modelo de respuestas examen diciembre 2007

Lógica I – modelo de examen (curso 2007-08)
Ejemplo de respuestas
1. Definiciones:
-
Grado de una fórmula es el número total de conectivas (iguales o distintas) que contiene.
-
Función de verdad es una función cuyos argumentos y valores son valores de verdad.
-
Un conjunto de fórmulas es insatisfacible sii no existe ninguna asignación en la que todas
las fórmulas del conjunto sean verdaderas.
(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: dos minutos)
2. La Conceptografía:
Su autor es Gottlob Frege. La obra es importante porque Frege es el primero que
construye un lenguaje formal y un sistema formal para ser usados como herramienta para
el análisis de los razonamientos matemáticos. Con ello, se convierte en uno de los
“padres” de la lógica matemática moderna.
(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: tres minutos)
3. Explicar por qué para demostrar mediante tablas analíticas que el conjunto {A, B, C}
implica a la fórmula D debe hacerse la tabla analítica del conjunto {A, B, C, ¬D}.
El método de las tablas analíticas es un método de decisión que no responde directamente a
cualquier pregunta, sino que solamente habla directamente acerca de la satisfacibilidad o
insatisfacibilidad del conjunto de fórmulas para el que se ha construido la tabla (si todas las
ramas se cierran, el conjunto es insatisfacible; si alguna rama queda abierta, el conjunto es
satisfacible). Pero, en virtud de la conexión entre las distintas nociones semánticas, el
método puede utilizarse para responder indirectamente a cualquier pregunta semántica:
simplemente hay que saber de qué conjunto debe hacerse la tabla analítica. Hay que elegir
un conjunto que sea insatisfacible si y sólo si se da la propiedad o relación semántica que
interesa.
En concreto, para demostrar la existencia de una relación de implicación entre el conjunto
{A, B, C} y la fórmula D, hay que construir la tabla analítica del conjunto {A, B, C, ¬D},
pues este es el conjunto que será insatisfacible si y sólo si existe aquella relación de
implicación.
a) Demostración de que si {A, B, C} implica D, entonces{A, B, C, ¬D} es insatisfacible:
Supongamos que {A, B, C} implica D. Por definición de relación de consecuencia, esto
quiere decir que no existe ninguna interpretación tal que I(A)=V, I(B)=V, I(C)=V, I(D)=F.
Pero, puesto que en cualquier interpretación en la que D es falsa, ¬D será verdadera, eso es
lo mismo que decir que no existe ninguna interpretación tal que I(A)=V, I(B)=V, I(C)=V,
I(¬D)=V. Ahora bien, si no existe ninguna interpretación en la que todas las fórmulas de
un conjunto sean verdaderas, ese conjunto es insatisfacible: es decir, el conjunto{A, B, C,
¬D} será insatisfacible en el caso supuesto. Queda así demostrado que si {A, B, C} implica
D, entonces{A, B, C, ¬D} es insatisfacible.
b) Demostración de que si {A, B, C, ¬D} es insatisfacible, entonces {A, B, C} implica D:
Supongamos que {A, B, C, ¬D} es insatisfacible. Por definición, esto quiere decir que no
existe ninguna interpretación en la que todas sus fórmulas sean verdaderas. Pero, puesto
que cuando ¬D es verdadera D es falsa, esto quiere decir que no existe ninguna
interpretación tal que I(A)=V, I(B)=V, I(C)=V, I(D)=F. Pero, si no existe ninguna
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asignación en la que todas las fórmulas del conjunto {A, B, C} sean verdaderas y D sea
falsa, por definición de implicación, es que {A, B, C} implica D. Queda así demostrado
que si {A, B, C, ¬D} es insatisfacible, entonces {A, B, C} implica D.
Queda entonces demostrado que {A, B, C, ¬D} es insatisfacible sii {A, B, C} implica D.
Por eso, la pregunta por la relación de implicación entre {A, B, C} y D puede traducirse en
una pregunta por la insatisfacibilidad del conjunto {A, B, C, ¬D}, y es posible, por tanto,
responderla mediante la tabla analítica que demuestra la insatisfacibilidad de ese conjunto.
(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: quince minutos)
4. Inventar fórmula, hacer árbol de formación, buscar asignación:
Fórmula: ¬(((pp)∨(p↓p))→(s∧p))
Árbol de formación:
¬(((pp)∨(p↓p))→(s∧p))
(((pp)∨(p↓p))→(s∧p))
((pp)∨(p↓p))
(pp)
p
p
(s∧p)
(p↓p)
p
s
p
p
Asignación: ν(p)=F ν(s)=V
(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: siete minutos)
5. Formalizar:
Enunciados simples:
Existe un cuerpo imposible de destruir: p
Dios puede crear un cuerpo imposible de destruir: q
Dios quiere crear un cuerpo imposible de destruir: r
Dios es todopoderoso: s
Argumento:
((q∧r)←p), (s→¬p), (s∧(r→q)) ∴ ¬r
(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: cinco minutos)
6. Construir la tabla de verdad y encontrar fórmula equivalente:
a)
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
(((p↓p) ↓ q) ↓ ((p↓p) ↓ q))
VFV F V V VFV F V
VFV V F F VFV V F
FVF F V V FVF F V
FVF F F V FVF F F
La tabla de verdad es la correspondiente a la conectiva flecha. Por tanto, la fórmula
equivalente es (p→q).
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b)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
((p  q)  (p  q))
VFV V VFV
VVF F VVF
FVV F FVV
...FVF.. F..FVF
La tabla de verdad es la correspondiente a la conectiva conjuntor. Por tanto, la fórmula
equivalente es (p∧q).
(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: siete minutos)
7. Reducción al absurdo:
-
Primero: suponemos que la fórmula no es una contradicción.
-
Segundo: esto quiere decir que existe alguna asignación en la que la fórmula es verdadera.
Intentemos encontrar esa asignación mediante un árbol de valuación:
¬(((p∨q)∧(p→r))→((q→r)→r))=V
(((p∨q)∧(p→r))→((q→r)→r))=F
((p∨q)∧(p→r))=V
(p∨q)=V
(p→r)=V
((q→r)→r)=F
(q→r)=V
r=F
sust r=F
(q→F)=V
q=F
sust q=F
(p∨F)=V
p=V
sust r=F
(p→F)=V
p=F
-
Tercero: la hipótesis inicial nos ha llevado a una contradicción: la asignación que
supuestamente haría verdadera a la fórmula debería ser una asignación en la que la
variable p fuera a la vez verdadera y falsa. Como esto no puede ocurrir en nuestra lógica:
-
Cuarto: negamos la hipótesis que nos ha llevado a ese resultado absurdo: la fórmula sí es
una contradicción.
(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: seis minutos)
4
8. Tablas analíticas:
Para demostrar tautología mediante tablas analíticas se hace la tabla de la negación de la
fórmula:
1. ¬(p→(((p∨q)→r)→((¬s→¬r)→s)))
2.
p
de 1
3.
¬(((p∨q)→r)→((¬s→¬r)→s))
4. ((p∨q)→r)
de 3
5. ¬((¬s→¬r)→s)
6.
(¬s→¬r)
7.
¬s
de 1
de 3
de 5
de 5
8.1. ¬¬s
8.2. ¬r
rama cerrada
de 6
9.2.1. ¬(p∨q) 9.2.2. r de 4
rama cerrada
10.2.1. ¬p de 9.1.
11.2.1. ¬q de 9.1.
rama cerrada
Todas las ramas se cierran (cada rama contiene a la negación de una de sus fórmulas: la rama
1 contiene a ¬s y a ¬¬s; la rama 2.1 contiene a p y a ¬p; la rama 2.2 contiene a r y a ¬r).
Entonces, el conjunto cuyo único elemento es la negación de la fórmula dada es insatisfacible,
y por tanto la fórmula dada es una tautología.
(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: seis minutos)
9. Deducción natural:
La deducción que demuestra la validez del argumento es la siguiente:
1.
2.
3.
p
premisa
((p∨q)→r) supuesto para TD
(¬s→¬r)
supuesto para TD
4.
¬s supuesto para RA
5.
¬r
6.
(p∨q)
7.
r
8.
(r∧¬r)
9.
¬¬s
10.
s
11.
12.
MP 3,4
ID 1
MP 2, 6
IC 7, 5
RA 4-8
DN 9
((¬s→¬r)→s) TD 3-10
(((p∨q)→r)→((¬s→¬r)→s)) TD 2-11
(tiempo utilizado para responder y revisar esta pregunta: cuatro minutos)
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10. Responder a las preguntas sobre el texto:
a) Definir el lenguaje formal:
Símbolos primitivos:
-
Símbolos temporales: a, b, c...
-
Símbolos permanentes: +, ×, :, ’.
-
(más paréntesis como símbolos auxiliares)
Reglas de formación:
-
Si A es un símbolo temporal, entonces A es una fbf.
-
Si A es una fbf, entonces A’ es una fbf.
-
Si A y B son fbfs y * es uno de los tres primeros símbolos permanentes, entonces A*B es
una fbf.
b) Lógica proposicional:
Cuando dice que los símbolos permanentes (y sus combinaciones) denotan enunciados, y
que los permanentes denotan relaciones entre enunciados. Además, dice que esta es una de
las principales características de su sistema lógico.
c) “Símbolos temporales” y “símbolos permanentes”:
Los temporales son las variables proposicionales. Los permanentes son las conectivas.
d) Sintaxis o semántica:
De las dos cosas: nos muestra cuáles son los símbolos de su lenguaje y cómo se combinan
(sintaxis), pero también nos habla de lo que “denotan” sus símbolos, de lo que “afirman”
sus fórmulas, y de la verdad y falsedad de los distintos enunciados (semántica).
e) Disyuntor:
Es inclusivo, pues el enunciado disyuntivo dice que lo que afirma una de las partes tendrá
lugar, pero no dice nada (y por tanto, no lo excluye) acerca de si también tendrá lugar lo
que afirman las demás.
f) Condicional:
No es funcional-veritativo: se ve cuando introduce una noción modal en la descripción de
lo que afirma el enunciado condicional (el enunciado que le sigue ha de ser verdadero
siempre que el enunciado que le antecede lo sea), y en el párrafo final, donde muestra que
el condicional no es equivalente a la disyunción a’+b (donde vuelve a introducir nociones
modales para explicar el contenido de la negación del condicional: él puede persistir en su
extravagancia...). El uso de estas nociones modales indica que no basta con conocer la
verdad o falsedad de las partes para determinar la verdad o falsedad del enunciado
compuesto: la verdad no viene dada por las circunstancias que se dan o no se dan de hecho,
sino por las que pueden darse. En las funciones de verdad, en cambio, la verdad o falsedad
del compuesto queda determinada por los valores de verdad que tienen de hecho las partes,
no por los que podrían o no tener.
(tiempo utilizado para leer el texto, responder y sevisar esta pregunta: diecisiete minutos)
tiempo total: 2+3+15+7+5+7+6+6+4+17=72 minutos (una hora y doce minutos)