1 ANÁLISIS DOCUMENTAL ENFOCADO A LA CONCEPCIÓN Y

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ANÁLISIS DOCUMENTAL ENFOCADO A LA CONCEPCIÓN Y
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Y DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
MULTIPLICATIVO EN ESTUDIANTES DE LICENCIATURA EN
MATEMÁTICAS Y AFINES
ANDRÉS EDUARDO BLANCO NIÑO 29022203
HUGO ERNESTO CHAVES MARTINEZ 29022205
UNIVERSIDAD DE LA SALLE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS
DE LA COMPUTACIÓN
BOGOTA D.C.
2010
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ANÁLISIS DOCUMENTAL ENFOCADO A LA CONCEPCIÓN Y
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Y DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
MULTIPLICATIVO EN ESTUDIANTES DE LICENCIATURA EN
MATEMÁTICAS Y AFINES
ANDRÉS EDUARDO BLANCO NIÑO
HUGO ERNESTO CHAVES MARTINEZ
Trabajo de Grado presentado como requisito para obtener el título de Licenciados
en Matemáticas y Ciencias de la Computación
Directora
JEANNETE PLAZA ZÚÑIGA
Magistra en Investigación Educativa
UNIVERSIDAD DE LA SALLE
FACULTAD DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
Bogotá, D.C.
2010
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Tabla de contenido
RESUMEN ........................................................................................................................ 6
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 7
PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN ............................................................................... 8
Objetivo General ..................................................................................................... 10
Objetivos Específicos .............................................................................................. 10
Justificación............................................................................................................. 11
Antecedentes ........................................................................................................... 12
FUNDAMENTACIÓN ................................................................................................... 14
Documental ............................................................................................................. 16
Motivación Positiva ................................................................................................ 17
Enseñanza-Aprendizaje ........................................................................................... 18
Acerca del conocimiento profesional del profesor de matemáticas. ....................... 22
Acerca del aprendizaje de las matemáticas en estudiantes para profesor. .............. 25
El pensamiento multiplicativo................................................................................. 26
DISEÑO METODOLOGICO ......................................................................................... 29
Tipo de investigación: Análisis de contenido ......................................................... 29
Análisis documental (de datos cualitativos) ............................................................ 30
Obtención de resultados y establecimiento de conclusiones................................... 31
ANÁLISIS DE RESULTADOS ..................................................................................... 34
Etapas del Proceso de Análisis................................................................................ 34
Primera Etapa ...................................................................................................... 34
Segunda Etapa ..................................................................................................... 34
Tercera Etapa ...................................................................................................... 35
Tabla 1. Convenciones De Colores Utilizadas. .................................................. 36
Resolución de Problemas .................................................................................... 36
Utilización y exploración de hipótesis (Conjeturas). ...................................... 36
Uso de diversas representaciones. .................................................................. 37
Comunicación de resultados. .......................................................................... 37
Objetivos Metodológicos .................................................................................... 38
Comunicar y argumentar ideas. ...................................................................... 38
Aceptar críticas. .............................................................................................. 39
Objetivos Conceptuales....................................................................................... 40
Entender ideas matemáticas. .......................................................................... 40
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Construir y reconstruir conceptos matemáticos. ............................................ 42
Cuarta Etapa. ....................................................................................................... 42
Comprensión de enunciado. ............................................................................ 43
Conciencia de error en la solución de la situación problémica. .................... 46
Conciencia de situación problémica. .............................................................. 48
Estudiante describe un proceso. ..................................................................... 49
Necesidad de rectificación en comprensión de enunciado. ............................ 52
Planteamiento de posible solución a situación problémica. ........................... 55
Planteamiento de situación problémica .......................................................... 60
Propuesta alterna para solución de situación problémica. ............................ 61
Síntesis de posible solución a situación problémica. ...................................... 62
Solución a situación problémica. .................................................................... 70
Estudiante comunicando ideas acerca de un texto. ........................................ 77
Quinta y Sexta Etapa ........................................................................................... 81
Listado de Palabras o Frases Recurrentes ..................................................... 82
Séptima Etapa...................................................................................................... 90
Oposiciones ..................................................................................................... 90
Campo Semántico............................................................................................ 91
Octava Etapa ....................................................................................................... 94
Categoría 1: Resolución de problemas ........................................................... 94
Categoría 2: Soluciones y Representaciones de conceptos multiplicativos a
partir de ideas propias. ................................................................................... 95
Categoría 3: Aprehensión de conceptos multiplicativos a partir del error y la
rectificación..................................................................................................... 96
TABLA 2. Recopilación de resultados. ......................................................... 97
Novena Etapa. ..................................................................................................... 99
El pensamiento multiplicativo desde la resolución de problemas. (Resultados)
......................................................................................................................... 99
Resolución de problemas. ............................................................................... 99
Soluciones y Representaciones de conceptos multiplicativos a partir de ideas
propias........................................................................................................... 101
Aprehensión de conceptos multiplicativos a partir del error y la rectificación.
....................................................................................................................... 102
CONCLUSIONES ........................................................................................................ 105
RECOMENDACIONES ............................................................................................... 110
BIBLIOGRAFIA........................................................................................................... 112
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APENDICES ................................................................................................................. 114
Introducción……………………………………………………………………………..I
APENDICE A Clase 1 Febrero 6 de 2004………………………………………….II
APENDICE B Clase 2 Febrero 9 de 2004…………………………………………III
APENDICE C Clase 3 Febrero 12 de 2004………………………………………..IV
APENDICE D Clase 4 Febrero 13 de 2004………………………………………..V
APENDICE E Clase 5 Febrero 16 de 2004………………………………………..VI
APENDICE F Clase 6 Febrero 19 de 2004……………………………………….VII
APENDICE G Clase 7 Febrero 20 de 2004……………………………………...VIII
APENDICE H Clase 8 Febrero 23 de 2004………………………………………..IX
APENDICE I Clase 9 Febrero 26 de 2004…………………………………………X
APENDICE J Clase 10 Febrero 27 de 2004………………………………………..XI
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RESUMEN
Esta investigación surge a partir del material de análisis utilizado para el desarrollo del
proyecto EL PENSAMIENTO MULTIPLICATIVO: UNA MIRADA DE
SU
DENSIDAD Y COMPLEJIDAD EN SU DESARROLLO EN EL AULA integrado por
docentes investigadores de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas en el cual,
se realizaron filmaciones de las clases presenciales de estudiantes de Licenciatura en
Educación Básica con el fin de analizar a profundidad el rol del estudiante y docente en
el desarrollo del pensamiento multiplicativo en el aula de aprendizaje a nivel
universitario.
Docentes integrantes de dicho proyecto facilitaron el material fílmico (10 videos en
formato VHS) a un grupo de estudiantes de Licenciatura en Matemáticas y Ciencias de
la Computación de la Universidad de La Salle con el fin de desarrollar proyectos de
investigación conservando la fundamentación esencial pero con diferente enfoque e
intencionalidad.
Para obtener resultados en este trabajo, se realizaron una serie de pasos de acuerdo a las
etapas de la investigación, comenzando por la transcripción completa de los videos,
clasificación de los personajes, establecimiento de convenciones por colores para
diferenciar categorías previas de análisis que se depuraron de acuerdo a la referencia
bibliográfica titulada: Destilar la Información de Fernando Vásquez con el fin de llegar
a establecer nuevas categorías de análisis referentes al pensamiento multiplicativo y su
desarrollo en el aula.
El moldeamiento de las conclusiones se plasmó en Cuadros semánticos como
generalidad y se ampliaron por medio de la redacción de un texto aclaratorio.
Se entregan también recomendaciones para futuros investigadores y para las
instituciones implicadas en la investigación.
Palabras Clave: Resolución de Problemas, Pensamiento Multiplicativo, Error,
Matemática, Destilación, Análisis, Video.
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INTRODUCCIÓN
La educación Matemática en Colombia ha avanzado constantemente en los últimos
años, no sólo en el número de Universidades que ofrecen programas en este campo sino
en la importancia que se le da a implementar procesos eficientes y eficaces para
aprender matemática y educar en esta misma ciencia.
Esta tarea se ha convertido en un reto para estudiantes y docentes teniendo en cuenta
que dentro del paradigma que se tenía hace unos años, se hacía evidente el supuesto
“alto grado de dificultad” o el hecho de asociar el estudio de la matemática con personas
aisladas a la sociedad o con un nivel de pedagogía menor a los docentes de otras áreas
en vista del poco agrado que sienten los estudiantes hacia la materia generalmente.
A partir de lo anteriormente expuesto, muchos matemáticos e incluso pedagogos que no
dominan ciencias puras o no propiamente son su especialidad, se han interesado en gran
medida por avanzar en el campo de la educación matemática y su impacto en la
sociedad con el fin de optimizar los procesos pedagógicos y lograr aprendizaje
significativo o encontrar respuestas claras a las problemáticas educativas en este campo.
En los últimos años en las instituciones educativas colombianas han surgido diferentes
grupos tanto de estudiantes como docentes, dedicados a la investigación y publicación
de resultados obtenidos a partir de proyectos propios por medio de revistas u otro tipo de
material visual e incluso audiovisual.
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PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN
¿Cuáles categorías permiten explicar el proceso de formación del pensamiento
multiplicativo en el aula y facilitan un análisis que logre una aplicación real de los
conceptos implicados?
En las actividades planteadas en los programas de formación de docentes en la
Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad
Distrital
el
Grupo
MESCUD,
con
el
proyecto:
EL
PENSAMIENTO
MULTIPLICATIVO: UNA MIRADA DE SU DENSIDAD Y COMPLEJIDAD EN
SU DESARROLLO EN EL AULA integrado por docentes investigadores financiados
por Colciencias, plantea que en dichos pregrados no se analiza de una manera
estructurada y completa la forma en que los aspirantes a licenciados en programas de
pregrado en matemáticas o afines, realiza una conexión entre la metodología que se usa
para enseñar y aprender las estructuras multiplicativas en la secundaria y
posteriormente en los programas universitarios de la misma rama respecto a la
solución de problemas por medio de estrategias claras y estructuradas.
Lo anteriormente planteado, aborda un tema bastante debatido en la comunidad
matemática y es la aplicación que puede dar respecto a una realidad física y temporal en
un contexto determinado. Como supuesto, se podría pensar que el currículo estaría en
capacidad de plantear una alternativa viable para que los educadores y aspirantes a
educadores lleguen a un punto en común, en el cual la se pueda concebir una
“matemática real”.
“Para que los estudiantes vean las matemáticas como una actividad con sentido,
necesitan aprenderlas en un salón de clases que sea un microcosmos de la
cultura matemática. Es decir, clases donde los valores de las matemáticas como
una disciplina se reflejen en la práctica cotidiana. Así, para la educación
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matemática el asunto es cultural. ¿Cómo se puede crear un ambiente de clase que
refleje una cultura matemática real? (Schoenfeld, 1988, p. 88)
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Objetivo General
Analizar el contenido de las filmaciones de clase aportadas por la Universidad Distrital
Francisco José de Caldas (Grupo MESCUD) para desarrollar una nueva investigación
que lleve a establecer categorías generales de análisis que faciliten la obtención de
conclusiones respecto al proceso de adquisición de conceptos relacionados con el
pensamiento multiplicativo. (Estas filmaciones corresponden a las grabaciones de la
primera a la décima de clases, donde se desarrolla un experimento de enseñanza
diseñado por el mismo grupo, dentro de la cátedra de problemas de la aritmética II, de
un conjunto de estudiantes de licenciatura en educación básica con énfasis en
matemáticas del primer ciclo académico del año 2004 de La Universidad Distrital.)
Objetivos Específicos

Identificar las precategorias de análisis que permitan clasificar y organizar la
información aportada por las filmaciones de clase.

Diseñar un modelo para organizar la información proporcionada por las
filmaciones en las precategorías de análisis definidas por el proyecto.

Explorar el material audiovisual y realizar las transcripciones textuales para
utilizarlas como herramienta fundamental de apoyo bibliográfico.

Extraer las conclusiones y recomendaciones a que da lugar el trabajo.
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Justificación
Consideramos que esta investigación aporta elementos al conocimiento en cualquier
lugar en el que sea desarrollada y expuesta, debido a que no es una temática particular a
nuestro país sino a cualquier población del globo.
Socialmente el impacto puede ser significativo en la medida en que los estudiantes y
docentes se vean beneficiados con los resultados que arroje nuestra investigación en
función de la mejora de los procesos de enseñanza aprendizaje en cualquier institución,
más específicamente en el campo de la educación matemática.
A nivel de nuestro país las investigaciones en este tema suelen ser escasas y no muy
relacionadas con la especificidad del tema que queremos investigar por ende
entregaremos un producto novedoso y muy acorde a las necesidades del mercado
estudiantil y docente a nivel colombiano.
De igual forma el análisis de textos que realizamos en nuestra investigación, como
apoyo, para extraer conclusiones del material audiovisual puede generar alternativas en
la población que se vea beneficiada para el planteamiento de nuevos modelos o
modificaciones a textos de enseñanza existentes.
El producto final de nuestro trabajo pretende impactar sobre el proyecto de investigación
del grupo MESCUD y en un futuro en la población que se ve directamente afectada con
respecto a la problemática, complementar el currículo y enriquecer de manera
significativa el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Un elemento adicional con referencia al impacto que tendrá nuestro proyecto en la
población de los estudiantes, tiene que ver con la posibilidad de una motivación positiva
por parte de estudiantes y docentes, para investigar mucho más acerca de la temática e
indagar en las fuentes que se tengan al alcance para enriquecer en gran medida el
proceso enseñanza-aprendizaje. Es importante pensar que de acuerdo a nuestra
experiencia docente y como estudiantes en cualquiera de nuestras etapas, que los
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elementos novedosos y con gran utilidad son factores incidentes en la motivación y
dinámica de los procesos para cada uno de los actores del proceso educativo.
Es pertinente resaltar que apoyar proyectos de investigación que promuevan el avance
de la educación matemática en Colombia es una excelente oportunidad para conformar
grupos de trabajo, sin importar que sus integrantes pertenezcan a facultades diferentes
ya que esto garantiza intercambio de información de diferentes fuentes, y con enfoques
diversos que generan ambientes de adquisición de conocimiento a partir de la discusión
y análisis.
Antecedentes
Nuestro proyecto de investigación surgió a partir del desarrollo del proyecto: EL
PENSAMIENTO MULTIPLICATIVO: UNA MIRADA DE SU DENSIDAD Y
COMPLEJIDAD
EN
SU
DESARROLLO
EN
EL
AULA,
encabezado
principalmente por el investigador Jaime Romero Cruz del Grupo MESCUD de la
Universidad Distrital Francisco José de Caldas financiado por Colciencias.
La investigación tiene como material de trabajo principal, filmaciones de clase
realizadas por el grupo de trabajo de la Universidad Francisco José de Caldas que nos
llevó a plantear ideas y a reflexionar acerca de todo aquello que tiene que ver con el
conocimiento que poseen tanto docentes como estudiantes, la forma en que los docentes
enseñan y la manera en que los estudiantes aprenden el tema de las estructuras
multiplicativas e interiorizan los algoritmos para la realización de operaciones definidas
debido a que desde nuestra experiencia notamos que incluso nosotros concebimos y
aplicamos de manera mecánica muchos de los conceptos relacionados con el tema.
Al realizar una consulta profunda y un análisis preliminar que incluyó la transcripción
del audio y la descripción de los videos, encontramos una gran cantidad de excelentes
alternativas que a nuestro parecer superan el análisis puramente mecánico y difieren de
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las que encontramos en los textos que tenemos a nuestro alcance en nuestro entorno,
razones por las cuales comenzamos a indagar e investigar en el tema.
De igual manera, al realizar un estudio de los materiales propuestos para complementar
nuestro proyecto, detectamos posibles falencias en el análisis de los materiales
audiovisuales que se generan normalmente por la falta de información que se posee de
las técnicas de análisis de contenido ideales en los temas que tienen que ver con
estructuras matemáticas directamente, con este fin establecimos categorías de análisis
para los actores del proceso educativo (docente y estudiante). Para efectos de este
trabajo analizamos únicamente las características concernientes a los estudiantes.
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FUNDAMENTACIÓN
En este trabajo es importante el conocimiento preciso de ciertos conceptos que pueden
facilitar el análisis del material audiovisual que se ha mencionado en el desarrollo de
este trabajo, el cual, se presenta en a continuación.
La observación es el proceso formal o informal de analizar un aspecto concreto de una
situación real para posteriormente, identificar una serie de elementos o unidades de
observación que al ser estudiados de manera individual o global mejoran nuestra
comprensión de la realidad.
La observación se como la concibe (Green,1982) puede presentarse de manera abierta o
cerrada. En la primera el observador tiene un número de elementos previstos para
analizar, éstos sin embargo pueden estar sujetos a ser modificados de acuerdo con el
curso, ritmo y vida de la situación que esta siendo objeto de estudio. Por otra parte, en la
observación cerrada. Las categorías o unidades de observación son planteadas de
manera a priori no son modificadas sino que se mantienen de manera fija.
Un elemento a considerar en la observación es el registro tecnológico o uso de
grabaciones en vivo de acontecimientos, procesos o grupos. Se obtienen mediante
aparatos electrónicos que efectúan registros permanentes (video discos, cintas
magnetofónicas) este tipo de registro de datos “suministra datos en bruto” (Green, 327,
1982) los cuales permiten mayor fidelidad en el registro un evento a la hora de realizar
un análisis.
Entre tanto pensamiento se entiende como un conjunto de actos conscientes y afectivos
de la voluntad. (MARTINEZ ECHEVERRY, 433, 1997) “es un objeto de la lógica en
cuanto a abstracción de la realidad su contenido es intencional para poder constituirse en
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un acto concreto” para Ortega y Gasset el pensamiento es un conjunto de hipótesis o
predicciones que supone un ser cuando sus creencias fallan. Por tanto no se puede
equiparar al pensamiento con al conocimiento es así como la creencia se constituye en
una forma de pensamiento.
El pensamiento según Hegel no tiene espacio ni tiempo es presente a si mismo. El ser
actual de la cosas es el ser presente actual. Para efectos del análisis en este proyecto
cabe de manera muy pertinente considerar la concepción de Husserl al entender el
pensamiento como un intento de darle significado a las cosas lo cual pretende entender
las esencias y no la naturaleza material de las cosas.
La enseñanza se concibe como el proceso intencional mediante el cual la sociedad
moderna convierte a sus individuos en herederos de su saber, de su saber, de su tradición
y pasado histórico, de su competencia productiva, de su capacidad de convivencia
presente y de sus posibilidades de proyección para el futuro.(GUILLEN 2004).
Por otra parte la enseñanza puede verse como un acto mas privado tal y como lo
menciona (CAMPOS, RESTREPO 2002) Enseñar es hacer marcas, poner lo aceptado en
signos para que otros los sigan, los reconozcan. Es decir, el acto de enseñar es hacer
aceptar a otro lo que ha sido previamente aceptado por uno mismo. Si la educación se
puede asemejar a la labor de un artesano. Diríamos que enseñar es moldear, pero a
diferencia del artesano la labor del docente es no tiene una inferencia directa sobre el
producto final.
Quien enseña es quien inicia procesos, es quien lleva la iniciativa, muestra mundos y
abre horizontes. Es el responsable según (CAMPOS, RESTREPO 2002) de mostrar,
propiciar y promover la formación de quienes como alumnos desean aprender
contribuyendo con su desarrollo.
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La unidad básica del lenguaje audiovisual es el plano. Desde una perspectiva espacial,
plano es el espacio escénico que vemos en el marco del visor de la cámara o en la
pantalla; desde una perspectiva temporal plano (o toma) es todo lo que la cámara
registra desde que se inicia la filmación hasta que se detiene.
Un elemento de este lenguaje es el gran plano general que se utiliza para dar una visión
panorámica de un paisaje, también se utiliza para contrastar elementos de muy distinto
tamaño u ofrecer una visión completa de la acción.
Plano medio es el referido a una imagen que recoge cuerpos humanos a la altura de la
cadera. Este plano establece las interrelaciones directas entre dos o más personaje o
entre estos y los objetos del ambiente.
Es menester para hablar del lenguaje cinematográfico describir el movimiento de una
cámara por ejemplo La panorámica la cual es un movimiento sobre el eje horizontal (el
más habitual), vertical o diagonal. Las panorámicas se pueden hacer apoyando la
cámara sobre la cabeza del trípode, en ocasiones se ven algunas hechas a mano, mucho
más inestables. El objetivo de este movimiento es describir, un espacio o de
acompañamiento, siguiendo a un elemento en movimiento; o de relación, asociando a
más de un personaje.
Documental
El documental es un cine que cumple fines absolutamente didácticos, (SANCHEZ,
MARTINEZ 2002) resalta el documental como:
“El Cine es realizado sobre la base de materiales tomados de la realidad. La
organización y estructura de imágenes, sonidos (textos y entrevistas) según el punto de
vista del autor determina el tipo de documental” este se diferencia del filme de acción
pues en el film de acción toda la escenográfa imágenes y demás elementos. Son
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elaborados exclusivamente para el fin de acción mientras que en el documental las
imágenes, sonidos son los que llevan la batuta de la creación fílmica. Y todo el texto
narraciones entrevistas dinamiza el mismo documental en función de si mismo.
En si mismo el documental toma vida propia, pues su contenido depende de lo que
suceda en la realidad sin que los autores del documental intervengan directamente. Por
otra parte, el cine de acción o comedia es preparado y es entendible que las situaciones
sean manipuladas por quienes elaboran
el filme. En el documental ese tipo de
manipulación es inadmisible.
Motivación Positiva
Un elemento importante a considerar en el actuar educativo es la motivación la cual en
su sentido más estricto es aquel elemento que mueve a un persona a alcanzar un fin
determinado mediante acciones q el pretende lo llevan a alcanzar su objetivo final.
Según (Maslow) todo acto humano busca satisfacer necesidades de diferentes tipos en
un ser humano.
Una serie de motivos para llevar a un estudiante al éxito académico Un ambiente
familiar rico en incentivos y experiencias de tipo intelectual. El profesor es una pieza
clave para despertar el interés del alumno. Carisma y buena afectiva con sus se desplace
de la persona al objeto enseñado. El profesor pesa mucho en el proceso del aprendizaje,
ya que se educa más por lo que se es que por lo que se hace o dice. Una exposición
amena y cálida hace posible la participación confiada y el diálogo sobre el tema.
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Enseñanza-Aprendizaje
En el ejercicio de la labor docente es pertinente el conocimiento de diversos aspectos
relacionados con el acto de enseñanza, que están determinados por el docente, el
estudiante y el acto de enseñanza mismo. En el marco del presente proyecto se deben
considerar conceptos generales tales como, el proceso enseñanza aprendizaje, didáctica,
motivación; así como procesos más particulares acordes con la población con la que se
trabaja
y los intereses del proyecto entre los cuales se encuentran, el desarrollo
cognitivo del grupo con el que se trabaja y el vocabulario.
La enseñanza – aprendizaje, para poderse comprender mejor, es necesario recordar lo
que significan cada uno de estos dos términos de manera individual. En primer lugar, el
aprendizaje es una capacidad del intelecto para percibir la realidad y llevar a cabo
cambios en el individuo. Estos cambios, pueden manifestarse en la actitud, las
habilidades, destrezas y el conocimiento de información. Por otra parte, la enseñanza es
mostrar, guiar, sacar fuera, como lo dicen Campos y Restrepo “es mostrar para que el
otro pueda asirlo y aceptarlo.” (Campos y otros: 2002)
Enseñanza - aprendizaje es un proceso de interacción entre dos personas en el cual la
persona muestra, guía, orienta a otra a través de un dialogo, es una relación
multidireccional pues se comparten experiencias conocimientos y vivencias donde no
solamente uno se beneficia, sino que por el contrario ambos pueden sacar provecho de
esa interacción y aprender el uno del otro.
El siguiente concepto a considerar es la didáctica que es definida por Vitale y otros
lexicógrafos, como el esencial del proceso educativo, un elemento propio para enseñar,
constituye el conjunto de herramientas, estrategias, métodos, dinámicas, técnicas, que se
aplican al momento de llevar a cabo el acto de enseñanza. La Didáctica se manifiesta en
la clase misma, se observa y se realiza en tiempo real, ésta es la dinámica, el ritmo, la
vida de una clase. La didáctica es pues “el arte de enseñar” (Vitale y otros: 1993). El
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docente al igual que un artista no solo dispone de muchas herramientas, sino que sabe
usarlas de la manera apropiada para crear su obra.
El repertorio de didácticas utilizadas en una clase pueden variar de acuerdo a los
objetivos de la clase, pero no todas las didácticas son apropiadas para alcanzarlos. Por
ejemplo, si el objetivo de una clase de Matemáticas es desarrollar el pensamiento, la
didáctica más apropiada para cumplir ese objetivo puede ser; mediante ejercicios y
material que refuerce esa habilidad en especial, y no una lectura sobre la importancia de
la matemática; por ende, sin importar cual sea el tema a enseñar siempre hay una
didáctica más apropiada que otra y es labor del didacta, escoger la que mejor se
acomoda a su necesidad.
Para lograr que la didáctica se encuentre en armonía con el desarrollo de la clase vale la
pena exponer la motivación como puente y describir sus características esenciales que
junto con la didáctica construyen el éxito o el fracaso de la labor educativa.
La motivación en su sentido más general lo define Nuttim como “incitar a una persona a
hacer u omitir algo” (Nuttim:1979,123) que en su mayoría pueden ser acciones
realizadas por un individuo con un fin determinado, pero en el caso de la educación,
motivar es predisponer a los alumnos a que aprendan, es incentivar a la acción para
llegar a una meta, o a cumplir un objetivo propuesto que al ser alcanzado da como
resultado un placer, alegría o tristeza y frustración dependiendo de las consecuencias de
la labor realizada.
La motivación puede ser como lo expresa José Bernardo Carrasco (1997) de carácter
fisiológico, pues el origen de la acción obedece a un impulso causado por una necesidad
como hambre o sed, entre otras. El objetivo de la actividad es la re equilibración del
funcionamiento natural del cuerpo. Otro tipo de motivo es la emoción, el incremento de
ésta cuando es agradable y su disminución cuando se torna desagradable.
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La motivación puede ser, según Carrasco (1997), intrínseca o extrínseca. Cuando la
acción es llevada a cabo gracias a un incentivo localizado dentro de la persona, es
intrínseco; de otro modo, el elemento que empuja a realizar la actividad esta fuera del
individuo, es decir que representa una motivación extrínseca.
Un aspecto importante en la motivación es el incentivo o estímulo generalmente se usa
para reforzar un motivo buscando reforzar la actividad e incrementar el grado de
recompensa, tales pueden ser dinero, reconocimiento social, alabanza, aplauso...
La motivación puede ser como lo expone (Carrasco:1997,128) positiva o negativa,
dependiendo del resultado que se busque con la actividad que realiza el sujeto. Si el
objetivo es despertar un interés favorable para que la actividad sea realizada, ésta es
positiva; pero si la actividad se realiza bajo presión de castigos y amenazas, la
motivación es negativa.
Es importante considerar que la educación obtiene mejores resultados si la motivación
hacia el estudiante es positiva y brinda al estudiante satisfacciones, puesto que el
objetivo fundamental de la motivación es inspirar al estudiante para que de forma libre y
espontánea logre alcanzar los objetivos propuestos.
Por otro lado, es importante tener en cuenta los conceptos de interés particular en el
proyecto de investigación como lo son el desarrollo cognitivo enfocado hacia la niñez
intermedia y el vocabulario, éste último de gran importancia en el presente proyecto de
investigación.
El desarrollo cognitivo es el estudio científico de los cambios que ocurren en las
personas, así como de las características que permanecen estables a lo largo de su vida
(Papalia: 2001) y está muy relacionado con el crecimiento emocional e intelectual.
Piaget plantea el desarrollo cognitivo en diferentes etapas de la vida (infancia,
adolescencia, edad adulta) y cada una de éstas las subclasifica en subetapas. El presente
proyecto se enfoca en la subetapa llamada niñez intermedia, la cual está comprendida
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entre los 7 y los 11 años, ya que se trabaja con una población en la cual la edad de sus
integrantes oscila entre estas edades.
Por otra parte, se encuentra el concepto de vocabulario, el cual se puede definir como el
conjunto de palabras del cual consta una lengua o una materia determinada (Vitale y
otros: 1993). Cada palabra que compone el vocabulario de una lengua es llamado unidad
léxica (Bajo: 2000, 23). Los diferentes vocablos de una lengua pueden ser encontrados
en distintas compilaciones que van desde glosarios, diccionarios, hasta tesoros.
Es pertinente mencionar que el vocabulario es uno de los factores definitivos a la hora
de aprender o enseñar alguna disciplina sin importar su grado de complejidad; si se
analiza detenidamente, de nada sirve el conocimiento de las estructuras lógicas en el
proceso de aprendizaje de una lengua, si no se posee un repertorio suficiente de
vocabulario para comunicarse y comprender los conceptos y su implicación en el
entorno.
Para este trabajo, tomamos las investigaciones referenciadas en el proyecto del grupo
MESCUD, denominada “El pensamiento multiplicativo: Una mirada de su densidad y
complejidad en su desarrollo en el aula”. Ya que enmarcan las teorías a trabajar en el
proyecto, y por lo tanto contienen el eje central para el análisis de las filmaciones, estas
abarcan los siguientes temas dentro del marco teórico: el pensamiento multiplicativo y el
conocimiento profesional del profesor de matemáticas. Esto procurando anexar apartes
de otras investigaciones en el mismo campo buscando ampliar en contexto del análisis a
desarrollar.
Entre las múltiples posibilidades de comprender lo llamado realidad, mundo, etc., el
Grupo proponente comparte la visión constructivista-social (Cobb, Steffe, Llinares), lo
cual se ve reflejado en las consideraciones siguientes.
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Acerca del conocimiento profesional del profesor de matemáticas.
Nos apoyamos en los trabajos de Porlán y Rivero (1998) y Azcárate (1995) que
caracterizan el conocimiento profesional del profesor desde tres perspectivas: crítica
(está vinculado a la interacción socio-educativa), constructiva (debe tener coherencia
interna y se apoya en los conocimientos previos) y compleja (se organiza en sistemas de
ideas), perspectivas retomadas al diseñar la propuesta del programa de formación inicial
de profesores de matemáticas para la educación básica, que actualmente desarrollamos
en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Para hacer operativa esta
caracterización, asumimos con Llinares (1993) para el diseño de nuestro proyecto de
formación delimitar: qué enseñar, es decir delimitar aquellos aspectos relativos a la
información a poner en escena y, cómo se desarrolla el proceso de apropiación de esos
nuevos conocimientos por parte de los profesores en formación inicial ó en ejercicio, en
el marco de aprender a enseñar. A este propósito, como también afirma Llinares (1993,
p.381) debemos considerar que al ingresar a los programas de formación, la mayoría de
los estudiantes provienen de:
“una cultura matemática escolar caracterizada por la naturaleza de las relaciones
triádicas profesor-conocimiento-alumno contextualizada desde unas determinadas
perspectivas como puede ser las características del currículo matemático que ellos
han observado desarrollar y han aprendido. Las concepciones que los profesores
para profesor pueden mantener sobre estos diferentes aspectos son consecuencia
de las situaciones y actividades que han realizado como alumnos a través de las
relaciones sociales que la cultura escolar había generado... Es decir, el
conocimiento/ creencias que poseen los estudiantes para profesor en relación a los
aspectos señalados... es función de la cultura matemática escolar dominante en
esos momentos y de las actividades que han realizado”.
En nuestro caso, a través de las investigaciones realizadas (Bonilla y otras, 1996;
Pretexto, 1997; Mescud, 2002) hemos constatando la presencia de concepciones
sobre la enseñanza, el aprendizaje, la profesión, y la aritmética escolar que permite
identificar la mayoría de estudiantes, recién ingresados al programa curricular de
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formación para profesor de matemáticas para la básica, con muchas características de
lo que Porlán y Rivero (1998) llaman profesor tradicional. Particularmente, la
enseñanza debe proceder mediante un método, o una combinación de métodos
técnicamente dominados que pueden garantizarle eficacia y posibilidad de
homogenización de sus acciones y las de los estudiantes. El aprendizaje se da por
contemplación de lo hecho por el profesor y se fija en la memoria mediante
ejercitación, consecuentemente lo problemas son ejercicios que tienen como función
la mecanización y como objetivo la memoria. Para mostrar conocimiento los
estudiantes deben repetir bien aquello que el profesor requiera. Para todos estos
estudiantes la aritmética escolar no les requiere nuevo aprendizaje, al respecto ya
todo está dicho y sin embargo, su pensamiento aditivo dispone como esquema de la
estructura aditiva el de parte-parte-todo y del sistema de valor posicional el esquema
de casillas organizadas en unidades, decenas, centenas,… se puede prever entonces
las fuertes dificultades que experimentan al tratar de explicarse las relaciones intra e
inter estructurales de las distintas estructuras aditivas así como las trans estructurales
entre adición y multiplicación, análogamente les ocurre con lo que, para nuestra
escuela, son algoritmos clásicos de “las cuatro operaciones básicas” en los que se
expresa el carácter multiplicativo (exponencial) de los sistemas de valor posicional.
Sabemos que un curso de primer semestre, orientado desde la resolución de
problemas, en el sentido de Charnay (1993), posibilitó a los estudiantes mostrar
cambios en sus constructos, determinantes de sus concepciones, hacia constructos
que identifican las concepciones (Porlán y Rivero, 1998) de un profesor tecnólogo.
Aspecto importante ya que, como lo afirman estos autores, sería uno modelo
didáctico de transición que posibilita la construcción de modelos alternativos de
enseñanza. Así, sus concepciones sobre la eficacia no cambian, pero sí que es posible
cambiar una enseñanza regulada por la normatividad a una enseñanza regulada por la
normatividad motivada, es decir aceptada por el alumno, aunque les permanece
oculto el tema curricular. Por otro lado, las acciones dispuestas para ser realizadas en
el aula continúan siendo responsabilidad del profesor, pero ahora éste intentará
realizar actos de comprensión en lugar de mecanizaciones o memorizaciones sin
sentido; para este aspecto entró a jugar con importancia el sentido de la acciones
24
reflejado sobre todo en el uso de los problemas en relación con el reconocimiento de
la necesidad de una mayor elaboración de su propio pensamiento aditivo para poder
proponer actividades potentes que permitan a sus futuros estudiantes aprender más
aritmética a partir de exploraciones autónomas aunque también manifiestan como
requerimiento, para la solidificación de esos aprendizajes, la ejercitación y la
mecanización.
Por otra parte enfatizando en la teoría de los constructos personales (Botella y Feixas,
1998) encontramos dos mecanismos de cambio de la teoría personal: (1)
Explicitación del polo hasta entonces implícito de un constructo (ocasiona que el
fenómeno, u objeto frente al cual se cobra conciencia del polo, rebaje su valoración)
el mundo construido se des homogeniza, se amplia y complejifica. (2) Integración de
un nuevo constructo compatible con los del presente sistema de constructos, esto
complejifica el sistema teórico desde el cual se valora, agregando más características
compatibles a los objetos evaluados. Afirmamos que aunque los cambios no son
drásticos ni estables, sí se visualizan transformaciones en las teorías personales que
pueden servir de base para transitar a otros modelos didácticos. Pero así como los
cambios deseados no siempre permanecen, parece que de los mecanismos de cambio
hallados, el más susceptible de devuelta es el segundo, ya que si bien es cierto en
primera instancia puede haber compatibilidad del nuevo constructo dentro del
sistema anterior, también es cierto que frente a fracasos, este constructo será primer
candidato a salir.
También de los resultados de investigación en Colombia y afuera (Llinares,
1993,1994, 1996, 1998; Shulman, 1986; Mescud, 2002 ) se reconoce que:
“En este momento un área de investigación importante en la formación de los
profesores de primaria es el proceso de socialización de los estudiantes para
profesores de primaria en las nuevas formas de conocer el contenido matemático.
... Los formadores de los profesores en los cursos de contenido deberían diseñar
entornos de aprendizaje que permita a los estudiantes para profesor desarrollar una
comprensión más profunda de las matemáticas. Además esos entornos deberían
permitir que los estudiantes para profesores analizaran sus propias concepciones
epistemológicas sobre la naturaleza del conocimiento/comprensión de las
25
matemáticas, sobre la enseñanza de las matemáticas, sobre el papel del profesor de
matemáticas, sobre el modelo de aula de las matemáticas, etc…. Estos aspectos se
derivan de algunos estudios realizados en la socialización en matemáticas”.
(Llinares, 1996, p.27)
Acerca del aprendizaje de las matemáticas en estudiantes para profesor.
En el marco de esta investigación, entendemos aprendizaje como modificación
incremental de un esquema. El concepto de esquema propuesto por Piaget ha sido
retomado por Dubinsky (1991, p.102) como “…una colección más o menos
coherente de objetos y procesos” que von Glasersfeld (1980,) caracteriza desde un
punto de vista funcional: un arreglo de tres partes, una situación experiencial; una
actividad o procedimiento específicos de la persona y un resultado, en ésta última
aparece resaltado el tenor anticipatorio y propositivo del esquema. Vergnaud (1990)
comparte estas descripciones y presenta en Teoría de los campos conceptuales, al
“esquema” como “la organización invariante de la conducta para una clase de
situaciones dadas” afirmando que en ellos es“donde hay que buscar los
conocimientos-en-acto del sujeto, es decir los elementos cognoscitivos que permiten
a la acción del sujeto ser operatoria”. Organiza los conocimientos en acto o
“invariantes operatorias”, contenidos en los esquemas, en dos clases según su papel
en la solución y enfrentamiento de situaciones: “conceptos–en–acto” y “teoremas–
en–acto” y en tres tipos desde el punto de vista lógico: proposiciones, funciones
proposicionales y argumentos.
Los esquemas se producen y transforman en la confrontación de clases de situaciones
problema no solubles en primera instancia para quienes las abordan mediante un
proceso de abstracción reflexiva que Dubinsky (1991, p.99) describe usando el tipo
de “objeto” que logra dominar “…difiere de la abstracción empírica en que trata la
acción como opuesta a los objetos, y difiere de la abstracción seudo empírica en que
no trata tanto con las acciones mismas sino más bien con las relaciones entre las
26
acciones”. En ese último nivel se genera los esquemas que dan cuenta que se ha
producido un aprendizaje en matemáticas; es decir, la abstracción reflexiva es el
modo de producción de aprendizaje en matemáticas y por lo tanto, define también la
naturaleza del pensamiento matemático. Conviene entonces detallar un poco más este
modo de producción (que
permite obtener formas metodológicas de mirar
aprendizaje en el aula). Dubinsky (1991, p.101) propone cinco formas de abstracción
reflexiva: Interiorización, Composición, Encapsulación, generalización e inversión.
El pensamiento multiplicativo
El contexto seleccionado para trabajar como referente tanto de las trayectorias de
enseñanza como de las rutas de aprendizaje lo constituye el pensamiento
multiplicativo, que se ha constituido en un objeto PROBLÉMICO de investigación
en educación matemática, evidenciado, como expondremos enseguida, tanto en la
complejidad teórica como el portentoso esfuerzo cognitivo que deben hacer los
estudiantes para desarrollarlo con sentido y flexibilidad, y la dificultad de los
profesores para comprender su construcción y potenciar su desarrollo. Y es que, en
primer lugar, está inmerso en toda la matemática escolar, desde el concepto de
número (natural) y sus operaciones, pasando por las fracciones y sus operaciones, y
requiere conocer, usar y manipular distintas representaciones -incluyendo la
modelación algebraica de situaciones- y sus relaciones para llegar a significados
potentes, (1). En segundo lugar, porque desde investigación realizada, aparecen
manifestaciones importantes del pensamiento multiplicativo, propio a desarrollar en
la escolaridad obligatoria, parcial y desagregado en los profesores de matemáticas
aun con formación matemática que se asimilan a manifestaciones de los escolares (2).
Son evidencias de (1): (1,a) De acuerdo con Dubinsky (1991, p.101) “La
multiplicación, la proporción y la variación de la variación expresan la construcción
que es quizás la más importante (para las matemáticas) y la más difícil para los
estudiantes” porque inunda todas las construcciones numéricas existentes ya que el
27
carácter multiplicativo del número natural ha sido probado por Piaget y Szeminska
(1982) y porque como objeto de aprendizaje es producto de una de las formas de
abstracción reflexiva más compleja Dubinsky (1991, p. 101) comenta “La
multiplicación es una encapsulación o conversión de un proceso (dinámico) en un
objeto estático y como documentan Confrey (1994) y Lamon (1994) sintetiza dos
tipos de acciones: conteo y splitting o rompimiento en partes similares, que dan
origen a operaciones aritméticas como la suma, el producto y la potenciación que
junto con sus inversas se objetivan en los sistemas numéricos que comúnmente trata
la escuela, se confirma la naturaleza multiplicativa de los números naturales, de los
enteros, de los racionales, de los reales. Ahora bien, un objeto matemático escolar
mediador entre estos sistemas, al que se le reconoce su naturaleza multiplicativa es la
fracción, y es que es posible reconocerla como producto de la distribución de una
secuencia numérica sobre las unidades de otra secuencia numérica; del rompimiento
similar; de la construcción de unidades múltiples (Mora, Rojas, Barón; 1999); todo lo
cual dirigido por un fuerte control numérico simbólico. Así pues, la fracción es
síntesis de al menos estas cuatro actividades y por supuesto, siguiendo la idea
piagetiana asumida por Confrey, de sus relaciones, apareciendo como síntesis de
acciones provenientes del mundo del conteo y de la similaridad. (1,b) La extensión de
las raíces genéticas de la multiplicación hasta los espacios vectoriales y las
transformaciones lineales como lo propone Vergnaud (1990). (1,c) La variable
matemática como un objeto matemático, en tanto ha estado presente en el discurso
matemático como instrumento simbólico formando parte de las maneras de escribir y
de pensar por lo menos desde los trabajos Descartes, afirmamos siguiendo las ideas
de Pretexto (1996) que su naturaleza es esencialmente multiplicativa; para poner un
ejemplo no tan complejo, basta examinar “el resultado” de X + Y cuando X, Y
pertenecen a la colección de números naturales menores o iguales que diez, imposible
de responder adecuadamente sin un desarrollo inicial de pensamiento combinatorio,
mismo requerido para resolver problemas multiplicativos de medida o cartesianos
según Vergnaud (1990). Nuevamente, recordemos la solidaridad del objeto y sus
operaciones.
28
Son evidencias de (2): (2,a) Modelos intuitivos de Fischbein. Fischbein, Deri, Nello
y Marino (1985) afirman que “corresponden a hechos de comportamiento mental
humano que son primarios, básicos y naturales”. Así, podríamos verlos como
esquemas iniciales, exitosos e incluso versátiles, distribuidos socialmente, que una o
varias personas se ha(n) habituado a usar pero que en algunas circunstancias es
ineficaz o erróneo. (2,b) (Bonilla y otras(1999); reportan la fuerte des-estructuración
que sobre lo multiplicativo del sistema de valor posicional manifiestan profesores de
primaria en ejercicio y Mescud (2002) los estudiantes para profesor que han
investigado. (2,c) En monografías de especialización, acerca de la fracción, dirigidas
por Mora, O (1997-2001) se ha detectado formas en que los escolares pueden
interpretar y cómo lo refieren mediante escritura numérica, cuando se les presenta eso
que, desde nuestro punto de vista, es una relación parte-todo en los contextos
continuo y discreto y se ha presentado maneras alternativas de explicar esas
manifestaciones basándonos, entre otros aspectos, en la existencia del conteo como
un modelo intuitivo de Fischbein, Deri, Nello y Marino (1985) para asignar medida
en contraposición a las maneras adecuadas para asignar las medidas de área, longitud
y nueva medida discreta cuando hay que tratar la fracción; algunos de estos hallazgos
están consignados en Mora, Rojas y Barón (1999). (2,c) (Martin, 1993), detectó que
profesores en ejercicio y estudiantes para profesor, que incluso han recibido cursos de
cálculo, mantienen sus conceptos sobre división fuertemente desconectados y que así
los proponen cuando realizan enseñanza; en 1988 hicimos un hallazgo similar,
constatado en monografías de Especialización a partir del análisis de la metacognición consignada por los profesores en un curso orientado por resolución de
problemas. (2,d) Harel, Behr, Post y Lesh (1994) investigaron a partir de un
cuestionario en el que plantearon problemas controlando en el enunciado tipo de
número, contexto, texto, estructura semántica, sintaxis, categorizándolos, según las
reglas del modelo intuitivo que el resolutor debería cambiar, extender o violar, para
efectos de realizar un desempeño considerado correcto. Aquí queremos resaltar que
los resultados, indican que estos tipos de problema multiplicativo con multiplicadores
menores que 1, llegaron a ocasionar bajo desempeño de futuros profesores que ya
habían tomado cursos normales de cálculo y álgebra, así como de profesores en
29
ejercicio, advirtiendo sí que D’Amore (1997) encuentra que esto puede suceder a
pesar que en entrevistas individuales varios examinados localizan, al remirar sus
respuestas, equivocaciones cometidas y que, a pesar de erróneas, otros insisten en la
corrección de las mismas.1
DISEÑO METODOLOGICO
Nuestro diseño metodológico posee el enfoque Tipo Descriptivo Interpretativo
(Habermas, Histórico hermenéutico) de acuerdo con el tipo de investigación que
estamos realizando.
De igual manera aclaramos que se utilizó un enfoque de corte cualitativo tal como está
expuesto en el proyecto de MESCUD para no perder los lineamientos Generales del
proyecto.
La primera etapa del trabajo fue la fase de transcripción de las filmaciones a medio
visual únicamente. Cada grupo de trabajo establecido transcribió en texto lo que se
percibe en el audio del desarrollo de la clase en el video, describiendo situaciones,
sensaciones, percepciones e incluso los posibles debates y descripción de ambientes de
trabajo.
Tipo de investigación: Análisis de contenido
MESCUD, Grupo. (2004) Proyecto: “El pensamiento multiplicativo: Una mirada de su
densidad y complejidad en su desarrollo en el aula”. Bogota
1
30
El análisis de contenido comprende procedimientos especiales para el procesamiento de
datos científicos. Otra definición contemplada es la de Berelson (1952), el análisis de
contenido es “una técnica de investigación para descripción objetiva, sistemática y
cuantitativa del contenido manifiesto de la comunicación”2. Dentro de su metodología se
contemplan los siguientes pasos;
 Aplicación del análisis de referencia conceptual al análisis de contenido.
 Búsqueda de datos adecuados
 Creación de categorías de análisis (tentativas)
 Búsqueda de procedimientos según el contexto3
 Presupuesto y asignación de recurso
Análisis documental (de datos cualitativos)
El análisis documental es una técnica que sirve para recoger o acopiar datos preelaborados, secundarios, que
se
considera
de
interés en la
investigación.
Específicamente es una técnica para analizar e interpretar la información contenida en
un texto que se expresa mediante algún tipo de lenguaje que, generalmente, es
gramatical, pero puede ser icónico o gráfico. Es una manera de realizar inferencias
válidas a partir de la observación sistemática, objetiva y mensurable de ciertas unidades
de contenido de los documentos o información recolectada. En el caso del presente
proyecto los textos son proporcionados por las filmaciones, de las clases objeto de
análisis.
2
KRIPPENDORFF, Klaus.(1997) Metodología del análisis de contenido, teoría practica. Ed.
Paidós comunicación. España. Pág. 29
31
El análisis documental se efectúa a través de un procedimiento por el cual ciertas
características relevantes de la comunicación son transformadas en unidades de análisis
a partir de las que es posible el análisis propiamente dicho.
Obtención de resultados y establecimiento de conclusiones
Para Vásquez (2005) el tratamiento que se debe dar al proceso de análisis de
información está contemplado bajo 9 etapas que en este caso, son pertinentes para el
análisis del material audiovisual y el establecimiento de relaciones entre las categorías
previamente establecidas para efectos de este trabajo. Estas se describen a continuación
teniendo en cuenta las posibles adaptaciones particulares al tipo de investigación y a la
experiencia desarrollada.
Primera Etapa
Durante la primera etapa fue necesario relacionarse e interactuar con el material
audiovisual, por ende fue necesario reproducir las filmaciones de cada una de las clases
para conocerlas y detectar características y relaciones generales entre los videos.
De la misma manera en este proceso se revisó que ninguno de los videos tuviese
falencias técnicas ya que esto podía generar algún tipo de pérdida de información.
Segunda Etapa
Para obtener los Textos Base para el análisis, en esta etapa se transcribió textualmente
todo lo que acontece en el video incluido Diálogos, entorno, sensaciones, imágenes,
entre otros captadas y comentadas por el observador.
32
Tercera Etapa
Los aspectos alusivos al papel del estudiante evidentes en las filmaciones se enlistaron,
se organizaron de acuerdo a su importancia y se resaltaron de
acuerdo a las
convenciones realizadas para cada precategoría, con esto logramos Clasificar
adecuadamente la información para las etapas posteriores.
Cuarta Etapa
Se seleccionaron durante esta etapa los aspectos relevantes de acuerdo a las
precategorías previamente establecidas para el estudiante. Se definieron cada uno de los
descriptores necesarios para establecer focos principales de análisis.
Quinta Etapa
Se enlistaron en la quinta etapa los descriptores teniendo en cuenta su ubicación en cada
transcripción de los videos.
Sexta Etapa
Durante esta etapa se Elaboró la mezcla de los descriptores con el fin de establecer
relaciones directas entre el objeto de investigación y las concepciones reales de los
estudiantes.
33
Séptima Etapa
En la séptima etapa se elaboraron las oposiciones y campo semántico.
Octava Etapa
En esta etapa se establecieron las categorías finales.
Novena Etapa
La novena etapa consistió principalmente en la redacción del texto que acompaña y
explica cada categoría.
34
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Previo a la metodología y análisis propuestos por Fernando Vásquez, fue necesario
realizar la recolección del material base (10 videos) para comenzar a observarlos y
familiarizarnos con los mismos. Estos videos fueron facilitados por la Universidad
Distrital Francisco José de Caldas, más exactamente por miembros del grupo MESCUD.
Etapas del Proceso de Análisis
Primera Etapa
Transcurrió en un lapso aproximadamente de cuatro semanas durante las cuales, con
ayuda de un VHS se revisaron los videos de manera general en cuanto a estructura,
revisión del audio, calidad de la imagen, duración entre otros. Simultáneamente fue
necesario leer en su totalidad el proyecto de MESCUD para identificar los objetivos de
los investigadores y contrastarlos con los objetivos propios que habían surgido hasta ese
momento.
Segunda Etapa
Para este paso fue necesario dividir el trabajo por igual número de videos para
transcribir el audio de manera exacta y completa incluso con las expresiones, gestos,
nombres y/o sobrenombres de los participantes en las filmaciones. Fue el proceso más
dispendioso ya que era necesario un refinamiento constante para encontrar coincidencias
y establecer relaciones de continuidad para las cintas.
35
La importancia fundamental de esta parte del proceso radica en que a pesar de la
concentración que requiere transcribir videos, se evidencian elementos adicionales
como expresiones, comentarios
y actitudes que son claves para comprender las
intencionalidades generales del proyecto de MESCUD para apoyar y documentar
nuestro proyecto. En los anexos de este trabajo desde el apéndice A hasta el apéndice
J, se evidencia la importancia de los mismos como una herramienta que permite a
futuros investigadores de la educación matemática, obtener nuevas categorías que
aporten al desarrollo del pensamiento multiplicativo.
Tercera Etapa
Tuvo gran impacto en la investigación debido a que se extrajeron de las transcripciones
de los videos cada uno de los aspectos alusivos al estudiante dentro de las filmaciones.
La importancia radicó en la jerarquía, depuración y selección de aspectos relativos al
estudiante únicamente.
Para esta etapa debido a la cantidad de información suministrada en los videos, se hizo
necesario realizar unas precategorías que nos permitieron identificar los objetivos de la
investigación, se crearon convenciones con distintos colores para trabajar sobre las
transcripciones de los videos y organizar la información necesaria. (Véase Tabla 1) En
estas precategorías se busca resaltar las concepciones de enseñanza aprendizaje y
desarrollo del pensamiento multiplicativo para estudiantes de licenciatura en
matemáticas y afines, que se obtuvieron durante el desarrollo del proyecto de manera
empírica y se documentaron en la primera destilación de información basándonos en el
material facilitado por el grupo MESCUD.
36
Tabla 1. Convenciones De Colores Utilizadas.
A continuación se presentan las convenciones de colores utilizados para
subrayar las precategorías y el color de la letra usado para cada una.
PRECATEGORIAS
(Color de resaltado y color de letra )
Resolución de
Problemas
(Resaltado color
rojo)
Utilización y
exploración de
hipótesis
(Conjeturas).
(Letra color verde)
Uso de diversas
representaciones.
(Letra color Azul)
Objetivos
Metodológicos
(Resaltado
Amarillo)
Objetivos
Conceptuales
(Resaltado Gris)
Comunicar y
argumentar ideas.
( Letra color Rojo)
Aceptar críticas
(Letra Color Verde)
Entender ideas
matemáticas.
(Letra Color Blanco)
Construir y
reconstruir conceptos
matemáticos
Comunicación de
resultados.
(Letra Color
Amarillo)
( Letra Color
Amarillo)
Las precategorías obtenidas en esta etapa son:
Resolución de Problemas
En esta precategoría se establecen unas subdivisiones que nos permiten identificar los
posibles tipos de soluciones para llevarse a cabo:
Utilización y exploración de hipótesis (Conjeturas). En esta precategoría se
selecciona el momento en el cual el estudiante propone alternativas diferentes
para la resolución de una situación problémica Ejemplo: Video 10 página 8
37
Javier: “la proposición no se que era lo que planteaba, la concepción de uno de los
puntos del cuestionario que decía, que si se traza una recta perpendicular a una recta
infinita dada, desde un punto dado, no está en el que era uno de los puntos y ahí está la
concepción de cómo se encuentra la perpendicular a través de la regla y el compás, con
las construcciones que hace Euclides, desde que hay salida de la perpendicular, entonces
también se podría tomar como si fuera un punto medio de un segmento del que estaba
inscrito al círculo”.
Uso de diversas representaciones. Para esta precategoría se debe tener en cuenta
las diferentes formas de representación que utilizan los estudiantes para expresar
sus ideas Ejemplo: video 9 pagina 11
Rocio: “Cogimos el punto inicial de la recta que llamamos M y trazamos una recta
desde el punto M que pasara por el punto P, luego con el compás tomamos la distancia
del segmento MP, trazando una circunferencia o de M a P y repetimos la circunferencia
sin cambiar la medida, del punto P y sobre la recta que forman los puntos M y P, que
también cortara la recta l”.
Comunicación de resultados. En esta pre categoría se resaltan la manera como
los estudiantes comunican con sus propias palabras los resultados obtenidos en
procesos matemáticos Ejemplo
38
Estudiante (2): Lo que hice yo fue trazar una recta en mi hoja y pues ahí con el
compas, se supone que con esta yo voy a trazar un arco hasta aquí
Objetivos Metodológicos
En esta precategoría se establecen unas subdivisiones que nos permiten identificar la
manera como los estudiantes comunican sus ideas, resuelven problemas y aceptan
críticas.
Comunicar y argumentar ideas. Los estudiantes expresan sus ideas y las
argumentan desde principios matemáticos ejemplo:
Realizamos el experimento con el cáñamo y con el papel, y nos quedamos con
los resultados arrojados por el experimento hecho con el papel, en el cual la
longitud de O es igual a tres veces la unidad de medida m1.
[SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
Profesora: Por favor escriban en el tablero el proceso realizado.
Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida,
puesto que la elongación del cáñamo varía mucho y afecta la medición
[CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]. Ya sobre el papel
procedimos a hacer las correspondientes divisiones de m1 y m2 para después
sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres
veces sobre el objeto O” [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
Profesora: pero muéstrenos el desarrollo del primer punto, recuerden lo que dice;
medir la longitud del objeto O, con el medidor m1 y expresar su medida en base
tres, con un número fraccionario, cociente entero de forma a sobre b y con un
número con coma.
Entonces el estudiante escribe en el tablero lo siguiente:
“Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida, puesto que la elongación
del cáñamo varía mucho y afecta la medición. Ya sobre el papel procedimos a hacer las
39
correspondientes divisiones de m1 y m2 para después sobre el papel medir el objeto O,
obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres veces sobre el objeto O”
m1 = 10(3)
m2 = 3(5)
m1 = 10,0(3)
m2 = 3,0(5)
m1 = 10(3) / 1(3)
m2 = 3(5) / 1(5)
[SÍNTESIS DE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
Escribir estos números en fraccionario no tiene gracia porque el resultado de
estos es entero.
Aceptar críticas. De igual manera se observa que los estudiantes son consientes
de sus errores y proponen posibles soluciones Ejemplo:
Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida,
puesto que la elongación del cáñamo varía mucho y afecta la medición
[CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]. Ya sobre el papel
procedimos a hacer las correspondientes divisiones de m1 y m2 para después
sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres
veces sobre el objeto O” [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
Profesora: pero muéstrenos el desarrollo del primer punto, recuerden lo que dice;
medir la longitud del objeto O, con el medidor m1 y expresar su medida en base
tres, con un número fraccionario, cociente entero de forma a sobre b y con un
número con coma.
Entonces el estudiante escribe en el tablero lo siguiente:
“Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida, puesto que la elongación
del cáñamo varía mucho y afecta la medición. Ya sobre el papel procedimos a hacer las
correspondientes divisiones de m1 y m2 para después sobre el papel medir el objeto O,
obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres veces sobre el objeto O”
m1 = 10(3)
m2 = 3(5)
m1 = 10,0(3)
m2 = 3,0(5)
m1 = 10(3) / 1(3)
m2 = 3(5) / 1(5)
[SÍNTESIS DE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
40
Escribir estos números en fraccionario no tiene gracia porque el resultado de
estos es entero.
Estudiante 6: la escritura está mal, hay un error, pues la longitud de O debe ser
igual a algo, pues O es lo que se está midiendo.
Estudiante 4: si qué pena me equivoque [CONCIENCIA DE ERROR EN LA
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] O = 10(3) m1
O = 3(5)
m2
Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida, puesto que la elongación
del cáñamo varía mucho y afecta la medición
n. Ya sobre el papel procedimos a hacer las correspondientes divisiones de m1 y m2 para
después sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres
veces sobre el objeto O”
m1 = 10(3)
m2 = 3(5)
m1 = 10,0(3)
m2 = 3,0(5)
m1 = 10(3) / 1(3)
m2 = 3(5) / 1(5)
O = 10(3) m1
O = 3(5) m2
Objetivos Conceptuales
En esta categoría se establecen subdivisiones que permitieron identificar la manera
como los estudiantes entendieron ideas matemáticas y construyeron conceptos.
Entender ideas matemáticas.
El estudiante se apoya en la adquisición de información de las diferentes fuentes que
tiene a su alcance, para utilizar sus procesos mentales de análisis y apropiarse de ideas
que contengan conocimiento en el campo matemático que sea útil y aplicable en su
entorno. Ejemplo: (Video 9; Pág. 16)}
41
Estudiante Eduardo: Construye un círculo con centro en A y radio AB,
construye un círculo con centro en B y radio BA, AR = AB y BR = AB, porque
son radios de los círculos DRB y ERA, Por lo tanto AR = BR, por transitividad,
luego los tres son iguales entre sí. RA = RB, AB, RA, BR por lo anterior, por lo
tanto el triángulo ABR es equilátero y fue construido sobre la recta infinita.
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
“I, 1; Construir un triángulo equilátero sobre una recta infinita dada.”, “Sea AB la recta
infinita dad”. “Así pues hay que construir sobre la recta AB, un triángulo equilátero”

Construye  en A y R: AB

Construye  en B y R = BA

AR = AB

BR = BA

AB, RA, RB iguales

RA = RB
Por lo tanto AR = BR, por transitividad, luego los tres son iguales entre sí.
RA = RB
42
AB, RA, BR por lo anterior, por lo tanto el triángulo ABR es equilátero y fue construido
sobre la recta infinita.
Construir y reconstruir conceptos matemáticos.
Luego del proceso de obtención y análisis de ideas matemáticas, el estudiante está en
capacidad de revisar los conceptos existentes en las fuentes de información y en la
misma práctica diaria con el fin de adaptarlos a su entorno sin alterar su esencia o
generar nuevos conceptos válidos y pertinentes en el campo matemático. Ejemplo:
(video 3; Pág. 3)
Estudiante Alejandro: ¿Por qué 44 dividido en 3 es igual a 44.6 o 44.66 o
cuarenta… o 14.666, habíamos contestado que … para nosotros , pues creo,
en que es un decimal periódico que siempre del ultimo numero va tomar seis
partes iguales no? ¡No pues si no!. Para nosotros lo entendimos de lo que
habíamos averiguado, que fue un decimal periódico que no es un…
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO] es un entero ser averiguada, entonces
digamos cuanto división 100 en 3, dividido 3 entonces vamos a obtener 33…
siempre va haber un 3, pero porque ese 3 4, porque siempre de ese numero va
a tomar 3 partes el siguiente decimal y así va a ser sucesiva y sucesivamente…
¿no? ¿Sí?5 [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE
ENUNCIADO]
Cuarta Etapa.
Terminada la etapa tres en donde se definieron las precategorías para extraer
información mediante subrayados, se enlistaron únicamente los aspectos relevantes y
4
PRECATEGPRÍA OBJETIVOS CONCEPTUALES: CONSTRUIR Y RECONSTRUIR
CONCEPTOS MATEMÁTICOS
5
PRECATEGORIA OBJETIVOS METODOLOGICOS COMUNICAR Y ARGUMENTAR IDEAS
43
significativos para la investigación. Permitiendo generar los descriptores que dieran
continuidad al trabajo.
Para esto fue necesario revisar las transcripciones con cuidado, el marco teórico
aportado por el grupo MESCUD con el fin de obtener los tópicos clave al igual que en
los objetivos de la presente investigación y las precategorías de la etapa anterior. Este
proceso permitió que se eliminaran los aspectos que significaran lo mismo pero
estuvieran redactados de otra manera y se evitaran las redundancias o el exceso de
información sujeta a análisis.
Comprensión de enunciado.
En este proceso, los estudiantes interiorizan el
enunciado, extraen y asimilan conceptos matemáticos asociados a la temática y a la
consecución de los objetivos planteados.
 Profesora: ¿Qué entienden por medidores?
Estudiante Alejandro: Pues nosotros entendemos que medidores es algo
que [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]una concepción básica… que es
algo que sirve para medir. Pero entonces como… averiguamos algo y decía
que era, un medidor era un objeto que serbia para medir otro, sin importar...
Que comparamos la longitud de uno con otro…..
 Freddy: Pues a mi parecer ahí dice trace un segmento con extremo A y B ahí
no le están diciendo que trace otra recta para poder determinar el punto
medio de la otra recta entonces ahí dice trace un segmento de recta A y B y
dentro de esas ósea lo que yo entiendo de ese enunciado hallar su punto
medio[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO], ósea es razonable lo que esta
haciendo Cristian
 Profesora: Cristian ¿Qué son los objetivos? (La actividad planteada durante
esta
clase es determinar el punto medio de dos puntos, la profesora
pregunta sobre los objetivos de dicha actividad, es decir que era lo que se
pretendía con la actividad)
44
Estudiante Cristian: pues un objetivo yo creo que sería empezar a entender
que es lo primero del quiz, o sea pues desde las construcciones que estamos
haciendo, darle como un soporte a lo que estamos haciendo realmente, pues
en el libro de utilidades, el numero uno y podemos darnos cuenta que lo que
estamos haciendo y construyendo con el compás sin utilizar pues nada del
sistema métrico y nada de reglas ni nada. [COMPRENSIÓN DE
ENUNCIADO] Pues podemos construirlos de una manera pues la…
empezar a construir la geometría plana desde algunos postulados que, que,
que...sale un soporte teórico a cada cosa que hacemos y que construimos
 Profesora: Silenia ¿Cuáles son los objetivos? (La actividad planteada
durante esta clase es determinar el punto medio de dos puntos, la profesora
pregunta sobre los objetivos de dicha actividad, es decir que era lo que se
pretendía con la actividad)
Estudiante Silenia: pues no, yo creo que el objetivo de la clase de esa
actividad seria como poder darle una aplicación de lo completo a lo que esta
trabando Euclides, pues él trabaja concretando pero la intención es de un
concepto de lo que sabe es siempre llevarlo a lo concreto, a lo que se pueda
manejar todos los conceptos, el expone ahí lo propio a lo real.
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
Profesora: una opinión a la intervención de Silenia -Fernando.
Estudiante Fernando: pues profe a mi no me parece que, que… actividad es
hacer algo desde, desde lo concreto pues uno simplemente esta armando
cosas graficas, que uno lleve en la mente y no se sabe si es o no es, entonces
lo que yo pienso que para hacer esto es hacer el aprender a llegar a una cosa
de lo que decía el libro uno Euclides y demostrar los segmentos y le manejo
del compás y regla[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
 Profesora: Bueno y un enunciado para ese procedimiento que hizo ¿cuál
sería? (Debido a que no es claro el enunciado del taller, la profesora intenta
45
realizar que los estudiantes redacten un enunciado acorde a lo que ellos
hicieron)
Estudiante chaqueta NEGRA: un enunciado para lo que hicieron ustedes
suponiendo que se hubieran encontrado el punto medio, hubiera sido exacto,
entonces un enunciado para lo que usted... sería marque un punto a y un
punto b y luego trace un segmento de recta a partir de esos dos puntos y
luego marque su punto medio. [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
 (se intenta establecer como demostrar el paralelismo y la congruencia de
rectas)
Estudiantes Dímelsa y Luz: El enunciado que consiste, dado el punto A y D
construya el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de C y D,
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO],vamos a utilizar la construcción que
estaba en el tablero que consistía en un segmento de recta con extremos C y
D y dos circunferencias con radio CD y centros en C y en D respectivamente,
luego trazaron las rectas que pasa por los puntos de corte de los círculos y
dijeron que desde hay todos lo puntos equidistaban, terminamos diciendo que
una línea perpendicular a la recta imaginaria que establece la distancia entre
los dos puntos talque pase por la mitad de la misma, sería el lugar geométrico
donde se encuentran todos los puntos equidistantes de C y D, esta
perpendicular estaría dada por la construcción antes hecha por el compañero
Edison
 (Se intentan establecer diferencias entre Euclides y Thales para determinar
que estructuras utiliza Euclides y su propuesta metodológica)
Estudiante Eduardo: Construir un triángulo equilátero sobre una recta infinita
dada. Sea AB la recta finita dada. Así pues hay que construir sobre la recta
AB, un triángulo equilátero. [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]Así
pues hay que construir sobre la recta AB, un triángulo equilátero
46
Estudiante Eduardo: Construye un círculo con centro en A y radio AB,
construye un círculo con centro en B y radio BA, AR = AB y BR = AB,
porque son radios de los círculos DRB y ERA, Por lo tanto AR = BR, por
transitividad, luego los tres son iguales entre sí. RA = RB, AB, RA, BR por
lo anterior, por lo tanto el triángulo ABR es equilátero y fue construido sobre
la recta infinita. [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
Conciencia de error en la solución de la situación problémica. El
estudiante identifica y reconoce errores durante la solución del problema no con
el fin de desistir sino de corregirlos y continuar el proceso hasta la consecución
del objetivo.
 Estudiante 6: la escritura está mal, hay un error, [CONCIENCIA DE
ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] pues
la longitud de O debe ser igual a algo, pues O es lo que se está midiendo.
Estudiante 4: si qué pena me equivoque [CONCIENCIA DE ERROR EN
LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] O = 10(3) m1
O = 3(5) m2
 entonces fue que la clase pasada lo hicimos mal; [CONCIENCIA DE
ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] no
habíamos utilizado Thales; nos disculpan habíamos tenido un gran error,
[CONCIENCIA DE ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN
PROBLÉMICA] entonces qué pena, pero aquí trajimos pues para hacerlos
bien pero entonces no lo utilizamos. ¿Cuáles son las paralelas con respecto a
las que trazaron?
 Estudiante Alberto: El problema somos nosotros que lo volvimos a hacer
mal[CONCIENCIA DE ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
47
 Alumna 6: Aunque yo lo venia haciendo mal,
 Estudiante Laura: Mmm… pues el error esta en [CONCIENCIA DE
ERROR
EN
LA
SOLUCIÓN
DE
LA
SITUACIÓN
PROBLÉMICA]mmm que teníamos la medida marcada eso era uno y el
otro era que a nosotras nadie nos garantizaba que los dos puntos o el giro iba
ha estar en 180, Porque al trazar la circunferencia no concordaban los puntos
establecidos inicialmente ya que la medida del trazo con el compás no era
exacta °
 Natalia: Pues entonces acá esta el error, [CONCIENCIA DE ERROR EN
LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] si que yo se lo
sumaba que era como si tuviera un quinto y después mas un veinticincoavo,
era como si lo estuviera sumando en un quinto y el un veinticincoavo ósea
mi palito tenia tres un quinto mas un veinticincoavo y eso no era así, yo ayer
lo revise así medio medio entonces pues viendo que entre el quinto no cabe
ósea sobra mucho espacio entonces este valor lo volveríamos a dividir en
cinco ósea quedaría L de tres quintos tres en base cinco de M sub dos mas
uno de uno cero quintos pero este como esta mas largo sobra medio lo
volveríamos a dividir en cero para dar el valor mas aproximado, si, entonces
ya seria como tener, como tener
 Natalia: No ósea esto….. tocaría acondicionarlo un poco mas pues, yo vi
esto así ayer, yo me di cuenta después del error [CONCIENCIA DE
ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]de
sumar el un quinto y el un veinticuatroavo ósea….. Pues yo lo que…
 Eduar: “si ahí esta el error [CONCIENCIA DE ERROR EN LA
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]por que no podemos
colocarle… no lo supo expresar era ese menos uno es a la base entonces, y
esto esta en base cinco, no si ahí fue un error.
 Estudiante Laura: pues nosotras al principio como todavía no nos habíamos
dado cuenta del error, [CONCIENCIA DE ERROR EN LA SOLUCIÓN
48
DE
LA
SITUACIÓN
PROBLÉMICA]nosotros
pensamos
que
si
llegábamos
 Estudiante 8: Esa respuesta es equivoca, [CONCIENCIA DE ERROR EN
LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]pues el hecho de
que sea la misma longitud, no quiere decir que sea la misma unidad de
medida.
 Estudiante Camilo Ocampo: El error radica en la escritura[CONCIENCIA
DE ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]
de 2,22(3) m1 < L < 10(3) m1 porque se considera que usar dos enteros es
confuso para el lector ya que se puede mal interpretar la lectura del número
¿todos entendieron lo que explique?
 Estudiante Eduardo: la manera de demostrar que es el punto medio, y , uno
de los grupos el de John y Johan, ellos lo sacaron por Tales pero, tocaba
hallarlo por Euclides como lo había expuesto Edinson[CONCIENCIA DE
ERROR EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA]
Conciencia de situación problémica. En este proceso los estudiantes comprenden
que existe una situación problémica.
.
Las siguientes situaciones surgen de la actividad medir un objeto O, con tres unidades
de medida ya establecidas, estas estarán subdivididas en tres y cinco partes
respectivamente. Utilizando elementos como el cáñamo o agujas entre otros
 Estudiante Camilo Ocampo: También tuvimos en cuenta que la inserción de la
aguja no sería exacta, esto también facilita la obtención del resultado en base
tres. Ya midiendo el objeto, fue evidente que la longitud del objeto O
sobrepasaba la unidad de medida m1 en base tres es decir 13. [CONCIENCIA DE
SITUACIÓN PROBLEMICA]…..Nosotros nos dimos cuenta que en la primera
medida el lumbral de duda era muy grande y se busco disminuirlo realizando la
subdivisión del m1 con el teorema de Thales. [CONCIENCIA DE SITUACIÓN
PROBLEMICA]
49
 Estudiante 4: ….Argumentan que es más fácil el trabajo sobre el papel, porque
al realizar la medición con el cáñamo no era exacta… [CONCIENCIA DE
SITUACIÓN PROBLEMICA]ya que este se podía elongar, y no siempre la
elongación era la misma, este fenómeno crea un margen de error
 Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida,
puesto
que
la
elongación
del
cáñamo
varía
mucho
y
afecta
la
medición[CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLEMICA]
 Estudiante Camilo: Lo primero que hicimos segmentar las unidades de medida
con el método de Thales y a las inserciones las realizar con hilo de color verde,
luego medimos el objeto con el cáñamo y encontraron que dos veces m1 no eran
suficientes, pero que tres veces m1 sobrepasaba la longitud del objeto Nosotros
lo representamos de la siguiente forma: 2m1 < 1 < 103m1
y realizamos la
subdivisión de m1 en tres y el resultado fue: 2m1 + (2/10) m1 < 1 < 103 m1
siempre buscando disminuir el lumbral, realizamos otra subdivisión, esta con
color rojo y el resultado fue: 2(3)m1 + (2(3)/10(3))m1 + (2(3)/100(3))m1 < 1 < 10(3)
Como parte del ejercicio era expresarlo en fraccionario[CONCIENCIA DE
SITUACIÓN PROBLEMICA]
 Francy: Este es el objeto cero, me va a dar tres de esto ¿Sera que este es igual?
[CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLEMICA]
Estudiante describe un proceso. Se realiza una descripción oral o escrita por
parte del estudiante con el fin de extraer características y particularidades
 Estudiante 3: Debíamos construir con base en U1 y U2, tres medidores y
segmentarlos de la siguiente forma; m1 en tres segmentos, m2 en cinco
segmentos y m3 en tres segmentos, y utilizamos el hilo para mostrar las
divisiones del cáñamo. [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]
 Grupo 8:
Estudiante 17: habla de las nociones básicas de la geometría plana mediante
propuestas, definiciones, demostraciones, y construcciones de figuras punto de la
geometría plana
Profesora: Déme un ejemplo claro
50
 Estudiante 18: Por decir algo, ahí donde nos estaban hablando de las paralelas o
de cómo se podían sacar con tres líneas rectas una paralela con dos ángulos y los
ángulos exteriores congruentes. [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]
 Estudiante Cristian: pues lo que pasa es lo que yo hacia mas que todo dándome
cuenta en este ejemplo, si, como sabemos que aquí es la mitad entonces si yo
tomo de este punto, si yo marco de a y b, marca un punto por acá y el otro por
acá, si yo trazo una recta por acá, si yo trazo una recta de de aquí acá como
aseguro que la misma abertura que tengo de aquí acá entonces va hacer mas
larga, [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]
 Estudiantes Johan y John: Primero, construimos el segmento de la recta AB
después hicimos dos circunferencias con radio AB y centros A y B
respectivamente; como el grupo anterior, trazamos una línea en los dos puntos
de corte de los círculos llamado r y r´ y hallamos el punto medio AB y
nombraron dos puntos arbitrarios en ambas circunferencias una C y otra D
respectivamente y dice que AB=ROARCr´ y que Br = ROAr´D, entonces para
saber si el punto que hallo ¨si es el punto medio´ traza una circunferencia con
centro en el punto medio y si este cruza el punto A, quiere decir, que Apm es el
radio de la circunferencia y seria igual a PmB que son radios de circulo OAFB
donde F es un punto aleatorio de la ultima circunferencia trazada.
[ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]
 Estudiante Johan: Vamos hacer la demostración y la construcción por Thales,
construyendo una red de segmento AB y una recta que pasa por A y ubican dos
unidades, con distancia arbitraria desde la segunda división traza un segmento
hacia B y otro segmento paralelo al anterior que pasara por A, dividiéndose en
segmento AB en dos partes iguales y para hallar la paralela se podría usar
compás o una escuadra, pero nosotros preferimos el compás. [ESTUDIANTE
DESCRIBE UN PROCESO]
 Estudiantes Dímelsa y Luz: El enunciado que consiste, dado el punto A y D
construya el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de C y D, vamos
a utilizar la construcción que estaba en el tablero que consistía en un segmento
de recta con extremos C y D [COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO] y dos
51
circunferencias con radio CD y centros en C y en D respectivamente, luego
trazaron las rectas que pasa por los puntos de corte de los círculos y dijeron que
desde hay todos lo puntos equidistaban [ESTUDIANTE DESCRIBE UN
PROCESO], terminamos diciendo que una línea perpendicular a la recta
imaginaria que establece la distancia entre los dos puntos talque pase por la
mitad de la misma, sería el lugar geométrico donde se encuentran todos los
puntos equidistantes de C y D, esta perpendicular estaría dada por la
construcción antes hecha por el compañero Edison.
 Estudiante Rocio: Nos daban la recta l y ubicando el punto P, y debíamos trazar
una paralela a l y que pasara por P. Cogimos el punto inicial de la recta que
llamamos M y trazamos una recta desde el punto M que pasara por el punto P,
luego con el compás tomamos la distancia del segmento MP, trazando una
circunferencia o de M a P y repetimos la circunferencia sin cambiar la medida,
del punto P y sobre la recta que forman los puntos M y P, que también cortara la
recta l. [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]
 ESTUDIANTE 1: Que ya digamos desde lo concreto, pues digamos, no se,
podríamos, digamos se podría desde lo teórico ya podríamos empezar un medida
del objeto 0 digamos yo cuando era pequeño pensaba eso, pensaba por ejemplo
la regla venia de 30cm en general, entonces uno la dividía en 15 y que eso en 7.5
y que eso que cuando a la parte de dividir milímetros siempre era mitad y mitad
y mitad [ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO]pero eso como desde lo
concreto uno no puede dividir un milímetro y cosas así, pues por lo que es muy
complicado, entonces yo pensé que desde lo teórico demás que si podría verse,
pero que era muy complicado construir algo así tal que llegue a la exactitud que
uno quisiera, porque digamos cuando le queda una unidad y que queda en la
rayita del milímetro, uno como sabe esas rayitas del milímetro tiene como
anchura ese espacio del milímetro tendría mitad, es que cuando uno mide con la
regla uno de verdad no da una medida… por ejemplo cuando uno dice, a no pues
si usted la da con milímetro la da mas exacta, pero ¿eso es cierto?.
52
 ESTUDIANTE: En todo triangulo si se prolonga uno de los lados el triangulo
externo es igual a los dos (2) ángulos internos y opuestos los tres (3) ángulos
internos el triangulo son iguales a los vértices. [ESTUDIANTE DESCRIBE
UN PROCESO]
 ESTUDIANTE: Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales a 2 lados del
otro y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales tendrán
también las respectivas bases iguales, y un triangulo será igual a otro y los
ángulos restantes serán también iguales respectivamente[ESTUDIANTE
DESCRIBE UN PROCESO]
 Javier: Cuando dos ángulos adyacentes entre si, cada uno de los suyos se llama
ángulo recto y la recta se llama perpendicular[ESTUDIANTE DESCRIBE UN
PROCESO]
 Roció: Para hallar eso... ósea... el lo toma y hay como mirar de R y a H debe
haber la misma distancia que R a E entonces partiendo de hay, entonces se debe
trazar la perpendicular de R al segmento AB, entonces hay es donde pues,
¿como trazar esa perpendicular a la recta dada?, entonces pues puede, por
ejemplo, se podría hacer de dos maneras, una de ella s es como alargar el
segmento RH prolongarlo e igual el compas de H suponiendo que esta
prolongación de la línea la llamamos R a M y el otro RET entonces se toma con
el compas, un punto tomado en la recta REM, igual en la misma distancia del
otro lado y luego de ese punto que tomamos hay que trazar una recta AT y del
otro lado AH y así obtuvimos el punto medio. [ESTUDIANTE DESCRIBE UN
PROCESO]Entonces hay podemos trazar AR ahí donde se corta las dos rectas o
si no como lo hicimos en el primer punto del taller, en el que era hallar el punto
medio en la circunferencia de las 2 circunferencias.
Necesidad de rectificación en comprensión de enunciado. En ocasiones, es
necesario realizar un ajuste a las posibles soluciones planteadas en el aula
teniendo en cuenta que durante el proceso de comprensión del enunciado se
presentan errores o inconsistencias que alteren la solución de la situación
problema.
53
Estudiante Alejandro: ¿Por qué 44 dividido en 3 es igual a 44.6 o 44.66 o
cuarenta… o 14.666, habíamos contestado que … para nosotros , pues creo, en
que es un decimal periódico que siempre del ultimo numero va tomar seis partes
iguales no? ¡No pues si no!. Para nosotros lo entendimos de lo que habíamos
averiguado, que fue un decimal periódico que no es un… es un entero ser
averiguada, entonces digamos cuanto división 100 en 3, dividido 3 entonces
vamos a obtener 33… siempre va haber un 3, pero porque ese 3, porque siempre
de ese número va a tomar 3 partes el siguiente decimal y así va a ser sucesiva y
sucesivamente… ¿no? ¿Sí? [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
 Estudiante: ¿A que es igual 1003 dividido en 3?
Estudiante Alejandro: 33.3 o 33.33... Es igual se puede expresar así, o
simplemente con una ramita encima, que da un decimal periódico, que da, que no
todas las divisiones eran exactas, que cada vez que un decimal da así se puede
poner
eso.
Eso
fue
lo
que
averiguamos
pero[NECESIDAD
DE
RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
 Estudiante Cristian Camilo: Estábamos hablando en el grupo supongamos
nosotros tenemos y pues Trazamos un segmento de recta llamado m1, y para
utilizar Tales. Lo que el haríamos para utilizar seria trazar una diagonal que
inicia en m1 para hacer que concuerde el lado de arriba y sea recto tomando un
ángulo de 90° pegue con el final de m1, para trazar mas rectas y que están sean
paralelas. Porque si empezamos a hacerlo de otra forma, pues entonces siempre
trataríamos de buscar que pegara; así se podría. La idea es que hacerlo es que no
importa la diagonal que se haga tocaría bajarla totalmente por acá para hacer así
las
paralelas.
Si
entienden
lo
que
intento
decir[NECESIDAD
RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
 Estudiante Alejandro: La diagonal; con cualquier unidad de medida que...
DE
54
Ese es el problema que están ellos y yo. Y creo que pudieron haber hecho para
trazar la medida transportarla no mas, o hacerla así hacer un circulito, entonces
acá corta un punto, y como esto va, la distancia, como supuestamente esto es un
circulo, la distancia que hay acá y de acá a acá, tiene que tener la misma
distancia ¿si?, [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN
DE ENUNCIADO]Entonces como ya tenemos este punto, con la regla que tenia
sin marcar, trazamos, trazarla… trazaba la…
 Alumna 6: Empezamos diciendo que teníamos que medir en base 5, entonces,
que 3 en base 5 de m2 era mayor que 1
(se confunde con los signos de mayor que y menor que),
Menor, menor que la longitud… ¡que pena!, era menor a la longitud pero la
longitud era menor a esto que estaba entre 3 y 4 cordones, la longitud se
encuentra entre 3 o 4 cordones de m2 ¿si? Pero nosotros dijimos no, 3 o 4
cordones es mucho, eso nos sobra un pedazo pequeñito entonces y miramos que
se encontraba en la primera división de m2, si el pedacito que sobra se
encontraba sobre esta, en 1/5, nosotros medimos y nos sobra como un centímetro
mas o menos, entonces dijimos que se encontraba entre… 3/5 de m2 era menor
que esto peo la longitud a la vez era menor porque todavía era menor, de 3 en
base 5 de m2, mas 1 sobre 10 en bases de m2 este 1 también esta en base 5 todo
es en base 5 ¿si?, pues ahí también queda aproximado bastante aproximado, pues
nosotros no volvimos a dividir pero allí ya podríamos sacar el numero siguiente
de la coma, si volviéramos a dividir en 5 partes nos quedarían mas o menos
como de a… quedaba así ¿cierto? ¿Si? [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN
EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]Si volviéramos a dividir quedaría
otra vez entre la primera quinta parte, este pedazo es bien pequeñito, entonces
volvemos a decir que 3 por el 5 de m al cuadrado tan… ¿si? [NECESIDAD DE
RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO] entonces ahora
yo dije, vamos
a desarrollar la suma para que[ así pueda dar el numero
aproximado, la longitud aproximada del objeto, entonces… a no… factor común
¿cierto? [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE
ENUNCIADO], entonces ahora yo dije, vamos a desarrollar la suma
55
para que[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
así pueda dar el numero aproximado, la longitud
aproximada del objeto, entonces… a no… factor común ¿cierto?
[NECESIDAD
DE
RECTIFICACIÓN
EN
COMPRENSIÓN
DE
ENUNCIADO]
Estudiante: Estamos volviendo a reconstruir la primera pregunta, entonces
decimos que esta es una construcción de figuras planas por medio de puntos,
rectas, segmentos, circunferencias, ángulos basándonos en proporcionalidad y
por medio de la experiencia adquirida apropiada del uso. Entonces vamos a decir
en el punto tres, de acuerdo a lo propuesto pensamos que es necesario la
adquisición de este conocimiento, y la otra ¿Cómo trata el libro? Entonces en
base a las definiciones y postulados y nociones comunes las cuales sirven para
las demostraciones de las proposiciones entonces que pasa con esto de acuerdo
con las nociones tiende a realizar un caso particular. [NECESIDAD DE
RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
Estudiante Laura: por eso ese es el problema, nosotros no lo estamos tomando
donde el principio, entonces o sea no sabemos, si es exacta o no[NECESIDAD
DE RECTIFICACIÓN EN COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
Planteamiento de posible solución a situación problémica. Después de leer,
comprender, analizar y poner en común el problema, algún estudiante plantea una
alternativa que permita la consecución del objetivo. Sin embargo, está sujeta a
validación. Se plantea una alternativa de solución al problema para que sea discutida
y puesta en común.
 Estudiante 2: Nosotros lo representamos de la siguiente forma: 2m1 < 1 < 103m1
y realizamos la subdivisión de m1 en tres [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE
SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]y el resultado fue: 2m1 + (2/10)
m1 < 1 < 103 m1 siempre buscando disminuir el lumbral, realizamos otra
subdivisión, esta con color rojo y el resultado fue: 2(3)m1 + (2(3)/10(3))m1 +
(2(3)/100(3))m1
< 1 < 10(3)
Como parte del ejercicio era expresarlo en
56
fraccionario,
entonces
lo
expresamos
20(3)m1)/1000(3) = (2220(3) m1)/1000(3)
así:
(2000(3)m1 +
200(3)m1
+
= 222(3)/100(3). La respuesta de la
expresión en fraccionario: 222(3)/100(3) m1 < 1 < 10(3) m1 La respuesta de la
expresión con comas: 2,22(3) m1 < 1 < 10(3) m1 Seguir limitando el intervalo
resulta imposible, por los requerimientos del método de Thales.
 Estudiante 5: Vamos hacer el procedimiento, se realizo una cuadricula para el
trabajo y esta estaba subdividida en 44 segmentos con respecto a la longitud de
m1. Trazamos las diagonales según el teorema de Thales y trasladamos la
medida del segmento sobre la diagonal y luego formamos grupos de los 44
segmentos, para formar los tres que requería el ejercicio[PLANTEAMIENTO
DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Alejandro: Lo que hicimos mal ¿si profe? ¿Podemos hacerlo? Para
hacerlo bien ¿si?
Pegan unas hojas en el tablero, mientras sus compañeros esperan, toman hilo
para medir m1
Entonces tenemos m1 ¿si? Entonces ahora lo vamos a comparar con la
cuadricula. Miren acá nos da, entonces, pues hagamos de cuenta que acá hay una
línea que nos va representar a m1 ¿si? [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE
SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Andres: yo me atrevo a pasar hasta que no lea el teorema de Tales y
el libro de Euclides. No lo dejo solo, tranquilo.
Entonces acá la pregunta… acá viene el problema si, porque Tales hacia eso,
¿pero como hacía, como carajo hacia? Para que lo que iba hacer acá, o no sé
donde va a hacer en que punto de esta línea va a caer, entonces como… yo creo
que con el compas, eso hay una teoría con compases y todo, como hallar ese
ángulo, colocar la otra cosita, para que se diera bien la otra longitud en cuestión.
[PLANTEAMIENTO
DE
POSIBLE
SOLUCIÓN
A
SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante Alejandro: La diagonal; con cualquier unidad de medida que...
57
Ese es el problema que están ellos y yo. Y creo que pudieron haber hecho para
trazar la medida transportarla no mas, o hacerla así hacer un circulito, entonces
acá corta un punto, y como esto va, la distancia, como supuestamente esto es un
circulo, la distancia que hay acá y de acá a acá, tiene que tener la misma
distancia [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]¿si? Entonces como ya tenemos este punto, con la regla que
tenia sin marcar, trazamos, trazarla… trazaba la…
 Alumna 5: Nosotras tomamos así el rayado de Tales pero, pues utilizamos unas
hojas milimetradas entonces acá tomamos la referencia, acá contamos cuadritos,
ósea que pasara la transversal por otro punto del otro cuadrito, ósea, dos, tres,
cuatro, cinco, seis cuadritos, igual para todos, entonces otros seis cuadritos,
entonces ahí si después empezamos a… trazamos de acá de este punto al punto
final de la unidad de medida… entonces trazamos la paralela
entonces ya
después teníamos que trazar las demás sin necesidad de utilizar el … como
tomar la escuadra así para medir, hay unos puntos que coinciden en el mismo
rayado, tenemos un punto que nos coincidió en el punto del cuadrito, entonces
contamos los seis cuadritos hacia abajo y lo mismo hacia la otra posición,
entonces trazamos el puntito y sabemos que también la paralela que vamos a
trazar, de aquí a acá va ir por ese punto de la misma manera , seguimos
buscando los puntos que coincidan y aquí nos coincida otro y entonces igual,
contábamos los seis cuadritos y también la paralela tenia que pasar por este
punto. [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Alumna 6: Empezamos diciendo que teníamos que medir en base 5,
entonces, que 3 en base 5 de m2 era mayor que 1
(se confunde con los signos de mayor que y menor que),
menor, menor que la longitud… ¡que pena!, era menor a la longitud pero
la longitud era menor a esto que estaba entre 3 y 4 cordones, la longitud
se encuentra entre 3 o 4 cordones de m2 ¿si? Pero nosotros dijimos no,
3 o 4 cordones es mucho, eso nos sobra un pedazo pequeñito entonces
y miramos que se encontraba en la primera división de m2, si el pedacito
58
que sobra se encontraba sobre esta, en 1/5, nosotros medimos y nos
sobra como un centímetro mas o menos, entonces dijimos que se
encontraba entre… 3/5 de m2 era menor que esto peo la longitud a la
vez era menor porque todavía era menor, de 3 en base 5 de m2, mas 1
sobre 10 en bases de m2 este 1 también esta en base 5 todo es en base
5 ¿si?, pues ahí también queda aproximado bastante aproximado, pues
nosotros no volvimos a dividir pero allí ya podríamos sacar el numero
siguiente de la coma, si volviéramos a dividir en 5 partes nos quedarían
mas o menos como de a… quedaba así ¿cierto? ¿Si? Si volviéramos a
dividir quedaría otra vez entre la primera quinta parte, este pedazo es
bien pequeñito, entonces volvemos a decir que 3 por el 5 de m al
cuadrado tan… [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA] ¿si? [NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
Escribe 5m sin explicar, corrige un error
entonces ahora yo dije, vamos
que[PLANTEAMIENTO
PROBLÉMICA]
DE
POSIBLE
a desarrollar la suma para
SOLUCIÓN
A
SITUACIÓN
así pueda dar el numero aproximado, la longitud
aproximada del objeto, entonces… a no… factor común ¿cierto?
[NECESIDAD
DE
RECTIFICACIÓN
EN
COMPRENSIÓN
DE
ENUNCIADO] Aunque yo lo venia haciendo mal, [CONCIENCIA DE
ERROR EN POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA] que
primero pa´ sacar el numero con coma, yo recordé mas o menos que
cuando tenia aquí abajo, lo podía pasar arriba con un exponente
negativo, teníamos 3 a la 5 menos 2 mas 1 por 10 a la -1 en base 5 de
m2 mas uno cero en base 5, entonces como estábamos trabajando en
base 5 yo colocaba así…
ALUMNA 6 Miremos el valor posicional ¿si? Y le voy a dar la respuesta que
quiere. Tenemos la cuerdita ¿no? Cuando medimos de nuevo al colocar el cuarto
cordón nos queda aquí, por eso colocamos ¿si? Vamos a dividir este, este
pedacito de nuevo, cinco, ahí ya va a cambiar el valor posicional porque va a ser
59
una división de la subdivisión, lo que pasa es que yo les dije no lo dividí, pero
aparentemente nos va a quedar en el primer pedacito[PLANTEAMIENTO DE
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
Yesid: vean, este es objeto 0 entonces tiene el medidor, si, lo divide en tres, si en
tres, está dividido en tres partecitas, entonces cuando fueron a medir el objeto
con el medidor quedaba una partecita sin medir, si el objeto 0, entonces fue
donde ella[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante Javier: pues no, no ayer no teníamos una construcción así como de
muy bien definida por que la estábamos definiendo que habíamos hecho ahí
entonces estaba obviamente mal redactada, ayer la estuvimos mirando y pues
había que empezar desde lo inicial para empezar a definir que fue lo que hicimos
bien, digamos nosotros ayer definimos que, que, que empezamos hablar de los
triangulo equilátero que se describían entre las dos circunferencias y tendríamos
que haber empezado primero hablar de los dos puntos A y B que Iban ha ser un
segmento y pero.. A su vez cada uno de esos punto Iban a significar el centro de
una circunferencia[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Cristian: nosotros nos dimos cuenta que si no tendríamos el dibujo
entonces como a través de las palabras podíamos construir todo lo que hicimos
en el tablero, entonces eso fue lo que tratamos de hacer, nosotros pues en ese
tiempo, para poder construir lo que una persona que viera todo lo que escribimos
pudiera construir las mismas cosas y que quedara pues así como quedo en el
tablero;
que
de
lo
[PLANTEAMIENTO
verbal
DE
pasara
POSIBLE
alo
concreto,
SOLUCIÓN
era
A
como
eso.
SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante Sergio: profe pues yo creo que la actividad planteado sea plantea en
sí, algo desde lo concreto o sea desde uno, que desde… su hacer compruebe que
las pruebas que planteo Euclides o sea son…por decir así comprobables que se
60
pueden realizar y que tiene un sentido, entones creo que es una actividad para
que se pueda tomar como algo desde lo concreto; o sea creo que tomando lo que
dice Euclides se puede tomar algo desde lo concreto por que uno hace y se da
cuenta de algunos de los planteamientos o sea uno los descubre por que ya los
vio entonces por su cuenta los mira, los verifica y mira que si eso es cierto del
por
que
ya
les
da
un
poco
mas
es
en
todo
desde
la
parte
concreta[PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante Rocio: En esta línea no tiene puntos extremos, ya que la recta es
infinita. [PLANTEAMIENTO DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
Planteamiento de situación problémica. Se expone la situación que se
pretende resolver para alcanzar el objetivo. Esta puede ser planteada por el
docente o los estudiantes.
 Estudiante Cristian Camilo: Estábamos hablando en el grupo
supongamos nosotros tenemos y pues Trazamos un segmento de
recta llamado m1, y para utilizar Tales. Lo que el haríamos para
utilizar seria trazar una diagonal que inicia en m1 para hacer que
concuerde el lado de arriba y sea recto tomando un ángulo de 90°
pegue con el final de m1, para trazar mas rectas y que están sean
paralelas. [PLANTEAMIENTO DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Andres: yo me atrevo a pasar hasta que no lea el teorema de Tales
y el libro de Euclides. No lo dejo solo, tranquilo.
Entonces acá la pregunta… acá viene el problema si, porque Tales hacia eso,
¿pero como hacia, como carajo hacia? Para que lo que iba hacer acá, o no se
donde va a hacer en que punto de esta línea va a caer, entonces como… yo
creo que con el compas, eso hay una teoría con compases y todo, como hallar
ese ángulo, colocar la otra cosita, para que se diera bien la otra longitud en
cuestión. [PLANTEAMIENTO DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]
61
Propuesta alterna para solución de situación problémica. En esta fase el
estudiante plantea diferentes alternativas para la resolución de la situación
problémica.
 Laura: no, fijamos los puntos, luego trazamos la recta y después si le
sacamos la mitad, lo que pasa es que los puntos que fijamos,
digamos con determinada medida del compás, lo que hicimos fue,
tomamos un punto como digamos el centro pero no lo establecimos
de una vez, ni nada. Como la mitad, si no trazamos el punto acá y
luego volteamos y trazamos el punto aquí. Ahora sí trazamos la recta,
recta con esos dos puntos ya dados y después de trazar con esta
misma medida hay si colocamos otra vez el compás de la punta,
desde este punto y marcamos aquí y comprobamos que desde este
punto
hubiera
el
mismo.
[PROPUESTA
ALTERNA
PARA
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante
Cabello
largo:
que
ellas
están
a
mi
parecer
predeterminando, una medida que va a ser la mitad o digamos que
va a hacer, la abertura del compás, que va a ser la mitad o digamos
que va a ser donde termina uno de los extremos una de la punta va a
ser el punto medio de esa recta, entonces me parece más adecuada
la de éste lado porque están trazando y según esa recta hay si
estaría buscando el punto medio con los dos Arcos... si me hago
entender?
[PROPUESTA
ALTERNA
PARA
SOLUCIÓN
DE
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Javier: no, pues no es una pregunta, si no que la proposición no se
que era lo que planteaba la concepción de uno de los puntos del
cuestionario que decía, que si se traza una recta perpendicular a una
recta infinita dada desde un punto dado no esta en el que era uno de
los puntos y hay esta la concepción
de cómo se encuentra la
perpendicular atreves de la regla y el compas con las construcciones
62
que hace Euclides desde que hay salida de la perpendicular,
entonces también se podría tomar como si fuera un punto medio de
un segmento del que estaba inscrito al circulo. [PROPUESTA
ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante 2: Profesora no estoy de acuerdo ese no es el resultado,
sino una aproximación del resultado. [[PROPUESTA ALTERNA
PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante 9: Las definiciones, los postulados, luego las nociones
¿Si? [PROPUESTA ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
Estudiante Janeth: Esta línea es paralela, ya que por más que se
prolongue nunca se va interceptar y eso basándose en Euclídes.
[PROPUESTA ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante Camisa roja: ¿Y sí son segmentos de recta?
Estudiante Milena: No son segmentos, son rectas
[PROPUESTA
ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]
Estudiante
Buso blanco cabello largo:
¿Cómo hicieron la
construcción y cómo se puede afirmar que no se cortan?
[PROPUESTA ALTERNA PARA SOLUCIÓN DE SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
Síntesis de posible solución a situación problémica. Este proceso se efectúa
con el fin de optimizar y clarificar todo el proceso de solución al problema. Es
análogo a reducir la solución en extensión pero no en su contenido y esencia, sin
alterar la consecución del objetivo.
 Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la
medida, puesto que la elongación del cáñamo varía mucho y afecta la
medición [CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA]. Ya sobre el
63
papel procedimos a hacer las correspondientes divisiones de m1 y m2
para después sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2
se encontraban tres veces sobre el objeto O”
[SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
Profesora: pero muéstrenos el desarrollo del primer punto, recuerden lo que
dice; medir la longitud del objeto O, con el medidor m1 y expresar su medida
en base tres, con un número fraccionario, cociente entero de forma a sobre
b y con un número con coma.
Entonces el estudiante escribe en el tablero lo siguiente:
“Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a la medida, puesto que la
elongación del cáñamo varía mucho y afecta la medición. Ya sobre el papel
procedimos a hacer las correspondientes divisiones de m1 y m2 para después
sobre el papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban tres
veces sobre el objeto O”
m1 = 10(3)
m2 = 3(5)
m1 = 10,0(3)
m2 = 3,0(5)
m1 = 10(3) / 1(3)
m2 = 3(5) / 1(5)
[SÍNTESIS DE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Profesora: Borren todo lo del tablero menos, la pregunta que está en el
tablero. Escriben en el tablero.
64
2(3)m1 < L < 20(3)m1
2(3)m1 + (2/10) m1 < L
¿Por qué aseguran
que m1 = m2?
2(3)m1 + (2/10)(3)m1 + (2/100)(3)m1 < L < 10(3)
(2000(3)m1 + 200(3)m1 + 20(3)m1)/1000(3) = (2220(3)
m1)/1000(3)
= (222/100)(3)m1
222(3)/100(3) m1 < L < 10(3) m1
2,22(3) m1 < L < 10(3) m1
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Francy: Tengo las tres partes [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Francy: Pues es muy parecido lo que dice Natalia sino que a mi medio un
pedacito más pequeño osea este pedacito solamente, entonces inicialmente
hice, observe que me daba tres y que la longitud del objeto era mayor a
esas tres partes, después que era la longitud era mayor a tres y menor que
cuatro, luego hice la primera subdivisión entonces era menor a tres M sub
Dos y menor a tres más la primera subdivisión de esta menor a tres mas
una parte uno sobre uno cero de M sub dos mirando lo que hizo Natalia,
Pues también hizo lo que ella realizo que era subdividir esto en otras cinco
partes ahí estoy confundida, la longitud es menor a tres perdón mayor a tres
y está entre tres más uno sobre uno cero que pertenecería a esta parte,
entonces volví a hacer otra subdivisión ya que el punto era muy muy
pequeño y lo mejor era llegar a una mejor aproximación entonces volví a
realizar la subdivisión se me cayeron los hilos volví a subdividir esto, y en
esta subdivisión ya en una ya me daba un segmento en el último segmento
de esta subdivisión entonces ahí lo que hice fue que la longitud es tres
65
aproximadamente tres más uno sobre uno cero cero, cero, cero, cero, que
pertenece a esta parte es aproximadamente por eso coloque, no coloque al
igual que Natalia allá que está entre tres y entre tres más uno sobre uno
cero, cero por que la idea de medir es llegar a una mejor aproximación y si
siempre nos quedara entre un segmento y el otro segmento pues no
tendríamos una medida entonces por eso lo coloque así, entonces nos daría
tres partes la parte completa es tres partes más cero partes, cero partes de
uno cero, cero partes de uno sobre cero, cero y una partecita de uno sobre
uno cero, cero, cero quedándome el numero con, tres coma cero ¡ahí! Me
falta un cero, espérate cero, espérate cero, me sobra es un cero aquí cero
cero uno en base cinco de M2…. Bueno es que aquí no la escribí, no le
había escrito M2 el M sub dos aparece de que es mi unidad de medida. 6
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Eduar: Yo le cuento como saque las paralelas por que lo de Thales no lo
conocemos y las paralelas las sacamos al estilo de Euclides con regla y
compas. Bien vamos a ver como sacamos el, inicialmente nosotros
tomamos el objeto a nuestra medida entonces medimos por primera vez
aquí. Tengo las medidas, entonces medimos por primera vez desde aquí, en
si nos dieron dos de estas osea dos M sub dos y no alcanzamos a dar tres
M sub dos entonces vamos a llamar, ya están están las convenciones, ya
las tenemos la longitud del objeto L. va a dar entre dos y tres inicialmente,
osea inicialmente podemos decir que nos dan dos y tres, pero como esto es
una medida continua la longitud entonces queremos ser entre comillas mas
exactos, entonces dividimos lo que nos dio de dos a tres dividimos nuestra
unidad en cinco partes, por que estamos trabajando en base cinco y al
dividir nos dimos cuenta que no alcanzaba a dar las tres completas, no
alcanzaban a ser M sub dos , sino que estaba en un rango menor entonces,
nos dio una dos tres bueno aquí fue donde se cayó el hilo, pero cuando lo
hicimos en nuestra casa, porque no alcanzamos a hacerla por hacer la
cuadricula, entonces cuando lo hicimos con Fercho, hacer esto con Fercho,
6
PRECATEGORIA RESOLUCION DE PROBLEMAS USO DE DIVERSAS REPRESENTACIONES
66
sobraba un pedacito osea no alcanzaba a completar las tres M sub dos,
entonces las dividimos en cinco partes y nos daba por aquí, entonces
vamos a expresar esto que hicimos inicialmente lo vamos
a hacer con
fraccionarios, entonces decimos que dos m sub dos allá la dividimos entre
cinco y cuando la dividimos entre cinco lo vamos a hacer con números con
coma, entonces teníamos nosotros dos unidades de M sub dos y ya cuando
dividíamos en cinco y luego tomar entre cuatro de esas divisiones que
hicimos y la quinta que da entre M sub dos, decimos que colocamos esto…
aquí decimos que tenemos el 2 M sub dos y entonces al hacer esa división
nos dieron cuatro unidades, profe eso toca aclarar.. Toca aclarar
porque
sería a la menos uno, listo ahí nos da como cuatro entonces nos dimos
cuenta que se podía aproximar la medida, entonces dijimos que estaba
entre dos coma cuatro y tres base cinco y lo dividimos en cinco partes mas
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Eduar: “decíamos que para que fuera la misma unidad de medida partíamos
de la misma que estaba pegada en el tablero, pero viendo, si es la misma
unidad de medida ya que lo que varia es la construcción del medidor, que si
un poquito mas corrido, mas cerrado, ya que la unidad de medida seria
diferente de acuerdo con lo que hicimos…… y después viene la pregunta
que nos contradice como son los números obtenidos y después ahí viene la
contradicción de que que es lo igual y que lo distinto , si dijéramos que la
unidad de medida son iguales y nos fallaran por un poquito son diferentes,
entonces son iguales aproximadamente, ya vendría que cuando nos dan
estos números como son fracciones continuas van a variar mucho de base
tres a base cinco, por que estamos trabajando con esto, entonces al variar”.
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Eduar:”si la tercera cifra después de la coma a ver
yo tengo aquí los
resultados en una daba punto ochenta y seis a no pero era por centésimas
por el segundo numero una daba coma ochenta y seis y la otra daba coma
ochenta y ocho era por dos centésimas, si dos cifra después de la coma
entonces ahí dijimos son aproximadamente la podemos tomar como lo
67
mismo o no”. [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Eduar:”armamos las dos opciones con respecto a la unidad de medida si
decimos que si entonces nos contradecimos de que cuando hacemos
nuestra unidad de medida varia un poco entonces ya no es la misma unidad
de medida, por este lado decíamos que si pero por este no, llegamos a una
contradicción aquí decíamos que no y aquí tampoco, y pues en este libro
estábamos mirando todo esto de la aproximación “. [SÍNTESIS DE
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Eduar:”si la aproximación dice que es medida continua para tomar una
longitud como medida exacta no … eso, entre menos sea la unidad de
medida la aproximación va a ser mayor ósea en lo concreto tal cosa y si
miro lo abstracto “.[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Eduar:”teóricamente que son iguales si porque no varía la unidad de
medida, si no se va a mirar mas exacto y por la construcción ya varia,
incluso llegan momentos en que con este intervalo se podrían hacer mas
divisiones pero en concreto no”… [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Cristian: Pues en cambio yo si empecé trazando una recta y después
cogiendo y colocando la punta del compas en A por decir y trazo un arco por
arriba y otro por abajo así yo creo, pues así no tanto basándome en las
copias si no lo aprendí cuando estaba viendo dibujo técnico. [SÍNTESIS DE
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Gladis: teniendo un punto P
trazar un segmento con extremos A y B,
donde su punto P sea su centro o punto medio. [SÍNTESIS DE POSIBLE
SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante chaqueta negra: exactamente y el numero que hicieron ellas
por lo cual no se da con ese enunciado y no abría un enunciado para poder
68
decir, por que pues igual aquí se esta cometiendo ese error 7 [SÍNTESIS DE
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Laura: ya nos dimos cuenta del error [CONCIENCIA DE ERROR
EN LA SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA] que teníamos en el
procedimiento, es que estábamos utilizando, entonces estamos aplicando el
segundo procedimiento pero entonces hasta ahora estamos buscando la
argumentación para aplicarlo pero que todavía no tenemos 8. [SÍNTESIS DE
POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Edison: A partir de estos dos puntos trazamos un segmento de
recta. Luego nos pedía hallar el punto medio, entonces de esta manera
nosotros utilizamos el compás para hallar el punto medio lo que hicimos fue
tomar el compás primero lo colocamos en el punto A y trazamos una
circunferencia con radio al punto B igualmente utilizamos el mismo
procedimiento con respecto al punto B, esto lo realizamos en referencia a lo
que observamos en el libro de Euclides en la proposición 1, el punto medio
lo trazamos inicialmente mas bien a ojo, pero por lo observado en Euclides,
y trazadas las dos circunferencias, tomando los puntos que se interceptan y
con una regla trazamos una recta que pase por esos puntos y confirmamos
el punto medio del segmento AB. [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Edison: Pues esa es la manera que por medio del compás y la
recta obtuvimos el punto medio y ahí no le vimos mayor problema pasamos
hacer el segundo punto, y al comprobar con la regla nos efectivamente nos
daba el punto medio.El segundo punto del taller nos decía que teníamos
que hallar un triángulo equilátero, recordemos que este triángulo tiene los
tres lados de igual medida, entonces la manera que lo hicimos fue que
usando las mismas circunferencias y procedimiento ya hecho, a partir del
punto A trazamos una recta al punto F y del punto B trazar otra recta al
7
8
Letra amarilla subrayado gris construir y reconstruir conceptos matemáticos
Letra amarilla subrayado rojo comunicación de resultados.
69
punto F formando así el triángulo. [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Edison: Entonces lo que hay que mostrar era que el segmento
AB era equivalente al segmento AF, y el segmento AB y era equivalente al
BF, entonces el segmento AF es equivalente al segmento BF, por lo cual se
dice que el triángulo es equilátero. [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiantes Dímelsa y Luz: El enunciado que consiste, dado el punto A y D
construya el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de C y D,
[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO] vamos a utilizar la construcción que
estaba en el tablero que consistía en un segmento de recta con extremos C
y D y dos circunferencias con radio CD y centros en C y en D
respectivamente, luego trazaron las rectas que pasa por los puntos de corte
de
los
círculos
y
dijeron
que
desde
hay
todos
lo
puntos
equidistaban…[ESTUDIANTE DESCRIBE UN PROCESO] terminamos
diciendo que una línea perpendicular a la recta imaginaria que establece la
distancia entre los dos puntos talque pase por la mitad de la misma, sería el
lugar geométrico donde se encuentran todos los puntos equidistantes de C y
D, esta perpendicular estaría dada por la construcción antes hecha por el
compañero Edinson: [SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante Alejandro: Y su lugar geométrico estaría en los dos círculos que
habrían con el radio del segmento CD, tomando como puntos centros de
estos, los puntos C y D, más luego establece unos puntos haciendo rectas
que serian los diferentes diámetros de los círculos haciéndoles pasar por
algunos puntos específicos como lo son dos puntos donde se corta la
circunferencia de los dos puntos extremos por donde pasa esta recta,
perpendicular a la recta que pasa por los puntos C y D, el punto de corte
seria el punto equidistante a los dos puntos C y D. Después haciendo un
diámetro arbitrariamente a un círculo cuyo diámetro era exacto entre los
70
puntos C y D, puedo afirmar que con esta recta se ocuparía la respuesta A.
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 ESTUDIANTE 1: m1 de m2 ósea decimos m1 es a m2 como 1 es a 1 fue la
proporción que hicimos y pues al contrario lo mismo m2 es a m1 como 1 es
a 1 ya cuando dijimos a m3 dijimos que m1 es a m3 como 1 es a 6… ¿o 6
es a 1? (bueno si m3 Es la sexta parte de m1 igual que m2 ósea m1 es a
m3 como 1 1es a 6… ¿si?
[SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Rocio: Hay muestra que para levantar esa recta los 2 ángulos que se
muestran para H gamma R y E gamma R ambos ángulos van a ser
adyacentes entre si, iguales a un si, 2 ángulos iguales que, ósea rectos, y la
recta que se levanta se puede llamar perpendicular de acuerdo a la
definición de eso hay decía que si se levanta una recta sobre otra recta los
ángulos adyacentes entre si, de los cuales cada uno, que si cada uno de los
ángulos en recto.[ SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
Solución a situación problémica. Dentro del ambiente de aprendizaje se llega
a una solución final para la solución problémica por medio de la cual se alcanza
el objetivo planteado desde el comienzo del proceso.
 Estudiante Camilo Ocampo: El punto uno, nos pedía medir la longitud
del objeto O, con el medidor m1 y expresar su medida en base tres, con un
número fraccionario, cociente entero de forma a sobre b y con un número
con coma……Con esto se pudo definir que la longitud de O se
encontraba entre las dos terceras partes de la colocación del tercer
m1, y el termino de m1 ya disminuido el lumbral, podemos expresar
esto de la siguiente manera: 2m1 < 1 < 103m1 en la segunda división
2m1,
2/3 m1 < 1 < 103m1 Vuelve a realizarse la subdivisión de
segmentos, buscando mayor exactitud, para evitar confusiones en el
veredicto de la longitud de O, se procedió a escribir esta segunda
división de la siguiente forma: 1/3 de 1/3 de m1, es decir 1/9 m1, es el
71
segmento resultante, para saber la longitud aproximada del objeto O,
se procede a realizar la suma de magnitudes.[SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA] Segundo, Medir la longitud del objeto
O, con el medidor m2 y expresar su medida en base cinco.
 Profesora: por favor escriba los datos en el tablero.
Longitud de O = L
2m1 + (2/3)m1 < L < 103
2m1 + (2/3)m1 + (2/9)m1 < L < 103
2223 / 1003
Longitud de O era igual a L, quedando así; 2m1 + (2/3)m1 < L <
103, después
de una segunda división lo dejamos así, 2m1 +
(2/3)m1 + (2/9)m1
< L < 103, este fue el valor que pasamos
fraccionarios, que quedo de la siguiente manera; 2223 / 1003, en
base 3 de m1 [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante 4: Primero, medir la longitud del objeto O, con el
medidor m1 y expresar su medida en base tres, con un número
fraccionario, cociente entero de forma a sobre b y con un número
con coma. Nosotros…... cosa que no ocurre con el papel
contribuyendo a que la medición sea más precisa. Además en
papel nos dimos cuenta que m1 y m2 son iguales.[SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA] Desarrollamos el teorema trazando
la diagonal y luego las paralelas, usando el cáñamo como compás
para trazar los cortes.
 Estudiante 4: “Pasamos m1= m2 al papel para dar más exactitud a
la medida, puesto que la elongación del cáñamo varía mucho y
afecta
la
medición
[CONCIENCIA
DE
SITUACIÓN
PROBLÉMICA]. Ya sobre el papel procedimos a hacer las
correspondientes divisiones de m1 y m2 para después sobre el
72
papel medir el objeto O, obteniendo que m1 y m2 se encontraban
tres veces sobre el objeto O”
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante 2: Vamos a mostrar la parte practica ya que Camilo, ya
hablo de la parte teórica.
Camilo muestra el cáñamo con tiritas de hilo de diferentes colores
mientras su compañero explica lo realizado por ellos 9.
Lo que hicimos fue segmentar las unidades de medida con el
método de Thales y a las inserciones las realizar con hilo de color
verde, luego medimos el objeto con el cáñamo [SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]y encontraron que dos veces m1 no
eran suficientes, pero que tres veces m1 sobrepasaba la longitud
del
objeto
[CONCIENCIA
DE
SITUACIÓN
PROBLÉMICA].
¿Podemos borrar el tablero?
 Estudiante Alberto: No es que dependa del ángulo lo que pasa
es que no nos sirve para medir el ángulo que hay.10 [SOLUCIÓN
A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Javier: Si el punto donde esa recta se corta con el segmento AB
entonces va hacer la mitad de ese mismo
Profesora: ¿va a ser la mitad?
Javier: Si [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Johan: concluyendo que 2APm=AB por lo que Pm es
el punto medio.
9
Letra verde descripción de la imagen
PRECATEGORÍA OBJETIVOS CONCEPTUALES: ENTENDER IDEAS MATEMÁTICAS
10
73
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Javier: Es para crear un segmento no mes de la línea que hay en
esos dos puntos donde corta la circunferencia de la línea dada
pasa el triangulo. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante 1: para realizar la segmentación del cáñamo, tuvimos
que realizar la división de la cuadricula según Thales, pero no nos
cuadra la cuadricula de esa forma y como alternativa utilizamos
las diagonales de la cuadricula, de la hoja de block y muestra el
cuaderno y el block a la cámara.
11
[ESTUDIANTE EN
CONCIENCIA DE SITUACIÓN PROBLÉMICA], [SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Esta es la imagen que capta la cámara.

 Las diagonales que están dentro del triángulo, son las guías de
las otras paralelas, en cambio el otro no tiene ninguna guía y se
puede una equivocar, el grupo está en discusión de que método
debemosseguir. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLEMICA]
En ese momento llega un compañero anunciado que encontró el
error del primer trazo.
11
PRECATEGORIA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:COMUNICACIÓN DE RESULTADOS
(ORAL Y ESCRITA)
74
Para encontrar la medida de O y buscando delimitar el lumbral de
diferencia se procedió a usar las divisiones, definiendo que cada
una de ellas era 1/3 de m1, y cada división la realizamos con un
color sobre el cáñamo, es decir, la primera partición de un color, la
segunda de otro y así sucesivamente, hasta que en lo concreto no
pudimos
seguir
dividiendo.[SOLUCIÓN
A
SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante Camilo Ocampo: Nosotros nos dimos cuenta que en la
primera medida el lumbral de duda era muy grande y se busco
disminuirlo realizando la subdivisión del m1 con el teorema de
Thales.
[CONCIENCIA
DE
SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante 6: Si, área de paralelogramos y esta sirve para
demostrar lo que es la congruencia geométrica [SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante (2): Lo que hice yo fue trazar una recta en mi hoja y
pues ahí con el compas, se supone que con esta yo voy a trazar
un arco hasta aquí [SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Cristian: Y que la distancia iba a hacer la misma[SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Javier: Entonces ahí el punto medio como había dicho seria
donde daba la otra punta del compas, aquí marcaba un punto y
aquí el otro y de una vez teníamos el punto medio, y esta seria A y
esta seria B y el de la mitad el punto medio
75
Entonces como Cristian igual nos parece que en los dos nos daba
lo que pedía el enunciado la recta con A y B y el punto viene
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Freddy: Pues a mi parecer ahí dice trace un segmento con
extremo Ay B ahí no le están diciendo que trace otra recta para
poder determinar el punto medio de la otra recta entonces ahí dice
trace un segmento de recta A y B y dentro de esas ósea lo que yo
entiendo de ese enunciado[COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO]
hallar su punto medio ósea es razonable lo que esta haciendo
Cristian por que es que al hacer lo que dice Javier el tiene la recta
Ay B y lo que va a hacer es crear otra recta CA al otro lado y
entonces va a hacer el punto medio entonces ya se sabe que es A
entonces lo que me están pidiendo es el punto medio de A y B
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Carlos: Pues como decía que lo hiciera con regla y compas
entonces era como llevarse como a la circunferencia no se y los
puntos de intersección que se veían ahí cuando hicimos los
círculos completos entonces vimos que si se podía ósea que de
pronto al tratar de bueno…. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Carlos: Pues como decía que lo hiciera con regla y compas
entonces era como llevarse como a la circunferencia no se y los
puntos de intersección que se veían ahí cuando hicimos los
círculos completos entonces vimos que si se podía ósea que de
pronto al tratar de bueno…. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante Cristian: nosotros nos dimos cuenta que si no
tendríamos el dibujo entonces como a través de las palabras
podíamos construir todo lo que hicimos en el tablero, entonces
eso fue lo que tratamos de hacer, nosotros pues en ese tiempo,
76
para poder construir lo que una persona que viera todo lo que
escribimos pudiera construir las mismas cosas y que quedara
pues así como quedo en el tablero; que de lo verbal pasara a lo
concreto,
era
como
eso.
[SOLUCIÓN
A
SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Andrés: pues bueno yo diría que el objetivo de la clase es como
aplicar lo que nos plantea el libro nuevo Euclides es...si aplicar lo
que el nos dice en sus postulaciones en sus demostraciones
como que darle un sentido a eso y saber para que nos sirve eso...
[SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA]
 Estudiante Laura: voy a hacer, voy hacer un ejemplo aquí, si yo
estuviera haciendo fijando el punto medio, lo que estaría, digamos
yo estoy tomando ya la medida con el punto medio y el con el
compás, ya la tengo pero no la he marcado, el punto medio
porque no me daría una ... no estaría segura que me diera una
línea recta, porque si yo hiciera esto, Marco este punto, entonces
digo que es de acá marcó un punto y acá marco otro, no estoy
Segura que estos tres puntos me vayan a dar una línea recta,
precisamente en este momento no lo marco, tengo la medida pero
después de que yo marco estos dos puntos que me dé una recta
hay si tomo donde era él. Pero en la línea recta, no estaría segura
que fuera una línea de 180...180º[SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
 Estudiante Cristian: Profe… pues yo pensaría que no utilizaran
esa, que trazaran una recta sin ayudarse compás primero porque
pues el compás yo creo que para trazar una recta no hay
necesidad de utilizar un compás. [SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA]
77
Estudiante comunicando ideas acerca de un texto. El estudiante comunica
de manera oral las ideas extraídas de un texto a sus compañeros, docentes o a
cualquier otro estamento.
 Estudiante 5: El libro se trata sobre la teoría de la geometría
plana[ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Estudiante 6: Algunos de los postulados nos dan breve entrenamiento de
la utilización de la regla no marcada y el compás[ESTUDIANTE
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 5: Hay otras que nos hablan de la teoría de paralelismo de la
regla de Euclides, algunos nos permiten ser la unicidad
en la
perpendicular, por un punto exterior solo cabe trazar una perpendicular de
ella. [ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Estudiante 6: Las restantes determinan áreas de paralelogramos, triángulos
y cuadrados [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE
UN TEXTO]
 Estudiante 7: Para nosotros el libro trata de las definiciones,
construcciones y demostraciones de los objetos, nociones y elementos
geométricos planos con abstracciones a las superficies figuras y ángulos.
[ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Estudiante 8: ¿Cómo esta estructurado este tratamiento? Básicamente por
postulados, nociones comunes y proposiciones donde las primeras se
aciertan como verdades, los postulados son tratamientos comprobables,
las nociones comunes son empíricas y las proposiciones son trabajos para
hacer una clase, entre comillas [ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 9: Definición de líneas puntos, segmentos, ángulos
construcciones de figuras geométricas planas, muestran las proposiciones
que demuestran la verdad
las nociones comunes y definiciones que
78
utiliza el autor [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA
DE UN TEXTO]
 Estudiante 11: habla sobre definiciones de punto, líneas, segmentos,
superficies, círculos y semicírculos, y construcción de figuras geométricas
planas, también nos habla de nociones comunes que son líneas en las
cuales todos estamos de acuerdo, habla del pie de pagina que son axiomas,
y también hay preposiciones para comprobar las nociones comunes y las
definiciones que plantea el autor [ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 13: Inicialmente con definiciones de punto, línea, recta,
círculo, figura, a partir de dichas definiciones comienza a construir
triángulos que se forman a partir de estos y otras figuras geométricas
[ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Estudiante 14: El libro inicialmente da definiciones y posteriormente se
dan
proposiciones[ESTUDIANTE
COMUNICANDO
IDEAS
ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 15: Trata sobre las definiciones, puntos, ángulos con las que se
construyen figuras geométricas planas exponiendo también lo que piensa
el autor[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Estudiante 17: habla de las nociones básicas de la geometría plana
mediante propuestas, definiciones, demostraciones, y construcciones de
figuras punto de la geometría plana [ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 18: la construcción, ahí se puede ver la construcción de dos
ángulos congruentes [ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS
ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante
7:
Definiciones
y
construcciones
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
[ESTUDIANTE
79
 Estudiante 13: Inicialmente con definiciones de punto, línea, recta,
círculo, figura, a partir de dichas definiciones comienza a construir
triángulos que se forman a partir de estos y otras figuras geométricas
[ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Estudiante 14: El libro inicialmente da definiciones y posteriormente se
dan
proposiciones[ESTUDIANTE
COMUNICANDO
IDEAS
ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 15: Trata sobre las definiciones, puntos, ángulos con las que se
construyen figuras geométricas planas exponiendo también lo que piensa
el autor[ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Estudiante 17: habla de las nociones básicas de la geometría plana
mediante propuestas, definiciones, demostraciones, y construcciones de
figuras punto de la geometría plana [ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 18: la construcción, ahí se puede ver la construcción de dos
ángulos congruentes [ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS
ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante
7:
Definiciones
y
construcciones
[ESTUDIANTE
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 7: Pues en la segunda dice de cómo está estructurado este
tratamiento, decimos que se inicia con definiciones los postulados para
luego llegar a la aplicación de esa geometría plana, tomando en cuenta lo
que anteriormente ellos escribían [ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 19: la primera trata sobre geometría de una manera mas
especifica que cada una de sus palabras son sustentadas por medio de
definiciones y a su vez encontramos implícita la construcción de la misma
geometría explicando de una manera argumentada [ESTUDIANTE
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
80
 Estudiante 19: Y a la segunda, está constituido por definiciones y
postulados los cuales están argumentados y posteriormente esta explicito
las
definiciones
por
medio
de
[ESTUDIANTE
proposiciones
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante 21: Vemos que el libro contiene definiciones tales como punto,
línea, superficie, extremo y posteriormente la construcción de figuras es
decir
parte
de
lo
particular
a
lo
general
[ESTUDIANTE
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Estudiante: La pregunta tres donde dice ¿Es útil la teoría propuesta en el
libro I para el trabajo de clase? ¿Por qué? , Nosotros dijimos que sí,
porque gracias a esto podemos construir figuras en el plano
[ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Estudiante: La estructura del libro viene de la siguiente forma, las
definiciones las cuales hablan de rectas, círculos, triángulos, y
especificaciones de cada una de ellas entonces cogemos que la superficie
y la longitud ¿si? Ahora decimos que los postulados dan cuenta de lo que
pasa cuando se propone, se prolonga una recta, cuando se construye una
circunferencia por medio de una recta, y la característica de los ángulos en
ella; luego ya viene hablando de las nociones comunes que se pueden ver
como unos axiomas o verdades indemostrables y ya vendríamos que en
base a esto podemos pasar a las proposiciones que dice: [ESTUDIANTE
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
En sus 48 proposiciones argumentan en un nivel de complejidad que
aumenta a medida que se va demostrando proposiciones que anteceden lo
que se va a demostrar, ósea todo se ve como un proceso[ESTUDIANTE
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Fernando:
Construcciones
geométricas[ESTUDIANTE
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
81
 Cecilia: De la geometría plana, son conceptos, definiciones y aplicaciones
[ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Edwin: Punto y recta, ángulo, triangulo, acerca de la igualdad,
circunferencia [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA
DE UN TEXTO]
 Edwin: Paralelismo Euclidiano, congruencia geométrica [ESTUDIANTE
COMUNICANDO IDEAS ACERCA DE UN TEXTO]
 Edwin: Planos [ESTUDIANTE COMUNICANDO IDEAS ACERCA
DE UN TEXTO]
 Edwin: Superficies [ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS
ACERCA DE UN TEXTO]
 Milena: Es que nosotras consideramos que todo eso que acabaron de decir
es más una descripción de lo que trae el libro mas no de
la…[ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN
TEXTO]
 Yaneli:
Estructura
[ESTUDIANTE
COMUNICANDO
IDEAS
ACERCA DE UN TEXTO]
 Milena: Es los diferentes procedimientos que habla el libro para construir
las figuras, a partir de cada uno de esos elementos que puedo utilizar,
rectas, ángulos, puntos[ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS
ACERCA DE UN TEXTO]
Quinta y Sexta Etapa
Finalizada la etapa en la cual se enlistaron los descriptores y se substrajeron de las
transcripciones cada uno de los párrafos en los cuales aparecía cada uno de ellos se
realizó una lista para todos los videos respecto a las palabras o frases recurrentes o
82
relevantes, el número de veces que aparecen en las transcripciones, las palabras claves
del descriptor el video en donde se encuentran y la página.
Este proceso permitió encontrar constantes o elementos con elevada frecuencia de
repetición para brindar una jerarquía y organizarlos de acuerdo a las precategorías
establecidas en la tercera etapa, ubicarlos dentro de las mismas y realizando una última
depuración donde se eliminaron o se fusionaron algunas que apuntaban a la misma
intencionalidad.
Listado de Palabras o Frases Recurrentes
Comprensión de enunciado.
“Nosotros entendemos…… es algo que” (Video 3, Pagina 2)
“Lo que yo entiendo de ese enunciado…” (Video 6, Pagina 11)
“Yo creo que…. podemos darnos cuenta que…” (Video 7, Pagina 2)
“Yo creo que…” (Video 7, Pagina 3)
“Un enunciado para…. Sería…” (Video 7,Pagina 29)
“El enunciado que consiste en…” (Video 8, Pagina 11)
“Así pues ahí que…” (Video 9,Pagina 14)
Conciencia de error en la solución de la situación problémica.
“La escritura está mal, hay un error…” (Video 2, Pagina 5)
“Si qué pena me equivoque…” (Video 2, Pagina 5)
“El error radica en la escritura…”(Video 2, Pagina 7)
83
“Lo hicimos mal…” (Video 3, Pagina 1)
“Habíamos tenido un gran error…” (Video 3, Pagina 1)
“Lo volvimos a hacer mal…” (Video 3, Pagina 7)
“Yo lo venía haciendo mal…” (Video 3, Pagina 19)
“Entonces acá esta el error…” (Video 4, Pagina 7)
“Yo me di cuenta después del error” (Video 4, Pagina 8)
“Ahí está el error” (Video 4, Pagina 14)
“Ahí fue un error” (Video 4, Pagina 14)
“No nos habíamos dado cuenta del error” (Video 7, Pagina 26)
“Pues el error esta en…” (Video 8, Pagina 4)
“Ya nos dimos cuenta del error…” (Video 8, Pagina 4)
“Esa respuesta es equivoca…” (Video 2, pág. 5)
“El error radica en…” (Video 2, pág. 7)
“Ellos lo sacaron por…. pero tocaba por…” (Video 8, pág. 9)
Conciencia de situación problémica.
“Tuvimos en cuenta que…… (Video 2, Pagina 2)
“Fue evidente que…… (Video 2, Pagina 2)
“Argumentan que… porque…. (Video 2, Pagina 3)
“Este fenómeno crea un margen de error… (Video 2, Pagina 3)
“La elongación del cáñamo varía mucho y afecta la…” (Video 2, Pagina 4)
“Encontraron que… no eran suficientes, pero que…” (Video 2, Pagina 7)
“Este es el objeto cero, me va a dar tres de esto ¿Sera que este es igual?“ (Video
4, Pagina 4)
“Cuando realizamos la…Cambiamos…” (Video 1, página 6)
“Nosotros nos dimos cuenta que…” (Video 2, página 2)
“Éste fenómeno crea un margen de error…”(Video 2, página 3)
“Varía mucho y afecta el…”(Video 2, página 4)
84
“Como parte del ejercicio era …”(Video 2, página 4)
“No eran suficientes…” (Video 2, página 7)
“Es confuso para…” (Video 2, página 8)
“ Ya que se puede mal interpretar”…..(Video 2, página 8)
“No es posible…” (Video 6, página 1).
Estudiante describe un proceso.
“Debíamos construir con base en….” (Video 1, Pagina 7)
“Utilizamos el hilo para…” (Video 1, Pagina 7)
“Nos estaban hablando de…” se podían sacar con…. (Video 5, Pagina 6)
“Lo que yo hacía…” (Video 7, pagina 19)
“Entonces si yo tomo…” (Video 7, página 19)
“Si yo marco…” (Video 7, página 19)
“Si yo trazo…” (Video 7, página 19)
“Aseguro que…” (Video 7, página 19)
“Primero, construimos el…” (Video 8, página 9)
“Trazamos una…” (Video 8, página 9)
“Entonces para saber si…” (Video 8, página 9)
“Construyendo una…” (Video 8, página 10)
“Para hallar la…” (Video 8, página 10)
“Se podría usar…” (Video 8, página 10)
“Vamos a utilizar la…” (Video 8, página 11)
“Luego trazaron las…” (Video 8, página 11)
“Cogimos el…” (Video 9, página 11)
“Trazamos una…” (Video 9, página 11)
“Trazando una…” (Video 9, página 11)
“Podríamos empezar…” (Video 9, página 11)
“Se podría desde...” (Video 10, página 4)
85
“En todo triangulo si...” (Video 10, página 8)
“Una que dice que...” (Video 10, página 8)
“Cuando dos…... cada uno de los…” (Video 10, página 10)
“Para hallar eso…” (Video 10, página 13)
“Entonces se debe…” (Video 10, página 13)
“Se podría hacer de…” (Video 10, página 13)
“Luego de es...” (Video 10, página 13)
“Así obtuvimos el…” (Video 10, página 13)
Necesidad de rectificación en comprensión de enunciado.
“Para nosotros significa…”(Video 3, pág. 3)
“¿Cierto? …” (Video 3, pág. 9)
“Si empezamos a hacerlo de otra forma…” (Video 3, pág. 9)
“Siempre trataríamos de……..(Video 3, pág. 9)
“Creo que pudieron haber hecho……..” (Video 3, pág. 15)
“¿Sí? “ (Video 3, pág. 15)
“Empezamos diciendo que…” (Video 3, pág. 19)
“¿Sí? …….. (Video 3, pág. 19)
“Quedaba así ¿cierto? ¿Sí? ……..” (Video 3, pág. 19)
“Estamos volviendo a reconstruir……..” (Video 5, pág. 9)
“De acuerdo a lo propuesto pensamos……..” (Video 5, pág. 9)
“Nosotros no lo estamos tomando donde el principio……..” (Video 7, pág. 26)
“Es evidente que……..” (Video 7, pág. 26)
86
Planteamiento de posible solución a situación problémica.
“Nosotros lo representamos de la siguiente forma…” (Video 2, pág. 7)
“Realizamos la……” (Video 2, pág. 7)
“Vamos a hacer el procedimiento…” (Video 2, pág. 8)
“Lo vamos a comparar con…” (Video 3, pág. 5)
“Hagamos de cuenta que…” (Video 3, pág. 5)
“Yo creo que…” (Video 3, pág.12)
“Pues utilizamos unas…… entonces acá tomamos…” (Video 3, pág. 18)
“Empezamos diciendo que …. Entonces,…” (Video 3, pág. 19)
“Vamos a desarrollar…” (Video 3, pág. 19)
“Miremos el valor ….. le voy a dar la respuesta…” (Video 3, pág. 20)
“Este es objeto 0 entonces….si lo divide en…” (Video 4, pág. 3)
“Nosotros ayer definimos que…” (Video 7, pág. 2)
“Tendríamos que haber empezado primero…” (Video 7, pág. 2)
“Nosotros nos dimos cuenta que …” (Video 7, pág. 3)
“Podíamos construir todo lo que …” (Video 7, pág. 3)
“Vamos a resolver…” (Video 9, pág. 9)
Planteamiento de situación problémica.
“Supongamos nosotros tenemos… (Video 3, pág. 9)
“Lo que el haríamos…” (Video 3, pág. 9)
“… yo creo que,…” (Video 3, pág. 12)
“Entonces pues viendo que…” (Video 4, pág. 6)
“Entonces este valor…” (Video 4, pág. 6)
87
Propuesta alterna para solución de situación problémica.
“Lo que hicimos fue,… (Video 7 pág. 8)
“Ahora sí…” (Video 7 pág. 8)
“me parece más adecuada…” (Video 7 pág. 14)
“También se podría tomar como…” (Video 10 pág. 12)
“Ese no es el resultado, sino una aproximación….” (Video 2, Pagina 6)
“Las definiciones, los postulados, luego las nociones” (Video 5, Pagina 3)
“ Esta línea es paralela, ya que por más que se prolongue nunca se va interceptar
y eso basándose en Euclides” (Video 9, Pagina 9)
“No son segmentos, son rectas” (Video 9, Pagina 9)
“Cómo hicieron la…cómo se puede afirmar que….” (Video 9, Pagina 9)
Síntesis de posible solución a situación problémica.
“Son iguales por que se obtuvieron…” (Video 2 pág. 5)
“Nosotros lo representamos….” (Video 2 pág. 7)
“Da la cuarta que le queda a esa parte…” Video 4 pág. 6)
“Inicialmente hice…. Observe que….” (Video 4 pág. 9)
“Nosotros tomamos el objeto…” (Video 4 pág. 13)
“Decíamos que ….. si dijéramos que” (Video 4 pág. 14)
“Estábamos discutiendo no mejor hablando, lo que hicimos fue” (Video 4 pág.
18)
“Ahí dijimos son” (Video 4 pág. 18)
“Llegamos a una contradicción” (Video 4 pág. 18)
“Si miro lo abstracto teóricamente son iguales” (Video 4 pág. 19)
“Yo si empecé…” (Video 6 pág. 10)
“Yo lo colocaría al contrario…” (Video 7 pág. 17)
88
“No habría un enunciado…” (Video 7 pág. 23)
“Estamos aplicando el segundo procedimiento…” (Video 8 pág. 4)
“Confirmamos el …” (Video 8 pág. 7)
“Entonces la manera que lo hicimos fue … formando así …” (Video 8 pág. 8)
“Lo que hay que mostrar…” (Video 8 pág. 8)
“Terminamos diciendo que …” (Video 8 pág. 11)
“Puedo afirmar que…” (Video 8 pág. 13)
“Fue la proporción que hicimos…” Dijimos que…. (Video 10 pág. 2)
“Hay muestra que para…” (Video 10 pág. 14)
Solución a situación problémica.
“Con esto se pudo definir…… (Video 2 pág. 2)
“Este fue el valor que pasamos fraccionarios, que quedo de la siguiente manera
…” (Video 2 pág. 3)
“Dimos cuenta que m1 y m2 son iguales…” (Video 2 pág. 4)
“Lo que hicimos fue……” (Video 2 pág. 6)
“Lo que pasa es que no nos sirve para ……” (Video 3 pág. 6)
“Si el punto donde esa entonces……” (Video 6 pág. 16)
“Concluyendo que……” (Video 8 pág. 9)
“Es para crear un…. Entonces hay podemos……” (Video 10 pág. 13)
“Las... son las... En cambio el otro….y se puede equivocar…” (Video 1, pág 6).
“Para encontrar la medida de… y buscando… definiendo que…. es decir…. la
primera…. la segunda de…. Con esto se pudo definir que….” (Video 2, pág 2).
“Nosotros copiamos las…. Luego se…. Pasamos las medidas a….. y allí
utilizamos el método de…” (Video 2, pág. 3).
“Esta sirve para demostrar lo que es…” (Video 5, pág. 5).
“Lo que hice yo fue….. y pues ahí con…” (Video 6, pág. 8).
“Se supone que…” (Video 6, pág. 8).
89
“Por lo menos yo lo hice así:… yo me di cuenta que…” (Video 6, pág. 9)
“Nos parece que” (Video 6, pág. 9)
“Pues a mi parecer…” (Video 6, pág. 11)
“Pues como decía que…. era como llevarse Entonces vimos…” (Video 6, pág.
12)
“Nosotros ayer definimos que…” (Video 7, pág. 2)
“Nosotros nos dimos cuenta…” (Video 7, pág. 2)
“Lo que tratamos de hacer…” (Video 7, pág. 3)
“El objetivo de la clase es…” (Video 7, pág. 3)
“Si yo estuviera haciendo…” (Video 7, pág. 12)
“A mi parecer…” (Video 7, pág. 14)
“Entonces me parece más adecuada…” (Video 7, pág. 14)
“Yo pensaría que …” (Video 7, pág. 14)
“Yo creo que para…” (Video 7, pág. 14)
“Yo pensé que desde…” (Video 10, pág. 4)
Estudiante comunicando ideas acerca de un texto.
“El libro se trata sobre…” (Video 5 pág. 4)
“Algunos de los postulados nos dan…” (Video 5 pág. 4)
“Hay otras que nos hablan de …” (Video 5 pág. 4)
“Para nosotros el libro trata de…”(Video 5 pág. 5)
“Demuestran la verdad las nociones comunes y definiciones que utiliza el
autor…” (Video 5 pág. 5)
“Hay proposiciones para comprobar las nociones comunes y las definiciones que
plantea el autor…” (Video 5 pág. 5)
“El libro inicialmente da…” (Video 5 pág. 6)
“Se va demostrando…” (Video 5 pág. 9)
90
“Nosotras consideramos que todo eso que acabaron de decir es más una
descripción de lo que trae el libro mas no……” (Video 6 pág. 3)
“Los diferentes procedimientos que habla el libro……” (Video 6 pág. 5)
Séptima Etapa
Se definieron las oposiciones entre los descriptores listados, Estos elementos brindan
material conciso para diseñar un CAMPO SEMÁNTICO que es herramienta
fundamental para establecer conclusiones a partir de los resultados.
Oposiciones
Primera oposición.
*Comprensión de situación problémica / planteamiento de posible solución
Segunda oposición.
*Planteamiento de posible solución a situación problémica / conciencia de error
Tercera oposición.
*Planteamiento de posible solución a situación problémica / planteamiento de
solución alterna
Cuarta oposición.
*Comprensión de situación problémica / necesidad de rectificación de
comprensión de la situación problémica
91
Campo Semántico
1. CONCIENCIA DE
SITUACION PROBLÉMICA.
“Este fenómeno crea un margen de error…”
7)
5. SÍNTESIS DE POSIBLE
“La elongación del cáñamo varía mucho y afecta la
SOLUCIÓN A SITUACIÓN
medición.”
PROBLÉMICA
“
“Encontraron que… no eran suficientes, pero que….
“Es confuso para….. ya que se puede mal interpretar
No es posible…”
8)
“Son iguales por que se obtuvieron….”.
9)
“Nosotros lo representamos…. “
10)
“Da la cuarta que le queda a esa parte…”
SOLUCIÓN A SITUACIÓN
“Inicialmente hice…. Observe que…. “
“Nosotros tomamos el objeto…”
“Yo si empecé…. “
“Yo lo colocaría al contrario……”
PROBLÉMICA
“No habría un enunciado….
“varía mucho y afecta el….”.
6)
2. PLANTEAMIENTO DE POSIBLE
“Realizamos la…”
“Vamos a hacer el procedimiento”
“Lo vamos a comparar con… hagamos de cuenta que…”
“Yo creo que…”
“
4. SOLUCIÓN A SITUACIÓN
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
PROBLÉMICA:
“Con esto se pudo definir……”
“Este fue el valor que pasamos fraccionarios, que
quedo de la siguiente manera……”
“Nos dimos cuenta que m1 y m2 son iguales…… “
“Nosotros copiamos las…. Luego se…. Pasamos las
medidas a….. y allí utilizamos el método de….”
“Esta sirve para demostrar lo que es….. “
“Lo que hice yo fue….. Y pues ahí con…..”
3. PROPUESTA ALTERNA PARA
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN
PROBLÉMICA:
“Lo que hicimos fue,… Ahora sí…”
“Me parece más adecuada… “
“También se podría tomar como… “
6. ERROR COMO OBJETO DE
APRENDIZAJE
NECESIDAD DE
RECTIFICACIÓN EN
COMPRENSIÓN DE
ENUNCIADO
“Para nosotros significa……..”
“¿Cierto? ……..”
“si empezamos a hacerlo de otra
"forma……..siempre trataríamos de……..”
“creo que pudieron haber hecho……..”
“¿sí? …….”.
“Empezamos diciendo que……..”
“Quedaba así ¿cierto? ¿Sí? …”
“Estamos volviendo a reconstruir…”
1)
CONCIENCIA DE ERROR EN
LA SOLUCIÓN DE LA
SITUACIÓN PROBLÉMICA:
“La escritura está mal, hay un error… si qué pena
me equivoque…”
“ El error radica en la escritura…”
“lo hicimos mal… “
“ habíamos tenido un gran error…”
“lo volvimos a hacer mal… “
“yo lo venía haciendo mal….”
….”
“entonces acá esta el error
92
En el siguiente campo semántico se plantean los descriptores y las expresiones asociadas
para el tema de RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, donde observamos una secuencia
lógica que inicia en la conciencia de una situación problémica, y el planteamiento de
una posible solución, de lo cual se desprende una propuesta alterna para la solución de la
situación problémica, evidenciando el error como herramienta para determinar posibles
soluciones y finaliza con la síntesis de una posible solución a la situación problémica
planteada.
1. CONCIENCIA DE
SITUACION PROBLÉMICA.
5. SÍNTESIS DE POSIBLE
“Este fenómeno crea un
SOLUCIÓN A SITUACIÓN
margen de error…”
PROBLÉMICA
“La elongación del cáñamo
“Son iguales por que se
obtuvieron…..”
varía
“Nosotros lo
representamos…. “
“Da la cuarta que le queda a
esa parte…”
“Inicialmente hice….
Observe que…. “
“Nosotros tomamos el
objeto…”
“Yo si empecé….”
“Yo lo colocaría al
contrario……”
“No habría un enunciado…. “
mucho
y
afecta
la
medición.”
“Encontraron que… no eran
suficientes, pero que….”
“Es confuso para….. ya que
se puede mal interpretar
No es posible…”
“varía mucho y afecta el….”.
7)
2. PLANTEAMIENTO DE
POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA
“Realizamos la…”
“Vamos a hacer el
procedimiento”
“Lo vamos a comparar con…”
“hagamos de cuenta que…”
“Yo creo que…”
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
4. SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA:
“Con esto se pudo definir……”
“Este fue el valor que pasamos
“fraccionarios, que quedo de la
siguiente manera……”
“Nos dimos cuenta que m1 y
m2 son iguales…… “
“Nosotros copiamos las….”
“Luego se…. Pasamos las
medidas a….. y allí utilizamos
el método de….”
“Esta sirve para demostrar lo
que es…..”
“Lo que hice yo fue….. Y pues
ahí con…..”
6. ERROR
3. PROPUESTA ALTERNA
“La escritura está mal, hay un
PARA SOLUCIÓN DE
error”
SITUACIÓN PROBLÉMICA:
“habíamos tenido un gran error… “
“ lo volvimos a hacer mal…”
“entonces acá esta el error….”
“yo me di cuenta después del error
pues el error esta en…”
“El error radica en …”
“Lo que hicimos fue,… Ahora
sí…”
“Me parece más adecuada…”
“También se podría tomar
como…”
93
En el siguiente campo semántico se plantean los descriptores y las expresiones asociadas
para el tema de ERROR, ya que este surge como categoría emergente a la resolución de
problemas, debido a que como herramienta de aprendizaje permite que el estudiante
comprenda la situación problémica, y genere propuestas alternas a dicha situación. En
algunos casos el error surge desde la no comprensión del enunciado lo cual conlleva a la
necesidad de rectificación del mismo.
2)
CONCIENCIA DE ERROR EN LA
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN
PROBLÉMICA:
“La escritura está mal, hay un error… si”
“qué pena me equivoque…”
“El error radica en la escritura…”
“lo hicimos mal…”
“habíamos tenido un gran error…”
“lo volvimos a hacer mal…”
“yo lo venía haciendo mal….”
“entonces acá esta el error….”
PROPUESTA ALTERNA PARA
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN
PROBLÉMICA:
“lo que hicimos fue, … Ahora sí…”
ERROR COMO
OBJETO DE
APRENDIZAJE
“me parece más adecuada …”
“También se podría tomar como…”
NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO
“Para nosotros significa……..”
“¿Cierto? ……..”
“si empezamos a hacerlo de otra
forma”……..”siempre trataríamos
de……..”
“creo que pudieron haber hecho……..
¿sí? ……..”
“Empezamos diciendo que……..”
“Quedaba así ¿cierto? ¿Sí? …”
Estamos volviendo a reconstruir…
94
Octava Etapa
Se determinaron criterios y se obtuvieron las categorías.
Categoría 1: Resolución de problemas
8)
PROPUESTA ALTERNA PARA
PLANTEAMIENTO DE POSIBLE
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN
SOLUCIÓN A SITUACIÓN PROBLÉMICA
PROBLÉMICA:
CONCIENCIA DE
SITUACION PROBLÉMICA.
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA:
SÍNTESIS DE POSIBLE SOLUCIÓN
A SITUACIÓN PROBLÉMICA
95
Categoría 2: Soluciones y Representaciones de conceptos multiplicativos a partir de ideas propias.
Soluciones y Representaciones
SOLUCIÓN A
SITUACIÓNPROBLÉMICA
de conceptos multiplicativos a
partir de ideas propias.
ESTUDIANTE DESCRIBE UN
PROCESO
SÍNTESIS DE POSIBLE
SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA
PLANTEAMIENTO DE
POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA
PROPUESTA ALTERNA
PARA SOLUCIÓN DE
SITUACIÓN PROBLÉMICA
96
Categoría 3: Aprehensión de conceptos multiplicativos a partir del error y la rectificación.
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO
NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN EN
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO
Aprehensión de conceptos
multiplicativos a partir del error
PLANTEAMIENTO DE
POSIBLE SOLUCIÓN A
SITUACIÓN PROBLÉMICA
y la rectificación.
CONCIENCIA DE ERROR EN
LA SOLUCIÓN DE LA
SITUACIÓN PROBLÉMICA
CONCIENCIA DE SITUACIÓN
PROBLÉMICA
97
TABLA 2. Recopilación de resultados.
Encontramos a continuación un resumen en paralelo de lo realizado en las etapas concernientes a establecer precategorías,
descriptores, palabras o frases recurrentes, oposiciones, campo semántico, y categorías finales.
ETAPA 3
PRECATEGORIAS
ETAPA 4
DESCRIPTORES
ENCONTRADOS
CONCIENCIA DE SITUACIÓN
PROBLÉMICA.
Resolución de
Problemas
Utilización y
exploración de
hipótesis
(Conjeturas).
PLANTEAMIENDO DE POSIBLE
SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA.
PROPUESTA ALTERNA PARA
SOLUCIÓN DE SITUACIÓN
PROBLÉMICA.
ETAPA 5 Y 6
PALABRAS O FRASES
RECURRENTES O RELEVANTES POR
DESCRIPTORES
ETAPA 7
OPOSICIONES Y CAMPO
SEMANTICO
ETAPA 8
CATEGORIAS FINALES
Tuvimos en cuenta que……
Fue evidente que……
Argumentan que… porque….
Nosotros lo representamos de la siguiente
forma…
realizamos la……
Vamos a hacer el procedimiento …
lo vamos a comparar con…..
Hagamos de cuenta que ….
lo que hicimos fue, …
Ahora sí…
me parece más adecuada …
También se podría tomar como …
Comprensión de situación
problémica /
planteamiento de posible
solución
Resolución de problemas.
Con esto se pudo definir……
este fue el valor que pasamos fraccionarios,
que quedo de la siguiente manera ……
Uso de diversas
representaciones.
SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA
Comunicación de
resultados.
SÍNTESIS DE POSIBLE
SOLUCIÓN A SITUACIÓN
PROBLÉMICA
son iguales por que se obtuvieron….
Nosotros lo representamos….
Da la cuarta que le queda a esa parte…
Inicialmente hice…. Observe que…
CONCIENCIA DE ERROR EN LA
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN
PROBLÉMICA
La escritura está mal, hay un error
si qué pena me equivoque
El error radica en la escritura
lo hicimos mal…
Planteamiento de posible
solución a situación
problémica / conciencia
de error
98
Objetivos
Metodológicos
ESTUDIANTE DESCRIBE UN
PROCESO
Debíamos construir con base en….
Utilizamos el hilo para…
nos estaban hablando de…. se podían sacar
con………
PLANTEAMIENTO DE
SITUACIÓN PROBLÉMICA
Supongamos nosotros tenemos…
Lo que el haríamos …
… yo creo que,….
entonces pues viendo que …
entonces este valor …
Comunicar y
argumentar ideas.
Aceptar críticas
Objetivos
Conceptuales
Entender ideas
matemáticas.
Construir y
reconstruir
conceptos
matemáticos.
ESTUDIANTE COMUNICANDO
IDEAS ACERCA DE UN TEXTO
El libro se trata sobre…
Algunos de los postulados nos dan…
Para nosotros el libro trata de…
Los diferentes procedimientos que habla el
libro…
CONCIENCIA DE ERROR EN LA
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN
PROBLÉMICA
La escritura está mal, hay un error
si qué pena me equivoque
El error radica en la escritura
lo hicimos mal
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADO
Nosotros entendemos…… es algo que
lo que yo entiendo de ese enunciado
NECESIDAD DE RECTIFICACIÓN
EN COMPRENSIÓN DE
ENUNCIADO
CONCIENCIA DE ERROR EN LA
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN
PROBLÉMICA
Planteamiento de posible
solución a situación
problémica /
planteamiento de solución
alterna
Para nosotros significa …
¿Cierto? …….
si empezamos a hacerlo de otra forma…….
La escritura está mal, hay un error
si qué pena me equivoque
El error radica en la escritura
lo hicimos mal
Comprensión de situación
problémica / necesidad de
rectificación de
comprensión de la
situación problémica
Soluciones y
Representaciones de
conceptos multiplicativos a
partir de ideas propias.
Aprehensión de conceptos
multiplicativos a partir del
error y la rectificación.
99
Novena Etapa.
Por último se redactó el documento que acompaña y explica cada categoría con fines
aclaratorios, dicho procedimiento permitió la obtención de fundamentos para el análisis
final del trabajo.
El pensamiento multiplicativo desde la resolución de problemas. (Resultados)
A continuación se describen cada una de las categorías finales que se obtuvieron a partir
de un proceso de análisis propio, depuración de información suministrada por el grupo
MESCUD y fuentes alternas que apoyaron el desarrollo de la investigación.
Resolución de problemas.
Es una constante durante todo el desarrollo del proyecto teniendo en cuenta que el
material base son filmaciones de clases en las que intervienen docentes y estudiantes del
programa de licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas, durante las
cuales se busca resolver problemas constantemente para conseguir el desarrollo del
pensamiento multiplicativo,
objetivo fundamental de desarrollo en el aula.
Su
importancia radica en la obtención y análisis de resultados para establecer conclusiones.
Los aspectos más relevantes de esta categoría son la utilización y exploración de
hipótesis, el uso de diversas representaciones y
la comunicación de resultados,
precategorias que surgieron en la tercera etapa del desarrollo de esta investigación.
De allí resaltar la necesidad de la resolución de problemas en diferentes ciencias y
disciplinas, pero en este caso nos atañe hablar de la matemática misma. M. de Guzmán
100
(1984) comenta que “lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a
través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento
adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les
puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y
propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí
herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con
razón, el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero
sabor que ha traído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento
con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos,
ideas para el desarrollo de herramientas, en una palabra, la vida propia de las
matemáticas”.
Existe una secuencia para la resolución de problemas que se percibe en los videos: parte
de la conciencia de la situación problémica
de los estudiantes, pasando por el
planteamiento de la situación problémica, la propuesta alterna a dicha situación una
solución a la misma y por último la síntesis. En algunas ocasiones surge el error en
alguna de las etapas de este proceso posibilitando el desarrollo del aprendizaje en el
campo del pensamiento multiplicativo.
Se evidencia en el análisis de los procesos de aula que la resolución de problemas se
logra de diferentes maneras, unos realizando el proceso en su totalidad.
Conciencia de situación problémica: Esta subcategoría se evidencia en frases como;
“La elongación del cáñamo varía mucho y afecta la medición” (Video 2, Pagina 4);
“Encontraron que… no eran suficientes, pero que….” (Video 2, Pagina 7) (Apreciación
de un compañero); “Este es el objeto cero, me va a dar tres de esto ¿Será que este es
igual?” (Video 4, Pagina 4). Aquí se puede ver que el estudiante se apropia de la
situación planteada por el docente o por sus compañeros de aula y reconoce la existencia
de un problema de tipo matemático.
Las discusiones sobre las estrategias (o heurísticas) de resolución de problemas en
matemáticas, comienzan con Polya, quien plantea cuatro etapas en la resolución de
problemas matemáticos:
101
Primero: Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?,
¿cuáles son las condiciones?, ¿es posible satisfacerlas?, ¿son suficientes para determinar
la incógnita, o no lo son? ¿son irrelevantes, o contradictorias?, entre otros. Todos estos
cuestionamientos permiten que tanto estudiante como docente obtengan hipótesis sobre
la naturaleza del problema o el problema en si, que al ser reconocido permite un avance
o el diseño de un plan que posibilite formular una solución así no sea del todo
inmediata.
Ser consciente de la situación problémica también permite depurar la información que
no se ha clasificado sino que simplemente, se obtuvo por preconceptos, hipótesis,
fuentes bibliográficas, tradición oral e incluso opiniones en emitidas por otros
estudiantes o docentes.
Soluciones y Representaciones de conceptos multiplicativos a partir de ideas
propias.
Esta categoría describe los procesos que implementan los estudiantes desde su propia
creatividad para desarrollar conceptos multiplicativos significativos en el aula y en su
entorno.
Dicho proceso surge a partir del planteamiento de posibles soluciones a
situaciones problémicas, y continua en la propuesta alterna etapa en la cual el estudiante
describe un proceso y posibilita la solución a la situación problémica.
Desde el punto de vista del observador, entonces, el punto principal es tratar de delinear
el conocimiento de base de los sujetos que se enfrentan a la situación de resolución de
problemas. Es importante señalar que en estos contextos, el conocimiento de base puede
contener información incorrecta. Las personas arrastran sus concepciones previas o sus
limitaciones conceptuales a la resolución de problemas y esas son las herramientas con
las que cuentan.
102
Los aspectos del conocimiento relevantes para el rendimiento en resolución de
problemas incluyen: el conocimiento intuitivo e informal sobre el dominio del problema,
los hechos, las definiciones y los procedimientos algorítmicos, los procedimientos
rutinarios, las competencias relevantes y el conocimiento acerca de las reglas del
lenguaje en ese dominio (Schoenfeld, 1985).
Esta categoría se evidencia constantemente en el material objeto de análisis
proporcionado por el grupo MESCUD, debido a que los estudiantes constantemente
proponen alternativas de solución sin ningún tipo de información más que la que sus
preconceptos le indican en el momento de solucionar el problema relacionado con el
desarrollo del pensamiento multiplicativo; en muchos casos las ideas base ya contienen
elementos asociados a este tipo de pensamiento pero en otras, se basan en la simple
experiencia o en una reconstrucción intuitiva apoyada en lo que se ha observado durante
la sesión. El aporte principal radica en que en la mayoría de casos la reunión de las ideas
básicas posibilita una unificación concreta para establecer un plan y resolver el
problema.
Aprehensión de conceptos multiplicativos a partir del error y la rectificación.
El error desde tiempos muy antiguos era considerado como un impedimento o un evento
no favorable en ningún tipo de procedimiento, para los medievales en su generalidad el
error era objeto de castigo o de muestra de incompetencia en la disciplina o arte en el
que las personas se desempeñaran, sin embargo, el surgimiento de la nueva filosofía del
siglo XX parte la historia y la creencia con nuevos exponentes que ubican el error dentro
de las alternativas más viables para acceder al conocimiento en cualquier disciplina.
De manera asociada, en el desarrollo de este trabajo fue una constante la aparición del
error en el momento de proceder para solucionar un problema, o para llegar a los
conceptos multiplicativos en el aula.
103
Paralelo a la aparición del llamado Circulo de Viena en comienzos del siglo XX,
apareció un exponente del Falsacionismo llamado Karl Popper quien ya no veía el error
como un obstáculo sino como una valiosa oportunidad.
“Un falsacionista considera que la ciencia es un conjunto de hipótesis que se proponen a
modo de ensayo con el propósito de describir o explicar de manera precisa el
comportamiento de algún aspecto de la naturaleza. Sin embargo, no todas las hipótesis
lo consiguen. Hay una condición fundamental que cualquier hipótesis (o sistema de
hipótesis) debe cumplir con vistas a conseguir el estatus de teoría o ley científica. Si ha
de formar parte de la ciencia, una hipótesis ha de ser falsable o refutable
Una hipótesis es falsable si existe un enunciado observacional (o un conjunto de
enunciados observacionales), lógicamente posibles, que sean incompatibles con ella,
esto es: que en caso de ser establecidos como verdaderos, refutarían tal propuesta. El
falsacionista exige que las hipótesis científicas sean falsables, se decir que puedan
obtenerse enunciados (datos científicos) que la contradigan. Insiste en ello porque una
ley o teoría es informativa solamente en el caso de que excluya un conjunto de
enunciados observacionales lógicamente posibles. Si un enunciado no es falsable,
entonces el mundo puede tener cualquier propiedad y comportarse de cualquier manera
sin entrar en conflicto con el enunciado”.12
Lo anterior nos lleva a proponer que el docente debe conocer, in ves ti gar y trabajar a
partir del error para llegar al cambio conceptual, éste cambio, no va a su ceder de un día
para el otro ya que necesita un proceso de construcción que en ocasiones puede basarse
o fundamentarse n el error como alternativa de aprendizaje, aún más en un tema tan
complejo como el pensamiento multiplicativo teniendo en cuenta que hace parte de la
estructura de los números reales que son importantes para individuos que incluso no
pertenezcan a la población de esta investigación por su uso común o especializado.
12
Popper, Karl (1994) las teorías científicas según Karl Popper: La falsabilidad.
Recuperado en 10 de Febrero de 2007 Disponible en
http://weblogs.madrimasd.org/universo/archive/2007/02/10/59009.aspx
104
"Aprendemos muchísimo por medio de una falsación. No sólo aprendemos que una
teoría es falsa, sino que también aprendemos por qué es falsa. Y sobre todo, obtenemos
un nuevo problema, más rigurosamente formulado; y un nuevo problema es, como ya
sabemos, el verdadero punto de partida de un nuevo desarrollo científico”. (Popper,
1994)
105
CONCLUSIONES
Después de haber realizado los pasos pertinentes para la destilación de la información de
los videos entregados por el grupo MESCUD, hemos encontrado una serie de puntos
que nos permitirán demostrar, la importancia en el seguimiento que se debe hacer al
proceso de formación de docentes en el área de matemáticas.
1) Los estudiantes presentan diversidad en sus ideas en torno a un mismo
ejercicio: En la observación y transcripción de los videos hemos observado que
existen diferentes interpretaciones a un mismo enunciado o concepto, esto a
pesar de parecer una resistencia garantiza varios elementos que resultan valiosos
en el proceso de enseñanza aprendizaje:
Discusión: Este proceso permite el intercambio de información e interacción
entre estudiantes y docentes, garantizando la extracción de varias conclusiones
sujetas a aprobación y destilación para obtener la o las finales con aprobación y
participación de los actores del proceso.
Soluciones: En cuanto se presentan varias interpretaciones es natural que se
presenten de igual manera varias soluciones a la situación planteada, lo cual,
permite que se analice con mayor profundidad cada proposición e incluso, se
descubran alternativas de solución diferentes a las que se tenían como objetivo
inicial.
Duda: La duda en las ciencias exactas puede llegar a ser una herramienta que
despierte curiosidad en cualquier ser humano ávido de aprendizaje, siempre y
cuando se maneje de manera adecuada por el docente para no ser vista como un
obstáculo.
2) Los estudiantes utilizan diferentes representaciones para comunicar
resultados
106
De igual manera estamos en capacidad de hablar sobre el uso de herramientas
que le permiten al estudiante comunicar sus ideas.
En los videos encontramos el método grafico y el uso del tablero como la fuente
principal para plasmar y explicar resultados, de igual manera observamos como
los estudiantes en ocasiones difieren entre lo que dicen y lo que comunican, no
necesariamente por confusión o falta de dominio de las temáticas sino por la
dificultad para expresarse de manera adecuada y la falta de algunos recursos.
En este mismo nivel, el uso de materiales rústicos dificultó en parte el proceso
para que los estudiantes obtuvieran los resultados esperados en muchos casos,
teniendo en cuenta, que el criterio principal para la resolución de problemas se
basaba en la no utilización de elementos con unidades métricas definidas,
haciendo que la exploración de posibles soluciones no se diera numéricamente ni
por aproximación si no con la certeza de haber realizado una demostración para
cada uno de los temas planteados; un ejemplo de este caso se refiere al desarrollo
del libro de Euclides o en el teorema de Thales temas tratados durante los
distintos videos de manera reiterativa.
Esto sugiere que en el ejercicio profesional es importante valorar las diferentes
maneras que se tienen para llegar a un mismo objetivo matemático sin que esto
afecte los resultados, sin embargo es necesario revisar la lógica y pertinencia de
los procesos ya que muchas veces es necesario refinarlos para brindarles validez
y sean valorados como un aporte positivo al proceso de enseñanza aprendizaje.
3) Rectificación y conciencia de error: Se observó que los estudiantes muchas
veces no son consientes de los errores cometidos y sostienen soluciones no
acordes con lo propuesto, como es natural en procesos de aprendizaje,
diversificando en algunos casos el enunciado del planteamiento original. Sin
embargo encontramos que en algunas ocasiones se observa que se rectifican
errores cometidos durante el proceso de solución y se establece una conciencia
que permite analizar las pre concepciones de los estudiantes.
107
Es importante resaltar que la importancia del error no está en si mismo sino en el
reconocimiento y transformación para generar soluciones viables en contexto, en
ocasiones no es un proceso inmediato sino que requiere procesos de reflexión
tanto para el docente como para los estudiantes en cualquier nivel, aún más en
ciencias exactas.
La única resistencia que posee el error radica en que el sujeto que lo comete no
sea consciente del mismo o que en caso contrario, no sienta la necesidad de
corregirlo o transformarlo. En los ambientes educativos como las aulas, esta
resistencia se minimiza por la necesidad común de adquirir y crear conocimiento
constantemente.
4) Planteamientos a posibles soluciones: Una de las observaciones más
importantes de los videos, es el establecer cuando el estudiante realmente está
comprendiendo conceptos matemáticos y los aplica a la solución de problemas;
para ello el estudiante plantea posibles soluciones, dando una explicación del
proceso que se llevó a cabo en el cual evidenciamos
diferencias entre el
planteamiento del enunciado y la solución propuesta, aunque también,
resaltamos la manera acertada con que se realiza la demostración del enunciado
claramente establecido bajo la supervisión del docente, quien cumple la función
de guía al mantener a los estudiantes enfocados en el problema y evitar que se
pierdan en las ramas del ejercicio.
Sin embargo estos planteamientos requieren una revisión seria que se evidencia
de manera informal durante las sesiones de clase, es posible que se vea
enriquecida con aportes de varias fuentes, incluidos los estudiantes mismos y el
docente, esto garantiza la viabilidad de las soluciones y la consecución de los
objetivos esperados.
5) Síntesis de posible solución a una situación: Observamos que una de las
mayores dificultades de los estudiantes es plantear la solución a la situación
problémica, debido a que en algunas ocasiones, no se comprende lo expuesto y
108
la hipótesis que se sugiere proviene de un error de entendimiento del enunciado.
Pero esto no es del todo perjudicial para el proceso, de hecho, puede resultar
benéfico si se genera discusión como se planteó anteriormente en la primera
conclusión.
6) Posibles soluciones: Es evidente que los planteamientos propuestos por los
estudiantes a las situaciones expuestas por los docentes evidencian un proceso
formativo en el área, sin embargo surgen algunas inconsistencias en la resolución
de problemas y en la sustentación matemática que pueden ser superadas
dependiendo de las fuentes de información a las que se tenga acceso para
brindarles la validez pertinente sin alejarse del concepto matemático ni de la
lógica algorítmica.
7) Las categorías de análisis planteadas al inicio de la investigación fueron
variando de acuerdo al desarrollo del proyecto: A pesar que el grupo
MESCUD planteaba unas categorías iniciales base en cuanto al desarrollo del
pensamiento multiplicativo se refiere, se evidenció la aparición de nuevas
categorías que se fueron modelando de acuerdo a las etapas de destilación de la
información. El planteamiento y uso de las mismas para la consecución de los
objetivos propuestos en este proyecto, se dieron a partir de nuevas fuentes de
consulta bibliográfica y eventos empíricos como la transcripción y observación
analítica del material aportado por el grupo de la Universidad Distrital.
8) El diseño de un modelo de Organización de la información adquirida en el
proceso de enseñanza-aprendizaje en cuanto al pensamiento multiplicativo
se refiere, posibilita la creación de nuevos conocimientos: Este planteamiento
se centra en la necesidad de enriquecer los procesos en el aula con base en las
observaciones del material audiovisual, ya que, normalmente se suele pensar que
el desarrollo de una clase de matemáticas requiere únicamente la orientación del
docente y en el aporte de las fuentes bibliográficas; si bien son importantes estos
elementos, se hace pertinente resaltar que si se busca explícitamente desarrollar
el pensamiento multiplicativo influyen muchos factores que normalmente no se
109
tienen en cuenta o se puede pensar que carecen de utilidad. Un ejemplo claro es:
El error como objeto de aprendizaje en los procesos matemáticos, debido a la
percepción común que se tiene que en una “ciencia exacta” el error es una
limitación o que no hace parte de la consecución de los resultados que se
esperan.
9) El surgimiento de nuevas alternativas didácticas aporta elementos de apoyo
a la educación matemática y posibilita un aprendizaje significativo en
nuestro desempeño profesional: A pesar del surgimiento de nuevas
investigaciones en educación matemática durante los últimos años, ha sido
complejo eliminar algunas secuelas del modelo tradicional que generaban cierto
“temor” o “prevención” frente a la adquisición y aplicación de conceptos
matemáticos, esto sin mencionar también la visión que se tiene sobre el “elevado
grado de dificultad” de la Matemática en cualquiera de sus niveles.
Al plantearse nuevas alternativas se genera reflexión sobre los procesos y su
pertinente aplicación en el aula o fuera de ella, esto con el fin de que tengan
incidencia en el entorno del docente y el estudiante aprovechando al máximo
cada situación emergente sin verla como limitación o impedimento para la
creación de conocimiento. Lo ideal es que estas nuevas alternativas, puedan ser
aplicables a cualquier entorno de enseñanza-aprendizaje de la matemática y
puedan ser modificadas de acuerdo a eventos emergentes.
110
RECOMENDACIONES
Con el fin de obtener claridad respecto a los participantes del proceso de investigación y
su impacto en la misma decidimos dar recomendaciones a los próximos Investigadores y
a las instituciones implicadas; en este caso: Universidad de la Salle y Universidad
Distrital Francisco José de Caldas.
PRÓXIMOS INVESTIGADORES

Una de las fases principales del proyectó consistió en transcribir textualmente los
videos de las 10 clases aportadas por el grupo MESCUD. Este documento anexo,
a esta investigación es válido y necesario para continuar con la fase restante del
proceso la cual, consiste en realizar el análisis de los aspectos que tienen que ver
con el docente.

El análisis de los aspectos relacionados con el docente correspondía a otro
estudiante Investigador que continuaría con el proceso, sin embargo, no le fue
posible llevar a cabo la investigación, por tanto, se sugiere a los aspirantes a
Licenciados en Matemáticas o afines que estudien la posibilidad de utilizarlo
como opción de grado y así enriquecer el aporte al grupo MESCUD y a sus
propios conocimientos.

En caso de emplear las transcripciones o cualquier otra fase de esta
investigación, se recomienda utilizar las mismas convenciones como colores o
símbolos para darle continuidad al trabajo y además evitar inconsistencias y
confusiones para lectores, revisores y jurados.
111
INSTITUCIONES IMPLICADAS EN LA INVESTIGACIÓN

Recomendamos a las Universidades implicadas en la investigación que sigan
promoviendo este tipo de investigaciones interinstitucionales ya que permiten
compartir información y obtener nuevos enfoques y resultados que generan
conocimiento pertinente en la comunidad educativa.

Es importante resaltar la importancia de este tipo de trabajos de investigación y
el impacto que generan en la comunidad educativa de cualquiera de las dos
instituciones implicadas, por esta razón es recomendable publicar por algún
medio interno o externo los resultados de este análisis para dar a conocer el
producto final y plantearlo como una herramienta importante en posteriores
investigaciones.

Motivar a los estudiantes aspirantes a Licenciados en Matemáticas a continuar
con el trabajo que corresponde al docente dentro de la investigación con el fin de
dar apoyo total al grupo MESCUD y culminar así hasta conseguir los objetivos
en su totalidad.
112
BIBLIOGRAFIA
CAMPOS Rafael, RESTREPO MARILUZ, (2002) La docencia como práctica.
pontificia universidad javeriana. PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA.
CHAÍN NAVARRO, Cecilia. (2000) Técnicas Documentales Aplicadas A La
Investigación. DM. ICE-Universidad de Murcia.
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Madrid: Ediciones Morata.
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Ohio.
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MONTEMAYOR HERNÁNDEZ, María. GARCÍA TREVIÑO, María. GARZA
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Tesis. Pearson educación. México.
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y prácticas de Investigación cualitativa para las ciencias sociales, de DELGADO Y
GUTIERREZ. Capítulo 7
NOVAIS CORDEIRO, Rosa Inés de. (2000) Informaçâo e movimento, Uma ciencia da
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PLAZA, Jeannette. “Diógenes – curso de investigación” Web site
Popper, Karl (1994) las teorías científicas según Karl Popper: La falsabilidad.
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10
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Febrero
de
2007
Disponible
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http://weblogs.madrimasd.org/universo/archive/2007/02/10/59009.aspx
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Material Audiovisual aportado por el
grupo MESCUD para efectos del desarrollo del proyecto EL PENSAMIENTO
MULTIPLICATIVO: UNA MIRADA DE SU DENSIDAD Y COMPLEJIDAD EN
SU DESARROLLO EN EL AULA, Dirigido por Jaime Romero.
VARGAS
GUILLEN
Germán,
filosofía
,
(2005)
pedagogía
Tecnología
(Investigaciones de “epistemología de la pedagogía y filosofía de la educación,
Universidad de san Buenaventura. Bogotá.
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