cap 02-2008 - Universidad de Concepción

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142
Primer Semestre
FUNCIONES (1)
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción
1
Relaciones Binarias
RELACION
Dados dos subconjuntos arbitrarios A y B no vacíos, una
relación binaria R es una correspondencia entre los elementos
de A y B, la cual se representa por un subconjunto de pares
ordenados R ⊆ A × B.
Si (a, b) ∈ R diremos que a está relacionado con b y escribiremos aRb:
aRb ⇐⇒ (a, b) ∈ R
El conjunto {(a, b) : (a, b) ∈ R} forma la representación gráfica de R.
Dominio de R:
Dom(R) = {a ∈ A : ∃ b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R}
Recorrido de R: Rec(R) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R}
La representación R−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R} define la relación
inversa de R, y se denota R−1 .
2
Relaciones Binarias
EJEMPLOS
Sea R la relación cuya representación está dada por:
R = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}.
Dom(R) = {2},
Se tiene que
Rec(R) = {1, 2, 3}.
Para A = {1, 2, 3} y B = {1, 4}, sea R la relación definida por
aRb
⇐⇒
a + b ≤ 5,
Así R = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (3, 1)},
R definida por:
aRb
⇐⇒
a ∈ A, b ∈ B.
Dom(R) = A,
Rec(R) = B.
a2 + b2 ≤ 1
R = {(a, b) ∈ R×R : a2 +b2 ≤ 1}, Dom(R) = [−1, 1], Rec(R) = [−1, 1].
3
Funciones
FUNCION
Diremos que la relación R representada por R ⊆ A × B, es una
función f de A en B, si y sólo si:
se escribirá
y = f (x).

 f : A −→
B
La relación f se describe por

x 7−→ y = f (x)
Notación:
xRy
∀ x ∈ A, ∃ ! y ∈ B : (x, y) ∈ R
y
(variable dependiente)
es la IMAGEN de x a través de f
x
(variable independiente) es una PRE-IMAGEN de y porf
A
DOMINIO de f
A = Dom(f )
B
CODOMINIO de f
B = Cod(f )
R
GRAFICO de f
Gr(f ) = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}.
4
Funciones
Igualdad de Funciones
Decimos que las funciones
f : A −→ B
x 7−→ f (x) = y
y
g:C
−→ D
x 7−→ g(x) = y
son iguales, si tienen igual dominio, igual codominio y son iguales punto
a punto en la imagen. Esto es:
f =g
⇐⇒
[(A = C)
∧
(B = D)]
∧
(∀x ∈ A :
f (x) = g(x))
5
Funciones
Conjunto Imagen
Sea f : A −→ B una función y X ⊆ A.
La imagen de X por f se define por:
f (X) = {y ∈ B : ∃ x ∈ X, y = f (x)}
= {f (x) : x ∈ X}
Notación:
Rec(f ) = f (A)
Imagen Recíproca o Pre-Imagen
Sea f : A −→ B una función y Y ⊆ B.
La pre-imagen o imagen recíproca de Y por f se define por:
f −1 (Y ) = {x ∈ A : ∃ y ∈ Y , y = f (x)}
= {x ∈ A : f (x) ∈ Y }
6
Funciones
Algunas Propiedades de f (X) y f −1 (Y )
Sea f : A −→ B una función, X ⊆ A y Y ⊆ B.
X ⊆ X̃ ⊆ A =⇒ f (X) ⊆ f (X̃)
T
T
f (X X̃) ⊆ f (X) f (X̃)
S
S
f (X X̃) = f (X) f (X̃)
f −1 (B) = A
Y ⊆ Ỹ ⊆ B =⇒ f −1 (Y ) ⊆ f −1 (Ỹ )
S −1
S
−1
−1
f (Y Ỹ ) = f (Y ) f (Ỹ )
T −1
T
−1
−1
f (Y Ỹ ) = f (Y ) f (Ỹ )
f −1 (f (X)) ⊇ X
f (f −1 (Y )) ⊆ Y
7
Funciones
Función Sobreyectiva
Una función f : A −→ B es sobreyectiva si y sólo si :
f (A) = B ,
(es decir, Rec(f ) = B)
~

∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A : f (x) = y
~

En términos de resolver una ecuación :

 la ecuación f (x) = y
∀y ∈ B :
 admite solución en A
8
Funciones
Función Inyectiva
Una función f : A −→ B es inyectiva si y sólo si :
∀y ∈ f (A), ∃ ! x ∈ A : f (x) = y
~

∀x1 , x2 ∈ A : f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2
~

∀x1 , x2 ∈ A : x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
~

la ecuación f (x) = y
∀ y ∈ f (A) :
tiene solución única en A
9
Funciones
Observación
f : A → B no es inyectiva ⇐⇒ ∃ x1 , x2 ∈ A : x1 6= x2 ∧ f (x1 ) = f (x2 )
Función Biyectiva
Una función f : A −→ B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y
sobreyectiva, es decir:
∀y ∈ B, ∃ ! x ∈ A : f (x) = y
~

la ecuación f (x) = y
∀y ∈ B :
tiene solución única en A
10
Funciones
Función Inversa
Sea f : A −→ B una función biyectiva.
La función
g:B
y
−→ A
7−→ g(y) = x, donde
g(y) = x si y sólo si f (x) = y
se llama función inversa de f y se escribe g = f −1 .
11
Funciones Reales
Observación
A funciones f : A ⊆ R −→ B ⊆ R les llamaremos Funciones Reales.
Observación
Dada una relación R, nos interesa encontrar el mayor
subconjunto A de R de modo que R sea una función f con Dom(f ) = A,
es decir,
f : Dom(f ) = A ⊆ R −→ R
En este caso:
n
o
Dom(f ) = x ∈ R : ∃ ! y ∈ R ∧ f (x) = y .
n
o
Rec(f ) = f (x) ∈ R : x ∈ Dom(f ) .
n
o
Gr(f ) = x, f (x) ∈ R × R : x ∈ Dom(f ) .
12
Funciones Reales
Sea f : Dom(f ) ⊆ R −→ R
y
X = Dom(f )
Restricción de Funciones
A la función:
g: C ⊆X
−→ R
x 7−→ g(x) = f (x)
se le denomina la Restricción de f a C y se escribe g = f C .
Observar que Rec(f C ) = f (C).
Ejemplo
Las funciones
h : ] − ∞, 0] −→ R
g : [0, +∞[ −→ R
y
2
x 7−→ h(x) = x2
x 7−→ g(x) = x
son restricciones de la función f : R −→
x 7−→
R
f (x) = x2
13
Funciones Reales
Funciones Monótonas
La función f : X ⊆ R → R se dice estrictamente :
creciente, si y sólo si,
∀x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
decreciente, si y sólo si, ∀x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Nota
Si ∀ x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) se dice que f es
monótona creciente.
Análogamente, si ∀ x1 , x2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) dire-
mos que f es monótona decreciente.
14
Funciones Reales
Proposición
Toda función estrictamente creciente (decreciente) es inyectiva.
Funciones Par e Impar
Una función f : Dom(f ) = X ⊆ R −→ R se dice :
Par, si y sólo si,
Impar, si y sólo si,
x ∈ X =⇒ [(−x ∈ X)
x ∈ X =⇒ [(−x ∈ X)
∧
(f (x) = f (−x))]
∧
(f (x) = −f (−x))]
15
Funciones Reales
Operaciones con funciones
Sean
Se define la Función
Suma
f +g
Producto
Cuociente
:X
fg
−→ R;
:X
f : Dom(f ) ⊆ R −→ R,
g : Dom(g) ⊆ R −→ R
X = Dom(f ) ∩ Dom(g) 6= ø.
x ∈ X 7−→ (f + g)(x) = f (x) + g(x).
−→ R;
x ∈ X 7−→ (f g)(x) = f (x)g(x).
f /g : {x ∈ X : g(x) 6= 0}
x∈X
−→ R;
7−→ (f /g)(x) = f (x)/g(x).
Producto por Escalar (λ ∈ R)
λf : Dom(f ) −→ R;
x ∈ Dom(f ) 7−→ (λf )(x) = λf (x).
16
Funciones Reales
Función Compuesta
Sean f : Dom(f ) ⊆ R −→ R, g : Dom(g) ⊆ R −→ R,
X=
x ∈ Dom(f ) : f (x) ∈ Dom(g) .
Cuando X 6= ø, se define la función g compuesta con f como:
g◦f :X
x
−→
7−→
R
g ◦ f (x) = g(f (x))
17
Funciones Reales
f
g
Dom( g)
Rec( g o f)
X
f(X)
g(f(X))
x
y=f(x)
g(y)=g(f(x))
Dom( f )
IR
IR
IR
go f
18
Funciones Reales
EJEMPLO
Considere las siguientes funciones:
f : A⊆ R → R
x 7→ f (x) =
√
x−1
y
g :C⊆R→R
x 7→ g(x) = x2 + 1.
Defina la función g ◦ f .
19
Funciones Reales
SOLUCION
Una función esta bien definida si se indica claramente dominio,
codominio y ley de formación. Para encontrar el dominio de g ◦ f es
necesario determinar el Dom(f ) y Dom(g).
Dom(f ) = {x ∈ R : ∃ y ∈ R,
= {x ∈ R :
= [1, +∞[
Dom(g)
x ≥ 1}
= {x ∈ R : ∃ y ∈ R,
√
x − 1 = y}
x2 + 1 = y}
= R
20
Funciones Reales
Determinemos Dom(g ◦ f ):
√
Dom(g ◦ f ) = x ∈ [1, +∞[: x − 1 ∈ R
= x ∈ [1, +∞[: x ≥ 1
= [1, +∞[
Definamos g ◦ f .
g ◦ f : [1, +∞[ −→ R
x 7−→
g ◦ f (x) = g(f (x))
√
= g( x − 1)
=x
21
Funciones Reales
Algunas Propiedades de la Función Inversa
Si una función f admite inversa entonces, ésta es única.
Sean
g : A→ B
invertibles entonces
y
f : B → C
f ◦ g: A → C
dos funciones
es invertible y
(f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .
Los gráficos de f y f −1 son simétricos con respecto a la
recta y = x.
22
Funciones Reales
Funciones INVERSAS
f(x)
−1
f (y)
y
x
23
Funciones Reales
EJEMPLO
Considere la siguiente función:
f :A
⊆R→R
√
x 7→ f (x) = x2 − 1
i) Encuentre Dom(f ).
ii) Encuentre Rec(f ).
iii) ¿Es f inyectiva?. Justifique.
iv) Restrinja el Dom(f ) a un conjunto B de modo que la función
g : B → Rec(f )
√
x 7→ g(x) = f (x) = x2 − 1
sea invertible. Defina la función inversa.
24
Funciones Reales
SOLUCION
i)
Dom(f ) = {x ∈ R : ∃ y ∈ R,
= {x ∈ R :
= {x ∈ R :
√
x2 − 1 = y}
x2 − 1 ≥ 0}
|x| ≥ 1}
= ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
ii)
Rec(f ) = {y ∈ R : ∃ x ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[,
= {y ∈ R : ∃ x ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[,
= {y ∈ R :
= [0, +∞[
x2 = y 2 + 1 ≥ 1,
y ≥ 0}
y=
√
x2 − 1}
y 2 = x2 − 1,
y ≥ 0}
iii) Contraejemplo: Se observa que {2, −2} ⊆ Dom(f ) son tales que
2 6= −2 y sin embargo f (−2) = f (2) ∴ f no es inyectiva
25
Funciones Reales
iv) Así, (por ejemplo), la función
g:
[1, +∞[→ [0, +∞[
es invertible y su inversa es la función
√
2
x 7→ y = g(x) = x − 1
g −1 : [0, +∞[→ [1, +∞[
y 7→ x = g −1 (y)
g −1 (y) = x
=⇒ g(x) = y
√
=⇒ x2 − 1 = y
=⇒ x2 − 1 = y 2
p
=⇒ x = y 2 + 1
Finalmente
g −1 :
[0, +∞[→ [1, +∞[
p
−1
y 7→ g (y) = y 2 + 1
26
Funciones Reales
EJEMPLO
Considere las siguientes funciones:
f : Dom(f ) ⊆ R → R
x 7→ f (x) =
g : Dom(g)
⊆R→R
x 7→ g(x) =
i) Encuentre Dom(f ).
p√
7−
√
x2 − 2

 4 − x2 , si x < 0
 x + 3,
si x ≥ 0.
ii) ¿Es g inyectiva?, ¿Es g sobreyectiva? justifique analíticamente. Si g
no es inyectiva restrinja adecuadamente, sin modificar su recorrido,
para que lo sea.
27
Funciones Reales
SOLUCION
i)
p√
√
7 − x2 − 2 = y}
Dom(f ) = {x ∈ R : ∃ y ∈ R,
√
√
= {x ∈ R :
7 − x2 − 2 ≥ 0, x2 − 2 ≥ 0}
x2 ≥ 2}
√
= {x ∈ R : |x| ≤ 3, |x| ≥ 2}
√ √
2, 3
= − 3, − 2 ∪
= {x ∈ R :
9 ≥ x2 ,
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Funciones Reales
ii) Tenemos que Dom(g) = R. Además g no es inyectiva, ya que por
contraejemplo:
{−1, 0} ⊆ Dom(g) = R
−1 6= 0 y sin embargo
Rec(g) = {y ∈ R : ∃ x ∈ R,
g(−1) = g(0) = 3.
g(x) = y}
= {y ∈ R : ∃ x < 0, 4 − x2 = y} ∪ {y ∈ R : ∃ x ≥ 0, x + 3 = y}
√
= {y ∈ R : x = − 4 − y, x < 0} ∪ {y ∈ R : x = y − 3, x ≥ 0}
√
= {y ∈ R : 4 − y > 0} ∪ {y ∈ R : y ≥ 3}
= {y ∈ R : y < 4} ∪ {y ∈ R : y ≥ 3}
= ] − ∞, 4[ ∪ [3, +∞[
=R
29
Funciones Reales
Como Rec(g) = R = Cod(g), g es sobreyectiva.
Cualquiera de las dos funciones siguientes pueden ser una restricción de
g inyectiva, con la condición pedida:
g1 : ] − ∞, 0[ ∪ [1, +∞[→ R

 4 − x2 , si x < 0
x 7→ g1 (x) =
 x + 3, si x ≥ 1
g2 : ] − ∞, −1[ ∪ [0, +∞[→ R

 4 − x2 , si x < −1
x 7→ g2 (x) =
 x + 3, si x ≥ 0.
30