vvv = + uvuvuv ∙ = ∙ + ∙ uvuv cosuv

PUNTOS
Condición para que 3 puntos estén alineados.
Dados tres puntos A(x A ,y A ), B(xB ,yB ), C(x C ,y C ) , estarán alineados cuando los vectores
AB y BC tengan la misma dirección, esto ocurre cuando son proporcionales.
xB  x A yB  y A

x C  xB y C  yB
Punto medio de un segmento.
Dados dos puntos A(x A ,y A ), B(xB ,yB ) se calcula el punto medio (M) con la fórmula:
 x x y y 
M A B , A B 
2 
 2
VECTORES
Vectores:
Dado el vector: v  v x ,v y


Módulo de un vector:
v  v2x  v2y
Producto escalar
Dado los vectores u  ux ,uy y v  v x ,v y




Podemos calcular el producto escalar de ellos de dos formas:
u  v  ux  v x  uy  v y
O bien
u  v  u  v  cosuv
Coseno del ángulo de 2 vectores:
Despejando de la fórmula anterior obtenemos:
cosuv 
u v
uv
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ECUACIONES DE LA RECTA.
1. Ecuación vectorial:
r  px ,py   k  v x ,v y 
p ,p  es un punto de la recta.
 v ,v  es el vector dirección.
x
y
x
y
2. Ecuaciones paramétricas:
Si en la ecuación vectorial expresamos las variables por separado obtenemos las
ecuaciones paramétricas:
x  px  kv x
y  py  kv y
3. Ecuación continua de la recta:
Si en las ecuaciones paramétricas despejamos la k y las igualamos obtenemos la
continua:
x  px 
v x 
y  py  
 k

v y 
x  px  kv x  k 
y  py  kv y
x  px y  p y

vx
vy
4. Ecuación implícita o general:
Si multiplicamos en cruz en la ecuación continua tenemos:
x  px y  p y


vx
vy
 x  px  v y   y  p y  v x
Desarrollamos y pasamos todo al primer miembro:
xv y  px v y  yvx  py vx  0
Llamamos A a v y , B a v x y C a py v x  px v y y tenemos:
Ax  By  C  0
5. Ecuación explícita de la recta r.
• Si conocemos la ecuación explícita se obtiene despejando la y de la ecuación implícita:
A
C
Ax  By  C  0  y   x 
B
B
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C
A
yna  .
B
B
Obtenemos así: y  mx  n
Llamamos m a 
Donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen.
•Si conocemos un punto y la pendiente, podemos obtener la ecuación directamente:
y  y 0  m x  x 0 
SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO.
Dado el punto A  x,y  , podemos calcular el punto simétrico de A  x,y  respecto al
punto de simetría P  ,  :

x  x
y  y
, 
2
2
ANGULO ENTRE DOS RECTAS:
Si llamamos v   v x ,v y  al vector de una de las rectas y v   vx ,vy  al vector de la otra
recta, obtenemos el ángulo con la fórmula:
v  v  v  v 
cos   x x y y
v  v
RECTAS PARALELAS
• Si llamamos v   v x ,v y  al vector de una de las rectas y v   vx ,vy  al vector de la otra
recta se cumple que:
vx vy

vx vy
• Si lo que tenemos son las pendientes de las dos rectas, se cumple que:
m  m
RECTAS PERPENDICULARES
• Si llamamos v   v x ,v y  al vector de una de las rectas y v   vx ,vy  al vector de la otra
recta, sus vectores cumplen:  vx ,vy   kv y , kv x 
•Si lo que tenemos son las pendientes de las dos rectas, se cumple que:
m  
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1
m
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POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS DADAS EN FORMA GENERAL:
s  Ax  By  C  0
Dadas las rectas: r  Ax  By  C  0 y
 Si
A B
 las rectas se cortan.
A B
 Si
A B C
  las rectas son paralelas.
A B C
 Si.
A B C
  Las rectas son coincidentes (las mismas)
A B C
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

 

La distancia entre dos puntos P Px ,Py , Q Q x ,Q y es el módulo del vector PQ :
dist P,Q   PQ 
Q x  Px   Q y  Py 
2
2
DISTANCIA ENTRE PUNTO Y RECTA
La distancia de un punto P  a,b  a la recta r : Ax  By  C  0 es:
dist P,r  
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Aa  Bb  C
A2  B2
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