Práctico 4 - Centro de Matematica

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Cálculo I–Curso 2016
Práctico 4
§1. En los siguientes ejercicios calcular los límites, justificando los cálculos:
1
x→3 x2
lı́m
lı́m
1−
x→0
√
1 − x2
x2
x7/3
x→+∞ x2
lı́m
lı́m
25x3 + 2
x→0 75x7 − 2
(t + h)2 − t2
h→0
h
x→a x2
sen 2x
x→0
x
sen x − sen a
x→0
x−a
1 − cos x
x→0
x2
lı́m
lı́m
x→−∞
sen 2x
x
lı́m
lı́m
lı́m x sen
x→0
1
x
lı́m
x2 − a2
, a 6= 0
+ 2ax + a2
lı́m
lı́m
x→+∞
1 − cos x
x2
§2. Supongamos que lı́mx→a f (x) = b, y que la función g : (b − , b + ) → R es continua en b.
Mostrar que lı́mx→a g ◦ f (x) = g(b).
§3. Mostrar que, si f : [a, b] → R es monótona y c ∈ [a, b), entonces existe lı́mx→c+ f (x), y que
también existe lı́mx→d− f (x), ∀d ∈ (a, b].
(
1 si x ∈ Q
§4. a) Sea D : R → R la función de Dirichlet, es decir: D(x) =
. Probar que D es
0 si x ∈
/Q
discontinua en todo punto. ¿Y qué ocurre con la continuidad de la función x 7→ xD(x)?
x
si x ∈ Q
b) Sea g : R → R tal que g(x) =
. Estudiar la continuidad de g.
1 − x si x 6∈ Q
x sen x si x 6= 0
c) Sea f : R → R tal que f (x) =
. Hallar α para que f sea continua
α
si x = 0
en todo R. Esbozar el gráfico de f .
§5. Sean f y g funciones reales y sea c ∈ R.
a) Demostrar que si f es discontinua en c y g es continua en c entonces f +g es discontinua
en c. ¿Qué sucede si ambas funciones son discontinuas en c?
b) ¿Qué se puede afirmar con respecto al producto de las funciones?
−4
si x ≤ 0
c) Supongamos ahora que f (x) = x2 y g(x) =
. Estudiar la conti|4 − x| si x > 0
nuidad en 0 de f , g, f ◦ g y g ◦ f .
d ) Definir f y g para que f sea discontinua en c, g sea discontinua en f (c) y g ◦ f sea
continua en c.
§6. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua. Demostrar que f tiene algún punto fijo, es
decir, que existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c.
§7. Sea f : R \ {0} → R dada por f (x) = sen x1 . Mostrar que f no puede definirse en 0 de
manera que la función obtenida sea continua en ese punto. Probar que, sin embargo, existen
infinitas maneras de definirla en 0 de forma que la función resultante satisfaga la conclusión
del teorema del valor intermedio en cualquier intervalo cerrado y acotado.
1
§8. Sea f : R → R una función continua tal que lı́m f (x) = lı́m f (x) = 0. Probar que f
x→+∞
x→−∞
está acotada y que tiene máximo o mínimo.
§9. Sean a, b, c, d ∈ R tales que a < b y c < d. Bosquejar, si es posible, funciones reales que
cumplan:
a) f es continua en (a, b) y f ((a, b)) = (c, d).
b) f es continua en (a, b) y f ((a, b)) = [c, d].
c) f es continua en (a, b) y f ((a, b)) = (c, d].
d ) f es continua en [a, b] y f ([a, b]) = (c, d).
e) f es continua en [a, b] y f ([a, b]) = [c, d].
§10.
a) Sean f y g funciones uniformemente continuas en el intervalo (a, b). Probar que f y
g son acotadas en (a, b), y que f + g y f g también son uniformemente continuas en
(a, b).
b) Estudiar la continuidad uniforme de las siguientes funciones en los intervalos indicados:
x
4−x2 en [−1, 1].
√
f (x) = x en [1, +∞).
f (x) = ex cos( x1 ) en (0, 1).
f (x) = x2 en (−a, a), a ∈ R y en R.
f (x) = x + sen(x) en R.
1) f (x) =
2)
3)
4)
5)
c) Demostrar que si f es uniformemente continua en [a, c] y en [c, d], entonces es uniformemente continua en [a, b].
d ) Mostrar que f (x) = | sen(x)|
, con x 6= 0 es uniformemente continua en (−1, 0) y en
x
(0, 1). ¿Es uniformemente continua en (−1, 0) ∪ (0, 1)?.
§11. Una función f : X → R, con X ⊆ R, se dice Lipschitziana si existe K > 0 tal que si
x, y ∈ X se cumple que |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|.
a) Probar que si f es Lipschitziana en X entonces es uniformemente continua en X.
√
b) Probar que el recíproco es falso: mostrar que f : [0, 1] → R tal que f (x) = x es
uniformemente continua pero no es Lipschitziana.
√
c) Sea g : [0, +∞) → R, g(x) = x. Probar que g es uniformemente continua.
Otros ejercicios (fuera del práctico)
§12.
a) Sea f : (a, b) → R tal que ∀ε > 0 existe un conjunto finito F que verifica que
|f (x)| < ε, ∀x ∈ (a, b)\F . Probar que f es continua en c ∈ (a, b) si y sólo si f (c) = 0.
0 si x 6∈ Q
b) Sea f : R+ → R tal que f (x) =
. Usar la parte an1
si x = pq con mcd(p, q) = 1
q
terior para probar que f es discontinua en cada racional y continua en cada irracional.
La función f se conoce bajo diversos nombres, entre ellos como función de Riemann
o función de Thomae.
§13. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función monótona. Probar que f tiene un punto fijo.
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