LaTeX avanzado

Byron Francisco Martínez García
E
N los siguientes ejercicios se resuelven ecuciones diferenciales en derivadas ordinarias exactas.
Determiar si la ecuación es exacta, si lo es, resuélvala.
1. Resolver (2x − 1)dx + (3y + 7)dy = 0
Solución
Sea M (x, y) = 2x − 1 y N (x, y) = 3y + 7, saquemos las derivadas parciales de ambas
funciones
∂M
∂(2x − 1)
=
=0
∂y
∂y
∂N
∂(3y + 7)
=
=0
∂x
∂x
= ∂N
por tal motivo es una ecuación diferencial exacta.
Se cumple que ∂M
∂y
∂x
En consecuencia exite una función f (x, y) para la cual
M (x, y) =
∂f
∂x
y
N (x, y) =
2x − 1 =
∂f
∂x
y
3y + 7 =
Es decir
∂f
∂y
∂f
∂y
Integremos ahora la primera ecuación con respecto de x
Z
∂f
=
∂x
Z
(2x − 1)
f (x, y) = x2 − x + g(y)
Derivamos esta función con respecto de y, e igualamos el resultado a N (x, y)
g 0 (y) = 3y + 7
Integramos con respecto de y y obtenemos
3
g(y) = y 2 + 7y
2
Por lo tanto la solución viene dada por
3
f (x, y) = x2 − x + y 2 + 7y + c
2
2. Resolver (5x + 4y)dx + (4x − 8y 3 )dy = 0
Solución
Sea M (x, y) = 5x + 4y
y N (x, y) = 4x − 8y 3 derivemos parcialmente ambas funciones
∂M
=4
∂y
∂N
=4
∂x
Se cumple que ∂M
= ∂N
por tal motivo es una ecuación diferencial exacta.
∂y
∂x
Existe una función f (x, y) tal que
∂f
= 5x + 4
∂x
∂f
= 4x − 8y 3
∂y
y
Integremos la primera ecuación con respecto de x
Z
∂f
=
∂x
Z
(5x + 4)dx
5
f (x, y) = x2 + 4xy + g(y)
2
Determinamos la derivada parcial con respecto a y, e igualamos el resultado a N (x, y)
∂f
+ g 0 (y) = − 8y 3
=
4x
4x
∂y
g 0 (y) = −8y 3
Integramos con respecto de y
Z
Z
0
g (y) = −
8y 3 dy
g(y) = −2y 4
Por lo tanto una familia de soluciones es
5 2
x + 4xy − 2y 4 = c
2
dy
= 2xex − y + 6x2
3. Resolver x dx
Solución
Reescribiendo la ecuación tenemos
(2xex − y + 6x2 )dx − xdy = 0
Tenemos ahora que M (x, y) = 2xex − y + 6x2
ambas ecuaciones tenemos
y N (x, y) = −x derivando parcialmente
∂(2xex − y + 6x2 )
∂M
=
= −1
∂y
∂y
∂N
∂(−x)
=
= −1
∂x
∂x
Las derivadas parciales son iguales, por tal motivo es una ecuación diferencial exacta. Entonces existe una función f (x, y) para la cual
M (x, y) =
∂f
∂x
y
Es decir
2xex − y + 6x2 =
∂f
∂x
N (x, y) =
y
∂f
∂y
−x=
∂f
∂y
Integremos ahora la primera ecuación con respecto de x
Z
∂f
=
∂x
Z
(2xex − y + 6x2 )dx
f (x, y) = 2xex − 2ex − yx + 2x3 + g(y)
Determinamos la derivada parcial con respecto a y, e igualamos el resultado a N (x, y)
∂f
+ g 0 (y) = =
−x
−x
∂y
g 0 (y) = 0
lo que implica que
g(y) = c
Por tal motivo la familia de soluciones viene dada por
f (x, y) = 2xex − 2ex − yx + 2x3 + c
4. Resolver 1 −
3
x
+ y dx + 1 −
Solución
Sea M (x, y) = 1 −
3
x
+y
3
y
+ x dy = 0
N (x, y) = 1 −
y
3
y
∂M
=1 y
∂y
+ x derivamos parcialmente.
∂N
=1
∂x
Es una ecuación diferencial exacta porque sus derivadas parciales son iguales. Por tal razón
existe una función f (x, y) que cumple
∂f
= M (x, y) y
∂x
∂f
= N (x, y)
∂x
Sustituyendo
∂f
3
=1− +y
∂x
x
y
∂f
3
=1− +x
∂x
y
Integramos la primera ecuación con respecto de la variable x
Z
∂f
=
∂x
Z 3
1 − + y dx
x
f (x, y) = x − 3 log x + xy + g(y)
Derivamos esta función con respecto de la variable y e igualamos a N (x, y)
∂f
3
=
x + g 0 (y) = 1 − + x
∂y
y
Integramos ahora con respecto de y
Z
0
g (y) =
Z 3
1−
y
dy
g(y) = y − 3 log y + c
Por lo tanto la familia de soluciones viene dada por
f (x, y) = x − 3 log x + xy + y − 3 log y + c
Espero que este material de apoyo les haya servido de algo, próximamente habrá más archivos
para todos los niveles universitarios de matemática. Cualquier duda o sugerencia hacerla a la página
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