Matemáticas - EducarChile

HOJAS DE TRABAJO SECTOR
Matemáticas
Material de apoyo para el docente
UNIDAD 1
Preparado por: Héctor Muñoz
Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS
al
senci
Matemáticas
Unidad 1
Unidad 1
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS
1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
En esta Unidad se introducen lo números enteros. Aunque los estudiantes ya conocen las fracciones y
los decimales positivos, el marco curricular deja para Educación Media el trabajo con los números racionales
–que incluyen las fracciones positivas y negativas- y los números reales -que incluyen a los números
decimales positivos y negativos. De esta forma, en este nivel los únicos números negativos que se trabajan
son los enteros negativos.
El tratamiento del tema se inicia con la presentación de situaciones en las que es razonable hablar de
cantidades menores que cero y con la introducción de los números negativos como un tipo de números
que permiten cuantificar situaciones de esta naturaleza. Se forma luego el conjunto de los números
enteros que incluye a los números naturales (o enteros positivos), el 0 y los enteros negativos. Los
estudiantes aprenden a interpretar, leer y escribir números enteros, a establecer relaciones de orden
entre ellos y a representarlos en la recta numérica. Asimismo se establecen procedimientos de cálculo
tanto para la adición como para la sustracción de enteros.
Los procedimientos de cálculo de multiplicación y de división de números enteros será tema de 8º básico.
2. APRENDIZAJES ESPERADOS
En esta Unidad se propone organizar los contenidos a tratar en dos secciones:
a.
b.
Interpretación, lectura, escritura y orden de números enteros
Adición y sustracción de números enteros
2.1 Interpretación, lectura, escritura
y orden de números enteros
En esta sección se espera que los estudiantes puedan reconocer
situaciones del ámbito cotidiano en las que tiene sentido hablar
de cantidades menores que cero (aprendizaje esperado 1).
Esto prepara el camino para la introducción de los números
negativos que se presentan como una forma de cuantificar
valores que son menores que cero. Con los números naturales,
el 0 y los enteros negativos se forma el conjunto de los números
enteros (aprendizaje esperado 2).
El empleo del signo “–” para especificar los números negativos
crea una duplicidad que puede inducir a confusión en los alumnos
y alumnas que están iniciando el estudio de los números
negativos. De hecho, este signo se ha utilizado hasta aquí como
indicador de la operación de sustracción. Ahora se utiliza el
mismo signo como parte integrante del símbolo que representa
a los números negativos. Se hace necesario, por lo tanto,
establecer la diferencia entre estas dos funciones del
signo “-”. También el signo “+” tiene una doble función: como
indicador de la operación de adición y como parte integrante
del símbolo que representa a los números positivos (aprendizaje
esperado 3). En este último caso, sin embargo, si no hay riesgo
de confusión, se prefiere no escribir el signo.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
APRENDIZAJES ESPERADOS
Interpretación, lectura,
escritura y orden de
números enteros
· Reconocen situaciones en las
que una magnitud puede tener
valores menores que cero.
· Identifican el conjunto de los
números enteros.
· Distinguen dos funciones de
los signos + y – (como
indicadores de una operación y
como signo de un número
entero).
· Distinguen e interpretan el
valor absoluto de un número
entero.
· Representan números enteros
en la recta numérica.
· Establecen relaciones de
orden entre números enteros.
1
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS
al
senci
Matemáticas
Unidad 1
Un concepto útil en relación con los números enteros es el concepto de valor absoluto. Se espera que
los estudiantes lo manejen con soltura (aprendizaje esperado 4).
La recta numérica aparece como una herramienta de gran utilidad para representar números negativos,
sobe la base de prolongarla hacia la izquierda más allá del cero. De esa manera, la recta numérica se
extiende indefinidamente en ambas direcciones: hacia la derecha del 0 con los enteros positivos y hacia
la izquierda del 0 con los enteros negativos (aprendizaje esperado 5).
Finalmente se espera que los estudiantes manejen procedimientos para comparar números enteros
(aprendizaje esperado 6).
2.2
Adición y sustracción de números enteros
APRENDIZAJES ESPERADOS
En la segunda sección la atención se centra en las operaciones
de adición y sustracción de números enteros.
Adición y sustracción de
números enteros
Se espera que los estudiantes reconozcan algunas situaciones
en que intervienen números enteros y en las que resulta razonable
hablar de adición o sustracción (aprendizaje esperado 1).
Surge así la necesidad de conocer y manejar procedimientos de
cálculo tanto para la adición como para la sustracción de números
enteros (aprendizaje esperado 2).
· Reconocen situaciones en que
es pertinente efectuar adiciones
o sustracciones de números
enteros.
En años anteriores, la sustracción de números naturales ha tenido
una seria limitación: no estaba definida la sustracción para el
caso en que el sustraendo fuera mayor que el minuendo. La
introducción de los números enteros permite superar esta
limitación y dar una interpretación y un resultado a este tipo de
sustracciones (aprendizaje esperado 3).
La interpretación de números negativos y el establecimiento de
procedimientos de cálculo de adición y sustracción abre nuevas
posibilidades para la resolución de problemas (aprendizaje
esperado 4).
· Emplean procedimientos de
cálculo
de
adiciones
y
sustracciones de números
enteros.
· Reconocen que los números
enteros permiten dar solución a
sustracciones en que el
sustraendo es menor que el
minuendo.
· Resuelven problemas que
involucran números enteros en
contextos significativos.
3. OBSERVACIONES Y COMENTARIOS ACERCA DEL ENFOQUE METODOLÓGICO
3.1
Acerca de la introducción de los números negativos
Los números negativos traen consigo situaciones que a los alumnos y alumnas pueden parecer
contradictorias con sus conocimientos actuales. Nos les parece lógico, por ejemplo, que -8 sea menor
que -3 o que si sumo algo a un número obtenga un resultado que es menor que ese número.
Por tal motivo, es importante el empleo de algún tipo de representación de los números negativos que
le dé cierto grado de concreción a los números negativos y a las operaciones con ellos y que proporcione
una especie de justificación para lo que parece poco lógico.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
2
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS
Matemáticas
al
senci
Unidad 1
La experiencia ha mostrado que la recta numérica con su representación de los números enteros resulta
especialmente útil en este sentido. Para que la recta numérica juegue el papel que se espera de ella, es
necesario subrayar algunos puntos importantes en relación a cómo representar y cómo interpretar
números negativos u operaciones con números negativos en la recta numérica.
En especial, conviene subrayar los siguientes puntos:
En la recta numérica, los números negativos se representan a la izquierda del 0. Si nos movemos
desde el 0 hacia la izquierda, iremos encontrando los números -1, -2, -3, -4, etc.
En la recta numérica se mantiene el principio que un número es mayor que cualquier número
que esté a su izquierda. Por lo tanto, todo número negativo es menor que 0 y es menor que
cualquier número positivo.
El valor absoluto de un número es una cantidad positiva que expresa la distancia que hay desde
ese número hasta el 0. Números con igual valor absoluto pero distinto signo están situados
simétricamente con respecto al 0.
Sumar un número positivo es equivalente a un desplazamiento hacia la derecha. Sumar un número
negativo es equivalente a un desplazamiento hacia la izquierda.
Si sumamos números que tienen igual valor absoluto pero distinto signo, el resultado será 0.
Por esa razón, se dice que cada uno de ellos es el inverso aditivo del otro.
Restar un número es equivalente a sumar su inverso aditivo.
3.2
Cuantificación de una variación
Es frecuente encontrar valores negativos en las distintas formas de cuantificar variaciones. En general,
definimos la variación que experimenta una magnitud como la sustracción:
variación = valor final – valor inicial
De acuerdo con esta definición, la variación será positiva si la magnitud aumenta, será 0 si el valor final
es igual al inicial y será negativa si la magnitud disminuye.
Otra forma de ver esta relación es pensar el valor final como el resultado del valor inicial y la variación
producida. Es decir:
valor final = valor inicial + variación
Si la variación es positiva, el valor final será mayor que el inicial. Si la variación es negativa, el valor
final será menor que el inicial. Y si la variación es 0, el valor final será igual al inicial.
El llamado “índice de precios al consumidor” (IPC) es una forma de cuantificar las variaciones que
experimenta el precio de las productos que normalmente consume la población. Un IPC positivo indica
que los precios están aumentando. Un IPC negativo indica que los precios están disminuyendo. En el
caso del IPC, las variaciones están expresadas en porcentajes.
3.3 Acerca de los procedimientos de cálculo de adición y sustracción de
números enteros
La experiencia muestra que una vez que los estudiantes se han familiarizado con los números negativos,
no tienen grandes problemas para aceptar los procedimientos de cálculo de adición de números enteros.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
3
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS
al
senci
Matemáticas
Unidad 1
Utilizar una deuda como metáfora para un número negativo suele ser bastante convincente en el caso
de la adición. Si a un saldo de $100 le agregamos una deuda de $150, el resultado será un saldo negativo:
100 + (-150) = -50
Si ya se tenía una deuda de $200, una nueva deuda de $150 agrava la situación:
-200 + (-150) = -350
También resulta útil la representación de adiciones en la recta numérica en forma de desplazamientos
hacia la derecha o izquierda según se trate de sumar un número positivo o un número negativo.
En todo caso, es importante subrayar que estas metáforas o representaciones no constituyen una
demostración del procedimiento sino solo un apoyo metodológico para hacerlo aceptable por los estudiantes.
Matemáticamente, lo que se hace es buscar la definición más conveniente. En especial, la definición debe
cumplir dos condiciones ineludibles: (i) cuando los dos sumandos sean positivos, el procedimiento debe
coincidir totalmente con los procedimientos conocidos de adición de números naturales, y (ii) deben
seguir siendo válidas las propiedades básicas que tiene la adición de números naturales (conmutatividad,
asociatividad, existencia del elemento neutro). Sin embargo, una presentación de esta naturaleza puede
parecer demasiado abstracta a los estudiantes. Por ello, es recomendable utilizar representaciones o
símiles que puedan apoyar el aprendizaje.
Una vez que se tiene un procedimiento para sumar números enteros, la sustracción se desprende
lógicamente a partir del carácter inverso de la sustracción con respecto a la adición. En esta Unidad se
propone utilizar un procedimiento que se basa en convertir la sustracción en una adición reemplazando
el sustraendo por su inverso aditivo: a – b = a + (-b).
Un procedimiento similar había sido utilizado en la división de fracciones. En esa ocasión se convertía la
división en una multiplicación reemplazando el divisor por su inverso multiplicativo. Asimismo, en el caso
de la sustracción de vectores resulta bastante conveniente utilizar la misma idea básica.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
4