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ENSAYO PSU
PRUEBA DE MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES
1.-
Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5
opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las
cuales es la respuesta correcta.
2.-
Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.-
Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se
le ha entregado. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones
contenidas en esa hoja. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.
4.-
Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta
que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse
de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.
5.-
Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas N°74 a
N°80, que se encuentran a continuación de la pregunta N°73. ESTAS
INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.
6.-
No se descontarán del puntaje las preguntas erróneas.
7.-
Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar
oportunamente sus respuestas a la hoja, ya que NO habrá tiempo extra para ello.
Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las
respuestas marcadas en dicha hoja.
8.-
Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba
en ella solamente los datos pedidos y las respuestas.
9.-
Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.
10.-
Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON
DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá
que se entreguen los resultados.
11.-
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
12.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas
a escala.
.
MATEMÁTICA
.
–
ENSAYO
FIRMA
1
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar
durante el desarrollo de los ejercicios.
2. Las figuras que aparecen en este ensayo son solo indicativas.
3. Los gráficos que se presentan en este ensayo están dibujados en un
sistema de ejes perpendiculares.
4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al
lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
5. En este ensayo, las dos opciones de una moneda son equiprobables de
salir, a menos que se indique lo contrario.
6. Los números complejos i y −i son las soluciones de la ecuación
x2 + 1 = 0.
7. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es su
módulo.
8. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ~ N ( 0,1) y donde la
parte sombreada de la figura representa a P ( Z ≤ z ) , entonces se verifica
que:
ia
rc
pa
o
l
ta
to
n
ció
uc
od
pr
re
su
a
id
ib
oh
Pr
.
ile
Ch
de
a
lic
tó
Ca
ad
sid
er
iv
Un
a
ci
ifi
nt
Po
la
de
d
da
ie
op
pr
es
l
ia
l.
2
ENSAYO
er
MATEMÁTICA
at
0,749
0,839
0,841
0,875
0,900
0,950
0,975
0,977
0,985
0,990
0,995
m
0,67
0,99
1,00
1,15
1,28
1,64
1,96
2,00
2,17
2,32
2,58
te
P (Z ≤ z)
Es
z
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
<
>
≤
≥
es
es
es
es
menor
mayor
menor
mayor
que
que
o igual a
o igual a
ángulo recto
∢
ángulo
log logaritmo en base 10
φ
conjunto vacío
ln
∪
A
c
logaritmo en base e
unión de conjuntos
complemento del conjunto A
≅
~
⊥
≠
//
es
es
es
es
es
congruente con
semejante con
perpendicular a
distinto de
paralelo a
∈
pertenece a
AB trazo AB
valor absoluto de x
x
x!
∩
u
factorial de x
intersección de conjuntos
vector u
3
1.
4,2
0, 99
+
=
−1
0, 6
0,3
( )
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3.
22
3
10
1
70,3
10,3
¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
A)
0,13 = 0,1
B)
0,6 = 6−1
C)
D)
E)
0,22 = 0, 4
0,3 − 0,5 = 0,2
0, 6 ÷ 0,3 = 2
Con respecto a un número de tres cifras A, B y C, donde C es la cifra de
las centenas, B es la cifra de las decenas y A es la cifra de las unidades,
es correcto afirmar que el número
I) es divisible por 3 si A + B + C es múltiplo de 3.
II) es múltiplo de 5 solo si A = 5 .
III) es divisible por 6 cuando A es un múltiplo de 6.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y II
I y III
MATEMÁTICA
ENSAYO
4
4.
5.
¿Cuál es la medida de cada segmento resultante, en metros, si un
segmento de 60 km se reparte en 250 partes iguales?
A)
24 ⋅ 102
B)
2, 4 ⋅ 10−2
C)
0,24 ⋅ 104
D)
2, 4 ⋅ 102
E)
240 ⋅ 10−1
En el casino del colegio el día lunes, cuando almorzó el primer turno de
alumnos (que corresponde a la mitad de los alumnos), sobró solo la
décima parte de la fuente de pollo asado. Entonces los cocineros
decidieron hacer más, esperando que la otra mitad de alumnos pidiera
exactamente lo mismo que el primer turno. De acuerdo a ese cálculo,
¿qué fracción de la fuente pollo deberían agregar para que alcance
justamente para todos, sin faltar ni sobrar comida?
A)
1
10
B)
2
10
C)
8
10
D)
9
10
E)
10
10
MATEMÁTICA
ENSAYO
5
6.
Si los números m y n son racionales positivos tales que m < 1 < n,
entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA?
7.
A)
mn puede valer 1.
B)
n
es siempre mayor que 1.
m
C)
mn es siempre mayor que 1.
D)
m
es siempre menor que 1.
n
E)
m + n es mayor que 1.
Si p y q corresponden a la aproximación a la milésima por redondeo y
por truncamiento, respectivamente, del número que resulta de 6,1 ÷ 6 ,
entonces ¿cuál(es)
verdadera(s)?
de
las
siguientes
afirmaciones
I)
p – q = 0,01
II)
el resultado de p · q tiene 6 cifras decimales.
es
(son)
III) p + q = 2,033
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMÁTICA
I
II
III
I y II
II y III
ENSAYO
6
( 4x )
2x
8.
Dada la expresión
¿cuál(es) de
verdadera(s)?
con m y x números enteros distintos de cero,
m
las siguientes afirmaciones es (son) siempre
I)
Si m = 4x , entonces la expresión equivale ( 4x )
II)
x
x
Si m =   , entonces la expresión equivale a ( 8x ) .
2
2x −1
.
x
III) Si m = ( 4x )
A)
B)
C)
D)
E)
9.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
−2x
(
)
, entonces la expresión equivale a 16x2
4x
.
I
II
I y II
I y III
II y III
Si los números reales a y b son tales que
a
< 0 y a < b , entonces ¿cuál
b
de las siguientes alternativas es FALSA?
ia
rc
a
p
o
l
ta
to
n
ió
c
c
u
d
o
r
p
re
u
s
a
id
ib
h
ro
P
.
e
il
h
C
e
d
a
c
li
tó
a
C
d
a
id
s
r
e
iv
n
U
ia
c
fi
ti
n
o
P
la
e
d
d
a
d
ie
p
ro
p
s
e
l
a
ri
te
l.
7
ENSAYO
a
MATEMÁTICA
m
E)
te
D)
s
B)
C)
1
<0
a
b−a>0
a⋅b < 0
b
>0
a
1
<0
a−b
E
A)
10.
1, 439 − 1,209 + 0, 4 es
El resultado de
I)
un número irracional positivo.
II)
un número racional menor que 1.
III) igual a
23
.
30
De ellas, ¿cuál(es) es (son) correcta(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
11. (
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas es correcta.
3 −2 3
)
2
5− 2
es igual a
A)
5− 2
B)
5+ 2
C)
− 5+ 2
D)
−3
E)
−3
(
5+ 2
MATEMÁTICA
)
ENSAYO
8
12.
p
, con q ≠ 0 , es un número real, entonces con respecto a T,
q
Si T =
¿cuál(es)
de
las
siguientes
afirmaciones
es
(son)
siempre
verdadera(s)?
I)
Si p < q , el número T es irracional.
II)
Existe un valor p, tal que para cualquier valor de q, T resulta
entero.
III) T puede ser un valor positivo, negativo o cero.
13.
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo II y III
E)
I, II y III
Si a y b son números naturales mayores que 1, con m y t números
enteros, entonces la expresión
A)
ab
2m ⋅t
B)
ab
2m+ t
C)
ab
2at +bm
D)
ab
4m+ t
E)
at + bm
a
2m ⋅ b 2t es
4m ⋅t
MATEMÁTICA
ENSAYO
9
14.
¿Cuál(es) de las siguientes relaciones de orden es (son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
15.
I)
4 < 18 < 5
II)
1
2
<
< 3
2
5
III)
2 5 <7<3 6
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Si logp m < logp n , para p, m, n números reales positivos distintos de
cero y p distinto de 1, ¿cuál de las siguientes alternativas es siempre
verdadera?
A)
B)
1
, entonces m < n .
2
Si p = 2, entonces logp (m ⋅ n) < 0 .
Si p =
C)
Si p = 2, entonces logp (n − m) < 0 .
D)
Si p =
E)
m
1
, entonces logp   < 0 .
2
n
1
Si p = , entonces logp m < 0 .
2
MATEMÁTICA
ENSAYO
10
16.
Siendo i la unidad imaginaria. Si (2 + 3i) = a + bi . La relación correcta
2
entre a y b es
A)
B)
C)
D)
E)
17.
a+b =7
a − b = 17
ab = 60
a + b = −17
a 3
=
b 2
Con respecto al número complejo z =
4 − 2i
, siendo p un número real.
p + 2i
Es correcto afirmar que
I) si p = 4 , entonces z es número real.
II) si p = −4 , entonces z es un imaginario puro.
III) si p = 0 , entonces z es igual a −1 − 2i .
A)
B)
C)
D)
E)
18.
Solo I
Solo II
Solo III
I y III
Ninguna de ellas es correcta.
ab   1 b 

Para a ≠ −b y a no nulo se tiene que  a −
+
es igual a
a + b   2 2a 

A)
B)
C)
D)
E)
( a − 1) ( a + b )
2a
a
2
1−b
2
ab2
4 (a + b)
a2 (1 + b )
2 ( a + b ) ( a + 1)
MATEMÁTICA
ENSAYO
11
19.
x y
−
y x
Con respecto a la expresión que representa un número real,
,
1 1
−
x y
¿cuál de las siguientes alternativas NO es siempre correcta?
A)
B)
C)
D)
E)
20.
La situación: “La división entre dos números resulta cociente 3 y resto
2, y el mayor excede al menor en 12 unidades”, se puede modelar
mediante
A)
B)
C)
D)
E)
21.
Si x + y > 0 la expresión es negativa.
x e y no pueden ser iguales a 0.
Si xy > 0 y x < 0 entonces la expresión es positiva.
x y 1 1
Si su valor es igual a 1, entonces
− > − .
y x x y
Si x2 − y2 = 0 , entonces la expresión es igual a 0.
una ecuación lineal con dos incógnitas.
un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
una ecuación de segundo grado con una incógnita.
un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
una inecuación con una incógnita.
Se compran 32 cuadernos y 24 gomas de borrar en $ 12.040. Si cada
cuaderno cuesta el triple que cada goma, más $ 20. ¿Cuánto cuestan
los 32 cuadernos?
A)
B)
C)
D)
E)
$ 95
$ 305
$ 2.280
$ 5.320
$ 9.760
MATEMÁTICA
ENSAYO
12
22.
23.
La cifra d de las decenas de un número excede en 5 a la cifra u de la
unidades del mismo número de dos cifras. Si el número se divide por la
suma de sus dígitos, resulta 8. ¿Cuál de las siguientes alternativas
presenta dos ecuaciones que permiten calcular el número?
A)
d−u =5
y
B)
d=u+5
y
C)
u = d+5
y
D)
u + d = −5
y
E)
u − d = −5
y
10d + u
=8
d+u
du
=8
d+u
du
=8
10d + u
10d + u
=8
du
d+u
=8
du
2
1

En la ecuación cuadrática 4  x +  = 1 − a , con a un número real,
2

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre correcta(s)?
I)
Si a ≤ 1 una de sus raíces es positiva y la otra es negativa.
II)
Si a > 1 el discriminante de la ecuación es positivo.
III) Si a ≠ 1 la ecuación tiene raíces reales y distintas.
A)
Solo II
B)
Solo I y II
C)
Solo II y III
D)
I, II y III
E)
Ninguna de ellas.
MATEMÁTICA
ENSAYO
13
24.
Se definen los intervalos P = a,b  , Q =  b, c  y R =  b, d  . Si con
ellos se quiere representar el intervalo mostrado en la figura adjunta,
entonces éste se puede expresar como
A)
B)
P ∪ R ∪ {b, d} − {a}
D)
P ∪Q∩R
|
|
|
|
a
b
c
d
P ∪ Q ∪ R ∪ {d}
¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones adjunto?
A)
B)
C)
D)
E)
26.
P ∪ Q ∪ {d} − {a}
C)
E)
25.
P ∪ R ∪ {b, d}
1


 x ∈ ℝ / < x < 3
3


1


x ∈ ℝ / < x ≤ 1
3


{x ∈ ℝ / 1 ≤ x < 3}
2x + 1 ≤
x+2
3
> 2x − 1
1 − 3x <
0
1


x ∈ ℝ / < x < 1
3


φ
El conjunto de los números reales que están a más de 4 unidades de
distancia de − 6 y que no son mayores que 2, corresponde a
A)
B)
C)
D)
E)
 −∞, − 6 − 4  ∪  4 − 6, 2 




 − 6 − 4, 4 − 6  ∪ {2}


 −∞, 2 
 −∞, − 6 − 4 


 −∞, − 6 − 4  ∪  4 − 6, 2 




MATEMÁTICA
ENSAYO
14
27.
Si en un rectángulo su ancho 2x es menor en 1 unidad que su largo,
entonces ¿cuánto debe valer x para que su perímetro sea menor que
20 unidades, pero valga al menos 4 unidades?
A)
B)
C)
D)
E)
28.
1
9
≤x<
4
4
1
9
<x<
4
4
9
x<
4
1
≤x
2
1
9
≤x<
2
2
1
, para x distinto de cero,
x
−3, para x < 0
.
q ( x ) = 1 − x , para x menor o igual que 1, y r ( x ) = 
−x, para x ≥ 0
Sean p, q y r tres funciones tales que p ( x ) =
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
p (r ( x ) ) está definida para todos los números reales.
II)
q (r ( x ) ) es distinto de cero para cualquier valor real de x.
III) p ( q ( −5) ) =
A)
B)
C)
D)
E)
1
q (p ( −5) )
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
MATEMÁTICA
ENSAYO
15
29.
Un romboide de altura x, con base 5 cm mayor que su altura, tiene un
área que aumentada en tres unidades equivale a la de un rectángulo,
cuyo largo es el triple de la altura del romboide, pero cuyo ancho es 6
cm menos que la altura del romboide. Esta situación se puede describir
mediante la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
30.
− 13x − 3 = 0
− 14x = 0
− 23x − 3 = 0
− 18x + 2 = 0
− 18x − 2 = 0
Durante un evento, el estacionamiento habilitado contenía 900
automóviles. Al terminar el evento los automóviles comenzaron a salir
a razón de 5 autos cada 40 segundos. ¿Cuál es la función que
representa el número de automóviles que quedan en el
estacionamiento a los x minutos desde que comenzaron a salir?
A)
B)
C)
D)
E)
31.
4x2
2x2
2x2
4x2
2x2
A ( x ) = 900x + 5 ⋅ 60x
A ( x ) = 5x − 900
A ( x ) = 900 − 8x
A ( x ) = 900 − 7,5x
A ( x ) = 900 − 5 ⋅ 40x
¿Cuál de las siguientes funciones intersecta al eje y?
A)
B)
C)
D)
E)
f ( x) = x − 3 + 2
g (x) = − 5 − x − 1
h ( x ) = 4 − −x − 1
r ( x) =
−4 − x
s ( x ) = − x − 6 + 10
MATEMÁTICA
ENSAYO
16
32.
Dada una función lineal f, con dominio los números reales, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
La expresión
f (x)
x
resulta un valor constante, para todo valor
real de x.
II)
Si f (m) = n y f (p ) = q , entonces
m n
= , para valores m, n, p
p q
y q reales distintos de cero.
III) Para f la imagen de cero es cero.
A)
B)
C)
D)
E)
33.
Solo II
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Para la función f ( x ) = kx6 , con k un número real distinto de cero, ¿cuál
de las siguientes alternativas es siempre verdadera?
A)
B)
C)
La imagen de 1 es 1.
Su gráfica está en los cuadrantes I y II del plano cartesiano.
Su dominio son los números reales.
D)
Para todo su dominio f ( x + 1) = k x6 + 16 .
E)
Si k < 0, entonces su recorrido son los números reales negativos.
(
MATEMÁTICA
ENSAYO
)
17
34.
¿Cuál debe ser el valor de m para que la función f ( x ) = mx2 − 4x tenga
su máximo valor en x = −10 ?
2
5
A)
B)
C)
0
D)
1
5
E)
35.
2
5
−
−
1
5
Sea la función f ( x ) = log9 ( cx − 7 ) , para la cual se cumple que f (5) =
1
.
2
¿Cuál es la preimagen de 1 según f?
A)
8
B)
2
C)
1
D)
4
5
E)
20
MATEMÁTICA
ENSAYO
18
36.
El cuadrilátero ABCD se compone por cuatro triángulos rectángulos
como lo indica la figura adjunta, de tal manera que ∆BEC ≅ ∆DEC y
∆BEA ≅ ∆DEA . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
Si BA ≠ BC , entonces ABCD es un deltoide.
II)
Si ∆BEC ≅ ∆BEA , entonces ABCD es un
cuadrado.
C
III) Si ∆DEC ≅ ∆DEA , entonces ABCD es un D
rombo.
37.
A)
Solo I
B)
Solo III
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
Solo II y III
Los extremos de
E
B
A
un trazo AB son los puntos
(5, 0)
y
(3,2)
respectivamente, de tal manera que M es su punto medio. Los
extremos de un trazo CD son los puntos ( 4,9 ) y (8,7 )
respectivamente, de tal manera que N es su punto medio. ¿Cuál es el
vector traslación que logra que M sea la imagen de N?
A)
B)
C)
D)
E)
( −2, −7)
(7,2 )
(2,2 )
( −4, −2)
( −1, −7)
MATEMÁTICA
ENSAYO
19
38.
El triángulo ABC es rectángulo en C. Sea un punto D cualquiera sobre
AB . ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?
B
D
A
C
A)
Si D es punto medio de AB , entonces CD = AD = DB .
B)
Si CD es bisectriz del ángulo ACB, entonces los triángulos ADC y
BDC son rectángulos en D.
Los ángulos BAC y CBD son complementarios.
C)
39.
D)
Si CD es simetral de la hipotenusa AB , los triángulos CDB y CDA
son isósceles rectángulos congruentes entre sí.
E)
Si CD es altura, entonces ésta es la menor de las tres alturas del
triángulo ABC.
¿Cuál de los siguientes valores podría tomar p de tal manera que el

1

vector u =  p + ,2p + 3  sea unitario?
2


A)
B)
C)
D)
E)
3
2
11
10
3
2
13
−
6
11 1
−
−
7
6 3
−
MATEMÁTICA
ENSAYO
20
40.
Se tiene un triángulo ABC cuyos vértices tienen por coordenadas
A ( −6, −2 ) , B ( −2,2 ) y C ( −5,5) , y el triángulo A 'B ' C ' es su imagen
luego de una reflexión con respecto al eje y, de tal manera que A ' , B '
y C ' son las imágenes de A, B y C, respectivamente. ¿Cuáles son las
coordenadas en que la recta BB ' intersecta a A ' C ' ?
A)
B)
C)
D)
E)
41.
 20 
 0, 11 


(0, 40)
(3,1)
 38 
 − 7 ,2 


 38 
 7 ,2 


Las rectas paralelas L1 y L2 son intersectadas por las transversales L 3
y L 4 en los puntos A, B, C y D, como en la figura, las cuales se cortan
en E. ¿Cuál es la longitud del segmento CD?
A)
2
cm
7
B)
4
cm
7
C)
9
cm
7
D)
5
cm
3
E
8 cm
A
10 cm
C
E)
2
cm
3
MATEMÁTICA
L1
2x B
L4
ENSAYO
x +1
L2
D
L3
21
42.
La distancia entre una ciudad S y una ciudad P es de 130 km. Un tren
interurbano realiza un recorrido lineal entre ambas ciudades, pero
siempre se detiene en un pueblo intermedio R. Si la distancia entre S y
R es mayor que la distancia entre R y P, y la ubicación del pueblo
intermedio divide a la distancia entre las ciudades terminales en la
razón 5 : 3 , ¿cuántos kilómetros más recorre el tren, yendo de S a R
que de R a P?
A)
81,25 km
B)
48,75 km
C)
32,5
D)
16,25 km
E)
43.
8
km
km
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre correcta(s)?
I)
Cuatro segmentos de largo 4 cm forman un polígono siempre
semejante a otro formado por cuatro segmentos de largo 8
cm.
II) Tres segmentos de largo 5 cm forman un polígono siempre
semejante a aquél formado por tres segmentos de largo 9
cm.
III) Un triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm es
siempre semejante a un triángulo rectángulo de lados 5 cm,
12 cm y 13 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMÁTICA
I
II
I y II
I y III
II y III
ENSAYO
22
44.
En la circunferencia de centro O y diámetro AB , C es un punto de ella.
Se extiende el diámetro hasta P y desde P se traza una recta tangente
a la circunferencia en T, como se indica en la figura adjunta. Si
AP = 3 cm y PT = 14 cm , ¿cuánto mide el segmento OC?
A)
B)
C)
D)
E)
45.
14
9
7
3
5
3
5
6
14
6
C
B
A
|
P
O
T
En la figura adjunta, los rectángulos ABCD y BEFG son congruentes de
tal manera que AB = 1 + 5 cm y GF = 2 cm . ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
Área ( ∆CFG)
Área ( ∆ACD)
=
2
G
3+ 5
II) A, C y F son colineales.
III) ∆ABC ~ ∆FGC
D
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
MATEMÁTICA
A
ENSAYO
2 cm
F
C
1 + 5 cm
B
E
23
46.
En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, tal
que el ángulo CBA mide 58°. ¿Cuál es la medida del ángulo BDC?
A)
64°
B)
32°
C)
116°
D)
58°
E)
90°
C
58°
B
O
|
A
D
47.
En un triángulo ABC rectángulo en C y de altura CD = h se cumple que
el cateto mayor AC mide a y su proyección sobre la hipotenusa es
igual a p. El otro cateto BC mide b y su proyección sobre la hipotenusa
es q. ¿Cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?
A)
(p + h)
B)
h = pq
C)
a q
=
b p
D)
ab = (p + q) ⋅ h
E)
b2 = p (p + q)
2
MATEMÁTICA
= a2
ENSAYO
24
48.
∆ABC ~ ∆DEF , de tal manera que AB es el lado homólogo de DE y BC
es el lado homólogo de EF . ¿Cuál de las siguientes alternativas es
FALSA?
A)
∢CAB = ∢FDE
B)
Perímetro ( ∆DEF )
Perímetro ( ∆ABC )
C)
∢ACB = ∢DFE
D)
Área ( ∆ABC )
E)
49.
Área ( ∆DEF )
=
=
DE
AB
CA
FD
CA BA
=
FD ED
Sea L1 :ax + by + c = 0 una recta cualquiera con a, b y c números reales
y los coeficientes a y b no nulos. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
ax + by + d = 0 (con d un número real) es una recta con igual
I)
pendiente que L1 .
II)
bx − ay + e = 0
(con
e
un
número
real)
es
una
recta
perpendicular a L1 .
III) La recta L1 intersecta al eje de las abscisas en el punto
 c 
 − a ,0 .


A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
MATEMÁTICA
Es
ENSAYO
25
50.
¿A cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones corresponde la
solución gráfica de la figura?
A)
B)
3
2
2x − 3y = 1
y=−
y
4
x = −3
2
y=2
2
x+4
3
3
y=− x
2
y=
C)
y=−
D)
y=
E)
51.
–6
–3
–3
x
2
x+4
3
3
x
2
3
x+6
2
x = −3
y=
El área del triángulo ABC que tiene coordenadas A (1, −1) , B (1, −5 ) y
C (5, 2 ) , es
A)
B)
8
16
C)
65
D)
2 65
E)
3 41
2
MATEMÁTICA
ENSAYO
26
52.
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (1,1,3) y
Q (3, 4,2 ) ?
A)
B)
C)
D)
E)
53.
x +1 y +1 z +3
=
=
2
3
−1
x −1 y −1 z −3
=
=
2
3
−1
x −1 y −1 z −3
=
=
3
4
2
x −2 y −3 z +1
=
=
1
1
3
x −1 y −1 z −3
=
=
1
1
3
Un semicírculo de perímetro 16 + 8 π unidades se rota indefinidamente
en torno a su diámetro. ¿Cuál es la diferencia positiva entre ese
volumen y el que se obtendría al trasladar el semicírculo
perpendicularmente al plano que lo contiene, en 8 unidades?
A)
B)
C)
D)
E)
5
⋅ 83 π
6
1 3
⋅8 π
2
1 3
⋅8 π
3
1
⋅ 83 π
6
13 3
⋅8 π
12
MATEMÁTICA
ENSAYO
27
54.
Dados los vectores A ( − 2, −3, − 2 ) y B (1,1, −2 ) , ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
55.
A − B = ( −3, −4, 0 )
B − A = (3, 4, 0 )
El vector (3, 4, 0 ) corresponde a la dirección de la recta que pasa
por los puntos A y B .
La ecuación de la recta AB podría escribirse como
r ( t ) = (1,1, −2 ) + t ⋅ (3, 4, 0 ) , con t un número real distinto de cero.
La ecuación de la recta que pasa por A y B , pasa también por el
origen.
¿En cuál de las siguientes encuestas es posible formar una tabla de
frecuencias y así, calcular todas las medidas de tendencia central
básicas, es decir, media aritmética, moda y mediana?
I)
Se pregunta a los trabajadores de una empresa, cuál es su
cargo en ella.
II)
Se pregunta a un grupo de estudiantes cuántas veces han
viajado en locomoción colectiva en la última semana.
III) Se pregunta a un grupo de médicos, cuál es su especialidad
médica.
A)
Solo en I
B)
Solo en II
C)
Solo en III
D)
Solo en II y en III
E)
En ninguna de ellas
MATEMÁTICA
ENSAYO
28
56.
La tabla adjunta muestra la marca de clase de 4 intervalos de amplitud
2 y sus respectivas frecuencias relativas correspondientes a un total de
30 datos. ¿Cuál(es) de las siguientes gráficas se puede(n) desprender
de manera correcta de los datos de la tabla dada?
Marca Frecuencia
de clase Re lativa
11
0,2
13
15
0,06
0, 4
17
0,3
Frecuencia
Frecuencia
I)
II)
Absoluta
Absoluta
4−
12 −
3−
2−
10 −
6−
0, 6 −
|
|
|
|
2−
horas
|
10 12 14 16 18
|
|
|
|
|
10 12 14 16 18
Frecuencia
horas
III)
Absoluta
Acumulada
30 −
20 −
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
MATEMÁTICA
8−
6−
|
|
|
|
|
10 12 14 16 18
ENSAYO
horas
29
57.
Si de una población se pueden extraer 45 muestras de 2 elementos,
sin orden ni reemplazo. Entonces, el tamaño de la población es de
A)
B)
C)
D)
E)
58.
40
15
17
10
9
Sean P y Q dos muestras de datos cuantitativos. P tiene todos sus
datos exactamente iguales, mientras que Q tiene todos sus datos
distintos y tiene al menos dos datos. Con respecto a ellas, se afirma
que
I) La varianza de Q es mayor que la varianza de P.
II) El percentil 90 de Q es mayor que el percentil 90 de P.
III) La desviación estándar de ambas muestras podrían ser
iguales.
De tales afirmaciones, es (son) verdaderas
A)
B)
C)
D)
E)
solo
solo
solo
solo
I, II
I.
I y II.
I y III.
II y III.
y III.
MATEMÁTICA
ENSAYO
30
59.
60.
En una lista de 10 datos ordenados en forma creciente, los tres valores
menores tienen una media aritmética A, los cuatro valores siguientes
tienen una media B y el resto tiene media C. ¿Cuál es la media
aritmética de la lista completa?
A)
A +B+C
3
B)
3A + 4B + 3C
3
C)
3A + 4B + 3C
10
D)
A B C
+ +
3 4 3
10
E)
A +B+C
10
En el siguiente cuadro se presentan las notas de matemática de tres
alumnos de un curso.
Carla
5 5 5 5 5 5
Ángela 3 5 5 5 5 7
Pedro
3 3 3 7 7 7
¿Cuál de las alternativas es FALSA?
A)
El rango es mayor para Pedro que para Ángela.
B)
Las medianas de Pedro y Ángela son iguales.
C)
Pedro y Carla tienen iguales medias aritméticas.
D)
La desviación estándar es mayor para Ángela que para Carla.
E)
Carla y Ángela tienen las mismas modas.
MATEMÁTICA
ENSAYO
31
61.
Una variable se midió en dos grupos A y D, obteniéndose tres registros
para cada uno, como en la siguiente tabla. Si ambos tienen iguales
medias aritméticas, pero A tiene mayor desviación estándar que D,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
a
d
A
D
b
e
c
f
I) Si c – b = b – a y f – e = e – d, entonces b = e.
II) La mediana de A es mayor que la de D.
III) Podría ser que el rango de D fuese mayor que el de A.
A)
B)
C)
D)
E)
62.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y III
II y III
De acuerdo a la siguiente tabla de datos, ¿cuál de las alternativas es
FALSA?
2.000
Frecuencia
Absoluta
5
3.000
25
4.000
25
5.000
15
6.000
30
xi
A)
El primer cuartil es 3.000.
B)
El percentil 1 es 2.000.
C)
El segundo cuartil es 4.000.
D)
El sexto decil es 5.000.
E)
El percentil 30 es 6.000.
MATEMÁTICA
ENSAYO
32
63.
En un curso de pintura el 60% de los alumnos son adultos y el resto
son niños. Si de los niños el 90% es diestro y el resto zurdo, y de estos
últimos el 40% debe usar anteojos para pintar, ¿cuál es la probabilidad
de que al elegir un alumno al azar, éste sea niño, zurdo y que use
anteojos para pintar?
64.
A)
1,6%
B)
2,4%
C)
3,6%
D)
16%
E)
24%
En un club de campo se realiza un campeonato de dobles en tenis
cuyas parejas participantes provienen de dos grupos. En el grupo A
hay 6 jugadores y en el grupo B hay 4 jugadores. ¿Cuántos partidos
podrían jugarse en el campeonato si siempre una pareja debe
pertenecer al grupo A y la otra pareja al grupo B?
A)
10
B)
24
C)
90
D)
180
E)
240
MATEMÁTICA
ENSAYO
33
65.
Al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener cara es igual a p.
Sabiendo que en la moneda solo puede salir cara o sello, ¿cuál de las
siguientes alternativas es FALSA?
A)
La probabilidad de que salga sello es igual a 1 − p .
B)
Si se lanza 3 veces, la probabilidad de obtener cara en los tres
lanzamientos es igual a 3p .
C)
Si p = 0,5 , entonces la moneda no está cargada.
D)
Si se lanza al aire 7 veces, la probabilidad de que salga cara las 7
veces es p7 .
E)
Si se lanza al aire 2 veces, independientemente del valor de p,
siempre la probabilidad de obtener una cara y un sello, es la
misma que obtener un sello y una cara.
66.
La cantidad de veces que una persona va al cine anualmente se modela
por medio de una distribución normal de media µ y de varianza 25. Se
toma una muestra aleatoria de 25 personas y se obtiene una media de
30 veces al año. Si el límite inferior del intervalo de confianza asociado
a la media poblacional µ es 27,68, ¿cuál es el nivel de confianza de tal
intervalo?
A)
99%
B)
98%
C)
97%
D)
95%
E)
90%
MATEMÁTICA
ENSAYO
34
67.
Un laboratorio clínico está estudiando un nuevo virus que ingresó a
nuestro país a través de un cargamento de frutas contaminadas. El
virus, sin ser mortal para el ser humano, causa molestias estomacales
y cefaleas constantes en los contagiados. Una empresa consultora
estadística fue la encargada de analizar los datos que se obtuvieron en
el laboratorio; y se determinó que la cantidad de contagiados con el
virus se rige por una distribución normal de media 15 y de varianza
100. Con estos datos, el laboratorio tomó las respectivas medidas y
masificó en los respectivos centros asistenciales el medicamento para
el virus. De acuerdo a tales datos, antes de la aplicación del
medicamento, ¿cuál es la probabilidad que la cantidad de contagiados
con el virus sea mayor que 21,7?
A)
0,749
B)
0,67
C)
0,251
D)
0,95
E)
0,0816
MATEMÁTICA
ENSAYO
35
68.
De acuerdo a la Ley de los Grandes Números se realizan las siguientes
afirmaciones.
I)
Si un evento se repite una gran cantidad de veces, entonces
las
probabilidades
muestrales
serán
mayores
a
las
probabilidades teóricas.
II)
Si un evento se repite un gran número de veces, entonces no
es posible afirmar que las frecuencias muestrales coincidan
exactamente con las probabilidades teóricas.
III) Si un evento se realiza un número elevado de veces, las
frecuencias muestrales irán acercándose a las probabilidades
teóricas conforme aumente el número de repeticiones del
experimento.
De ellas, es (son) siempre verdadera(s)
A)
solo I.
B)
solo III.
C)
solo I y II.
D)
solo I y III.
E)
solo II y III.
MATEMÁTICA
ENSAYO
36
69.
Un cajón contiene 5 frutas, todas del mismo tamaño, peso y forma.
Dos de ellas están en mal estado y por lo tanto no son aptas para el
consumo y tres de ellas están aptas para el consumo. De una cierta
cantidad de extracciones al azar, se define la variable aleatoria X como
la cantidad de frutas obtenidas aptas para el consumo. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
Si se extraen 2 frutas entonces los valores que puede tomar
la variable X son 1 y 2.
II)
Si se extraen 3 frutas al azar, los posibles valores que puede
tomar la variable aleatoria son 1, 2 y 3.
III) Si se extraen 4 frutas, entonces los posibles valores de X son
0, 1, 2, 3 y 4.
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo III
D)
Solo I y II
E)
Solo II y III
MATEMÁTICA
ENSAYO
37
70.
71.
Si los eventos consecutivos A y B son independientes, y los eventos C y
D de un espacio muestral son mutuamente excluyentes. ¿Cuál de las
siguientes alternativas es FALSA?
A)
P ( A | B) = P ( A )
B)
P ( C ∪ D ) = P ( C ) + P (D )
C)
P (B | A ) = P ( A | B ) ⋅
D)
P ( A y B ) = P ( A ) ⋅ P (B )
E)
P ( C ∩ D ) = P ( C ) ⋅ P (D ) .
P (B )
P (A)
Un policía está en la carretera controlando dos tipos de infracciones de
manera independiente. De tal manera que se determina que el 5%
de los partes cursados son por exceso de velocidad y un 8% de ellos
son cursados por conducir sin luces encendidas. ¿Cuál es la
probabilidad de que, luego de haber controlado a 10 autos, 7 de ellos
hayan incurrido en una de las dos faltas anteriores?
A)
B)
C)
D)
E)
10 
3
7
  ( 0,126 ) ( 0, 874 )
7
7 
7
  ( 0,126 )
3
10 
7
3
  ( 0,126 ) ( 0, 874 )
7
10 
10
3
  ( 0,126 ) ( 0, 874 )
3
7 
3
10
  ( 0,126 ) ( 0, 874 )
3
MATEMÁTICA
ENSAYO
38
72.
Se realiza una cierta cantidad de veces un experimento que solo tiene
dos resultados posibles. Sea X la variable aleatoria que cuenta el
número de éxitos obtenidos. Se asigna el valor p a la probabilidad de
que el experimento resulte exitoso, pero a aquel no exitoso se le
asigna probabilidad 1 − p . ¿Cuál de las siguientes alternativas es
siempre verdadera?
A)
Al realizar el experimento una vez P ( X = 1) = P ( X = 0 ) .
B)
Al realizar el experimento dos veces, P ( X = 2 ) = 2p .
C)
Al realizar el experimento dos veces, P ( X = 1) = p .
D)
Al
realizar
el
experimento
3
veces,
si
p=
1
5
,
entonces
P ( X = 0) = 0 .
E)
Al realizar el experimento una vez, si P ( X = 0 ) =
P ( X = 1) =
73.
5
, entonces
6
1
.
6
Una variable aleatoria X cuyo soporte corresponde al conjunto {0,1,2}
tiene por función de distribución acumulada a los datos de la tabla
adjunta. ¿Cuál es la esperanza de X?
A)
B)
C)
D)
E)
X P (X ≤ x)
17
6
2
3
1
6
3
1
MATEMÁTICA
1
2
5
1
6
2 1
0
ENSAYO
39
EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N°74 A LA N°80
En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que se decida si
con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se
pueda llegar a la solución del problema.
Es así, que se deberá marcar la opción:
A)
(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,
D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder
la pregunta,
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
Ejemplo: Se puede determinar el monto total de una deuda, en términos de P y Q, si se
sabe que
(1)
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
La cuota mínima a pagar es del P% de la deuda.
La cuota mínima a pagar es de $ Q.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
Se requiere información adicional
En la información (1) se tiene que la cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. Si
x representa el monto total de dicha deuda, entonces este porcentaje queda expresado por
Px
, el cual no permite determinar el monto total de la deuda.
100
Con la afirmación (2) se conoce la cuota mínima a pagar, que es de $ Q, pero esta
información por sí sola es insuficiente para determinar el monto total de la deuda.
Px
= Q , luego
100
esta ecuación permite determinar el monto total de la deuda. Por lo tanto, se debe marcar
la opción C), Ambas juntas, (1) y (2).
Ahora, si se juntan los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que
MATEMÁTICA
ENSAYO
40
74.
Se puede determinar si un número N =
a
, con a y b números reales,
b
es entero positivo si:
75.
(1)
a ⋅ b > 0 y b ≠ 0.
(2)
b es divisor de a.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
Sabiendo que a y b son números reales, se puede afirmar que
a + b ≥ a ⋅ b , si se sabe que:
(1) a ≥ 0 y b = 1
(2) a ≠ b
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
ENSAYO
41
76.
Se
puede
determinar
cuál
es
el
dominio
de
la
función
f ( x ) = a ( x − h) + k , con a, h, n y k números reales, si se sabe que:
n
(1) k = 2 y a > 0 .
(2) n es un número impar mayor que 3.
77.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
Se puede afirmar que el triángulo ABC es rectángulo si se sabe que:
(1) Sus lados miden 21 cm, 28 cm y 35 cm.
(2) La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus
lados menores es equivalente al área del cuadrado construido
sobre el tercer lado.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
ENSAYO
42
78.
En la figura, P, Q y R son rectas que se intersectan en O. Se puede
determinar la medida del ángulo α si:
R
(1) Se conoce el valor de β + δ .
(2) Los
ángulos
α
y
δ
Q
son
δ
congruentes.
P
79.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
O
β
α
Se puede determinar el valor de la moda de una muestra de datos si se
sabe que:
(1) La desviación estándar de la muestra es 0.
(2) La media aritmética de la muestra es igual a 2.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
ENSAYO
43
80.
Se puede determinar el número de fichas blancas que tiene una caja
de 30 fichas si se sabe que:
(1) La probabilidad de escoger una ficha roja es
2
.
3
(2) La probabilidad de escoger una ficha azul es
1
.
6
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
ENSAYO
44