TEMA 6: ECUACIONES. CONCEPTOS RELACIONADOS: 4xy + 5z + 3xyz

TEMA 6: ECUACIONES.
CONCEPTOS RELACIONADOS:
.- Lenguaje algebraico: es la combinación de números, letras y símbolos matemáticos
utilizados para expresar algo de forma matemática. (es el idioma de las matemáticas).
.- Expresión algebraica: es toda combinación de letras, números y símbolos
matemáticos.
Coeficiente (parte numérica; el número) parte literal (las letras con sus exponentes)
4xy + 5z + 3xyz2
Término (cada uno de los sumandos de una expresión
algebraica;
conjunto de número y letras entre signos de
suma o resta)
Monomio: expresión algebraica con un solo término.
Binomio: expresión algebraica con dos términos.
Polinomio: expresión algebraica con varios términos.
.- Valor numérico de una expresión algebraica: es el valor que nos da al sustituir las
letras por un valor determinado y realizar las operaciones que indica la expresión.
Para x = 1
Y=2
Z=3
4xy + 5z + 3xyz = 4 · 1 · 2 + 5 · 3 + 3 · 1 · 2 · 3 = 8 + 15 + 18=41
.- Expresiones algebraicas semejantes o términos semejantes: son aquellas/os que
tienen la misma parte literal.
34ax es semejante a 5ax
23xz también es semejante a 4zx (orden de los factores no altera el producto).
4ab2 no es semejante a 5ab.
.- Fórmula: expresión algebraica que expresa de forma concisa relaciones entre
magnitudes.
V= s/t
(v = velocidad
s= espacio
t= tiempo)
.- Igualdad algebraica: es una expresión algebraica que tiene dos miembros separados
por el signo igual.
3x + 4y = 27 + 2x
1º miembro
2º miembro
.- Identidad algebraica: es una igualdad que se cumple para cualquier valor que se
asigne a las letras.
a · (b + c) = a· b + a · c(se cumple para cualquier valor de a, b, y c.)
.- Ecuación: es una igualdad que expresa una condición que se debe cumplir y sólo se
cumple para un único valor de las letras (incógnitas)
Grado: es el mayor exponente que presentan las incógnitas;
Nº incógnitas: nº de letras diferentes que aparecen en la ecuación.
2x + 10 = 18 – 6x
ecuación de primer grado con una incógnita
[Grado: 1 (x1) ; Incógnita: 1 (x)]
Ecuaciones equivalentes: son aquellas que tiene la misma solución, es decir, se
cumplen para el mismo valor de la incógnita.
Principios de equivalencia:
regla de la suma: si sumamos un mismo número o expresión
algebraica a los dos miembros de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente.
2x + 4 = 14
2x + 4 – 4 = 14 – 4
2x = 14 – 4
2x = 10
Regla de la suma
aplicación práctica: para cambiar de miembro, lo que está sumando
pasa restando y lo que está restando pasa sumando.
regla del producto: si multiplicamos o dividimos por un mismo
número o expresión los dos miembros de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente.
2x = 10
2x : 2 = 10 : 2
x = 10 : 2
x=5
Regla del producto
aplicación práctica: para cambiar de miembro, lo que está
multiplicando pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES:
Resolver una ecuación es determinar el valor de la incógnita que hace que se cumpla la
igualdad (hallar la solución). Para ello se aplican el concepto de ecuación equivalente y los
principios de equivalencia. El objetivo final es llegar a una ecuación del estilo x= nº.
Ecuación de 1º grado con una incógnita:
3 · (2x + 1) = 5 · (3x – 4) – 13
1.- Eliminar paréntesis:(P. distributiva) 3 · 2x + 3 · 1 = 5 · 3x – 5 · 4 – 13
6x + 3 = 15x – 20 -13
2.- Reducir (si se puede) los dos miembros: 6x + 3 = 15x – 33
3.- trasponer términos:
3 + 33 = 15x - 6x
pasar a un miembro todos los términos con incógnita y al otro los
términos
que no la contengan (aplicación de la regla de la suma: cambiar el signo
a
lo que cambia de miembro).
4.- Volver a reducir:
5.- Despejar la incógnita:
36 = 9x
36:9 = x
4=x
(aplicación de la regla del producto: lo que está multiplicando pasa
dividiendo).
Ecuaciones con fracciones:
1.- Se halla el m.c.m. de los denominadores de los dos miembros y se reduce
a común denominador.
3x 20
3

 10 x 
5
3
6
m.c.m. (3,5 y 6) = 30
18 x  200 300 x  15

30
30
2.- se quitan los denominadores y se continúa con la resolución de la
ecuación (si los dos miembros de la ecuación tienen el mismo denominador, para que se cumpla
la igualdad los numeradores tienen que ser iguales. Por eso se sigue trabajando únicamente con
los numeradores).
18x + 200 = 300x + 15
se resuelve como el caso anterior
.- Ec. polinómicas de 2º grado o cuadráticas: aquellas que se pueden reducir a la
forma ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Estas ec. pueden ser completas (a, b y c ≠ 0) o
incompletas (b = 0, c = 0 ó b y c = 0) según lo sea el trinomio ax2 + bx + c.
Resolución de ec. de 2º grado:
Ec. 2º grado incompleta del tipo ax2 = 0 (b y c = 0).
x2 =
1.- Despejar la incógnita:
0
=0
a
=>
x=0
Ej: 4x2 = 0
x=0
Ec. 2º grado incompleta del tipo ax2 + bx = 0 (c = 0)
1.- Factorizar: sacando factor común x · (ax + b) = 0
2.- Buscar soluciones: para que una multiplicación sea igual a 0, alguno de los
dos factores tienen que ser 0 .
x=0
ó
ax + b = 0 =>
x
b
a
Ej: 3x2 + 12x = 0
x (3x + 12) = 0 => x = 0
ó
3x + 12 = 0
x=
 12
 4
3
Ec. de 2º grado incompleta del tipo ax2 + c = 0 (b = 0)
c
a
1.- Despejar x2:
x2 =
2.- calcular x:
x
c
a
Ej:
3x 2  108  0
108
x2 
 36
3
x   36  6
Ec. de 2º grado completa:
1.- Se calcula el m.c.m. de los denominadores en el caso de que haya
fracciones en algún término y se eliminan paréntesis; se pasan todos los
términos al primer miembro y se agrupan términos hasta conseguir una
ecuación equivalente del tipo
ax2 + bx + c = 0.
 b  b 2  4ac
2.- Se aplica la fórmula general: x 
2a
3.- Se comprueban las soluciones en la ecuación inicial.
Ej:
x 2  4x  2x  4  4
x 2  6x  8  0
x
x
6
 62  4·1·8
2·1

6  36  32 6  4 6  2


2
2
2
62
62
 4; x 
2
2
2
IDEAS PRÁCTICAS PARA APLICAR:
.- normas para escribir una expresión algebraica:
-
el signo x de la multiplicación se sustituye por el signo ·
axb
a·b
- cuando el signo de la multiplicación aparece entre letras o entre un
número y una
letra, suele suprimirse.
2·x·y
- el factor 1 no se escribe
2xy
1ab
- el exponente 1 no se escribe
ab
x2y1
x2y
.- expresiones típicas:
- un nº cualquiera
- el doble de un nº
- el triple de un nº
- el cuádruple de un nº
-…
- la mitad de un nº
- la tercera parte / un tercio de un nº
-…
- el cuadrado de un nº
- el cubo de un nº
- un nº elevado a la cuarta
-…
- la suma de dos nºs
- la resta de dos nºs
a
2n
3n
4n
…
n:2
n:3
…
n2
x3
y4
…
a+b
a-b
- el cuadrado de una suma
(a+b)2
- la suma de dos nºs elevada al cuadrado
- la suma de dos nºs elevados al cuadrado
- un nº par
- un nº impar
- dos nºs consecutivos
- el anterior a un nº
- el posterior a un nº
-…
a2+b2
2n
2n +1 / 2n -1
n, n+1
n-1
n+1
…