Handout - Carlos Pitta

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Facultad de Economía y Empresa
Microeconomía I
Prof. Carlos R. Pitta
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Resumen:
Requisitos Matemáticos
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Optimización
• Las teorías económicas asumen que un
agente se encuentra buscando el valor
óptimo de alguna función
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– Los consumidores buscan maximizar su
utilidad
– Las firmas maximizar sus ganancias
___________________________________
• A continuación revisaremos las
matemáticas empleadas en este tipo de
problemas
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Funciones de una Variable
• Ejemplo simple: El administrador de una
firma quiere maximizar sus ganancias (π)
  f (q)

*
 = f(q)
Ganancias
Máximas
* ocurren en q*
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___________________________________
___________________________________
Cantidad
q*
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Funciones de una Variable
• Variando q veremos dónde ocurre el
máximo beneficio
– Un incremento de q1 a q2 ocasiona un
incremento en 


0
q
*
2
 = f(q)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
1
q1
q2
Cantidad
q*
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Funciones de una Variable
• Si el producto se incrementa más allá de q*,
las ganancias caerán
– Un incremento de q* a q3 origina una caída en 


0
q
*
 = f(q)
3
___________________________________
___________________________________
___________________________________
q*
q3
Cantidad
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Derivadas
• La derivada de  = f(q) es el límite de
/q para cambios pequeños de q
d df
f (q  h)  f (q1 )

 lim 1
dq dq h  0
h
___________________________________
___________________________________
• Su valor dependerá del valor de q1
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Valor de una derivada en un punto
• El evaluar una derivada en el punto q =
q1 puede ser escrito como sigue:
d
dq q  q
___________________________________
___________________________________
1
• En nuestro ejemplo previo,
d
0
dq q q
1
d
0
dq q q
3
d
0
dq q  q *
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Condición de Primer Orden para un
Máximo
• Para que una función de una variable
alcance su máximo valor en un punto,
la derivada en ese punto debe ser cero:
df
dq
___________________________________
___________________________________
0
q q*
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Condiciones de Segundo Orden
• La Condición de Primer Orden (d/dq)
es una condición necesaria pero no
suficiente para conseguir un máximo

Si la función de ganancias tuviera
forma de U, la CPO sugeriría
elegir q*, con lo que  sería
minimizada
___________________________________
___________________________________
___________________________________
*
Cantidad
q*
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Condiciones de Segundo Orden
• Esto significa que, para que q* sea un
óptimo,
d
 0 para q  q *
dq
y
d
 0 para q  q *
dq
___________________________________
___________________________________
• En q*, d/dq debe ser decreciente
– La derivada de d/dq debe ser negativa en
q*
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Segundas Derivadas
• La derivada de una derivada se llama
segunda derivada
• La segunda derivada puede ser escrita
como:
d 2
d 2f
or
or f " (q )
dq 2
dq 2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Condición de Segundo Orden
• La Condición de Segundo Orden para
representar un máximo local es:
d 2
 f " (q ) q  q *  0
dq 2 q q *
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Reglas para Derivar
1. si b es una constante, entonces
db
0
dx
d [bf ( x)]
 bf ' ( x)
dx
2. Si b es una constante, entonces
___________________________________
___________________________________
b
3. Si b es constante, entonces
4.
dx
 bx b1
dx
d ln x 1

dx
x
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Reglas para Derivar
5.
da x
 a x ln a para toda constante a
dx
– Un caso especial de esta regla es
dex/dx = ex
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Reglas para Derivar
• Suponga que f(x) y g(x) son dos
funciones de x y f’(x) y que g’(x) existe
• Entonces:
6.
d [f ( x )  g ( x )]
 f '(x)  g'(x)
dx
7.
d [f ( x )  g ( x )]
 f ( x )g ' ( x )  f ' ( x )g ( x )
dx
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Reglas para Derivar
 f ( x) 

d 
g ( x)  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
8. 

dx
g( x)2
siempre que g ( x)  0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Reglas para Derivar
• si y = f(x) y x = g(z) y si tanto f’(x) como
g’(x) existen, entonces:
9.
dy dy dx df dg




dz dx dz dx dz
– Es la llamada regla de la cadena
– Nos permite estudiar cómo una variable (z)
afecta a otra variable (y) por medio de su
influencia en alguna variable intermedia (x)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Reglas para Derivar
• Algunos ejemplos de la Regla de la
Cadena
ax
10.
de
de
d (ax )


 eax  a  aeax
dx
d (ax ) dx
  d ln(ax )
  d(ax ) 1  a  1
d ln(ax )
11.
dx
d(ax ) dx
ax
x
12.
___________________________________
ax
d [ln( x 2 )] d [ln( x 2 )] d ( x 2 ) 1
2


 2  2x 
dx
d(x 2 )
dx
x
x
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Ejemplo: Maximización de Ganancias
• Suponga que la relación entre ganancias
y producto es
___________________________________
 = 1,000q - 5q2
• La CPO para un máximo es
d/dq = 1,000 - 10q = 0
___________________________________
q* = 100
• Dado que la segunda derivada siempre
es -10, q = 100 es un máximo global
(CSO se satisface)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Funciones con varias variables
• La mayoría de los objetivos de los
agentes económicos dependen de
muchas variables
– Pues estamos sujetos a disyuntivas
• La dependencia de una variable (y) de
una serie de otras variables
(x1,x2,…,xn) se escribe como:
y  f (x1, x2 ,..., xn )
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Derivadas Parciales
• La derivada parcial de y con respecto a
x1 se escribe como:
y f
ó
ó f x1 ó f1
x1 x1
– Al calcular las derivadas parciales, todas
las otras x’s se mantienen constantes
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Derivadas Parciales
• Una definición más formal de la
derivada parcial es:
f
f(x1  h , x 2,..., x n )
 f(x1, x 2,..., x n )
 lim
x1 x 2,...,x n h 0
h
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Calculando derivadas parciales
1. Si y  f ( x1 , x2 )  ax12  bx1 x2  cx22 , entonces
f
 f1  2ax1  bx2
x1
___________________________________
y
f
 f 2  bx1  2cx2
x2
2. Si y  f ( x1 , x2 )  e ax1 bx2 , entonces
f
f
 f1  ae ax1 bx2 y
 f 2  be ax1 bx2
x1
x2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 25
___________________________________
Calculando derivadas parciales
3. Si y  f ( x1 , x2 )  a ln x1  b ln x2 , entonces
f
a
f
b
 f1 
y
 f2 
x1
x1
x2
x2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Derivadas Parciales
• Las derivadas parciales son las
expresiones matemáticas del supuesto
ceteris paribus
___________________________________
– Muestran como los cambios en una
variable afectan el resultado cuando las
demás influencias son permanecen
constantes
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Elasticidad
• Las Elasticidades miden el efecto
proporcional que el cambio en una
variable tiene sobre otra
– No tiene unidades
• La elasticidad de y con respecto a x es
ey , x 
y
y x y x
y

 

x x y x y
x
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Elasticidad y Forma Funcional
• Suponga que
___________________________________
y = a + bx + otros términos
• En este caso,
ey,x 
y x
x
x
  b  b
x y
y
a  bx    
• ey,x no es una constante
– Es importante recordar el punto en el cual
la elasticidad será calculada
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Elasticidad y Forma Funcional
___________________________________
• Suponga que
y = axb
• En este caso,
ey , x 
y x
x
  abx b 1  b  b
x y
ax
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 30
___________________________________
Elasticidad y Forma Funcional
___________________________________
• Suponga que
ln y = ln a + b ln x
• En este caso,
ey ,x 
y x
 ln y
 b 
x y
 ln x
• Las elasticidades pueden ser
calculadas a través de diferenciación
logarítmica
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 31
___________________________________
Derivadas Parciales de 2do Orden
• Las derivadas parciales de una
derivada son llamadas derivadas
parciales de segundo orden
(f / xi )
 2f

 fij
x j
x j xi
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Teorema de Young
• Bajo condiciones generales, el orden en
el cual se realiza la diferenciación
parcial no importa
___________________________________
___________________________________
fij  f ji
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 33
___________________________________
Uso de derivadas de 2do orden
• Las derivadas parciales de segundo
orden juegan un papel muy importante
en muchas teorías económicas
• Uno de los más importantes es la
derivada parcial propia de segundo
orden, fii
– Muestra cómo y/xi cambia a medida que
xi crece
– Si fii < 0, esto indica una eficacia marginal
decreciente
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Funciones de varias variables
• Suponga que un agente desea maximizar
y = f (x1,x2,…,xn)
• El cambio en y a partir de un cambio en x1
(manteniendo las otras x’s constantes) es
f
dy 
dx 1  f1dx 1
x1
– El cambio en y es igual al cambio en x1
multiplicado por la pendiente (medida en la
dirección de x1)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Diferenciales Totales
• Suponga que y = f(x1,x2,…,xn)
• Si todas las x’s se mueven un pequeño
monto, el efecto total sobre y será:
___________________________________
f
f
f
dx1 
dx 2  ... 
dx n
x1
x 2
xn
___________________________________
dy 
dy  f1dx1  f2dx 2  ...  fndx n
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Condiciones de Primer Orden (CPO)
para un máximo
• Una condición necesaria para un máximo
de la función f(x1,x2,…,xn) es que dy = 0
para cualquier combinación de pequeños
cambios en las x’s
– Esto solo puede ocurrir si:
f1  f2  ...  fn  0
• Un lugar en donde esta condición se cumpla
Es llamado un punto crítico
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Condiciones de Segundo Orden
(CSO)
___________________________________
• Dicha condición no es suficiente para
asegurar un máximo
– Necesitamos examinar las derivadas parciales
de segundo orden de la función f
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Encontrando un máximo
• Suponga que y es una función de x1 y x2
y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10
y=-
x12
+ 2x1 -
x22
+ 4x2 + 5
• La condición de primer orden indica que:
y
 2 x1  2  0
x1
y
 2 x 2  4  0
x 2
___________________________________
Es decir
x 1
x 2
*
1
*
2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Funciones Implícitas
• Una función “explícita” que es mostrada
con una variable dependiente (y) como
una función de una o más variables
independientes (x) tal que
y = mx + b
puede ser escrita como una función
“implícita”
y – mx – b = 0
f(x,y,m,b) = 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 40
___________________________________
Derivadas de Funciones Implícitas
• Algunas veces será útil calcular
derivadas directamente a partir de
funciones implícitas sin resolver las
variables directamente
– El diferencial total de f(x,y) = 0 es
0 = fxdx + fydy
– Esto significa que:
dy
f
 x
dx
fy
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Frontera de Posibilidades de
Producción
• Ejemplo anterior: x2 + 0.25y2 = 200
• Puede reescribirse: f(x,y) = x2 + 0.25y2 - 200 = 0
• Dado que fx = 2x y fy = 0.5y, el costo de
oportunidad entre x e y es:
dy f x
2x
4x



dx
fy
0.5y
y
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 42
___________________________________
Teorema de la Función Implícita
• Es posible que no siempre sea posible resolver
funciones implícitas de la forma g(x,y)=0 para
funciones explícitas únicas de la forma y = f(x)
– Las condiciones necesarias imponen restricciones
sobre las varias derivativas parciales de las funciones
– En muchas aplicaciones económicas, estas
condiciones son las mismas que las condiciones de
segundo orden para un máximo (o un mínimo)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 43
___________________________________
Teorema de la Envolvente
• El Teorema de la Envolvente se refiere a
cómo cambios en el valor óptimo de la
función cambian cuando variamos un
parámetro de la función
– Esto es más fácil de ver usando un ejemplo
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 44
___________________________________
Teorema de la Envolvente
• Suponga que y es una función de x
___________________________________
y = -x2 + ax
• Para diferentes valores de a, esta función
representa una familia de parábolas
invertidas
• Si se le asigna a a un valor específico,
entonces y se transforma en una función
de x solamente, y el valor de x que
maximiza y puede ser calculado
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 45
___________________________________
Teorema de la Envolvente
Valores óptimos de x e y para distintos valores de a
Valor de a
0
1
2
3
4
5
6
Valor de x*
0
1/2
1
3/2
2
5/2
3
Valor de y*
0
1/4
1
9/4
4
25/4
9
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 46
___________________________________
Teorema de la Envolvente
y*
10
A medida que a se
incrementa, el valor
Máximo de y crece
9
8
7
6
5
La relación entre
a e y es
cuadrática
4
3
2
1
a
0
0
1
2
3
4
5
6
7
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 47
___________________________________
Teorema de la Envolvente
• Suponga que estamos interesados en
cuánto cambia y* a medida que a cambia
• Podemos averiguarlo de dos formas:
___________________________________
– Calculando la pendiente de y directamente
– Manteniendo constante a x en su valor
óptimo y calculando y/a directamente
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 48
___________________________________
Teorema de la Envolvente
• Para calcular la pendiente de la función,
debemos solucionar el valor óptimo de x
para cualquier valor de a
dy/dx = -2x + a = 0
x* = a/2
___________________________________
___________________________________
• Sustituyendo, tenemos
y* = -(x*)2 + a(x*) = -(a/2)2 + a(a/2)
___________________________________
y* = -a2/4 + a2/2 = a2/4
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 49
___________________________________
Teorema de la Envolvente
___________________________________
• Por lo tanto,
dy*/da = 2a/4 = a/2
• ¡Ahorramos tiempo usando el Teorema de
la Envolvente!
– Para cambios pequeños en a, dy*/da puede
ser calculado manteniendo x en x* y
calculando y/a directamente a partir de y
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 50
___________________________________
Teorema de la Envolvente
y/ a = x
___________________________________
• Manteniendo x = x*
y/ a = x* = a/2
• ¡Es el mismo resultado que encontramos
anteriormente!
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 51
___________________________________
Teorema de la Envolvente
• El cambio en el valor óptimo de una función
con respecto a un parámetro de esa
función puede ser encontrado derivando
parcialmente la función objetivo y
manteniendo constante x (o varias x’s) en
su valor óptimo
dy * y

{x  x * (a)}
da
a
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 52
___________________________________
Teorema de la Envolvente
• Este resultado puede ser extendido al caso
en donde y es una función de varias
variables
___________________________________
y = f(x1,…xn,a)
___________________________________
• Encontrar un valor óptimo para y requiere
resolver n ecuaciones de primer orden
y/xi = 0
(i = 1,…,n)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 53
___________________________________
Teorema de la Envolvente
• Los valores óptimos para estas x’s serán
entonces una función de a
___________________________________
x1* = x1*(a)
x2* = x2*(a)
___________________________________
xn*= xn*(a)
___________________________________
.
.
.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 54
___________________________________
Teorema de la Envolvente
• Sustituyendo en la función objetivo original
nos da el valor óptimo de y (y*)
___________________________________
y* = f [x1*(a), x2*(a),…,xn*(a),a]
• Al diferenciar tenemos:
dy * f dx1 f dx 2
f dx n f




 ... 


da
x1 da x 2 da
xn da a
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 55
___________________________________
Teorema de la Envolvente
• Debido a que las condiciones de primer
orden, todos los términos excepto f/a son
iguales a 0 si las x’s se encuentran en sus
valores óptimos
• Por lo tanto,
dy * f

da a
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 56
___________________________________
Maximización con restricciones
• ¿Qué pasaría si no todos los valores de x’s
están disponibles?
– Los valores de x puede necesitar ser > 0
– Las decisiones de un consumidor se encuentran
limitadas por su capacidad de compra
• Un método usado para resolver problemas de
Maximización con Restricciones es el
Multiplicador Lagrangeano
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 57
___________________________________
Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Suponga que deseamos encontrar los
valores de x1, x2,…, xn que maximizan
___________________________________
y = f(x1, x2,…, xn)
sujetos a la restricción
g(x1, x2,…, xn) = 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 58
___________________________________
Método de los Multiplicadores de Lagrange
• El método del Multiplicador
Lagrangeano comienza escribiendo la
expresión:
ℒ = f(x1, x2,…, xn ) + g(x1, x2,…, xn)
–  es llamado un Multiplicador Lagrangeano
• Cuando la restricción es operativa, ℒ = f
– g(x1, x2,…, xn) = 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 59
___________________________________
Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Condiciones de Primer Orden
___________________________________
ℒ /x1 = f1 + g1 = 0
ℒ /x2 = f2 + g2 = 0
.
.
.
ℒ /xn = fn + gn = 0
ℒ / = g(x1, x2,…, xn) = 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 60
___________________________________
Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Las Condiciones de Primer Orden, por lo
general, pueden ser resueltas para x1,
x2,…, xn y 
• La solución tendrá dos propiedades:
– los x’s obedecerán a la restricción
– estos x’s incrementarán los valores de ℒ (y
por lo tanto de f) tanto como sea posible
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 61
___________________________________
Método de los Multiplicadores de Lagrange
• El Multiplicador Lagrangeano () tiene
una importante interpretación económica
• Las Condiciones de Primer Orden
implican que:
f1/-g1 = f2/-g2 =…= fn/-gn = 
– Los numeradores fi miden el beneficio
marginal de una unidad más de xi
– Los denominadores gi reflejan el peso
adicional de la restricción al usar más xi
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 62
___________________________________
Método de los Multiplicadores de Lagrange
• En los valores óptimos de xi’s, el
cociente del beneficio marginal al costo
marginal de xi debería ser el mismo
para todo xi
___________________________________
___________________________________
•  es el cociente costo-beneficio para
todo xi

beneficio marginal de xi
costo marginal de xi
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 63
___________________________________
Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Si la restricción es relajada ligeramente,
no importará qué xi cambia
___________________________________
•  provee una medida de cómo la
relajación de la restricción afectará a y
___________________________________
– Provee un “precio sombra” a la restricción
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 64
___________________________________
Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Un valor de  alto indica que cada xi
tiene un alto cociente costo-beneficio
___________________________________
• Un valor de  bajo indica que cada xi
tiene un bajo cociente costo-beneficio
___________________________________
•  = 0 implica que la restricción no es
operativa
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 65
___________________________________
Dualidad
• Cualquier problema de Maximización
con Restricciones tiene un problema
dual en minimización restringida
___________________________________
– Lo que focaliza la atención sobre las
restricciones del problema original
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 66
___________________________________
Dualidad
• Los individuos maximizan su utilidad
sujeto a una restricción presupuestaria
___________________________________
• Problema Dual: los individuos minimizan
sus gastos para lograr un determinado
nivel de utilidad
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 67
___________________________________
Dualidad
• Las firmas minimizan los costos de los
insumos para producir un nivel
determinado de producto
• Problema Dual: Las firmas maximizan el
producto para un nivel dado de costo de
los insumos comprados
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 68
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Suponga que un granjero tiene cierto largo
de una tela metálica para cercar (P) y
desea cercar la mayor área rectangular
posible
– sean x e y los largos de los lados
• Problema: escoja x e y para maximizar el
área (A = x·y) sujeto a la restricción de
que el perímetro está fijo en P = 2x + 2y
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 69
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Escribiendo el Multiplicador Lagrangeano:
ℒ = x·y + (P - 2x - 2y)
• Las Condiciones de Primer Orden para un
máximo son
___________________________________
___________________________________
ℒ /x = y - 2 = 0
ℒ /y = x - 2 = 0
ℒ / = P - 2x - 2y = 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 70
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Dado que y/2 = x/2 = , x debe ser igual a
y
___________________________________
– el campo cercado debe ser cuadrado
• Dado que x = y e y = 2, podemos usar la
restricción para deducir qué:
x = y = P/4
 = P/8
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 71
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Interpretación del Multiplicador
Lagrangeano
–  que un metro adicional de cerca agregaría
P/8 al área total
– El Multiplicador Lagrangeano provee
información acerca del valor implícito de la
restricción
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 72
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Problema Dual: escoja x e y para
minimizar el monto de cerca requerida
para cercar el área
minimizar P = 2x + 2y
sujeto a A = x·y
• Escribiendo el Lagrangeano:
ℒ D = 2x + 2y + D(A - xy)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 73
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Condiciones de Primer Orden:
ℒ D/x = 2 - D·y = 0
ℒ D/y = 2 - D·x = 0
ℒ D/D = A - x·y = 0
___________________________________
___________________________________
• Resolviendo, tenemos
x = y = A1/2
• El Multiplicador Lagrangeano (D) = 2A-1/2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 74
___________________________________
Teorema de la Envolvente &
Maximización con Restricciones
• Suponga que queremos maximizar
___________________________________
y = f(x1,…,xn;a)
sujeto a la restricción
___________________________________
g(x1,…,xn;a) = 0
• Una manera de resolver es escribir la
expresión Lagrangeano y resolver las
Condiciones de Primer Orden
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 75
___________________________________
Teorema de la Envolvente &
Maximización con Restricciones
• Por otra parte, podemos mostrar que
dy*/da = ℒ /a(x1*,…,xn*;a)
– El cambio en el valor máximo de y a partir de
un cambio en a puede ser encontrado
derivando parcialmente ℒ y evaluando la
derivada parcial en el punto óptimo
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 76
___________________________________
Restricciones de Desigualdad
• En algunos problemas económicos las
restricciones no se satisfacen exactamente
• Suponga que queremos maximizar
y = f(x1,x2) sujeto a
___________________________________
___________________________________
g(x1,x2)  0,
x1  0, y
x2  0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 77
___________________________________
Restricciones de Desigualdad
• Una manera de resolver este problema
es introducir tres nuevas variables (a, b,
y c) para convertir las desigualdades en
igualdades
– Para asegurarnos que las desigualdades
serán satisfechas, elevaremos al cuadrado
estas nuevas variables para asegurar que
sus valores son > 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 78
___________________________________
Restricciones de Desigualdad
g(x1,x2) - a2 = 0;
x1 -
b2
___________________________________
= 0; y
x2 - c2 = 0
• Cualquier solución que cumpla estas 3
restricciones de igualdad también
cumplirá con las Restricciones de
Desigualdad
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 79
___________________________________
Restricciones de Desigualdad
• Ahora podemos escribir el Lagrangeano
ℒ = f(x1,x2) + 1[g(x1,x2) -
a2]
+ 2[x1 -
b2]
___________________________________
+
3[x2 - c2]
___________________________________
• Y habrá 8 Condiciones de Primer Orden
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 80
___________________________________
Restricciones de Desigualdad
ℒ /x1 = f1 + 1g1 + 2 = 0
___________________________________
ℒ /x2 = f1 + 1g2 + 3 = 0
ℒ /a = -2a1 = 0
ℒ /b = -2b2 = 0
___________________________________
ℒ /c = -2c3 = 0
ℒ /1 = g(x1,x2) - a2 = 0
ℒ /2 = x1 - b2 = 0
___________________________________
ℒ /3 = x2 - c2 = 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 81
___________________________________
Restricciones de Desigualdad
• De acuerdo con la tercera condición, ya
sea a ó 1 deben ser 0
– si a = 0, la restricción se cumple g(x1,x2)
exactamente
– si 1 = 0, la disponibilidad de cierta
holgura en la restricción implica que su
valor para la función objetivo es 0
• Relaciones similares de holgura
complementaria también aplicarán para
x1 y x2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 82
___________________________________
Restricciones de Desigualdad
• Éstos resultados son llamados las
condiciones de Kuhn-Tucker
– muestran que las soluciones a problemas
que involucran Restricciones de
Desigualdad diferirán de aquellas que
involucran restricciones de igualdad en
varios aspectos importantes
• Nos permite trabajar primordialmente con
restricciones que involucran desigualdades
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 83
___________________________________
Condiciones de Segundo Orden Funciones de una Variable
• Sea y = f(x)
• Una condición necesaria para un máximo
es que
dy/dx = f ’(x) = 0
– para asegurar que el punto es un máximo, y
debe ser decreciente para cualquier
movimiento que se aleje de el
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 84
___________________________________
Condiciones de Segundo Orden Funciones de una Variable
• El diferencial total mide el cambio en y
___________________________________
dy = f ’(x) dx
– para estar en un máximo, dy debe decrecer
para todo pequeño incremento de x
– para ver los cambios en dy, debemos usar la
segunda derivada de y
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 85
___________________________________
Condiciones de Segundo Orden Funciones de una Variable
d 2y 
___________________________________
d [f ' ( x )dx ]
 dx  f " ( x )dx  dx  f " ( x )dx 2
dx
– dado que d 2y < 0 , f ’’(x)dx2 < 0
– dado que dx2 debe ser > 0, f ’’(x) < 0
• Esto significa que la función f debe tener
una figura cóncava en el punto crítico
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 86
___________________________________
Condiciones de Segundo Orden Funciones de DOS Variables
• Suponga que y = f(x1, x2)
• Las CPO para un máximo son:
y/x1 = f1 = 0
___________________________________
___________________________________
y/x2 = f2 = 0
– para asegurar que un punto es un máximo, y
debe disminuir para movimientos en cualquier
dirección que se aleje del punto crítico
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 87
___________________________________
Condiciones de Segundo Orden Funciones de DOS Variables
• f1 y f2 deben ser decrecientes en el punto
crítico
• También debemos aplicar condiciones en
las derivadas parciales cruzadas (f12 = f21)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 88
___________________________________
Condiciones de Segundo Orden Funciones de DOS Variables
• El diferencial total de y está dado por:
___________________________________
dy = f1 dx1 + f2 dx2
• El diferencial total de dicha función es:
d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2
___________________________________
d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx22
• Por el teorema de Young, f12 = f21 y
___________________________________
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 89
___________________________________
Condiciones de Segundo Orden Funciones de DOS Variables
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
• Para que esta ecuación sea < 0 para
cualquier dx1 y dx2 , f11 y f22 deben ser
negativos
• Si ocurre que ni dx1 ni dx2 son 0, entonces
d 2y será < 0 solo si
f11 f22 - f122 > 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 90
___________________________________
Maximización con
Restricciones
• Suponga que queremos escoger x1 y x2
para maximizar
___________________________________
y = f(x1, x2)
• sujeto a una restricción lineal
___________________________________
c - b1x1 - b2x2 = 0
• Podemos escribir el Lagrangeano:
ℒ = f(x1, x2) + (c - b1x1 - b2x2)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 91
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Las Condiciones de Primer Orden son
___________________________________
f1 - b1 = 0
f2 - b2 = 0
c - b1x1 - b2x2 = 0
___________________________________
• Para asegurar que tenemos un máximo,
debemos usar la “segunda” diferencial
total
___________________________________
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 92
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Solo valores de x1 e x2 que satisfacen las
restricciones pueden ser considerados
como alternativas válidas al punto crítico
• Debemos calcular el diferencial total de
la restricción
___________________________________
___________________________________
-b1 dx1 - b2 dx2 = 0
dx2 = -(b1/b2)dx1
– estos son cambios relativos permitidos en x1
e x2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 93
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Dado que las CPO implican que f1/f2 =
b1/b2, tenemos
___________________________________
dx2 = -(f1/f2) dx1
• Dado que
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
___________________________________
podemos sustituir por dx2 y tener
d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx12 + f22(f12/f22)dx12
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 94
___________________________________
Maximización con Restricciones
• Combinando dichos términos y
arreglando, tenemos
___________________________________
d 2y = f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 [dx12/ f22]
• Por lo tanto, para d 2y < 0, debe ser
cierto que:
f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 < 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 95
___________________________________
Maximización con Restricciones
f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 < 0
___________________________________
• Esta ecuación caracteriza a un conjunto de
funciones llamadas cuasi-cóncavas
– dos puntos cualesquiera dentro del conjunto
pueden ser unidos por una línea contenida
completamente en el set
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 96
___________________________________
Funciones Cóncavas y CuasiCóncavas
• Las diferencias entre funciones
cóncavas y cuasi-cóncavas pueden ser
ilustradas mediante la función
y = f(x1,x2) = (x1x2)k
___________________________________
___________________________________
Donde x1 > 0, x2 > 0, y k > 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 97
___________________________________
Funciones Cóncavas y CuasiCóncavas
• Sin importar el valor que k tome, esta
función es cuasi-cóncava
• PERO, dependiendo del valor de k, la
función será cóncava o no
– si k < 0.5, la función es cóncava
– si k > 0.5, la función es convexa
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 98
___________________________________
Funciones Homogéneas
• Se dice que una función f(x1,x2,…xn) es
homogénea de grado k si
___________________________________
f(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn)
– cuando k = 1, aumentar al doble todos sus
argumentos doblará el valor de la función
misma
– cuando k = 0, doblar todos sus argumentos
dejará el valor de la función sin cambios
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 99
___________________________________
Funciones Homogéneas
• Si una función es homogénea de grado
k, las derivadas parciales de la función
serán homogéneas de grado k-1
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 100
___________________________________
Teorema de Euler
• Si derivamos la definición de
homogeneidad con respecto al factor de
proporción t, obtenemos
ktk-1f(x1,…,xn) = x1f1(tx1,…,txn) + … + xnfn(x1,…,xn)
___________________________________
___________________________________
• Esta relación es llamada el Teorema de
Euler
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 101
___________________________________
Teorema de Euler
• Para una función homogénea, existe
una relación definida entre el valor de
la función y el valor de sus derivadas
parciales
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 102
___________________________________
Funciones Homotéticas
• Una función homotética es aquella
formada al tomar una transformación
monótona creciente de una función
homogénea
– en general no poseen las características
de homogeneidad de las funciones
generadoras
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 103
___________________________________
Funciones Homotéticas
• Tanto para Funciones Homogéneas
como para Funciones Homotéticas, la
disyuntiva implícita entre las variables
en la función depende solamente de las
razones de dichas variables, y no de
sus valores absolutos
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 104
___________________________________
Funciones Homotéticas
• Suponga que examinamos la función de
dos variables f(x,y) = 0
• El intercambio implícito entre x e y para
una función de dos variables es:
___________________________________
___________________________________
dy/dx = -fx/fy
• Si asumimos que f es homogénea de
grado k, sus derivadas parciales serán
homogéneas de grado k-1
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 105
___________________________________
Funciones Homotéticas
• El intercambio implícito entre x e y es:
___________________________________
dy
t k 1f (tx, ty )
f (tx, ty )
  k 1 x
 x
dx
t fy (tx, ty )
fy (tx, ty )
___________________________________
• Si t = 1/y,
x
f x 
y
dy
 
dx
x
f y 
y

,1


,1

___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 106
___________________________________
Funciones Homotéticas
• El intercambio no se ve afectado por
una transformación monotónica y
permanece como función solamente de
la razón de x a y
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________