5.2 Línea de influencia como diagrama de desplazamiento virtual

Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Chile
5.2
Línea de influencia como diagrama de desplazamiento virtual
La línea de influencia se puede determinar aplicando el Principio del
Desplazamiento Virtual. Para ello basta con:
a.
b.
c.
Remover el vínculo asociado con el “efecto” cuya línea de influencia se
busca.
Aplicar el “efecto”(fuerza o momento) al sistema resultante en el paso
anterior. ⇒
Sistema de Fuerza
Imponer al sistema resultante un desplazamiento o giro virtual en el
sentido del “efecto” cuya línea de influencia se busca. ⇒
Sistema de desplazamiento
Aplicando el P.T.V. se demuestra que la forma del sistema de desplazamiento
virtual resultante en “c” es proporcional a la línea de influencia del efecto.
NOTA: Si el desplazamiento virtual impuesto es unitario, las ordenadas del
sistema de desplazamiento virtual, medidas paralelamente a la carga unitaria,
corresponden a los valores de la línea de influencia (η(x)) del “efecto
considerado”
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Principio de Müller-Breslau:
“Las ordenadas de la línea de influencia de un esfuerzo interno
en una sección o de una carga reactiva, son proporcionales a los
desplazamientos que se obtienen al eliminar el vínculo que
causa dicha acción interna o reacción e imponer en su lugar la
deformación virtual correspondiente.”
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Ejemplo: Viga simplemente apoyada.
• Línea de influencia de la reacción en el apoyo A.
A
RA
B
Sistema con vínculo removido
P.T.V.:
RA·1 - 1·x/L = 0 ⇒ RA = δ (x) = x/L ⇒
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ordenada de la deformada
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•Línea de influencia de la fuerza de corte en la sección C ubicada a la distancia “a”
del extremo A.
P.T .V . : Q(a )× δ a + Q(a )× δ b − 1× δ ( x) = 0
Q(a )× (δ a + δ b ) = Q(a )×1 = 1× δ ( x)
Q(a ) = δ (x)
A
B
δa = α ∗ a δb = α ∗b
(δ a + δ b ) = 1 ⇒ α =
δb=b/L
δa =
α
a
L
α∗x =
δa=a/L
δ (x) =
, δb =
x
L
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b
L
para 0 ≤ x < b
− α ∗ (L − x ) = −
Sistema con vínculo removido
1
1
=
(a + b ) L
(L − x )
L
para b < x ≤ L
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•Línea de influencia del momento de flexión en la sección C ubicada a la distancia “a”
del extremo A.
P .T .V :
1
(Mc × δφ a
+ Mc × δφ b − 1 × δ x ) = 0
Mc × (δφa + δφb ) = 1× δx
Mc × δφ = Mc ×1 = 1× δx
Mc = δ (x)
Sistema con vínculo removido
Mc
CC´
CC´
; δφb =
a
b
δφa + δφb = 1
δφa =
a ∗b
a ∗b
⎡b + a ⎤
⎡ CC´ CC´ ⎤
=
CC
´
=
1
⇒
´
=
CC
=
∗
+
⎢ a ∗b ⎥
⎢ a
(a + b ) L
b ⎥⎦
⎣
⎦
⎣
1
δx
x ∗ δφb = x ∗
δ (x) =
a
l
para 0 ≤ x < b
( L − x) ∗ δφa = b ∗
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( L − x)
L
para b < x ≤ L
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Ejercicio: Aplicando el Principio del Desplazamiento Virtual, determinar la líneas
de influencia de: Ra, Rb, Rc, Qf, QG, MF y MG.
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x
Ra > 0
Líneas de influencia de Ra
δ (x)
(
h1 − x )
δ ( x) =
h1
para 0 ≤ x < h1
δ ( x) = 0 para x > h1
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x
Rb>0
Líneas de influencia de Rb
δ (x)
x
δ ( x) =
(L2 + h2 ) ⋅ x
L2 × h1
-L3/L2
para 0 ≤ x < h1
1
δ ( x) = ⋅ ( L1 + L2 − x) para h1 < x < ( L1 + L2 + L3 )
L2
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Rc>0
Líneas de influencia de Rc
δ (x)
h2
δ ( x) = −
⋅ x para 0 ≤ x < h1
L2 × h1
(x − L1 ) para h < x ≤ ( L + L + L )
δ ( x) =
1
1
2
3
L2
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L.I..Qf
Líneas de influencia de Qf
QF
s
L.I. Qg
Líneas de influencia de Qg
δ =1
L.I. Mf
QG
Líneas de influencia de Mf
MF
L.I. Mg
δφ =1
MG
Líneas de influencia de Mg
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•
La ventaja de aplicar este método es que se visualiza rápidamente la forma
de la línea de influencia de un “efecto”, lo que permite identificar las zonas
de la estructura donde deben ubicarse las cargas vivas para tener el
máximo valor del “efecto”.
Líneas de influencia de Qg
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6. Aplicaciones de la línea de influencia (δ(x)). Máximo efecto de
cargas vivas.
• Una vez que se ha determinado la línea de influencia de un “efecto”, δ(x),
se puede conocer la posición de la carga unitaria para la cual el “efecto”
alcanza su valor máximo y cual es este valor.
• Para
el diseño de una estructura (por ejemplo: una viga), interesa
conocer el valor máximo de dicho “efecto” y para que posición de las
cargas vivas se produce.
• Para contestar esta última pregunta se verán algunos casos.
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6.1 Valor de un “efecto” debido a una carga viva aislada (P).
• El valor del “efecto” debido a una carga aislada (P), es igual al producto de la
magnitud de la carga por la ordenada de la línea de influencia del “efecto”, medida
en el punto en que se aplica la carga (xo).
P
xo
δ(xo)
δ(xo)
Efecto = P × δ ( xo )
δ(xo)
δ(xo)
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δ(x)
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• Para obtener el valor máximo del “efecto” debido a una carga aislada (P),
se aplica la carga aislada en el punto en que la ordenada de la línea de
influencia del “efecto” es máxima.
Efecto = P × δ max (xo )
P
xo
xo
xo
P
P
P
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6.2 Valor de un “efecto” debido a varias cargas aisladas.
• El valor del “efecto” debido a un grupo de cargas aisladas (P1, P2, …,Pn) aplicado
en una posición definida se puede obtener superponiendo los valores de cada carga
(Principio de Superposición).
i =n
Efecto = ∑ Pi × δ ( xi )
i =1
Los valores δ(xi) están relacionados entre sí a través de la línea de influencia del
“efecto”.
Tren de cargas puntuales
d1
d2
δ(xi) = yi
=1.0
“L”
A
Reacción en apoyo A.
(
R A = y 1 ∗ P1 + y2 ∗ P2 + y3 ∗ P3
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B
)
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6.3 Valor de un “efecto” debido a cargas repartidas.
• Para obtener el “efecto” producido por una carga uniformemente repartida
(wo) aplicada en una posición definida (xM-xN), se aplica la ecuación anterior
considerando que la carga actúa en forma distribuida, resultando:
Efecto =
xN
xN
∫ w(x ) × δ (x ) dx = w ⋅ ∫ δ (x ) dx
0
xM
Area achurada = ∫ δ ( x ) dx
xM
XN
XM
δ (x )
Posición de la carga distribuida
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xN
xM
a∗c
l
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Ejemplo: Momento de flexión en la sección 1-1 debido a una carga uniformemente
repartida actuando en la posición indicada.
c
wo
B
A
a∗c
l
η (x ) =
a∗x
l
x
c
c
0
0
wo ∗ a ∗ c 2
M 1−1 =
2l
M 1−1 = ∫ (wo ∗η ( x )) dx = wo ∗ ∫ η ( x )dx
Area achurada bajo línea de influencia
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• Para obtener el valor máximo del “efecto”, se debe ubicar la carga repartida en
todas las zonas de la estructura para las cuales las ordenadas de la línea de
influencia tiene el mismo signo del “efecto”.
Ejemplo: Momento en sección 1-1
Máximo momento positivo en la sección 1-1 debido a sobrecarga (carga viva)
Máximo momento negativo en la sección 1-1 debido a sobrecarga (carga viva)
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B
Línea de influencia del momento en B
Línea de influencia del momento al centro del tramo 2
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VALOR DE UN “EFECTO” PARA A UN TREN
DE CARGA MOVIL
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Valor de un efecto para un tren de carga repartida móvil.
• El valor del “efecto” se determina considerando como variable la posición del tren
(por ejemplo la posición del punto E del tren de carga repartido de la figura).
Reacción en apoyo A
B
A
y=
Líneas de influencia de RA
(L − x + a )
L
Entrando
R A ( x ) = q ∗ ADE ( x )
q × a2
2L
Saliendo
B
A
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RA ( x ) =
R A ( x) =
RA
q * x * (2 L − x )
para 0 ≤ x ≤ a
2
q * a * (2 L + a − 2 x )
2L
2
(
L + a − x)
(x ) =
2L
para a ≤ x ≤ L
R A (a ) =
q * a * (2 L − a )
2
q * a2
R A (L ) =
2L
para L ≤ x ≤ (L + a )
q * a2
2L
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Valor de un efecto para un tren de carga aisladas móvil.
• Cuando hay varias cargas aisladas móviles de magnitud y separación
invariable, como es el caso de vehículos, grúas, etc, el valor máximo del
“efecto” se producirá cuando una de las cargas aisladas está en la posición de
la línea de influencia donde el valor del “efecto” es máximo. Así el problema se
reduce a hallar cuál de las cargas aisladas debe estar en esa posición.
• En general no es posible determinar por simple inspección cual de las cargas
aisladas debe colocarse en la posición destacada.
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• El valor del “efecto” que resulta al ubicar el tren de cargas en una posición
determinada, se calcula con la ecuación siguiente:
i =n
Efecto = ∑ Pi ∗η i ( xi )
donde:
i =1
η(x) = ordenada de la línea de influencia en la posición de la carga Pi del tren
de cargas.
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Ejemplo:Reacción en apoyo A
La posición del tren de carga queda representada por la posición de la carga P1,
“x”, así el valor de la reacción en el apoyo A es función de esta variable x, RA(x).
Líneas de influencia de RA
A
B
RA(x)
Entrando
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Saliendo
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R A (x ) =
P1 × (L − x ) P2 × (L − x + a )
+
L
L
P × (L − x )
R A (x ) = 1
L
R A (x ) =
P1 × (L − x ) P2 × (L − x + a ) P3 × (L − x + a + b )
+
+
L
L
L
R A (x ) =
P2 × (L − x + a ) P3 × (L − x + a + b) )
+
L
L
R A (x ) =
R A ) max =
P1 × (L − a − b ) P2 × (L − b )
+
+ P3
L
L
P3 ubicado donde la L.I. RA es máxima, es decir sobre apoyo A.
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P3 × (L − x + a + b )
L