Archivo_PDF_32 - Matemática para todos

BOLETÍN: “LAS MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA MEDIA”
Número 32 año 3
20 de octubre de 2005
URUGUAY
www.matematicaparatodos.com
Otilio Mederos
CUBA
La modelación de problemas de movimiento
Otilio B. Mederos Anoceto
Blanca E. González Rodríguez
Universidad Central de Las Villas,
Santa Clara, V.C. Cuba
Resumen. En este trabajo se presentan observaciones y orientaciones dirigidas a los profesores
para que diseñen actividades en las que los estudiantes tengan que enfrentarse al conocimiento
nuevo y actividades grupales que propicien situaciones en que cada uno de los participantes en
el proceso de aprendizaje tenga oportunidad de conocer las interpretaciones de otros alumnos y
del profesor.
El objetivo principal del trabajo es ayudar a los profesores a diseñar actividades que favorezcan el
aprendizaje del proceso de modelación de problemas en los que intervienen varios movimientos
uniformes mediante ecuaciones y del proceso de transferencias de resultados del modelo al
problema.
Abstract. In this paper observations and orientations are presented, directed to the professors so
that they design activities in those that the students have to face the new knowledge and activities
of group that propitiate situations in that each one of the participants in the learning process has
opportunity to know the interpretations of other students and of the professor.
The main objective of the paper is to help the professors to design activities that favor the learning
of the modeling process problems in those that several uniform movements intervene by means of
equations and of the process of transfers of results of the model to the problem.
-1-
Introducción. Consideramos que el aprendizaje (Beltrán, 1998) es un proceso cognitivo
complejo, significativo, activo y mediado. El estudiante para aprender significativamente debe
establecer conexiones entre una situación de aprendizaje (conocimiento nuevo) y los
conocimientos que el posee en sus estructuras mentales. Esas conexiones requieren de su
actividad mental, actividad que se incrementa con las interacciones entre lo que ya conoce el
estudiante y, el conocimiento que se le presenta por primera vez y las interpretaciones de otras
personas que también participan en el proceso de aprendizaje como, por ejemplo, el profesor y
otros alumnos.
En este trabajo se presentan consideraciones y orientaciones dirigidas a los profesores para que
diseñen hojas de trabajo y actividades grupales, sugiriendo que primero los alumnos se ocupen
de resolver las hojas de trabajo y posteriormente se realice una actividad grupal. Se supone,
además, que los estudiantes ya conocen el proceso de solución de las ecuaciones que sirven de
modelo a estos problemas, por tal razón se orienta el uso de la calculadora con este fin, lo cual
contribuye a que puedan concentrarse en los dos procesos en estudio.
1. La modelación mediante ecuaciones fraccionarias como herramienta para resolver
problemas de movimiento.
En esta sección se estudia el proceso de modelación de problemas de movimiento con varias
velocidades, en los cuales la cantidad siempre es la unidad, mediante ecuaciones fraccionarias
en una variable. En estos problemas intervienen varios procesos (movimientos) uniformes
particulares y la cantidad, correspondiente a cada uno de estos procesos, es una unidad de algo,
por ejemplo un trabajo, el volumen de una piscina, etc.
La ley física que se utiliza para relacionar las magnitudes de cantidad, velocidad y tiempo en
cada uno de esos procesos es
Unidad de algo = velocidad × tiempo ⇔ Velocidad = (unidad de algo)/tiempo
El proceso de comprensión (significativa) del material de aprendizaje se facilita por la activación
de las estrategias de selección, organización y elaboración de los contenidos. La estrategia de
selección separa lo relevante de lo irrelevante, con lo cual facilita el acercamiento del estudiante a
la comprensión. Por tal razón, resultan de mucha importancia las acciones que permiten ejercitar
a los estudiantes en la eliminación de toda la información irrelevante de los problemas del tipo
que nos ocupa, las cuales deben estar dirigidas a obtener una proposición verbal que simplifique
el enunciado del problema. La proposición que, esencialmente, corresponde al enunciado de
-2-
estos problemas es “la suma algebraica de las velocidades de los procesos particulares es igual a
la velocidad del proceso general”.
Generalmente se utilizan diferentes modelos para facilitar la modelación del problema mediante
una ecuación fraccionaria: tablas, ley física, gráficos, dibujos, etc. La utilización de estos modelos
prepara el camino para la modelación del problema mediante una ecuación fraccionaria que
constituye su modelo. La obtención de la solución y de resultados matemáticos del modelo es un
paso importante para la transferencia al problema de resultados adecuados para su solución.
Para una
ampliación de estas ideas puede verse González (2001) y, Mederos y González
(2005).
Se debe prestar especial atención al desarrollo de dos procesos de pensamiento matemático: el
proceso de generalización conducente a un procedimiento para modelar los problemas de
movimiento en estudio y el proceso inverso de transferencia de resultados del modelo al
problema. En el primer proceso hay que transferir el planteamiento verbal del problema a un
problema matemático consistente en resolver una ecuación racional y en el segundo proceso hay
que realizar la transferencia inversa, o sea, transferir resultados matemáticos a resultados
verbales que den solución al problema.
Problemas de movimiento
con velocidad = 1/tiempo
Modelación de las magnitudes
tiempo y velocidad
Sustitución del problema por una proposición del tipo: la
suma algebraica de las velocidades de los procesos
particulares es igual a la velocidad del proceso general
Utilización de la ley velocidad = unidad de algo/tiempo
Modelación de la proposición mediante una ecuación
fraccionaria
Solución del problema
Transferencia de
resultados
Solución de la ecuación
Fig. 1
2. Algunos contenidos que pueden utilizar los profesores para diseñar hojas para el trabajo
independiente de los alumnos
-3-
3.1 Característica de los problemas que estudiaremos
continuación es que, conocido lo que ocurre en un tiempo determinado,
Responde
las
preguntas siguientes:
a) Si un hombre
se necesita buscar lo que se hace en la unidad de tiempo.
puede
La característica fundamental de los problemas que analizamos a
hacer
una
obra en k días y
todos los días trabaja al mismo ritmo, ¿qué parte de la obra puede hacer en un día?
Respuesta. Puede hacer 1/k de la obra en un día
b) Una llave puede llenar un depósito en q minutos. ¿Qué parte del depósito llena en un minuto?
Respuesta. La llave llena 1/q del depósito en un minuto.
Observaciones. En el inciso a) se supone que el hombre trabaja a un mismo ritmo, o sea, que su velocidad de
trabajo es constante. En el inciso b) se sobreentiende que el flujo de agua es uniforme, es decir, que la velocidad
de entrada del agua por la llave es constante. Luego, los movimientos de estos dos procesos son uniformes y,
por tanto, su solución se ha encontrado utilizando la fórmula correspondiente a este tipo de movimiento
Cantidad = velocidad × tiempo ⇔ velocidad = cantidad / tiempo
Una particularidad de estos dos procesos es que la cantidad es 1, y que la velocidad en el inciso a) es obra/día y
en el inciso b) volumen/día.
3.2 Participa en la solución de los problemas siguientes:
Problema 1. Juan puede hacer un trabajo en 3 días y José puede hacerlo en 5 días. ¿En qué tiempo lo harán
trabajando juntos?
Solución:
a) Indica por x la cantidad de días que demoran en hacer el trabajo Juan y José juntos, y completa la tabla 1.
Trabajadores
Juan
José
Juan y José
Tiempo = Días que demoran
Velocidad = Parte del
en hacer el trabajo
trabajo que hacen en un día =
(un trabajo)/Tiempo
3
1/3
x
Tabla 1
b) Sustituye el problema por la proposición trivial: La suma de las partes del trabajo que hacen Juan y José por
separado es igual a la parte del trabajo que hacen juntos.
Observa que esa proposición pudo enunciarse también de la forma: La suma de las velocidades con que hacen
el trabajo Juan y José por separado, es igual a la velocidad con que hacen juntos el trabajo.
c) Dibuja un gráfico que te ayude comprender mejor el problema.
d) Modela la proposición del inciso b) y obtén una ecuación fraccionaria.
d) Resuelve la ecuación utilizando la calculadora.
-4-
e) Transfiere la solución de la ecuación a una solución del problema.
Problema 2. Una llave puede llenar un tanque en 28 minutos y otra en 42 minutos. Si se abren ambas llaves
simultáneamente, ¿en qué tiempo llenarán el tanque?
Solución:
a) Completa la tabla 2.
Llaves
Tiempo = Minutos que
demoran en llenar el
tanque
Velocidad =Parte del tanque que
se llena en un minuto = (Un
tanque)/Tiempo
Primera
Segunda
Primera y segunda
Tabla 2
b) Sustituye el enunciado del problema por una proposición simplificada.
c) Auxíliate de un dibujo que amplíe le información importante del problema.
d) Modela la proposición planteada por ti en el inciso b) y obtén una ecuación fraccionaria.
e) Resuelve la ecuación utilizando la calculadora.
f) Transfiere la solución de la ecuación a una solución del problema.
Problema 3. Una piscina se puede llenar por una llave en 4 horas y por otra llave en 3 horas; y se puede vaciar
por un desagüe en 6 horas. Si se abren simultáneamente las dos llaves y el desagüe, ¿en qué tiempo se llenará la
piscina?
Solución:
a) Completa la tabla 3.
Llaves y desagüe
Tiempo = Horas que
demora en llenar la
piscina
Velocidad = Parte de la piscina
que llena en una hora= (Un
piscina)/Tiempo
Primera llave
Segunda llave
Desagüe
Llaves y desagüe
Tabla 3
b) Sustituye el enunciado del problema por una proposición simplificada.
c) Auxíliate de un dibujo que te ayuda a comprender mejor el problema.
d) Modela la proposición planteada por ti en el inciso anterior y obtén una ecuación fraccionaria.
e) Resuelve la ecuación utilizando la calculadora.
f) Transfiere la solución de la ecuación a una solución del problema.
3.3 Describe con tus palabras el procedimiento que se ha utilizado para resolver los tres problemas de la
pregunta 3.2.
-5-
3.4 Aplica el procedimiento descrito en la pregunta 3.3 para dar solución a los problemas siguientes:
Problema 4. Un tanque de 900 litros de capacidad tiene una llave que vierte 80 litros por minutos y un desagüe
por el que salen 50 litros por minuto. Si estando el tanque vacío, se abren al mismo tiempo la llave y el desagüe,
¿cuántos litros habrán salido por el desagüe cuando el tanque esté lleno?
Problema 5. ¿En qué tiempo harán un trabajo Daniel, Miguel y Pedro juntos si Daniel trabajando solo se
demora en hacer el trabajo 6 horas más que trabajando juntos, Miguel trabajando solo hace el trabajo en una
hora más, y Pedro trabajando solo necesita el doble de tiempo para hacer el trabajo que trabajando juntos?
3. Orientaciones para las actividades individual y grupal.
Se dan en esta sección orientaciones para el aprendizaje del procedimiento general para modelar mediante
ecuaciones fraccionarias problemas de movimiento uniforme del tipo presentado en §2, y para transferir
resultados del modelo al problema; mediante la actividad individual de cada alumno y la asistencia de la
calculadora en las hojas de trabajo y con la mediación del profesor y del grupo de alumnos en la actividad
grupal.
3.1 Objetivos
Mediante la solución de las actividades de las hojas de trabajo, FACILITAR la participación activa de los
alumnos y la asistencia de la calculadora; y PREPARAR LAS CONDICIONES, para que en la actividad
grupal se facilite la mediación del maestro y de otros alumnos en el aprendizaje del procedimiento en
estudio.
3.2 Contenidos a los que está dirigida las hojas de trabajo
ƒ Modelación de problemas de movimiento con varias velocidades, en los cuales la cantidad siempre es la
unidad, mediante ecuaciones fraccionarias en una variable.
ƒ
Transferencia de resultados que se obtiene del modelo a la solución del problema.
3.3 Procesos de pensamiento matemático que se deben desarrollar
ƒ Proceso de generalización conducente al procedimiento general para modelar problemas de movimiento
con varias velocidades, mediante una ecuación fraccionaria en una variable, en correspondencia con la
figura 1.
ƒ
Procesos de transferencia de resultados del modelo al problema. Ver figura 1.
3.4 Instrucciones y orientaciones generales
Se recomienda al maestro que después de entregar las hojas de trabajo utilice alrededor de 5 minutos para hacer
la introducción de la actividad en la que es conveniente aclarar que se pretende de los alumnos; así como la
importancia de su participación activa para que logren aprendizaje y que pueda realizarse una actividad grupal.
Puede recordar las instrucciones y orientaciones generales de las hojas de trabajo, que en correspondencia con
su diseño considere necesario. Puede auxiliarse de la figura 1 para indicar en forma visual el procedimiento que
-6-
van a aprender. Es recomendable recordar a los alumnos los comandos que deben utilizar para resolver
ecuaciones con la calculadora.
3.5 Participación activa del estudiante
El objetivo principal de las hojas de trabajo es que los alumnos participen en la modelación de los distintos
problemas y en el proceso de transferencia de resultados, que se obtienen de la solución de los modelos, a la
solución de los problemas. Quedan como objetivos secundarios los siguientes:
ƒ
Compatibilizar las unidades de las magnitudes de cantidad, velocidad y tiempo en correspondencia con la
fórmula velocidad = cantidad / tiempo.
ƒ
Solucionar, utilizando calculadora, la ecuación modelo del problema.
3.6 Mediación del maestro y de otros alumnos en el aprendizaje de cada estudiante
El objetivo principal de esa etapa es completar el aprendizaje del procedimiento general de modelación de
problemas de procesos uniformes generales cuando interviene varios procesos uniformes particulares, teniendo
en cuenta los resultados de los alumnos en las hojas de trabajo, en correspondencia con los objetivos a que se ha
hecho referencia en 3.5. Posterior a la actividad de trabajo independiente de los alumnos, recomendamos al
maestro que desarrolle una actividad de trabajo colectivo que facilite su mediación y la del resto del grupo de
alumnos en el aprendizaje de cada alumno. El éxito de esta actividad colectiva dependerá del papel que como
mediador realice, de sus habilidades para facilitar el mayor número de intervenciones de sus alumnos; de
manera que le permitan ampliar su conocimiento de las estructuras mentales de los mismos, para integrar a ellas
el nuevo conocimiento con el que se está trabajando. Resulta muy útil al organizar la actividad grupal tener en
cuenta los errores más frecuente que se cometieron en las hojas de trabajo, ya que de su análisis siempre resulta
un buen aprendizaje.
Puede terminar la actividad grupal con la determinación colectiva de un conjunto de pasos generales que
sinteticen los procedimientos de modelación y de transferencias de resultados del modelo al problema, como
los que se muestran a continuación.
1. Lee cuidadosamente el problema, tantas veces como te sea necesario, hasta que tengas una buena
comprensión del mismo.
2. Auxíliate de una tabla para modelar la velocidad y el tiempo de cada uno de los procesos particulares y del
proceso general.
3.
Construye un gráfico, un dibujo, un diagrama, que te brinde visualmente información relevante del
problema.
4. Expresa lo esencial del problema mediante una proposición del tipo “la suma algebraica de las
velocidades de los procesos particulares es igual a la velocidad del proceso general”.
5. Modela la proposición mediante una ecuación fraccionaria.
-7-
5.1 Utiliza la ley física que establece la relación entre las magnitudes de cantidad, tiempo y velocidad.
5.2 Descompón la proposición en frases verbales y modela cada frase mediante una expresión algebraica.
Se puede ilustrar este paso con la construcción de un diagrama como el de la figura 2 y con el enunciado del
conjunto de pasos correspondiente.
Frases verbales
Modelo mediante una expresión algebraica
Modelación de
Modelación de frases verbales
magnitudes mediante
mediante expresiones algebraicas
Fig. 2
Pasos generales del procedimiento de modelación de una frase verbal.
o Determinación de las magnitudes a las que se refiere la frase.
o Modelación mediante variables de las magnitudes.
o Determinación de la expresión algebraica correspondiente a la frase verbal.
5.3 Puede resultar muy útil terminar la discusión sobre el proceso de modelación de proposiciones verbales
mediante ecuaciones algebraicas con la construcción del diagrama de la figura 3 y con el enunciado del
conjunto de pasos correspondiente a este proceso de modelación.
Proposición verbal
Modelación mediante una ecuación algebraica
Descomposición de
la proposición en
frases
Modelación de frases verbales
mediante expresiones algebraicas
Modelación de magnitudes
mediante variables
Fig. 3
Pasos generales del procedimiento de modelación de una proposición verbal.
o Descomposición de la proposición en diferentes frases.
o Modelación mediante expresiones algebraicas de las frases.
o Modelación de la proposición mediante una ecuación.
6. Resuelve la ecuación-modelo del problema, para lo cual es recomendable que utilices una calculadora una
vez que domines el procedimiento de resolución de este tipo de ecuaciones.
7. Verifica la solución de la ecuación por ti obtenida.
-8-
8. Expresa verbalmente la solución del problema y cerciórate de que has dado la respuesta en las unidades
adecuadas.
9. Verifica que la solución verbal del problema es correcta.
Conclusiones.
La forma en que se han organizado los contenidos para facilitar el aprendizaje del proceso de modelación de
problemas de movimiento y del proceso de transferencia de resultados del modelo al problema, puede adaptarse
o modificarse por los profesores en correspondencia con las características del grupo, programa, etc.; sin
embargo, el desarrollo de estrategias de aprendizaje en los estudiantes es muy importante para que logren un
aprendizaje significativo. Consideramos, independientemente de la organización que se dé de los contenidos,
que:
ƒ
La construcción colectiva de los diagramas de las figuras 1, 2 y 3 puede, por una parte, ayudar a la
mediación del maestro y de otros alumnos en el aprendizaje de cada alumno y, por otra, contribuir al
desarrollo de estrategias de elaboración y de organización de los procedimientos de modelación y de
transferencias de resultados del modelo al problema.
ƒ
La participación de los estudiantes en la selección de la información relevante del problema y
su sintetización en una proposición es un ejercicio muy importante para el desarrollo de la
estrategia de selección.
Bibliografía
Beltrán, J. (1998): Procesos, estrategias y técnicas de aprendizaje. Editorial Síntesis, S. A. Vallehermoso, 34.
28015 Madrid, España.
González, B. E. (2001): “La preparación del profesor para la utilización de la modelación en el
proceso de enseñanza-aprendizaje”. Tesis de doctorado en Ciencias Pedagógicas. Universidad
Central de las Villas. Santa Clara. V.C. Cuba.
Mederos, O. B. y B. E. González. (2005): La modelación en la educación matemática. Facultad de
Ciencias Físico Matemáticas. Universidad Autónoma de Coahuila. México. Talleres Gráficos de
Salvador Impresor S.A. de C.V.
-9-