Recta

Condición para que 3 puntos estén alineados.
A( x A , y A ), B( x B , y B ), C ( xC y C ) Estarán alineados cuando los vectores AB y BC tengan
la misma dirección, esto ocurre cuando son proporcionales.
xB − x A yB − y A
=
xC − x B yC − y B
Punto medio de un segmento.
Punto medio = M
Extremos =
A( x A , y A ), B( x B , y B )
 x + xB y A + yB 
,
M = A

2
2


Ecuaciones de la recta.
Ecuación vectorial:
OX = p + k v
O es el origen
X es un punto de la recta
p es un vector posición que nos sitúa sobre la recta
v es el vector dirección (paralelo a la recta)
k es un parámetro. Al variar t, varía X sobre la recta.
Ecuaciones paramétricas:
En la ecuación vectorial sustituimos los vectores por sus coordenadas:
(x, y ) = ( p1 , p 2 ) + k (v1 , v 2 )
Y expresamos las variables por separado:
Ecuación paramétrica
 x = p1 + kv1

 y = p 2 + kv 2
Ecuación continua de la recta:
Despejamos k e igualamos:
x − p1 
 x = p1 + kv1 
v1 


y − p2 
 y = p 2 + kv2 → k

v 2 
→k
x − p1 y − p 2
=
v1
v2
Ecuación implícita o general:
x − p1 y − p 2
=
v1
v2
(x − p1 )v 2 = ( y − p 2 )v1
xv 2 − p1 v 2 = yv1 − p 2 v1
xv 2 − yv1 − p1v 2 + p 2 v1 = 0
Cambio de variables: [ A = v 2 B = −v1
C = p 2 v1 − p s v 2 ]
Ax + B y + C = 0 El vector (A, B) es perpendicular a la recta r
v ⊥ _ al _ v _ director
Ecuación explícita de la recta r.
Ax + B y + C = 0
y=
− C − Ax
B
Cambio de variables: [ m =
−A
B
n=
−C
]
B
y = mx + n
Pendiente:
[m(x0 + 1) + n] − [mx 0 + n] = mx 0 + m + n − mx0 − n = m
tgα = m
Para obtener la pendiente de una r a partir de 2 puntos:
Puntos: P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 )
m = tgα =
y 2 − y1 ∆y
=
x 2 − x1 ∆x
Forma punto pendiente de la ecuación de una recta:
Conocemos un punto P (x 0 , y 0 ) y su pendiente m , la ecuación es:
y = y 0 + m( x − x 0 )
Simétrico de un punto respecto de otro.
A(x, y ) , El punto de simetría P(α, β ) , y el punto a averiguar A′(x ′, y ′) :
x + x′ 
α=
2 
y + y′

β=
2 
Punto
Angulo entre dos rectas:
Se coge el más pequeño y se obtiene a partir de los
cos α =
v d de las dos rectas.
d ⋅ d′
d ⋅ d′
Paralelismo:
Si
(d1 , d 2 ) es un
v d de la recta r y k ≠ 0,
Cualquier recta con
Perpendicularidad:
Cualquier recta con
v d = (d 1 , d 2 ) o proporcional (kd 1 , kd 2 ) , es paralela o coincide con r.
v d = (d 2 ,−d 1 ) o proporcional (kd 2 ,−kd 1 ) es perpendicular a r.
Ángulo de dos rectas a partir de la pendiente:
• Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente
•
Si las rectas don ⊥ , entonces:
•
En general:
tgϕ =
m 2 − m1
1 + m 2 ⋅ m1
m1 = m 2
m1 ⋅ m 2 = 1 o bien: m 2 = −
tgϕ = tg (α − β ) =
1
m1
m 2 − m1
tgα − tgβ
=
1 + tgα ⋅ tgβ 1 + m 2 ⋅ m1
Posición relativa de rectas dadas en forma general:
r ⇒ Ax + By + C = 0
y
s ⇒ A′x + B ′x + C ′x = 0
 Ax + By + C = 0

 A′x + B ′x + C ′x = 0
•
Si tiene solución única, las rectas se cortan.
A B
≠
A′ B ′
•
Si no tiene solucion, las rectas son paralelas.
A B C
=
≠
A′ B ′ C ′
•
Si tiene soluciones infinitas son la misma recta.
A B C
=
=
A′ B ′ C ′
Posición relativa de rectas dadas :
Dadas las rectas
 x = a ′ + b ′t
s
 y = c ′ + d ′t
 x = a + bk
r
 y = c + dk
Para hallar su posición relativa resolvemos el sistema con 2 incognitas, k y s:
 a + bk = a ′ + b ′t
Igualamos las x y las y de las 2 rectas.

 c + dk = c ′ + d ′t
• El sistema tiene solución única (k 0 , t 0 ) , las rectas se cortan en un punto cuyas
cordenadas se obtienen sustituyendo en r, k por k 0 , o bien en s, t por t 0 .
• El sistema no tiene solución, las rectas son paralelas.
• El sistema tiene infinitas soluciones, son la misma recta.
Distancias
La distancia entre dos puntos
dist (P, Q ) = PQ =
(x
P( x P , y P ) , q (xQ , y Q ) es el módulo del vector PQ :
− x P ) + (y Q − y P )
2
Q
2
P(a , b ) a la recta r : Ax + By + C = 0 es:
Aa + Bb + C
La distancia de un punto
dist (P, r ) =
A2 + B 2
TEMA 5:
Producto escalar
( )
^
u ⋅ v = ux ⋅ vx + u y ⋅ vy
Es un número. ||
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos u , v
( )
^
|| u ⋅ v =
u x2 + u
2
y
⋅
Módulo de un vector:
u = u x2 + u 2y
Es un número
Cos del ángulo de 2 vectores:
( )
^
cos u , v =
u⋅v
u⋅v
=
ux ⋅ vx + u y ⋅ vy
u x2 + u y2 ⋅ v x2 + v 2y
Combinación lineal (CL):
Vectores
x e y
Escalares a y b
Vector CL de
x e y = ax + by
Coordenadas del vector CL
u = (u x , u y )
 = au + b y = (au x + bv x , au y + bv y )
v = (v x , v y ) 
Es un número
v x2 + v 2y ⋅ cos u , v