Bloque 1 Polinomios

POLINOMIOS
MONOMIOS
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal y el mismo grado (sólo se
diferencian en el coeficiente que los acompaña):
3x6 y -4x6 son semejantes
2x7 y 2x9 no son semejantes
Suma y resta: para sumar o restar monomios deben ser semejantes. Se suman o resta los
coeficientes de cada monomio como resultado de sacar factor común la parte literal
Producto: para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes entre sí y se suman
los grados (no es necesario que sean semejantes):
5x5 · (-3x6) = -15x11
Cociente: para dividir dos monomios se dividen los coeficientes entre sí y se restan los grados.
Potencia: la potencia de un monomio se obtiene elevando el coeficiente al exponente y
multiplicando el grado del monomio por el exponente de la potencia:
INTRODUCCIÓN A LOS POLINOMIOS
Un polinomio es completo cuando tiene todos los términos desde el de mayor grado hasta el
término independiente. Si le falta algún término se dice incompleto.
Si el mayor grado es x3 se dice que es un polinomio de grado 3.
En x3 + 4x + 2;
1 es el coeficiente de grado 3
0 es el coeficiente de grado 2
4 es el coeficiente de grado 1
2 es el coeficiente de grado 0
VALOR NÚMERICO
Es el valor que se le da a P(x) para realizar un polinomio.
A P(x)= 2x3 – x + 4 le vamos a dar un valor numérico de 3; P(3)=2*33-3+4= 55
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma: Para sumar dos polinomios se suman entre si los coeficientes de los monomios
semejantes.
Resta: Para restar dos polinomios se le cambia el signo a todo el polinomio negativo y después
sumamos.
Multiplicación: Se pone un polinomio abajo y otro arriba y se multiplican todos por todos los
coeficientes y se suman los grados o exponentes.
División: Colocamos el polinomio dividendo completo, de forma que si falta algún término se
coloca un 0 en su lugar. Se dividen los primeros monomios de ambos polinomios,
obteniéndose el primer monomio del cociente. Se multiplica ese monomio por el divisor y se
resta del dividendo, con lo que el grado del dividendo disminuye. Se repite el proceso mientras
que el grado del dividendo sea mayor o igual que el del divisor. Al final, obtenemos el
polinomio cociente y el resto, que deberá tener grado menor que el divisor.
METODO DE RUFFINI
El sistema de Ruffini es una división la cual se puede llevar a caso si el divisor es: x-a.
Ejemplo:(x 4 − 3x 2 + 2 ) : (x − 3)
*El 56 es el resto
*Si el polinomio está incompleto se rellena con ceros
*El resultado es: x 3 +3x 2 +6x+18
TEOREMA DEL RESTO
El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma
(x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
Ejemplo:(x 4 − 3x 2 + 2 ) : (x − 3)
P(3) = 3 4 − 3 · 3 2 + 2 = 56
Como podemos ver cambiando X en el dividendo por el numero opuesto al del divisor (3 ya
que es opuesto a -3) podemos obtener el resto sin hacer la división, ni Ruffini.
RAÍCES DE UN POLINOMIO
Las raíces de un polinomio son divisores del término independiente.
Al sustituir X tiene que dar 0.
Tendrá los mismos divisores que el grado del polinomio
Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse.
Podemos expresar un polinomio en factores de la siguiente manera:
x 2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
*Las raíces son 2 y 3, pero se ponen de forma opuesta.
Si no tiene término independiente admite como raíz a 0 y se expresa así:
x 2 + x = x · (x + 1)
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de factores irreducibles. Para ello:
Sacamos factor común:
x 3 + x 2 = x 2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1
Siempre que no tenga término independiente un factor común será 0.
Si el resultado al sacar factor común es x2+ a, no se podrá reducir más.
Factorizar con la formula abc si es de exponente 2 o 4:
Si el exponente es 2 solo tendremos dos resultados.
Si el exponente es 4 a los 2 resultados obtenidos se les saca la raíz cuadrada y asi puede ser
tanto negativo como positivo cada uno (4resultados).
Factorizar por ruffini si es superior a 2:
Factorizamos por ruffini con los números divisibles posibles, y seguimos haciéndolo hasta que
tengamos todos los factores, el resultado irá disminuyendo y el último resultado es una raíz.
Igualdad notable:
(a +b)3 = a3 +3a2b +3ab2 +b3
SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES FRACCIONARIAS SENCILLAS
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción
por un polinomio que sea factor común de ambos.
SUMA Y RESTA CON MISMO DENOMINADOR:
SUMA Y RESTA CON DISTINTO DENOMINADOR:
MULTIPLICACIÓN:
DIVISIÓN: