
son muy diferentes, es conveniente analizar los puntos de corte y de tangencia
de las aristas de las bananas con la esfera para poder determinar con mayor
seguridad las dimensiones de la plataforma móvil que permita que las seis
manivelas giren vueltas completas.
Con las longitudes de las aristas de la plataforma móvil próximas a las
máximas, el manipulador tendrá poco espacio de trabajo. Si hubiera alguna
182
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
arista de la plataforma móvil que tuviera su longitud mínima, se tendría riesgo
de que se produzca alguna CIN, ya que la distancia mínima entre aristas de las
bananas se producen cuando la arista de la plataforma móvil esta contenida en
el plano formado por dos bielas, y en este caso se podría producir una
configuración de incertidumbre de posición.
En principio, lo ideal es que la plataforma móvil tenga la forma de
triángulo equilátero y que la longitud del lado sea la mínima, así se consigue
que sea mayor que la distancia mínima para un solo lado, evitando la aparición
de CIN y se logra que el espacio de trabajo sea amplio.
Las distancias máximas y mínimas, tanto entre los extremos de las
manivelas como entre los puntos de unión de las bielas entre si, se producen
cuando los elementos que intervienen se encuentran en posición de
insensitividad. Esto ha hecho suponer que las CIP serán configuraciones en las
que la posición de la plataforma móvil es extrema. Analizando
experimentalmente el movimiento del manipulador se observa que al girar una
manivela cualquiera, el manipulador realiza un movimiento de oscilación, de
forma que, cuando la manivela pasa por las posiciones de insensitividad, el
manipulador se encuentra en alguno de los extremos de la oscilación, de aquí se
ha llegado a la conclusión de que "el manipulador Paralelo 6-RKS tendrá las 64
CIP, si y solo si, las seis manivelas son capaces de dar vueltas completas en
cualquier posición".
183
Conclusiones generales
184
LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
ABIERTAS
Líneas de investigación abiertas
186
Sintesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ABIERTAS
Después de la realización de esta tesis se considera que hay temas en
los que no se ha profundizado todo lo necesario y otros que han quedado fuera
del alcance de este trabajo, y que pueden ser futuras líneas de investigación.
L.1 - SÍNTESIS DE UN MANIPULADOR PARALELO 6-RKS
En la síntesis de un manipulador paralelo 6-RKS para lograr que
varias posiciones prefijadas de la plataforma móvil se consigan estando el
manipulador en CIP, se puede continuar investigando sobre:
- Las variables más convenientes a introducir en el método de obtención de
las dimensiones del manipulador.
- La forma de predeterminar las posiciones de la plataforma móvil necesarias
para posicionar las piezas o utillajes.
- La consecución de más de tres posiciones prefijadas de la plataforma móvil.
- La utilización de configuraciones de insensitividad de posición parciales.
L.2 - DIMENSIONES DEL MANIPULADOR
Sobre las dimensiones de la plataforma fija, manivelas, bielas y
plataforma móvil se puede continuar investigando acerca de las dimensiones
más convenientes para lograr que todas las manivelas puedan girar vueltas
completas y así conseguir las 64 CIP.
L.3 - ESPACIO DE TRABAJO
En los manipuladores paralelos es muy importante el estudio del
espacio de trabajo que es capaz de alcanzar la plataforma móvil. Se puede
estudiar el espacio de trabajo teniendo en cuenta que los vértices de la
plataforma se encuentran en el interior de sus bananas correspondientes.
Como las CIP son, en cierto modo, configuraciones extremas, se
puede estudiar el espacio de trabajo como espacio limitado por las CIP.
187
Líneas de investigación abiertas
L.4 - CONFIGURACIONES DE INCERTIDUMBRE
Si las dimensiones de la plataforma móvil se acercan a las mínimas
posibles, se pueden producir CIN que sería conveniente estudiarlas.
L.5 - DINAMICA DEL MANIPULADOR
Se puede realizar un estudio sobre las fuerzas estáticas y dinámicas
que aparecerán en los distintos puntos del manipulador utilizando coordenadas
naturales.
L.5 - OPTIMIZACIÓN DEL MANIPULADOR
Otra línea de investigación puede ser la optimización de las
dimensiones del manipulador con el fin de que sea óptimo bajo algún punto de
vista.
Finalmente, como los diversos programas realizados en Matlab se han
implementado de una forma muy sencilla, se puede continuar optimizando los
programas y generalizándolos para otros mecanismos.
188
ANEXO I
SÍNTESIS DE PUNTOS DE
PRECISIÓN
Anexo I
190
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
ANEXO I - SINTESIS DE PUNTOS DE
PRECISIÓN
AI.1 - EJEMPLO NUMÉRICO
En este anexo se diseñará un cuadrilátero articulado en el que el punto
"A", eje de giro de la manivela, sea el origen de coordenadas, el eslabón fijo
tenga una longitud de 650 milímetros y el punto "3" del eslabón acoplador pase
por los puntos "P1", "P2", "P3", "P4", y "P5" (Fig. AI-1).
AI.1.1 - Introducción de datos
P1 = (X31, Y31) = (440, 440)
P2 = (X32, Y32) = (390, 480)
P3 = (X33, Y33) = (310, 500)
P4 = (X34, Y34) = (220, 490)
P5 = (X35, Y35) = (130, 440)
Fig. AI-1 Cuadrilátero articulado
191
Anexo I
AI.1.2 - Condiciones de restricción
Las condiciones de restricción según se presentaron en el apartado
II.2.2 son:
φ1 = (X1 - XA)2 + (Y1 - YA)2 - L12 = 0
φ2 = (X1 - X2)2 + (Y1 - Y2)2 - L22 = 0
(AI-1)
φ3 = (X2 - XB)2+ (Y2 - YB)2 - L32 = 0
φ4 = X3 - X1 - (X2 - X1) · L4 / L2 + (Y2 - Y1) · L5 / L2 = 0
φ5 = Y3 - Y1 - (Y2 - Y1) · L4 / L2 - (X2 - X1) · L5 / L2 = 0
φ6 = X3 - Xp = 0
φ7 = Y3 - Yp = 0
(AI-3)
(AI-4)
(AI-5)
(AI-6)
(AI-7)
(AI-2)
Tomando las cinco primeras condiciones de restricción para las cinco
posiciones a alcanzar, (las dos últimas condiciones de restricción no son
necesarias, ya que basta con tomar para el punto "3" las coordenadas que se
desea que alcance dicho punto), resultan las 25 ecuaciones de restricción
siguientes:
2
2
φ1 = X11
+ Y11
- L12
2
2
φ2 = X12
+ Y12
- L12
2
2
φ3 = X13
+ Y13
- L12
2
2
φ4 = X14
+ Y14
- L12
(AI-10)
2
2
φ5 = X15
+ Y15
- L12
(AI-11)
φ6 = (X11 - X21)2 + (Y11 - Y21)2 - L22
φ7 = (X12 - X22)2 + (Y12 - Y22)2 - L22
(AI-12)
(AI-8)
(AI-9)
(AI-9)
2
2
φ8 = (X13 - X23) + (Y13 - Y23) - L22
φ9 = (X14 - X24)2 + (Y14 - Y24)2 - L22
2
2
φ10 = (X15 - X25) + (Y15 - Y25) φ11 = (X21 - L0)2+ Y 221 - L32
φ12 = (X22 - L0)2+ Y 222 - L32
φ13 = (X23 - L0)2+ Y 223 - L32
2
φ14 = (X24 - L0) +
2
φ15 = (X25 - L0) +
2
Y 24
2
Y 25
-
2
L2
(AI-13)
(AI-14)
(AI-15)
(AI-16)
(AI-17)
(AI-18)
(AI-19)
2
L3
2
L3
(AI-20)
(AI-21)
192
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
φ16 = X31 - X11 - (X21 - X11) · L4 / L2 + (Y21 - Y11) · L5 / L2
φ17 = X32 - X12 - (X22 - X12) · L4 / L2 + (Y22 - Y12) · L5 / L2
φ18 = X33 - X13 - (X23 - X13) · L4 / L2 + (Y23 - Y13) · L5 / L2
φ19 = X34 - X14 - (X24 - X14) · L4 / L2 + (Y24 - Y14) · L5 / L2
φ20 = X35 - X15 - (X25 - X15) · L4 / L2 + (Y25 - Y15) · L5 / L2
(AI-22)
(AI-23)
(AI-24)
(AI-25)
(AI-26)
φ21 = Y31 - Y11 - (Y21 - Y11) · L4 / L2 - (X21 - X11) · L5 / L2
φ22 = Y32 - Y12 - (Y22 - Y12) · L4 / L2 - (X22 - X12) · L5 / L2
φ23 = Y33 - Y13 - (Y23 - Y13) · L4 / L2 - (X23 - X13) · L5 / L2
φ24 = Y34 - Y14 - (Y24 - Y14) · L4 / L2 - (X24 - X14) · L5 / L2
φ25 = Y35 - Y15 - (Y25 - Y15) · L4 / L2 - (X25 - X15) · L5 / L2
(AI-27)
(AI-28)
(AI-29)
(AI-30)
(AI-31)
Los valores (X11, Y11), (X12, Y12), (X13, Y13), (X14, Y14) y (X15, Y15)
son las coordenadas de las diferentes posiciones que alcanzará el punto "1"
cuando el punto "3" logre las posiciones "P1", "P2", "P3", "P4" y "P5 "
respectivamente, y de forma similar se denominan las coordenadas para el punto
"2".
Las condiciones de restricción anteriores se pueden expresar de forma
compacta como:
Φ(q, t) = 0
(AI-32)
donde el vector "q", en este caso, representa no solamente las
coordenadas dependientes, sino también las variables de diseño.
AI.1.3 - Resolución del sistema
Para resolver este sistema de ecuaciones se utiliza el método iterativo
de Newton-Raphson, basado en la linealización de las ecuaciones, consistente
en la sustitución de estas ecuaciones por los dos primeros términos del
desarrollo en serie de Taylor, que se pueden escribir:
Φ(q, t) = Φ(qi) + Φq(qi) · (q - qi) = 0
(AI-33)
Tomando este sistema y partiendo de un valor inicial del vector "qi",
se obtiene una solución aproximada para el valor de "q" que se denomina "qi+1",
ahora se vuelve a resolver el sistema tomando como valor inicial "qi+1", y así
sucesivamente hasta que el valor obtenido para "q" cumpla las condiciones de
restricción cometiendo un error menor que una cantidad predeterminada.
193
Anexo I
Para aplicar el método de Newton-Raphson descrito en el párrafo
anterior, se utiliza el programa "PUNPRECI" realizado en MATLAB partiendo
de un valor inicial del vector "q" que tenga los valores siguientes:
L1 = 150; L2 = 800; L3 = 400; L4 = 400; L5 = 250
X11 = 130;
X12 = 80;
X13 = 0;
X14 = -80;
X15 = -130;
Y11 = 80
Y12 = 130
Y13 = 150
Y14 = 130
Y15 = 80
X21 = 890;
X22 = 850;
X23 = 770;
X24 = 680;
X25 = 600;
Y21 = 320
Y22 = 350
Y23 = 380
Y24 = 390
Y25 = 400
AI.1.4 - Solución
Aplicando el programa, al cabo de seis iteraciones, resultan las
dimensiones de los eslabones siguientes:
L1 = 134.238 mm.
L2 = 828.363 "
L3 = 407.887 "
L4 = 422.664 "
L5 = 248.306 "
El método de Newton-Raphson tiene el inconveniente de que si no se
parte de unos valores iniciales apropiados, no converge. Por ello, en la mayoría
de los casos, se debe probar con varios grupos de valores iniciales hasta
conseguir la convergencia a una solución real y por lo tanto a los valores finales
de diseño. En este ejemplo se ha probado con cinco conjuntos de valores
iniciales para conseguir finalmente la convergencia.
Unos buenos valores iniciales suelen ser los correspondientes a un
cuadrilátero en el que el punto "3" por lo menos alcance una o dos de las cinco
posiciones prefijadas. Esto es fácil de lograr dibujando el cuadrilátero en esas
posiciones por medio de algún programa gráfico.
194
ANEXO II
OPTIMIZACIÓN DE UN
CUADRILÁTERO ARTICULADO
Anexo II
196
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
ANEXO II - OPTIMIZACIÓN DE UN
CUADRILÁTERO ARTICULADO
En este anexo se presentará un método de optimización de las
dimensiones de un cuadrilátero articulado para que el valor máximo del par
motor durante un ciclo, es decir una revolución completa de la manivela, sea
mínimo. Como condiciones de restricción se tomarán el ángulo girado por el
eslabón oscilador, su longitud y la relación de tiempos entre las carreras de ida y
de retorno. Al final se realizará la optimización para ejemplo numérico
determinado.
AII.1 - EJEMPLO NUMÉRICO
Se pretende optimizar las dimensiones de un mecanismo manivelaoscilador (Fig. AII-1) en el que el eslabón seguidor, que es una plataforma de
500 milímetros de radio, debe realizar una oscilación de 45º con una relación
entre el tiempo de la carrera de ida y la de retorno de 1.25. El mecanismo se
mueve por medio de un motor asíncrono de 1.1 Kw. de potencia, con velocidad
nominal de 1500 r.p.m. y un reductor con relación de reducción de 25. El
criterio para optimizar es que el par máximo durante un ciclo completo, es decir
una vuelta completa de la manivela, sea mínimo, teniendo en cuenta que el par
depende del deslizamiento del campo magnético del motor.
Fig. AII-1 Cuadrilátero articulado a optimizar.
197
Anexo II
AII.1.1 - Datos del mecanismo
Como datos del mecanismo se tienen los siguientes:
-
Longitud del eslabón seguidor "L4"igual al radio de la plataforma 500 mm.
Masa de la plataforma "m4" 123 Kg.
Centro de gravedad de la plataforma en el punto "B".
Momento de inercia de la plataforma respecto del punto "2" 46 Kg.m2.
Masa de la manivela "m2" 16.5 Kg.
Centro de gravedad de la manivela en el punto "A".
Momento de inercia de la manivela respecto del punto "A" 0.2 Kg.m2.
Momento de inercia del motor reducido al eje de la manivela 1.9 Kg.m2.
Momento de inercia del reductor reducido al eje de la manivela 0.4 Kg.m2.
Masa del eslabón acoplador "m3" 15 · L3 Kg.
m L32
Momento de inercia del eslabón acoplador respecto al punto "1" I1 =
3
El momento motor de un motor asíncrono de una potencia de 1.1 Kw. es:
M=
33.1S3 + 117.67S
− 4 S4 + 12.56 S2 + 1
(AII-1)
siendo el deslizamiento
S = (1500-Velocidad del motor)/1500.
(AII-2)
Para obtener la anterior ecuación del par motor, se parte de considerar
que la ecuación del par motor de un motor asíncrono ideal es:
M= K
2
R2
R2S
+ S2 X 22
(AII-3)
siendo "K" una constante que depende de las características físicas del
motor y de la tensión de la red, "R2" la resistencia del rotor, "X2" la reactancia
del rotor y "S" el deslizamiento.
Dividiendo numerador y denominador por " R 22 ", la ecuación del
momento se puede expresar como:
M=
eS
f S2 + 1
(AII-4)
198
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Tomando de un catálogo el par de un motor real, se comprueba que es
imposible ajustarlo por medio de esta ecuación. Esto es debido a que un motor
real tiene en el bobinado del estator una posición de las espiras por toda la
ranura de alojamiento, quedando repartidas desde la superficie del entrehierro
hasta lo más profundo de la ranura. Para ajustar el par real por medio de una
ecuación se supone que el motor real está formado de dos motores ideales, uno
con espiras superficiales y otro con espiras profundas, así la ecuación del par
quedará:
M = M1 + M2 =
( he + gf ) S3 + (e + g)S
gS
eS
+
=
f S2 + 1 h S2 + 1
fh S4 + (f + h ) S2 + 1
(AII-5)
en la que se pueden simplificar los coeficientes y expresar como:
M=
a S3 + bS
c S4 + d S2 + 1
(AII-6)
ecuación que se puede ajustar perfectamente al diagrama del par del
motor real dado por catálogo.
La ecuación del par es una función impar, por lo tanto el par es una
función simétrica respecto del origen de coordenadas (S = 0; n = 1500 r.p.m.).
Fig. AII-2 Diagrama del par motor.
199
Anexo II
Para ajustar los valores de los coeficientes de la ecuación (AII-6),
partiendo de la gráfica real del par (Fig.AII-2) se toman los valores siguientes:
Par nominal a 1400 r.p.m.,
Par de arranque a 0 r.p.m.,
Par máximo,
Par mínimo,
S = 0.06666,
M = 7.5 Nm.
S = 1,
2.1 del par nominal, M = 15.75 "
S = 0.3,
2.3 del par nominal, M = 17.25 "
S = 0.8,
2 del par nominal,
M = 15
"
Con los cuatro valores de par para otros tantos valores de
deslizamiento se obtienen los valores de los coeficientes de la ecuación (AII-6):
a = 33.1,
b = 117.67
c=-4
y
d = 12.56
AII.1.2 - Estudio cinemático
Siguiendo el proceso expuesto en el apartado II.2.3 para el mecanismo
de manivela oscilador de la Fig. AII-1, suponiendo en principio que los puntos
"A" y "B" y las longitudes de los eslabones son fijos y conocidos, se tendrá
como vector de coordenadas dependientes:
qT = { X1, Y1, X2, Y2 }
(AII-7)
y como vector de parámetros, el vector de las longitudes del eslabón
fijo, manivela y eslabón acoplador:
bT = { L1, L2, L3 }
(AII-8)
Las condiciones de restricción "Φ(q, b, t) = 0" en el cuadrilátero
articulado se expresan como:
(XB-XA)2 + (YB-YA) 2 - L12 = 0
(X1-XA)2 + (Y1-YA) 2 - L 22 = 0
2
2
2
3
2
4
(X2-X1) + (Y2-Y1) - L = 0
(X2-XB)2 + (Y2-YB) 2 - L = 0
(AII-9)
(AII-10)
(AII-11)
(AII-12)
De momento, para los estudios cinemático y dinámico, la primera
condición de restricción no es necesaria ya que los puntos "A" y "B" se
consideran fijos. Posteriormente, será necesaria al realizar el estudio de
sensibilidad, ya que la distancia entre los puntos "A" y "B", así como las
longitudes de la manivela y del eslabón acoplador serán las variables diseño.
200
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
AII.1.2.1 - Cálculo de posición
Para definir la posición del mecanismo, se fija el ángulo " θ2 " que
forma el eslabón de entrada "2" con el eslabón fijo "1", quedando entonces
definida la posición del punto "1" como:
X1= XA + L2 cos( θ2 )
Y1 = YA + L2 sin( θ2 )
(AII-13)
(AII-14)
Al estar definida la posición del punto "1", tampoco es necesaria de
momento la segunda condición de restricción, ya que ésta se cumplirá siempre,
por lo tanto, para resolver el problema cinemático y dinámico inverso sólo serán
necesarias las condiciones de restricción:
φ 3 = (X2-X1)2 + (Y2-Y1) 2 - L32 = 0
φ 4 = (X2-XB)2 + (Y2-YB) 2 - L24 = 0
(AII-15)
(AII-16)
En el cuadrilátero articulado, la posición del punto "2" se puede
obtener analíticamente de forma directa, no obstante como en mecanismos más
complejos es muy difícil obtener la posición de los diversos puntos de forma
directa, aquí se resuelve la posición del punto "2" por el método iterativo de
Newton-Raphson (Fig. AII-3), que será el que se utilizará en los mecanismos
complejos, y que se basa en el sistema de ecuaciones:
Φ(qi ) = Φq (qi )·(qi − qi +1)
(AII-17)
Fig. AII-3.Método iterativo de Newton-Raphson.
201
Anexo II
Con el sistema de ecuaciones (AII-17), dando unas coordenadas
iniciales " qi " se obtienen unas coordenadas " qi +1 " para el punto "2"; ahora,
tomando éstas como iniciales se va iterando hasta que el valor de "Φ" sea menor
que un valor prefijado de antemano, momento en el que se considera que se
cumplen las condiciones de restricción.
En el cuadrilátero articulado en estudio, el sistema de ecuaciones
(AII-17) tomará la forma siguiente:
 2( X2 − X1) 2( Y2 − Y1) 


 2( X 2 − X B ) 2( Y 2 − Y B )  i
 X 2 (i ) − X 2 (i +1)   φ3 

 = 
 Y 2 (i ) − Y 2 (i +1)  φ4  i
(AII-18)
Con este sistema de ecuaciones, dando unos valores iniciales a las
coordenadas del punto "2" [X2(i), Y2(i)], se obtendrán unas nuevas coordenadas
para el punto "2" [X2(i+1), Y2(i+1)]. Tomando éstas como iniciales, se seguirá
iterando hasta que los valores de φ 3 y φ 4, al sustituir en ellas los valores de X2
e Y2, sean menores que un valor prefijado de antemano, momento en el que X2 e
Y2, serán solución del problema de posición.
AII.1.2.2 - Cálculo de velocidades
Una vez resuelto el problema de posición, se cumplen las condiciones
de restricción:
Φ(q, b, t) = 0
(AII-19)
Derivando las condiciones de restricción respecto del tiempo se
tendrá:
Φq q& + Φt = 0
(AII-20)
Este sistema de ecuaciones que relaciona las velocidades, en el
cuadrilátero articulado será:
& 1
X
0
0
   0 
 2( X1 − X A ) 2(Y1 − Y A)
& 1  
 Y

−
−
−
−
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
·
X
X
Y
Y
X
X
Y
Y
1
2
1
2
2
1
2
1
   = 0 

& 2  
 X

−
−
0
0
2
(
)
2
(
)
X
X
Y
Y
2
B
2
B
   0 

& 2
Y
202
(AII-21)
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
En este caso " Φ t = 0 " porque no hay condiciones de restricción que
dependan del tiempo.
Para definir el movimiento del cuadrilátero articulado se introduce una
velocidad angular "ω2" a la manivela, entonces se tendrá que las componentes
de la velocidad del punto "1" serán:
& 1 = - ω2 L2 sin( θ2 )
X
& 1 = ω2 L2 cos( θ2 )
Y
(AII-22)
(AII-23)
En el sistema de ecuaciones (AII-21), pasando los términos conocidos
al segundo miembro y despreciando la primera ecuación, ya que al ser
conocidas las componentes de la velocidad del punto "1" esta ecuación se
cumplirá siempre, quedará:
& 2
& 1
 2(X 2 − X1) 2( Y 2 − Y1)  X
 2( X1 − X 2 ) 2( Y1 − Y 2 ) X
=
·
·



 (AII-24)




& 2 
& 1
0
0
 2( X2 − X B) 2( Y 2 − Y B) Y

 Y
Resolviendo este sistema de ecuaciones se calcularán las velocidades
del punto "2" siendo conocidas las del punto "1".
AII-1-2-3. - Cálculo de aceleraciones.
Derivando respecto del tiempo el sistema de ecuaciones (AII-20) que
relaciona las velocidades se obtendrá:
& q q& + Φ
&t=0
Φq &q& + Φ
(AII-25)
sistema de ecuaciones que relaciona las aceleraciones de las
coordenadas dependientes, y que en el cuadrilátero articulado serán:
&& 1 
X
 
&& 1 
 2( X1 − X 2 ) 2( Y1 − Y2 ) 2( X 2 − X1) 2(Y 2 − Y1)   Y
Φ q &q& = 
· 
&& 2 
0
0
2( X 2 − X B) 2(Y 2 − Y B)   X

 && 
Y 2
203
(AII-26)
Anexo II
& 1
X
 
&1− X
& 2 ) 2( Y
&1− Y
& 2 ) 2( X
&2−X
& 1) 2( Y
&2−Y
& 1)  Y
& 1
 2( X
·  (AII-26)
Φ& q q& = - 
&2
& 2   X
& 2
0
0
2X
2Y

& 
 Y2 
&t=0
Φ
(AII-27)
Para que el estudio cinemático del cuadrilátero articulado quede
totalmente definido es necesario conocer la aceleración angular "α2" de la
manivela. En tal caso, las aceleraciones del punto "1" serán:
&& 1 = - ω22 L2 cos( θ2 ) - α2 L2 sin( θ2 )
X
&& 1 = - ω22 L2 sin( θ2 ) + α2 L2 cos( θ2 )
Y
(AII-28)
(AII-29)
Al ser conocidas las aceleraciones del punto "1", se pasan al segundo
miembro, quedando el sistema de ecuaciones (AII-25) de la forma siguiente:
&& 2
&& 1
 2(X 2 − X1) 2( Y 2 − Y1)  X
 2( X1 − X 2) 2( Y1 − Y 2) X

·  = - 
·  && 2
&& 1
0
0

 2( X2 − X B) 2( Y 2 − Y B) Y
 Y
& 1
X
 
&1− X
& 2 ) 2( Y
&1− Y
& 2 ) 2( X
&2−X
& 1) 2( Y
&2−Y
& 1)  Y
& 1
 2( X
- 
· 
&2
& 2   X
& 2
0
0
2X
2Y

& 
 Y2 
(AII-30)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (AII-30) se obtienen las
aceleraciones del punto "2", siendo conocidas las velocidades y aceleraciones
del punto "1" y las velocidades del punto "2"
204
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
AII.1.3 - Cálculo dinámico
Para resolver el problema dinámico se aplicará el sistema de
ecuaciones:
M &q& + ΦTq λ = Q
(AII-31)
donde:
-
M es la matriz de masas del conjunto del mecanismo. Teniendo en cuenta
que el eslabón "2" tiene su centro de gravedad en el punto "A", su longitud
es "L2", su masa "m2" y su momento de inercia respecto del punto "A" es
"IA2", el eslabón "3" tiene su centro de gravedad en el centro de su longitud,
una longitud "L3", una masa "m3" y su momento de inercia respecto del
punto "1" es "I13" y el eslabón "4" tiene su centro de gravedad en el punto
"B", una longitud "L4", una masa "m4" y su momento de inercia respecto del
punto "2" es "I24", resultará:
 I A 2 I13
 2 + 2
 L 2 L3

0

M= 
 m3 − I132
 2 L3

0


-
0
m3 I13
−
2 L23
IA 2 + I13
2
2
L2 L3
0
0
I13 −
I 24
m4 + 2
2
L3
L4
m3 I13
−
2 L32
0



m3 I13 
− 2
2 L3 


0

I13
I
24 
− m4 + 2 
2
L3
L4 
0
(AII-32)
" &q& ", vector de las aceleraciones de los puntos representados por las
coordenadas dependientes será:
&& 1 
X
 
&& 
Y
&q& =  1 
&& 2
X
 && 
Y 2
(AII-33)
205
Anexo II
-
" Φ Tq ", traspuesta de la matriz jacobiana de las condiciones de restricción
respecto de las coordenadas dependientes en este caso será:
2( X1 − X A )

2( Y1 − Y A )
T
Φq = 
0


0

-
2(X1 − X 2)


2(Y1 − Y 2)
0


2(X 2 − X1) 2( X2 − X B)
2(Y 2 − Y1) 2( Y2 − Y B)
(AII-34)
"λ", vector de los multiplicadores de Lagrange será:
 λ1 
 
λ = λ 2 
 
 λ3 
-
0
(AII-35)
"Q" será el vector de las fuerzas exteriores que actúan en los puntos "1" y
"2" y que en este ejemplo serán nulas. No obstante, como con este método
no se pueden introducir los pares como tales, el par motor se establece
mediante una fuerza perpendicular al eslabón "2" en el punto "A" y otra del
mismo módulo y dirección y sentido contrario, en el punto "1", de forma
que el par de estas dos fuerzas sea igual al par motor.
 Y A − Y1 
2


 L2 
 X1 − X A 
Q= 
·PAR
2
L2 
 0 


 0 
(AII-36)
Con el sistema de ecuaciones (AII-31), desarrollado para el
cuadrilátero articulado de (AII-32) a (AII-36), se pueden resolver dos tipos de
problemas: el dinámico inverso, cuando se conocen las velocidades y
aceleraciones y se trata de calcular el PAR, y el dinámico directo, cuando se
conocen las velocidades y el PAR y se trata de calcular las aceleraciones.
206
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
AII.1.3.1 - Simulación dinámica
En este caso, para poder determinar el par motor máximo con el fin de
hacerlo mínimo, se debe realizar una simulación dinámica de, al menos, una
vuelta de la manivela. Para realizar esta simulación dinámica se comienza
poniendo unas condiciones iniciales de posición y velocidad del mecanismo, a
partir de estas condiciones y del par motor correspondiente a esas condiciones
se resuelve el problema dinámico directo y se obtienen las aceleraciones, se fija
un incremento de tiempo para realizar la integración numérica y se calculan las
nuevas velocidades y las nuevas posiciones a partir de las anteriores.
En el cálculo dinámico directo utilizado para realizar la simulación
dinámica, como las aceleraciones que se irán calculando también deberán
cumplir las ecuaciones cinemáticas, al sistema de ecuaciones (AII-31) se le
añadirán las ecuaciones:
& q q& − Φ
& t − 2α(Φ q q& + Φ t ) − β2 Φ
Φ q &q& = - Φ
(AII-37)
En el sistema (AII-37), se ha introducido la corrección de Baumgarte
expuesta en el apartado (II.3.3.3) tomando α = β = 20. Con esta corrección se
realizará la simulación dinámica disminuyendo el riesgo de divergencia en la
solución.
Los términos de la ecuación (AII-37) serán los siguientes:
&& 1 
X
0
0
 2( X1 − X A ) 2(Y1 − Y A )
 
&& 1 

 Y
Φ q &q& =  2(X1 − X 2) 2( Y1 − Y 2) 2( X 2 − X1) 2( Y 2 − Y1) · 
&& 2 

 X
0
0
2
(
−
)
2
(
−
)
X
X
Y
Y
2
B
2
B

 
&& 2 
Y
(AII-38)
& 1
X
&1
&1
0
0
 2X
 
2Y
& 1

 Y
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
q
2
(
−
)
2
(
−
)
2
(
−
)
2
(
−
)
·
=
 X1 X 2
Y1 Y 2
X 2 X1
Y 2 Y1    (AII-39)
Φq
& 2

 X
&
&
0
0
2X 2
2Y2   

& 2
Y
& t =0
Φt = Φ
(AII-40)
207
Anexo II
& 1
X
0
0
2(X1 − X A) 2(Y1 − Y A )
 
&

 Y
2α(Φ q q& + Φ t ) =40  2(X1 − X 2) 2(Y1 − Y 2) 2(X 2 − X1) 2(Y 2 − Y1) · 1  (AII-41)
& 
X

0
0
2(X 2 − X B) 2(Y 2 − Y B)  2 
& 2 
Y
 ( X1 − XA ) 2 + ( Y1 − YA ) 2 − L22 


2
β Φ = 400· (X 2 − X1) 2 + ( Y 2 − Y1) 2 − L32 


2
2
2
(X 2 − X B) + ( Y 2 − Y B) − L4 
(AII-42)
Una vez obtenidas para un instante determinado, las aceleraciones de
los puntos "1" y "2", para obtener las nuevas velocidades y posiciones en el
instante siguiente se aplicarán las ecuaciones:
&& 1 
& 1  X
& 1  X
X
     
&& 1 
& 1  Y
& 1  Y
Y
 &  =  &  +  &&  δ t
X 2 X 2 X 2
 &   &   && 
Y 2 Y 2 Y 2
(AII-43)
& 1
 X1   X1   X
     
& 1
 Y1   Y1   Y
  =   +  &  δt
X 2 X 2 X 2
    & 
Y 2 Y 2 Y 2
(AII-44)
En este ejemplo del cuadrilátero articulado, se ha tomado como
aceleraciones y velocidades para realizar la integración numérica las medias
entre las aceleraciones y velocidades actuales y las del paso anterior. De esta
forma, la simulación se ajusta más a la realidad. Esta comprobación se ha
realizado haciendo girar la manivela del mecanismo una vuelta completa
aplicando un par nulo, resultando al final de la vuelta unos valores de posición,
velocidad y aceleración que coinciden con los iniciales, tal como sucede en el
mecanismo sin rozamiento.
La simulación dinámica se podría haber resuelto por medio de las
rutinas de integración numérica OD23 ó OD45 de Matlab, pero en esta tesis se
ha preferido realizar los programas en Matlab de la forma más simple posible.
208
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
AII.1.4 - Cálculo de sensibilidad cinemática
Para conseguir que el momento motor máximo durante un ciclo del
mecanismo sea mínimo, se estudiará la sensibilidad del momento motor frente a
las variables de diseño, que en este caso serán las longitudes de los eslabones.
Una vez determinada la sensibilidad del par motor en la posición del mecanismo
en el que el par es máximo, ésta indicará el sentido en el que se deben modificar
las dimensiones del mecanismo para disminuir el par máximo.
AII.1.4.1 - Sensibilidad de posición
Para estudiar la sensibilidad del par motor, como éste depende de la
cinemática y la dinámica del mecanismo, se inicia con el estudio de la
sensibilidad de la posición respecto de las variables de diseño.
Para el estudio de la sensibilidad de la posición del cuadrilátero
articulado las condiciones de restricción serán:
Φ (q, b, t) = 0
(AII-45)
siendo el vector de coordenadas naturales:
 X1 
 
 Y1 
 
q =  X2 
 
 Y2 
 X B
 
(AII-46)
y las variables de diseño:
 L1 
 
b =  L2 
 
 L3 
(AII-46)
En este caso, las condiciones de restricción no dependen del tiempo y
la longitud del eslabón "4" es fija. Con estas hipótesis y suponiendo que la
209
Anexo II
variación de longitud del eslabón "2" se producirá en la dirección de dicho
eslabón, se podrá escribir:
0 

  
X1 − X A − L 2 cos θ2

 0 
Y1 − Y A − L 2 sin θ2


Φ (q, b) =  ( X 2 − X1) 2 + ( Y2 − Y1) 2 − L32  = 0

2
2
2
 
( X 2 − X B ) + ( Y 2 − Y B ) − L 4  0 

  
X B − X A − L1
0 
(AII-47)
Para calcular la sensibilidad de posición, primero se calcula la
posición del mecanismo para un determinado ángulo " θ2 " del eslabón de
entrada y después, derivando la ecuación (AII-47) respecto de los parámetros,
se tendrá:
Φq q b + Φ b = 0
(AII-48)
siendo:
1
0
0
0
0




0
1
0
0
0



0
Φ q = 2(X1 − X 2) 2(Y1 − Y 2 ) 2(X 2 − X1) 2(Y 2 − Y1)


0
0
2(X 2 − X B) 2(Y 2 − Y B) 2(X B − X 2)



0
0
0
0
1
(AII-49)
 δ X1
 δ L1
δ
 Y1
 δ L1
 δ X2
qb = 
δ
 L1
δ
 Y2
 δ L1
 δ XB
δ
 L1
(AII-50)
δ X1
δ L2
δ Y1
δ L2
δ X2
δ L2
δ Y2
δ L2
δ XB
δ L2
δ X1 
δ L3 
δ Y1 
δ L3 
δ X2 
δ L3 

δ Y2 
δ L3 
δ XB 
δ L3 
210
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
0 
 0 − cos θ2


0 
 0 − sin θ2
0
− 2 L3 
Φb =  0


0
0 
0
− 1
0
0 
(AII-51)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (AII-48), desarrollado de
(AII-49) a (AII-51), se obtendrá " q b " que es la sensibilidad de las coordenadas
dependientes respecto de las longitudes de los eslabones.
AII.1.4.2 - Sensibilidad de velocidades
Una vez calculadas las velocidades, derivando respecto del tiempo el
sistema de ecuaciones (AII-48), se obtendrá:
& q qb + Φ
&b=0
Φ q q& b + Φ
(AII-52)
donde:
1
0
0
0




0
1
0
0


Φq = 

 2( X1 − X 2 ) 2( Y1 − Y 2) 2(X 2 − X1) 2( Y 2 − Y1) 

0
0
2(X 2 − X B) 2( Y 2 − Y B) 

(AII-53)
Esta matriz jacobiana, debería ser la misma que la (AII-49)
correspondiente a la sensibilidad de posición. Pero en ésta, se ha eliminado la
quinta fila y quinta columna al no ser necesarias, ya que se sabe de antemano
que la sensibilidad de la velocidad del punto "B" es cero al ser éste un punto fijo
durante el funcionamiento del mecanismo.
211
Anexo II
&1
δX
δ
 L& 1
 δ Y1
δ 1
q& b =  L
&2
δX

 δ L1
&2
δY
 δL
 1
&1
δX
δ L2
&1
δY
δ L2
&2
δX
δ L2
&2
δY
δ L2
&1
δX
δ L3 
&1
δY

δ L3 
& 2
δX

δ L3 
& 2
δY
δ L3 
(AII-54)
0
0
0
0
0 



0
0
0
0
0 

& q=
Φ

&1− X
& 2 ) 2( Y
&1− Y
& 2 ) 2( X
&2−X
& 1) 2( Y
&2−Y
& 1)
0 
 2( X

&2
&2
& 2 
0
0
2X
2Y
− 2X

(AII-55)
 δ X1
δ
 L1
 δ Y1
 δ L1
 δ X2
qb = 
 δ L1
 δ Y2
δ
 L1
 δ XB
 δ L1
δ X1 
δ L3 

δ Y1 
δ L3 
δ X2 

δ L3 
δ Y2 
δ L3 

δ XB 
δ L3 
(AII-56)
0
0
0

0
(AII-57)
δ X1
δ L2
δ Y1
δ L2
δ X2
δ L2
δ Y2
δ L2
δ XB
δ L2
0 ω2 sin θ2
0
 − ω2 cos θ2
&
=
Φb 
0
0

0
0
Resolviendo el sistema de ecuaciones (AII-52), desarrollado de
(AII-53) a (AII-57), se obtendrá " q& b " que es la sensibilidad de las velocidades
con respecto a las longitudes de los eslabones.
212
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
AII.1.4.3 - Sensibilidad de aceleraciones
Una vez calculadas las aceleraciones, bien sea al estudiar el problema
cinemático o al resolver el problema dinámico, derivando respecto del tiempo el
sistema de ecuaciones (AII-52), se obtendrá:
& q q& b + Φ
&& q q b + Φ
&& b = 0
Φ q &q&b + 2 Φ
(AII-58)
donde:
1
0
0
0




0
1
0
0


Φq = 

 2( X1 − X 2 ) 2( Y1 − Y 2) 2(X 2 − X1) 2( Y 2 − Y1) 

0
0
2(X 2 − X B) 2( Y 2 − Y B) 

(AII-59)
&& 1
δX
δ
1
 L
&Y& 1
δ

&q&b =  δ L1
&& 2
δX

 δ L1
&& 2
δY
 δL
 1
(AII-60)
&& 1
δX
δ L2
&& 1
δY
δ L2
&& 2
δX
δ L2
&& 2
δY
δ L2
&& 1 
δX
δ L3 
&& 1 
δY

δ L3 
&& 2 
δX

δ L3 
&& 2 
δY
δ L3 
0
0
0
0




0
0
0
0


&q = 
Φ
& 1− X
& 2 ) 2( Y
&1−Y
& 2 ) 2( X
& 2−X
& 1) 2(Y
& 2−Y
& 1) 
 2( X

&2
& 2 
0
0
2X
2Y

213
(AII-61)
Anexo II
&1
δX
δ
 L& 1
 δ Y1
δ 1
q& b =  L
&2
δX

 δ L1
&2
δY
 δL
 1
&1
δX
δ L2
&1
δY
δ L2
&2
δX
δ L2
&2
δY
δ L2
&1
δX
δ L3 
&1
δY

δ L3 
& 2
δX

δ L3 
& 2
δY
δ L3 
(AII-62)
0
0
0
0
0 



0
0
0
0
0 

&& q = 
Φ

&& 1 − X
&& 2 ) 2( Y
&& 1 − Y
&& 2) 2(X
&& 2 − X
&& 1) 2( Y
&& 2 − Y
&& 1)
0 
 2( X

&& 2
&& 2
&& 2 
0
0
2X
2Y
− 2X

(AII-63)
 δ X1
 δ L1
δ
 Y1
 δ L1
 δ X2
qb = 
δ
 L1
δ
 Y2
 δ L1
 δ XB
δ
 L1
(AII-64)
δ X1
δ L2
δ Y1
δ L2
δ X2
δ L2
δ Y2
δ L2
δ XB
δ L2
δ X1 
δ L3 
δ Y1 
δ L3 
δ X2 
δ L3 

δ Y2 
δ L3 
δ XB 
δ L3 
0 ω22 cos θ2 + α2 sin θ2

2
0
sin − cos θ2
&Φ& b =  ω2 θ2 α 2
0
0

0
0
0

0
0

0
(AII-65)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (AII-58), desarrollado de
(AII-59) a (AII-65), se obtendrá la sensibilidad de las aceleraciones " &q&b "
respecto de las longitudes de los eslabones.
214
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
AII.1.5 - Cálculo de sensibilidad dinámica
Una vez estudiado el problema dinámico, bien sea directo o inverso,
se habrá resuelto el sistema de ecuaciones M&q& + Φ Tq λ = Q , derivando este
sistema respecto de las longitudes de los eslabones se obtendrá:
M &q&b + M b &q& + Φ Tq λ b + Φ Tqb λ = Qb
(AII-66)
donde:
 I A 2 I13
 2 + 2
 L2 L3

0

M= 
 m3 − I132
 2 L3

0


&& 1
δX
δ
1
 L
&& 1
δ
Y

&q&b =  δ L1
&& 2
δX

 δ L1
&& 2
δY
 δL
 1
&& 1
δX
δ L2
&& 1
δY
δ L2
&& 2
δX
δ L2
&& 2
δY
δ L2
0
m3 I13
−
2 L23
IA 2 + I13
2
2
L2 L3
0
0
I13 −
I 24
m4 + 2
2
L3
L4
m3 I13
−
2 L32
0
&& 1 
δX
δ L3 
&& 1 
δY

δ L3 
&& 2 
δX

δ L3 
&& 2 
δY
δ L3 



m3 I13 
− 2
2 L3 


0

I13
I
24 
− m4 + 2 
2
L3
L4 
0
(AII-67)
(AII-68)
&& , la primera
" Mb " será una hipermatriz. Al hacer el producto Mb q
&& será el producto de la sensibilidad de la matriz de
columna de la matriz Mb q
masas respecto de la longitud del eslabón "1" por " &q& ", la segunda columna será
el producto de la sensibilidad de la matriz de masas respecto de la longitud del
eslabón "2" por " &q& " y la tercera columna será el producto sensibilidad de la
matriz de masas respecto de la longitud del eslabón "3" por " &q& ", resultando:
[
]
Mb &q& = M L1 &q& M M L2 &q& M ML3 &q&
215
(AII-69)
Anexo II
siendo:
0

0
M L1 &q& = 
0
0

&& 1 
0 0 0  X
  
&& 1 
0 0 0  Y
·  && 
0 0 0  X 2 
&& 2 
0 0 0 Y
 δ M11
 δ L2

&
&
M L2 q =  0
 0

 0
 δ M11
 δ L3

 0

M L3 q&& =  δ
M31
 δ
 L3
 0

0
δ M 22
δ L2
0
0
0
δ M22
δ L3
0
δ M42
δ L3

0 0

0 0 ·

0 0

0 0
δ M13
δ L3
0
δ M33
δ L3
0
(AII-70)
&& 1 
X
 
&& 1 
Y
 && 
X 2
 && 
Y 2

0 
δ M 24 

δ L3 
·

0 

δ M 44 
δ L3 
(AII-71)
&& 1 
X
 
&& 1 
Y
 && 
X 2
 && 
Y 2
(AII-72)
donde, teniendo en cuenta que "IA2" es constante y "m3" es
proporcional a "L3", resultará:
2
δ M11
= − IA3 2
δ L2
L2
(AII-73)
2
δ M22
= − IA3 2
δ L2
L2
(AII-74)
δ M11 δ M 22 δ M33 δ M 44 m3
=
=
=
=
δ L3
δ L3
δ L3
δ L3 3L3
(AII-75)
δ M13 δ M 24 δ M31 δ M 42 m3
=
=
=
=
δ L3
δ L3
δ L3
δ L3 6L3
(AII-76)
216
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
2( X1 − X A)

2( Y1 − Y A)
T
Φq = 
0


0

 δ λ1
 δ L1
δ
λ2
λb = 
 δ L1
 δ λ3
δ
 L1
δ λ1
δ L2
δ λ2
δ L2
δ λ3
δ L2
2( X1 − X 2 )


2( Y1 − Y 2 )
0


2( X 2 − X1) 2( X 2 − X B) 
2( Y 2 − Y1) 2( Y 2 − Y B) 
(AII-77)
δ λ1 
δ L3 
δ λ 2 
δ L3 
δ λ3 
δ L3 
(AII-78)
0
" ΦTqb " será una hipermatriz. Al hacer el producto Φ Tqb λ , la primera
columna de la matriz Φ Tqb λ será el producto de la sensibilidad de la matriz
jacobiana traspuesta respecto de la longitud del eslabón "1" por " λ ", la segunda
columna será el producto de la sensibilidad de la matriz jacobiana traspuesta
respecto de la longitud del eslabón "2" por " λ ", y la tercera columna será el
producto de la sensibilidad de la matriz jacobiana traspuesta respecto de la
longitud del eslabón "3" por " λ ", resultando:
[
]
(AII-79)
 δ X1
 2 δ L1
 δ
 2 Y1
T
 δ L1
Φ ql1 λ = 
 0

 0

δ
δ

0
2( X1 − X2 )

δ L1 δ L1

δ
δ
  λ1
0
2( Y1 − Y2 )
δ L1 δ L1
· 
 λ 2 
δ
δ
δ
δ
2( X 2 − X1 ) 2( X 2 − X B )   
δ L1 δ L1
δ L1 δ L1  λ3

δ Y 2 δ Y1
δ

2(
)
2 Y2
−
δ L1 δ L1
δ L1

(AII-80)
T
T
T
T
Φ qb λ = Φ ql1 λ M Φql 2 λ M Φ ql3 λ
donde:
217
Anexo II
 δ X1
 2 δ L2
 δ
 2 Y1
T
 δ L2
Φ ql2 λ = 
 0

 0

δ
δ

2( X1 − X 2 )
0

δ L2 δ L 2

δ
δ
  λ1
0
2( Y1 − Y 2 )
δ L2 δ L 2
· 
δ X 2 δ X1
δ X 2 δ X B  λ 2 
2(
) 2(
)  
−
−
δ L 2 δ L2
δ L2 δ L 2   λ3 

δ Y 2 δ Y1
δ Y2

2(
)
2
−
δ L 2 δ L2
δ L2

(AII-81)
 δ X1
 2 δ L3
 δ
 2 Y1
T
 δ L3
Φ ql3 λ = 
 0

 0

δ
δ

2( X1 − X 2 )
0

δ L 3 δ L3

δ
δ
  λ1 
2( Y1 − Y 2 )
0
δ L 3 δ L3
· 
δ X 2 δ X1
δ X 2 δ X B  λ 2 
2(
) 2(
)  
−
−
δ L3 δ L3
δ L 3 δ L3   λ 3 

δ
δ
δ

2 Y2
2( Y 2 − Y1 )
δ L3 δ L3
δ L3

(AII-82)
siendo:
 δ Q1X

 δL1
 δ Q1Y
Qb = 
δL1
 0

 0
δ Q1X
δL2
δ Q1Y
δL2
0
0
δ Q1X 

δL3 
δ Q1Y 
δL3 
0 

0 
(AII-83)
donde:
δ Q1X Y A − Y1 δPAR PAR δY1
=
− 2 ·
·
δ L1
δ L1
L2 δL1
L 22
(AII-84)
δ Q1Y X1 − X A δPAR PAR δX1
=
+ 2 ·
·
δ L1
δ L1
L2 δL1
L 22
(AII-85)
218
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
δ Q1X Y A − Y1 δPAR PAR δY1
PAR( Y A − Y1)
·
=
− 2 ·
−2
2
δ L2
δ L2
L2 δL2
L2
L32
(AII-86)
δ Q1Y X1 − X A δPAR PAR δX1
PAR (X1 − X A )
·
=
+ 2 ·
−2
2
3
δ L2
δ L2
L2
L2 δL2
L2
(AII-87)
δ Q1X Y A − Y1 δPAR PAR δY1
=
− 2 ·
·
δ L3
δ L3
L2 δL3
L 22
(AII-88)
δ Q1Y X1 − X A δPAR PAR δX1
+ 2 ·
=
·
δ L3
δ L3
L2 δL3
L 22
(AII-89)
El sistema de ecuaciones (AII-66), desarrollado de (AII-67) a
(AII-89), es un sistema de 12 ecuaciones, en las que en el problema dinámico
directo durante una simulación, se conocen: la matriz de masas "M", la
sensibilidad de la matriz de masas respecto de las longitudes de eslabones
" Mb ", la posición, velocidad, PAR, y matriz jacobiana traspuesta en un
instante. Una vez resuelto el problema dinámico directo en ese instante, se
conocerán los multiplicadores de Lagrange " λ ", las aceleraciones " &q& " y con
éstas las velocidades " q& ", las posiciones "q" y el "PAR" en el instante
siguiente. Con las nuevas posiciones, velocidades y aceleraciones se calcularán
las sensibilidades de posición " q b ", de velocidad " q& b " y aceleración " &q&b ", la
nueva matriz jacobiana traspuesta y la sensibilidad de la matriz jacobiana
transpuesta. Finalmente, al resolver el sistema, se obtendrán las sensibilidades
de los tres multiplicadores de Lagrange y del PAR respecto de las tres
longitudes variables.
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones de sensibilidad dinámica
(AII-66) permite determinar la sensibilidad del PAR respecto de las longitudes
de los eslabones del cuadrilátero articulado, teniendo de esta manera
información para saber como variar dichas dimensiones con el fin de disminuir
el PAR.
219
Anexo II
AII.2 - RESOLUCIÓN DEL EJEMPLO NUMÉRICO
En el mecanismo manivela-oscilador que se pretende optimizar la
relación de tiempos es 1.25, de donde se deduce, aplicando la ecuación
(AII-90), que el ángulo "α" formado por las posiciones del eslabón acoplador
cuando el mecanismo se encuentra en configuración de insensitividad de
posición es 20º.
Qt =
180 + α
= 1.25
180 − α
(AII-90)
En este ejemplo, como el ángulo girado y la longitud del eslabón
seguidor son constantes, resultará que, al ir variando las longitudes de los
eslabones cumpliendo las restricciones impuestas, el punto "A", punto de giro
de la manivela, se desplazará sobre una circunferencia que pasa por los puntos
extremos del eslabón seguidor (Fig. AII-4). Esto es debido a la propiedad
geométrica de que una determinada cuerda de una circunferencia se ve bajo el
mismo ángulo desde cualquier punto de una circunferencia y además este
ángulo es la mitad del ángulo con que se ve dicha cuerda desde el centro de la
circunferencia.
Fig. AII-4 Circunferencia, lugar geométrico de la articulación de la manivela.
220
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
AII.2.1 - Longitudes de los eslabones
De la figura (AII-4) se obtiene que la longitud de la cuerda será:
22' = 2 x 0.5 sin 22.5º = 0.38268 m.
(AII-91)
El radio de la circunferencia lugar geométrico del punto "A" centro de
giro de la manivela será:
R=
22'
22'
=
= 0.55945
2sinα 2sin 20º
(AII-92)
El ángulo bajo el que se verá la cuerda " A 2 " será:
β = arc.sin
A2
2R
(AII-93)
Tomando el triángulo A2’C se obtendrá la distancia " A 2' " como:
A 2' = 2Rsin
40 + β
2
(AII-94)
Como " A 2 " es "L3 – L2" y " A 2' " es "L3 + L2", resultará:
L2 =
A 2' − A 2
2
(AII-95)
L3 = A 2' - L2
(AII-96)
La longitud del eslabón fijo "L1" = " AB " se determinará como lado
del triángulo A2B.
L1 =
2
A2
2
+ 0.5
− 2·AB·cos(90 + 2.5 − β / 2)
(AII-97)
Con las ecuaciones anteriores se pueden calcular las longitudes de los
eslabones fijo, manivela y acoplador para una longitud de 0.5 m. del eslabón
seguidor, una relación de tiempos de 1.25, un ángulo de oscilación del eslabón
seguidor de 45º y una determina distancia " A 2 ".
221
Anexo II
Partiendo de una distancia mínima entre los puntos "A" y "2" de 0.2
metros para evitar interferencias de la manivela con eslabón seguidor y
aumentando esta distancia en incrementos de 0.008 metros, se obtiene la
relación de posibles longitudes de los eslabones siguiente:
Longitud del eslabón Longitud de la manivela
"L2"
fijo "L1"
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
0.5134
0.514
0.5147
0.5154
0.5161
0.5169
0.5176
0.5183
0.5191
0.5198
0.5206
0.5214
0.5222
0.523
0.5238
0.5246
0.5254
0.5263
0.5271
0.528
0.5288
0.5297
0.5306
0.5315
0.5324
0.5333
0.5342
0.5351
0.5361
0.537
0.538
0.5389
0.5399
0.5409
0.5418
0.5428
0.1817
0.1812
0.1807
0.1802
0.1797
0.1791
0.1785
0.178
0.1774
0.1768
0.1762
0.1756
0.175
0.1743
0.1737
0.173
0.1724
0.1717
0.171
0.1703
0.1696
0.1689
0.1681
0.1674
0.1666
0.1659
0.1651
0.1643
0.1635
0.1627
0.1618
0.161
0.1601
0.1593
0.1584
0.1575
222
Longitud del eslabón
acoplador "L3"
0.3897
0.3972
0.4047
0.4122
0.4197
0.4271
0.4345
0.442
0.4494
0.4568
0.4642
0.4716
0.479
0.4863
0.4937
0.501
0.5084
0.5157
0.523
0.5303
0.5376
0.5449
0.5521
0.5594
0.5666
0.5739
0.5811
0.5883
0.5955
0.6027
0.6098
0.617
0.6241
0.6313
0.6384
0.6455
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
63
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
0.5438
0.5448
0.5458
0. 5469
0.5479
0.5489
0.5499
0.551
0.552
0.5531
0.5541
0.5552
0.5563
0.5574
0.5584
0.5595
0.5606
0.5617
0.5628
0.5639
0.565
0.5662
0.5673
0.5684
0.5695
0.5707
0.5718
0.5729
0.5741
0.5752
0.5764
0.5775
0.5787
0.5798
0.581
0.5821
0.5833
0.5845
0.5856
0.5868
0.5879
0.5891
0.5903
0.5914
0.1566
0.1556
0.1547
0.1537
0.1528
0.1518
0.1508
0.1498
0.1488
0.1477
0.1467
0.1456
0.1445
0.1434
0.1423
0.1412
0.14
0.1388
0.1377
0.1364
0.1352
0.134
0.1327
0.1314
0.1301
0.1288
0.1275
0.1261
0.1248
0.1233
0.1219
0.1205
0.119
0.1175
0.116
0.1144
0.1129
0.1113
0.1097
0.108
0.1063
0.1046
0.1028
0.1011
223
0.6526
0.6596
0.6667
0.6737
0.6808
0.6878
0.6948
0.7018
0.7088
0.7157
0.7227
0.7296
0.7365
0.7434
0.7503
0.7572
0.764
0.7708
0.7777
0.7844
0.7912
0.798
0.8047
0.8114
0.8181
0.8248
0.8315
0.8381
0.8448
0.8513
0.8579
0.8645
0.871
0.8775
0.884
0.8904
0.8969
0.9033
0.9097
0.916
0.9223
0.9286
0.9348
0.9411
Anexo II
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
0.5926
0.5937
0.5949
0.5961
0.5972
0.5984
0.5995
0.6006
0.6018
0.6029
0.604
0.6052
0.6063
0.6074
0.6085
0.6095
0.6106
0.6117
0.6127
0.6137
0.0993
0.0974
0.0955
0.0936
0.0916
0.0896
0.0876
0.0855
0.0834
0.0812
0.0789
0.0766
0.0743
0.0718
0.0693
0.0668
0.0641
0.0614
0.0586
0.0557
0.9473
0.9534
0.9595
0.9656
0.9716
0.9776
0.9836
0.9895
0.9954
1.0012
1.0069
1.0126
1.0183
1.0238
1.0293
1.0348
1.0401
1.0454
1.0506
1.0557
Tabla AII-1 Relación de posibles longitudes de los eslabones del cuadrilátero.
AII.2.2 - Simulación dinámica
Una vez determinada en la tabla (AII-1) una serie de valores de
longitudes de los eslabones que cumplen las condiciones propuestas para el
problema, longitud del eslabón seguidor, ángulo de oscilación y relación de
tiempos entre carrera de ida y retorno, se tratará de determinar la combinación
de longitudes que hagan que el par máximo durante una revolución, sea
mínimo.
Para una determinada combinación de longitudes de eslabones, por
medio del programa "SENCUADRIL" realizado en MATLAB se hará una
simulación dinámica hasta calcular el par máximo durante un giro completo de
la manivela. En esa posición del mecanismo, se calculará la sensibilidad del par
respecto de las longitudes del eslabón fijo "L1", de la manivela "L2" y del
eslabón acoplador "L3". Como al variar la longitud de un eslabón, las de los
otros dos vendrán impuestas, se calculará la sensibilidad del par al cambiar de
una combinación de longitudes a la siguiente de la tabla (AII-1), sumando los
productos de la sensibilidad del par respecto de cada longitud por su respectivo
incremento, obteniéndose la sensibilidad total.
224
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
Partiendo de una fila cualquiera de la tabla, se realizará una
simulación dinámica, calculando el par máximo y la sensibilidad total del par en
esa posición del mecanismo. Según sea el signo de la sensibilidad, se tomará
otra combinación de valores de longitudes de eslabones en el sentido, indicado
por la sensibilidad, que haga disminuir el par. Así sucesivamente, se irán
realizando simulaciones dinámicas, con nuevas longitudes de eslabones, hasta
conseguir una serie de longitudes con las que la sensibilidad total del par
máximo respecto de la variación de las longitudes de los eslabones sea cero,
momento en el que se habrá obtenido el objetivo de que el par máximo durante
una revolución de la manivela, sea mínimo.
AII.2.3 - Resultados
Llevando a cabo el proceso descrito, para los datos de este ejemplo, se
ha llegado a una solución en que la sensibilidad del par se hace cero para la
combinación de longitudes correspondiente a la fila 70 de tabla (AII-1), y que
son los siguientes:
L1 = 0.5798 m.
L2 = 0.1175 m.
L3 = 0.8775 m.
siendo el par máximo:
M = -135.83 Nm.
Por otro lado, realizando una comprobación exhaustiva del par
máximo para todas las combinaciones de longitudes de la tabla (AII-1), se llega
a determinar que el mínimo par máximo se produce para la combinación de
longitudes correspondientes a la fila 56, y que son:
L1 = 0.5639 m.
L2 = 0.1364 m.
L3 = 0.7844 m.
siendo el par máximo:
M = -133.68 Nm.
225
Anexo II
AII.2.4 - Diagramas del par motor
En la figura (AII-5), se puede ver el diagrama del par motor a lo largo
de una revolución de la manivela para un cuadrilátero articulado sin optimizar;
por ejemplo para las longitudes de los eslabones correspondientes a la fila 1 de
la tabla (AII-1).
Fig. AII-5 Diagrama del par motor durante una revolución de la manivela con la
combinación de longitudes de eslabones correspondientes a la fila 1 de la tabla
(AII-1).
Fig. AII-6 Diagrama del par motor durante una revolución de la manivela con la
combinación de longitudes de eslabones que hacen que el par máximo sea
mínimo.
226
Síntesis Cinemática y Dinámica de Mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS
En la figura (AII-6) se representa el diagrama del par motor para el
mecanismo optimizado. Se puede observar, que el par motor máximo ha pasado
de –181.54 Nm. a –133.68 Nm, para unas longitudes de los eslabones
correspondientes a la fila 56 de la tabla (AII-1).
AII.3 - CONCLUSIONES
En este anexo se ha realizado una optimización paso a paso de las
dimensiones de un cuadrilátero articulado, por el método de las sensibilidades,
para conseguir que el par motor máximo sea mínimo y se ha comprobado el par
máximo para una serie de longitudes de eslabones propuesta.
Como se puede apreciar en los resultados, existe una pequeña
diferencia en las longitudes de los eslabones correspondientes al mecanismo que
precisa mínimo par máximo según sea el método utilizado. No obstante, cabe
resaltar que la diferencia del par entre estas dos combinaciones de longitudes es
realmente pequeña, (1.6 %), y puede provenir de que el par máximo para cada
combinación de longitudes se obtiene por medio de una simulación dinámica
que puede ir acumulando pequeños errores.
227
Anexo II
228
REFERENCIAS
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