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39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008
Theoretical Problem No. 3
Cambio de la temperatura del aire con la altitud, con la estabilidad
atmosférica y con la contaminación del aire
El movimiento vertical del aire gobierna muchos procesos atmosféricos tales como la
formación de nubes y la precipitación y dispersión de agentes contaminantes. Si la
atmósfera es estable, el movimiento vertical está restringido y los contaminantes tienden
a acumularse cerca del lugar de emisión en lugar de dispersarse y diluirse. Sin embargo,
en una atmósfera inestable, el movimiento vertical del aire potencia la dispersión vertical
de contaminantes. Por tanto, la concentración de contaminantes depende no solo de la
intensidad de las fuentes de emisión sino también de la estabilidad de la atmósfera.
.
Determinaremos la estabilidad atmosférica mediante el uso del concepto de paquete de
aire en meteorología y compararemos la temperatura de un paquete de aire que asciende
o desciende adiabáticamente en la atmósfera con la temperatura del aire que lo rodea.
Veremos que en muchos casos un paquete de aire que contenga contaminantes y que
ascienda desde el suelo llegará a una situación de reposo a una cierta altura, llamada
altura de mezcla (mixing height). Cuanto mayor sea la altura de mezcla, menor será la
concentración de contaminantes. Evaluaremos la altura de mezcla y la concentración de
monóxido de carbono emitida por las motocicletas del área metropolitana de Hanoi
durante la hora punta de la mañana, en la que la mezcla vertical se debe exclusivamente a
la inversión de temperatura (la temperatura del aire crece con la altitud) a alturas
superiores a 119 m.
Considere que el aire es un gas ideal diatómico con masa molar μ = 29 g/mol.
cp
γ
γ
=
pV
=
const
Las transformaciones adiabáticas obedecen la ecuación
, donde
cV es
el cociente entre las capacidades caloríficas isobárica e isocórica del gas.
Puede usa los siguientes datos si los necesita:
Constante de los gases R = 8.31 J/(mol.K).
Presión atmosférica en el suelo p0 = 101.3 kPa
Aceleración de la gravedad es constante e igual a g = 9.81 m/s2
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Capacidad calorífica isobárica por mol: c p = 2 R para el aire.
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Capacidad calorífica isocórica por mol: cV = 2 R para el aire.
Ayudas matemáticas
a.
dx
b. La solución de la ecuación diferencial dt + Ax =B
x ( t ) = x1 ( t ) +
(con A y B constantes) es
B
dx
x1 ( t ) es la solución de la ecuación diferencial
+ Ax =0 .
donde
A
dt
x
c. lim x → ∞
1

 1+ x  = e


1. Cambio de presión con la altura.
1.1 Suponga que la temperatura de la atmósfera es uniforme e igual a T0 . Escriba la
expresión de la presión atmosférica p como función de la altura z.
1.2 Suponga que la temperatura de la atmósfera varía con la altitud de acuerdo con la
relación
T ( z ) = T ( 0) − Λ z
donde lambda es una constante llamada temperature lapse rate de la atmósfera de
modo que el gradiente vertical es – Λ ).
1.2.1 Escriba la expresión de la presión atmosférica p como función de la altura z.
1.2.2 Cuando la densidad del aire aumenta con la altura, ocurre un proceso llamado
convección libre. ¿Para qué valores numéricos de Λ ocurre la convección
libre?
2. Cambio de la temperatura de un paquete de aire en movimiento vertical.
Considere un paquete de aire que sube y baja en la atmósfera. Un paquete de aire
es un cuerpo de aire de tamaño suficiente, varios metros de sección, como para
que se pueda tratar como un sistema termodinámica independiente y
suficientemente pequeño como para que su temperatura pueda considerarse
uniforme. El movimiento vertical de un paquete de aire puede tratarse como un
proceso cuasi adiabático, es decir, tal que el intercambio de calor con el aire
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circundante es despreciable. Si el paquete de aire asciende en la atmósfera, se
expande y se enfría. Por otro lado, si desciende, la presión exterior creciente
comprimirá el aire del interior del paquete y su temperatura aumentará.
Puesto que el tamaño del paquete no es grande, puede considerarse que la presión
atmosférica en la superficie del paquete tiene el mismo valor p(z), donde z es la
altura del centro del paquete. La temperatura en el paquete (en inglés, parcel) es
uniforme y la llamaremos Tparcel ( z ) , que es generalmente diferente de la
temperatura del aire que lo rodea T(z). En las partes 2.1 y 2.2, se considera T(z)
como una función arbitraria de z.
T
2.1 La variación de parcel con la altura está definida por
dTparcel
dz
= − G . Obtenga la
expresión de G (T, Tparcel)..
2.2 Considere unas condiciones atmosféricas especiales en las que, a cualquier altura
z, la temperatura T de la atmósfera es igual a la del paquete Tparcel ,
T(z)= Tparcel (z). Llamaremos Γ al valor de G cuando T = Tparcel , es decir,
Γ = −
dTparcel
dz
. Γ recibe el nombre de dry adiabatic lapse rate.
Obtenga la expresión de Γ .
2.2.2 Calcule el valor numérico de Γ .
2.2.3 Obtenga la expresión de la temperatura atmosférica T(z) como función de la
altura z.
2.3 Suponga que la temperatura atmosférica depende de la altura de acuerdo con la
2.2.1
relación
T ( z ) = T ( 0 ) − Λ z , donde
Λ es una constante. Encuentre la
dependencia de la temperatura del paquete Tparcel ( z ) con la altitud z.
2.4 Escriba la expresión aproximada de
Tparcel ( z ) cuando Λ z < < T ( 0 ) y
T(0) ≈ Tparcel(0).
3. La estabilidad atmosférica.
En esta parte, suponemos que T varía linealmente conla altura.
3.1. Considere un paquete de aire a la altura z0 que está inicialmente en equilibrio con el
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aire que le rodea, es decir, tiene la misma temperatura T( z0 ) que el aire que le rodea. Si
el paquete se desplazase ligeramente hacia arriba o hacia abajo, podría ocurrir uno de los
tres casos siguientes:
- El paquete de aire vuelve a la altura original z0 , el equilibrio del paquete es
estable. Se dice que la atmósfera es estable.
- El paquete se sigue moviendo en la dirección original, el equilibrio del paquete
es inestable, la atmósfera es inestable.
- El paquete de aire permanece en su nueva posición, el equilibrio del paquete es
indiferente y la atmósfera neutra.
¿Qué condición debe cumplir Λ para que la atmósfera sea estable, inestable y neutra?
3.2. Sea un paquete cuya temperatura en el suelo Tparcel ( 0 ) es mayor que la
temperatura T ( 0 ) del aire que le rodea. La fuerza de empuje haría que el paquete suba.
Obtenga la expresión de la altura máxima que puede alcanzar el paquete en el caso de
una atmósfera estable en función de Λ y Γ.
4. La altura de mezcla
4.1. La Tabla 1 muestra las temperaturas del aire obtenidas por un globo sonda a las
7:00 AM de un día de noviembre en Hanoi. La variación de la temperatura con la altura
es T ( z ) = T ( 0 ) − Λ z con diferentes valores de Λ en los tres estratos 0 < z < 96 m, 96
m < z < 119 m, y 119 m< z < 215 m.
Considere un paquete de aire de temperatura Tparcel ( 0 ) = 22oC ascendiendo desde el
suelo. Basándose en los datos de la Tabla 1 y utilizando la expresión lineal anterior
calcule la temperatura del paquete a las alturas de 96 m y 119 m.
4.2. Determine la altura máxima H que puede alcanzar el paquete y su temperatura
Tparcel ( H ) .
H recibe el nombre de altura de mezcla. Los contaminantes emitidos desde el suelo
se pueden mezclar con el aire de la atmósfera (por el viento, turbulencia, dispersión) y
diluirse dentro de esta capa.
Tabla 1
Datos recogidos por el globo sonda a las 7:00 AM un día de noviembre en Hanoi.
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Altura, m
5
60
64
69
75
81
90
96
102
109
113
119
128
136
145
153
159
168
178
189
202
215
225
234
246
257
Temperatura, oC
21.5
20.6
20.5
20.5
20.4
20.3
20.2
20.1
20.1
20.1
20.1
20.1
20.2
20.3
20.4
20.5
20.6
20.8
21.0
21.5
21.8
22.0
22.1
22.2
22.3
22.3
5. Estimación de la contaminación de monoxide de carbono (CO) durante una hora
punta por la mañana debido a las motocicletas en Hanoi.
El area metroplitana de Hanoi se puede aproximar mediante un rectángulo de lados
L y W como se muetra en la figura, con un lado a lo largo de la rivera sudoeste del Río
Rojo.
North
Red River
L
5
W
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Se estima que durante la hora punta de la mañana desde las 7:00 AM hasta las 8:00
AM, hay 8x105 motocicletas, cada una recorriendo 5 km en promedio y emitiendo 12 g
de CO por kilómetro. Se considera que la cantidad de contaminante CO se emite
uniformemente a lo largo del tiempo a un ritmo constante M durante la hora punta. Al
mismo tiempo, el viento limpio del noreste sopla perpendicularmente al Río Rojo ( y por
tanto a los lados L del rectángulo) con velocidad u, atrviesa la ciudad con la msma
velocidad y se lleva una parte del aire contaminado con CO fuera de la atmósfera urbana.
Usaremos el siguiente modelo aproximado:
• El CO se esparce rápidamente por todo el volumen de la capa de mezcla que
está por encima del area metropolitana de Hanoi, demodo que la
concentración C ( t ) de CO en el instante t se puede suponer constante en
•
toda la caja rectangular de dimensiones L, W y H.
El aire ascendente que entra en la caja es limpio y se supone que no se pierde
contaminación a través de los lados de la caja paralelos al viento. Antes de
7:00 AM, la concentración de CO en la atmósfera es despreciable.
5.1. Obtenga la ecuación diferencial que determina la concentración C ( t ) de
contaminante CO con función del tiempo.
5.2. Escriba la solución de esa ecuación para C ( t ) .
5.3. Calcule el valor numérico de la concentración C ( t ) a 8:00 AM, dados los datos
L = 15 km, W = 8 km, u = 1 m/s.
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