“el conocimiento es poder” LA MARAVILLOSA HISTORIA DE LOS NÚMEROS

“el conocimiento es poder”
Asignatura
AREA
NOMBRE
CENTRO JOHANN KEPLER
BACHILLERATO HUMANISTA
MATEMATICAS
CICLO
ACELERADO PRIMER SEMANA 1
MES
MATEMATICAS
LA MARAVILLOSA HISTORIA DE LOS NÚMEROS
Hace muchos, muchos, muchísimos años (30000, por lo menos), los hombres primitivos vivían en pequeños grupos,
en cuevas donde se escondían de los animales peligrosos y se protegían del mal tiempo.
Los cazadores para saber cuántos animales habían abatido en la cacería marcaban con señales un palo.
¿Cuándo surgieron los números tal y como hoy los conocemos?
Los números son el alfabeto universal del lenguaje de las matemáticas. Las diferentes culturas han ido utilizando este
alfabeto según iban descubriendo nuevos números.
Civilizaciones de los números
Como se escribe en estas culturas el número 29
“el conocimiento es poder”
¿Tienen las cifras de los números siempre el mismo valor?
En la mayoría de los sistemas de numeración antiguos, el valor de una cifra era siempre igual, estuviera donde
estuviera; así el "I" (1) romano, siempre valía uno en cualquier posición. Hoy en cambio la cifra "1" tiene
distintos valores: puede representar unidades, decenas, centenas, millares, etc.
Y esto, que es tan importante, se lo debemos a los hindúes; sí a los antiguos habitantes de la India. Si no
hubiera sido por ellos, nos hubiera sido muy difícil poder contar grandes cantidades, pues no tendríamos
bastante papel para escribir números tan enormes. En cambio con los números hindúes, que son sólo diez, se
pueden escribir las cantidades que sean necesarias.
Algo de Historia de los Números Romanos
Los romanos formaron un imperio que se extendía por casi toda Europa y el norte de África.
Los pueblos sometidos aprendieron de ellos su modo de vida, sus costumbres, su lengua llamada latín, su
escritura y también su sistema de numeración.
Tras la desaparición del Imperio Romano, en los siglos posteriores algunas de las cosas aprendidas de los
romanos permanecieron, aunque fueron cambiando. Así nosotros, actualmente hablamos Castellano que
es Latín evolucionado y al escribir seguimos utilizando letras latinas. Pero otras cosas aunque
permanecieron varios siglos, después desaparecieron, así pasó con el sistema de numeración romano. Se
sustituyó por el sistema de numeración arábigo, que proviene de la India y lo extendieron los árabes, es el
que empleamos ahora y es mucho más fácil de manejar.
Actualmente vemos y utilizamos números romanos en muy pocas ocasiones: para nombrar los siglos, en
los actos y escenas de una obra de teatro, en la designación de olimpiadas, congresos y certámenes, en la
numeración de reyes, emperadores y papas, en inscripciones antiguas y en relojes antiguos.
Los romanos empleaban estas siete letras mayúsculas para expresar los números.
Cada letra tiene el valor indicado en esta tabla.
I
X
C
M
1
10
100
1000
V
L
D
5
50
500
Se suman sus valores
Se colocan a la izquierda las letras de mayor valor y a la derecha las de menor valor, su valor se suma.
Las letras M, C, X, I se pueden repetir y colocar hasta tres veces seguidas.
Las letras D, L, V se pueden colocar a la derecha para ser sumado su valor, pero sólo una vez, no se
pueden repetir.
A la izquierda de otra, colocada sólo una vez le resta su valor
La letra I colocada a la izquierda de V o de X le resta 1
La letra X colocada a la izquierda de L o de C le resta 10
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La letra C colocada a la izquierda de D o de M le resta 100
Cada una de esas letras no se puede restar a otra que sea de un valor que esté a más
dos puestos por delante de ella.
Una raya escrita encima de una o varias letras multiplican por mil su valor. Solo se usa para números
mayores o iguales a 4000.
Las letras D, L, V no se pueden colocar a la izquierda para restar.
Ejemplos:
III = 3
XV =15
MM = 2000
CCCLII = 352
IV = 4
IX = 9
XL =40
TALLER DE TRABAJO
1. Escribir en números romanos los siguientes números arábigos:
a)
b)
c)
d)
e)
15
139
256
2365
3562
2. Escribir el valor de los siguientes números romanos:
a)
b)
c)
d)
e)
CDXD
XLIX
CMLXII
CMXCIX
MMDCCVI
3. El sistema de numeración romano utiliza:
a)
b)
c)
d)
5 símbolos.
7 símbolos.
8 símbolos.
10 símbolos.
XC = 90
CD = 400
CM = 900
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4. La escritura decimal de los números que aparecen en el siguiente texto: “El coliseo se empezó a construir
en el año LXX después de Cristo, pero su inauguración tuvo lugar en el año LXXX. El coliseo tenía una capacidad
suficiente para L personas”, son, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
50, 80, 70.000
70, 80, 5.000
70, 80, 50.000
80, 70, 50.000
5. Si 23 lo multiplico por 2 y luego le sumo 3, el número romano que representa el resultado:
a)
b)
c)
d)
LX
IL
LIX
XLIX
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CENTRO JOHANN KEPLER
BACHILLERATO HUMANISTA
MATEMATICAS
CICLO
ACELERADO PRIMER SEMANA 2
MES
MATEMATICAS
Propiedades
Los números reales son un conjunto cerrado para la suma y la multiplicación, lo que significa que la suma o
Multiplicación de números reales da como resultado otro número real. De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades:
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CENTRO JOHANN KEPLER
BACHILLERATO HUMANISTA
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ACELERADO PRIMER SEMANA 3
MES
MATEMATICAS
¿QUE SON LOS NÚMEROS NATURALES?
Son los que sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de
dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además de cardinales (para contar), los
números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
OPERACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES
La Adición de los números naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro
Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a+b=b+a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7+4=4+7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números
naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a+0=a
Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y
distributiva del producto respecto de la suma.
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Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a·b=b·a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a·1=a
Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Sustracción de Números Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuántas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver
a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y
no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron
los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
División de Números Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de
personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente
(el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
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Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo 𝑎/𝑏 que 𝑏/𝑎.
¿Qué es la Potenciación?
Potencia (matemáticas), producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número, letra o expresión
algebraica por sí misma.
En la potencia
𝑎𝑛
, donde
𝑎
es la base y
𝑛
el exponente.
Propiedades de la potenciación

𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

𝑎𝑛 ⁄𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 𝑠𝑖 𝑛 > 𝑚, 𝑎 ≠ 0

(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚

𝑎0 = 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0

00 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
Ejercicios
1. Resuelva las siguientes sumas.






Observa que algunas de ellas no tendrías porqué hacerlas de forma directa si aplicaras una de las propiedades de
la suma, por cierto, ¿cuál es esa propiedad?
2. Resuelva las siguientes restas.






3. Resolver las siguientes operaciones.
 6 – (3 – 10) + (4 – 8 + 2) – (7 + 5 – 1) =
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 3 – (5 – 6 + 2) + (4 – 3 + 1) =
 (5 – 6 ) + (4 – 1) – (3 – 4 ) + (4) =
 (1) x (2) / (2 + 5 +2) =
 (2) x (5) + (5 – 3) / (2) =
4. Resolver las siguientes potenciaciones.

75 =
(23 )2 =

30 =
(64 )2 =
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CICLO
ACELERADO PRIMER SEMANA 4
MES
MATEMATICAS
NUMEROS RACIONALES
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos
enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por
.
Operaciones de números racionales:
SUMA Y RESTA
Con el mismo denominador. Se suman o se restan los numeradores (a más c) y se mantiene el
denominador (b) .
Con distinto denominador. En primer lugar se reducen los denominadores a común
denominador (a por c) , luego se multiplican los numeradores con los denominadores (a
por d) y (b por c) y se suman o se restan los productos equivalentes obtenidos.
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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Con el mismo o con diferente denominador. Se multiplican los denominadores (a por
c) y los numeradores (d por b).
DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Se multiplica el numerador con el denominador correspondiente (a por d) y (b por c).
.
TALLER A TRABAJAR