fundamentos de matemáticas - Ministerio de Educación, Cultura y

Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
CALIFICACIÓN: __________________
PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE
FORMACIÓN PROFESIONAL
JUNIO 2014
Apellidos_______________________________________Nombre_____________________________
DNI / NIE ______________________
Centro de examen__________________________________________________________________
PARTE COMÚN
MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
Instrucciones Generales
- Duración del ejercicio: Hora y media.
- Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba.
- Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y
entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba.
- Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados.
- Cuide la presentación y la ortografía.
- Revise la prueba antes de entregarla.
Esta materia de la prueba calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los
siguientes criterios:
Criterios de calificación
- El aspirante debe realizar una cinco ejercicios de los siete propuestos.
- Si el aspirante realiza más de cinco ejercicios, sólo se calificarán los cinco primeros realizados.
- Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2 puntos, distribuidos de la siguiente manera:
-
Ejercicio 1 ….. a) 1 punto b) 1 punto
-
Ejercicio 2….. 2 puntos.
-
Ejercicio 3….. a) 0´5 puntos b) 0´5 puntos c) 1 punto
-
Ejercicio 4….. a) 0´5 puntos b) 0´5 puntos c) 0´5 puntos d) 0´5 puntos
-
Ejercicio 5….. a) 0´5 puntos b) 0´5 puntos c) 0´5 puntos d) 0´5 puntos
-
Ejercicio 6….. 2 puntos
-
Ejercicio 7….. a) 0´75 puntos b) 0´75 puntos c) 0´5 puntos
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
-
Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación.
Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático.
Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso.
Se valorarán negativamente los errores conceptuales.
La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada
una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación
de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media de la parte común deberá ser igual
o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica.
EJERCICIOS
Ejercicio 1
A una reunión, entre hombres y mujeres y niños acuden 27 personas. La suma del
número de mujeres y de hombres es el doble del número de niños. Si hubieran asistido un
hombre más y una mujer menos, entonces el número de mujeres sería el doble que el de
hombres.
a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de hombres, mujeres
y niños que asisten a la reunión.
b) Resolver el sistema.
Ejercicio 2
Un padre reparte 840 € de forma inversamente proporcional a las edades de sus tres
hijos, que son 6, 10 y 12 años. Calcular el dinero que corresponde a cada uno.
2
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
Ejercicio 3
La fórmula que da la cantidad en gramos, de una determinada sustancia radioactiva en
función del tiempo del tiempo en años es
a) Calcular la cantidad inicial.
b) Calcula la cantidad al cabo de 10 años.
c) Calcular los años que tienen que transcurrir para que la cantidad que quede sea de
un gramo.
Ejercicio 4
Dados los puntos A(2, – 3) y B( – 1,– 4), calcular
a)
b)
c)
d)
La ecuación de la recta r que pasa por los dos puntos.
La pendiente y los puntos de corte con los ejes de dicha recta.
La ecuación de la recta paralela a r que pase por C(– 1,– 2).
La ecuación de la recta perpendicular a r que pase por C(– 1,– 2).
Ejercicio 5
Se ha preguntado a unos alumnos de 3º y 4º ESO si tienen o no ordenador en
casa, obteniéndose los siguientes resultados:
Si tienen
3º ESO
4º ESO
Totales
No tienen
35
45
Totales
60
100
Si se elige a un alumno al azar, calcular la probabilidad de que:
a) Sea de 3º y no tenga ordenador.
b) Sea de 4º y tenga ordenador.
c) Tenga ordenador, sabiendo que el alumno elegido es de 3º.
d) Sea de 4º, sabiendo que el alumno elegido no tiene ordenador.
3
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
Ejercicio 6
Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de
30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo es de
60º. Halla la altura de la torre.
Ejercicio 7
Tras la aparición de cierta enfermedad infecciosa, el número de afectados viene dado por
la función P(t) = – 2t2 + 48t, siendo t el número de días desde que se detectó el primer
caso.
a) ¿Durante cuántos días el número de casos aumenta?, ¿cuándo disminuye?
b) ¿Cuánto es máximo el número de afectados?, ¿cuántos afectados son?
c) ¿Cuántos afectados había el tercer día?
4
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2014
Ejercicio 1
A una reunión, entre hombres y mujeres y niños acuden 27 personas. La suma del
número de mujeres y de hombres es el doble del número de niños. Si hubieran
asistido un hombre más y una mujer menos, entonces el número de mujeres sería
el doble que el de hombres.
a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de hombres,
mujeres y niños que asisten a la reunión.
b) Resolver el sistema.
Solución
a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de hombres,
mujeres y niños que asisten a la reunión.
Solución. Nombramos con “x” al número de hombres; con “y” al número de mujeres;
y con “z” al número de niños. Por los datos e información ofrecidos podremos
describir el problema mediante las siguientes ecuaciones,
A una reunión, entre hombres y mujeres y
niños acuden 27 personas

x + y + z = 27
La suma del número de mujeres y de
hombres es el doble del número de niños

y + x = 2z
Si hubieran asistido un hombre más y una
mujer menos, entonces el número de
mujeres sería el doble que el de hombres.

y – 1 = 2·(x + 1)
Esto nos lleva a un sistema de tres ecuaciones lineales que se puede expresar del
siguiente modo:


5
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
b) Resolver el sistema.
Este sistema se puede resolver aplicando el método de Gauss-Jordan. Pasamos
primero el sistema a la correspondiente Matriz de Gauss.

Resolvemos, mediante transformaciones lineales,
Escribimos el sistema que corresponde a la matriz transformada y resolvemos,









Concluimos que hay 5 hombres, 13 mujeres y 9 niños en la reunión.
6
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
Ejercicio 2
Un padre reparte 840 € de forma inversamente proporcional a las edades de sus
tres hijos, que son 6, 10 y 12 años. Calcular el dinero que corresponde a cada uno.
Solución. Haremos un reparto directamente proporcional a los inversos de las edades.
Los inversos de las edades de los tres hijos son,
Sumamos los inversos de las edades.
Por lo tanto, al hijo cuya edad es 6 años le corresponderán,
Fracción
Dinero

840 €

x
Al hijo cuya edad es 10 años le corresponderán,
Fracción
Dinero

840 €

y
Y el hijo cuya edad es 12 años le corresponderán,
840 – 400 – 240 = 200 €
7
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
Ejercicio 3
La fórmula que da la cantidad en gramos, de una determinada sustancia radioactiva
en función del tiempo del tiempo en años es
a) Calcular la cantidad inicial.
b) Calcula la cantidad al cabo de 10 años.
c) Calcular los años que tienen que transcurrir para que la cantidad que quede
sea de un gramo.
Solución.
a) Calcular la cantidad inicial.
Se trata de calcular la imagen de t = 0 años.
Por lo tanto, la cantidad será de 100 gramos.
b) Calcula la cantidad al cabo de 10 años.
Se trata de calcular la imagen de t = 10 años.
Por lo tanto, la cantidad será de 3´125 gramos.
c) Calcular los años que tienen que transcurrir para que la cantidad que quede
sea de un gramo.
Se trata de calcular igualar la función a 1 y resolver.





Por lo tanto, pasarán aproximadamente 13´2877 años.
8
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
Ejercicio 4
Dados los puntos A(2, – 3) y B( – 1,– 4), calcular
a)
b)
c)
d)
La ecuación de la recta r que pasa por los dos puntos.
La pendiente y los puntos de corte con los ejes de dicha recta.
La ecuación de la recta paralela a r que pase por C(– 1,– 2).
La ecuación de la recta perpendicular a r que pase por C(– 1,– 2).
Solución.
a) La ecuación de la recta r que pasa por los dos puntos.
Un vector director de la recta r es,
Por lo tanto, la ecuación continua de la recta r es,

Y la ecuación general de la recta r es,



b) La pendiente y los puntos de corte con los ejes de dicha recta.
Puesto que un vector director de la recta r es,
La pendiente de la recta r es,
9
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
Calculamos ahora los puntos de corte,
 Corte con el eje OX. Hacemos y = 0 en la ecuación de la recta,


Por lo tanto, el punto de corte con el eje de abcisas es (11, 0)
 Corte con el eje OY. Hacemos x = 0 en la ecuación de la recta,


Por lo tanto, el punto de corte con el eje de abcisas es (0, – 11/3)
c) La ecuación de la recta paralela a r que pase por C(– 1,– 2).
Puesto que la recta s es paralela a r, tendrá la misma dirección y, por tanto, los
mismos vectores directores. En ese caso, la ecuación continua de la recta s que es
paralela a r que pasa por C(– 1,– 2),

Y la ecuación general de la recta s es,



d) La ecuación de la recta perpendicular a r que pase por C(– 1,– 2).
Sabemos que un vector perpendicular a v = (a, b) es n = (– b, a). Puesto que la
recta t es perpendicular a r, y un vector director de r es (– 3, – 1), entonces su
vector director será
10
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
En tal caso, la ecuación continua de la recta t que es perpendicular a r y que pasa
por C(– 1,– 2),

Y la ecuación general de la recta t es,



Ejercicio 5
Se ha preguntado a unos alumnos de 3º y 4º ESO si tienen o no ordenador en
casa, obteniéndose los siguientes resultados:
Si tienen
3º ESO
4º ESO
Totales
No tienen
35
45
Totales
60
100
Si se elige a un alumno al azar, calcular la probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)
Sea de 3º y no tenga ordenador.
Sea de 4º y tenga ordenador.
Tenga ordenador, sabiendo que el alumno elegido es de 3º.
Sea de 4º, sabiendo que el alumno elegido no tiene ordenador.
Solución
Primeramente completamos la tabla del enunciado,
3º ESO
4º ESO
Totales
Si tienen
25
20
45
No tienen
35
20
55
11
Totales
60
40
100
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
a) Sea de 3º y no tenga ordenador.
Aplicamos la regla de Laplace utilizando los resultados obtenidos en la tabla,
Por lo tanto, la probabilidad de que sea de 3º y no tenga ordenador es
del 35 %.
b) Sea de 4º y tenga ordenador.
Aplicamos la regla de Laplace utilizando los resultados obtenidos en la tabla,
Por lo tanto, la probabilidad de que sea de 4º y tenga ordenador es
del 20 %.
c) Tenga ordenador, sabiendo que el alumno elegido es de 3º.
Se trata de una probabilidad condicionada. Utilizando los resultados obtenidos en
la tabla, tendremos,
Por lo tanto, la probabilidad de que tenga ordenador sabiendo que es de 3º es
del 41´67 %.
d) Sea de 4º, sabiendo que el alumno elegido no tiene ordenador.
Se trata de una probabilidad condicionada. Utilizando los resultados obtenidos en
la tabla, tendremos,
Por lo tanto, la probabilidad de que sea de 4º ESO sabiendo que no tiene
ordenador es , aproximadamente, del 36´37 %.
12
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
Ejercicio 6
Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un
ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese
ángulo es de 60º. Halla la altura de la torre.
Solución
Se trata de un problema de trigonometría de doble
observación. Representamos la situación mediante el
dibujo adjunto. Calculamos las tangentes de los dos
ángulos,
Resolvemos el sistema,






Calculamos la altura de la torre,
Por lo tanto, la torre mide, aproximadamente 64´95 m.
13

Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
Ejercicio 7
Tras la aparición de cierta enfermedad infecciosa, el número de afectados viene
dado por la función P(t) = – 2t2 + 48t, siendo t el número de días desde que se
detectó el primer caso.
a) ¿Durante cuántos días el número de casos aumenta?, ¿cuándo disminuye?
b) ¿Cuánto es máximo el número de afectados?, ¿cuántos afectados son?
c) ¿Cuántos afectados había el tercer día?
Solución.
a) ¿Durante cuántos días el número de casos aumenta?, ¿cuándo disminuye?
Se trata de una función polinómica de segundo grado función cuadrática cuya
representación gráfica es una parábola. Sabemos que, como el coeficiente de
segundo grado es positivo (a = – 2) la parábola tendrá las ramas hacia abajo. Eso
nos indica que la función es creciente hasta la abcisa del vértice y después es
decreciente.
Observamos Igualmente que el valor inicial de afectados en un primer momento es:
P(0) = – 2·02 + 48·0 = 0
El vértice de la parábola estará en el valor de abcisa:
Por simetría, si el vértice está en la abcisa x = 12 y P(0) = 0 entonces P(24) = 0 ya
que x = 24 dista lo mismo del vértice que x = 0.
Por lo tanto, se produce un aumento del número de afectados entre los instantes 0
y 12 días. Entre 12 días y 24 días disminuye.
14
Consejería de Educación,
Cultura y Deportes
Apellidos____________________________________Nombre___________________________
DNI / NIE ______________________
b) ¿Cuánto es máximo el número de afectados?, ¿cuántos afectados son?
El número máximo de afectados se produce en el día 12. El número de afectados
será,
P(12) = – 2·122 + 48·12 = – 2 ·144 + 576 = – 288 + 576 = 288
Concluimos que el número máximo de afectados se produjo en el día 12 y fue
de un total de 288.
c) ¿Cuántos afectados había el tercer día?
El número de afectados del tercer día fueron,
P(3) = – 2·32 + 48·3 = – 2 ·9 + 144 = – 18 + 144 = 126
Concluimos que el número de afectados del tercer día es 126.
15