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Desarrollo social y educativo
Comprensión del valor de posición y composición
numérica
Nohemy Marcela Bedoya-Ríos*
Resumen
Introducción: se pretenden caracterizar las relaciones entre valor de posición y composición
aditiva y multiplicativa, suponiendo que una adecuada comprensión de la composición pue‑
de afectar la manera en que los niños entienden y manejan el valor de posición. Metodología: se utilizó un diseño pre‑post, con grupo control. En el pretest se presentaron tareas que
implicaban el uso del formato arábigo; la intervención se realizó a través de un protocolo de
preguntas aplicado a tareas de composición. Resultados: se identificaron diferencias signifi‑
cativas entre pre y post en las tareas de escritura y asignación de unidades, pero sólo en esta
última se encontraron diferencias significativas entre grupos. Conclusiones: se plantea que
el conocimiento sobre las operaciones de composición mejora la comprensión de los valores
asociados a las unidades de orden. Los procesos de escritura y comparación de magnitudes
parecen estar más relacionados con el conocimiento sobre reglas específicas de los formatos.
Palabras clave: comprensión, composición aditiva, composición multiplicativa, interven‑
ción, valor de posición.
Comprehension of the Value of Numerical Composition and Position
Abstract
Introduction: The aim is to characterize the relationships between attitudes and multiplicative position
and composition, assuming that adequate understanding of composition can affect how children un‑
derstand and handle the value of position. Methodology: A pre and post design with a control group
was used. In the pre‑test, tasks were presented that imply the use of the Arabic format. The intervention
used a protocol of questions applied to composition tasks. Results: Significant differences were found
between pre and post in tasks involving writing and the assignment of units, but significant differences
between groups were evident only in the latter aspect. Conclusions: The assertion is made that knowled‑
ge about composition operations improves understanding values associated with units of order. Proces‑
ses for writing and comparison of magnitudes appear to be more related to knowledge about specific
rules regarding formats.
* Magíster (c) en Psicología,
Universidad del Valle. Integrante
del Grupo de investigación
Matemática y Cognición, adscrito
al Centro de Investigaciones en
Psicología, Cognición y Cultura de
la Universidad del Valle.
Correo electrónico:
nohemy.marcela.bedoya@
correounivalle.edu.co
Recibido: 29 de enero del 2013
Aprobado: 6 de julio del 2013
Cómo citar este artículo: Bedoya-Ríos, N.
M. (2013). Comprensión del valor de posición
y composición numérica. Memorias 11(20),
99-110.
Keywords: comprehension, additive composition, multiplicative composition, intervention, value of
position.
Compreensão do valor de posição e composição numérica
Resumo
Introdução: pretendem-se caracterizar as relações entre valor de posição e composição aditiva e mul‑
tiplicativa, supondo que uma adequada compreensão da composição pode afetar a maneira na qual as
crianças entendem e lidam com o valor de posição. Metodologia: utilizou-se um desenho pré-pós, com
grupo de controle. No pré-teste, apresentaram-se tarefas que implicavam o uso do formato arábico;
a intervenção se realizou por meio de um protocolo de perguntas aplicado a tarefas de composição.
Resultados: identificaram-se diferenças significativas entre pré e pós nas tarefas de escrita e designação
de unidades, mas só nesta última se encontraram diferenças significativas entre grupos. Conclusões:
propõe-se que o conhecimento sobre as operações de composição melhora a compreensão dos valores
associados às unidades de ordem. Os processos de escrita e comparação de magnitudes parecem estar
mais relacionados com o conhecimento sobre regras específicas dos formatos.
Palavras-chave: compreensão, composição aditiva, composição multiplicativa, intervenção, valor de
posição.
100 Desarrollo social y educativo
Introducción1
En diferentes investigaciones se reporta que las mayo‑
res dificultades de los niños en las pruebas de logros
matemáticos están relacionadas con las características
operatorias del Sistema de Numeración en Base Diez
(snbd), es decir, sus dificultades se relacionan con un
inadecuado manejo de la composición y descompo‑
sición aditiva y multiplicativa del número (Canobi,
Reeve y Pattison, 2002; Krebs, Squire y Bryant, 2003;
Nunes y Bryant, 1997; Orozco, 2000; Saxton y Cakir,
2006). Por esta razón, se señala que para lograr una
adecuada comprensión del número natural por parte
de los estudiantes, se requiere fortalecer la enseñanza
de los procesos de composición implicados en los sis‑
temas de numeración.
Por otro lado, diferentes investigaciones han de‑
mostrado la importancia de que los niños compren‑
dan y manejen adecuadamente el concepto de valor de
posición del sistema de notación arábigo, ya que este
carácter posicional de los numerales escritos suele re‑
presentar una gran dificultad para los estudiantes y una
inadecuada comprensión de este principio puede en‑
contrarse en la base de muchos de los errores en la es‑
critura y realización de las operaciones aritméticas (Ho
y Cheng, 1997; Sinclair y Scheuer, 1993; Sullivan, Ma‑
caruso y Sokol, 1996).
Sin embargo, se han presentado pocos datos que
permitan establecer de manera clara cuál es el efecto
que los procesos de composición aditiva y multiplica‑
tiva tienen sobre la comprensión del número o sobre la
comprensión de los conceptos y reglas —como el valor
de posición— que fundamentan los formatos de repre‑
sentación numérica.
El presente estudio tiene como objetivo principal
caracterizar la relación de los procesos de composición
aditiva y multiplicativa en función de las demandas de
diferentes tareas que implicaban el uso del valor de po‑
sición, para determinar si las reflexiones realizadas en
la intervención sobre la composición aditiva y multipli‑
cativa del número —presentadas en formato verbal—
tienen algún efecto sobre el conocimiento y utilización
del valor de posición en tareas presentadas en forma‑
to arábigo. De esta manera, se parte de la hipótesis de
1
Artículo resultado del proyecto de investigación “Caracterización
de las relaciones entre la composición aditivo-multiplicativa y la com‑
prensión del valor de posición”, dirigido por la profesora Yenny Otálora
Sevilla y financiado por Colciencias y la Universidad del Valle en el mar‑
co del programa Jóvenes Investigadores e Innovadores 2009.
Memorias / Volumen 11, Número 20 / julio - diciembre 2013
que el conocimiento del niño sobre las operaciones de
composición del snbd afecta su comprensión del valor
de posición del sistema de notación arábigo.
Teniendo esto en consideración, a continuación
se presenta una breve revisión teórica de los conceptos
de composición del snbd y valor posicional propio del
formato arábigo.
Sobre la comprensión del número
Para Lerner y Sadovsky (1994), la comprensión cons‑
tituye un proceso que se encuentra relacionado con la
apropiación de un objeto de conocimiento. Esto implica
acceder a sus reglas de funcionamiento, tener la posibi‑
lidad de utilizarlo en todos los contextos pertinentes y
poder relacionarlo con otros objetos de conocimiento.
Desde esta perspectiva, comprender un número implica
no sólo relacionar una determinada cantidad con algún
tipo de representación —como podrían ser las palabras
número— sino también poder establecer relaciones de
este número con otros, entender su funcionalidad en
campos como la medición y estar en capacidad de ope‑
rar con él, comprendiendo las implicaciones de dichas
operaciones y las razones que las sustentan —reglas de
funcionamiento— a partir de su estructura.
Pape y Tchoshanov (2001) proponen que los estu‑
diantes comprenden los conceptos matemáticos cen‑
trales a través del uso y creación de diferentes tipos
de representaciones. Definiendo el concepto de repre‑
sentación —dentro del dominio matemático— como
“una abstracción de las ideas matemáticas o un esque‑
ma cognitivo que se desarrolla para aprender a través
de la experiencia” (Pape y Tchoshanov, 2001, p. 119).
Estos autores plantean una serie de interacciones entre
las representaciones externas del medio e internas del
sujeto, que le permiten aprender sobre las característi‑
cas del número o sobre las operaciones aritméticas en
su contexto escolar y cotidiano. Resaltan que a través de
la interacción social es como los niños aprenden acer‑
ca de los conceptos matemáticos, construyendo “imá‑
genes mentales” para algunos conceptos básicos como
la numerosidad en un conjunto de objetos.
La propuesta de Fuson sobre cómo se produce la
comprensión del número en el niño se resume en su mo‑
delo tríadico Ct-piv (Fuson, et al., 1997; Fuson, 1998). En
él se propone que la comprensión del niño sobre los nú‑
meros se relaciona con el proceso de construcción de sig‑
nificados numéricos que surgen a partir de la formación
de vínculos entre los distintos formatos de representa‑
Comprensión del valor de posición y composición numérica
ción del número. Así, la autora propone cinco estructu‑
ras conceptuales —y una concepción alternativa— que
representan las diferentes formas en que un niño puede
comprender el número, dependiendo del tipo de rela‑
ciones que ha logrado establecer entre las notaciones, las
palabras número y los referentes de cantidad.
A pesar de que este modelo permite dar cuenta
tanto de los componentes de la comprensión como de
los procesos vinculados a ella, es claro que la autora ha
centrado su trabajo en lograr que los niños compren‑
dan correctamente el sistema de notación y sus carac‑
terísticas más que en las propiedades y operaciones que
constituyen el snbd, que va más allá de los formatos de
representación. Por esta razón, elementos de esta cons‑
trucción como las relaciones de equivalencia o de com‑
posición aditiva no son considerados.
En esta dirección, varias de las investigaciones rea‑
lizadas (Nunez y Bryant, 1997; Krebs, Squire y Bryant,
2003) se han dirigido a explorar la comprensión de los
niños sobre los sistemas de numeración escritos y ver‑
bales, resaltando el papel de algunos conceptos funda‑
mentales como la composición aditiva y el concepto de
unidad. Estos conceptos son considerados por estos au‑
tores como invariantes de los sistemas de numeración,
razón por la que para Nunez y coloboradores compren‑
der el número implica poder resolver problemas utili‑
zando el conocimiento sobre las invariantes en diferentes
situaciones. Desde esta propuesta, las invariantes de los
sistemas se encuentran en la base de toda comprensión
del número y pueden llegar a ser consideradas como pre‑
cursores en la comprensión del sistema de numeración
(Krebs, Squire y Bryant, 2003; Saxton y Kakir, 2006).
El presente trabajo se sitúa desde una perspecti‑
va de la comprensión del número cercana a la desa‑
rrollada por Nunez y Bryant (1997); sin embargo, el
tema central de esta investigación no es la compren‑
sión general del snbd, sino que intenta explorar la
comprensión de un concepto específico del sistema
de numeración arábigo, cuyas características serán
expuestas más adelante, y su relación con los proce‑
sos de composición aditiva y multiplicativa que son
descritos a continuación.
Operaciones de composición en el snbd
Como se mencionó anteriormente, algunos autores
han determinado que para poder utilizar adecuada‑
mente el snbd es necesario comprender los princi‑
pios matemáticos subyacentes a su estructura (Krebs,
101
Squiere y Bryant, 2003; Nunez y Bryant, 1997; Saxton
y Cakir, 2006). Estos principios son, primero, que las
unidades pueden ser de tamaños diferentes, segundo,
que cualquier entero positivo se puede descomponer
en otros dos o más que lo preceden en la lista ordinal
de números y, tercero, que se puede formar el mismo
número con diferentes combinaciones de tipos de uni‑
dades (Nunez y Bryant, 1997).
El primer principio mencionado es la organiza‑
ción del sistema en unidades de diferentes tamaños
(Nunez y Bryant, 1997). Este hace referencia a las dis‑
tintas unidades de orden que cambian en función de
la base del sistema. Por esta razón, en nuestro sistema
en base diez, cada vez que se conforma un grupo de
10 unidades de un mismo tipo se crea un nuevo tipo
de unidad que representa un orden mayor (Orozco y
Hederich, 2002). Por ejemplo, cuando se agrupan 10
unidades de uno, se conforma una nueva unidad de‑
nominada “decena” o al agrupar 10 unidades de diez se
forma una “centena”.
Es debido a esta propiedad que todo número pue‑
de ser expresado a través de potencias de 10, donde la
operación multiplicativa representa el producto entre
el número de unidades y su orden o potencia de 10 aso‑
ciada. Por ejemplo, en 500 encontramos cinco unida‑
des de cien, que pueden ser expresadas como 5x100 o
5x10². Esta última forma de representación constituye
una formalización matemática en la que los órdenes de
las unidades, en este caso las centenas, se explicitan a
través de las potencias de 10 en el sistema.
El segundo principio corresponde a la composi‑
ción aditiva del número. Esta es considerada una ca‑
racterística central del sistema, ya que cada número
está conformado por otros números. Por ejemplo, un
número como 18 puede componerse de otros núme‑
ros menores que al ser sumados dan como resultado
18 exactamente (17+1, 15+3, 10+8, etcétera). Así, todo
número natural con excepción del cero y el uno, es un
subproducto de la suma de dos o más números enteros
anteriores en su rango ordinal. Adicionalmente, auto‑
res como Saxton relacionan la comprensión de la com‑
posición aditiva del snbd con los procedimientos de
adición utilizados por los niños en la resolución de pro‑
blemas (Saxton y Cakir, 2006).
El tercer principio es el de equivalencia, según el
cual puede conformarse un mismo número o una mis‑
ma totalidad a partir de combinaciones de diferentes
unidades, por ejemplo, el valor total reunido en 10 mo‑
nedas de $100 es equivalente al valor reunido en 1 bi‑
llete de $1000.
102 Desarrollo social y educativo
El sistema de notación arábiga y el valor
de posición
El sistema que rige la escritura de numerales arábigos
es esencialmente un sistema posicional, en el que los
símbolos correspondientes a las cifras del 1 al 9, más
el símbolo especial 0, sirven para representar las can‑
tidades básicas y al yuxtaponerse son suficientes para
representar cualquier número. El valor de los dígitos
en un numeral es multiplicado por una potencia de la
base y las potencias son representadas por la posición
del símbolo en la cadena de dígitos. Esta última carac‑
terística permite descomponer el número en grupos
jerárquicos sobre la base (Lerner y Sadovsky, 1994;
Zhang y Norman, 1990).
Sin embargo, entender este funcionamiento repre‑
senta un gran reto para los niños durante su proceso de
aprendizaje. Diferentes investigaciones han reportado
las dificultades que tienen los estudiantes para mane‑
jar el valor de posición en tareas de escritura y lectu‑
ra de numerales (Tolchinsky y Karmiloff-Smith, 1992;
Scheuer, Sinclair, Merlo y Tièche, 2000; Orozco, 2002)
y las dificultades en los procedimientos de suma y res‑
ta asociados a un inadecuado manejo del valor de po‑
sición (Fuson y Briars, 1990; Fuson, 1998; Ho y Cheng,
1997). Pero siguen siendo pocos los estudios dirigidos
a establecer relaciones entre las dificultades en este pro‑
ceso de aprendizaje del valor de posición con el apren‑
dizaje de conceptos más generales propios del snbd;
por tal razón, es de interés fundamental en la presente
investigación abordar dicha problemática.
Metodología
Se utilizó un diseño pretest —intervención— postest, con
grupo control. Para el pre- y postest se aplicaron tres ta‑
reas dirigidas a evaluar la comprensión del niño sobre el
valor de posición. El proceso de intervención se realizó
a partir del uso de un protocolo de preguntas aplicadas
en dos tareas de composición —tarea de la tienda y tarea
de composición con fichas—; ambas fueron aplicadas en
formato verbal buscando que no se presentaran efectos
asociados al trabajo directo sobre el formato arábigo.
Participantes
Se seleccionaron al azar 45 niños de segundo de pri‑
maria, en dos escuelas públicas de Cali, de estrato so‑
Memorias / Volumen 11, Número 20 / julio - diciembre 2013
cioeconómico medio. Inicialmente, se les presentaron
las tareas del pretest y luego fueron divididos en dos
grupos, un grupo control y un grupo experimental
con el que se desarrolló un proceso de intervención.
La asignación de los estudiantes al grupo experimen‑
tal tuvo como criterio los resultados del logro en la
tarea de escritura, aquellos niños con menos del 10%
de acierto o con más del 85% no fueron considerados
para el proceso de intervención. Finalmente, cada gru‑
po contó con la participación de 21 estudiantes.
Instrumentos de recolección de datos
Tareas de valor de posición. Evaluaciones pre y post:
a. Tarea de asignación de unidades de orden.2 Con‑
siste en la presentación de un numeral con el mis‑
mo dígito en al menos dos posiciones diferentes y un
conjunto de barras de fichas de colores que deben ser
colocadas debajo de cada dígito de acuerdo con su res‑
pectivo valor.
b. Tarea de comparación de magnitudes. Evalúa de
manera independiente el sistema de compresión del
formato arábigo, en tanto que requiere de una repre‑
sentación de las cantidades sin producción numérica
(Noel y Serón, 1993; Sinclair y Scheuer, 1993). Consis‑
te en la presentación de parejas de numerales arábigos,
en las que el niño debe seleccionar el numeral mayor y
justificar su elección.
c. Tarea de escritura de numerales arábigos. Eva‑
lúa de forma independiente el sistema de producción
de numerales arábigos (Noel y Serón, 1993). Consiste
en el dictado de numerales que el niño debe escribir en
formato arábigo.
Tareas de composición aditiva y multiplicativa.
Proceso de intervención:
a. Tarea de la tienda. Adaptación de la tarea de la
tienda utilizada por Nunez y Bryant (1997). El objetivo
de la situación es presentar un contexto cotidiano en el
que el niño debe reunir un monto de dinero a través de
la combinación de diferentes tipos de unidades. El en‑
trevistador presenta la actividad como un juego en el
que el niño podía comprar algunos de los objetos que
se encontraban en la “tienda”; para esto se le ofrece un
2
Desarrollada en el grupo Matemática y Cognición en el marco del
proyecto “Prueba piloto a escala real para la evaluación del aprendizaje
de los numerales en comunidades escolares”.
Comprensión del valor de posición y composición numérica
conjunto de monedas de diferentes denominaciones (1,
50, 100, 200 y 500), que en total exceden el precio de
cada objeto.
b. Tarea de composición con fichas de valor. Se tra‑
ta de una tarea clásica en la que el niño debe componer
un numeral combinando fichas de distintos valores. Se
presenta al niño una serie de fichas y el entrevistador
explicita el valor de las mismas. Posteriormente se le
pide al niño que organice las fichas de forma tal que
reúna x en total.
En ambas tareas se le permitió al niño reorgani‑
zar las fichas o monedas cuantas veces fuera necesario
hasta que lograra componer el numeral o pagar el pre‑
cio exacto del objeto.
Variables de los numerales
En primer lugar, se tomó como variable el rango de
presentación de los numerales en todas las tareas. Se‑
gún las disposiciones del men, los niños de segundo de
primaria deben aprender los numerales en el rango de
las centenas —rango propio entre 100 y 999— y, para
explorar el nivel de comprensión de los niños, se selec‑
cionó un rango numérico que no dominaban —rango
superior entre 1000 y 9999—.
La segunda variable considerada fue el tipo de nu‑
meral presentado, pero debido a las diferencias entre
las tareas se hizo necesario definir las condiciones co‑
rrespondientes en cada una de ellas. En la tarea de asig‑
nación se presentaron dos categorías: un dígito (p. e.
999) y dos dígitos (656). En la tarea de escritura se tra‑
bajó con tres categorías: nudo (p. e. 800), cero inter‑
medio (p. e. 209) y sin cero (p. e. 634). Finalmente, en
comparación de magnitudes se tomaron tres catego‑
rías: diferente magnitud (p. e. 126‑89), cero interme‑
dio (p. e. 540‑504) y sin cero (p. e. 356‑278).
Protocolo de preguntas
A partir de la actividad realizada por el niño en cada ta‑
rea, se generan una serie de preguntas dirigidas a que ex‑
plicite y reflexione sobre las relaciones de composición
aditiva y multiplicativa existentes entre las unidades de
valor utilizadas, a partir de una revisión conjunta de la
configuración hecha por el niño. Este protocolo incluía
tres clases de preguntas: las preguntas multiplicativas,
realizadas para cada unidad de orden independiente‑
mente; las preguntas aditivas, dirigidas a establecer las
103
relaciones entre las diferentes unidades de orden, y las
preguntas de comparación de totales, que permitían de‑
terminar si el valor total de las fichas o las monedas uti‑
lizadas correspondía o no con el numeral o precio dado
por el entrevistador. Estas preguntas se realizaron para
cada nueva configuración, es decir, para cada intento de
resolución del niño en un mismo numeral.
Procedimiento
Cada niño fue evaluado individualmente en un espa‑
cio distinto al salón de clase. El intervalo de tiempo
entre pre- y postest fue de tres semanas y se aplicaron
las mismas tareas, con ítems análogos, en orden aleato‑
rio. Para la intervención se realizaron dos sesiones con
cada niño; en cada sesión se presentaba una de las ta‑
reas de composición anteriormente descritas. El orden
de presentación de las tareas fue contrabalanceado. La
presentación inicial de la tarea se hizo en rango nu‑
mérico propio y dependiendo del desempeño de cada
niño se avanzó al rango superior.
Análisis de datos
Los datos fueron analizados por el logro en las tareas du‑
rante el pre- y el postest. El objetivo de este análisis era
establecer si existían diferencias significativas entre prey el postest, y determinar el efecto de la intervención. Un
segundo análisis exploró los cambios en la comprensión
de cada tarea, comparando los tipos de estrategias utili‑
zadas por los niños en el pre- y el postest.
Para el primer análisis, se estableció una puntua‑
ción para el logro en cada tarea, asignando un punto
por cada ítem resuelto correctamente. Para el segundo
análisis, se categorizaron los desempeños de los niños
a partir de las estrategias de resolución identificadas. A
continuación (tablas 1, 2 y 3) se presenta una breve des‑
cripción de las estrategias identificadas en cada tarea.
104 Desarrollo social y educativo
Memorias / Volumen 11, Número 20 / julio - diciembre 2013
Tarea de asignación de unidades de orden:
Tarea de comparación de magnitudes:
Tabla 1. Estrategias tarea de asignación de unidades de orden
Tabla 3. Estrategias tarea de comparación de magnitudes
Nombre
Organización
al azar
Descripción
El niño organiza las fichas indiscriminadamente.
Secuencia de
colores
Organiza las fichas siguiendo la secuencia de colo‑
res dispuesta en el tablero. Sin tomar en cuenta los
valores de las fichas o su cantidad.
Incremento no
canónico
Organiza las fichas de menor valor en la primera
posición de la izquierda del numeral y aumenta los
valores en las posiciones de la derecha.
Organiza las fichas teniendo como criterio el valor
nominal del dígito en relación con la cantidad de
Valor nominal
fichas contenidas en las barras. Esta estrategia no
aplica para los numerales con un mismo dígito en
todas las posiciones.
Organiza las fichas considerando la relación entre
Valor de
el valor de las fichas y el valor de posición del dígito
posición parcial en algunas unidades, mientras que en otras utiliza
criterios diferentes.
El niño considera la relación entre el valor de las
Valor de
fichas y el valor de posición de un dígito en el
posición total
numeral, representando correctamente todas las
unidades de orden.
Fuente: elaboración propia
Tarea de escritura de numerales (Orozco, Guerre‑
ro y Otálora, 2007):
Tabla 2. Estrategias tarea de escritura de numerales
Nombre
Descripción
Nudo impropio
Escribe un numeral nudo diferente a la expresión
verbal dada. Por ejemplo, se dicta “cuatrocientos” el
niño escribe “40000” o “40”.
Yuxtaposición
Escribe literalmente numerales que codifican frag‑
mentos de la expresión verbal, uno al lado del otro.
Por ejemplo, se dicta “cuatrocientos ochenta y tres”
el niño escribe “400803” o “40083”.
Compactación
Escribe numerales que codifican fragmentos de la
expresión verbal, sobrescribiendo los numerales
de orden inferior en el último o dos últimos ceros
del numeral de orden superior. Por ejemplo, se
dicta “cuatrocientos ochenta y tres”, el niño escribe
“4083” o “41083”.
Concatenación
Escribe únicamente los dígitos correspondientes a
las marcas de cantidad de la expresión verbal, omi‑
tiendo los ceros. Por ejemplo, se dicta “cuatrocien‑
tos tres” el niño escribe “43”.
Composición
El niño escribe los dígitos que codifican las marcas
de cantidad de la expresión verbal, conservando las
posiciones dadas por las marcas de potencia. Por
ejemplo, se dicta “cuatrocientos tres” el niño escribe
“403”.
Fuente: Orozco, Guerrero y Otálora, 2007
Nombre
Descripción
Cantidad de
dígitos
Compara los numerales con respecto a la cantidad
de dígitos.
Valor nominal
Se compara el numeral por partes, independiente‑
mente del lugar que ocupen esas partes.
Cardinalidad
Compara los numerales como un todo o compara
fragmentos del numeral. Alude a categorías genera‑
les como “más”, “grande” o “pequeño”.
Ordinalidad
Compara los numerales estableciendo una relación
de orden entre ambos o haciendo referencia a la
posición de los números en la secuencia de conteo.
Valor de
posición
Compara el numeral dígito a dígito, comparando
únicamente dígitos en las mismas posiciones y
haciendo referencia a la posición de las mismas o al
valor de ese dígito en dicha posición.
Fuente: elaboración propia
Resultados
Los resultados de logro en el pretest muestran que en la
tarea de escritura (ver tabla 4) los estudiantes del grupo
intervención alcanzaron una puntuación media de 5,6.
En la tarea del puntaje medio fue de 6,1. En la tarea de
asignación de unidades de orden la puntuación media
de este grupo fue de 3,8.
Tabla 4. Distribución del logro por tarea
Pretest
Escritura
Comparación
Asignación de
unidades
Postest
Media
D. T.
Media
D. T.
Control3
7,7
4,2
8,1
4,1
Intervención
5,6
3,2
6,7
3,8
Control
6,5
1,5
6,5
1,5
Intervención
6,1
1,4
6,6
1,2
Control
1,9
2,0
2,7
2,2
Intervención
1,5
1,6
3,8
1,8
Fuente: elaboración propia
Los resultados del grupo intervención en el postest
muestran que la media en la tarea de escritura fue de 6,7
aciertos. En la comparación de magnitudes, la puntua‑
ción media fue de 6,6; mientras que en la tarea de asig3 Como se mencionó anteriormente, los niños del grupo intervención
debían cumplir con unos requisitos mínimos para ser asignados a dicho
grupo. Esto generó diferencias entre las puntuaciones medias de ambos
grupos, especialmente en la tarea de escritura, donde la media de las
puntuaciones de los niños del grupo control fue más alto que el prome‑
dio del grupo intervención. Sin embargo, una prueba t para muestras
independientes determinó que las diferencias entre grupos en el pretest
no eran significativas en ninguna de las tareas.
Comprensión del valor de posición y composición numérica
nación de unidades de orden el puntaje medio fue de
3,8. Se observan diferencias entre las puntuaciones del
pre- y el postest en las tres tareas, con una tendencia al
aumento del logro en el postest. Los análisis mostraron
diferencias significativas entre los resultados del pre- y
postest en el grupo intervención en las tareas de escritura (t(20) = -2,578; p < 0,05) y asignación de unidades
de orden (t(20) = -6,033; p < 0,05). En el grupo control
no se encontraron diferencias significativas en ningu‑
na de las tareas.
Finalmente, se realizó una prueba de los efec‑
tos de la intervención en cada tarea, se compara‑
ron las diferencias del postest entre grupos, teniendo
como criterio las puntuaciones del pretest. Este aná‑
lisis mostró diferencias significativas entre grupos en
la tarea de asignación de unidades de orden (ancova
F (1,39) = 5,461; p < 0,05), mientras que en escritura y
comparación de magnitudes las diferencias resultaron
no ser significativas.
En un análisis posterior, se tomó en consideración
la variable del rango numérico. Durante el pretest, la
media del logro del grupo intervención en rango pro‑
pio fue de 3,7 en la tarea de escritura, 3,3 en comparación de magnitudes y 0,9 en asignación de unidades de
orden. Los resultados en rango superior en este mismo
grupo durante el postest indican un leve descenso en el
logro: 2,0 en escritura, 3,0 en comparación de magnitudes y 0,6 asignación de unidades de orden. Estos resul‑
tados y los resultados del grupo control se describen
en la tabla 2.
Tabla 2. Distribución del logro en función del rango numérico
Pretest
Intervención
Postest
Control
Rango
Propio
Rango
Superior
Tarea
Media
D. T.
Media
D. T.
Escritura
3,7
2,2
2,0
1,5
Comparación 3,3
0,9
3,0
0,8
Fichas
0,9
0,9
0,6
0,9
Escritura
4,2
2,1
2,7
1,9
Comparación 3,5
0,8
3,0
0,7
Fichas
2,0
0,9
1,6
1,2
Escritura
4,2
2,3
3,4
2,1
Pretest
Comparación 3,4
0,9
3,1
0,9
Fichas
1,1
1,0
0,9
1,3
Escritura
4,5
2,2
3,7
2,0
Postest
Comparación 3,4
0,9
3,1
0,8
Fichas
1,1
1,3
1,3
Fuente: elaboración propia
1,6
105
Los análisis mostraron diferencias significativas
entre las puntuaciones del pre- y postest para la ta‑
rea de asignación de unidades de orden, en los rangos
numéricos propio y superior (t(20) = -4,298; p < 0,05 y
t(20) = -4,690; p < 0,05, respectivamente). En la tarea de
escritura se encontraron diferencias significativas sólo
en el rango superior (t(20) = -2,860; p < 0,05).
El segundo grupo de análisis tuvo como objetivo
identificar los cambios entre pre- y post- con respecto a
las estrategias utilizadas por los niños al resolver las ta‑
reas. Los resultados del grupo intervención en el pretest
en la tarea asignación de unidades señalan que cuando
se presentaron numerales con un mismo dígito en to‑
das las posiciones, los niños privilegiaron el uso de la
estrategia secuencia de colores (25%). La estrategia valor de posición total se presentó en el 19,7% de los ítems
y la estrategia valor nominal en el 18,4%. En la segunda
condición de presentación, numerales con dos dígitos
diferentes, los niños utilizaron estas mismas estrategias
en porcentajes mayores.
En el postest se observó un cambio en el uso de
estrategias. En los numerales con un mismo dígito, las
estrategias más frecuentes fueron valor de posición total (51,9%) y valor de posición parcial (22,2%). En el
caso de los numerales con dos dígitos diferentes, la es‑
trategia más utilizada fue valor de posición total, usada
el 66,7% de las veces (ver tabla 3). De esta manera, se
observa el aumento de la utilización de estrategias más
sofisticadas durante esta segunda prueba.
Tabla 3. Distribución de las estrategias en función del tipo de
numeral en la tarea de asignación
Pre
Post
Tipo de
Estrategia
numeral
Org. azar
Sec.
colores
No
canónico
Valor
nominal
V. P.
parcial
V. P.
total
un dígito
14,5%
25,0%
9,2%
18,4%
13,2%
19,7%
dos dígitos 8,0%
30,0%
4,0%
20,0%
8,0%
30,0%
un dígito
3,7%
9,3%
9,3%
1,9%
22,2%
51,9%
dos dígitos 1,4%
2,8%
4,2%
12,5%
12,5%
66,7%
Fuente: elaboración propia
En la tarea de escritura, inicialmente los tipos de
errores cometidos por los niños se diferenciaron en dos
categorías: errores léxicos y errores sintácticos (Mc‑
Closkey, 1992). Los primeros corresponden a aquellos
errores en los que se cambia uno o más dígitos del nu‑
meral sin alterar la estructura y la magnitud del mis‑
mo, por ejemplo, escribe “259” en lugar de “359”. Los
segundos son errores en los que se modifica la estruc‑
106 Desarrollo social y educativo
Memorias / Volumen 11, Número 20 / julio - diciembre 2013
tura del numeral, pues se eliminan o añaden dígitos,
por ejemplo, escribe “20048” en vez de “248”. Posterior‑
mente, se analizaron las diferentes estrategias en fun‑
ción de las alteraciones en la estructura sintáctica de los
numerales. En el caso del grupo intervención, los erro‑
res de tipo sintáctico representaron un 93,3% del total
de errores, mientras que en el grupo control el 83,3%
de los errores fueron de este tipo.
El análisis de las estrategias en el grupo interven‑
ción mostró que durante el pretest los niños utilizaron
con mayor frecuencia las estrategias composición (69%)
y nudo impropio (14,3%), cuando se presentaban nu‑
merales nudos (ver tabla 4). En los numerales con cero
intermedio las estrategias más utilizadas fueron la concatenación (31,7%) y la composición (31,7%). En los nu‑
merales sin cero, la estrategia de composición fue la más
utilizada (53,1%) y la estrategia yuxtaposición se pre‑
sentó en el 24,5% de los numerales.
En el postest se encontró, como característica ge‑
neral, que la estrategia de composición tiende a ser más
utilizada por los niños en los diferentes tipos de nume‑
rales: nudos (83%), cero intermedio (38,1%) y sin cero
(61,2%).
En la tarea de comparación de magnitudes, los re‑
sultados del pretest mostraron que cuando se pre‑
sentaron comparaciones de numerales con diferentes
magnitudes, los niños del grupo intervención privile‑
giaron el uso de la estrategia cantidad de dígitos (73,8%),
mientras que en las comparaciones que incluían nume‑
rales de una misma magnitud con ceros intermedios,
las estrategias más utilizadas fueron valor de posición
(40,5%) y cardinalidad (33,3%). En las comparaciones
de numerales sin cero, los niños utilizaron con mayor
frecuencia las estrategias valor de posición (34,5%) y ordinalidad (28,0%).
Los tipos de estrategias utilizadas por los niños du‑
rante el postest mantienen la misma lógica evidenciada
en el pretest. En las comparaciones con numerales de
magnitudes diferentes, la estrategia Cantidad de dígitos
fue la más utilizada (76,2%). En las comparaciones de
numerales con cero intermedio, la estrategia valor de
posición se presentó en el 38,1% de los ítems y la estra‑
tegia cardinalidad fue utilizada el 33,3% de las veces. En
las comparaciones de numerales sin cero, los niños usa‑
ron con mayor frecuencia las estrategias valor de posición (40,5%) y cardinalidad (25,0%).
Tabla 4. Distribución de las estrategias en función del tipo de numeral en la tarea de escritura
Pre
Post
Tipo de
Estrategia
numeral
Nudo impropio
Yuxtaposición
Compactación
Concatenación
Composición
Otra
Nudo
14,3%
2,4%
2,4%
7,1%
69,0%
4,8%
Cero intermedio
0,0%
19,0%
12,7%
31,7%
31,7%
4,8%
Sin cero
0,0%
24,5%
17,0%
2,0%
53,1%
3,4%
Nudo
9,5%
4,8%
2,4%
0,0%
83,3%
0,0%
Cero intermedio
0,0%
23,8%
4,8%
31,7%
38,1%
1,6%
Sin cero
0,0%
23,8%
13,6%
0,7%
61,2%
0,7%
Fuente: elaboración propia
Tabla 5. Distribución de las estrategias en función del tipo de comparación en la tarea de comparación
Pre
Post
Tipo de
Estrategia
comparación
Cant. dígitos
Valor nominal
Cardinalidad
Ordinalidad
Valor
de posición
Otra
Dif. Magnitud
73,8%
4,8%
7,1%
7,1%
7,1%
0,0%
Cero intermedio
0,0%
4,8%
33,3%
19,0%
40,5%
2,4%
Sin cero
0,0%
21,4%
15,5%
28,0%
34,5%
1,2%
Dif. Magnitud
76,2%
4,8%
11,9%
7,1%
0,0%
0,0%
Cero intermedio
2,4%
11,9%
33,3%
11,9%
38,1%
2,4%
Sin cero
0,0%
10,7%
25,0%
22,6%
40,5%
1,2%
Fuente: elaboración propia
Comprensión del valor de posición y composición numérica
Conclusiones
Las tareas del pre- y postest y las tareas de la interven‑
ción diferían tanto en el tipo de conocimiento matemá‑
tico implicado, como en el formato de representación
del número utilizado; sin embargo, ya que los procesos
de composición aditiva y multiplicativa son caracterís‑
ticas o propiedades generales del snbd, es posible es‑
perar que afecten el desempeño en tareas asociadas a
conceptos más específicos de los formatos.
En primer lugar, esta suposición parte de la idea
de que el valor de posición como regla constitutiva del
formato arábigo depende de las operaciones de poten‑
ciación dadas en el número; es decir, el valor de posi‑
ción de los dígitos en un numeral arábigo sirve para
representar el producto de las operaciones de compo‑
sición multiplicativa propias del snbd y su articulación
se relaciona con la composición aditiva, que permite
establecer las relaciones entre las distintas unidades de
orden (Orozco, 2000; Otálora, 2007). De esta forma,
no se trataba de una intervención directa sobre un de‑
terminado concepto o procedimiento, sino que se pre‑
tendía explorar la influencia de un conocimiento de los
principios generales del número sobre la comprensión
de un concepto específico.
A continuación se describen algunas de las carac‑
terísticas encontradas durante el pretest, para estable‑
cer la comprensión inicial de los niños sobre el valor de
posición. En cuanto a logro, la tarea de comparación de
magnitudes presentó las medias de acierto más altas con
respecto al número de ítems. Las estrategias más utiliza‑
das fueron cantidad de dígitos y valor de posición, esta úl‑
tima se utilizó principalmente para comparar numerales
con la misma cantidad de dígitos, ya sea con cero interme‑
dio o sin este. La estrategia cantidad de dígitos representa la
forma más básica de resolver la tarea, ya que simplemente
se debe reconocer que cuantos más dígitos hay, más “gran‑
de” o “mayor” es el numeral; por lo tanto, es el equivalente
de comparar el tamaño de dos colecciones pequeñas (dos,
tres o cuatro elementos). Sin embargo, esto no quiere de‑
cir que los niños reconozcan que la magnitud del nume‑
ral es mayor respecto a las diferentes unidades de orden.
Por su parte, la estrategia valor de posición hace referencia
a la comparación de los dígitos en el numeral de acuerdo
con la posición de los mismos. Estos resultados difieren de
los reportados por Sinclair y Scheuer (1993), quienes en‑
contraron un patrón de respuestas en el que los niños ten‑
dían a guiarse por el valor nominal de los dígitos, es decir,
por las cantidades básicas representadas por estos. Aun‑
107
que probablemente esto se deba a que los niños del pre‑
sente estudio son mayores y se encuentran en un grado de
escolaridad más alto.
Por otro lado, en la tarea de escritura se encontró
que el uso de las estrategias estaba asociado al tipo de
numeral presentado. Sin embargo, en términos gene‑
rales, la estrategia más utilizada es la de composición, la
cual conduce al acierto o a errores de tipo léxico. Adi‑
cionalmente, en los numerales con cero intermedio se
utiliza frecuentemente la estrategia de concatenación, y
en los numerales sin cero aparece un mayor uso de la
estrategia de yuxtaposición. En la estrategia de composición los niños logran articular correctamente sus pro‑
ducciones, representando las marcas de potencia del
numeral verbal a través de las posiciones en el numeral
arábigo, mientras que en la estrategia de concatenación
los niños tienden a escribir únicamente los dígitos que
representan las partículas de cantidad explícitas en el
numeral verbal, omitiendo la escritura de los ceros que
le permitirían mantener la magnitud del numeral (nú‑
mero de posiciones); por lo tanto, no respetan el valor
de posición (Orozco, Guerrero y Otálora, 2007). En la
estrategia de yuxtaposición los niños codifican literal‑
mente las partículas de potencia del numeral verbal y
por lo tanto no reconocen que estas se mantienen im‑
plícitas a través de las posiciones de los dígitos.
En la tarea de asignación de unidades de orden, se
encontró el menor nivel de logro y los análisis de las es‑
trategias muestran una alta variabilidad. Como tenden‑
cia general, se observa que los niños utilizan con mayor
frecuencia las estrategias secuencia de colores, valor nominal y valor de posición total, tanto en los numerales
con un mismo dígito en todas las posiciones como en
los numerales con dos dígitos diferentes. La estrategia
de secuencia de colores hace referencia al uso de un cri‑
terio externo a los componentes centrales de la tarea,
en la que los niños guían la organización de las fichas a
partir del orden en el que aparecían los colores en el ta‑
blero. Esto indica que los niños no establecen relacio‑
nes de tipo numérico entre los elementos del material
(barras de fichas) con el numeral arábigo presentado.
La estrategia de valor nominal da cuenta del uso
de la cantidad básica representada en los dígitos, como
criterio fundamental utilizado en la organización del
material; en este caso el numeral arábigo es considera‑
do para la resolución de la tarea. Sin embargo, es tra‑
tado como una concatenación de dígitos simples que
representan cantidades y que no se asocian a un deter‑
minado valor de las unidades del sistema (1, 10, 100 ó
1000) (Fuson, 1998; Fuson et al., 1997). En la estrategia
108 Desarrollo social y educativo
de valor de posición total los niños logran establecer las
relaciones pertinentes para resolver la tarea con éxito,
determinando que el valor nominal del dígito represen‑
ta la cantidad de fichas que deben utilizarse y que su po‑
sición indica el valor de las fichas correspondientes. Sin
embargo, esta estrategia es poco frecuente.
En general, se observa que los niños son capaces
de utilizar adecuadamente el valor de posición como
una regla del formato arábigo, que les indica, por ejem‑
plo, que el primer dígito de un numeral es el de mayor
valor y que sólo deben compararse dígitos que ocupen
“un mismo lugar” en ambos numerales. Pero en situa‑
ciones en las que deben asignar un valor específico a un
dígito en el numeral, explicitando las potencias del mis‑
mo, se presenta una tendencia a asociar el valor de cada
dígito únicamente con el número de unidades simples
que representa, es decir, a relacionarlo con las cantida‑
des básicas de 1 a 9, desconociendo de esta manera que
los dígitos poseen un doble valor, el del número de uni‑
dades y el del orden de las unidades que está implícito
en la posición que ocupa un dígito en la cadena (Oroz‑
co, 2000; Orozco, Guerrero y Otálora, 2007).
Estos resultados se encuentran en la misma direc‑
ción que los reportados por Otálora (2007), quien en‑
contró que los niños de primero y segundo de primaria
presentaban niveles bajos de comprensión numérica,
en los que se privilegiaba la composición unitaria del
número, es decir, los numerales de dos o más dígitos
eran tratados como una yuxtaposición de dígitos inde‑
pendientes que representaban un valor nominal. Des‑
de la propuesta de Fuson (1998), estos hallazgos dan
cuenta de una inadecuada significación de las relacio‑
nes entre las características y reglas de los formatos, en
la que los niños construyen una estructura conceptual
de dígitos simples concatenados. Ella afirma que esta es
una construcción errónea a la que los niños llegan en
gran medida a través de una enseñanza inadecuada del
valor de posición en la que se resalta la “segmentación”
del numeral en columnas (Fuson y Briars, 1990; Fuson
et al., 1997; Fuson, 1998).
Una vez realizado el proceso de intervención, se
llevó a cabo un análisis comparativo intra- e intergrupo
de los resultados postest en relación con el pretest, para
determinar cuáles eran los efectos de la intervención
sobre la comprensión del valor de posición. Se encon‑
tró que en la tarea de comparación de magnitudes no
había diferencias significativas entre los resultados del
pre- y post- en ninguno de los grupos, ni entre grupos.
Adicionalmente, no se observan diferencias en los tipos
de estrategias utilizadas para resolver esta tarea. Por lo
Memorias / Volumen 11, Número 20 / julio - diciembre 2013
tanto, se puede afirmar que el proceso de intervención
en composición aditiva y multiplicativa no tuvo nin‑
gún efecto sobre el desempeño de los niños en esta ta‑
rea. Podría argumentarse que esta tarea exige un nivel
de explicitación del valor de posición que no es influen‑
ciado por la intervención que se realiza sobre los pro‑
cesos de composición a partir de numerales en formato
verbal. Por otro lado, en uno de sus trabajos, Sinclair y
Scheuer (1993) afirman que el éxito en esta tarea “no
depende o no se relaciona con alguna intuición sobre
el valor de posición… y tiene el estatus de un princi‑
pio o regla aislada” (p. 218). Por lo tanto, aun cuando
la intervención en composición aditiva y multiplicati‑
va tuviera algún efecto sobre la comprensión del valor
de posición, este efecto no podría ser visto a través del
desempeño en esta tarea.
En la tarea de escritura se encontraron diferencias
significativas en los resultados del grupo intervención
(t(20) = -2,578; p < 0,05), más específicamente en el ran‑
go superior (t(20) = -2,860; p < 0,05). Sin embargo, en
un análisis de covarianza se encontró que las diferen‑
cias entre el grupo control y el grupo intervención no
eran significativas (ancova F (1,39) = 1,255; p < 0,05).
Esto indica que el aumento en las puntuaciones en la ta‑
rea de escritura del grupo experimental durante el pos‑
test no se encuentra necesariamente relacionado con
el proceso de intervención, sino que puede asociarse a
otros factores. Es probable que la presentación del pre‑
test tenga un efecto sobre las puntuaciones del postest,
haciendo que estas se incrementen durante la segun‑
da aplicación. Adicionalmente, el único cambio que se
evidencia en los tipos de estrategias utilizadas es el in‑
cremento de la estrategia de composición en los nume‑
rales nudos durante el postest.
En este sentido, los resultados parecieran apoyar
la discusión propuesta por Orozco, Guerrero y Otálo‑
ra (2007), quienes afirman que desde una perspectiva
del modelo ideal la utilización del sistema de notación
(escritura de numerales arábigos) “exige utilizar ope‑
raciones de composición y descomposición de tipo
aditivo y multiplicativo” (p. 152). Sin embargo, la es‑
critura real de los niños no se rige por los operadores
de suma y multiplicación. Para estos autores, los niños
en su escritura fragmentan las expresiones numéricas
que escuchan y las codifican a partir de su experiencia
en segmentos que les resultan familiares, uniéndolos a
través de diferentes relaciones de contigüidad (Orozco,
Guerrero y Otálora, 2007).
En la tarea de asignación de unidades de orden, los
análisis mostraron diferencias significativas entre el lo‑
Comprensión del valor de posición y composición numérica
gro en el pre- y postest del grupo intervención (t (20) =
‑6,033; p < 0,05), mientras que en el grupo control no
se encontraron diferencias significativas. En el poste‑
rior análisis de covarianza se encontraron diferencias
significativas entre grupos (ancova F (1,39) = 5,461;
p < 0,05). Adicionalmente, en el análisis de las estrate‑
gias se evidenció en el postest una tendencia a utilizar
estrategias de resolución más sofisticadas, en las que se
toma en cuenta el valor de posición en algunas o todas
las unidades del numeral arábigo. Estos resultados per‑
miten afirmar que los cambios encontrados en esta tarea
se encuentran directamente relacionados con el proceso
de intervención. Se evidencia que el cambio en el logro
—mayor nivel de acierto en el postest— está relacionado
con la utilización de estrategias de resolución, en las que
se emplea el valor de las fichas para representar el valor
de las diferentes unidades de orden en el numeral, com‑
prendiendo en la actividad que la posición de los dígitos
permite determinar el valor correspondiente.
Como ya se ha mencionado, para algunos autores
el conocimiento sobre las operaciones de composición
es la base que sustenta la comprensión del número y
más específicamente del snbd (Krebs, Squire y Bryant,
2003; Nunez y Bryant, 1997; Saxton y Cakir, 2006). Sin
embargo, es probable que el conocimiento del niño
sobre las reglas específicas de los formatos le permi‑
ta resolver adecuadamente tareas como la escritura de
numerales en rango propio y la comparación de magni‑
tudes, debido a que estas tareas exigen utilizar el forma‑
to arábigo, sin que se requiera una explicitación de las
potencias o las unidades de orden asociadas a cada dí‑
gito. Mientras que en tareas que exploran la compren‑
sión del niño sobre el valor de posición, a través del
establecimiento de relaciones especificas entre los dígi‑
tos y los valores asociados a cada unidad de orden, se
evidencian mayores dificultades en su resolución. No
obstante, una vez los niños entienden el funcionamien‑
to de las operaciones de composición aditiva y multi‑
plicativa en el número, se observan grandes cambios en
el abordaje de este tipo de tareas.
Del mismo modo se debe enfatizar que no se trata
de un efecto de las reglas del formato, ya que el proceso
de intervención se realizó a partir de estímulos verba‑
les. Se observa entonces la capacidad de los niños para
trasferir el conocimiento sobre principios generales a
casos específicos. Para finalizar, es preciso señalar que
aun cuando no era uno de los objetivos de este trabajo,
se observaron dificultades para poder establecer clara‑
mente cuál es la relación entre la comprensión de las
operaciones de composición con el proceso de transco‑
109
dificación —escritura de numerales—. Esta es una rela‑
ción que debe ser explorada en futuras investigaciones.
Del mismo modo, se debe enfatizar que debido a
las limitaciones del estudio, no es posible generalizar
estas conclusiones. No obstante, es posible identificar
la posibilidad de generar pequeños cambios en la for‑
ma en que algunos niños comprenden y se representan
el número a partir de una reflexión y explicitación de
los procesos de descomposición y composición de los
numerales, hecho que no sólo señala un aspecto para
seguir siendo estudiado, sino que también pone de re‑
lieve la necesidad de reconsiderar estos conceptos y la
forma en que son abordados en los procesos de ense‑
ñanza escolar.
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