MATEMATICAS. BC2 TEMA 7: Teoremas

MATEMATICAS. BC2
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TEMA 7: Teoremas
Dem u es t ra q u e l a fu n ci ó n f(x ) = x 2 − 4x + 2 co rt a al ej e d e l as abs ci s as en
el i n t erv al o [ 0 , 2 ] . ¿S e pu ed e d e ci r l o m i s m o d e l a fu n ci ó n :
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De f(x ): ¿ S e pu ed e a fi rm ar q u e es t é a co t ad a en el in t erv al o [ 1 , 4 ]?
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S ea l a fu n ci ó n f (x )= x 2 + 1 . ¿ S e pu ed e afi rm a r q u e l a fu n ci ó n t o m a t o d o s
l o s v al o res d el i n t er v al o [ 1 , 5 ]?
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Dem o s t rar q u e l a ec u aci ó n x 3 + x − 5 = 0 , t i en e al m en o s u n a s o l u ci ó n x = a
t al q u e 1 < a < 2
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S ea l a fu n ci ó n f (x ) = x 3 − x 2 + 1 . ¿ S e pu ed e afi rm ar q u e ex i s t e al m en o s u n
pu n t o c en el i n t eri o r d el i n t erv al o [ 1 , 2 ] t al q u e f(c ) = 0 ?
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J u s ti fi car q u e f (x )=x 3 +x +1 t i en e u n cer o co m pren d i d o en t r e −1 y 0
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P ro bar q u e l a ecu a ci ó n e − x +2 =x t i en e al m en o s u n a s o l u ci ó n real .
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Dem o s t rar q u e ex i s te al gú n n ú m ero r eal x t al q u e s en x = x .
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Dad a l a fu n ci ó n f(x ), d em u es t r a q u e ex i s t e u n pu n t o d el i n t erv al o abi e rt o
(2 , 4 ) en el q u e f(x ) t o m a el v al o r 1 . C al cu l a d i cho v al o r.
1 0 Dad a l a fu n ci ó n f (x ) = x 3 , es t u d i ar s i es t á aco t ad a s u peri o rm en t e e
i n feri o rm en t e en e l i n t erv al o [ 1 , 5 ] e i n d i ca s i al can z a s u s v al o res m áx i m o s y
mínimos.
1 1 P ro bar q u e l a fu n ci ó n f(x ) = x + s en x − 1 es co n t i n u a para to d o
q u e ex i s t e al m en o s u n a raí z real d e l a e cu aci ó n x + s en x − 1 = 0 .
y pro ba r
1 2 S ean f y g d o s fu n ci o n es co n t i n u as en el i n t erv al o [ a, b] y t al es q u e
cu m pl en q u e f( a) > g( a) y f (b) < g (b). D em o s t rar q ue c (a, b) t al q u e f( c) = g (c).
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¿ Es apl i cabl e el t eo r em a d e R o l l e a f (x ) = |x − 1 | en el i n t erv al o [ 0 , 2 ]?
1 4 Es t u d i ar s i l a fu n ci ó n f(x ) = x − x 3 s at i sface l as co n d i ci o n es d el t eo r em a d e
R o l l e en l o s i n t erv al o s [ −1 , 0 ] y [ 0 , 1 ] . En cas o afi rm at i v o cal cu l a l o s v al o r es d e c.
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¿ S at i s face f(x )=1 −x l as co n d i ci o n es d el t eo rem a d e R o l l e en [ −1 , 1 ]?
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P ro bar q u e l a ecu a ci ó n 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 = 0 t i en e u n a ú n i ca s o l u ci ó n .
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¿ C u án t as raí ces t i en e l a ecu aci ó n x 3 + 6 x 2 + 1 5 x − 2 5 = 0?
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Dem o s t rar q u e l a ec u aci ó n 2 x 3 −6x +1 =0 u n a ú n i ca s o l u ci ó n r eal en (0 , 1 )
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Apl i ca el t eo r em a d e La gr an ge en [ 0 , 2 ] a f ( x ) =4 x 2 − 5 x+ 1 , ¿ pued es a g(x)=1/x2?
2 0 En el s egm en t o d e parábo l a y = x 2 + b x + c co m pren d i d o en t re l o s pu n t o s
A=(1 , 1 ) y B= (3 , 0 ) h al l ar u n pu n t o cu ya t an g en t e sea p ar al el a l a cu e rd a A B.
2 1 C al cu l a u n pu n t o d e l i n t erv al o [ 1 , 3 ] en el q u e l a t an gen t e a y=x 3 −x 2 +2 es
paral el a a l a re ct a d et erm i n ad a po r l o s pu n t o s A(1 , 2 ) y B(3 , 2 0 ). ¿ Qu é t eo rem a
ga ran t i z a l a ex i s t en ci a d e d i ch o pu n t o ?
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C al cu l a a y b pa ra q u e f(x ) cu m pl a el t e o rem a d e La g ran g e en [ 2 , 6 ]
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
La primera función es continua en toda
y f ( 0 ) = 0 2 − 4 · 0 + 2 > 0. f ( 2 ) = 2 2 − 4 · 2 + 2 < 0 .
Como se cumple el teorema de Bolzano, existe al menos un c que pertenece al
intervalo (0, 2) que corta al eje de abscisas.
No podemos afirmar lo mismo de la segunda función ya que no es continua en x=1.
Ejercicio 2:
Por no ser continua f(x) en x = 1, la función no es continua en el intervalo cerrado
[1,4], como consecuencia no podemos afirmar que la función esté acotada en dicho
intervalo.
Ejercicio 3:
x2 + 1 = 1 x = 0. x2 + 1 = 5 x = 2 . La función es continua en todo R por ser una función polinómica. Es
en el intervalo [0,2] donde se verifica que f(0) = 1 y f(2)= 5. P o r l a p r o p i e d a d d e D a r b o u x , l a
función alcanza todos los valores comprendidos en el intervalo [1,5].
Ejercicio 4:
f(x) es continua en [1,2], f(1) = 13 + 1 − 5 = −3 < 0, f(2) = 23 + 2 − 5 = 5 > 0. Por cumplirse las tres
propiedades anteriores según el t e o r e m a d e B o l z a n o , existe c (1,2) tal que: f ( c ) = 0 ; c 3 + c − 5 = 0 .
Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación x3 + x − 5 = 0.
Ejercicio 5:
f(x) es continua en [1,2]. f(1) = 13 − 12 + 1 = 1 > 0. f(2) = 23 − 22 + 1 = 5 > 0. No puede aplicarse el
t e o r e m a d e B o l z a n o porque no cambia de signo.
Ejercicio 6:
Por ser polinómica la función es continua en el intervalo [−1, 0]. f(−1) = (−1)3 + (−1) + 1 = −1 < 0.
f(0) = 0 + 0 + 1. Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el t e o r e m a d e B o l z a n o , podemos
afirmar que existe c (−1, 0) tal que: f ( c ) = 0
Ejercicio 7:
La función es continua en el intervalo [0, 3]. f(0) = e0 + 2 − 0 > 0. f(3) = e—3 + 2 − 3 < 0. Por cumplirse
las tres propiedades anteriores según el t e o r e m a d e B o l z a n o , existe c
(0, 3) tal que: f ( c ) = 0 ;
e−c+2=c. Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación e−x + 2 = x.
Ejercicio 8:
Consideremos la función f(x)=sen (x)−x. Es continua en todo
y en particular en el intervalo [−π,
π],
siendo f ( − π) = s e n ( − π) − ( − π) = 0 + π= π> 0 ; f ( π) = s e n ( π) − ( π) = 0 − π= − π< 0 ; P o r c u m p l i r s e l a s
t r e s p r o p i e d a d e s a n t e r i o r e s s e g ú n e l t e o r e m a d e B o l z a n o , e x i s t e c ( − π, π) t a l q u e :
f(c) = 0; sen c = c. Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación sen(x)= x.
Ejercicio 9:
La función exponencial es positiva para todo x
, por tanto el denominador de la función no se puede
anular. Sólo hay duda de la continuidad en x = 0, que está fuera del intervalo a estudiar, por tanto f(x) es
continua en [2. 4]. T o m e m o s l a f u n c i ó n g d e f i n i d a p o r g ( x ) = f ( x ) − 1 . g e s c o n t i n u a e n e l
intervalo [2. 4].
Como se cumplen las tres propiedades anteriores según el t e o r e m a d e B o l z a n o , existe c
tal que:
(2, 4)
Ejercicio 10:
La función es continua en el intervalo [1, 5], como consecuencia podemos afirmar que e s t á a c o t a d a
en dicho intervalo. Por ser continua en el intervalo [1, 5] se cumple el t e o r e m a d e W e i e r s t r a s s , que
afirma que se a l c a n z a a l m e n o s u n m á x i m o y u n m í n i m o a b s o l u t o s en el intervalo [1, 5].
Ejercicio 11:
La función es continua por ser la suma de funciones continuas, además f(0) = 0 + sen 0 − 1 = − 1 < 0 y
f(π/2) = π/2 + sen π/2 − 1 = π/2 > 0. Por cumplirse el t e o r e m a d e B o l z a n o , podemos afirmar que al
menos existe un valor c que pertenece al intervalo (o, π/2) tal que: f ( c ) = 0 c + s e n c − 1 = 0 . P o r
tanto existe al menos una soluci ón real a la ecuación x + sen x − 1 = 0.
Ejercicio 12:
Sea la función definida por h(x) = f(x) − g(x). Por ser continuas f y g en [a, b], la función h también lo
es, además f(a)>g(a); h(a)=f(a)−g(a)>0; f(b)<g(b); h(b)=f(b)−g(b)<0. Por cumplirse las tres propiedades
anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (a, b) tal que: h ( c ) = 0 ; f ( c ) − g ( c ) = 0 ; f ( c ) = g ( c )
Ejercicio 13:
La función es continua en [0, 2]. No es aplicable el t e o r e m a d e R o l l e porque la función no es
derivable en el punto x = 1.
Ejercicio 14:
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1,
0) y (0, 1) por ser una función polinómica. Además se cumple que: f ( − 1 ) = f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , p o r t a n t o
es aplicable el teorema de Rolle.
Ejercicio 15:
La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica. No
cumple t e o r e m a d e R o l l e porque f(−1) ≠ f(1).
Ejercicio 16:
V a m o s a d e m o s t r a r l o p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o . Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y
x2, siendo x1< x2 , tendríamos que f(x1) = f(x2) = 0; y como la función es continua y derivable por ser una
función polinómica, podemos aplicar el t e o r e m a d e l R o l l e , que diría que existe un c
(x1, x2) tal que f'
(c) = 0. f ' ( x ) = 2 + 6 x + 1 2 x 2 f ' ( x ) = 2 ( 1 + 3 x + 6 x 2 ) . P e r o f ' ( x ) ≠ 0 , n o a d m i t e
soluciones reales porque el discrimínante es negativo: ∆ = 9 − 24 < 0. Como la derivada
no se anula en ningún valor, está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que
la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.
Ejercicio 17:
La función f(x) = x3 + 6x2 + 15x − 25 es continua y derivable en
. f(0) = −25; f(2) = 37. Por
tanto por el Teorema de Rolle la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo
(0,2). f'(x) = 3x2 + 12x +15. Dado que la derivada no se anula, ya que su discriminante
es negativo, la función es estrictamente creciente y posee una única raíz.
Ejercicio 18:
La función f(x) = 2x3 − 6x + 1 es continua y derivable en
· f(0) = 1; f ( 1 ) = − 3 . P o r t a n t o p o r e l
Teorema de Rolle la ecuación tiene al menos una solución en (0, 1). f' (x) = 6x2 – 6;
6x2 - 6 = 0 6(x − 1) (x + 1) = 0. La derivada se anula en x = 1 y x = −1, por tanto no
puede haber dos raíces en el intervalo (0, 1).
Ejercicio 19:
f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (0, 2) por tanto se puede aplicar el
teorema del valor medio o de Lagrange:
A la función g(x)=1/x2 no se le puede aplicar el teorema de Lagrange ya que no es continua en [ 0 , 2 ]
Ejercicio 20:
Los puntos A=(1,1) y B=(3,0) pertenecientes a la parábola de ecuación y=x2+bx+c:
y la parábola es
Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el
intervalo [1, 3].
Ejercicio 21:
Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.
Por ser y = x3 − x2 + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el
teorema del valor medio:
Ejercicio 22:
En primer lugar se debe cumplir que la función sea continua en [2, 6].
En segundo lugar se debe cumplir que la función sea derivable en (2, 6).