Integrales. Selectividad CCNN. Curso 2013/14.

Integrales
Selectividad CCNN 2014
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1
x2
1. [ANDA] [EXT-A] Calcula
2x2-2x-4
dx .
0
/4
x
2. [ANDA] [EXT-B] Calcula
cos2x
dx .
(Sugerencia: integración por partes)
0
|x|
1
y g(x) =
.
2
1+x2
a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
3. [ANDA] [JUN-A] Sean f:    y g:    las funciones definidas respectivamente por: f(x) =
4. [ANDA] [JUN-B] Sea f la función definida por f(x) = xln(x+1) para x > -1 (ln denota logaritmo neperiano). Determina la primitiva
de f cuya gráfica pasa por el punto (1,0).
5. [ARAG] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1)3(x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1.
b) Determine el límite:
x3+2x+2
lim
3x2+x+1
x3+1
x+
6. [ARAG] [EXT-B] a) Dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = -x2+2, determine el área encerrada entre ambas funciones.
3
b) Calcule la integral:
x3
x2-2x+1
dx
2
7. [ARAG] [JUN-A] a) Usando el cambio de variable t = ln(x) determine el valor de la integral:
b) Determine el límite: lim (cos(x))
2
1
sen(x)
x0
1+3ln(x)+(ln(x))3
x(1-(ln(x))2)
dx
.
8. [ARAG] [JUN-B] a) Determine la integral:
x2sen(2x)dx.
b) Determine el área máxima que puede tener un rectángulo cuya diagonal mide 8 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del
ractángulo de área máxima?
9. [ASTU] [EXT-A] Calcule una primitiva de la función f(x) =
x3-3x+5
3
x
.
10. [ASTU] [EXT-B] a) Encuentre todas las funciones f(x) cuya segunda derivada es f''(x) = xex.
b) De todas ellas determine aquella cuya gráfica pasa por los puntos A(0,2) y B(2,0).
11. [ASTU] [JUN-A] Calcule
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2x3-3x2-2x-1
x2-x-2
dx
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12. [ASTU] [JUN-B] Considere la función f(x) =
1
- sen(x).
2
a) Dibuje el recinto acotado comprendido entre la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x = 0 y x =

.
2
b) Calcule el área del recinto anterior.
13. [C-LE] [EXT-A] a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x2-x+4 es paralela a la recta de
ecuación y = 5x-7.
b) Calcular el área delimitada por la parábola de ecuación y = 2x2 y la recta y = 2x+4.
14. [C-LE] [EXT-B] a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle.
b) Hallar la primitiva de f(x) = x2lnx cuya gráfica pasa por el punto (1,2).
15. [C-LE] [JUN-A] Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(1,0), que tiene por tangente
en el punto de abscisa x = 0 la recta de ecuación y = 2x+1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3.
ex
.
2
1+ex
a) Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OX. Escribe la ecuación de la recta
tangente.
b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas x = 0 y x = ln5.
16. [C-LE] [JUN-B] Sea la función f(x) =
17. [C-MA] [EXT-A] a) Esboza la región encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = senx, g(x) = -senx, y las rectas x = /2 y
x = 3/2.
b) Calcula el área de la región anterior.
18. [C-MA] [EXT-B] Calcula las integrales:
ex
x
e - e-x
dx,
2
4+x2
dx
Nota: En la primera integral puede ayudarte hacer el cambio de variable t = ex.
1
x2+x+1 e-xdx
19. [C-MA] [JUN-A] Calcula la integral definida
0
20. [C-MA] [JUN-B] Para cada c  2 definimos A(c) como el área de la región encerrada entre la gráfica de f(x) =
1+x2
x4
, el eje de
abscisas y las rectas x = 1 y x = c.
a) Calcula A(c).
b) Calcula lim A(c).
c+
21. [CANA] [EXT-A] Calcular las integrales indefinidas siguientes:
a)
b)
c)
5dx
(3x-1)2
x+4
1-x2
dx
(x+1)2
dx
2x
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22. [CANA] [EXT-B] Calcular el área de la región plana limitada por la curva y = x(x-2)(x-3) y la recta de ecuación y = 0.
23. [CANA] [JUN-B] Dadas las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x), se pide:

y x = .
4

y x = 2.
b) Calcular el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x) y g(x) y las rectas x =
4
a) Calcular el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x) y g(x) y las rectas x =
24. [CATA] [EXT] Se sabe que una función f tiene por derivada la función f'(x) = (3x-2)2(x-2).
a) Calcule los valores de x en los que la función tiene un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de inflexión, e indique en
cada caso de qué se trata.
b) Determine la función f sabiendo que se anula en el punto de abscisa x = 2.
25. [CATA] [JUN] Calcule el área de la región del plano limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las funciones y = x2,
y = 4x2 e y = 9.
e+1
x-2
26. [EXTR] [EXT-A] Calcule la siguiente integral definida de una función racional:
x2-3x+2
dx .
2
27. [EXTR] [EXT-B] a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y = x2-2 y la recta y = x.
b) Calcule el área de dicho recinto plano.
28. [EXTR] [JUN-A] Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f(x) = cos x, el eje OX y las rectas x = 0 y
x = 2.
2
-2
29. [EXTR] [JUN-B] Calcule la siguiente suma de integrales definidas
x
3
1
2
-senx·esenx + cos2x·esenx dx ,
dx +

cuyas integrales indefinidas asociadas son inmediatas.
x
1
+
, se pide:
x+1 x+4
a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas.
b) Calcular f'(x) y determinar los extremos relativos de f(x).
30. [MADR] [EXT-A] Dada la función f(x) =
1
c) Calcular
f(x)dx
0
31. [MADR] [EXT-B] Dada la función f(x) =
5senx 1
+
si x < 0
2x
2
, se pide:
a
si x = 0
xex + 3 si x > 0
a) Hallar, si existe, el valor de a para que f(x) sea continua.
b) Decidir si la función es derivable en x = 0 para algún valor de a.
ln5
c) Calcular la integral:
f(x)dx , donde ln denota logaritmo neperiano.
1
32. [MADR] [JUN-A] a) Sea f:    una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa x = -2 es un punto de
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inflexión de la gráfica de f(x) y que la recta de ecuación y = 16x+16 es tangente a la gráfica de f(x) en dicho punto, determinar:
f(-2), f'(-2) y f''(-2).
b) Determinaer el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función g(x) = x4+4x3 y el eje OX.
33. [MURC] [EXT-A] a) Calcule la integral indefinida
arctgxdx, donde arctagx denota la función arco-tangente de x.
b) De todas las primitivas de la función f(x) = arctgx, encuentre la que pasa por el punto de coordenadass (0,3).
34. [MURC] [EXT-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) =
lnx
.
x
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x =
35. [MURC] [JUN-A] a) Calcule la integral indefinida
1
y x = e.
e
tgxdx.
b) De todas las primitivas de la función f(x) = tgx, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,2).
36. [MURC] [JUN-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = xcosx.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = xcosx y el eje de abscisas entre x = 0 y x = .
37. [RIOJ] [EXT] Sean g y h las funciones tales que g(0) = 1, g'(x) = cos x2 , h(x) = g(x) 2, - < x <.
i) Halla el valor de h'(0).
ii) Calcula
x cos x2 dx.
38. [RIOJ] [JUN] Sea f(x) =
1-x
1- x
i) Calcula, si existe, lim f(x).
x1
ii) Halla
f(x)dx
39. [VALE] [EXT-A] Sea f la función real definida por f(x) = xex-3x. Se pide obtener razonadamente:
a) Los puntos de corte de la curva y = f(x) con el eje X.
b) El punto de inflexión de la curva y = f(x), así como la justificación de que la función f es creciente cuando x > 2.
c) El ára limitada por el eje X y la curva y = f(x), cuando 0  x  ln3, donde ln significa logaritmo neperiano.
40. [VALE] [JUN-A] Obtener razonadamente:
a) El valor de m para el cual la función f(x) =
m(x+1)e2x , x  0
es continua en x = 0.
(x+1)senx
, x>0
x
b) Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función (x+1)e2x.
c) La integral
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(x+1)e2xdx, y el área limitada por la curva y = (x+1)e2x y las rectas x = 0, x = 1 e y = 0.
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