roberto hojman jorge yutronic fernández roberto hojman jorge

Matemática
ROBERTO HOJMAN
DOCTOR EN
EN FÍSICA,
FÍSICA, UNIVERSIDAD
UNIVERSIDAD DE
DE TRIESTE,
TRIESTE, ITALIA,
ITALIA, 1980.
1980.
DOCTOR
MAGÍSTER EN
EN CIENCIAS
CIENCIAS CON
CON MENCIÓN
MENCIÓN EN
EN FÍSICA,
FÍSICA, UNIVERSIDAD
UNIVERSIDAD DE
DE CHILE,
CHILE, 1975.
1975.
MAGÍSTER
JORGE YUTRONIC FERNÁNDEZ
INGENIERO CIVILINGENIERO
ELECTRICISTA,
CIVILUNIVERSIDAD
ELECTRICISTA DE CHILE, 1976.
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I.S.B.N.: 978-956-12-1976-2.
2ª edición: septiembre de 2009.
Número de ejemplares: 4.801
© 2008 por Empresa Editora Zig-Zag, S.A.
Inscripción Nº 175.789. Santiago de Chile.
Derechos exclusivos de edición reservados por
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MATEMÁTICA III MEDIO
Un proyecto de
Empresa Editora Zig-Zag S.A.
Gerencia General
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Autores
Roberto Hojman
Jorge Yutronic
Dirección Editorial
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Edición
Miguel Ángel Viejo
Corrección de estilo
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Director de Arte
Juan Manuel Neira
Director de Producción
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Equipo de diseño
Pamela Buben
Daniel Brown
José Luis Grez
Claudio Silva
Eduardo Álvarez
Ilustraciones
Archivo editorial
Fotografías
Archivo editorial
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Índice
Organización del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Estructura del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contenidos de las unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
Planificación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Secuencias de las unidades del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
PRIMERA PARTE
Orientaciones didácticas y material complementario
...........................
17
Unidad 1: Las funciones raíz cuadrada y cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planificación de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orientaciones didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Material complementario: ¿Para qué sirve? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. El valor de las redes sociales crece cuadráticamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Crecimientos lineales y no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Construcción de recipientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Unidad 2: Inecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planificación de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orientaciones didácticas de las Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Material complementario: ¿Para qué sirve? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Distribución de presupuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Precios y utilidades en los negocios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Gestión de la dieta alimentaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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32
32
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Unidad 3: Más sobre triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planificación de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orientaciones didácticas de las Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Material complementario: ¿Para qué sirve? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Uso de unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Medición de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Unidad 4: El estudio de las probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planificación de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orientaciones didácticas de las Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Material complementario: ¿Para qué sirve? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Probabilidades y meteorología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Probabilidades y salud pública. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Probabilidades y coincidencias en la vida real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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68
SEGUNDA PARTE
Recursos didácticos de apoyo
70
.......................................................
1. Método de Pólya para la resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Pautas de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Actividades experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Errores frecuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
77
94
95
TERCERA PARTE
Resolución detallada de ejercicios propuestos
114
.................................
CUARTA PARTE
Autoevaluación
Bibliografía
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Sitios de interés
......................................................................
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ORGANIZACIÓN DEL TEXTO
En la elaboración de este texto se ha tenido especial cuidado de incluir todos los Contenidos Mínimos
Obligatorios y Objetivos Fundamentales Transversales (OFT) del programa para Tercer año de Educación
Media.
Esta guía ha sido concebida como un elemento facilitador y un respaldo a la labor del(de la) docente con la
intención de ahorrarle tiempo y sugerirle aproximaciones metodológicas para abordar los temas y actividades
propuestos en el Texto para el Estudiante.
Teniendo en cuenta que el logro de los aprendizajes esperados está íntimamente ligado a los ejercicios
propuestos, consideramos que la totalidad de ellos –que aparecen en el Texto para el Estudiante– son
fundamentales y necesarios de desarrollar, según sean los objetivos de aprendizaje que se ha planteado
el(la) docente.
Dejamos al criterio de cada profesor o profesora, y a las características propias de su curso, el nivel de
importancia que se le asigne a cada actividad propuesta, ocupándola como un complemento a su clase,
como una evaluación o, sencillamente, como un ejercicio de aplicación de los conocimientos adquiridos
por los(las) estudiantes o de desarrollo de destrezas y/o habilidades.
A continuación se detallan los OFT definidos en el marco curricular para la Educación Media que han guiado
la elaboración del texto:
• Los de ámbito crecimiento y autoafirmación personal referidos al interés y capacidad de conocer la
realidad y utilizar el conocimiento y la información.
• Del ámbito desarrollo del pensamiento, en especial, los relativos a habilidades de investigación y de
modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de las actividades que suponen
selección y organización de información y datos; las de resolución de problemas y de pensamiento
lógico, a través del conjunto de contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o
procedimientos rutinarios, así como a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización
a partir de relaciones observadas, por otro. El desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a
tomar decisiones fundamentales en situaciones sociales.
• Del ámbito personal y su entorno referidos al trabajo, y que plantean el desarrollo de actitudes de
rigor y perseverancia, así como de flexibilidad, originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades
de recibir y aceptar consejos y críticas.
• A través de los problemas a resolver matemáticamente que plantean las actividades del programa es
posible ampliar el trabajo de los OFT con alumnos y alumnas a su capacidad de juicio, y la aplicación
de criterios morales, a problemas del medio ambiente, económicos y sociales.
En base a estos OFT, podemos asegurar que, mediante el estudio del texto que aquí se presenta, las alumnas
y los alumnos desarrollarán la capacidad de:
1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de los sistemas de inecuaciones, de
la función cuadrática, de nociones de trigonometría en el triángulo rectángulo y de variable aleatoria,
mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o refutación de
conjeturas.
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2. Analizar información cuantitativa presente en los medios de comunicación y establecer relaciones
entre estadística y probabilidades.
3. Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones
concretas.
4. Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades.
5. Percibir la Matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que
provienen de otros ámbitos.
Finalmente, el programa invita al desarrollo de actividades pedagógicas que ponen en práctica los
valores y orientaciones éticas de los OFT, así como sus definiciones sobre habilidades intelectuales y
comunicativas.
Estructura del texto
El texto se estructura de manera congruente con lo anteriormente señalado, de tal forma que se evidencia
en él la apropiación gradual de los contenidos del currículum oficial de una manera contextualizada que,
mediante actividades diversas, potencia no solo el desarrollo de habilidades intelectuales y conocimientos
procedimentales, sino que, además, busca modelar el desarrollo de actitudes y habilidades sociales, cuya
importancia no solo se circunscribe al quehacer científico-matemático. Así, la orientación de este texto está
enfocada en el aprendizaje riguroso y al mismo tiempo significativo. Esto supone una estructura que potencie
la natural curiosidad del(de la) estudiante, en un marco de trabajo autónomo y atractivo.
Atendiendo a la división y organización de los contenidos propuesta en el programa oficial, resulta natural
estructurar el presente texto en cuatro unidades, con las que se da cobertura al currículum oficial para el
sector de Matemática en este nivel:
Contenidos de las unidades
Unidad 1:
Las funciones raíz
cuadrada y cuadrática
Unidad 2:
Inecuaciones lineales
Unidad 3:
Más sobre triángulos
rectángulos
Unidad 4:
El estudio de las
probabilidades
La raíz cuadrada de un
número
El mundo que
percibimos y el que
construimos
Medición de ángulos
Nociones de
probabilidad
La función cuadrática
Solución de
inecuaciones lineales
Triángulos rectángulos
y trigonometría
Probabilidades y
probabilidades
Estudio de
desigualdades literales
Combinatoria básica
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PLANIFICACIÓN GENERAL
UNIDAD
OBJETIVOS
GENERALES DE LA
UNIDAD
CAPÍTULO O
TEMA
APRENDIZAJE ESPERADO
TIEMPO
HORAS
• Conocer y utilizar procedimientos de cálculo
algebraico con expresiones en las que
1. Comprender y afianzar el
intervienen raíces cuadradas y cúbicas.
significado de las funciones
• Plantear y resolver problemas que involucran
cuadráticas y raíz cuadrada en
ecuaciones de segundo grado; explicar sus
procedimientos de solución y analizar la
la representación de diversos
1. Las funciones
raíz cuadrada y
cuadrática
procesos y fenómenos de
1. La raíz
existencia y pertinencia de las soluciones
la ciencia, la tecnología, la
cuadrada de un
obtenidas.
economía, la salud y en la vida
número
• Analizar la función cuadrática y la función
cotidiana.
raíz cuadrada en el marco de la modelación
2. Aprender a operar con
de algunos fenómenos sencillos, con las
las funciones raíz cuadrada
correspondientes restricciones en los
y cuadrática y expresar
valores de la variable; se podrán reconocer
mediante ellas los efectos
limitaciones de estos modelos y su capacidad
de ciertas cosas que
de predicción.
m a n i p u l a m o s l o s s e re s
humanos (por ejemplo: agua
potable, energía eléctrica,
telefonía, componentes de
• Conocer la parábola como un lugar
una casa, alimentos, medios
geométrico, reconocer limitaciones de estos
de transporte, etc.) y que llevan
modelos y su capacidad de predicción.
impresas las características
Reconocer su gráfica e identificar aquellas
de estas funciones.
3. Mejorar, mediante el
conocimiento y la utilización
de estas funciones, las
2. La función
cuadrática
condiciones para gobernar
nuestras vidas en una
sociedad cada vez más
compleja.
8
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15
que corresponden a una función cuadrática;
identificar algunas de sus propiedades y
25
aplicaciones en diversos ámbitos de la
tecnología.
• Reconocer el potencial de las funciones
estudiadas para reflejar distintos tipos de
crecimiento y modelar diversos fenómenos.
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RECURSO DIDÁCTICO
TIPOS DE EVALUACIÓN
La función raíz cuadrada
1. Actividad Exploratoria
a. Concepto de raíz cuadrada y cúbica
b. Propiedades de las raíces
• Inicial
c. Función raíz cuadrada
2. Actividad Indagatoria
Observación directa del grado de comprensión de la información y expresión
a. Métodos aproximados de cálculo de raíces cuadradas
oral requeridas para el capítulo.
b. Racionalización
3. Ejercicios Resueltos
• Proceso
4. Ejercicios Propuestos
– Cerciorarse de la metodología adop-
5. Actividad Experimental
tada para abordar los problemas:
Comprensión de la situación proble-
Métodos aproximados de cálculo de raíces en el computador
6. Computación Simbólica
mática, Concepción de una estrategia, Ejecución del plan, Revisión de
lo realizado.
La función cuadrática
1. Actividad Exploratoria
– Examinar la comprensión cabal de
los Ejercicios Resueltos de cada
a. Función cuadrática
capítulo.
b. Forma estándar
• Final
c. Parábolas
d. Ecuaciones cuadráticas y métodos de resolución
A través de los ítemes
e. Propiedades de las raíces
– Más Ejercicios Propuestos
2. Actividad Indagatoria
– Autoevaluación
a. La función cuadrática en la vida real
Al término de cada capítulo se evalúa
b. Significado de los parámetros de la parábola: orientación, desplazamiento y concavi-
el grado de comprensión de la información científica relevante y el grado
dad
c. Significado de los puntos críticos de las parábolas: intersecciones y extremos
de expresión escrita requeridos para
d. Simetrías de la parábola
el tema
3. Ejercicios Resueltos
• Rúbrica
4. Ejercicios Propuestos
5. Actividad Experimental
Construcción con alambre: superficie encerrada mínima
6. Computación Simbólica
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UNIDAD
OBJETIVOS
GENERALES DE LA
UNIDAD
CAPÍTULO O
TEMA
APRENDIZAJE ESPERADO
TIEMPO
HORAS
• Representar situaciones de la vida que se
1. Comprender e interpretar
una variedad de temas de
1. El mundo
pueden abordar mediante desigualdades e
que percibimos
inecuaciones lineales.
y el que
• Efectuar planteamientos matemáticos
construimos
utilizando intervalos de números reales,
15
desigualdades e inecuaciones lineales.
la naturaleza, la vida social
y la tecnología mediante
las desigualdades y sus
derivados, las inecuaciones.
Estas son herramientas
matemáticas muy poderosas,
pues permiten modelar
mentalmente la realidad
existente y sus proyecciones
2. Inecuaciones
futuras.
lineales
2. Potenciar, a partir del
• Conocer y aplicar procedimientos para
resolver inecuaciones lineales o sistemas de
desarrollo mental de la
inecuaciones lineales con una incógnita.
intuición del ser humano, la
• Plantear y resolver problemas que involucran
comprensión y el uso de las
desigualdades.
2. Solución de
3. Expresar el desarrollo del
inecuaciones
razonamiento matemático,
lineales
partiendo desde lo concreto.
Organizar los conceptos clave
y aplicar procedimientos
simples y efectivos de fácil
recordación.
10
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inecuaciones y sistemas de inecuaciones
lineales con una incógnita.
• Analizar e interpretar la existencia y
15
característica de las soluciones de
inecuaciones y sistemas de inecuaciones.
• Distinguir las ecuaciones e inecuaciones
en relación a los fenómenos y procesos que
representan.
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RECURSO DIDÁCTICO
TIPOS DE EVALUACIÓN
• Inicial
1. Actividad Exploratoria
a. Desigualdades
b. Inecuaciones lineales
c. Desigualdades literales
2. Actividad Indagatoria
a. Desigualdades en la vida real
b. Inecuaciones en la vida real
c. Valor absoluto
3. Ejercicios Resueltos
4. Ejercicios Propuestos
5. Computación Simbólica
Observación directa del grado de comprensión de la información y
expresión oral requeridos para el capítulo.
• Proceso
– Cerciorarse de la metodología adoptada para abordar los
problemas: Comprensión de la situación problemática,
Concepción de una estrategia, Ejecución del plan, Revisión de lo
realizado.
– Examinar la comprensión cabal de los Ejercicios Resueltos de
cada capítulo.
• Final
A través de los ítemes
– Más Ejercicios Propuestos.
– Autoevaluación.
– Al término de cada capítulo se evalúa el grado de comprensión de
la información científica relevante y el grado de expresión escrita
requeridos para el tema.
• Rúbrica
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UNIDAD
OBJETIVOS
GENERALES DE LA
UNIDAD
CAPÍTULO O
TEMA
APRENDIZAJE ESPERADO
TIEMPO
HORAS
• Reconocer que las razones trigonométricas
son cuocientes invariantes entre las medidas
de los lados, en familias de triángulos
1. Medición de
rectángulos semejantes.
ángulos
• Hacer conjeturas sobre propiedades
15
geométricas en triángulos rectángulos
1. Advertir que los ángulos
semejantes y demostrarlas utilizando diversos
rectos están por doquier,
recursos argumentativos.
tanto en situaciones naturales
como en las creadas por el
ser humano.
2. Comprender y aplicar las
propiedades de los triángulos
3. Más sobre
triángulos
rectángulos
rectángulos a situaciones de
la vida social y laboral.
3. Adquirir las destrezas
para aplicar las herramientas
que provee la trigonometría
para abordar situaciones
• Resolver problemas que involucran
problemáticas.
propiedades de triángulos rectángulos;
4. Percatarse del poder de
una demostración matemática
y su significado filosófico y
trascendente.
2. Triángulos
rectángulos y
trigonometría
analizar las soluciones que se obtienen y su
pertinencia.
• Reconocer el sentido y la necesidad de la
20
demostración en Matemática y conocer la
historia del teorema de Fermat-Wiles y los
tríos pitagóricos.
12
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RECURSO DIDÁCTICO
TIPOS DE EVALUACIÓN
Triángulos rectángulos
1. Actividad Exploratoria
a. Teorema de Pitágoras
b. Semejanza de triángulos
c. Teorema de Euclides
2. Actividad Indagatoria
• Inicial
a. Unidades de medida
Observación directa del grado de comprensión de la
b. El teorema de Pitágoras en la vida real
información y expresión oral requeridos para el capítulo.
c. Tríos pitagóricos
3. Ejercicios Resueltos
• Proceso
– Cerciorarse de la metodología adoptada para
4. Ejercicios Propuestos
abordar los problemas: Comprensión de la situación
5. Actividad Experimental
problemática, Concepción de una estrategia, Ejecución
Verificación del teorema de Pitágoras
6. Computación Simbólica
del plan, Revisión de lo realizado.
– Examinar la comprensión cabal de los Ejercicios
Resueltos de cada capítulo.
Trigonometría
1. Actividad Exploratoria
• Final
A través de los ítemes
a. Razones y funciones trigonométricas
– Más Ejercicios Propuestos.
b. Ángulos especiales
– Autoevaluación.
c. Funciones trigonométricas inversas
– Al término de cada capítulo se evalúa el grado de
2. Actividad Indagatoria
a. La trigonometría en la vida real
b. El círculo unitario
comprensión de la información científica relevante y el
grado de expresión escrita requeridos para el tema.
• Rúbrica
3. Ejercicios Resueltos
4. Ejercicios Propuestos
5. Actividad Experimental
Medición de la altura de un poste
6. Computación Simbólica
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UNIDAD
OBJETIVOS
GENERALES DE LA
UNIDAD
CAPÍTULO O
TEMA
APRENDIZAJE ESPERADO
TIEMPO
HORAS
1. Distinguir con claridad que
la palabra probabilidad es un
• Reconocer variables aleatorias e
término que, perteneciendo
interpretarlas de acuerdo a los contextos en
al vocabulario corriente de
1. Nociones de
que se presentan.
las personas, se utiliza tanto
probabilidad
• Conocer la "ley de los grandes números"
para indicar una creencia
y relacionar la frecuencia relativa con la
subjetiva como para realizar
probabilidad de un suceso.
20
una estimación empírica, o
para designar una expresión
teórica bien precisa.
2. Comprender y afianzar los
conceptos de probabilidad
y probabilidad condicionada
para preparar el trabajo con
nociones de estadística
4. El estudio de las
probabilidades
inferencial en 4º año medio.
3.Construir e interpretar
2. Probabilidades
• Distinguir entre sucesos equiprobables y
y probabilidades
no equiprobables.
20
tablas y gráficos estadísticos,
brindando una excelente
oportunidad para incentivar
a los(as) estudiantes a iniciar
debates respecto a temas con
incidencia en los aspectos
valóricos, tales como las
responsabilidades en los
accidentes de tránsito, la
relevancia de la diversidad
a través de datos relativos
a los pueblos originarios, la
3. Combinatoria
básica
• Resolver problemas que requieran el cálculo
de probabilidad condicionada en situaciones
15
sencillas.
frecuencia y distribución de
los incendios forestales en
Chile y sus consecuencias,
entre otros.
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RECURSO DIDÁCTICO
TIPOS DE EVALUACIÓN
Probabilidades
1. Actividad Exploratoria
• Inicial
a. Conceptos básicos de probabilidad
Observación directa del grado de comprensión de
b. Probabilidad clásica y experimental
la información y expresión oral requeridas para el
2. Actividad Indagatoria
a. Las probabilidades en la vida real
b. Juegos de azar
c. Estadística y probabilidad
3. Ejercicios Resueltos
4. Ejercicios Propuestos
5. Actividad Experimental
Simulación computacional de la paradoja del cumpleaños
6. Computación Simbólica
capítulo.
• Proceso
– Cerciorarse de la metodología adoptada para
abordar los problemas: Comprensión de la situación
problemática, Concepción de una estrategia,
Ejecución del plan, Revisión de lo realizado.
– Examinar la comprensión cabal de los Ejercicios
Resueltos de cada capítulo.
• Final
A través de los ítemes
Combinatoria
• Más Ejercicios Propuestos.
1. Actividad Exploratoria
• Autoevaluación.
Permutaciones, variaciones y combinaciones
2. Actividad Indagatoria
La combinatoria en la vida real
3. Ejercicios Resueltos
Al término de cada capítulo se evalúa el grado de
comprensión de la información científica relevante y el
grado de expresión escrita requeridos para el tema
• Rúbrica
4. Ejercicios Propuestos
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Secuencias de las unidades del texto
Este texto pretende ser una ayuda que le ofrezca al profesorado contextos y actividades que confieren sentido
al aprendizaje de los(as) jóvenes. La secuencia de las unidades no guarda un orden temático progresivo, y
en algunas de ellas pueden encontrarse citas de unidades anteriores y también de otras posteriores.
El texto debe ser considerado a veces como una ayuda, y otras veces como texto de apoyo y motivación.
Recomendamos recurrir a él de acuerdo con las necesidades de los(as) educadores(as) y de los(as) educandos,
y abstraerse libremente de usarlo cuando se estime oportuno. No debe considerarse como un texto al cual
atenerse en forma estricta. Por el contrario, debe entenderse como un conjunto de unidades temáticas
abordables por separado y sin pretensiones de ser considerado como una secuencia correlativa.
Este texto se caracteriza por mantener un enfoque transversal, aplicado, interdisciplinario e integrador; ser
flexible, especialmente en el tratamiento de los temas, y tener siempre presentes los siguientes aspectos:
•
•
•
•
•
la valiosa experiencia personal y profesional del(de la) docente
la creatividad de profesores(as) y estudiantes
el trabajo cooperativo
el replanteamiento de las prácticas pedagógicas
la necesidad de revertir la percepción que se tiene de la Matemática como una disciplina árida, difícil e
incluso temible.
16
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PRIMERA PARTE
Orientaciones
didácticas y material
complementario
UNIDAD 1: LAS FUNCIONES RAÍZ CUADRADA Y CUADRÁTICA
Introducción
Las funciones cuadráticas y raíz cuadrada son de gran importancia en la representación de diversos procesos
y fenómenos en la ciencia, la tecnología, la economía, la salud y también en la vida cotidiana.
Es conveniente enfatizar la significación e impacto de estas funciones matemáticas: su amplia y difundida
utilización por diversas profesiones y oficios. A veces las funciones aparecen ocultas detrás de las cosas que
manipulamos los seres humanos (por ejemplo, agua potable, energía eléctrica, telefonía, componentes de una
casa, alimentos, medios de transporte, etc.). Pero los efectos que vemos llevan impresas las características de
esas funciones. Aprendiendo a operar con estas funciones, estamos en mejores condiciones para gobernar
nuestras vidas en una sociedad cada vez más compleja.
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Planificación de la Unidad
CAPÍTULO
La raíz cuadrada de
un número
TEMAS
APRENDIZAJE ESPERADO
1. Raíz cuadrada de un número
• Conocen y utilizan procedimientos de cálculo algebraico
2. Raíz cúbica
con expresiones en las que intervienen raíces cuadradas y
3. La función raíz cuadrada
cúbicas.
• Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones
de segundo grado.
• Explican los procedimientos de solución y analizan la
existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas.
• Analizan la función cuadrática y la función raíz cuadrada en
el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos,
con las correspondientes restricciones en los valores de la
La función cuadrática
1. La función cuadrática
variable.
2. Ecuaciones cuadráticas
• Reconocen limitaciones de estos modelos y su capacidad
de predicción.
• Reconocen la gráfica de la parábola e identifican algunas
de sus propiedades y aplicaciones en diversos ámbitos de
la tecnología.
• Reconocen el potencial de las funciones estudiadas para
reflejar distintos tipos de crecimiento y modelar diversos
fenómenos.
Articulación
2º MEDIO
Estudio sobre la función:
• Lineal afín
• Valor absoluto
• Parte entera
3º MEDIO
4º MEDIO
Aplicaciones de las funciones:
Las funciones:
• Función potencia
• Raíz cuadrada
• Exponencial
• Cuadrática
• Logarítmica
CONTENIDO CONCEPTUAL
CONTENIDO PROCEDIMENTAL
• Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados
1. Cuadrados perfectos
con el capítulo, presentes en diversos fenómenos cotidianos.
2. Raíz cuadrada de un número
• Realizan cálculos utilizando las propiedades de las raíces.
3. Cálculo aproximado de raíces cuadradas
• Aplican los conceptos a situaciones concretas.
4. Raíz cúbica
• Identifican la gráfica de la función raíz cuadrada.
5. La función raíz cuadrada
• Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en
el texto).
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Orientaciones didácticas
Actividades motivacionales
Se trata de mostrar a los(as) estudiantes que, incluso conceptos que pueden aparecer tan arbitrarios, como
la raíz cuadrada de un número, pueden surgir, en sitios recónditos en los cuales uno no los esperaría. Claro,
porque normalmente vemos los resultados y no necesariamente cómo se llegó a ellos. Probablemente en los
circos tradicionales se usa más frecuentemente el método de ensayo y error que un análisis físico-matemático
acabado. Sin embargo, en la medida que el mundo se va profesionalizando y la competencia se torna más
intensa, entonces la ciencia tiene mucho que decir. Compañías como el Cirque du Soleil y magos como
David Copperfield sí hacen uso de la Matemática y de otras ciencias para sorprendernos.
Como opción alternativa o complementaria, para reforzar las actividades motivacionales presentadas, exponer
las unidades ¿Para qué sirve? de esta misma guía.
Conceptos clave: propiedades de la parábola
El estudio de la parábola es una gran oportunidad para entender los conceptos típicos del estudio de
funciones, y ver cómo los parámetros que la definen se expresan en su gráfica. Los(as) estudiantes ya están
familiarizados con la recta, y la función cuadrática es el primer paso hacia funciones más interesantes.
Es importante enfatizar que la parábola no solo es importante en sí misma, sino que, además, en cierta
aproximación es una representación de cualquier otra función “suave” en las vecindades de sus extremos.
Muchos fenómenos en la Naturaleza y otros fenómenos sociales tienden a “buscar” los extremos, que es
donde está el equilibrio: los ríos bajan de las montañas buscando el plano (un lago, por ejemplo), una bolita
cae por una pendiente “buscando” el suelo. Por ello hay muchas situaciones que pueden representarse por
parábolas. Para mostrar las características de la parábola conviene comenzar con funciones muy simples,
e ir variando un parámetro a la vez, de manera de apreciar cuál es el efecto que ello produce. Por ejemplo,
hay que disponer de un tiempo razonable para graficar x2 haciendo una tabla para diferentes valores de x.
Mostrar que se trata de una parábola que pasa por el origen, donde la función toma su menor valor (0 en
este caso) y hacer presente la simetría especular con respecto al eje y. Destacar que se sabía de antemano
que la función debía ser positiva o nula, por el hecho que el cuadrado de cualquier número real (negativo,
nulo o positivo) es siempre no negativo. Es una buena ocasión para introducir o recalcar la terminología
matemática y su significado (positivo, no negativo, etc.).
El paso siguiente debiera ser que los(as) estudiantes grafiquen en parejas la función y = –x2, y que relaten
qué es lo que ocurre. Posteriormente graficar colectivamente con el curso en la pizarra y = 2x2, y = 3x2 y las
mismas funciones con signo menos. Todo ello de forma tal, que quede en evidencia cómo las curvas se van
tornando cada vez más cerradas y que la orientación de la concavidad depende exclusivamente del signo
del coeficiente de x2.
Cuando ha quedado claro ese hecho, agregamos una constante al término cuadrático, es decir, consideramos
y = x2+ 1 y nuevamente la graficamos junto a y = x2 para que el efecto sea obvio: un desplazamiento de la
parábola en una unidad “hacia arriba”. Se puede analizar antes de graficar que la función no puede ser menor
que 1 por los mismos argumentos ya descritos. El efecto de agregar una constante negativa será bastante
evidente ahora, como un desplazamiento hacia abajo de la curva.
Finalmente podemos agregar a la función y = x2 un término lineal en x. Graficaremos ahora y = x2+ x. Nuevamente
la parábola pasará por el origen, pero en esta oportunidad el valor que asume la función en x = 0 no es el mínimo
valor que puede adoptar. Se puede apreciar que el vértice de la parábola se ha desplazado hacia la izquierda
en media unidad. Pero también se desplazó hacia abajo. Si se considera y = x2+ 5x, el vértice V de la parábola
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se habrá corrido 2,5 unidades hacia la izquierda (y hacia abajo), mientras que y = x2 – 4x está desplazada en 2
unidades (nuevamente la mitad del coeficiente del valor absoluto del término lineal) hacia la derecha respecto
a y = x2 (y también está corrida hacia abajo). Ya se entiende el efecto del término lineal: desplaza la parábola
hacia la izquierda o hacia la derecha, dependiendo si el coeficiente es positivo o negativo, respectivamente. Pero
también la desplaza hacia arriba o hacia abajo, dependiendo si V es un mínimo o un máximo, respectivamente.
¿Cuánto se desplaza el vértice? Todo parece indicar que se desplaza un número de unidades igual a la mitad
del valor absoluto del coeficiente lineal.
Estudiemos ahora y = 2x2– 4x, para lo cual primeramente la graficamos. Ya sabemos que se trata de la parábola
2x2 desplazada hacia la derecha. Sin embargo, vemos que el vértice se desplaza… solo 1 unidad hacia la
derecha. Si buscamos la regla general por inducción, estudiando otros ejemplos nos convenceremos que el
vértice se desplaza una distancia que es el valor absoluto del coeficiente lineal dividido por el doble del valor
absoluto del coeficiente cuadrático. De ese modo la función y = 5x2 – 4 tiene la misma forma de la parábola
y = 5x2 pero desplazada 4 = 0,4 unidades hacia la derecha. Ya estamos en condiciones de describir con
10
bastante precisión la gráfica de una función cuadrática cualquiera sin necesidad de hacer cálculos.
Presentar inductivamente las propiedades de las parábolas a través de los ejemplos expuestos en el texto,
a lo sumo, dos por clase. Conviene detenerse a reflexionar sobre las soluciones obtenidas y los conceptos
desplegados.
Tratamiento
Cálculo aproximado de la raíz de un número
Realmente hoy por hoy, casi nunca es necesario saber calcular una raíz cuadrada “a mano”, porque las
calculadoras de bolsillo (el mismo teléfono celular que tiene un alto grado de penetración en nuestro país)
nos permite calcularla. No obstante ello, lo interesante es que ya hace 4.000 años algunos pueblos de la
Antigüedad habían encontrado formas de calcular las raíces que utilizaban en sus procesos productivos y en
las construcciones de edificios y navíos. El texto presenta dos métodos para calcular en forma aproximada
una raíz. La primera de ellas, muy simple por lo demás, no ha sido encontrada en la literatura y entrega
un resultado muy preciso. El valor de hacer el cálculo a mano radica en que el proceso de realizarlo, deja
muchas enseñanzas: si A está a la derecha de la raíz cuadrada de N, entonces N , está a la izquierda de
A
la raíz cuadrada de N y viceversa. Si los(as) estudiantes logran visualizarlo, podrán seguramente conjeturar
que uno podría seguir el proceso acercándose por lado y lado. Las aproximaciones sucesivas para obtener
un resultado es una metodología que es aplicable a otras situaciones en la vida.
Material complementario: ¿Para qué sirve?
La contrucción de motivaciones
¿Para qué sirve? ¿Cuántas veces hemos escuchado esta pregunta recurrente de nuestros(as) estudiantes?
Cuando estamos por presentar un elegante método para resolver sistemas de ecuaciones lineales, en muchas
ocasiones nos interrumpen para preguntarnos: “¿Para qué sirve?” Cuando estamos orgullosos de la clase
que preparamos para analizar la parábola, cómo se encuentran sus intersecciones con los ejes coordenados,
cómo se encuentran las coordenadas del vértice, en qué tenemos que reparar para saber si la parábola está
abierta hacia arriba o hacia abajo, o si es más plana o más cerrada… “¿Y para qué nos sirve?”, preguntan
casi al unísono nuestros(as) estudiantes. Ni hablar de cuando estamos por comenzar nuestra presentación
sobre análisis combinatorio o probabilidades condicionales.
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Estamos tentados de decirles (y a veces lo hacemos) que la Matemática es importante per se, por el simple
hecho de que es una forma de conocimiento; que es una disciplina que por miles de años ha preocupado
y han cultivado los diferentes pueblos de la Humanidad; que las grandes civilizaciones han hecho aportes
significativos a su desarrollo; que conviene estudiar Matemática, porque nos estructura la mente, favorece
nuestra capacidad de razonamiento lógico, entrena el rigor, fomenta la disciplina, aumenta la capacidad de
abstracción, estimula los procesos cognitivos de alto nivel, refuerza la inteligencia espacial, etc.
Todo ello es verdad, de acuerdo a lo que nuestra propia experiencia nos indica, pero es respuesta insuficiente
para nuestros estudiantes, que igualmente preguntan: “Pero, ¿para qué nos sirve?, si yo quiero ser abogado”
(o psicóloga, o reemplácelo usted por cualquier otra actividad en la que –de acuerdo a lo que ellos creen– la
Matemática es inútil).
Dado que la mayor parte de las veces estos argumentos no surten el resultado que esperamos, quizás vale la
pena generar un banco de datos que permita responder con solvencia la pregunta de marras. En ocasiones
valdrá la pena tener más de una respuesta como modo de convencer a mentes que requieren de ejemplos
provenientes de diferentes ámbitos.
Lo que intentaremos hacer en esta sección es proveer a los(as) docentes de una batería de motivaciones
que –lejos de ser las únicas posibles, o las más originales, o las más simples o significativas y mucho menos
de tener pretensiones de exhaustividad– proveen una fuente de inspiración, para que la respuesta tenga
sentido sobre estudiantes con diferentes estilos de aprendizaje, con distintos intereses, con mayores o
menores destrezas matemáticas.
Las fuentes de estas motivaciones son en algunos casos las ciencias básicas, las ciencias de la ingeniería, las
ciencias de la salud, las ciencias sociales, las artes, el mundo de los negocios, las actividades económicas
como la agricultura o la minería, el transporte, la propia educación, pero también influyen en la vida cotidiana
y familiar, la entretención, los juegos de salón, los problemas de ingenio, la magia y las meras ganas de
descubrir otra manera de hacer las cosas.
Más que tratar de buscar aplicaciones para cada tema, que también es una alternativa válida, lo que los autores
han hecho es ir acumulando en su quehacer profesional y en la vida cotidiana situaciones en las cuales la
Matemática tiene algo interesante que decir. A veces su contribución puede ser apenas marginal, en otras
oportunidades su aporte puede ser más generoso y en ocasiones, insustituible.
Por ello encontraremos en este texto aplicaciones de la Matemática proveniente de los grandes temas en
los que ella está constante y profusamente presente, como es el caso de la física, la química y la biología.
De igual modo, algunos ejemplos provendrán de la meteorología u otras ciencias de la Tierra y del espacio.
En ocasiones, de la estadística o las ciencias de la informática. No hemos dejado de lado las ciencias de la
salud, ni las ciencias económicas, e incluso, en algunos casos, ciertas aplicaciones se proyectan a las ciencias
sociales y al derecho. Veremos la Matemática en el mundo de los negocios y en la dieta alimentaria.
Por motivos de espacio estamos dejando temporalmente de lado las múltiples aplicaciones de la Matemática
a aspectos tan relevantes como el cuidado del medio ambiente y materias vinculadas a la generación y el
uso eficiente de la energía, entre muchos otros ámbitos del quehacer humano. Porque resulta realmente
difícil mencionar una actividad en que la Matemática no esté presente en alguna de sus diferentes
manifestaciones.
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1. El valor de las redes sociales crece cuadráticamente
La interacción entre personas produce efectos nuevos. Esto queda en evidencia en la relación entre mujer
y varón. Las interacciones humanas van mucho más allá de sus condicionantes biológicas. Podemos
apreciarlas en los equipos de trabajo, en el apoyo mutuo de las familias, en las redes de asistencia social,
en el desarrollo de los mercados, en las acciones de solidaridad para enfrentar situaciones graves, en
los juegos deportivos, etc.
En todos estos casos, mientras más personas participan, mayor es la variedad de contribuciones
específicas que pueden hacer, por lo tanto, de valor social.
Para ilustrar esto, veamos el caso de las telecomunicaciones (ya sea telefonía, internet u otros
medios).
Si consideramos dos personas (P1 y P2), entonces la cantidad de vínculos que pueden establecer es 1 (v12).
P1
P2
V12
Si consideramos tres personas (P1, P2 y P3), entonces la cantidad de vínculos es 3 (v12, v13, v14).
V23
P3
V13
P2
V12
P1
Si consideramos cuatro personas (P1, P2, P3 y P4) entonces la cantidad de vínculos es 6 (v12, v13, v14, v23,
v24,v34).
V3,4
P4
P3
V24
V2,3
V14
V13
P1
22
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V12
P2
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Si ahora consideramos n personas, ¿cuántos vínculos se producen? Veamos:
P1 produce (n – 1) vínculos con las otras (n – 1) personas (P2, P3 ... Pn).
P2 produce (n – 2) vínculos con las otras (n – 2) personas (P3, P4 ... Pn).
.
.
.
Pn – 2 produce 2 vínculos con Pn – 1 y Pn
Pn – 1 produce 1 vínculo con Pn
La cantidad de vínculos N asciende a N = 1 + 2 + ... + (n – 2) + (n – 1), lo que corresponde a:
N=
n(n – 1)
2
=
n2 n
–
2
2
Tabulando y graficando:
I
20
N
I
1
0
2
1
3
3
4
6
5
10
6
15
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
N
Tenemos entonces que la cantidad N de vínculos posibles en una población de n personas crece
cuadráticamente. Por ello, en una empresa telefónica la cantidad de abonados es importante, tanto
para los usuarios como para la misma empresa. En efecto, mientras más abonados, los usuarios tienen
más posibilidades de vincularse con otros. Asimismo, como la empresa puede ofrecer servicio a más
personas, entonces las ventas son mayores y, por lo tanto, la empresa tiene un mayor valor en el mercado.
Este factor cuadrático encierra también otra implicación importante: la tendencia a la concentración.
En efecto, si dos empresas compiten en un mismo mercado en condiciones semejantes (recursos,
innovación, etc.), pero con diferentes cantidades n y m, entonces aquella con más abonados está en
posición más favorable para desarrollar su negocio.
Supongamos que la cantidad de servicios que vende una empresa a sus afiliados es proporcional a la
cantidad de vínculos (N), entonces, los ingresos de la empresa (I) se pueden expresar como:
I = kN
Donde k es el coeficiente de proporcionalidad que depende de la tecnología, la comercialización y otros
factores.
Entonces, para la empresa A de n afiliados: IA = kA n 2 – n
(
y para la empresa B de m afiliados: IB = kB
( m2
2
– m
2
2
)
)
2
2
I
Si suponemos que kA = kB, entonces tendremos: B = m 2 – m
IA
n –n
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Si los afi liados de B son el doble de los afi liados a A, entonces m = 2n de lo cual se obtiene:
IB = (2n) 2 – 2n = 2
n2 – n
IA
2n 2 – n
n2 – n
Si los afiliados de B son el triple de los afiliados de A, entonces m = 3n, de lo cual se obtiene:
IB = (3n)2 – 3n = 3 3n2 – n
IA
n2 – n
n2 – n
y así sucesivamente. Tabulando estos resultados para diferentes poblaciones de afiliados tendremos:
Relación
n
IB
IA
m = 2n
m = 4n
100.000
4,00002
16,00012
500.000
4,000004 16,000024
1.000.000
4,000002 16,000012
De aquí se puede observar que para grandes poblaciones los ingresos crecen aproximadamente con
el cuadrado de los afiliados.
Es decir, cuando n es grande: I = k
(
n2 – n
2
2
)≈
k n2
2
Por lo que en el ejercicio de las empresas A y B:
IB ≈ m 2
IA
n2
Y si la población m es mayor que la población n, m = rn, entonces:
IB ≈ (rn) 2
IA
n2
IB ≈ r 2
IA
Vemos un caso muy frecuente de competencia entre dos empresas de telecomunicaciones A y B. Supongamos
que A tiene 500.000 afiliados y B tiene 1 millón de afiliados. Producto de sus estrategias comerciales, el
objetivo de A es lograr incorporar 200.000 afiliados más y el de B lograr incorporar 300.000 afiliados más,
de los cuales 100.000 corresponden a personas que se desafilian de A. ¿Cómo evolucionan los ingresos
sociales de ambas empresas, si todos los demás factores permanecen constantes?
La nueva población de la empresa A es:
n = 500.000 + 200.000 - 100.000 = 600.000
inicial
nuevos
afiliados
desafiliaciones
total
La nueva población de la empresa B es:
m = 1.000.000 + 300.000 – 0 = 1.300.000
inicial
nuevos
afiliados
desafiliaciones
total
Luego, la relación entre las poblaciones es: r = m = 1.300.000 = 2,166
n
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600.000
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Luego, la relación entre los posibles ingresos de la empresas: IB ≈ r 2 = 4,694
IA
Este ejemplo del ámbito de las telecomunicaciones está, naturalmente, simplificado para poder mostrar
el efecto del factor cuadrático. Mucho de lo que ocurre en este ámbito, ya sea de carácter tecnológico,
económico y social, tiene su base en esta función matemática.
Hoy es común referirse a esto como un fenómeno de red. El poder de la red radica en varios factores.
Posiblemente, el factor más relevante es el factor n2.
Un ejemplo magnífico de este poder está en la organización social para entregar la alimentación y
mejorar la salud.
2. Crecimientos lineales y no lineales
Un avance importante en la comprensión de los procesos físicos fue la determinación de relaciones no
lineales entre las variables, en particular, de carácter cuadrático o de raíz cuadrada.
Consideremos, por ejemplo, la cinética que se produce en ciertas reacciones químicas asociadas a la
transformación de la materia.
Un producto A se produce a partir de la combinación de insumos B y C en determinadas condiciones
de temperatura y presión. La cantidad de productos A generada (M medida en kg/h) se ha determinado
que cumple las siguientes relaciones con la temperatura, dependiendo de las otras condiciones (masa
de los insumos y presiones):
R 1: M = a T 2
R 2: M = b T
R 3: M = c T
Analicemos los crecimientos de masa M para estos tres tipos de relaciones, teniendo presente que:
T se mide en °C
M se mide en kg/h
kg
h(°C) 2
kg
b = 0,1
h(°C)
a = 0,0001
kg
c = 10
h(°C)1/2
Tabulando y graficando tendremos:
T (ºC)
M = aT2
M = bT
M=c T
1.000
100
100
100
1.100
121
110
104,87
1.200
144
120
109,53
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Observamos que para 1.000 °C, las tres curvas de crecimiento representan la misma producción de 100 kg/h.
Pero, a medida que crece la temperatura, los valores de cada curva resultan ser muy diferentes. En particular,
en los intervalos (1.100 °C; 1.200 °C) tenemos que las masas aumentan:
R1 : (121 ; 144) (kg/h)
R2 : (110 ; 120) (kg/h)
R3 : (104,87 ; 109,53)(kg/h)
Una forma canónica de representar este tipo de ecuaciones es desplazándolas al origen. Para ello,
consideramos:
x = T – 1.000
y = M – 100
entonces tendremos:
R1: a (x + 1.000)2 – 100
R2: b (x + 1.000) – 100
R 3: c
x + 1.000 – 100
Ahora, tabulando y graficando, tendremos:
x
– 100
– 50
R1
R2
y = a(x + 1.000)2 – 100
y = b(x + 1.000) – 100
100
y=c
x + 1.000 – 100
– 19,00
– 9,75
– 10,00
– 5,00
– 5,14
– 2,54
0,00
0,00
0,00
10,25
5,00
2,46
21,00
10,00
4,87
0
50
R3
A partir de este ejemplo de reacciones químicas
y producción de masa, podemos apreciar la
diferencia entre las funciones cuadrática, lineal
y raíz cuadrada.
Para comprenderlas mejor, analicemos las
funciones siguientes:
R1:y = x2
R2:y = x
R3:y = x
26
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Tabulando, tendremos:
R1
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y=x
R2
2
16
9
4
1
0
1
4
9
16
y=x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
R3
y=
x
N.E.
N.E.
N.E.
N.E.
0
1
1,41
1,73
2
Desarrollando más el intervalo [0, 1] en x:
R1
x
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
y=x
R2
2
0,00
0,04
0,16
0,36
0,64
1,00
R3
y=x
y=
x
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00
0,45
0,63
0,77
0,89
1,00
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27
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3. Construcción de recipientes
La construcción de recipientes (en particular de envases) plantea problemas de importancia para la
aplicación de funciones cuadráticas.
Veamos el diseño de canaletas a partir de láminas metálicas de ancho a (cm).
L
b
a
b
a – 2b
L
El volumen máximo de agua que puede admitir la canaleta es: V = (a – 2b)bL.
Se puede observar que si b = 0 ó b =
a
se tiene que el volumen V = 0.
2
¿Cuáles son las dimensiones a y b para que V sea máximo?
El valor de V es máximo cuando A = V = (a – 2b)b es máxima.
L
Tabulando y graficando para distintos valores de b:
V = b(a – 2b)
L
b
0
0
0,1 a
0,080 a2
0,2 a
0,120 a2
0,25 a
0,125 a2
0,3 a
0,120 a2
0,4 a
0,080 a2
0,5 a
0
La función asume su valor máximo cuando b = a
4
4. Evaluaciones
Evaluación 1
1) Evalúa la expresión
1 – 25 + 19
64
32
2) Calcula 2010 “a mano”, indicando claramente el procedimiento utilizado. Encuentra la diferencia
porcentual del valor que resulta con 2010 = 44,833024 obtenido con una calculadora de bolsillo.
3) Usando los métodos de su texto, tres jóvenes de Tercero de Educación Media obtienen las siguientes
aproximaciones para 40 :
Celia
28
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40 ≈ 329
52
Ramiro
40 ≈ 19
3
Pamela
40 ≈ 89
14
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Explica qué procedimiento siguió cada uno de ellos y reproduce sus resultados. Compáralos con el valor
40 ≈ 6,3245553 obtenido con una calculadora de bolsillo. ¿Cuál obtuvo el valor más cercano? ¿Cuál el
más lejano?
4) Una persona se desplaza de A hasta B y enseguida a C, caminando siempre en línea recta. Las coordenadas
de dichos puntos (expresadas en km) son:
A = (–2; 5) B = (–5; –5)
C = (2; 5)
En tal caso, ¿cuál es la alternativa que más se aproxima a la distancia que recorre?
a) 12,28 km
c) 14,44 km
b) 16,21 km
d) 15,83 km
e) 22,65 km
Evaluación 2
1) La tabla muestra los valores que adopta la función y(x) para algunos valores de x
x
y
0
1
1
–2
2
–19
3
–62
4
–143
Entonces, ¿cuál es la alternativa correcta?
a) y(x) = –2x3 – x2 + 1
d) y(x) = –2x3 + x2 + 2
e) y(x) = –2x3 + x2 – 1
b) y(x) = –2x3 – x2 + x + 4
3
2
c) y(x) = 5x – x + 3
2) La tabla corresponde a la función y(x) = –2x2 + 2
x
y
–1
0
–0,5
0
2
0,5
1
1,5
–2,5
2
Entonces, de izquierda a derecha los valores que deben insertarse en las celdas vacías son,
respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
–0,5
1,5
4,5
1,5
3,5
1,5
1,5
4,5
–1,5
3,5
3
0
1
0
3
8
–6
–4
6
–5
3) Si tI es la abscisa (coordenada horizontal) del punto de intersección de la recta x = 9t con la parábola
x = 6t2 + 21t – 18, para la cual t > 0, calcula tI .
Evaluación 3
1) Una de las soluciones de la ecuación 2x + 57 + 2x + 16 =
x2 – 1
x–1
Encuentra la otra.
x+1
x–1
es x = –8.
2) Encuentra el valor de k en la ecuación 2kx2 – 4x2 + 18x – 3 = 0 para que la suma de sus raíces sea igual a 1.
3) Si xI es la ordenada (coordenada vertical) del punto de intersección de la recta x = 2t con la parábola
x = 2t2 + 14t – 18, para la cual t > 0, calcula xI .
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29
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UNIDAD 2: INECUACIONES LINEALES
Planificación de la Unidad
CAPÍTULO
TEMAS
APRENDIZAJE ESPERADO
• Representan situaciones de la vida que se pueden abordar mediante
El mundo que
percibimos y el que
construimos
• Desigualdades
desigualdades e inecuaciones lineales.
• Relaciones de orden en R
• Efectúan planteamientos matemáticos utilizando intervalos de números
reales, desigualdades e inecuaciones lineales.
Solución de
inecuaciones lineales
Estudio de
desigualdades
literales
• Inecuaciones lineales
• Sistemas de inecuaciones
lineales
• Inecuaciones lineales con
valores absolutos
• Conocen y aplican procedimientos para resolver inecuaciones lineales o
• Geometría dinámica
• Desigualdades literales
• Sucesiones
• Composiciones
• Analizan e interpretan la existencia y característica de las soluciones de
sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
• Plantean y resuelven problemas que involucran inecuaciones y sistemas
de inecuaciones lineales con una incógnita.
inecuaciones y sistemas de inecuaciones.
• Distinguen las ecuaciones e inecuaciones en relación a los fenómenos y
procesos que representan.
Articulación
2º MEDIO
3º MEDIO
• Resolución de ecuaciones con una
incógnita en primer grado
• Sistemas de inecuaciones lineales
CONTENIDO CONCEPTUAL
4º MEDIO
• Manejo de operatoria algebraica clásica
CONTENIDO PROCEDIMENTAL
• Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados con el capítulo, presentes en
diversos fenómenos cotidianos.
• Desigualdades
• Ordenan conjuntos de números irracionales.
• Relaciones de orden en R
• Conocen el concepto de intervalos en los reales.
• Aplican los conceptos a situaciones concretas.
• Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en el texto).
• Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados con el capítulo, presentes en
1. Inecuaciones lineales
diversos fenómenos cotidianos.
2. Sistemas de inecuaciones lineales
• Describen situaciones de la vida real mediante desigualdades e inecuaciones.
3. Inecuaciones lineales con valores
• Resuelven inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
absolutos
• Aplican los conceptos a situaciones concretas.
• Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en el texto).
1. Geometría dinámica
2. Desigualdades literales
3. Sucesiones
4. Composiciones
30
• Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados con el capítulo, presentes en
diversos fenómenos cotidianos.
• Aplican los conceptos a situaciones concretas.
• Demuestran y generan desigualdades literales.
• Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en el texto).
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Orientaciones didácticas de las unidades
Actividades motivacionales
Desde pequeños aprendemos a clasificar, a construir secuencias, a realizar las cosas en cierto orden. Nos
resulta tan natural, que no nos damos cuenta de ello. Cada cual tendrá sus propias costumbres, pero nos
levantamos, nos lavamos los dientes, nos duchamos, nos vestimos, tomamos desayuno, vamos al trabajo
y así sucesivamente cumplimos con una cierta rutina, hasta que en la noche nos acostamos a dormir. No
es frecuente (ni práctico) que un día nos duchemos a media mañana, desayunemos al mediodía, vayamos
al trabajo a media tarde y nos acostemos de madrugada. Quien así lo hace, es probable que siga una rutina
diferente, pero al fin y al cabo una rutina.
El orden ayuda a realizar tareas con más facilidad y control, nos ahorra tiempo y en ocasiones puede ser un
aporte estético. Ordenamos nuestra ropa para encontrarla sin dificultad y para no estropearla. Mantenemos
nuestros apuntes y libros de estudio ordenados para estudiar con agrado. En el colegio nos clasifican por
edad; podemos votar en las elecciones parlamentarias y tener licencia de conducir cuando cumplimos 18
años; en el supermercado los alimentos están clasificados de acuerdo a ciertas categorías (frutas, verduras,
carnes, legumbres, etc.) y en subcategorías: las frutas pueden ser naranjas, manzanas, peras, etc., y las
manzanas, a su vez, pueden ser verdes o rojas, y cada una de ellas con sus propias variedades. También se
clasifican los productos por sus precios y calidades. Cada vez que queremos entender mejor algo, partimos
por clasificarlo: duro o blando, áspero o suave, grande o chico, pesado o liviano, vivo o inanimado, vegetal
o animal, y todo ello con sus respectivas gradaciones.
Cuando queremos estudiar un trozo de material, por ejemplo, un pedazo de metal desconocido, lo pesamos
(o más precisamente lo masamos, es decir, medimos su masa), medimos su volumen, observamos su color,
su dureza y su textura. Hay ciertas cosas que lo caracterizan (en el caso del trozo de metal no es ni su
volumen ni su masa (ambos fáciles de determinar), pero sí el cociente masa/volumen que conocemos como
densidad. Si ese número resulta ser 19,32 gr/cm3… ¡estamos con suerte, porque se trataría de un pedazo
de oro! Pero si resulta ser 18,9 gr/cm3… ¡cuidado, que es uranio!
Los metales tienen densidades perfectamente definidas. Si consideramos a los más conocidos, las densidades
son Aluminio: 2,7gr/cm3; Cinc: 7,3 gr/cm3; Hierro: 7,87 gr/cm3; Cobre: 8,96 gr/cm3; Plata: 10,49gr/cm3; Plomo:
11,36 gr/cm3; Mercurio: 13,55 gr/cm3; Oro 19,32 gr/cm3. Ahí están los metales ordenados de acuerdo a su
densidad de menor a mayor. Esa es una forma absoluta de ordenamiento. Podríamos ordenarlos de acuerdo
a su precio, pero en ese caso dependería de cuándo y dónde lo hacemos. Ese sería un ordenamiento
relativo, porque la densidad es una magnitud medible (con un instrumento), mientras que el precio, a pesar
de estar representado por un número, es un atributo: el cobre tiene un precio hoy y puede tener un precio
muy diferente mañana.
Como opción alternativa o complementaria, para reforzar las actividades motivacionales presentadas, exponer
las unidades ¿Para qué sirve? de esta misma guía.
Concepto clave: Intervalos
En Matemática las relaciones de orden quedan operacionalizadas por los símbolos , <, > y . Hay que insistir
en el hecho que, por muy parecidos que puedan ser entre sí algunos de esos signos, tienen significados muy
diferentes. Los signos < y > definen intervalos abiertos y lo que se llaman cotas estrictas. Cuando decimos
que un número x < 5, estamos diciendo que el número es menor que 5 y nunca puede adoptar el valor 5, ni
valor alguno mayor que 5. Es decir, x puede ser 3, o bien –18. Y también puede ser 4,9 ó 4,99999999, pero
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31
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no 5. Simbólicamente se dice que x pertenece al intervalo abierto que va desde –∞ a 5, pero nunca asume
esos valores. Escribimos x ∈ (–∞ ; 5). Si x ≤ 5 se dice que x pertenece al intervalo abierto por la izquierda y
cerrado por la derecha que va desde –∞ a 5, pero que puede asumir el valor 5. Escribimos x ∈ (–∞ ; 5].
Tratamiento
Presentar inductivamente las propiedades de las desigualdades a través de los ejemplos expuestos en
el texto, a lo sumo dos por clase. Conviene detenerse a reflexionar sobre las soluciones obtenidas y los
conceptos desplegados.
Material complementario: ¿Para qué sirve?
1. Distribución de presupuesto
En el año 2005, el presupuesto de una familia para comprar carne era de $ 50.000 al mes y considera
pollo (a $ 1.000 el kg) y vacuno (a un promedio de $ 2.500 el kg).
¿Cuántos kilogramos de carne se pueden adquirir con este presupuesto?
Es decir:
q: cantidad de kg de pollo
v: cantidad de kg de vacuno
Entonces: 1.000 · q + 2.500 · v ≤ 50.000
Todos los puntos bajo la recta definida por la siguiente ecuación cumplen la desigualdad planteada:
1.000q + 2.500v = 50.000, simplificando por 500:
2q + 5v = 100
o bien
v = 20 – 2 q
5
Representando gráficamente:
25
20
v (kg)
v(kg)
v = 20 – 2 q
5
15
10
5
50
0
q (kg)
q(kg) 50
Esta ecuación se acostumbra llamar recta de sustitución, pues muestra las relaciones de intercambio
entre cantidades de un producto (pollo) por cantidades de otro (vacuno).
El presupuesto de $ 50.000 permite muchas combinaciones posibles. Por ejemplo:
32
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q (kg) v (kg)
Gastos ($)
Cantidad total de carne (kg)
6
25.000
16
15
8
35.000
23
5
12
35.000
17
0
20
50.000
20
40
1
42.500
41
10
Se puede observar que diferentes cantidades de carne pueden ser adquiridas con ese presupuesto.
¿Cuál combinación elegir? Hay una infinidad de posibilidades. Las preferencias del consumidor y otros
factores ayudan a decidir.
Por ejemplo, si entre los miembros de la familia las preferencias se inclinan por que se consuma al
menos dos veces más pollo que carne, entonces tendremos: q > 2v, es decir, todos los valores que
están bajo la recta v = 2 q.
5
Poniendo esta desigualdad en el mismo gráfico anterior:
v (kg)
25
v(kg)
20
v = 20 – 2 q
5
15
v= 2q
v = 2q/5
5
10
5
50
0
q(kg)
50
q (kg)
Ahora las soluciones posibles son menos, pero todavía muchas. Por ejemplo:
30
qv(kg)
(kg) v (kg)
Gastos ($)
Cantidad total de carne (kg)
25
10
4
20.000
14
20
9
42.500
29
20
30
6
45.000
36
50
0
50.000
44
1
46.500
15
50
v = 2q/5
45
Consideremos ahora otra decisión. La madre desea impulsar que la familia consuma más vegetales y
menos carne. Por10
ello, promueve la iniciativa de que su familia no consuma más de 30 kg de carne por
mes.
5
Ahora tenemos que: q + v ≤ 30 es decir, todos los valores que están bajo la recta: v 50
= 30 – q.
0
q(kg)
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5
50
0
30
q(kg)
v (kg)
v(kg)
25
v = 30 - q
20
2q
v v= =2q/5
5
15
10
v = 20 – 2 q
5
5
50
0
30
q(kg)
50
q (kg)
Nuevamente se ha reducido el espacio de soluciones, aunque todavía hay muchas posibilidades. Veamos:
q (kg) v (kg)
Gastos ($)
Cantidad total de carne (kg)
20
8
40.000
28
30
0
30.000
30
10
4
20.000
14
18
6
33.000
24
28
1
30.500
29
Con este ejercicio podemos apreciar que un presupuesto se puede administrar de muchas maneras
diferentes. Hay varias opciones. Esta es una de las claves de las decisiones humanas. Vemos así cómo
las desigualdades e inecuaciones ayudan a tomar mejores decisiones.
Este ejercicio se puede hacer más complejo (por ejemplo, agregando a la dieta un tercer tipo de carne,
como el cerdo), pero el tratamiento es similar. También se puede agregar otro factor de decisión (por
ejemplo, la cantidad de proteínas o de colesterol).
2. Precios y utilidades en los negocios
Las personas hacen operaciones de compra y venta para obtener bienes y servicios. Cuando estas
operaciones se efectúan como negocio, es importante la utilidad que se genera. La actividad de las
empresas está basada en este concepto.
Consideremos una pequeña empresa que vende un solo producto (caso poco frecuente, pero que consideraremos así por simplicidad en este ejercicio): lápices.
En cada lápiz hay un un costo por materiales y trabajo de: C = $ 30 por lápiz
Además, para producir y vender los lápices y otros trabajos generales (por ejemplo, de infraestructura), la
empresa incurre en un costo fijo de: Cf = $ 2.400.000 por mes y se desea obtener una utilidad de a lo menos
$ 1.000.000, que constituye su renta, es decir, u > $ 1.000.000.
Aquí se presentan dos decisiones típicas: a qué precio vender (p) y cuántos lápices vender (n).
La utilidad está dada por:
34
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u = Ingresos – gastos
con:
ingresos
gastos
entonces:
= np
= nC + Cf
u = np – (nC + Cf ) ⇒ u = n (p – C) – Cf
Como u > 1.000.000 y reemplazando los valores dados, resulta:
n (p – 30) – 2.400.000 > 1.000.000
de donde,
n (p – 30) > 3.400.000,
lo cual significa que
n > 3.400.000 , p ≠ 30
p – 30
El primer esfuerzo que hace el empresario es considerar el precio que tienen sus competidores. Consideren que uno de ellos sea p1 = $ 120 y el otro p2 = $ 80.
Entonces, las cantidades de lápices para vender son:
n1 > 3.400.000 para p1 = 120 ∴ n1 > 34.000 lápices
130 – 30
n2 > 3.400.000 para p2 = 80
80 – 50
∴ n2 > 68.000 lápices
Se puede observar que la variación de precios tiene un significativo impacto en la cantidad de producto
por vender.
Otro elemento que participa en este tipo de análisis es la capacidad de fabricación de la empresa. Supongamos que esta es de 50.000 lápices por mes; nos preguntamos ahora a qué precio se debe vender
para obtener la utilidad que pretende.
n ≥ 3.400.000
130 – 30
n ≤ 50.000
⇒
3.400.000 ≤ n ≤ 50.000
p – 30
Para que esta inecuación tenga solución, es necesario que el precio sea tal, que no se alcancen a igualar
los miembros derecho e izquierdo. Es decir, que no ocurra:
lo que se da cuando:
3.400.000
= 50.000
p – 30
p = 3.400.000 + 30 = 98
50.000
Luego, debe cumplirse que p > 98
En forma más general, podemos hacer el siguiente tratamiento para encontrar el precio de venta p de
un artículo, si el costo unitario es C y los costos fijos son Cf, dada la condición que la utilidad en su
venta sea mayor que un valor U0.
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35
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Considerando que la utilidad está dada por: U = n (p – C) – Cf , donde
n es la cantidad de productos vendidos
C el costo fijo unitario
Cf el costo fijo de la operación
Como se desea: U > U0, entonces n (p – C) – Cf > U0 de donde:
p > U0 + Cf + C
n
Al mismo tiempo, si se quiere que el precio del producto p sea menor que el precio pL de la competencia:
p < pL
Por consiguiente, combinando ambas inecuaciones:
U0 + Cf + C < p < p
L
n
De donde resulta que: n >
U0 + Cf
pL – C
3. Gestión de la dieta alimentaria
Un tema característico de aplicación de desigualdades e inecuaciones se produce en la gestión de la
dieta alimentaria de las personas.
Consideremos, por ejemplo, que una persona desea alimentarse bien y en el marco de un presupuesto
determinado. La calidad alimentaria puede concebirse a partir de los nutrientes y sus efectos. Componentes tales como las proteínas, vitaminas, grasas, hidratos de carbono, agua, minerales y otros, son
claves en la renovación de los tejidos y la salud de los cuerpos. La cantidad de calorías es una de las
medidas características de la ingesta alimentaria, aunque naturalmente es parcial, pues refleja el efecto
de solo parte de sus componentes.
Si una persona consume la cantidad de A gramos de alimento por día (sumando todos los tipos de alimentos
que ingiere), entonces la cantidad de calorías consumidas es cA, donde c es la cantidad media de calorías por
gramo. Para que una persona pueda mantenerse debe consumir suficientes calorías para compensar el gasto g
de energía que realiza su cuerpo (metabolismo, ejercicios físicos, regulación de temperatura).
Si cA > g, entonces la persona consume más calorías que las que necesita para vivir y tiende a engordar. Si cA < g, entonces la persona insume menos calorías que las que su cuerpo necesita y, por
consiguiente, tiende a consumir las reservas que tiene y a enflaquecer.
Por lo tanto, el insumo de calorías cA debe ser cercana al gasto. Esto se puede expresar mediante la
desigualdad cA - g < d, donde d es un valor pequeño comparado con el gasto g. Podemos considerar
que d es proporcional al gasto, esto es, d = ag, donde a es un coeficiente que puede ser 5% – 10%
para una persona sana.
Por consiguiente, cA – g < ag, desarrollando: – ag < cA – g < ag, de donde g – ag < cA < g + ag,
por lo que (1 – a)g < cA < (1 + a)g, es decir, 1 – a g < A < 1 + a g
c
36
c
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En la recta numérica:
A (cantidad de alimento)
1–a g
c
1+a g
c
Podemos apreciar que la cantidad de alimento a consumir depende del gasto energético g y de la capacidad energética de los alimentos que consume (c).
Algunos valores típicos pueden ser:
• g: 1.000 - 2.500 calorías/día
• c: 0,5 - 2 caloría/gramo de alimento
• a: 5% - 10%
Tabulemos, a modo de ilustración, algunos casos:
g
c
a
1–a g
c
1+a g
c
1.000
1.500
2.000
2.100
2.000
2.000
1
1
1
1
0,5
2
0,10
0,10
0,10
0,10
0,10
0,10
900
1,350
1,800
1.890
3.600
900
1.100
1.650
2.200
2.310
4.400
1.100
Es decir, los valores de los intervalos de A ∈
(
1–a g, 1+a g
c
c
)
son muestras.
Ahora bien, las desigualdades provenientes por la calidad de los alimentos no es única. También podemos considerar otra. Por ejemplo, que la adquisición de los alimentos no supere el límite de presupuesto
disponible.
Así tendremos que pA ≤ P, donde p representa el precio promedio de los alimentos ingeridos ($/gr) y
P es el presupuesto diario disponible para alimentación ($/día), de donde resulta que:
A≤ P
p
De esta manera, representando las desigualdades en la recta numérica:
A (cantidad de alimento)
1–a g
c
P
p
1+a g
c
Pero aún podemos considerar otras desigualdades que restringen el valor que puede adoptar A. Por
ejemplo, si la persona en cuestión está con sobrepeso y desea disminuirlo, entonces deberá someterse
a una dieta asistida por un profesional. En ese caso, la ingesta de calorías deberá ser menor que el
gasto, es decir:
cA < g, lo que implica A < g
c
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Representando estas tres desigualdades en la recta numérica:
A (cantidad de alimento)
1–a g
c
g
c
Donde hemos supuesto que
alimento, será el intervalo:
1+a g
c
P
p
g
P
<
. Luego, la solución en este caso, sobre la cantidad A de
c
p
(
1–a g, g
c
c
)
Conceptos y técnicas clave para el tratamiento de desigualdades e inecuaciones
El tratamiento de desigualdades e inecuaciones es, en general, simple, porque se puede apoyar en
los modelos mentales intuitivos de las personas. Existen algunos conceptos y técnicas, pocos, pero
clave.
a) Las desigualdades ordenan, separan, permiten clasificar en tantas categorías como se quiera. Por
ejemplo:
• Edad: infante < adolescente < adulto joven < anciano.
• Localización geográfica medida por latitud:
extremo norte < norte < centro - norte < centro < centro - sur < sur < extremo sur
Por consiguiente, es posible realizar muchos tipos de ejercicios diferentes consistentes en definir un
atributo o propiedad de un proceso físico o social y, a partir de ellos, clasificar los componentes.
b) Las desigualdades permiten poner en evidencia que las comparaciones dependen de los criterios del
que las hace.
En efecto, al considerar un grupo de personas, un observador externo A las puede comparar sobre la base
de su edad y clasificarlas de menor a mayor. Un observador externo B, en cambio, prefiere compararlas
sobre la base de su nivel educacional y las clasificará desde menor a mayor nivel de escolaridad. Un
observador externo C prefiere compararlas por su peso corporal y, por lo tanto, las clasificará desde las
más livianas a las de mayor peso. Un cuarto observador D prefiere clasificarlas por su riqueza material
y, por lo tanto, las ordenará desde más pobres a más ricos.
He aquí diferentes formas de observar la realidad. Cada cual ordena y clasifica como desea. Las conversaciones humanas cotidianas lo reflejan constantemente.
Asimismo, los sujetos comparados y clasificados (en este caso, los miembros del grupo en cuestión)
pueden quedar en diferentes posiciones de las diversas escalas (como las definidas por los observadores A, B, C, D, en el ejemplo). Por consiguiente, tampoco existe una condición única para el sujeto
comparado. Se puede ser mayor en algo y menor en otro. Este hecho tiene importantes implicaciones
valóricas.
c) Las desigualdades, aunque de amplio y profundo uso, no se pueden aplicar a todos los procesos de
la realidad natural, social o artificial. Veamos algunos ejemplos:
• sexo de los animales: macho y hembra
• estado civil de una persona: casado, soltero
• tipo de vehículo: automóvil, camión, microbús, avión, buque, bicicleta
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En todos estos casos la condición específica no se puede comparar en el sentido de mayor/menor con
otra condición de su especie (por ejemplo, no tiene sentido decir que un león es más macho que una
leona). Naturalmente, es posible definir una propiedad que esté presente en los sujetos que los haga
comparables (por ejemplo, una hormona sexual en los animales, cuya cantidad en un sujeto permita
determinar si es macho o hembra).
d) Los números son la base esencial de las desigualdades en Matemática, pues permiten realizar operaciones de mucho mayor alcance y profundidad (que el uso de elementos solo cualitativos). No obstante,
no hay que subestimar la capacidad de análisis sobre la base de elementos cualitativos, pues muchas
decisiones de las personas son tomadas sobre la base de ellos.
Por ejemplo:
• frío/calor: decisión de abrigarse
• hambre: decisión de alimentarse
• temor: decisión de protegerse
• capacidad financiera: decisión de gastar o ahorrar
Los números nos permiten, cuando es posible, medir, racionalizar y hacer mucho más eficaz y eficiente
el tratamiento de las desigualdades.
e) Las desigualdades definen intervalos de números. Estos intervalos pueden contener pocos o muchos
números, incluso infinitos, a veces uno solo y eventualmente ninguno.
Por ejemplo:
π< x ≤ 8, x entero ⇔ x ∈ (π, 8], x ∈ Z. Es satisfecha por los números 4,5,6,7,8.
x > 2 ⇔ x ∈ (2,∞): conjunto infinito de números.
2 < x < 4 con x entero ⇔ x ∈ (2, 4), x ∈ Z. Esto es equivalente a x = 3, pues 3 es el único entero que
satisface la desigualdad.
x < 1, x natural ⇔ x ∈ (-∞, 1), x ∈ N. Este intervalo resulta vacío: (1, 1) no tiene elementos.
f) Como consecuencia de lo señalado anteriormente, las inecuaciones con una incógnita presentan características como las siguientes:
• su solución puede ser un intervalo con pocos, muchos o infinitos valores posibles.
• puede que no exista solución.
• un sistema de dos o más inecuaciones puede tener una sola solución, varias o ninguna.
g) Las inecuaciones lineales son reductibles a una estructura del tipo: ax + b < cx + d, al ordenar sus miembros
izquierdo y derecho (el operador puede ser < o ≤).
Para resolverlo, se puede aplicar la técnica simple de agrupar las incógnitas en el miembro en que
resulte positivo. Por ejemplo, si a > c, entonces:
ax – cx < d – b
(a – c)x < d – b, a – c > 0
x<
d–b
a–c
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h) Propiedades simples:
a>b
–a < –b
a>b>0
1
1
<
a
b
a>b>0
a2 > b2
an > bn con n > 0
i) Sistemas de dos inecuaciones lineales se pueden reducir a la siguiente estructura:
II: x < a
III: x > a
IV: x > a
I: x < a
x>b
x>b
x<b
x<b
Las soluciónes serán diferentes, dependiendo de los valores de a y b. La solución es siempre, en estos
casos, la intersección de los intervalos correspondientes a cada inecuación.
Ejemplos:
2x – 3 > x + 5
x + 9 > 4x – 3
La primera inecuación conduce a: x > 8
La segunda inecuación conduce a: 12 > 3x, es decir, 4 > x
Luego, tenemos el caso x > 8 y x < y
En este caso no existe solución.
3x – 8 > x
2x + 1 < 4x – 9
Primera inecuación:
2x > 8 ⇒ x > 4
Segunda inecuación: 10 < 2x ⇒ 5 < x
x>4
x>5
Cuya solución es x > 5, es decir, x ∈ (5, ∞).
Ahora tenemos el caso III:
j) La distinción entre > y ≥ (o entre < y ≤) es relevante en muchas aplicaciones, pues determina el tipo
de soluciones y, eventualmente, si tal solución existe o no.
Por ejemplo:
x≥2
x≤2
Tiene como solución x = 2.
x>2
x≤2
No tiene solución.
k) Las inecuaciones lineales tienen muchas aplicaciones relevantes en economía, ingeniería, medicina,
sociología, ciencias, tecnología y negocios.
La mayoría de las inecuaciones en estos campos se derivan de las limitaciones impuestas por la existencia
de situaciones límite o umbral. Estas pueden ser naturales o artificiales, provenientes de la naturaleza
o de las intenciones sociales y humanas.
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Por ejemplo:
• Hacer que una cierta cantidad de recursos disponibles se distribuyen en ciertas proporciones entre
los miembros de un grupo.
• Lograr que la suma de las cargas a las que se somete un motor no supere su capacidad nominal.
• Lograr que la cantidad de medicamento que se aplica a un paciente supere el mínimo necesario para
asegurar la efectividad (umbral menor), pero que no sea excesivo para producir efectos colaterales
indeseables (umbral mayor).
• Organizar los flujos migratorios de turistas a un lugar (por ejemplo, Isla de Pascua) de modo que
produzca el beneficio cultural y material esperado (umbral menor), pero que no sea una carga excesiva
desde el punto de vista ambiental (umbral mayor).
• Medir una propiedad física (por ejemplo, la temperatura de un fluido), de modo que su error sea menor
a un cierto valor.
l) Las inecuaciones lineales se pueden aplicar para abordar inecuaciones no-lineales cuando estas se
pueden reducir a casos lineales. Veamos:
• Casos polinomiales:
Si tenemos que
xn + an–1xn–1 + ... + a0 > 0
Entonces, si las raíces del polinomio son x1, x2, ..., xn, tendremos:
x (x – x1 )(x – x2 ) ... (x – xn ) > 0
Luego, podemos analizar esta inecuación no lineal analizando los signos de los monomios (x – x1 ),
(x – x2 ), ... (x – xn ). El resultado será la combinación de los resultados parciales.
Por ejemplo: (x – 1) (x + 2) (x – 3) > 0
Combinaciones posibles:
I: x – 1 > 0, x + 2 > 0, x – 3 > 0
⇒
x > 1, x > -2, x > 3 ( x > 3)
II: x – 1 > 0, x + 2 < 0, x – 3 < 0
⇒
x > 1, x < -2, x < 3 ( no existe solución)
III: x – 1 < 0, x + 2 < 0, x – 3 > 0
⇒
x < 1, x < -2, x > 3 ( no existe solución)
IV: x – 1 < 0, x + 2 > 0, x – 3 < 0
⇒
x < 1, x > -2, x < 3 ( -2 < x < 1)
La solución es la unión de las soluciones I, II, III y IV, de donde:
x > 3 ó –2 < x < 1, es decir, el intervalo solución es (3, ∞) U (–2,1).
En la recta numérica:
(
–2
• Casos racionales
) I (
1
2 3
(x – a) (x – b)
>0
(x – c) (x – d) (x – e)
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Este tipo de casos se aborda en forma similar al asunto de polinomios tratado anteriormente.
m) Entre los números se producen algunas desigualdades en forma natural, intrínseca a su naturaleza.
Un caso característico es aquel de que todo número al cuadrado es positivo o nulo: a2 ≥ 0.
Como a puede ser una combinación de otros números, de ellos se pueden derivar muchas conclusiones
interesantes.
Ejemplos:
Si a = n – 1
n
Si a =
n –
m
Como a2 ≥ 0 ⇒
1
n
2
≥ 0 ⇒ n2 – 2n
1
1
+ n2 ≥ 0
n
∴ n2 +
1
≥ 2,
n2
A
a2 ≥ 0 ⇒ n –
n≠0
m , n>0,m>0
n
n
m
2
–2 n
m
m +
n
m
n
2
≥0⇒ n + m ≥2
m
n
Si a = cn – c–n , c ≠ 0
Como a2 ≥ 0 ⇒ c2n – 2cn c–n + c–2n ≥ 0
∴ c2n + c–2n ≥ 2
Si
(a – b)2 ≥ 0 ⇒ a2 + b2 > 2ab
(a – c)2 ≥ 0 ⇒ a2 + c2 > 2ac
(b – c)2 ≥ 0 ⇒ b2 + c2 > 2bc
Sumando las desigualdades:
2a2 + 2b2 + 2c2 > 2ab + 2bc + 2ac , de donde: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac
• Dado que en la expresión anterior consideramos:
a = n b = 1 c = 1/n con n ≠ 0
n2 + 12 +
tendremos:
1
≥n·1+1· 1 +n· 1
n2
n
n
es decir, n2 + 12 +
∴ n2 +
1
n
2
1
n2
≥n+ 1 +1
n
≥n+
1
n
• Como hemos visto, el desarrollo de cuadrados nos permite obtener resultados interesantes y ejercitar
la creatividad numérica. Las demostraciones de desigualdades literales se pueden basar en este tipo
de análisis.
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• En forma similar a los casos cuadráticos, se pueden desarrollar aplicaciones para cualquier potencia
par: a2k ≥ 0.
1
tendremos como resultado:
Por ejemplo, si consideramos: a4 > 0, con a = n –
n
n4 + 1 + 6 ≥ 4 n2 + 1 , para cualquier n ≠ 0.
n4
n2
n) Las herramientas computacionales son de gran ayuda para abordar el tratamiento de desigualdades
e inecuaciones. MAPLE y EXCEL, entre otras, son destacadas por su facilidad de uso y porque aceleran
y profundizan los procesos de enseñanza-aprendizaje.
Veamos casos típicos de Excel:
• Supongamos que se ha hecho una encuesta sobre el nivel educacional de 10 personas y se ha determinado la cantidad de años E de su escolaridad.
Se desea clasificarlas en:
Básica, si E ≤ 8
Media, si 9 ≤ E ≤ 12
Superior A, si 13 ≤ E ≤ 16
Superior B, si 17 ≤ E
Organizando la encuesta:
Persona
Escolaridad
Básica
Media
Superior A
Superior B
J. Pérez
10 años
0
1
0
0
A. Blanco
9 años
0
1
0
0
R. Smith
13 años
0
0
1
0
N. Lagos
18 años
0
0
0
1
S. Villablanca
20 años
0
0
0
1
5 años
1
0
0
0
1
2
1
2
A. Toro
Total
–
• Consideremos el conocido caso de impuesto a la renta, en que los valores de los impuestos están
determinados según el monto de la remuneración.
Según la tabla que establece el S.I.I. (Servicio de Impuestos Internos), el impuesto a pagar en un tramo
de rentas determinado está dado por:
Ii = ai R – bi cuando Ri – 1 < R < Ri
Los valores de la tabla del S.I.I. para enero de 2008 pueden sintetizarse como:
i
ai
bi ($)
Ri-1 ($)
1
0,00
0
2
0,05
3
0,10
4
5
Ri ($)
0
503.766
25.188
503.766
1.119.480
81.162
1.119.480
1.865.800
0,15
174.452
1.865.800
2.612.120
0,25
435.664
2.612.120
3.358.440
6
0,32
670.755
3.358.440
4.477.920
7
0,37
894.651
4.477.920
5.597.400
8
0,40
1.062.573
5.597.400
Y más
EXCEL nos permite calcular los impuestos que deben pagarse para un grupo de personas por tramo.
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4. Evaluaciones
Evaluación 1
1. Una madre tiene actualmente 24 años más que su hija mayor. ¿A partir de cuántos años más su edad
será menor al triple de la edad de su hija?
2. ¿Qué números menores que 20 nunca pueden superar a su doble menos 10?
3. Una persona dispone de $10.000 y desea comprar lápices y cuadernos que tienen precios de $100 y
$400 por unidad respectivamente. Por cada cuaderno requiere de 6 lápices. ¿Cuántos cuadernos puede
comprar?
4. Un recipiente tiene una cierta cantidad de agua. Se le agregan 4 litros de agua y el volumen resultante
se separa en dos volúmenes iguales en otros recipientes que tienen capacidad máxima de 3 litros cada
uno. ¿Cuántos litros de agua había en el recipiente?
Evaluación 2
1. Un recipiente tiene 3 litros de agua. Se le agrega un volumen adicional y el resultado se separa en dos
partes iguales, quedando una de ellas en el primer recipiente y la segunda se introduce a un recipiente
de 5 litros de capacidad. El volumen remanente en el primer recipiente se vierte, quedando solo un tercio
de él. Luego, se agregan 5 litros. ¿Cuánta es la capacidad del primer recipiente? ¿Cuánto volumen de
agua se le agregó en la primera operación?
2. Dos personas asumen el compromiso de pagar en forma conjunta la matrícula de un estudiante que
cuesta $180.000 y otros gastos en forma proporcional a sus sueldos, que son $990.000 y $1.200.000.
¿Cuántos son los valores posibles del factor de proporcionalidad?
3. Natalia dispone de $100.000 mensuales para gastar en entradas de cine o arriendo de películas. Las entradas al cine valen $2.500 y el arriendo de una película vale $2.000. ¿Cuántas películas puede arrendar
y cuántas entradas al cine puede comprar con ese presupuesto?
Evaluación 3
1. Un tren avanza a una velocidad constante V0 y súbitamente su conductor es informado que a 200 m de
distancia está otro tren detenido en la misma línea férrea. El conductor frena el tren desacelerándolo en
forma constante. ¿Cuáles son los valores de aceleración que puede aplicar para que el tren se detenga
antes de chocar con el otro tren?
2. En una balanza se cuenta con dos tipos de masas normalizadas de 2 kg y 5 kg respectivamente. Tenemos
otras masas de valores desconocidos. Hacemos las siguientes pruebas:
a) ponemos en la parte izquierda 2 masas de valor desconocido y 3 masas de 2 kg, y en la parte derecha,
3 masas de valor desconocido y 1 de 5 kg. La balanza se inclina a la derecha.
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b) ponemos en la parte izquierda 4 masas de valor desconocido y 2 masas de 5 kg, y en la parte derecha
6 masas de valor desconocido y 2 masas de 2 kg. La balanza se inclina a la izquierda. ¿Cuáles son
los valores posibles de las masas desconocidas?
3. La suma de dos lados de un triángulo debe ser superior al tercer lado. ¿En cuáles de los casos siguientes
los valores corresponden a lados de un triángulo?
a(cm)
b(cm)
c(cm)
1
4
2
1
4
3,6
2
8
7
2
8
5
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UNIDAD 3: MÁS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Planificación de la Unidad
CAPÍTULO
TEMAS
APRENDIZAJE ESPERADO
• Resuelven problemas que involucran propiedades de
triángulos rectángulos.
Medición de ángulos
• Unidades de medida
• Analizan las soluciones que se obtienen y su pertinencia.
• Propiedades de los triángulos rectángulos
• Hacen conjeturas sobre propiedades geométricas en trián-
• Teorema de Pitágoras
gulos rectángulos semejantes y las demuestran utilizando
• Semejanza de triángulos
diversos recursos argumentativos.
• Teorema de Euclides
• Reconocen el sentido y la necesidad de la demostración en
Matemática y, en particular, conocen la historia del teorema
de Fermat-Wiles y los tríos pitagóricos.
Triángulos rectángu-
• Razones y funciones trigonométricas
los y trigonometría
• Razones trigonométricas inversas
• Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes
invariantes entre las medidas de los lados, en familias de
triángulos rectángulos semejantes.
Articulación
2º MEDIO
• Isometrías y semejanza
3º MEDIO
4º MEDIO
• Semejanza entre triángulos rectángulos
CONTENIDO CONCEPTUAL
• Trigonometría
CONTENIDO PROCEDIMENTAL
• Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados
• Unidades de medida
• Propiedades de los triángulos rectángulos
• Teorema de Pitágoras
• Tríos pitagóricos
• Semejanza de triángulos
• Teorema de Euclides
con el capítulo, presentes en diversos fenómenos cotidianos.
• Reconocen la importancia del uso correcto y pertinente e las
unidades de medida.
• Convierten unidades de medidas de ángulos.
• Aplican los teoremas de Pitágoras y Euclides a situaciones
concretas.
• Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en
el texto).
• Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados
con el capítulo, presentes en diversos fenómenos cotidianos.
• Razones y funciones trigonométricas
• Identifican problemas de la vida cotidiana que pueden ser
• Ángulos especiales
resueltos con las propiedades de las funciones trigonométri-
• Razones trigonométricas inversas
cas.
• El círculo unitario
• Aplican los conceptos a situaciones concretas.
• Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en
el texto).
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Orientaciones didácticas de las unidades
Actividades motivacionales
Los ángulos rectos nos rodean. Mesas, ventanas, puertas, muros, azulejos, libros, cuadernos, piscinas,
cruces de calles, carteles, banderas, cajas. Pero también en conceptos más abstractos: vertical y horizontal
son perpendiculares; la dirección Norte es perpendicular a la dirección Este.
Hay una tendencia natural (y práctica) en el ser humano a elegir los ángulos rectos. Ello es porque está
vinculado a la simetría, y esta a la armonía: el campo de fútbol es rectangular y lo son las áreas demarcadas
en las vecindades de los arcos, que también lo son.
Entender los ángulos rectos es importante y útil: podemos sacarle provecho. Y de un ángulo recto a un
triángulo rectángulo hay un paso (casi textual).
Conviene mostrarles a los(as) estudiantes que los triángulos rectángulos son tan especiales, que es posible
entender el resto de los triángulos a través de ellos y de ahí, todos los polígonos. Si uno considera un triángulo
cualquiera y traza una de sus alturas, quedan definidos dos triángulos rectángulos, cuyas propiedades nos
van a develar las propiedades del triángulo original.
Como opción alternativa o complementaria, para reforzar las actividades motivacionales presentadas, exponer
las unidades ¿Para qué sirve? de esta misma guía.
Conceptos clave: teoremas de Pitágoras y Euclides
El teorema de Pitágoras y los teoremas de Euclides son básicos para esa tarea. De ahí, podemos considerar un
polígono de n lados que se puede entender como la unión de n – 2 triángulos, trazando todas las diagonales
desde un vértice a todos los demás.
Tratamiento
Presentar inductivamente las propiedades de los triángulos rectángulos a través de los ejemplos expuestos
en el texto, a lo sumo dos por clase. Conviene detenerse a reflexionar sobre las soluciones obtenidas y los
conceptos desplegados.
Material complementario: ¿Para qué sirve?
1. Uso de unidades de medida
El 30 de septiembre de 1999, debido a una confusión
de la NASA, una nave que orbitaría el planeta Marte
se estrelló. El accidente produjo pérdidas por 125 millones de dólares. La confusión consistió en que uno
de los equipos de ingenieros utilizó unidades métricas
de medida, mientras otro utilizó unidades inglesas
para una operación clave de la nave, sin que hubiera
comunicación entre ellos a este respecto.
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No es la única oportunidad en que el uso inapropiado de unidades conduce a problemas de mayor o menor
gravedad. En este caso, nos centraremos en el uso de unidades de medidas angulares, cuya importancia
es gravitante en todos los procesos productivos de bienes.
2. Medición de ángulos
Es importante que los(as) estudiantes conozcan bien las unidades de medición de ángulos, particularmente
las más utilizadas, vale decir, los grados sexagesimales y los radianes.
Es frecuente, cuando se usa una calculadora de bolsillo, que los(as) estudiantes no trabajen en el modo
adecuado (deg, grad o rad); por ejemplo, cuando están calculando las razones trigonométricas de un ángulo
o las razones trigonométricas inversas de un valor.
Como resulta claro, ello conlleva a cometer errores e inconsistencias de magnitud. A modo de ilustración,
si calculamos el seno de 12 (notemos que no estamos especificando la unidad de medida), obtendremos
tres resultados diferentes, dependiendo del modo que hayamos elegido (o peor aún, dependiendo del modo
que en ese momento esté conectada la calculadora):
12 radianes
12° sexagesimales
12° centesimales
– 0,54
0,21
0,19
seno
Grados centesimales
La división de un ángulo completo en 360 sectores circulares iguales entre sí para definir 1° sexagesimal
es arbitraria.
En vez de dividir un ángulo completo en 360 partes podría haberse dividido en 27 partes iguales o en 1.358
partes iguales.
En un intento de adoptar el sistema decimal, durante la época posterior a la Revolución Francesa se decidió
incorporar una unidad de medición (el grado centesimal) que resulta de dividir al ángulo completo en 400
partes iguales entre sí. De ese modo, el ángulo completo mide 400° centesimales y un ángulo recto 100°
centesimales.
Realmente la idea no prosperó más allá y el grado sexagesimal prevaleció por sobre el grado centesimal,
probablemente por las semejanzas entre el grado sexagesimal y sus subunidades y la costumbre de medir
el tiempo en horas de 60 minutos y minutos de 60 segundos.
Para ejercitar la conversión de unos grados en otros, encontremos primero la relación entre grados sexagesimales y grados centesimales. Adoptaremos la notación © para los grados centesimales.
Para encontrar la relación que se pide partimos de igualar en ambas unidades el ángulo completo:
©
360°= 400
de modo que
lo que es equivalente a
48
©
3,6°= 4
1˚ = 10
©
9
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Si, por ejemplo, queremos escribir la medida de un ángulo de 43°15´ en grados centesimales, procederemos
de la siguiente manera:
Escribamos en primer lugar el ángulo dado en la forma de grados y fracciones decimales de grado:
43°15´ = 43,25°
Como
entonces
1˚ = 10
©
9
43,25˚ = 43,25 ∙ 10
9
©
= 48,05
©
Ángulos entre las manecillas de un reloj
Desarrollar la capacidad de observación y vincularla a instancias de reflexión es una actividad que puede
redituar dividendos inimaginables. Con frecuencia se toman decisiones más sabias, si se consideran ciertos
factores que, siendo relevantes, quedan fuera de los análisis más superficiales.
La geometría es una herramienta poderosa cuando se trata de observaciones visuales y una manera que
está al alcance de la mano, que en este caso es textual, porque utilizaremos la geometría de los relojes de
manecillas. El abordaje tendrá la ventaja adicional que combina las consideraciones geométricas con procedimientos algebraicos, resaltando el carácter integral de la disciplina.
Por ello, vamos a dedicar algunos esfuerzos a estudiar el movimiento absoluto y relativo de las manecillas
de un reloj.
Velocidad del horario
Los extremos de las manecillas de un reloj describen circunferencias con una velocidad bastante uniforme.
Todos los horarios (la más corta de las agujas) de relojes convencionales, funcionando correctamente, dan
una vuelta completa en exactamente el mismo tiempo: 12 horas.
Es decir, recorren 360° en 12 horas, o sea, que en una hora recorren la 12 ava parte de 360°, o lo que es lo
mismo, el horario recorre 30° en 60 minutos.
¿Cuánto recorre entonces en 1 minuto? En 1 minuto recorre la 60 ava parte de 30°, lo que es equivalente
a 0,5°.
Decimos entonces que la velocidad angular del horario es 0,5°/min.
Velocidad del minutero
Del mismo modo, podemos calcular la velocidad angular del minutero: en 1 hora el minutero describe un
ángulo de 360°.
O bien, se puede decir que describe un ángulo de 6° en 1 minuto.
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Una aplicación
¿A qué hora entre las 12 y la 1 las manecillas forman un ángulo de 90°?
A las 12:00, las manecillas coinciden en el 12, es decir forman un ángulo de 0°. La respuesta ingenua al
problema sería a las 12:15, porque el minutero ha avanzado 90°, pero en el intertanto el horario también se
ha desplazado.
Planteémoslo así:
supongamos que cuando han transcurrido x minutos (por determinar), los punteros forman el ángulo deseado: es decir, que el ángulo descrito por el minutero (más veloz que el horario) menos el ángulo descrito
por el horario debe ser igual a 90°.
En x minutos:
• el minutero describe un ángulo de 6x°
• el horario describe un ángulo de 0,5x°
6x˚ – 0,5x˚ = 90˚
⇒ 5,5x = 90
∴ x = 90 = 16,36
5,5
Es decir, los punteros forman un ángulo de 90° exactamente a las 12h16m21,81s ; para efectos prácticos,
a las 12h16m22s.
3. El teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras y sus implicaciones es un icono de la geometría euclidiana y vale la pena analizarlo
y discutirlo desde diferentes puntos de vista, como una manera de realzar su importancia histórica y práctica, pero también como una forma de fijar su significado y de poner en práctica procedimientos alternativos
para su análisis y demostración.
Las aplicaciones del teorema son múltiples, entre otras cosas, porque permite construir ángulos rectos que
aparecen recurrentemente en arquitectura, ingeniería, arte, procesos industriales, etc.
Otra demostración del teorema de Pitágoras
Como mencionamos en el Texto del Estudiante, hay cientos de demostraciones de este teorema. La que exhibimos a continuación nos parece muy atractiva y simple y fue elaborada por Thabit ibn-Qurra (826 - 901).
Demostración
• Consideremos el triángulo ABC rectángulo en C
• Dibujemos un cuadrado sobre la hipotenusa de lado AB
• Traslademos paralelamente hacia arriba el triángulo ABC, definiendo
el triángulo congruente A´B´C´, de modo que su hipotenusa coincide
con uno de los lados del cuadrado
• Dibujemos las perpendiculares A´E y B´F´ desde A´ y B´ hasta la línea
BC
• Tracemos AG de modo que ACGE sea un cuadrado, cuyo lado es
igual al cateto AC del triángulo ABC
• El lado del cuadrado EFB´C´ es igual al cateto CB del triángulo
ABC
A'
A
C
50
B'
C'
G
E
B
F
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Entonces lo que tenemos que demostrar es que el área del cuadrado ABB´A´ es igual a la suma de las áreas
de los cuadrados ACGE y EFB´C´.
Pero la prueba es directa cortando y pegando. Comencemos con el cuadrado grande ABB´A´.
• Una parte de él está incluida en el cuadrado mediano.
• Otra parte está incluida en el cuadrado pequeño.
• Hay dos triángulos que no están incluidos, pero el superior es congruente con ABC que está contenido
dentro de los otros cuadrados y el otro es congruente con el triángulo blanco del cuadrado mediano.
Lo que demuestra que S(ABB´A´) = S(ACGE) + S(EFB´C´), que es lo que se quería demostrar.
Tríos pitagóricos
Es fácil darse cuenta de que si multiplicamos cada número del trío pitagórico 3, 4, 5 por cualquier número
entero k, el resultado será otro trío pitagórico. Por ejemplo, si los multiplicamos por 2, obtenemos el trío 6,
8, 10 que podemos verificar si es pitagórico o no.
62 + 82 = 36 + 64 = 100
102 = 100
De modo que efectivamente
62 + 82 = 102
lo que muestra que el trío 6, 8, 10 es pitagórico.
Si multiplicamos por cualquier factor entero k los números del trío pitagórico 3, 4, 5 se obtiene otro trío
pitagórico.
Los números enteros 3, 4, 5 constituyen un trío pitagórico, porque
32 + 42 = 52
Consideremos entonces el trío 3k, 4k, 5k.
Si este trío efectivamente es pitagórico, entonces debe cumplirse que:
(3k)2 + (4k)2 = (5k)2
Desarrollemos el primer miembro de la última igualdad:
(3k)2 + (4k)2 = 32k2 + 42k2 = (32 + 42) k2
Pero,
De modo que:
o sea que
32 + 42 = 52
(32 + 42) k2 = 52k2
(3k)2 + (4k)2 = (5k)2
lo que demuestra que efectivamente 3k, 4k, 5k es un trío pitagórico.
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Familias de tríos pitagóricos
De manera análoga al procedimiento del ejercicio anterior, si a, b, c son tres enteros que forman un trío
pitagórico, es decir, si
a2 + b2 = c2
entonces ka, kb y kc también constituyen un trío pitagórico, por tanto, debe cumplirse que
(ka)2 + (kb)2 = (kc)2
Ello puede verse desarrollando (ka)2 + (kb)2:
(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2)
pero
a2 + b2 = c2
⇒ (ka)2 + (kb)2 = k2c2 ∴ (ka)2 + (kb)2 = (kc)2
lo que demuestra que ka, kb y kc constituyen un trío pitagórico.
Lo que se ha mostrado es que cada trío pitagórico da origen a una familia infinita de tríos pitagóricos. La
familia pitagórica del trío 3, 4, 5 aparece en la tabla que sigue:
k
2
3
4
3
6
9
12
4
8
12
16
5
10
15
20
n
3n
4n
5n
Generación de tríos pitagóricos
Como se ha dicho en el Texto del Estudiante, si x e y son números naturales y, además, x > y, entonces los
números a, b y c definidos por:
a = x2 – y2
b = 2 xy
c = x2 + y2
constituyen un trío pitagórico.
Efectivamente, si elevamos al cuadrado a, b y c, obtendremos, respectivamente,
a2 = (x2 - y2)2 = x4 – 2x2y2 + y4
b2 = 4x2y2
2
2
c = (x + y2)2 = x4 + 2x2y2 + y4
Es directo verificar entonces que a2 + b2 = c2, lo que demuestra que a, b, c forman un trío (o triple) pitagórico.
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Haciendo uso de una planilla Excel, podemos construir una lista de tríos pitagóricos del siguiente modo:
x
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
y
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
a
3
8
5
15
12
7
24
21
16
9
35
32
27
20
11
48
45
40
33
24
13
b
4
6
12
8
16
24
10
20
30
40
12
24
36
48
60
14
28
42
56
70
84
c
5
10
13
17
20
25
26
29
34
41
37
40
45
52
61
50
53
58
65
74
85
Como se puede observar, aparecen familias de tríos pitagóricos y los miembros de la misma familia (que
son proporcionales a su progenitor) han sido etiquetados con un mismo símbolo en la última columna; los
progenitores se han sombreado. Cuando uno de los números es primo, el trío es progenitor, puesto que no
puede ser múltiplo de ningún número de un trío anterior.
La tabla (y su continuación) puede servir para crear problemas con tríos pitagóricos que no sean fácilmente
reconocibles por los estudiantes, como son los tríos (3, 4, 5) , (6, 8, 10) y (5, 12, 13).
Por ejemplo, un trío pitagórico es el formado por 99, 4.900 y 4.901. ¿Cuáles son los valores de x e y en este
caso?
Los tres números deben ser de la forma a = x 2 – y2, b = 2xy, c = x2 + y2, pero no sabemos cuál es cuál. Si
observamos, solo uno de los números es par (4.900) y en consecuencia debe ser b. Ni 99, ni 4.901 pueden
ser escritos como 2xy. Además, es claro que c > a, de modo que la identificación es:
99 = x2 – y2
4.900 = 2xy
4.901 = x2 + y2
Sumando miembro a miembro las dos últimas ecuaciones obtenemos:
9.801 = x2 + 2xy + y2 ⇒ (x + y)2 = 9.801 ⇒
∴ (x + y) = 99
La primera de las tres ecuaciones se puede reescribir en la forma:
(x + y) ∙ (x – y) = 99
Dividiendo miembro a miembro las dos últimas ecuaciones, se obtiene
(x – y) = 1
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que combinada con
(x + y) = 99
nos permite despejar x e y
2x = 100
2y = 98
∴ x = 50
∴ y = 49
¿Cuántos tríos pitagóricos existen?
Euclides demostró que existen infinitos tríos pitagóricos. Su demostración se inicia con la observación que
la diferencia entre dos cuadrados perfectos consecutivos es siempre un número impar.
Veámoslo, en primer lugar, con un esquema simple.
22
4
12
1
3
32
9
5
42
16
7
52
25
9
62
36
11
72
49
13
82
64
15
92
81
17
102
100
19
En otras palabras, cada número impar de la serie infinita de números impares puede ser sumado a un cuadrado perfecto específico y el resultado será otro cuadrado perfecto. Por ejemplo, 17 puede ser sumado a
64 y el resultado será 81, o sea:
17 + 64 = 81
Una fracción de estos números impares constituyen, a su vez, cuadrados perfectos (17 no lo es, pero sí lo
son 9, 25, 49, 81, etc.), pero una fracción de infinito también es infinito.
Es decir, hay una infinidad de números impares que, además, son cuadrados perfectos (realmente, todos
los cuadrados de impares son también impares), que pueden ser sumados a un cuadrado perfecto y la
operación dará por resultado otro cuadrado perfecto, lo cual quiere decir que existe un número infinito de
tríos pitagóricos.
Interpretación geométrica de los tríos pitagóricos
4. Evaluaciones
Evaluación 1
1. Demuestra que si a, b y c son tres enteros que forman un trío pitagórico, es decir, si: a2 + b2 = c2 entonces
ka, kb y kc también constituyen un trío pitagórico.
2. Encuentra un trío pitagórico a partir de las expresiones a = x2 – y2, b = 2xy, c = x2 + y2 siendo x e y dos
números primos mayores que 10. Verifica que efectivamente satisfacen la relación a2 + b2 = c2
3. Encuentra el ángulo que forman los punteros de un reloj a las 10:20.
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Evaluación 2
1. El arco subtendido por el ángulo x de la figura es s = 2 R,
donde R es el radio de la circunferencia. ¿Cuál es la medida
en grados de dicho ángulo?
R
O
x
2. Un trozo de alambre tiene 20 cm de longitud. Se dobla en un
punto X de modo que AX = x cm y el ángulo AXB = 90°.
A
X
B
a) Obtener una expresión para AB (una vez que se ha doblado el alambre) en términos de x.
b) Comentar la afirmación de que AB es un mínimo cuando x = 5 cm.
3. Para el siguiente diagrama, determina x. Las longitudes están expresadas en centímetros.
4. En la siguiente figura, QC es tangente a la circunferencia.
AB = 5cm
CQ = 6cm
BQ = x cm
a) Demuestra que x satisface la ecuación: x2 + 5x - 36 = 0
b) Resuelve la ecuación
6
3
•
O
x
2
A
B
• O
Q
C
Evaluación 3
1. Demuestra que la tangente de un ángulo puede tomar valores en todos los reales.
2. Se sabe que cos α = 0,8. Evaluar sen α. ¿Cuál es la medida de α?
3. Se sabe que sen α = 0,8. Evaluar cos α. ¿Cuál es la medida de α?
4. Traza el gráfico de f(x) = sen x + cos x para valores de x entre –180° y 180°.
a) Estima el valor máximo que asume f(x).
b) Estima el valor mínimo que asume f(x).
c) ¿Para qué valores de x se alcanzan tales extremos?
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UNIDAD 4: EL ESTUDIO DE LAS PROBABILIDADES
Planificación de la Unidad
CAPÍTULO
TEMAS
APRENDIZAJE ESPERADO
• Experimento aleatorio
• Reconocen variables aleatorias y pueden interpretarlas de
Nociones de proba-
• Espacio muestral
bilidad
• Frecuencia absoluta, relativa y porcentual
acuerdo a los contextos en que se presentan.
• Conocen la “Ley de los grandes números” y relacionan la
• Suceso elemental, compuesto
frecuencia relativa con la probabilidad de un suceso.
• Distinguen entre sucesos equiprobables y no equiproba-
Probabilidades y
• Razones y funciones trigonométricas
probabilidades
• Razones trigonométricas inversas
bles.
• Resuelven problemas que requieran el cálculo de probabilidad condicionada en situaciones sencillas.
• Regla del producto
Combinatoria básica
• Permutaciones, variaciones y combina-
• Distinguen cuando la situación problemática se resuelve
ciones
con una permutación, variación o combinación.
Articulación
2º MEDIO
• Fenómenos aleatorios
56
3º MEDIO
• Probabilidad de sucesos compuestos,
condicionada con y sin reemplazo
4º MEDIO
• Estadística inferencial
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CONTENIDO CONCEPTUAL
CONTENIDO PROCEDIMENTAL
• Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados
con el capítulo, presentes en diversos fenómenos cotidianos.
• Construyen tablas de frecuencias absolutas, relativas, porcentuales y acumuladas, a partir de datos de experimentos
• Experimento aleatorio
• Espacio muestral
• Frecuencia absoluta, relativa y porcentual
• Suceso elemental, compuesto
aleatorios.
• Interpretan tablas de resultados de experimentos aleatorios y
calculan probabilidades de ocurrencia de sucesos.
• Modelan experimentos aleatorios haciendo uso de simulaciones
computacionales simples.
• Aplican los conceptos a situaciones concretas.
• Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en
el texto).
• Probabilidad clásica, experimental y subjetiva
• Regla de Laplace
• Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados
con el capítulo, presentes en diversos fenómenos cotidianos.
• Equiprobabilidad
• Aplican los conceptos a situaciones concretas.
• Variable aleatoria
• Resuelven problemas que requieran el cálculo de probabilidad
• Sucesos compatibles, mutuamente excluyentes e independientes
• Probabilidad condicionada
condicionada en situaciones sencillas.
• Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en
el texto).
• Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados
• Regla del producto
• Permutaciones, variaciones y combinaciones
con el capítulo, presentes en diversos fenómenos cotidianos.
• Aplican los conceptos a situaciones concretas.
• Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en
el texto).
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Orientaciones didácticas de las unidades
Actividades motivacionales
Los juegos de azar fueron los que inspiraron a los grandes matemáticos que iniciaron los estudios de las
probabilidades. Hoy es posible simular con la ayuda del computador el comportamiento del lanzamiento de
una moneda, de hacer rodar uno o más dados, de repartir una baraja de naipes, de hacer girar una ruleta
y todo lo que uno pueda imaginar relativo a fenómenos aleatorios. De paso, los(as) estudiantes quedarán
con la convicción que “la casa” es imbatible y que no vale la pena intentar hacer fortuna en los casinos o
en las máquinas tragamonedas.
La función ALEATORIO.ENTRE(m;n) de Excel o las análogas de otros software, donde m y n son dos números
enteros cualesquiera, es todo lo que se necesita para la simulación. Con algo más de la habilidad del(de la)
propio(a) docente o de los(as) estudiantes más proclives a la computación y la imaginación de los(as) demás
estudiantes, se pueden hacer juegos espectaculares.
Como opción alternativa o complementaria, para reforzar las actividades motivacionales presentadas, exponer
las unidades ¿Para qué sirve? de esta misma guía.
Conceptos clave: regla de Laplace
Calcular una probabilidad tiene que ver con el arte de contar correctamente: cuántas son las alternativas
posibles y cuántas son las favorables. Todos los juegos de pronósticos están basados en lo mismo. Quienes
los diseñan saben contar y saben que quienes juegan no saben contar y tienen muchas ilusiones. Claro,
casi siempre uno o dos ganan y algunos millones de personas pierden.
Y podemos entonces inventar un juego, hacer conjeturas respecto a cuántos tendrían que jugar para que
alguien gane. Por ejemplo, digamos que en nuestro juego hay que elegir 4 números del 1 al 9 (sin repetición)
9!
9
=
maneras de escoger 4 objetos de
y que solo una combinación es la que gana. Como hay
4
4! ∙ 5!
9∙8∙7∙6
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
9!
9∙7∙2
un grupo de 9, y una sola es la ganadora, entonces hay
=
=
=
4∙3∙2∙1
4! ∙ 5!
4! ∙ 5!
1
1
=126 configuraciones posibles de manera que la probabilidad P de ganar es
. Así, si juegan alrededor
126
de 100 personas, seguramente una de ellas ganará.
( )
Tratamiento
Presentar inductivamente los conceptos y propiedades de las probabilidades a través de los ejemplos
expuestos en el texto, a lo sumo dos por clase. Conviene detenerse a reflexionar sobre las soluciones
obtenidas y los conceptos desplegados.
Material complementario: ¿Para qué sirve?
1. Probabilidades y meteorología
Leyes de Murphy
Lo que se conoce como leyes de Murphy se resume en la frase: “Si algo puede fallar, va a fallar”. Normalmente se toma como una expresión exagerada, inherente al pesimismo de los seres humanos. Pero su origen
está vinculado a una persona real, el capitán Edward A. Murphy, un competente ingeniero que llegó a ser
director de Investigación y Desarrollo en la base Wright-Patterson de la Fuerza Aérea de EE.UU. en Ohio.
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Él se dio cuenta de que si había alguna forma en que los técnicos podían cometer un error, frecuentemente
esa era la manera en que se iban a hacer las cosas. La ley que llegó a ser conocida por su nombre se basaba en observaciones confiables de cómo los planes fracasaban y lo condujo a desarrollar mecanismos
para combatir los errores técnicos.
Un día, al encontrar que un transductor estaba embobinado incorrectamente, maldijo al técnico responsable
de ello exclamando: “Si existe alguna manera de hacerlo mal, él la va a encontrar”. El director del proyecto
que estaban llevando adelante entonces mantenía una serie de “leyes”, a la cual agregó esta, llamándola
“Ley de Murphy”.
En la actualidad, el apelativo “Ley de Murphy” se aplica, por extensión, a toda una serie de acontecimientos
desafortunados, como que una tostada enmantequillada tiende a caer con el lado de la mantequilla sobre
la alfombra del comedor, o que cuando se sale con paraguas, ese va a ser un día soleado.
La ciencia tras la Ley de Murphy
La Ley de Murphy se ha incorporado a la cultura popular como una expresión para explicar los fracasos o
como una advertencia para precaverse contra ellos. Lo que queremos mostrar aquí es que, contrariamente
a lo que muchos piensan, en algunas de sus manifestaciones más notables, la mentada ley no es solo una
percepción psicológica, sino que tiene sustento científico en las leyes de la física y la estadística.
Ley de Murphy del paraguas
El tiempo y la exactitud de su predicción son temas de conversación frecuente en los lugares donde llueve
a menudo. Hay sitios en los que llueve más del 80% de los días del año. Sin embargo, eso no quiere decir que en uno de esos días de lluvia caiga agua incesantemente todo el día, sino que, en general, llueve
intermitentemente. En esos lugares, más que en otros, es conveniente saber en qué momentos del día va
a llover y, por ello, algunos servicios meteorológicos entregan previsiones para cada hora del día. De esa
manera es posible tener algunos antecedentes para planificar actividades al aire libre: un paseo, la siembra
o la cosecha, proteger un rebaño, el arreglo de un techo, entre otras.
“Si un paraguas puede ser innecesario, entonces va a serlo”, es como se entendería la Ley de Murphy en
este caso. Pareciera entonces que el hecho de salir con un paraguas podría afectar la probabilidad de una
precipitación, lo cual es obviamente absurdo. Sin embargo, mirado de una manera diferente, uno puede
convencerse que algo de verdad hay detrás de la Ley de Murphy del Paraguas.
La explicación descansa en la razón que nos condujo a llevar un paraguas. Es posible que hayamos escuchado en radio o televisión la predicción del tiempo, o bien, que el aspecto del cielo nos haya sugerido que
se anuncian precipitaciones. En cualquier caso, nuestra decisión está ineludiblemente ligada a la probabilidad
de lluvia, a través del llamado Efecto de Experiencia Previa.
¿En qué consiste tal efecto? Supongamos que miramos el cielo, esperando que sea un día soleado para salir
a dar una caminata por el campo, y lo vemos parcialmente nublado. Si esto ocurre en Escocia (donde llueve
el 82% de los días) nos inclinaremos por no iniciar el paseo, ante el temor de que llueva. Pero si ocurre en
Arica (donde prácticamente no llueve) nos pondremos en marcha, confiados en que las nubes dejarán paso
a un radiante sol. Ante un mismo dato observado –cielo parcialmente nublado– se emite un pronóstico muy
distinto, según sea la información previa que tengamos sobre ese tema. Y se puede demostrar que, actuando
de este modo, la predicción del clima es, a la larga, más exitosa que si se ignorara la experiencia previa.
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Una situación real
Lo que se expone a continuación corresponde al registro de lluvia entre las 14:00 y las 15:00 horas en una
localidad lluviosa del país, durante 1.000 días consecutivos. En 100 de las oportunidades registradas llovió
y en las otras 900 no llovió, lo cual se puede resumir en la siguiente tabla:
Llovió
No llovió
Total
100
900
1.000
Supongamos que estamos planificando dar un caminata de una hora (entre la 2 y las 3 de la tarde) después
de almorzar y que hemos escuchado en la previsión del tiempo que a esa hora llovería. Sabemos que las
previsiones tienen una certeza del 80%. ¿Llevamos paraguas o no?
Entenderemos aquí que certeza del 80% significa que 8 de 10 ocasiones de lluvia son correctamente predichas e igualmente con las predicciones de no lluvia. En consecuencia, de las 100 veces que llovió, 80
fueron predichas correctamente (el 80%) y de las 900 que no llovió 720 (el 80%) también fueron predichas
correctamente.
Podríamos entonces complementar la tabla anterior de la siguiente forma:
Llovió
No llovió
Se predijo lluvia
80
?
Se predijo no lluvia
?
720
100
900
Total
1.000
Vemos que en la tabla hay algunas celdas vacías. ¿A qué corresponden?
Si de las 900 ocasiones en las cuales no llovió, 720 fueron correctamente predichas, quiere decir que hubo
180 (es decir, 900 – 720) oportunidades para las cuales se había anunciado lluvia y que, sin embargo, no
llovió.
Del mismo modo, si 80 lluvias fueron correctamente predichas de un total de 100, quiere decir que hubo 20
ocasiones en las que se predijo que no llovería, pero llovió.
La tabla se completa entonces así:
Llovió
No llovió
Total
Se predijo lluvia
80
180
260
Se predijo no lluvia
20
720
740
Total
100
900
1.000
Previsión del tiempo entre las 14:00 y las 15:00 horas para 1.000 días consecutivos
Debemos entender, entonces, que se predijo lluvia en 260 oportunidades y en 80 de ellas la previsión fue
correcta; es decir, la tasa de acierto fue 80/260, lo que aproximadamente es un 30%. En las otras 180
ocasiones en las cuales se predijo lluvia, no llovió, por lo que la tasa de error en la predicción de lluvia fue
180/260, lo que equivale al 70% de las oportunidades aproximadamente. Es decir, a pesar que la predicción
del tiempo puede tener una certeza del 80%, cuando se anuncia lluvia, la tasa de error es más del doble
que la tasa de acierto.
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La razón para este resultado, que a todas luces contradice la intuición, no reside en el hecho que la oficina
de previsión meteorológica esté faltando a la verdad cuando arguye alta certeza en sus predicciones (efectivamente hubo 800 aciertos en 1.000 previsiones), sino porque una tasa horaria de lluvias de apenas el
10% (100 lluvias comparado con 900 no lluvias) devasta incluso una certeza predictiva que puede parecer
tan impresionante como el 80%.
Tiene entonces algún sentido decir: “Si un paraguas puede resultar innecesario, entonces va a serlo”: si
llevamos un paraguas para nuestra hora de caminata después de almuerzo, entonces dos de cada tres
veces el paraguas va a ser efectivamente innecesario.
2. Probabilidades y salud pública
Falso positivo: un caso típico de probabilidad condicional
Supongamos que el doctor nos dice que el análisis que nos hicieron para determinar si sufrimos de SDAP
(Síndrome de Déficit de Aprendizaje de las Probabilidades) nos dio positivo y que se trata de una mal muy
infrecuente que solo afecta a 3 de cada mil personas en el país (es decir, al 0,3% de la población).
Agrega, además, que el análisis es muy preciso: en un 98% de la gente que sufre el mal el test indica positivo
y solo en un 1% de los casos da falso positivo. Tal panorama nos desespera y sufrimos al pensar que hay
un 99% de probabilidades de que efectivamente formamos parte de esa pequeña fracción de la población
que es aquejada por el síndrome.
¡FALSO!
Se trata de otro ejemplo de los riesgos de aplicar lógica intuitiva a situaciones poco comunes.
¿Por qué?
Primero, tengamos presente que todos los falsos positivos provienen de análisis efectuados a personas que
no padecen el síndrome (esa es precisamente la definición de falso positivo).
En segundo lugar, cuando se dice que hay un 1% de falsos positivos significa que, en uno de cada cien
individuos sanos a los cuales se les ha aplicado el análisis, el diagnóstico ha sido incorrecto.
Consideremos el tamaño relativo de la población que lo sufre respecto de aquella que no lo sufre. Para facilitar las cuentas, supongamos que el país tiene 10 millones de habitantes (el resultado no depende de este
número). De acuerdo a la información disponible el 0,3% de la población (es decir, 30 mil personas) sufre
de SDAP. En un 98% de esas 30.000 personas –es decir, en 29.400 personas– el test va a dar positivo. El
resto de la población (el 99,7%), es decir, 9.970.000 personas no sufren del mal.
Sin embargo, si esas personas sanas se hicieran el análisis en el 1% de los casos les entregaría un falso
positivo, esto es, 99.700 personas pensarían que sufren de SDAP.
Para calcular el verdadero riesgo de haber contraído la enfermedad, dado que nuestro análisis indicó positivo,
necesitamos encontrar qué proporción de los supuestos positivos efectivamente sufre el desorden.
En total habría 29.400 + 99.700 = 129.100 análisis que darían positivo, de los cuales solo los primeros (29.400)
son acertados. El porcentaje de los análisis que dan positivo y que efectivamente corresponden a sujetos
que sufren la enfermedad mal es:
resultados positivos efectivos = 29.400 = 22.77% de riesgo,
129.100
resultados positivos totales
una vez que el resultado del análisis dio positivo.
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Entonces, la percepción que tenemos un 99% de riesgo de padecer tan grave condición ha disminuido
dramáticamente al 22,77% de riesgo.
El análisis que, de buenas a primera, aparece con tan altas credenciales (98% de precisión), resulta ser
bastante ambiguo, y la razón de ello radica en que la incidencia de la enfermedad es considerablemente
menor que 50%. Esto es verdad para la mayoría de las enfermedades y la mayoría de las investigaciones
preliminares, de modo que la probabilidad de sufrir el mal es gratamente más baja que lo intuitivamente
esperado, aun cuando el análisis dio positivo.
De modo que cuando el doctor dice necesitar hacernos otros exámenes es porque realmente los necesita.
Notemos, por otro lado, que hay algunos análisis en los que los errores son imposibles, excepto cuando
se trata de algún error humano.
Como los análisis preliminares normalmente son noinvasivos, los médicos los usan para observar no directamente la enfermedad, sino que signos asociados a ella, lo cual no es del todo confiable. Por ello, prescriben
análisis más en profundidad que hacen uso de muestras, tales como las biopsias, mediante las cuales una
enfermedad puede detectarse o descartarse con mayor grado de certeza. Ello proporciona un mayor grado
de precisión, pero a costa de incomodidad, dinero y tiempo.
3. Probabilidades y coincidencias de la vida real
Hacer predicciones acerca del futuro incierto es parte de nuestras vidas cotidianas. Evaluamos si va a llover
para tomar un paraguas o ponernos ropa adecuada que nos proteja de la lluvia; antes de decidir cruzar una
calle en la esquina, suponemos que los autos van a detenerse en la luz roja. A menudo también hacemos
evaluaciones probabilísticas en nuestro trabajo, que van desde juzgar la idoneidad de un postulante a un
cierto cargo, hasta el comportamiento futuro de nuestros colegas, competidores y clientes. Normalmente
tales decisiones las tomamos en forma rutinaria de modo que no nos demandan mucho esfuerzo, sino que
las hacemos con una dosis de intuición y apelando a nuestra experiencia. Pero ello no garantiza que lo
hagamos óptimamente.
Presentamos a continuación algunas situaciones cuando las leyes de la probabilidad desafían a la intuición, mostrando de una manera contundente que debemos cuidarnos en ámbitos tan diferentes, como la
aparición de coincidencias en la vida cotidiana, la planificación de un paseo al aire libre o la interpretación
de un análisis de laboratorio que indaga por la salud de una persona, pero que constituyen también una
advertencia generalizable a la aplicación de justicia, la toma de decisiones, los pronósticos deportivos, los
estudios sobre la eficiencia de un fármaco, la calificación de desempeño de un estudiante, el procesamiento
de imágenes, el secuenciamiento genético, las redes neuronales, ciertos modelos epidemiológicos, algunos
sistemas expertos, como también en otros ámbitos del saber y el quehacer.
A menudo, las coincidencias nos sorprenden y aparecen revelándonos inesperadas relaciones entre personas
o cosas. A veces nos parecen tan inexplicables, que nos inducen a buscar una explicación sobrenatural o
paranormal. Sin embargo, quien tenga alguna familiaridad con la teoría de probabilidades sabe que esta
contra-intuitiva rama de la Matemática puede depararnos sorpresas.
Uno de los ejemplos más famosos es la paradoja del cumpleaños, que establece que en cualquier reunión
donde hay 23 personas (¡tan solo veinte y tres!) las “chances” de que dos de ellas celebren cumpleaños el
mismo día es 50 : 50, resultado que mucha gente encuentra sorprendente. Hay encuestas que demuestran
que la gente cree que para que ello suceda se necesitan más de 300 personas. También la gente, en general,
tiende a sobrestimar las condiciones que se deben cumplir para que aparezca algún tipo de coincidencia.
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Parte de la explicación reside en el hecho que no estamos pidiendo coincidencia entre personas específicas
o fechas específicas, pero, además, en que el número que importa no es el número N de personas en la
reunión, sino que el número (mucho mayor) de parejas que pueden formarse que es N(N – 1) que en el caso
2
de 23 personas es 253.
Por supuesto que es posible construir una explicación cuantitativa usando la teoría de probabilidades (y lo
haremos), pero nada reemplaza a la evidencia de la vida real para darse cuenta de que las coincidencias
están con nosotros y que siguen las predicciones de la teoría de probabilidades.
En este sentido, y dado que uno de los aspectos clave que genera la perplejidad en la paradoja del cumpleaños, es el pequeño número de personas que se necesitan para que haya un cumpleaños compartido por
dos personas; un partido de fútbol, por ejemplo, constituye una instancia real en la cual hay 11 jugadores
por equipo y un árbitro, lo cual hace un total de 23 personas y si supiéramos las fechas de nacimiento de
todos los jugadores del campeonato nacional profesional que están en la cancha un fin de semana dado,
seguramente encontraríamos coincidencias de cumpleaños en varias canchas.
Como demostración vívida de la paradoja, vale la pena practicar con los(as) estudiantes alguna experiencia
que utilice datos de la vida real. Se pueden formar 10 grupos de estudiantes y que cada grupo elija a 23
personas de las cuales efectivamente puedan conocer sus fechas de cumpleaños. Pueden ser familiares,
incluidos ellos mismos, o bien, personalidades cuyas fechas de nacimiento sean posibles encontrar en enciclopedias o en Internet. A modo de ejemplo, a un grupo se le podría asignar la tarea de hallar los datos de
23 Premios Nobel de Literatura entre 1980 y hoy; a otros los de Medicina, de Física, de Química, de la Paz,
de Economía; en seguida algo similar, pero con los galardonados entre 1955 y 1980. El resultado esperado
es que en 5 de los 10 grupos formados debiera haber al menos una coincidencia y en los otros 5 no. Normalmente esta predicción presentará desviaciones, pero al menos dará una idea sobre la paradoja.
Primero, un caso más simple
Antes de abordar una explicación matemática de la paradoja del cumpleaños, analicemos un caso conceptualmente idéntico, pero más sencillo, donde los números que intervienen son menos y menores. Pensemos
en la llegada, en la mañana de un día cualquiera, de los(as) estudiantes a una escuela básica, con cursos de
1º a 8º. ¿Cuál es la probabilidad de que en cierto momento haya dos estudiantes de un mismo nivel?
Obviamente una vez que ha llegado el(la) noveno(a) estudiante, podemos estar seguros de que al menos
dos de ellos(as) son del mismo nivel.
Queremos saber cómo varía la probabilidad de que se produzca coincidencia de nivel a medida que van
llegando los estudiantes. Para calcularla veremos cuál es la probabilidad P de que no haya coincidencia
y calcularemos la probabilidad de coincidencia como su complemento, es decir, como (1 – P). El primer
estudiante que llega puede estar en cualquier nivel y obviamente en ese caso no puede haber coincidencia
alguna. Cuando llega el(la) segundo(a) estudiante hay 8 · 8 = 82 = 64 configuraciones posibles, algunas de
las cuales las indicamos en la tabla siguiente:
Configuración
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
El primer
El segundo
estudiante es de: estudiante es de:
3º
1º
3º
2º
3º
3º
3º
4º
3º
5º
3º
6º
3º
7º
3º
8º
Coincidencia
No
No
Sí
No
No
No
No
No
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Se pueden construir tablas similares para los casos en que el(la) primer(a) estudiante que llega es de 1º, 2º,
4º, 5º, 6º, 7º u 8º.
Una vez llegado el(la) primer(a) estudiante, que puede estar en cualquiera de los 8 niveles, para que no haya
coincidencia de nivel, el segundo estudiante puede estar en cualquiera de los otros 7 niveles, por lo que
hay 8 · 7 = 56 alternativas en las que no se produce coincidencia. Como se ve en la tabla anterior, hay 8
alternativas y una coincidencia, que la hemos destacado. Se pueden construir otras 7 tablas análogas, de
manera que hay 64 configuraciones posibles y 56 no coincidencias, o lo que es lo mismo: 8 (es decir, 64
– 56) coincidencias.
Cuando llega el(la) tercer(a) estudiante habrá 8 · 8 · 8 = 83 = 512 configuraciones posibles (el denominador)
y 8 · 7 · 6 = 336 alternativas de no coincidencia (el numerador).
La siguiente tabla completa el razonamiento para los(as) primeros(as) nueve estudiantes:
N
8 · … · (10 – N +1) P(N)= 8 · 7· … ·(8 – N +1)/ 8N
8N
2
64 (=82)
3
512 (=83)
4
4.096 (=84)
5
32.768 (=85)
6
262.144 (=86)
7
2.097.152 (=87)
8 16.777.216 (=88)
9 134.217.728 (=89)
56
336
1.680
6.720
20.160
40.320
40.320
0
0,875
0,65625
0,410156
0,205078
0,076904
0,019226
0,002403
0,000000
1 – P (N)
0,125
0,34375
0,589844
0,794922
0,923096
0,980774
0,997597
1,000000
Notemos que cuando N = 9 el producto 8 · 7· … · (8 – N +1) se anula,
porque (8 – N + 1) = 0.
El gráfico siguiente ilustra el comportamiento de 1 – P(N) para distintos valores de N y en él podemos ver
que la probabilidad de coincidencia es significativa (mayor que el 60%) cuando han llegado 4 o más estudiantes.
1 – P(N)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
64
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N˚ de estudiantes
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La paradoja del cumpleaños
El problema lo plantearemos de la siguiente manera: ¿cuántas personas deben estar presentes en un salón
para que la “chance” de que al menos dos de ellas comparten la misma fecha de cumpleaños sea alta?
(digamos mayor que un 50%).
De un modo enteramente análogo al del ejercicio de los(as) estudiantes de la escuela básica, nos preocuparemos de contar primero las maneras en que las personas no compartan fecha de cumpleaños y en seguida
calcularemos la probabilidad de ocurrencia del complemento.
Por ejemplo, dos personas pueden tener 365 · 365 combinaciones de fechas de cumpleaños. Ese sería el
número total de posibilidades y es, por lo tanto, el denominador del número que estamos buscando.
Para encontrar el numerador, pensemos que llega la primera persona al salón (digamos que se trata de
una fiesta): esa puede tener cumpleaños cualquier día del año, es decir, tiene 365 posibilidades diferentes
(vamos a prescindir de considerar personas nacidas el 29 de febrero de un año bisiesto, puesto que solo
agrega complicaciones innecesarias al problema).
Llega ahora la segunda persona. Para que no haya coincidencia en el cumpleaños, existen 364 alternativas de
fecha. Entonces la probabilidad P(2) de que las dos personas no compartan cumpleaños es 365 · 364
. Si res365 2
tamos este resultado a 1, obtendríamos la probabilidad de que estas personas sí compartan cumpleaños:
1–
1 , que es el resultado esperado.
365 · 364
=
2
365
365
En seguida llega la tercera persona. Todas las posibles combinaciones de fechas que se pueden producir
con 3 personas, es decir, el denominador de la probabilidad, es 365 · 365 · 365, y el numerador sería 365 ·
364 · 363 (el número de maneras que no produce coincidencias).
La probabilidad P(3) de que no haya coincidencia de cumpleaños entre los(as) tres estudiantes es:
P(3) =
365 · 364 · 363
364 · 363
=
≈ 0,992
365 3
365 2
La expresión para N personas sería:
P(N) =
365 · 364 · ... · (365 – N + 1)
365 N
La probabilidad de que haya al menos una coincidencia es, entonces, 1 – P(N).
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Podemos tabular y graficar 1 – P(N), que es la probabilidad de que entre las N personas haya 2 que compartan fecha de cumpleaños.
Nº
365 · 364 · ... ·
personas
(365 + 1)
2
10
20
23
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
1,33E + 0.5
4,20E + 25
1,76E + 51
8,57E + 58
7,39E + 76
3,10E + 102
1,30E + 128
5,46E + 153
2,29E + 179
9,63E + 204
4,04E + 230
1,70E + 256
7,12E + 281
2,99E + 307
365N
365 · 364 · (365 – N + 1)
365N
1,33E + 05
3,71E + 25
1,04E + 51
4,22E + 58
2,17E + 76
3,37E + 101
3,86E + 126
3,21E + 151
1,93E + 176
8,25E + 200
2,49E + 225
5,21E + 249
7,49E + 273
7,28E + 297
9,97E
8,83E
5,89E
4,93E
2,94E
1,09E
2,96E
5,88E
8,40E
8,57E
6,15E
3,07E
1,05E
2,44E
-
1 – P(N)
0,0027
0,1169
0,4114
0,5073
0,7063
0,8912
0,9704
0,9941
0,9992
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
01
01
01
01
01
01
02
03
04
05
06
07
08
10
1,2
1
0,8
0,6
50o/c
0,4
0,2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Observando la tabla (y verificando en el gráfico), podemos ver que la probabilidad de coincidencia supera
el 50% cuando el número de personas es 23. La precisión con que construimos la tabla y el gráfico (con 4
cifras decimales) es insuficiente para discriminar el valor de la probabilidad 1 – P(N) una vez que se superan
las 80 personas: su valor ya aparece como 1, valor que en rigor se alcanza cuando hay 366 personas (para
N = 366, P(N) se anula). Notemos que, sin embargo, P(N) ≠ 0 (aunque pequeño) para 70 < N < 365.
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Vale la pena exhibir unos pocos valores seleccionados de la probabilidad de coincidencia de la fecha de
cumpleaños para grupos de personas de diferente tamaño y ver cómo la probabilidad de coincidencia crece
dramáticamente, tomando valores muy cercanos al 100% con grupos de 50 o más personas.
N
10
20
30
50
100
200
300
350
366
Probabilidad de coincidencia: 1 – P(N)
12%
41%
70%
97%
99.99996%
99.9999999999999999999999999998%
1 – (7 • 10–73)
1 – (3 • 10–131)
100%
La clave para entender la paradoja del cumpleaños es, como dijimos, que hay muchos posibles pares de
personas, cuyos cumpleaños pueden coincidir. Específicamente, entre 23 personas, hay 23 · 22 = 256
2
pares, cada uno de los cuales es un potencial candidato para coincidir. Para enfatizar el punto, consideremos un escenario diferente: si usted entra en una sala en la que ya hay 22 personas, la probabilidad de
que alguno festeje cumpleaños el mismo día que usted no es ni cercana al 50%, sino mucho menor. Eso
es, porque usted forma parte solo de 22 posibles pares que pueden coincidir. Pero el verdadero problema
del cumpleaños es que cualquiera de las 23 personas presentes tengan coincidencia de cumpleaños con
cualquiera de las demás.
En el análisis no se han considerado el efecto de los años bisiestos, ni la existencia de mellizos. También se
ha supuesto que los cumpleaños están uniformemente distribuidos a lo largo del año, lo cual no es efectivo
en la vida real, dado que no todas las fechas son iguales: en la planificación de una familia se puede privilegiar el nacimiento en ciertas épocas del año por razones climáticas, laborales u otras. También se puede
inducir un parto, adelantando o retrasando el nacimiento para que no coincida con ciertas fechas especiales
(una fiesta religiosa, 18 de Septiembre, 25 de diciembre, 1 de enero, el cumpleaños de otro miembro de la
familia, la conmemoración de una fecha indeseada, etc.) o para evitar un fin de semana largo, la ausencia
del médico que va a un congreso internacional, etc.
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4. Evaluaciones
Evaluación 1
1. Una caja contiene miles de clavos, algunos de los cuales son defectuosos. Si la probabilidad de extraer
al azar uno defectuoso es 0,02, calcula cuál es la probabilidad de que:
a) al extraer uno al azar no sea defectuoso
b) al extraer dos al azar ambos sean defectuosos
c) al extraer dos al azar uno sea defectuoso y el otro no
2. En una bolsa hay 1.000 bolas numeradas de 1 a 1.000. Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus cifras sea 7?
3. En un librero hay 5 libros de Biología, 3 de Química y 4 de Física. Determina de cuántas maneras diferentes
pueden disponerse en el librero si:
a) no hay un orden preestablecido
b) todos los de la misma disciplina deben estar siempre juntos
4. Hay un banco de preguntas constituido por 30 de Biología, 25 de Química, 35 de Física y 10 de Matemática. Determina la probabilidad de que al elegir 5 preguntas al azar estas correspondan a:
a)
b)
c)
d)
Biología
Física
Química
Matemática
Evaluación 2
1. Se lanzan 4 monedas al aire a la vez.
a) ¿Cuántos resultados posibles pueden darse?
b) ¿Cuántos resultados podrán obtenerse con 4, 3, 2, 1 o 0 caras?
2. En una bolsa hay 8 fichas verdes, 4 azules y 5 amarillas. Determine la probabilidad de que al extraer 3
fichas:
a) las 3 sean verdes
b) 2 sean amarillas y una azul
c) sea una de cada color
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3. Los(as) alumnos(as) disponen de 8 banderas de diferentes colores para dar información a los ciclistas a
medida que avanzan por el circuito de la carrera. ¿Cuántas señales diferentes pueden hacerse si para
cada una se utilizan:
a) 2 banderas
b) 3 banderas
4. Determina la probabilidad de que al hacer rodar un dado dos veces:
a) en ambos lanzamientos caiga en 2
b) en el primer lanzamiento caiga en 5 y en el segundo caiga en 3 o en 1
Evaluación 3
1. En una jaula hay 5 ratones negros, 3 blancos y 6 jaspeados. Determina la probabilidad de que al abrir la
puerta salgan:
a) 2 blancos o 3 jaspeados
b) 3 negros y 2 jaspeados
2. El inspector del colegio ha elegido a 20 estudiantes para organizar un desfile y les solicita que formen
una fila. ¿De cuántas maneras diferentes pueden formar la fila, si el más pequeño debe ir siempre en el
primer lugar y el más alto en el último?
3. En una urna hay 5 bolitas blancas, 6 azules y 7 rojas. Si se hacen 2 extracciones de 3 bolitas cada una, y
no hay devolución de las bolitas extraídas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción las
3 bolitas sean rojas y en la segunda, las 3 sean blancas?
4. En un curso de 30 alumnos(as) el 40% son mujeres y un tercio de ellas tienen ojos verdes. Si 9 personas
de este curso tienen ojos verdes, calcula la probabilidad de que:
a) al elegir una persona al azar sea hombre y no tenga ojos verdes
b) al elegir 2 personas, éstas sean mujeres y una tenga ojos verdes y la otra no
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SEGUNDA PARTE
Recursos didácticos
de apoyo
1. Método de Pólya para la resolución de problemas
En su famoso libro How to solve it? (¿Cómo resolverlo?)1, George Pólya (1887-1985) describe un método
de cuatro pasos para la solución de problemas que los bosqueja muy tempranamente en el libro para una
fácil referencia. Los pasos esbozan una serie de preguntas generales que el(la) estudiante que busca cómo
resolver un problema puede utilizar para alcanzar exitosamente su solución.
De no contar con las aludidas preguntas, igualmente el sentido común permitiría transitar por el mismo proceso; las preguntas simplemente permiten a los(as) estudiantes ver el proceso organizadamente en papel.
Pólya diseñó las preguntas de manera bastante general como para que los(as) estudiantes pudieran aplicarlas
a casi cualquier problema, tanto de Matemática como de otras disciplinas, incluso de la vida cotidiana.
En lo que sigue, adoptaremos un abordaje del método de Pólya desde tres perspectivas, que sugerimos sea
la forma en que debe ser tratado con los(as) estudiantes. En primer lugar, expondremos una visión general,
con el propósito de exhibir sus lineamientos básicos, lo que permite apreciar globalmente el propósito fundamental de la metodología y sus alcances; en seguida profundizaremos el significado de cada uno de los
pasos que el método establece, mostrando ejemplos ilustrativos en algunos casos apropiados; finalmente
adoptaremos un acercamiento más operacional, elaborando una suerte de pauta de cotejo que permita
saber a los(as) estudiantes, a través de preguntas concretas, si están recorriendo la ruta aconsejada por el
método.
Visión general
Los cuatro pasos que Pólya propone para abordar el trabajo que conduce a la solución de un problema
son:
1.
2.
3.
4.
comprender el problema
concebir un plan
ejecutar el plan
examinar la solución obtenida
1 Pólya, George: How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method, Penguin Science, 1945.
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Si bien este método es muy similar al que expone John Mason en Thinking Mathematically (Pensando
matemáticamente)2, Pólya separa la elaboración de un plan de su ejecución. Esto que en una primera mirada podría parecer una disimilitud menor, Pólya sostiene que sí hace una diferencia importante. Al diseñar
una estrategia, los(as) estudiantes pueden eliminar los errores en que podrían incurrir al precipitarse en la
ejecución del plan. Cuando los(as) estudiantes, en primer lugar, planifican y a continuación hacen el desarrollo matemático, ello les posibilita contar con una especie de tablero de control o mapa de ruta, para darle
seguimiento a su trabajo en la medida que van avanzando.
Comprender el problema
En el primer paso, los(as) estudiantes deberían ser capaces de establecer la incógnita o lo que deben encontrar para responder a la pregunta; además, identificar los datos que la pregunta les proporciona para
trabajar y las condiciones o restricciones que deben tener en cuenta.
Si logran aislar todos estos elementos, y son capaces de explicar la pregunta a otras personas, entonces
seguramente ya tienen una buena comprensión de lo que el problema está pidiendo. Pólya sugiere que los(as)
estudiantes hagan un dibujo o que introduzcan algún tipo de notación para visualizar la pregunta.
Concebir un plan
Para elaborar un plan, los(as) estudiantes pueden empezar por tratar de pensar en un problema relacionado que hayan resuelto precedentemente y que les ayude. Durante los primeros intentos de aplicación del
método puede ser de utilidad que sea el(la) mismo(a) docente quien les recuerde otro problema resuelto
anteriormente, que podría resultar inspirador. Si el(la) estudiante es capaz de pensar en un problema resuelto
antes con una incógnita similar, también podría ser útil.
Los(as) estudiantes pueden intentar reformular el problema de manera más simple o diferente, y tratar de
resolverlo. Al analizar los problemas relacionados con el propuesto, los(as) estudiantes pueden utilizar el
mismo método que resultó apropiado para resolver esos problemas.
Ejecutar el plan
Después de que los(as) estudiantes han decidido qué operaciones, cálculos o construcciones necesitan,
y una vez que estén seguros(as) de que todos los datos y condiciones pertinentes han sido incorporados,
pueden intentar poner su plan en marcha. Para llevar a cabo el plan, tienen que hacer todos los cálculos y
comprobarlos en la medida que avanzan. Luego deberían preguntarse: “¿Parece correcto?” Y en seguida:
“¿Puedo probar que es correcto?”
Examinar la solución obtenida
Cuando los(as) estudiantes examinan el problema y el plan que han ejecutado, esto puede aumentar su
comprensión de la solución. Siempre conviene revisar el resultado y los argumentos utilizados, y asegurarse
de que es posible comprobar su certeza. A continuación los(as) estudiantes deberían preguntarse: “¿Puedo
obtener el resultado de una manera diferente? ¿Puedo usar esto para otro problema?”
Ilustración de los cuatro pasos del método de Pólya
De acuerdo a lo que nos habíamos propuesto, en esta sección ahondaremos en los cuatro pasos del método
de Pólya, incorporando ejemplos que aporten claridad a lo que intentamos transmitir.
2 Mason, John; Burton, Leone y Stacey, Kaye: Thinking Mathematically, Addison Wesley, 1985.
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1. Comprender el problema
La comprensión de un problema requiere, en primer lugar, de la correcta interpretación del enunciado. Es
primordial entonces que, si queremos desarrollar en los(as) estudiantes las habilidades y destrezas para la
resolución de problemas, insistamos permanentemente en el análisis de los enunciados.
Para abordar la comprensión del enunciado, conviene concentrarse en problemas en los cuales ni la solución,
ni la búsqueda de la solución, ni el plan para encontrarla, ni la retrospección sean lo primordial, sino que el
fin casi único sea desentrañar el significado del enunciado mismo.
Ello significa saber con claridad de qué se trata el problema; qué pide; qué información proporciona; qué
condiciones impone. Para ello hay que explorarlo; reflexionar; debemos familiarizarnos con el problema;
estar en condiciones de relatarlo en palabras simples a otra persona.
Hay que recordarles a los(as) estudiantes que, en general, no es una buena estrategia agachar la cabeza y
calcular, porque muchas veces ello conduce a resolver el problema que no es; o bien, a perder de vista las
diferentes alternativas que se pueden configurar para acometer la tarea. Es frecuente que los(as) estudiantes
no terminen de asimilar el problema leyendo, y creen saber aquello que se les está preguntando, o bien, tienden a adivinar la pregunta.
Normalmente un enunciado contiene una o varias preguntas, ciertos datos que proporcionan información
relevante y, en ocasiones, información que no es relevante para la solución del problema. La relevancia o
irrelevancia de la información depende de la pregunta que plantee el problema: la misma información puede
ser relevante o irrelevante, según cuál sea la pregunta. Por ello es imprescindible analizar cuidadosamente
qué es lo que se persigue al responder.
Una vez que se ha identificado la información relevante, conviene asegurarse de que esta no sea contradictoria o redundante; igualmente notar si el problema está en alguna categoría conocida, por ejemplo, en
función del número de soluciones que pueda tener o de su planteamiento; examinar la influencia que un
dato o una condición podría imponer como, por ejemplo, si añadir una condición o un dato a un problema,
aumenta o disminuye el número de soluciones; o darse cuenta de que existen formulaciones de problemas
con solución indeterminada.
Los(as) estudiantes deben estar advertidos que hay diferentes formas en las que puede estar enunciado
un problema y que la responsabilidad de que ello sea así puede provenir de quien lo redactó (deliberada o
casualmente), o bien, que esa sea la forma cómo la realidad del entorno la presenta. Obviamente los problemas reales deben ser enfrentados de modo de recabar del sinnúmero de datos y restricciones disponibles,
aquellos que sean pertinentes para la pregunta que nos hemos formulado.
Enunciados que desvían la atención
Consideremos el siguiente enunciado:
Un tren sale de la Estación Central de Santiago a las 10:00 horas con destino a Chillán,
que dista 407 km de Santiago y su velocidad media es de 60 km/h. A las 10:45 horas,
otro tren sale de Chillán hacia Santiago y su velocidad media es de 70 km/h. Cuando
se cruzan ambos trenes, ¿cuál está más cerca de Chillán?
72
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En problemas como el presentado, parte de la información entregada no dice relación con la pregunta. En
este caso, el carácter capcioso de la pregunta es evidente, pero en ocasiones, de las varias preguntas formuladas, algunas requieren solo de un subconjunto del total de datos consignados en el problema. Debido
al exceso de información numérica, suele suceder que el(la) estudiante no percibe la información verdaderamente relevante, que, en el caso preciso que exponemos, es el hecho de que la pregunta está referida al
momento en que se cruzan.
Enunciados que transmiten un supuesto implícito
Analicemos el siguiente relato:
Las plantas traídas de Nueva Zelandia estaban ambientadas en una sala de cultivo
a 68ºF de temperatura. En Chile se logró un crecimiento adecuado solo cuando se
cultivaron en un ambiente con temperatura controlada a 20ºC, manteniendo todos los
otros parámetros físico-químicos y biológicos idénticos a los que existían en el lugar de
origen (humedad, presión, exposición a la luz, composición de la tierra, composición
del aire, nutrientes, hormonas, antibióticos, etc.). Los científicos están averiguando
cuáles podrían ser los factores que determinaron el cambio de temperatura al que
debieron ser sometidas las plantas para su normal crecimiento.
De hecho, dado que Tc = 5 (Tf – 32) , ambas temperaturas coinciden, de manera que no hubo cambio alguno
9
de temperatura.
El supuesto es que los datos, al estar expresados en unidades diferentes, se suponen también diferentes.
Enunciados que evocan una imagen mental preconcebida
Se afirma que un tablero de ajedrez tiene 204 cuadrados. ¿Cómo se puede explicar
tal aseveración?
Lo que sabemos es que un tablero tradicional de ajedrez tiene 64 casillas, pero realmente tiene mucho más
cuadrados, que no es sinónimo de casillas. La imagen está tan arraigada, que es difícil apartarse de ella.
Enunciados que inducen una respuesta
Recordemos la situación planteada en “El hombre que calculaba”:
Bajo ciertas circunstancias se encuentran tres hombres agobiados por el hambre y
la soledad. Al preguntarse con qué contaban para comer, uno advierte que no tiene
alimento alguno, otro que tiene 5 panes y el tercero que le quedan 3, de igual calidad
y tamaño; así, los 8 panes los reparten equitativamente, mientras caminan por el largo
camino que los conducía a la ciudad. Quien no tenía pan alguno resultó ser muy rico
y, cuando llegaron, recompensó con 8 monedas de oro a sus solidarios compañeros
de desgracia, para que las repartieran como les pareciera justo.
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La repartición matemáticamente correcta (proporcional a los aportes de cada cual) es 7 monedas para el
que aportó 5 panes y 1 moneda de oro para el que aportó 3, aunque el enunciado induce a pensar que la
repartición debe ser 5 y 3 monedas respectivamente, como responden mayoritariamente, sin vacilar, quienes
enfrentan el problema.
2. Concebir un plan
Aquí se trata de diseñar una forma de abordar el problema, es decir, cómo lo vamos a hacer. En este caso
conviene adoptar un criterio, que, por lo demás, resulta ser práctico cuando se aplica a una buena parte de
las actividades de la vida: incluso un mal plan es mejor que no tener plan alguno.
Buena parte de nuestras ideas exitosas se basan en experiencias previas y en conocimientos adquiridos.
El(la) docente, mediante preguntas y sugerencias, puede ir acercando al(a la) estudiante al trazado de una
estrategia para abordar el problema.
Conviene que los(as) estudiantes, inducidos(as) por el(la) profesor(a), mediante preguntas y sugerencias,
vayan descubriendo por sí solos(as) la ruta hacia la solución. El tipo de intervenciones del(de la) docente
sería del tipo:
•
•
•
•
•
¿qué problema conoces que lo puedas relacionar con este?
piensa en un problema que conozcas bien y que tenga la misma incógnita.
en la clase anterior resolvimos un problema relacionado con este, ¿cómo piensas que puede servirte?
¿puedes reformular el problema de una forma diferente?
si no puedes encontrar una forma de hacerlo, piensa en uno más simple y que se parezca a este.
Es posible que este tipo de interacción efectivamente conduzca a encontrar un plan de trabajo, que en
muchos casos va a depender fuertemente del estilo de aprendizaje propio de cada estudiante.
En los problemas que involucran números grandes como, por ejemplo, cuando se trata de ciertos cálculos
estadísticos o probabilísticos, es muy útil resolver modelos más pequeños de los mismos problemas (o
similares).
Por ejemplo, tomemos uno de los problemas del Texto del Estudiante en el que se pide calcular el número
de dúos que se pueden formar a partir de un grupo de diez personas.
Cuando uno desconoce la expresión n =
m
n!
que permite calcular cuántos grupos de m objetos se
(n - m)!m!
pueden formar con un conjunto de n objetos y dar una respuesta casi inmediata al problema propuesto, es ilustrativo hacer algunos intentos con grupos menos numerosos que el propuesto. Consideremos entonces el número
de parejas que se pueden formar con 3 personas (A, B, C). En ese caso las alternativas posibles son AB, AC y BC,
es decir, un total de 3 parejas. Con 4 personas (A, B, C, D), las posibiidades son AB, AC, AD, BC, BD, CD, es decir, hay 6 parejas posibles. Este razonamiento inductivo, si lo llevamos adelante va a hacer posible encontrar una
expresión general como la indicada al inicio, que en seguida permitirá resolver cualquier problema de este tipo.
3. Ejecutar el plan
Durante el proceso de resolución hay que evitar a toda costa actuar sin un sentido previamente bien definido.
Hay que tener clara conciencia del motivo por el cual estamos procediendo de una u otra manera. Debemos
estar siempre dispuestos a abandonar una idea, por atractiva que nos resulte, si ella es inconducente o no
tenemos argumentos para sostener su validez.
Persistir en una estrategia errónea o desviarse del objetivo es una causa frecuente de fracaso en la resolución de problemas.
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4. Examinar la solución obtenida
Resulta muy útil recordar el problema desde el principio. Volver a leer el enunciado y considerar si se ha
encontrado lo que se pedía ayudará a evitar errores referentes a la desviación del objetivo. También puede
ayudar a decidir la plausibilidad de la respuesta.
Algunas de las preguntas que cabe formularse en esta etapa:
¿Cuál es la información relevante? ¿Contiene el enunciado contradicciones o redundancias? ¿Contiene
información contaminante? ¿Expresamos en forma esquemática el plan seguido? ¿Nos mantuvimos fieles a
la estrategia o sin darnos cuenta la abandonamos? ¿Fue necesario desviarse deliberadamente para obtener
datos complementarios intermedios? ¿Encontramos caminos inconducentes? ¿Encontramos dificultades
insuperables? ¿Cuáles? ¿Logramos superarlas? ¿Encontramos otros caminos que ameriten exploración?
¿Hicimos la exploración? ¿Con qué conclusiones? ¿Estamos en condiciones de verificar el resultado? ¿Se
puede obtener el resultado de un modo alternativo? ¿Serviría el método usado para resolver un problema
diferente? ¿Se han empleado todos los datos? ¿Qué conocimientos resultaron necesarios para avanzar?
¿Qué se ha aprendido? ¿Qué aspectos de la resolución de este problema se podrían aplicar a otras situaciones?
Cuantos más problemas resolvamos haciendo uso de la metodología propuesta por Pólya, mayores habilidades adquiriremos y estaremos mejor preparados para resolver problemas con grados de dificultad
progresivamente mayores.
Un abordaje esquemático al método de Pólya
Finalmente, como habíamos adelantado, siguiendo a Pólya presentaremos una serie de preguntas y sugerencias que pueden ayudar a asegurarse que estamos progresando en la búsqueda de la solución del
problema.
Como se verá, la cantidad de preguntas que es posible formularse puede llegar a ser agobiante y cada
problema específico requerirá solo de un subconjunto de ellas y no es necesario ser exhaustivo. Deben ser
consideradas como como fuente de inspiración, particularmente en las primeras oportunidades en que el
método se utilice. Poco a poco, en la medida que se van adquiriendo las destrezas, las preguntas surgen
en forma natural y espontánea. Como en todos los ámbitos de desarrollo, quien se está sometiendo a un
entrenamiento, a medida que progresa, se va soltando, va alcanzando mayores niveles de desempeño.
Como en una coreografía en la que hay que llevar la cuenta, mantener el ritmo, recordar las figuras, los
pasos, las piruetas y que después de muchos ensayos, el gesto fluye, pero sin dejar de lado grandes dosis
de disciplina, rigor, esfuerzo y concentración.
Entender el problema (reconocer qué es lo que se está preguntando).
1. Entender todo lo que dice el enunciado.
2. Replantear el problema en palabras propias.
3. Identificar
a. los datos.
b. las incógnitas.
c. las condiciones.
d. las restricciones.
e. la meta (a qué quieres llegar).
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4. Determinar si la información proporcionada es:
a. suficiente.
b. redundante.
c. parcial o totalmente irrelevante.
5. Determinar si el problema es similar a otro resuelto con anterioridad.
6. Representar el problema con:
a. un dibujo
b. alguna notación
Concebir un plan (Responder a lo que se pregunta).
1. Buscar similitudes.
a. Asimilar el problema a alguno resuelto precedentemente.
b. Plantear y resolver un problema similar, pero más simple.
c. Analizar problemas similares.
d. Formular el problema de una manera diferente.
2. Analizar casos extremos.
a. Ver cómo funciona en casos particulares, especiales.
b. Hacer ingeniería reversa (trabajar marcha atrás).
c. Usar un modelo.
3. Desglosar el problema.
a. Hacer un dibujo o una figura.
b. Listar los datos, incógnitas, condiciones y restricciones.
c. Identificar metas intermedias.
d. Dividir el problema en subproblemas.
4. Utilizar herramientas propias de la matemática.
a. Usar las propiedades de los números.
b. Usar una variable para representar una incógnita.
c. Buscar una fórmula.
d. Resolver una ecuación.
e. Usar análisis dimensional.
5. Utilizar criterios geométricos.
a. Ver si existe un patrón, una regularidad.
b. Ver si existen simetrías.
c. Plantear el problema con coordenadas.
6. Conjeturar posibles soluciones
a. Experimentar con ensayo y error.
b. Esbozar una solución potencial.
Ejecutar el plan (Realizar operaciones, cálculos y construcciones).
1. Disponer de un tiempo razonable para resolver el problema.
2. Refinar y transformar en una solución.
3. Relacionar tareas a los datos, a las incógnitas y a las condiciones o restricciones.
4. Definir pasos en relación al problema completo.
5. Verificar la validez de cada paso.
6. Implementar la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente el problema.
7. Tomar una nueva línea de acción, si es lo que sugiere el desarrollo.
8. Solicitar sugerencias, pistas o aclaraciones si no se ve con claridad cómo proceder.
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Dejar el problema momentáneamente de lado (con frecuencia la mente sigue trabajando en automático
en la búsqueda de una solución).
10. Volver a emprender la tarea, si no se ha encontrado la solución por el camino escogido.
9.
Examinar la solución obtenida (Comprobar. ¿Qué me dice el resultado?).
1. Verificar el resultado.
2. Validar si la solución encontrada se comporta bien en casos extremos.
3. Repasar los argumentos para analizar su validez.
4. Evaluar la precisión de los resultados.
5. Evaluar la utilidad de la solución para resolver otros problemas.
6. Explorar si existen otras soluciones.
7. Analizar si existen procedimientos alternativos más sencillos.
8. Verificar si la respuesta efectivamente responde la pregunta formulada.
9. Estudiar si es posible generalizar la solución encontrada.
Comentario final
El método de Pólya para la resolución de problemas resulta ser tremendamente eficaz cuando se trabaja
sistemáticamente y con esmero. Después de un tiempo relativamente corto (algunas semanas), una parte
significativa de los(as) estudiantes lo incorpora naturalmente a su maletín de herramientas y comienza a
usarlo de manera inadvertida, dado que el método no es más (ni menos) que una forma de empaquetar el
sentido común, por lo que resulta muy natural su apropiación.
2. Pautas de evaluación
Pauta para evaluar exposiciones orales individuales
Nombre del expositor
Tema
Fecha
Puntaje total
Nota
Indicaciones:
De acuerdo a lo presentado por el(la) estudiante, señale en cada casillero el puntaje obtenido de acuerdo a
su apreciación, conforme a la valoración:
1: insatisfactorio, no evidencia el rasgo con una frecuencia significativa (<25%)
2: insatisfactorio, evidencia el rasgo de manera ocasional (<50%)
3: satisfactorio, evidencia el rasgo de manera general (<75%)
4: notable, evidencia el rasgo de manera permanente (>75%)
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77
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Indicadores
1
2
3
4
Se expresa con soltura frente a sus compañeros.
Emplea un lenguaje matemático adecuado.
Manifiesta dominio del tema expuesto.
Establece relaciones entre el tema expuesto y situaciones cotidianas.
Realiza las adecuadas inflexiones de voz, con una modulación apropiada.
Emplea materiales de apoyo (si corresponde).
Emplea un lenguaje apropiado al nivel de sus compañeros(as), pero sin perder
la rigurosidad.
Es capaz de centrar la atención de sus compañeros(as) y de la exposición en
torno a la idea fuerza.
Presenta el tema manteniendo un adecuado hilo conductor.
Realiza una adecuada articulación entre los temas que presenta.
Pauta para evaluar investigaciones bibliográficas
Nombre del(de la)
estudiante
Problema o tema de
investigación
Fecha
Puntaje total
Nota
Indicaciones:
De acuerdo a lo presentado por el(as) estudiante, señale en cada casillero el puntaje obtenido de acuerdo
a su apreciación, conforme a la valoración:
1: insatisfactorio, no evidencia el rasgo con una frecuencia significativa (<25%)
2: insatisfactorio, evidencia el rasgo de manera ocasional (<50%)
3: satisfactorio, evidencia el rasgo de manera general (<75%)
4: notable, evidencia el rasgo de manera permanente (>75%)
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Indicadores
1
2
3
4
1. El problema y/o el tema escogido es relevante y está suficientemente identificado y descrito.
2. La investigación plantea una introducción y objetivos.
3. La investigación propone preguntas o pistas por las cuales iniciar el trabajo.
4. La investigación presenta un breve, pero significativo marco conceptual o teórico.
5. La investigación contempla diversas y variadas fuentes, como textos, revistas, Internet, etc.
6. Las fuentes bibliográficas son actualizadas y pertinentes al tema de investigación.
7. El desarrollo de la investigación evidencia la búsqueda de las respuestas planteadas al inicio.
8. El análisis de la información evidencia estar hecho sobre la base de lo investigado.
9. La investigación presenta conclusiones válidas para la información recolectada.
10. El análisis de la información, al igual que las conclusiones, contempla el cruce con los contenidos
desarrollados en clases.
11. Las conclusiones finales abren la posibilidad de nuevas preguntas y propuestas de trabajo.
12. La investigación presenta citas y referencias bibliográficas.
13. La investigación presenta cuadros, tablas, gráficos, dibujos, esquemas (si corresponde).
14. La investigación se presenta con adecuada redacción y ortografía.
“V” de Gowin
Es una forma de evaluar la presentación de informes del desarrollo de actividades experimentales. Esta
forma de presentar y evaluar el reporte de las actividades de laboratorio está centrada en una situación
problemática o pregunta global a la que se apunta resolver o responder. Dicha situación es el centro del
trabajo, para lo cual se diseñan procedimientos o una metodología funcional a ella. En este modelo, además, se deben identificar los conceptos clave o ideas fuerza con las que se trabaja o que se “descubren”
a lo largo de la actividad:
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INFORME DE LABORATORIO
“V” de Gowin
Conceptos
(que se identifican de
la actividad práctica)
Aquí se escribe:
Problema o
pregunta central a
resolver
Aquí se escribe:
listado de conceptos
que se deducen de la
experiencia realizada.
Metodología o
procedimientos
seguidos
Aquí se escriben:
observaciones
relevantes realizadas.
Aquí se escriben:
conclusiones o
afirmaciones de lo
observado.
Respuesta a la pregunta central
Materiales utilizados
Pauta / protocolo para generar informes de laboratorio de Matemática
Esta pauta, si bien no es precisamente una pauta de evaluación, constituye una valiosa ayuda para el estudiante, al momento de elaborar el informe o reporte de sus actividades experimentales de la Matemática.
No obstante, es fácilmente transformable o adaptable para efectuar la pauta de cotejo o evaluación de la
misma actividad.
ACCIONES A REALIZAR
RESPUESTAS
Escoger el título contextualizado del informe.
ANTES
Identificar el problema principal que se quiere resolver.
Plantear la hipótesis (posible respuesta al problema y que se debe verificar).
Indicar los materiales que se van a utilizar.
Describir el procedimiento seguido para realizar la actividad
(pasos principales y en orden temporal).
Transcribir observaciones y datos relevantes.
DURANTE
Comunicar los datos en esquemas o gráficos según corresponda.
Redactar las conclusiones (afirmaciones que emergen de las observaciones y
se relacionan con la hipótesis).
Revisión del texto del informe elaborado.
En qué otros contextos se podría estudiar el tema de la investigación.
DESPUÉS
¿Qué preguntas le haría a sus estudiantes para cerciorarse de que han
comprendido el trabajo experimental o práctico?
Otras ideas que usted puede incluir y que se refieran a ciencia escolar.
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Rúbricas
Evaluación Actividad:
1
2
3
4
5
6
Comprender
Pensamiento
crítico
Elaboración
Participación
Creatividad
Responsabilidad
CATEGORÍA
NO LOGRADO
MEDIANAMENTE
LOGRADO
LOGRADO
DESTACADO
Resolución
de problemas
Planifica en forma
incipiente las etapas
del proyecto sin poder
resolver la mayor
parte de los aspectos
surgidos durante el
proceso y, además, se
observan deficiencias
en el aspecto formal
y/o la culminación del
trabajo.
Planifica las etapas
del proyecto no
logrando resolver
todos los aspectos
del mismo surgidos
durante el proceso
o la planificación y,
además, se observan
deficiencias en el
aspecto formal del
trabajo.
Planifica las
etapas del proyecto, logrando
un resultado
óptimo habiendo
no resuelto todos
los aspectos
del proyecto
surgidos durante
el proceso o la
planificación.
Planifica y logra
resolver todas las
etapas del proyecto y,
además, se sobrepone a las situaciones y
dificultades surgidas
durante el proceso,
alcanzando un resultado destacado.
No logra analizar ni
sintetizar coherentemente el contenido del proyecto
y, además, existen
relaciones o ideas
incoherentes o
inapropiadas.
Analiza y sintetiza coherentemente el contenido del proyecto
existiendo relaciones
o ideas incoherentes
o inapropiadas.
Analiza y sintetiza
coherentemente
el contenido del
proyecto.
Analiza y sintetiza
articulada y coherentemente el contenido
del proyecto.
Desarrolla en forma
incipiente la elaboración de los elementos
del proyecto así como
la aplicación de los
materiales.
Desarrolla medianamente la elaboración
de los elementos
del proyecto y/o la
aplicación de los
materiales.
Logra elaborar
adecuadamente
los elementos
del proyecto y la
aplicación de los
materiales.
Destaca en la
elaboración de los
elementos del proyecto, en su construcción
y en el uso de los
materiales.
No realiza o realiza de
manera incompleta
su participación en el
trabajo en equipo. Su
actitud no contribuye
a buscar soluciones
en su grupo de
trabajo.
Alcanza un mediano
desempeño en el
trabajo en equipo
siendo su actitud
poco participativa y
poco solidaria. Su
desempeño contribuye muy poco a buscar
soluciones en su
grupo de trabajo.
Logra un
adecuado
trabajo en equipo
siendo su actitud
participativa.
Destaca por su aporte
y su actitud participativa, favoreciendo
el trabajo en equipo.
Además, su desempeño contribuye a
buscar soluciones en
su grupo de trabajo.
No incorpora
creatividad en el uso
de los contenidos
y materiales del
proyecto, evidenciándose soluciones o
elecciones ampliamente comunes y sin
originalidad.
Incorpora medianamente creatividad
durante la experimentación y la puesta en
práctica, evidenciándose soluciones o
elecciones comunes y
poco originales.
Logra creatividad
durante el proceso de experimentación y la puesta
en práctica.
Destaca la creatividad
durante el proceso de
experimentación y la
puesta en práctica,
aportando nuevas
ideas y soluciones.
No logra cumplir con
plazos y compromisos
establecidos.
Logra medianamente
cumplir con plazos y
compromisos establecidos, existiendo
evidencia de atrasos
y/o incumplimientos
y/o falta de materiales. Falta mucho por
mejorar.
Cumple adecuadamente con
plazos y compromisos establecidos, existiendo
una evidencia de
incumplimiento durante el
proceso.
Destaca por cumplir
con plazos y compromisos establecidos
durante todo el proceso del proyecto.
2
4
6
8
Análisis y
síntesis
coherente
Diseño y
aplicación de
los materiales
Desarrollo
del trabajo en
equipo
Creatividad en
la experimentación y en
la puesta en
práctica
Cumple con
plazos y
compromisos
establecidos
Puntaje
Puntaje
Puntaje total: 48 puntos
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81
10/8/09 17:34:06
Evaluación Proyecto:
1
Comprender
2
Pensamiento
crítico
3
Elaboración
4
Participación
5
6
Creatividad
Responsabilidad
CATEGORÍA
NO LOGRADO
MEDIANAMENTE
LOGRADO
LOGRADO
DESTACADO
Resolución
de problemas
Planifica en forma
incipiente las etapas
del proyecto sin poder
resolver la mayor
parte de los aspectos
surgidos durante el
proceso y, además, se
observan deficiencias
en el aspecto formal
y/o la culminación del
trabajo.
Planifica las etapas
del proyecto no
logrando resolver
todos los aspectos
del mismo surgidos
durante el proceso
o la planificación y,
además, se observan
deficiencias en el
aspecto formal del
trabajo.
Planifica las
etapas del proyecto, logrando
un resultado
óptimo habiendo
no resuelto todos
los aspectos
del proyecto
surgidos durante
el proceso o la
planificación.
Planifica y logra
resolver todas las
etapas del proyecto y,
además, se sobrepone a las situaciones y
dificultades surgidas
durante el proceso,
alcanzando un resultado destacado.
No logra analizar ni
sintetizar coherentemente el contenido del proyecto
y, además, existen
relaciones o ideas
incoherentes o
inapropiadas.
Analiza y sintetiza coherentemente el contenido del proyecto,
existiendo relaciones
o ideas incoherentes
o inapropiadas.
Analiza y sintetiza
coherentemente
el contenido del
proyecto.
Analiza y sintetiza
articulada y coherentemente el contenido
del proyecto.
Desarrolla en forma
incipiente la elaboración de los elementos
del proyecto así como
la aplicación de los
materiales.
Desarrolla medianamente la elaboración
de los elementos
del proyecto y/o la
aplicación de los
materiales.
Logra elaborar
adecuadamente
los elementos
del proyecto y la
aplicación de los
materiales.
Destaca en la
elaboración de los
elementos del proyecto, en su construcción
y en el uso de los
materiales.
No realiza o realiza de
manera incompleta
su participación en el
trabajo en equipo. Su
actitud no contribuye
a buscar soluciones
en su grupo de
trabajo.
Alcanza un mediano
desempeño en el
trabajo en equipo,
siendo su actitud
poco participativa y
poco solidaria. Su
desempeño contribuye muy poco a buscar
soluciones en su
grupo de trabajo.
Logra un
adecuado
trabajo en equipo
siendo su actitud
participativa.
Destaca por su aporte
y su actitud participativa, favoreciendo
el trabajo en equipo.
Además, su desempeño contribuye a
buscar soluciones en
su grupo de trabajo.
No incorpora
creatividad en el uso
de los contenidos
y materiales del
proyecto, evidenciándose soluciones o
elecciones ampliamente comunes y sin
originalidad.
Incorpora medianamente creatividad
durante la experimentación y la puesta en
práctica, evidenciándose soluciones o
elecciones comunes y
poco originales.
Logra creatividad
durante el proceso de experimentación y la puesta
en práctica.
Destaca la creatividad
durante el proceso de
experimentación y la
puesta en práctica,
aportando nuevas
ideas y soluciones.
No logra cumplir con
plazos y compromisos
establecidos.
Logra medianamente
cumplir con plazos y
compromisos establecidos, existiendo
evidencia de atrasos
y/o incumplimientos
y/o falta de materiales. Falta mucho por
mejorar.
Cumple adecuadamente con
plazos y compromisos establecidos, existiendo
una evidencia de
incumplimiento durante el
proceso.
Destaca por cumplir
con plazos y compromisos establecidos
durante todo el proceso del proyecto.
2
4
6
8
Análisis y
síntesis
coherente
Diseño y
aplicación de
los materiales
Desarrollo
del trabajo en
equipo
Creatividad en
la experimentación y en
la puesta en
práctica
Cumple con
plazos y
compromisos
establecidos
Puntaje
Puntaje
Puntaje total: 48 puntos
82
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Ejemplos de pautas para evaluar diversas modalidades de trabajo colaborativo:
NOMBRE DEL(DE LA) ESTUDIANTE ________________________ CURSO:_____
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA O TEMA : ________________________________________
S: Siempre – F: Frecuentemente – A: Algunas veces – P: Pocas veces – N: Nunca
CRITERIOS
AUTOVALORACIÓN
CONCEPTO
PROFESOR(A)
VALORACIÓN
CONJUNTA
Busco alternativas, pregunto, para la solución
de problemas.
Busco el porqué de las cosas.
Manejo diferentes fuentes de información.
Asumo actitud crítica preguntándome cuán
confiable o seria es la información de que
dispongo.
Hago buen uso de los materiales e implementos de que dispongo.
Participo aportando ideas y me intereso por
que se logre el objetivo del trabajo propuesto.
Tengo conciencia de que al trabajar debo
hacer esfuerzos por comprender, relacionar y
aplicar los conceptos tratados en el trabajo a
mi vida cotidiana. Me pregunto dónde los he
visto, por ejemplo.
Estoy consciente que debo revisar el trabajo
antes de entregarlo para detectar y corregir
posibles errores.
Trato de pensar, siguiendo una forma coherente para razonar y, cuando no se me ocurre, pregunto a mi profesor (a).
Soy innovador(a), le pongo algo de mí, evito
la copia en el desarrollo de mis trabajos o en
los que participo.
Generalmente pregunto sobre los temas trabajados a otras personas para entender mejor
y ver su aplicación en mi vida cotidiana.
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Pauta para evaluar habilidades de aprendizaje colaborativo1.
Instrucciones.- En los casilleros correspondientes, escriba la palabra Mucho, Poco o Nada, según sea
el grado de aporte que tú y cada uno(a) de tus compañeros(as) han hecho para la realización del trabajo
encomendado.
Nombre alumno(a): ____________________________________________________ Fecha: ______
Indicaciones.- De acuerdo a lo observado por Ud., señala tu apreciación escribiendo frente a cada aspecto, la letra de uno de los siguientes concepto valorativo: E=Excelente; S=Satisfactorio; N=Necesita trabajo
(ayuda); I=Insatisfactorio; N/O=No observado.
Tipo de habilidad
Habilidades observadas durante el trabajo cooperativo.
Nombre de los participantes
1
2
3
1
2
3
4
5
Permanece en su tarea.
Termina sus tareas.
Sigue las instrucciones.
Comprende las ideas.
Permanece en grupos.
Comparte materiales.
Se preocupa por el tiempo.
Da evidencias de investigación.
Habilidades sociales
4
5
Escucha a otros(as).
Usa tono de voz adecuado.
Respeta los turnos.
Hace preguntas.
Comparte sus ideas.
Informa sus ideas.
Solicita ayuda.
Ayuda a otros(as).
Logra consenso grupal.
1
Tomada y adaptada de propuesta del Profesor Daniel Saldivia, UFRO, 1997.
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Habilidades de trabajo
1
2
3
4
5
Automotivado(a).
Independiente.
Dispuesto(a) a correr riesgos.
Piensa creativamente.
Piensa con coherencia.
Muestra confianza.
Dedicación horaria.
Puntualidad.
Perseverancia.
Cumplimiento de tareas organizadas.
Aporte material
1
2
3
4
yo
10.- Monetario (cuando es necesario).
11.- Utensilios.
12.- Manualidades (dactilografía, copiado, etc.)
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Algunos ejemplos de instrumentos para evaluación de trabajos prácticos:
Ejemplo de fichas de autoevaluación
a) Descriptiva
¿Cómo fue tu desempeño durante el trabajo desarrollado en clase?
“Cumplí con los trabajos encargados, como mapas conceptuales;
cuando puedo participo en clase, aún me cuesta”.
“Creo que he cumplido con las actividades y tareas que se han realizado
hasta la fecha”. “He fallado en una tarea, me quedó mal”.
“He aprendido a realizar un mapa conceptual”. “No presenté mi carpeta”.
“Nunca he faltado a clase”. “Solo una vez me llamaron la atención”.
b) Con escala
Nombre del(a) alumno(a)……………………………………………………………… Fecha……………….
Indicadores
1. Participo activamente en las actividades
de la clase.
Siempre Casi siempre A veces Raras veces Nunca
2. Cumplo con las tareas asignadas por mi
profesora o mis compañeros.
3. Comprendo el significado de los
contenidos desarrollados.
4. Puedo aplicar los contenidos aprendidos a
nuevas situaciones.
5.Reconozco la importancia y valoro los
conocimientos adquiridos.
c) Metacognitiva
Tema:…………………………………………..
Nombre del(a) alumno(a)……………………………………………………………. Fecha: ………………
Contenidos del tema
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¿Qué sabía yo antes?
¿Qué sé yo ahora?
¿Cómo lo he aprendido?
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Fichas de autoevaluación
Lista de cotejo
Objeto a evaluar: Informe de práctica de laboratorio de Matemática
Grupo: ______________________
Integrantes: __________________
Fecha:________________
Aspectos observados
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Presencia
Ausencia
El informe presenta _______________________________.
Los cuadros están correctamente elaborados.
Los gráficos son adecuados para el análisis de la investigación.
Los pasos de la técnica empleada son explicados con detalle.
Los dibujos representan, lo mejor posible, las observaciones realizadas.
Las interpretaciones y conclusiones son fundamentadas.
Se citan fuentes bibliográficas.
El informe se presenta ordenado y limpio.
El informe se entrega en la fecha señalada.
¿Cómo lo hicimos en grupo?
M. V.
A. V.
P. V.
Cada uno(a) de nosotros(as) contribuyó con
ideas.
M. V.
A. V.
P. V.
Nos escuchamos entre nosotros(as).
M. V.
A. V.
P. V.
Yo escucho a mis compañeros(as).
Nos dimos ánimo mutuamente.
M. V.
A. V.
P. V.
Yo di ánimo a mis compañeros(as).
Creamos a partir de las ideas de todos(as).
M. V.
A. V.
P. V.
Elaboré mis ideas a partir de las demás
ideas de todos(as).
Respetamos los turnos para hacer cumplir con
nuestras responsabilidades.
M. V.
A. V.
P. V.
Respeté los turnos para cumplir con mis
responsabilidades.
Para mejorar nuestro trabajo podríamos:
¿Cómo lo hice yo?
Yo contribuí con mis ideas.
Para mejorar mi trabajo puedo:
Instrucciones: Marca sobre las letras M. V: (Muchas Veces); A. V: (Algunas Veces) o P. V: (Pocas Veces) según la percepción que tú y tus compañeros tengan sobre lo consultado anteriormente:
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Escala para la valoración de dibujos de Matemática
Este instrumento supone la consideración de una serie de indicadores acordes a los criterios establecidos
para la elaboración de los dibujos seguidos de tres columnas que habrán de determinar:
• la puntuación máxima otorgada previamente por el(la) docente.
• la valoración del(de la) mismo(a) estudiante.
• la del(de la) docente.
Una vez concluido el proceso de asignación de puntuaciones se pretende obtener un promedio que derive
en una calificación.
INDICADORES
Puntuación
máxima
Valoración del(de la)
alumno(a)
Valoración del(de la)
docente
1. Contiene los criterios o características determinadas con anterioridad.
2. Emplea una escala apropiada.
3. El uso de colores es adecuado al contexto o
tema estudiado.
4. El dibujo representa realmente el contenido de
estudio en toda su concepción.
5. Emplea, si corresponde, nomenclatura para
cada uno de los elementos que lo conforman.
6. Expresa relación entre la estructura y función
que quiere representar.
7. Incluye texto que aclara la representación
visual.
(Adaptada de Lewin y Shoemaker, Great Performances Creating Classroom - Based Assessment Task, 2000, página 36).
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Pauta para evaluar el cuaderno de Matemática
INDICADORES
Muy Bien
Bien
Regular
Debe mejorar
en:
Presentación:
• Titula adecuadamente cada Unidad.
• Anota la fecha del día.
• Deja un margen adecuado a derecha e izquierda.
• Escribe con buena letra con tachaduras y correcciones.
• Escribe con buena letra y sin tachaduras.
Organización:
• Diferencia entre Unidades dejando una página en blanco, por
ejemplo.
• Diferencia adecuadamente los apartados de cada Unidad de
alguna forma visible.
• Diferencia contenidos y actividades titulando adecuadamente.
Técnicas de aprendizaje:
• Anota las explicaciones del(de la) profesor(a) sobre el tema como
si fueran dictados.
• Copia sin elaborar los contenidos que necesita aprender.
• Anota explicaciones con sus propias palabras.
• Utiliza esquemas para tomar los apuntes.
• Inserta esquemas y gráficos ya elaborados.
• Elabora esquemas y gráficos por sí mismo(a).
Actividades:
• Copia los enunciados de cada actividad.
• Realiza las actividades que le resultan más fáciles.
• Intenta realizar todas las actividades propuestas.
• Realiza todas las actividades, aunque pida ayuda.
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Pauta de evaluación de lectura de textos científicos en parejas
Instrucciones:
a) elige un(a) compañero(a) para revisar los textos mutuamente.
• Tu tarea será leer el texto en voz alta.
• La tarea de tu compañero(a) será escuchar atentamente la lectura.
b) a continuación, juntos, contesten las preguntas siguientes:
Nombre texto a evaluar:
Página en que se encuentra en el libro:
Nombres de ustedes:
Fecha:
Preguntas
Respuestas breves y claras
1. ¿Creen que el texto es interesante? ¿Atractivo?
2. ¿Creen que le falta algo? ¿Qué?
3. ¿Hay algo poco claro o mal expresado? ¿Qué?
4. ¿Pueden sugerir algunas palabras o expresiones
para mejorarlo? Háganlo.
5. ¿Podrían encontrar una mejor manera de empezar o acabar el texto?
6. ¿Es demasiado largo o corto? ¿Por qué?
7. ¿Se puede suprimir algo? Por ejemplo:
8. ¿El texto corresponde a lo que decía en el título
o a lo que se proponía el(la) autor(a)?
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Pauta de seguimiento del desarrollo de habilidades científicas (Para el(la) docente)
Como metodología para realizar las actividades grupales, especialmente en el desarrollo de las mismas, se
sugiere al profesor o profesora el Método Colaborativo. El método consiste en conformar grupos de trabajo
de 4 integrantes en el que al menos haya un(a) estudiante de buen rendimiento, para darle consistencia al
grupo.
Metodología para el trabajo colaborativo:
El trabajo colaborativo es muy interesante como metodología de trabajo, ya que a través de él se puede
lograr en los alumnos o las alumnas la incorporación de habilidades tanto intelectivas como sociales. Este
tipo de trabajo en equipo es hoy en día muy utilizado a todo nivel y, por lo tanto, las habilidades que el(la)
alumno(a) pueda desarrollar con este método le serán útiles a posteriori, incluso en su vida laboral.
Para el trabajo colaborativo en los grupos, se sugiere al docente que induzca a cada grupo a la asignación
de roles diferentes, por ejemplo, si el grupo es de 4 integrantes debería haber:
1. Jefe(a) de grupo: Alumno o alumna encargado(a) de dirigir y organizar las actividades a realizar por el
grupo.
2. Secretario(a): Alumno o alumna encargado(a) de tomar apuntes en forma ordenada de las observaciones
y los resultados obtenidos en el trabajo.
3. Encargado(a) del material: Alumno o alumna que pide y devuelve los materiales necesarios para desarrollar
las experiencias.
4. Expositor(a): Alumno o alumna que se encarga de exponer los resultados o conclusiones del grupo al
curso.
HABILIDADES
• Exponen ideas, usando terminología matemática.
•
•
•
•
Fecha:
Fecha:
Fecha:
Fecha:
Observaciones Observaciones Observaciones Observaciones
Relatan ideas en forma coherente.
Explican con claridad lo solicitado.
Debaten sus ideas en forma mesurada.
Ilustran, hacen tablas y gráficos respetando
convenciones.
• Manipulan con propiedad los instrumentos de
medición, los materiales y las herramientas.
• Montan experimentos, según instrucciones dadas.
•
•
•
•
Se organizan al interior del grupo con autonomía.
Diseñan experimentos sencillos.
Elaboran informes, según instrucciones dadas.
Otros que Ud. quiera considerar.
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Informe de laboratorio/trabajos prácticos
Acciones a realizar
Antes
Durante
Después
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Respuestas
- Escoger el título contextualizado del informe.
- Identificar el problema principal que se quiere resolver.
- Plantear la hipótesis (posible respuesta al problema y que se
debe verificar).
- Indicar los materiales que va a utilizar.
- Describir el procedimiento seguido para realizar la actividad
(pasos principales y en orden temporal).
- Transcribir observaciones y datos relevantes.
- Comunicar los datos en esquemas/gráficos, según corresponda.
- Redactar las conclusiones (afirmaciones que emergen de las
observaciones y se relacionan con la hipótesis).
- Revisión del texto del informe elaborado.
- ¿En qué otros contextos se podría estudiar el tema de la investigación?
- ¿Qué preguntas le haría a sus alumnos y alumnas para cerciorarse de que han comprendido el trabajo experimental/práctico?
- Otras ideas que Ud. puede incluir y que se refieran a
ciencia escolar.
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3. Actividades experimentales
Matemática experimental: una forma de vivenciar fórmulas y teoremas
Instrumentos básicos de medición (regla, transportador, reloj, teléfono celular, balanza, pesa, termómetro),
objetos familiares (dados, barajas de cartas, monedas, vasijas, alambres, papel, agua, greda, cuentas de
servicios básicos), de información animada en Internet (simulaciones, videos), ciertos softwares (MS Excel®, Geogebra®), fenómenos y situaciones de la vida cotidiana (plaza de juegos infantiles, montañas, ríos,
edificaciones), de información pública (diarios, sitios de Internet), constituyen un laboratorio de Matemática
de impensada utilidad.
Con esos elementos (y otros que se le puedan ocurrir al(a la) docente o los(as) estudiantes), es posible hacer
demostraciones de ciertos comportamientos y tendencias que siguen leyes matemáticas, tener la vivencia
de ciertos tópicos revisados en las clases expositivas o presentados en el texto, construir inductivamente
leyes generales, ilustrar conceptos expuestos en clase, motivar un tema específico.
Por las razones antedichas, incorporamos en este conjunto de alternativas sugeridas de evaluación, algunas
que, siendo propias de las ciencias experimentales (como la Biología, la Física o la Química), se prestan
cabalmente para evaluar actividades experimentales en Matemática.
A modo de sugerencia evocativa, incluimos una lista de actividades experimentales que, en su mayoría, se
explican por sí solas y que en ocasiones hemos incluido una indicación aclaratoria.
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Actividades experimentales
Unidad 1
Unidad 2
Unidad 3
Cálculo de raíces “a mano”
por los métodos presentados en el curso.
Aclarar que se usa una planilla de cálculo para verificar la precisión de
los métodos de cálculo de raíces “a mano”.
Gráficos función raíz
cuadrada.
Graficar con Excel, otra planilla de cálculo o algún software especializado la función raíz cuadrada.
Estudio gráfico de la
función cuadrática.
Graficar funciones cuadráticas simples y cambiar los parámetros que
las definen para ver el cambio de concavidad y desplazamientos.
Encontrar las intersecciones con los ejes coordenados. Analizar con
más detalles zonas de interés: extremos e intersecciones.
Políticas públicas.
Sitio www.ine.cl Escolaridad en las diferentes regiones. Datos demográficos.
Teorema de Pitágoras.
Verificar el teorema construyendo en cartón 1 triángulo rectángulo de
lados a, b, c, y 3 cuadrados con lados a, b, y c. Medir con regla y transportador. Calcular las áreas. Dimensionar el error experimental.
Construcciones con Geo- Que los(as) estudiantes investiguen sobre Geogebra. Que primero
gebra (software de código aprendan a hacer figuras simples (puntos, rectas, circunferencias, trazos,
abierto).
triángulos). Posteriormente pueden aprender la interactividad.
Monedas.
Se simulan en Excel con ALEATORIO.ENTRE(0;1)
Dados.
Se simulan en Excel con ALEATORIO.ENTRE(0;6)
También se pueden generar lados con más caras y trucados.
Paradoja del cumpleaños.
En Excel generar grupos de 30, 40, 50, 60, 70, 80 celdas (en una
columna) con la función ALEATORIO.ENTRE(1;365) y contar cuántas
repeticiones se producen. Para ello ordenar los números de menor a
mayor y en una columna lateral restarle a cada número el siguiente de
la misma columna (cuando aparecen ceros hay repetición).
Unidad 4
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4. Errores frecuentes
Para la Unidad 1
Orientación general
Consideremos cualquier curva suave como la de la figura. Una curva del tipo ilustrado puede representar una
gran variedad de fenómenos de la vida cotidiana. Podría ser, por ejemplo, la forma en que ha evolucionado
el precio de un servicio durante la última década; el número activo de temporeros agrícolas durante un año;
los niveles de glicemia en la sangre de un paciente en función de su ingesta; el costo de producción de un
producto en función de las unidades producidas; la variación de la temperatura de un acuario a lo largo de
un día; la altura de un grupo de jóvenes como función de su actividad física y alimentación.
La dependencia de los valores de alguna magnitud que nos interesa normalmente es multifactorial. La temperatura en una habitación puede depender de los materiales con los que está construida, de su exposición
al sol, del tamaño y de la ubicación de sus ventanas, entre otros factores. El peso de una persona puede
depender de su nivel de sedentarismo y de sus costumbres alimenticias.
Uno de los motivos de por qué la función cuadrática tiene importancia, es que cerca de los extremos de
las funciones, como la que se ilustra en la figura (es decir, cerca de los máximos y mínimos relativos) ella
se comporta como una función cuadrática (técnicamente hablando, la expansión en serie de Taylor de la
función en el entorno muy cercano a ese punto se puede considerar como una parábola). Frecuentemente
interesa estudiar los sistemas (físicos, biológicos, económicos, entre otros) en situaciones extremas, es decir,
en torno a esos puntos, de modo que el estudio de la parábola se torna vital.
Ejemplo: optimizando un recurso
Normalmente, en el mundo de los objetos materiales, los recursos son limitados y de forma corriente hay
que lograr que rindan con el fin de satisfacer la mayor cantidad de necesidades posibles. Ello no es necesariamente así en el mundo “virtual” (que es muy real, por lo demás). Uno puede tener una cantidad limitada
de libros de papel en una biblioteca real, pero la cantidad de libros que puede tener en forma de bits en una
memoria (que puede ser el disco duro de un computador o un dispositivo del tipo memoria flash, como las
que portamos en un bolsillo) es enormemente mayor. Algo similar sucede con la música: una buena tienda
de discos tiene algunos miles de títulos diferentes, mientras que en Internet se encuentran disponibles
cientos de miles de títulos).
En el caso que nos interesa, una municipalidad cuenta con recursos para comprar 3.300 metros de seto vivo
con las que debe aislar dos espacios en un parque público. Uno de los espacios debe ser un cuadrado y el
otro un triángulo equilátero. Hay que encontrar los tamaños de dichas figuras, de modo que la suma de las
áreas circundadas sea mínima.
a) ¿Cuál es la incógnita?
Realmente las incógnitas son dos: la longitud del lado del cuadrado y la longitud del lado del triángulo.
b) ¿Cuáles son las condiciones?
También las condiciones son dos. Una de ellas es que tenemos que utilizar todo el seto vivo para mejorar
las condiciones ambientales; la otra es que debemos lograr que el total de los espacios circundados sea lo
más pequeño posible.
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Un dibujo siempre viene bien:
x
y
c) ¿Cuáles son los datos?
Como el perímetro del cuadrado, cuyo lado x estamos buscando, es 4x y el perímetro del triángulo equilátero
de lado y es 3y, dado que contamos con 3.300 metros de seto, impondremos que:
4x + 3y = 3.300m
d) ¿Cómo se calculan las áreas?
El área del cuadrado será entonces,
Scuadrado = x2
Y el área del triángulo equilátero,
Striángulo =
3 y2
4
De ese modo el área total es la suma de las áreas anteriores, vale decir,
Stotal = Scuadrado + Striángulo = x2 +
3 y2
4
De la restricción inicial podemos despejar una de las incógnitas, y, en términos de la otra incógnita, x:
y=
3.300 – 4x
3
e) ¿Qué función representa al área cercada total?
Reemplazando en la expresión para el área total,
Stotal (x) = x2 +
3
4
3.300 – 4x
3
2
Que desarrollado conduce a:
Stotal (x) = x2 +
96
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3
4
[
]
1.1002 + 16 x2 – 8.800x
9
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Agrupando los términos, según potencias decrecientes de x,
[
Stotal (x) = 9 + 4 3
9
]
x2 - 2.200 3 x + 3 1.1002
4
3
La función Stotal (x) representa una parábola abierta hacia arriba, por lo cual el vértice es un mínimo.
f) ¿Cómo se encuentran las coordenadas del vértice de una parábola?
Si llamamos α y β a las raíces de la ecuación Stotal (x) = 0 (las intersecciones de la parábola con el eje x), la
coordenada xv de su vértice se encuentra en el punto medio de esas intersecciones, es decir,
xv = α + β
2
Por otra parte, las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática nos indican que α + β es igual al
coeficiente del término lineal dividido por el coeficiente del término cuadrático con signo menos, de modo
que:
1.100 3
3
m = 3.300 3 m
xv =
9+4 3
9+4 3
9
Racionalizando el denominador,
xv =
3.300 3 m = 1.100 3 ∙ 9 – 4 3 m
9+4 3
9+4 3 9–4 3
Es decir,
xv = 100 3 ∙ (9 – 4 3)m = (900 3 – 1.200)m
g) ¿Cuánto miden los lados de las figuras que se deben construir?
De modo que el lado del cuadrado que minimiza las sumas de las áreas circundadas es
xv ≈ 359m
De donde la medida aproximada del lado del triángulo equilátero será
y ≈ 621m
Impacto en el aprendizaje
Situaciones como la anterior son, en general, intimidatorias para los(as) estudiantes, porque caen en la
categoría de problemas narrativos que les cuesta transcribir a lenguaje matemático; además, no aparecen
patrones ni señales que les permitan identificar con “qué parte de la materia” deben abordarse. El problema
aparece con solo un dato y es la condición de optimizar el recurso la que va a conducir hacia la solución.
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97
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El(la) docente debe estimular en sus estudiantes la paciencia y la reflexión, para que minimicen su ansiedad
y maximicen su éxito (¡otro caso de optimización!).
Como se trata de problemas efectivamente afines a la realidad, más aún, relacionados a criterios de optimización, se establece un vínculo afectivo positivo entre el(la) estudiante y el problema, al darse cuenta
que puede tener un impacto en su vida presente y futura y que ciertamente podría tener aplicaciones en su
campo laboral futuro, cualquiera que este sea.
Por lo expresado, situaciones de este tipo:
• despiertan la motivación de los(as) estudiantes.
• se convierten en modelos posibles de generalizar o de extender a otros ámbitos de la vida (cómo optimizar mis tiempos, cómo extremar mi rendimiento académico o deportivo, cómo hacer uso óptimo de
mis recursos económicos).
• cuando el(la) estudiante por sí mismo(a) es capaz de plantearse (y en una etapa posterior, idealmente
resolver) situaciones personales, familiares o de su grupo de pertenencia, haciendo uso de herramientas
matemáticas, ello conlleva a estados de satisfacción, entusiasmo, orgullo de tal magnitud que su autoestima crece y aviva el interés por la disciplina y el estudio en general.
Errores frecuentes en el aprendizaje
Ahora bien, los errores más frecuentes de los(as) estudiantes en el proceso de aprendizaje son de los siguientes tipos:
A. Por razonamiento equivocado (porque no ordenan las relaciones causaefecto). Por ejemplo:
• no identifican los datos del problema.
• no identifican las incógnitas.
• no identifican las condiciones o restricciones que es necesario imponer.
• no logran transcribir el problema al lenguaje matemático.
B. Por asociación indebida (vinculan el objeto o el tema con algo que no corresponde). Por ejemplo:
• dado que el problema habla de un cuadrado y un triángulo equilátero, tratarán de resolverlo usando
argumentos puramente geométricos.
• es posible que consideren que se trata de un problema para ser tratado con sus conocimientos de
trigonometría.
C. Por confusión (confunden un tema u objeto con otros). Por ejemplo:
• confunden área con perímetro.
• confunden las intersecciones de la parábola con el x con la intersección de la parábola con el eje y.
• no saben relacionar el área de un triángulo equilátero con la magnitud del lado del mismo.
D. Por prejuicios erróneos (ideas previas que son equivocadas y que inducen a conclusiones equivocadas).
Por ejemplo:
• suponen que las ecuaciones de segundo grado, y en general la Matemática, no tiene relación con
problemas de la vida real.
• suponen que dado que la longitud del seto es constante, entonces la suma de las áreas encerradas
por cualquier cuadrado y cualquier triángulo que se dibuje con él va a ser la misma.
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E. Por poca práctica (errores de cálculo y otros). Por ejemplo:
• en vez de usar las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática, intentan resolverla y se
complican con el Álgebra.
• no dominan la nomenclatura, lo cual induce a errores de todo tipo.
• no reconocen cuando una parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
• no saben que el vértice de la parábola está en el punto medio de los puntos de intersección de la
parábola con el eje x.
• olvidan incluir las unidades en el resultado.
Estrategias para mejorar el aprendizaje y superar los errores
A continuación exponemos algunas estrategias que puede adoptar el(la) docente para minimizar la ocurrencia
de errores, que, como es obvio, permanentemente aparecen como una parte inseparable del proceso de
aprendizaje. Más aún, el(la) profesor(a) puede sacar provecho de los errores que sus estudiantes cometen,
para analizar sus posibles causas y la manera de remediarlos. Hacer uso de argumentos de plausibilidad,
intuición, órdenes de magnitud, análisis dimensional y otros, para mostrar que las respuestas obtenidas son
incorrectas o que el razonamiento es inapropiado.
I. Inducir logro temprano (aunque sea un micrologro)
Es de capital importancia que los(as) estudiantes vayan adquiriendo confianza en sí mismos(as) a través
de logros, por pequeños que sean. Es tremendamente desilusionante desarrollar cualquier actividad, sea
un deporte, un juego, una conversación, una relación social, si no hay al menos algunos momentos de
satisfacción, la sensación de llegar a una minimeta. Para ello, debe el(la) docente debe contar con una
secuencia planificada de ejercicios progresivamente más complejos y ofrecer los apoyos para inducir a
los(as) estudiantes a “caminar” por sÍ solos(as).
II. Para cada una de las fuentes de errores señaladas anteriormente:
A. identificar la relación causaefecto no respetada y trabajarla.
B. identificar la asociación indebida y trabajarla.
C. identificar la causa de la confusión y trabajarla.
D. identificar el prejuicio erróneo y trabajarlo.
E. practicar, practicar, practicar.
El aprendizaje de Matemática se acelera notablemente con la práctica. El profesor debe siempre poner
énfasis en esto.
III. Al trabajar los tipos de errores frecuentes A, B, C, D, E, señalados anteriormente, se sugiere usar:
• visualizaciones (gráficos, esquemas, figuras).
La visualización es una de las herramientas clave para inducir el aprendizaje, debido al potencial del
cerebro humano en la gestión de la visión. Con las herramientas de software educativo, además de la
pizarra y otros elementos físicos, el(la) profesor(a) cuenta con medios efectivos y variados para hacer
visualizaciones.
No obstante, la representación gráfica hecha por el(la) propio(a) estudiante sobre papel es más poderosa, pues, además de la visualización, moviliza la capacidad motriz de la mano, lo cual activa otras
funciones cerebrales muy importantes para el aprendizaje.
• cálculo y operaciones que hagan escribir (uso de motricidad).
La visualización unida a la gestión del sistema motor del cuerpo aceleran el aprendizaje.
• razonar en forma simple que vincule con las visualizaciones y, a partir de ello, uso de la motricidad.
El primer razonamiento conviene asociarlo a objetos y hechos concretos. Luego, a partir de ello, se
pueden generar las abstracciones que se desee, desde lo simple a lo más complejo.
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Para la Unidad 3
Orientación general
Los(as) estudiantes aprenden mejor y más rápidamente cuando pueden vincular las notables propiedades de los
triángulos rectángulos con hechos o situaciones que tienen significado directo para ellos(as). El(la) profesor(a)
debe estar atento(a) a las diversas posibilidades que se originan en la vida cotidiana a este respecto.
Por ejemplo, el teorema de Pitágoras y otras propiedades puede asociarse directamente a localizaciones y
a mediciones de distancias geográficas de todo tipo y a los cálculos de áreas de superficies y volúmenes
de diversa clase de objetos. Veamos dos ejemplos motivadores.
Ejemplo 1: Fabricación de envases.
La fabricación de una gran variedad de dispositivos requiere la aplicación de Matemática, en particular, de
las propiedades de los triángulos rectángulos. Por ejemplo, la fabricación de casas, mesas, sillas, cajas,
equipos mecánicos, equipos eléctricos y electrónicos, automóviles, aviones, naves, etc.
El(la) profesor(a) puede encontrar ejemplos en todas partes, en particular, a través de los sitios en Internet.
Asimismo, debe motivar a sus estudiantes a hacer lo mismo.
Uno de los ejemplos más fáciles de abordar a nivel escolar es la fabricación de envases, la que provee
posibilidades para que los(as) estudiantes apliquen diversos temas de Matemática.
Asimismo, los(as) estudiantes pueden construirlos con lo cual pueden comprobar físicamente varias de las
aplicaciones.
Los envases de líquido tienen mucho potencial a este respecto. Veamos unos con forma de pirámide, en
particular de base triangular (tetraedro).
El(la) profesor(a) puede plantear diversas interrogantes prácticas que se resuelven con
las propiedades de los triángulos rectángulos. Por ejemplo: si se quiere envasar un
volumen V de líquido, ¿qué área de cartón se requiere para fabricarlo? Si queremos
hacer envases para ¼ litro y ½ litro, ¿cuánto se requiere de cartón para cada uno? ¿En
qué caso se consume más material? ¿Por qué? Y así muchas otras preguntas.
En el Texto del Estudiante, se elabora este caso en detalle.
Ejemplo 2: La diáspora chilena.
Existe una población importante de chilenos(as) en el extranjero. Están en Argentina, Australia, Canadá,
Suecia, Estados Unidos, España y otros países. Es posible que parientes o amigos(as) de los(as) estudiantes
del curso vivan en algunos de esos lugares.
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Consideremos que una familia de Concepción tiene familiares en Estocolmo (Suecia) y en Sydney (Australia).
Podemos preguntarnos, ¿a qué distancia se encuentran unos de otros (Concepción - Estocolmo - Sydney)?
Esta distancia se puede medir sobre la faz de la Tierra (en una superficie esférica) o en línea recta (es decir,
a través de la Tierra). Este ejercicio permite que el(la) estudiante averigüe (por ejemplo, vía Internet) las posiciones geográficas de diferentes ciudades, calcular distancias y ángulos, y se formule diferentes conjeturas
en el espacio. El(la) profesor(a) puede plantear progresivamente cuestiones de mayor complejidad. Por
ejemplo: Juan de Concepción, María de Sydney y Angélica de Estocolmo quieren reunirse. ¿Cuál es el lugar
de reunión en que la suma de las distancias recorridas es menor para todos? ¿Cuál es el lugar de reunión
que significa el menor tiempo de desplazamiento (esto depende de los medios de transporte)?
Tierra
Estocolmo
Sydney
Concepción
Impacto en el aprendizaje
Una vez establecida la conexión con hechos, situaciones u objetos concretos, la mayoría de los(as) estudiantes habrá logrado lo siguiente:
• orientación motivadora.
• fuentes para interrogarse sobre las propiedades de los triángulos y sus usos. Esto es muy importante:
cuando el(la) estudiante comienza a hacerse nuevas preguntas, entonces comienza el proceso de
autoaprendizaje.
• estrategias para generar respuestas a tales preguntas.
• mayor fecundidad de los procesos de abstracción, los cuales son clave para la profundidad del aprendizaje de la Matemática.
Naturalmente, otros(as) estudiantes (usualmente la minoría) podrán avanzar directamente a los procesos
de abstracción, sin necesidad de requerir los casos concretos. No obstante, a ellos(as) también les servirán
esos ejercicios para aumentar el desarrollo de su potencial más allá de las abstracciones que pueden hacer
en primera instancia.
Errores frecuentes en el aprendizaje
Ahora bien, los errores más frecuentes de los(as) estudiantes en el proceso de aprendizaje son de los siguientes tipos:
A. Por razonamiento equivocado (porque no ordenan las relaciones causaefecto).
• no identifican los elementos de apoyo para su análisis (por ejemplo, no reconocen la existencia de los
triángulos rectángulos en las situaciones que enfrentan).
• no detectan las consecuencias de ciertos hechos (por ejemplo, si un triángulo es rectángulo, entonces
los ángulos no rectos suman 90º).
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B. Por asociación indebida (vinculan el objeto o el tema con algo que no corresponde). Por ejemplo:
• intentan aplicar el Teorema de Pitágoras a un triángulo que no es rectángulo.
• asocian indebidamente las propiedades de ángulos y triángulos.
C. Por confusión (confunden un tema u objeto con otros). Por ejemplo:
• confunden grados sexagesimales con grados centesimales.
• confunden triángulo rectángulo con uno que no lo es.
• confunden las funciones trigonométricas (es decir, seno con coseno).
D. Por prejuicios erróneos (ideas previas que son equivocadas y que inducen a conclusiones equivocadas).
Por ejemplo:
• supone que la Matemática se usa poco en el mundo del trabajo (este es uno de los prejuicios más
dañinos, pues impacta tanto en la actitud como en la disposición a aprender del(de la) estudiante).
• supone que los ángulos de un triángulo pueden tener cualquier valor (y no que sus valores tienen que
ser inferiores a 180º).
• supone que las distancias que recorremos en la Tierra son en línea recta (y no en superficie esférica).
E. Por poca práctica (errores de cálculo y otros). Por ejemplo:
• no dominan las notaciones, lo cual induce a errores de todo tipo.
• no dominan las conversiones de unidades (en particular, las relaciones de proporcionalidad).
• comenten errores en las operaciones aritméticas y algebraicas.
Estrategias para mejorar el aprendizaje y superar los errores
El(la) profesor(a) debe estar consciente de que los errores existen y que la mejor forma de enfrentarlos es
evitar que ocurran o, al menos, disminuir su ocurrencia. Asimismo, el(la) profesor(a) debe orientar a sus
estudiantes a comprender esto.
Se sugieren las siguientes estrategias específicas para abordar y superar los errores frecuentes de los(as)
estudiantes en sus procesos de aprendizaje.
I. Inducir logro temprano (aunque sea un micrologro):
El(la) profesor(a) debe asegurar que sus estudiantes tengan algún logro en un tema antes de avanzar a
otro. Ello es necesario, aunque sea un avance pequeño. Esta es la base de la estrategia para que el(la)
estudiante pueda avanzar en su aprendizaje.
II. Para cada una de las fuentes de errores señaladas anteriormente:
A. identificar la relación causaefecto no respetada y trabajarla.
B. identificar la asociación indebida y trabajarla.
C. identificar la causa de la confusión y trabajarla.
D. identificar el prejuicio erróneo y trabajarlo.
E. practicar, practicar, practicar.
El aprendizaje de Matemática se acelera notablemente con la práctica. El(la) profesor(a) debe siempre
poner énfasis en esto.
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III. Al trabajar los tipos de errores frecuentes A, B, C, D, E, señalados anteriormente, se sugiere usar:
• visualizaciones (gráficos, esquemas, figuras).
La visualización es una de las herramientas claves para inducir el aprendizaje, debido al potencial del
cerebro humano en la gestión de la visión. Con las herramientas de software educativo, además de la
pizarra y otros elementos físicos, el(la) profesor(a) cuenta con medios efectivos y variados para hacer
visualizaciones.
No obstante, la representación gráfica hecha por el(la) propio(a) estudiante sobre papel es más poderosa, pues, además de la visualización, moviliza la capacidad motriz de la mano, lo cual activa otras
funciones cerebrales muy importantes para el aprendizaje.
• Cálculo y operaciones que hagan escribir (uso de motricidad).
La visualización unida a la gestión del sistema motor del cuerpo acelera el aprendizaje.
• Razonar en forma simple que vincule con las visualizaciones y, a partir de ello, uso de la motricidad.
El primer razonamiento conviene asociarlo a objetos y hechos concretos. Luego, a partir de ello, se
pueden generar las abstracciones que se desee, desde lo simple a lo más complejo.
Tema: Escalando el Aconcagua
Veamos ahora un ejercicio que permite ilustrar los errores frecuentes y abordar las estrategias de aprendizaje
en lo referente a triángulos rectángulos.
Un grupo de escaladores sube el Aconcagua. ¿Cuál es el área de la superficie de la Tierra que se puede
ver desde la cima?
Este ejercicio es simple en su formulación, tiene diferentes grados de complejidad en su solución, permite
al(a la) profesor(a) verificar diversos tipos de error que cometen los(as) estudiantes para abordar el tema y
hace posible establecer estrategias para superarlos.
a) ¿Cuáles son los datos?
Al no estar explicitados los datos, los(as) estudiantes tienden a no ver la Matemática que está implícita en
el problema o situación planteada.
El(la) profesor(a) puede señalar que mientras más se levante una persona respecto del nivel del mar más
superficie de la Tierra puede ver. Pero siempre habrá un límite. ¿Cuál es el límite? Aquí los(as) estudiantes
pueden hacer conjeturas. Naturalmente, el límite es el horizonte dado por la curvatura de la Tierra.
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El(la) profesor(a) puede inducir la construcción del siguiente esquema que representa la situación planteada.
A
αα
a
a
h
x
I
d
D
d
r
r
ββ
C
Centro de
la Tierra
En que:
A: cima del monte
C: centro de la Tierra
D, I: puntos de la superficie terrestre en el horizonte (tangente desde punto A).
h: altura del monte Aconcagua (altura entre la superficie de la Tierra y la cima)
r: radio de la esfera terrestre (la Tierra se puede representar aproximadamente como una esfera).
x: es el punto donde se intersectan las dos rectas punteadas.
El(la) estudiante puede buscar estos datos por Internet (lo cual permite que indague sobre otros montes en
el mundo, sus alturas, localizaciones y características).
En el esquema también se representan otras distancias y ángulos, a saber:
a: distancia desde la cima (A) hasta el punto I o D del horizonte (tangente) distancia de la falda del monte).
d: distancia desde el punto del horizonte (I o D) hasta el eje que une la cima (A) con el centro de la Tierra (C).
α: ángulo entre la línea del horizonte (tangente AD o AI) y el eje AC.
β: ángulo entre el eje AC y el radio terrestre que conecta con el punto del horizonte (I o D).
Los errores típicos de los(as) estudiantes al abordar el problema son:
• no saber plantear gráficamente la situación.
• no reconocer los triángulos rectángulos (y, por consiguiente, no reconocer la relación entre los
ángulos).
• expresar equivocadamente las unidades de h y r (metros, kilómetros)
La estrategia para abordar y superar estos errores típicos consiste en la aplicación del criterio III ya planteado
anteriormente (visualizaciones, operaciones que hagan escribir, razonamiento simple).
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b) ¿Cómo determinar el área de la superficie?
Naturalmente, lo que ve una persona desde la cima es una superficie pequeña con respecto a la superficie de
todo el hemisferio. Imaginemos que la persona se levanta aún más por sobre la cima, entonces la superficie
que puede ver será mayor. Esto se representa en el siguiente esquema:
l
D
A
Circunferencia
terrestre vista
desde cima A
El radio de lo
visible es l < r
Vista superior desde una altura por sobre la cima
El mapa conceptual para abordar la solución es el siguiente:
Área de la
superficie (S) vista
desde la cima
S
Diámetro de la
superficie en torno
al eje cimacentro
Tierra (2d)
d
Cálculos de d y
otras variables
a partir de los
valores conocidos
(h y r)
Todos estos son componentes de un esquema que el(la) estudiante debe saber representar. Los errores
típicos son:
• no saber localizar los puntos en el espacio.
• no reconocer las relaciones entre los puntos.
• confundir los ángulos que se forman.
• suponer que la superficie de la Tierra es plana y no esférica, y, por consiguiente, confundir las relaciones en el plano con las relaciones en la superficie esférica.
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c) Cálculos básicos
Ahora, ya están dadas las condiciones para hacer operaciones con los triángulos rectángulos. Sabemos que
los únicos datos conocidos son h y r. Entonces, calculemos otras variables en función de aquellos.
En el triángulo rectángulo CIA se tiene:
(h + r)2 = r 2 + a2
de donde
a2 = (h + r)2 – r2
⇒ a2 = h2 + 2hr
∴ a = h2 + 2hr
El(la) profesor(a) puede invitar a los(as) estudiantes a calcular el valor de α para el Aconcagua (y también
para otros montes como el Everest, o también para un edificio muy alto).
Los errores típicos aquí suelen ser:
• mala representación algebraica. La estrategia de solución es la visualización del triángulo rectángulo
respectivo.
• mal procesamiento. La estrategia es practicar las secuencias.
• Cálculo numérico equivocado. Las estrategias son practicar reiteradamente y desarrollar la capacidad
de verificación de resultados intermedios y finales.
En los triángulos rectángulos del esquema se verifica que:
α + β = 90˚ ⇒ β = 90˚ – α
Esto permite calcular los valores de todos los ángulos de cada uno de los triángulos representados en el
esquema.
Reconociendo la proporcionalidad entre los lados que se oponen a los ángulos de igual valor entre los
triángulos (triángulos semejantes) se tiene:
∆ IXA y ∆ IXC: a = d = AX
r
XC
d
∆ IXA y ∆ ICA: a = d = AX
r
h+r
a
De estas proporciones se obtiene:
d=
a·r
h+r
pero dado que:
a=
h2 + 2hr
se obtiene finalmente:
d=
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r
h+r
h2 + 2hr
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Esta es la expresión que permite calcular la longitud d en función de h y r. ¿Qué pasa si h se achica (por
ejemplo, correspondiente al cerro San Cristóbal)? ¿O si aumenta, por ejemplo, correspondiente a un satélite
que orbita la Tierra?
El(la) profesor(a) puede invitar a los(as) estudiantes a graficar d en función de h, usando un software para
graficar (planilla Excel, por ejemplo) o una calculadora y papel.
También puede hacer otro ejercicio: representar h como una proporción de rx : h = λ ∙ r con λ ≥ 0
Luego se puede calcular, tabular y graficar la longitud d para diferentes valores de λ (por ejemplo, desde
0,01% hasta 1%).
d) Utilizando las funciones trigonométricas
Otra forma de abordar el cálculo básico es utilizando las funciones trigonométricas. Veamos.
En triángulo ACD:
cos α =
a
⇒ α = (h + r) cos α
h+r
r
sen α =
r+h
Elevando al cuadrado ambas expresiones se tiene:
cos2 α + sen2 α =
( h + r ) (r + h )
a
2
+
r
2
Al considerar la identidad trigonométrica
cos2 α + sen2 α = 1
se tiene
a2
(h + r)
2
+
r2
(h + r)2
=1
a2 + r2 = (h+r)2
es decir
de donde se obtiene finalmente:
a=
h2 + 2 ∙ h ∙ r
De aquí se obtiene
cos α =
a
h+r
=
h2 + 2 ∙ h ∙ r
(h + r)
y el ángulo
α = arc cos
h2 + 2 ∙ h ∙ r
(h + r)
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Esta es una de las ventajas de las funciones trigonométricas, ya que permite calcular directamente los
ángulos.
Ahora bien, en triángulo IXA
senα = d ⇒ a ∙ senα
a
Y reemplazando tenemos,
d=
r
h2 + 2 ∙ h ∙ r r + h
Lo cual es la misma expresión obtenida en la sección c).
Los errores frecuentes que suelen cometer los(as) estudiantes son:
• no identificar las funciones trigonométricas.
• confundir unas funciones trigonométricas con otras.
• no reconocer y aplicar las propiedades de las funciones trigonométricas y las relaciones entre ellas.
La estrategia principal para abordar estos errores consiste en:
• relacionar en forma simple las funciones trigonométricas con las razones de los lados en el triángulo
rectángulo.
• práctica reiterada, tanto para interpretar situaciones como para hacer operaciones aritméticas y algebraicas.
Para la Unidad 4
Orientación
Los(as) profesores(as) tienen en la vida cotidiana una gran cantidad de posibilidades para motivar a sus
estudiantes con el tema de las probabilidades y poder lograr buenos aprendizajes en ellas.
Ámbitos favorables para atender los intereses de los(as) estudiantes son: deporte, música, alimentación,
profesiones, arte, negocios, ciencia, vestuario, vivienda, relaciones sociales, elecciones, salud y otros.
También las probabilidades se pueden aplicar a fenómenos en el microcosmos (células, genes, átomos) y
en el macrocosmos (sistemas planetarios y galaxias). Veamos ahora un tema que ilustra las posibilidades
de aplicación de las probabilidades en la vida cotidiana.
Tema: Las preferencias de las personas.
Comprender las preferencias de las personas es muy importante para que otras personas y ellas mismas,
así como las empresas, el gobierno y otros actores, tomen buenas decisiones. Al saber la distribución de
probabilidades de las preferencias alimenticias de las personas, es posible definir los tipos de productos a
proveer (ya sea para un casino en la escuela o para una empresa en el mercado).
Por ejemplo, veamos las probabilidades de las preferencias respecto de la merienda de los(as) escolares.
Este ejercicio permite que el(la) profesor(a) pueda realizarlo directamente con sus propios(as) estudiantes.
Supongamos que el curso tiene 40 estudiantes (22 mujeres y 18 hombres). Supongamos también que disponemos de 3 tipos de merienda: fruta fresca, sandwich, otro tipo.
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El(la) profesor(a) encarga a un grupo seleccionado de sus estudiantes para que haga una encuesta entre
sus compañeros(as). Los resultados son los siguientes.
Preferencias según Nº de estudiantes
Mujeres
Hombres
Total
Fruta fresca
8
5
13
Sandwich
10
6
16
Otro tipo
4
7
11
Total
22
18
40
Recordemos que la Matemática permite vincular con cuestiones clave de la vida de los(as) estudiantes. En
este caso, la fruta fresca es clave para la salud y la buena nutrición.
El(la) profesor(a) puede plantear la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante prefiera fruta
fresca como merienda escolar? ¿Si es estudiante mujer, cual es esa probabilidad?
También se pueden plantear preguntas sobre las combinaciones. Por ejemplo, si se dispone de 20 raciones
de fruta fresca (10 de manzanas y 10 de plátanos), ¿cuántas combinaciones de merienda hay para mujeres
y para hombres?
Abordemos este tema y vamos verificando los errores que suelen cometer los(as) estudiantes en su proceso
de aprendizaje y las estrategias para superarlos.
Lo primero es la dificultad para asociar las probabilidades (en este caso, de preferencias humanas) a las
mediciones que se pueden hacer.
El(la) profesor(a) debe mostrar el camino. El mapa conceptual siguiente ayuda a este fin:
Contabilización de
preferencias en el
universo de personas
(o en una muestra representativa de ellas)
Cálculo de frecuencias relativas porcentuales
Determinación de
Probabilidades
Aquí debe considerarse que la elección de una muestra representativa es una inducción. El cálculo de frecuencias relativas porcentuales es un método aproximado de cálculo de probabilidades que se relaciona
con la ley de los grandes números para poblaciones grandes.
a) Probabilidades simples
Entonces, al calcular las frecuencias relativas porcentuales con respecto a la población total, se obtienen
los siguientes resultados:
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Frecuencia relativa porcentual
Mujeres
8 = 20,0%
40
10 = 25,0%
40
4 = 10,0%
40
22 = 55,0%
40
Fruta fresca
Sandwich
Otro tipo
Total
Hombres
5
40
6
40
7
40
18
40
= 12,5%
= 15,0%
= 17,5%
= 45,0%
Total
13
40
16
40
11
40
40
40
= 32,5%
= 40,0%
= 27,5%
= 100,0%
Los errores típicos que suelen cometer los(as) estudiantes son:
• no asociar la probabilidad a la frecuencia relativa porcentual. La estrategia para resolverlo es usar el mapa
conceptual.
• equivocarse en el cálculo de las frecuencias relativas (usualmente divide por la base equivocada, por
ejemplo, otro número en vez de 40 para el total de estudiantes).
• tratar los sucesos como dependientes cuando no lo son (en este caso, son independientes, ya que las
opciones son por raciones diferentes).
Ahora bien, si consideramos solo las mujeres, tenemos los siguientes valores:
Frecuencia relativa porcentual
Mujeres
Fruta fresca
Sandwich
Otro tipo
Total
8
22
10
22
4
22
22
22
= 36,4%
= 45,5%
= 18,2%
= 100%
Y si consideramos solo los hombres, tenemos los siguientes valores:
Frecuencia relativa porcentual
Hombres
Fruta fresca
Sandwich
Otro tipo
Total
5
18
6
18
7
18
18
18
= 27,8%
= 33,3%
= 38,9%
= 100%
Entonces la probabilidad de que un(a) estudiante (independientemente de si es hombre o mujer) prefiera
fruta fresca como merienda es de 13 = 35,5%.
40
110
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Aquí se pueden hacer varios ejercicios. Por ejemplo:
• ¿Cuál es la probabilidad de que una estudiante mujer prefiera otro tipo de merienda?
Dado que sabemos que la estudiante es mujer, el resultado es 4 = 18,2%.
24
• ¿Cuál es la probabilidad de que una estudiante mujer no prefiera la fruta fresca?
En este caso, los sucesos viables son sandwich y otro tipo. Con ello, el resultado es:
10
4
+
= 45,5% + 18,2% = 63,7%.
22 22
El(la) profesor(a) puede hacer que los(as) estudiantes comprendan las probabilidades en función de los respectivos universos (total de estudiantes, mujeres, hombres) y luego efectuar análisis y cálculos diversos.
b) Probabilidades compuestas
Veamos ahora casos de probabilidades compuestas.
Pedro y Ana son compañeros de curso. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos prefieran la fruta fresca?
Dado que ellos están plenamente individualizados como hombre y mujer, respectivamente, y sus opciones
son sucesos independientes, la probabilidad es:
Ppa (fruta fresca) = Pp (fruta fresca) Pa (fruta fresca)
= 27,8% ∙ 36,4% = 10,1%
El(la) profesor(a) puede invitar a sus estudiantes a calcular todas las combinaciones posibles.
Los errores típicos de los(as) estudiantes suelen ser:
• no reconocen la independencia o dependencia de los sucesos.
• equivocarse en la determinación de las probabilidades (errores en las operaciones aritméticas y algebraicas).
Las estrategias para abordar estos errores son:
• analizar el origen y naturaleza de los sucesos.
• practicar reiteradamente operaciones de determinación de probabilidades.
b) Probabilidades condicionadas
Ya en la sección a) de este tema anticipamos la situación de probabilidades condicionadas.
¿Cuál es la probabilidad de que una estudiante mujer prefiera fruta fresca?
Esta probabilidad condicionada se puede expresar de la siguiente manera (usando la tabla correspondiente
a toda la población):
P (fruta fresca/mujer) =
P (fruta fresca y estudiante mujer)
P (mujer)
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Donde:
P (fruta fresca y estudiante mujer) =
P (mujer) =
8
40
22
40
8
40
8
P (fruta fresca/mujer) =
22 = 22 = 36,4%
40
Entonces:
Este es el mismo resultado que se presenta en la tabla correspondiente a mujeres.
El(la) profesor(a) puede invitar a los estudiantes a hacer varios ejercicios más para distintas preguntas.
c) Combinatorias
¿Cuántas combinatorias se producen entre los dos tipos de frutas en las 20 raciones (2 ∙ 10 = 20) y los 5
estudiantes que las prefieren?
Veamos. Dado que cada estudiante es totalmente individualizado(a), tenemos 5 elementos independientes
y 2 tipos de frutas (manzana, plátano).
Las combinaciones las podemos representar por el siguiente esquema:
1. Juan
2. Pedro
3. Alberto
4. Mario
5. Fernando
M
M
P
P
P
M
P
M
P
P
P
M
M
P
P
M
P
P
M
P
P
M
P
M
P
P
P
M
M
P
P
P
M
P
M
P
M
P
P
M
M
P
P
P
M
P
P
P
M
M
M
P
P
P
P
P
M
P
P
P
P
P
M
P
P
P
P
P
M
P
P
P
P
P
M
P
P
P
P
P
M = Manzana
P = Plátano
Las combinaciones resultantes son: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 25 = 32
¿Qué pasaría si las raciones de cada fruta fueran menores al número de estudiantes hombres que los
prefieren (por ejemplo, 4 manzanas y 4 plátanos)? En este caso, el número de combinaciones posibles es
menor a 32. ¿Cuántas?
Para calcularlo, se usa la misma tabla anterior, pero eliminando las combinaciones que son inviables (esto
es, cuando hay más de 4 plátanos o 4 manzanas).
El(la) profesor(a) puede invitar a sus estudiantes a hacer directamente estas operaciones, varias veces, ya
que la práctica reiterativa acelera el proceso de aprendizaje.
Errores frecuentes
Los errores típicos que cometen los(as) estudiantes en sus procesos de aprendizaje son:
A. Por razonamiento equivocado (porque no ordenan las relaciones causaefecto). Por ejemplo:
• no consideran ciertas situaciones como probabilísticas.
• calculan las probabilidades sin considerar los procesos experimentales respectivos.
112
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B. Por asociación indebida (vinculan el objeto o el tema con algo que no corresponde). Por ejemplo:
• asocian probabilidades a situación no probabilística.
• asocian probabilidades simples a situaciones de probabilidades condicionadas.
C. Por confusión (confunden un tema u objeto con otros).
• Confunden sucesos independientes con sucesos dependientes.
• Confunden sucesos simples con sucesos compuestos.
D. Por prejuicios erróneos (ideas previas que inducen a conclusiones equivocadas). Por ejemplo:
• suponen que la Matemática (en particular las probabilidades) se usa poco en el mundo del trabajo.
Como se ha dicho, esto es muy dañino, pues limita la actitud de aprendizaje del(de la) estudiante.
• suponen que las probabilidades pueden tener cualquier valor.
E. Por poca práctica (errores de cálculo y otros).
• Errores en las operaciones aritméticas y algebraicas.
• No dominar las notaciones.
• No dominar las conversiones de unidades (en particular, relaciones de proporcionalidad).
Estrategias para enfrentar errores
Las estrategias que puede utilizar el(la) profesor(a) para enfrentar tales tipos de errores son los siguientes:
I. Inducir logro temprano (aunque sea micrologro).
• La clave es que el(la) estudiante tenga un logro tan temprano como sea posible. Es relevante el efecto
sicológico que provoca en el(la) estudiante. Esto le da la confianza para asumir próximas etapas de
aprendizaje.
• El primer logro es asociar probabilidades a sucesos simples.
II. Para cada una de las fuentes de errores señaladas anteriormente:
A. identificar relación causaefecto no respetada y trabajarla.
• Por ejemplo, vincular bien el desarrollo de experimentos al cálculo de frecuencias porcentuales.
• Aplicar mapas conceptuales.
B. Identificar la asociación indebida y trabajarla.
C. Identificar la causa de la confusión y trabajarla.
D. Identificar el prejuicio erróneo y trabajarlo.
E. Practicar, practicar, practicar.
En las probabilidades, en forma similar a otras áreas de la Matemática, la práctica es fundamental.
III. Al trabajar A, B, C, D, E, señalado anteriormente, usar:
• visualizaciones (gráficos, esquemas, figuras).
La visualización es una de las herramientas claves para inducir el aprendizaje, debido al potencial
visual del cerebro humano. Con las herramientas de software educativo, la pizarra y otros elementos
físicos, el(la) profesor(a) cuenta con medios efectivos y variados para hacer visualizaciones. En ese
software hay varias simulaciones de situaciones probabilísticas para diversos contextos.
No obstante, la representación gráfica hecha por el(la) propio(a) estudiante es más poderosa, pues,
además de la visualización, moviliza la capacidad motriz de la mano, lo cual activa otras funciones
cerebrales muy importantes en el aprendizaje. Esto se logra apoyando con mapas conceptuales.
• cálculo y operaciones que hagan escribir (uso de motricidad).
• razonar en forma simple que vincule con las visualizaciones y uso de la motricidad.
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TERCERA PARTE
Resolución detallada
de ejercicios propuestos
Página 16
Verifica que 3,16 >
10
Solución
Dado que 3,162 < 10 y que 3,172 > 10, no es directo saber cuál es la relación de orden entre 3,16 y 10 .
Para hacer la comparación con propiedad, conviene tener presente que puede inducir a error expresar 3,16
como fracción, lo que de paso servirá para recordar a los(as) estudiantes cómo se procede en estos casos. Si
decimos que x = 3,1666..., entonces 10x = 31,666... y 100x = 316,666.
Haciendo la diferencia 100x – 10x = 316,666... – 31,666...
Se tendrá que 90x = 285, de donde x = 3,16 = 285 = 57 , por lo que
[ 18 ] =
3,16 2 = 57
2
90
18
3.249 > 10 , lo cual demuestra que 3,16 >
324
10 , que es lo que se planteaba.
Página 20
1. Elimina los radicales de los denominadores de las siguientes expresiones:
a) 11
11
b) 6 – 3
3
c) 4
8
2
d) 10
12
e) a a
5a
Soluciones
a) 11 = 11 11 = 11 11 = 11 El factor de racionalización es en este caso 11
11
11 11
11
b) 6 – 3 = 6 – 3
3
3
c)
4
8
3 = 6 3–3 =2 3–1
3
3
2 = 4 2 = 4 2 =2
4·2
2 2
d) 10 = 10
12
12
Factor de racionalización: 3
Factor de racionalización: 2
12 = 10 12 = 5 3 · 4 = 5 · 2 3 = 5 3
12
12
6
6
3
Factor de racionalización: 12
114
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e) a a = a a = a 5 = a 5
5a
5· a
5· 5
5
8
2. a)
5
2
Factor de racionalización: 5
b) 7
c) 7
2
7
d)
7
2
2
3
e)
5
8
a
c
2c
a
Soluciones
a) 8 = 8 · 2 = 8 2 = 8 2 5 = 8 10
5
5
5
5
5
5
Factor de racionalización: 5
b) 7 = 7 · 7 = 7 2 = 7 2
2
2
2· 2
2
Factor de racionalización: 2
c) 7 = 7 · 2 = 2
7
7
Fue necesario buscar un factor
de racionalización.
2
7
2
d)
e)
2
3
= 2 · 5 = 16 = 4 15 = 4 15 Factor de racionalización: 15
3
8
15 15 15
15
5
8
a
c
2c
a
= a · a = a· 1 = a· 1 2 = a 2
c
2c
c 2 c 2 2
2c
Factor de racionalización: 2
Página 22
Racionaliza y reduce a su mínima expresión las siguientes fracciones:
a)
5
3– 2
b)
2
3+1
c)
7 7
3 7–7
f)
k
k+2
i)
z–y
d)
3
5 3–2 5–1
e)
g)
x
2x + x
h)
2p + 3q
2p – 3q
6
5+ 2
z
y
– zy
z =/ y
Soluciones
a)
3 + 2 = 5( 3 + 2) = 5( 3 + 2)
5 =
5
3– 2
3– 2 3+ 2
3–2
Factor de racionalización: ( 3 + 2 )
b)
2 =
2
3+1
3+1
3 – 1 = 2 ( 3 – 1) =
3–1
3–1
Factor de racionalización:
3–1
3–1
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115
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c)
5 – 2 = 6( 5 – 2 )= 6( 5 – 2 ) = 2( 5 – 2 )
6 =
6
5+ 2
5+ 2 5– 2
5–2
3
Factor de racionalización: ( 5 – 2 )
d)
(5 3 + 2 5) 3 (5 3 + 2 5 ) 15 3 + 6 5
3
3
=
=
=
5 3 – 2 5 5 3 – 2 5 (5 3 + 2 5) 25 · 3 – 4 · 5
55
Factor de racionalización: (5 3 + 2 5 )
e)
7 7 (3 7 + 7 = 7 ( 3 + 7 )
7 7 = 7 7 (3 7 + 7 ) 7 7 ( 3 7 + 7 )
=
=
2
3 7 – 7 (3 7 – 7 ) (3 7 + 7 )
9 · 7 – 49
14
Factor de racionalización: (3 7 + 7 )
k
k–2
k+2 k–2
si k = 4 ⇒
\
(
)
k
= k k –2
k–4
k+2
\
\
1 si k = 4
( 2x – x )
x
x
=
( 2x + x ) ( 2x – x )
2x + x
(
)
x
= x 2x –2 x = 2x – x
2x – x
2x + x
2–x
{
si x = 2 ⇒
si x = 2 Factor de racionalización: ( 2x – x )
2x – x si x = 2
2–x
1 si x = 2
2
\
x
=
2x + x
2p + 3q ( 2p + 3q ( 2p + 3q
2p + 3q + 2 6pq
=
=
si 2p =/ 3q
2p – 3q ( 2p – 3q ( 2p + 3q
2p – 3q
(
(
h)
si k = 4
Factor de racionalización: ( 2p + 3q
(
g)
{
k ( k – 2)
k–4
\
k
=
k+2
si k = 4 Factor de racionalización: k – 2
\
k
=
k+2
(
(
f)
Cuando p = 3q entonces,
2p + 3q + 2 6pq
3q + 3q + 2 18q 2
6+2·3 2
=
=
6q – 3q
2p – 3q
3
i)
⇒
2p + 3q
= 2+2 2
2p – 3q
z–y
(z – y)
z y (z – y) zy
= zy z =/ y
=
=
z y
z–y
z
y
z
y
–
–
y
z
y
z
Factor de racionalización: z y
116
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Página 24
Racionaliza las fracciones siguientes:
2
1
a)
b)
2+ 3–1
2+ 3+ 5
c)
1
2 3+3 5+ 7
d)
1
p + 2q – p + 2q
Soluciones
a)
2
2+ 3–1
=
( 2 + 3 ) +1
2
( 2 + 3 ) –1 ( 2 + 3 ) +1
= 2 ( 2 + 3 ) +1
2+2 6 +3–1
= 2+ 3 +1
6 +2
Primer factor de racionalización: ( 2 + 3 ) +1
(
)
= ( 2 + 3 +1) 6 – 2
( 6 + 2) ( 6 – 2)
= 12 – 2 2 + 18 – 2 3 + 6 – 2
2
= 2 3–2 2+3 2 –2 3+ 6–2
2
= 2 + 6 – 2 Segundo factor de racionalización: ( 6 – 2 )
2
b)
( 2+ 3– 5)
2+ 3– 5
1
1
=
=
(
)
(
)
2+3+2 6–5
2+ 3+ 5
2+ 3– 5
2+ 3+ 5
=
c)
d)
2+ 3– 5
2 6
6
=
6
12 + 18 – 30
12
(2 3 + 3 5 – 7 )
2 3+3 5– 7
1
1
=
=
2 3+3 5+ 7
(2 3 + 3 5 + 7) (2 3 + 3 5 – 7 ) 4·3 + 9·5 + 12 15 – 7
(2 3 – 3 5 – 7 ) (50 – 12 15)
2 3+3 5– 7
=
=
(50 + 12 15 )
(50 – 12 15 )
50 + 12 15
(100 3 – 24 45 + 150 5 – 36 75 – 50 7 + 12 105 )
=
50 · 50 – 144 · 15
=
78 5 – 80 3 – 50 7 + 12 105
340
=
39 5 – 40 3 – 25 7 + 6 105
170
( p + 2q + p + 2q )
1
1
=
p + 2q – p + 2q
( p + 2q – p + 2q ) ( p + 2q + p + 2q )
=
=
( p + 2q + p + 2q )
( p + 2q + p + 2q )
=
p + 2q + 2 2pq – (p + 2q)
2 2pq
2pq
2pq
( p + 2q + p + 2q ) 2pq
4pq
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Página 28
2
3
2
2 · 4 3· 3
1
3
8 · 9 · 23
1.Reduce la expresión:
Solución
2
1
2
1
4
2
2
2
3 ( 2 )3
3
3
2
4 3
4
8 9
4
1
2 · 4 3· 3
= 23 ·1 2 ·1 3 1 = 2 3 · 2 2 · 3 1 = 3 2– 3 · 2 3 – 2 = 3 3 · 2 6 – 6 = 3 3· 2 – 6
1
3
(2 ) 2 · (3 2) 3 · 2 3
8 · 9 · 23
2 2· 33· 23
3
3
2·3·5
5· 23· 32
2. Encuentra una expresión más compacta para
Solución
1
3
1
1
1 3
1
1 3
2 9
2 3
3
7
2
1
3
3
3
2·3·5
= 2 1· 3 3 · 5 = 2 3 – 2 · 3 3 –1· 5 3 – 2 = 2 6 – 6 · 3 2 · 5 6 – 6 = 2 – 6 · 3 – 3 · 5 – 6
3
2
5· 2 · 3
5 2· 22 · 3
3. Expresa 2
1
3
1
6
·2 ·4
3
2
como una raíz de una potencia entera de 2.
Solución
2
1
3
1
6
·2 ·4
3
2
= 2
1 +1 +3
3 6 2
= 2
2+1+18
6
= 2
21
6
7
2
= 2 = 2
7
Página 29
1. Racionaliza las fracciones siguientes:
a) 1
2
b) 2
3
c) 1
5
e) 2
8
f) 5
3
g)
j) 2 3
5+ 3
k)
n) 12 + 8
3 + 2
o) 26 – 14
13 – 7
i)
8
7+ 3
m) 26 + 14
13 + 7
d) 12 – 8
3 – 2
1
1– 2
3
5– 2
h)
8
7– 3
l) 2 3
5– 3
p) 12 – 8
3 + 2
Solución
a) 2
2
b) 2 3
3
c) 5
5
d) 2
1
e) 2
15
f) 3
g) –(1 + 2 )
h) 6 + 3 5
i) 2( 7 – 3 )
j) 15 – 3
k) 2( 7 + 3 )
l) 15 + 3
n) 2
o) ( 26 – 14 ( 13 + 7
6
(
(
(
118
(
m) ( 26 + 14 ( 13 – 7
6
p) 10 – 4 6
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2. Ordena:
a. de menor a mayor las fracciones de cada fila del ejercicio anterior.
b. de menor a mayor las fracciones de cada columna del ejercicio anterior.
Soluciones
a)
c<a<b<d
g<e<f<h
j<i<l<k
p<m=o<n
b)
e<a<m<i
j<b<f<n
g<c<o<k
p<d<l<h
3. Racionaliza:
a)
3
e)
3
1
9
b)
1
10+ 3 – 8
f)
3
3
3
1
7–33
c)
1
2–32
d)
1
2–32
k + 3 r , k =/ r
k–3r
Soluciones
a)
3
81
9
2
2
3
3
3
3
b) ( 7 ) + 7 · 3 + ( 3 )
4
2
4 + 2 · 3 2 + (3 2 )
6
( 8 + 2 )· 2 + 2 · 3 2 + 3 4
d)
4
c)
e)
2
4 + 2 · 3 10 + ( 3 10 )
2
2
2 3
3
3
(3 )
f) k + r + 2 · ( k ) · r + 2 · k· r , k =
/ r
k–r
Página 38
1. Repite los cálculos anteriores para hallar 100 , pero esta vez con la descomposición 100 = 121 – 21.
Discute si el valor aproximado para 100 obtenido de esta forma es más o menos preciso que el valor encontrado en el ejercicio resuelto anterior.
Solución
En esta ocasión,
100 =
121 – 21 =
21 = 121 1 – 21
121 · 1 –121
121
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21
De acuerdo a la igualdad aproximada que dedujimos, 1 + ε ≈ 1 + 1ε , esta vez con ε =
se tendrá que:
121
2
21
1 – 21 ≈ 1 – 12 ·
121
121
De manera que, considerando también que 121 = 11:
100 ≈ 11 · 1 – 1 · 21 = 11 – 21 = 242 – 21 = 221
2 121
∴
22
22
22
100 ≈ 10,045
sabemos que el valor exacto de 100 es 10. La aproximación es, en este caso, más precisa que la
encontrada en el texto del estudiante, que como vimos era 100 ≈ 10,05. La explicación proviene
del hecho que la precisión de la expresión aproximada 1 + ε ≈ 1 + 12 ε , es mayor en la medida que ε es
21
≈ 0,174 , mientras que cuando usamos la descomposición 100 = 81 + 19
menor. En el caso actual ε = 121
19
=
ε 81 ≈ 0,235 > 0,174 .
2. Calcula 150 , usando la aproximación 1 + ε ≈ 1 +
calculadora o una planilla de cálculo.
1
2
ε . Compara tu resultado con el obtenido con una
Solución
Usaremos en este caso, 150 = 144 + 6, de modo que:
150 =
144 + 6 = 144 · 1 + 6
144
= 144
De acuerdo a la aproximación, 1 + ε ≈ 1 +
150 ≈ 12 · 1+ 1 · 6
2 144
= 12 + 3
12
1
2
1+ 6
144
ε , esta vez con ε =
6 y como 144 = 12 se tendrá que:
144
= 144 + 3 = 147
12
12
∴ 150 ≈ 12,25
Haciendo uso de una calculadora de bolsillo, el resultado que se obtiene es: 150 ≈ 12,24744871
Este resultado difiere en un 0,02% del obtenido con la aproximación (que siempre entrega un resultado
mayor que el exacto).
Página 49
1. ¿Por qué crees que la tabla del análisis anterior se construyó de manera aparentemente antojadiza, con
tantos casilleros vacíos?
Para que todos los valores quedaran dentro del mismo rango.
2. Realiza el análisis anterior para valores de a ≠ 1 (positivos y negativos).
Las parábolas se abren (cierran) cuando |a| > 1 (|a| < 1).
120
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Página 51
1. La recta L1 intersecta al eje Y en el punto A de coordenadas (0, 3) y a la recta L2 en el punto Q(2, 5). A su
vez L2 intersecta al semieje positivo OX a una distancia 1 del origen. Determina las ecuaciones de L1 y L2.
Solución
Escribamos genéricamente las ecuaciones de las rectas L1 y L2 de la siguiente manera:
L1 : y1 = mx + n
L2 : y2 = Mx + N
Como la intersección de L1 se produce en el punto (0, 3) eso quiere decir que n = 3, de manera que la ecuación de la recta L1 es:
y1 = mx + 3
Como L2 intersecta al eje OX en el punto (0, 1) debe cumplirse que:
0 = M + N, de manera que N = – M
Además, las ordenadas de ambas rectas coinciden en el punto Q(2, 5) en el cual se intersectan, lo que se
traduce en:
2m + 3 = 2M – M
Como L1 y L2 pasan por Q(2, 5):
5 = 2m + 3 ⇒ m = 1
5 = 2M – M ⇒ M = 5 ⇒ N = –5
Por lo expuesto, las ecuaciones de las rectas L1 y L2 son, respectivamente:
L1 : y1 = x + 3
L2 : y2 = 5x – 5
2. Encuentra el punto de intersección de las rectas descritas por las ecuaciones
1
y = 6x + 2, y – 3x – 4 = 0 . Interpreta el resultado obtenido.
2
3. El gráfico adjunto representa el movimiento uniforme (es decir, con velocidad constante y rectilíneo) de
dos vehículos que parten desde un mismo punto, que hemos elegido como el origen de coordenadas, pero
en que el más veloz (B) parte 30 minutos más tarde que el más lento (A). Si las velocidades son respectivamente 120 km/h y 80 km/h encuentra:
a. ¿a qué distancia de O el vehículo B alcanza al vehículo A?
b. ¿cuánto tarda B en alcanzar a A?
Nota: En un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v, si x es la distancia recorrida y t es el tiempo
que tarda el móvil en recorrerla, entonces x = vt.
Solución
Coloquemos un subíndice L al vehículo más lento y un subíndice R al más veloz. Como la recta que describe
al vehículo más lento pasa por el origen del sistema de coordenadas, su ecuación es xL = 80t.
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Por otro lado, como la recta que representa al vehículo más veloz no pasa por el origen, debemos determinar
su intersección n con el eje de las ordenadas de manera que la escribiremos como xR = 120t + n.
Sabemos que cuando han transcurrido 30 minutos B todavía se encontraba en x = 0, lo cual expresamos
como:
t = 30 min = 0,5 h ⇒ xR = 0 ⇒ 0 = 120 ·
1
+ n ∴ n = –60 km
2
de modo que la expresión para la posición del vehículo más veloz en función del tiempo t es: xR = 120t – 60.
Que los vehículos se encuentren simultáneamente en el mismo punto del espacio se especifica imponiendo
que sus coordenadas coincidan para un mismo instante de tiempo t:
xR = xL ⇒ 80t120t – 60 ⇒ 40t = 60 ∴ t =
3
h = 1,5h
2
Es decir, una vez que parte el móvil más lento en t = 0, transcurren 1,5 horas para que sea alcanzado por el
móvil más veloz y en ese caso la posición de ambos coincide y han recorrido 120 kilómetros desde el origen
del sistema de coordenadas, como queda claro enlos cálculos que siguen:
xL = 80 · 3 km = 120 km
2
xR = 120 · 3 – 60 km = (180 – 60) km = 120 km
2
Página 54
1. Escribe las siguientes funciones cuadráticas en la forma estándar y1 = a(x – h)2 + c. Encuentra a, h y c.
a) y = 5x2
b) y = –6x2
c) y = 4x2 + 2x
d) y = –2x2 + x
e) y = x2 + 3
f) y = –
1 2
x +1
4
g) y = –
1 2 1
x + x–1
2
2
h) y – 2x2 + 4x – 3 = 0
Solución
Reescribamos las ecuaciones anteriores en la forma deseada:
a) y = 5x2 → y = 5 (x – 0)2 + 0
b) y = –6x2 → y = –6 (x – 0)2 + 0
122
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III.Parte (114-184cs3).indd 122
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c) y = 4x2 + 2x → y = 4 x + 1
4
2
– 1
d) y = –2x2 + 2x → y = –2 x – 1
4
4
2
– 1
4
e) y = x2 + 3 → y = (x – 0)2 + 3
f) y = –
1 2
1
x +1→y=–
4
4
x+ 1
2
+1
4
1
1
1
g) y = – x2 + x – 1 → y = –
x– 1
2
2
2
2
2
– 7
8
h) y – 2x2 + 4x – 3 = 0 → y = 2 (x – 1)2 + 1
Identificando los coeficientes
podemos generar la siguiente tabla:
a
h
c
a.
50
0
0
b.
–6
0
0
c.
4
d.
–2
1
4
1
8
e.
1
0
3
1
4
0
1
g. – 1
2
1
2
h.
1
f.
–
–
2
1
4
–
–
1
4
7
8
1
2. En los ejercicios anteriores,
a) encuentra las coordenadas:
• del punto de intersección de la parábola con el eje Y.
• del (de los) punto(s) de intersección de la parábola con el eje X.
b) los puntos de intersección encontrados en la parte a.
Solución
a) Para la parábola y = Ax2 + Bx + C
las coordenadas del punto de intersección
con el eje Y son (0, C). En el ejercicio anterior:
c
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
0
0
0
0
3
1
–1
3
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123
10/8/09 17:35:28
2
Los puntos de intersección con el eje X son – B ± B – 4 AC ,0 . En el ejercicio anterior:
2A
a.
(0,0)
b.
(0,0)
c.
(0,0)
d.
(0,0)
e.
(– 3,0) y ( 3,0)
f.
(–2,0) y (2,0)
g. No existe intersección
h. No existe intersección
Por razones de claridad y para que los gráficos sean más simples de visualizar, separaremos las parábolas
en dos grupos: de la a. a la d., que pasan por el origen del sistema de coordenadas y de la e. a la h. que
no pasan por dicho punto.
Parábolas que pasan por el origen
x
5x2
–6x2
–3,00
–2,90
–2,80
–2,70
–2,60
–2,50
–2,40
–2,30
–2,20
–2,10
–2,00
–1,90
–1,80
–1,70
–1,60
–1,50
–1,40
–1,30
–1,20
–1,10
–1,00
–0,90
–0,80
–0,70
–0,60
–0,50
–0,40
–0,30
–0,20
–0,10
45,00
42,05
39,20
36,45
33,80
31,25
28,80
26,45
24,20
22,05
20,00
18,05
16,20
14,45
12,80
11,25
9,80
8,45
7,20
6,05
5,00
4,05
3,20
2,45
1,80
1,25
0,80
0,45
0,20
0,05
–54,00
–50,46
–47,04
–43,74
–40,56
–37,50
–34,56
–31,74
–29,04
–26,46
–24,00
–21,66
–19,44
–17,34
–15,36
–13,50
–11,76
–10,14
–8,64
–7,26
–6,00
–4,86
–3,84
–2,94
–2,16
–1,50
–0,96
–0,54
–0,24
–0,06
124
4x2 + 2x –2x2 + x
30,00
27,84
25,76
23,76
21,84
20,00
18,24
16,56
14,96
13,44
12,00
10,64
9,36
8,16
7,04
6,00
5,04
4,16
3,36
2,64
2,00
1,44
0,96
0,56
0,24
0,00
-0,16
-0,24
-0,24
-0,16
–21,00
–19,72
–18,48
–17,28
–16,12
–15,00
–13,92
–12,88
–11,88
–10,92
–10,00
–9,12
–8,28
–7,48
–6,72
–6,00
–5,32
–4,68
–4,08
–3,52
–3,00
–2,52
–2,08
–1,68
–1,32
–1,00
–0,72
–0,48
–0,28
–0,12
x
5x2
– 6x2
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
0,00
0,05
0,20
0,45
0,80
1,25
1,80
2,45
3,20
4,05
5,00
6,05
7,20
8,45
9,80
11,25
12,80
14,45
16,20
18,05
20,00
22,05
24,20
26,45
28,80
31,25
33,80
36,45
39,20
42,05
45,00
0,00
–0,06
–0,24
–0,54
–0,96
–1,50
–2,16
–2,94
–3,84
–4,86
–6,00
–7,26
–8,64
–10,14
–11,76
–13,50
–15,36
–17,34
–19,44
–21,66
–24,00
–26,46
–29,04
–31,74
–34,56
–37,50
–40,56
–43,74
–47,04
–50,46
–54,00
4x2 + 2x –2x2 + x
0,00
0,24
0,56
0,96
1,44
2,00
2,64
3,36
4,16
5,04
6,00
7,04
8,16
9,36
10,64
12,00
13,44
14,96
16,56
18,24
20,00
21,84
23,76
25,76
27,84
30,00
32,24
34,56
36,96
39,44
42,00
0,00
0,08
0,12
0,12
0,08
0,00
–0,12
–0,28
–0,48
–0,72
–1,00
–1,32
–1,68
–2,08
–2,52
–3,00
–3,52
–4,08
–4,68
–5,32
–6,00
–6,72
–7,48
–8,28
–9,12
–10,00
–10,92
–11,88
–12,88
–13,92
–15,00
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25
20
15
5 x2
10
-2,5
4 x2 + 2 x
-2
-1,5
5
-1
-0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-5
− 2 x2 + x
-10
-15
-20
− 6 x2
-25
-30
x
-x2/4+1 -x2/2+x/2-1 2x2-4x+3
x2 – 3
-x2/4+1
–x2/2+x/2-1
2x2-4x+3
x
x2-3
6,00
-1,25
-7,00
33,00
0,00
-3,00
1,00
-1,00
3,00
5,41
-1,10
-6,66
31,42
0,10
-2,99
1,00
-0,96
2,62
4,84
-0,96
-6,32
29,88
0,20
-2,96
0,99
-0,92
2,28
4,29
-0,82
-6,00
28,38
0,30
-2,91
0,98
-0,90
1,98
3,76
-0,69
-5,68
26,92
0,40
-2,84
0,96
-0,88
1,72
3,25
-0,56
-5,38
25,50
0,50
-2,75
0,94
-0,88
1,50
2,76
-0,44
-5,08
24,12
0,60
-2,64
0,91
-0,88
1,32
2,29
-0,32
-4,80
22,78
0,70
-2,51
0,88
-0,90
1,18
1,84
-0,21
-4,52
21,48
0,80
-2,36
0,84
-0,92
1,08
1,41
-0,10
-4,26
20,22
0,90
-2,19
0,80
-0,96
1,02
1,00
0,00
-4,00
19,00
1,00
-2,00
0,75
-1,00
1,00
0,61
0,10
-3,76
17,82
1,10
-1,79
0,70
-1,06
1,02
0,24
0,19
-3,52
16,68
1,20
-1,56
0,64
-1,12
1,08
-0,11
0,28
-3,30
15,58
1,30
-1,31
0,58
-1,20
1,18
-0,44
0,36
-3,08
14,52
1,40
-1,04
0,51
-1,28
1,32
-0,75
0,44
-2,88
13,50
1,50
-0,75
0,44
-1,38
1,50
-1,04
0,51
-2,68
12,52
1,60
-0,44
0,36
-1,48
1,72
-1,31
0,58
-2,50
11,58
1,70
-0,11
0,28
-1,60
1,98
-1,56
0,64
-2,32
10,68
1,80
0,24
0,19
-1,72
2,28
-1,79
0,70
-2,16
9,82
1,90
0,61
0,10
-1,86
2,62
-2,00
0,75
-2,00
9,00
2,00
1,00
0,00
-2,00
3,00
-2,19
0,80
-1,86
8,22
2,10
1,41
-0,10
-2,16
3,42
-2,36
0,84
-1,72
7,48
2,20
1,84
-0,21
-2,32
3,88
-2,51
0,88
-1,60
6,78
2,30
2,29
-0,32
-2,50
4,38
-2,64
0,91
-1,48
6,12
2,40
2,76
-0,44
-2,68
4,92
-2,75
0,94
-1,38
5,50
2,50
3,25
-0,56
-2,88
5,50
-2,84
0,96
-1,28
4,92
2,60
3,76
-0,69
-3,08
6,12
-2,91
0,98
-1,20
4,38
2,70
4,29
-0,82
-3,30
6,78
-2,96
0,99
-1,12
3,88
2,80
4,84
-0,96
-3,52
7,48
-2,99
1,00
-1,06
3,42
2,90
5,41
-1,10
-3,76
8,22
3,00
6,00
-1,25
-4,00
9,00
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125
10/8/09 17:35:33
30
25
20
2 x 2− 4 x + 3
15
10
x 2− 3
-3
−
5
–2
–1
0
0
1
2
–5
1 2 1
x + x −1
2
2
−
1
4
3
x2
+1
–10
Página 61
Haciendo uso de la variable auxiliar encontrada en cada caso en los ejercicios resueltos anteriores,
5
1
1
x – ; x + ; x – 1; x –
:
2
7
3
a) resuelve las respectivas ecuaciones
b) verifica que las soluciones efectivamente satisfacen dichas ecuaciones.
Soluciones
a)
x2 – 5x + 2 = x(x – 5) + 2 ⇒ y = x –
x=y+
5
2
5
2
5
2
5
5
⇒ y+ 2 y– 2 +2=0
25
8
⇒ y2 – 4 + 4 = 0
17
17
∴ y2 = 4 ⇒ y = ± 2
5
17
x=
±
2
2
x–5=y–
b)
2
1
–3⇒y=x+
x2 + 2 x – 3 = x x +
7
1
x=y –
7
1
2
x+
=y+
7
7
1
1
y–
y+
–3=0⇒
7
7
1
147
⇒ y2 – 49 – 49 = 0 ⇒
148
2 37
⇒ y2 =
⇒y=±
49
7
1
2 37
∴ x=–
±
7
7
7
126
7
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10/8/09 17:35:34
c)
–x2 + 2x + 8 = – x (x – 2) + 8 ⇒ y = x – 1
x=y+1
x–2=y–1
– (y + 1) (y – 1) + 8 = 0
⇒ – y2 + 1 + 8 = 0
⇒ y2 = 9 ⇒ y = ± 3
4
∴ x=
d)
–2
3x2 – 2x – 1 = 3x x –
x=y +
1
3
2
3
–1⇒y=x–
1
3
1
x– 2 =y–
3
3
3 y+
1
1
y–
–1=0
3
3
1
1
=
9
3
4
2
⇒ y2 = 9 ⇒ y = ± 3
⇒ y2 –
1
∴ x=
–
1
3
Página 65
Resuelve, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x2 – 10x + 2 = 0
b) x2 + 3x – 2 = 0
c) x2 –
d) x2 –
1
x–2=0
2
3
x–1=0
7
e) 5x2 – 8x – 2 = 0
Soluciones
a)
x2 – 10x + 2
(x – 5)2 – 25 + 2
(x – 5)2
x–5
x
=
=
=
=
=
0
0
23
± 23
5 ± 23
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127
10/8/09 17:35:35
b)
x2 + 3x – 2 = 0
x+
c)
d)
3
2
2
–
9
8
–
= 0
4
4
3
17
= ±
x+
2
2
3
17
x = – ±
2
2
1
x–2 = 0
2
1 2
1
32
x–
–
–
= 0
4
16
16
1
33
= ±
x–
4
4
1
33
x =
±
4
4
x2 –
3
x–1 = 0
7
2
196
9
–
= 0
x– 3 –
196 196
14
3
205
= ±
x–
14
14
3
205
x =
±
14
14
x2 –
e)
5x2 – 8x – 2 = 0
8
2
x–
= 0
5
5
8 2
40
64
x – 10 –
–
= 0
100 100
8
104
= ±
x–
10
10
4
104
x =
±
5
10
x2 –
Página 74
Más ejercicios propuestos
1. Determina la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos:
a) 144
b) 256
c) 289
d) 225
e) 324
f) 169
g) 121
h) 196
i) 400
j) 361
Verifica tus resultados elevando al cuadrado los números obtenidos.
Soluciones
a) 144 = 12 porque
122 = 12 · 12 = 144
128
b) 256 = 16 porque
162 = 16 · 16 = 256
c) 289 = 17 porque
172 = 17 · 17 = 289
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III.Parte (114-184cs3).indd 128
10/8/09 17:35:35
d) 255 = 15 porque
e) 324 = 18 porque
152 = 15 · 15 = 225
f) 169 = 13 porque
182 = 18 · 18 = 324
g) 121 = 11 porque
132 = 13 · 13 = 169
h) 196 = 14 porque
112 = 11 · 11 = 121
i) 400 = 20 porque
142 = 14 · 14 = 196
202 = 20 · 20 = 400
j) 361 = 19 porque
192 = 19 · 19 = 361
2. Determina la raíz cuadrada de:
a) 100
b) 400
c) 900
d) 1.600
e) 2.500
f) 3.600
g) 4.900
h) 6.400
i) 8.100
j) 10.000
¿Qué puedes comentar acerca de los resultados obtenidos?
Soluciones
a.
102 = 10 · 10 = 100
b.
100 = 10
400 = 20
202 = 20 · 20 = 400
c.
900 = 30
302 = 30 · 30 = 900
d.
1.600 = 40
402 = 40 · 40 = 1.600
e.
2.500 = 50
502 = 50 · 50 = 2.500
f.
3.600 = 60
602 = 60 · 60 = 3.600
g.
4.900 = 70
702 = 70 · 70 = 4.900
h.
6.400 = 80
802 = 80 · 80 = 6.400
i.
8.100 = 90
902 = 90 · 90 = 8.100
10.000 = 100
1002 = 100 · 100 = 10.000
j
3. Calcula la raíz cuadrada de:
a) 4 · 49
b) 25 · 64
c) 16 · 81
d) 36 · 9 · 64
e) 25 · 9
f) 225 · 324
g) 256 · 36 · 4
h) 324 · 36 · 4
i)
144
9 · 81
289
9 · 81 · 256
100 · 400 · 900
1.600 · 2.500 · 3.600
Soluciones
En estos ejercicios se está apelando a las propiedades de la raíz cuadrada relativas a la raíz cuadrada de un producto y la raíz cuadrada de un cociente, que respectivamente expresan que:
a
a
a·b= a· b y
=
, a > 0, b > 0
b
b
Entonces, por ejemplo, en el caso a) 4 · 49 = 4 · 49 = 2 · 7 = 14 y así sucesivamente para los demás
productos.
a) 2 · 7 =14
b) 40
c) 36
d) 144
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129
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El caso e) es una combinación de productos y cocientes, de manera que se tendrá:
25 · 9 = 25 · 9 = 25 · 9 = 5 · 3 = 15 = 5
144
144
144
12
12
4
Para los demás casos se procede en forma análoga y los resultados son:
f) 270
g) 64
17
9
h) 1
i) 1
c) 25 + 144
d) 225 + 64
2
20
4. Calcula la raíz cuadrada de:
a) 36 + 64
b) 81 + 144
Soluciones
Este ejercicio, en conjunto con el siguiente, quieren mostrar la diferencia entre la raíz de una suma y la suma
de las raíces, puesto que se trata de un error frecuente entre los(as) estudiantes pensar que es posible
conmutar tales operaciones.
Conviene insistir, entonces, que para calcular la raíz de una suma es necesario efectuar en primer lugar dicha
suma y solo después de ello extraer la raíz:
a) 36 + 64 = 100 = 10
b) 125 = 15
c) 169 = 13
d) 286 = 17
5. Calcula:
a) 36 + 64
b) 81 + 144
c) 25 + 144
d) 225 + 64
Compara los resultados con los obtenidos en el ejercicio anterior y comenta.
Soluciones
Como ya se había hecho notar en el ejercicio anterior, es diferente la raíz de una suma que la suma de las
raíces. Dicho de manera algebraica, a + b ≠ a + b . Ello resulta evidente al comparar los resultados del
ejercicio anterior con los de estos:
a) 36 + 64 = 6 + 8 = 14
b) 9 + 12 = 21
6. Usando la aproximación 1 + ε ≈ 1 +
1
2
c) 5 + 12 =17
d) 15 + 8 = 23
ε calcula la raíz cuadrada de:
a. 144
b. 1.000
Estima en cada caso el error porcentual cometido.
Soluciones
Usaremos en este caso, 144 = 121 + 23:
144 = 121 + 23 = 121 · 1 +
130
23
121
= 121
1+
23
121
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10/8/09 17:35:36
Pero 121 = 11 .
De acuerdo a la aproximación, 1 + ε ≈ 1 +
1 23
2 121
144 ≈ 11 · 1 +
∴
1
2
ε , esta vez con ε =
23
se tendrá que:
121
242 + 23
265
= 11 + 23
=
=
22
22
22
144 ≈ 12,0 45
Dado que sabemos que 144 = 12 , exactamente, podemos ver que el error cometido al usar esta aproximación es
a)
b)
12,0 45 – 12
· 100% ≈ 0,38%.
12
144 =121 + 23 ⇒
1.000 =
144 ≈ 12,136
900 + 100 = 31,6
Usaremos en este caso, 1.000 = 900 + 100. De esa forma,
1.000 =
100
900 + 100 = 900 · 1 + 900
= 900
1+
100
900
Pero, 900 = 30.
De acuerdo a la aproximación, 1 + ε ≈ 1 +
1.000 ≈ 30 · 1 +
∴
1
2
1 1
2 9
ε , esta vez con ε =
30
100
se tendrá que:
900
5
= 30 + 18 = 30 + = 30 + 1,6
3
1.000 ≈ 31,6
Haciendo uso de una calculadora de bolsillo, el resultado que se obtiene es:
1.000 ≈ 31,6227766
que difiere en un 0,14% aproximadamente del resultado obtenido con la aproximación (la aproximación
siempre entrega un resultado mayor que el exacto).
Una manera de estimar el error es elevar al cuadrado el resultado obtenido y ver cuánto difiere de 1.000. Si
se calcula el error porcentual del cuadrado, es siempre el doble del error porcentual cometido al acercar la
raíz con esta aproximación.
Efectivamente,
1.002,7 – 1.000
· 100% ≈ 0,28%
1.000
7. Determina la raíz cúbica de los siguientes cubos perfectos:
a) 8
e) 216
b) 27
f) 343
c) 64
g) 512
d) 125
h) 729
i) 1.000
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131
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Soluciones
3
a.
b.
3
c.
3
23 = 2 · 2 · 2 = 8
8=2
27 = 3
33 = 3 · 3 · 3 = 27
64 = 4
43 = 4 · 4 · 4 = 64
d.
3
125 = 5
53 = 5 · 5 · 5 = 125
e.
3
216 = 6
63 = 6 · 6 · 6 = 216
f.
3
343 = 7
73 = 7 · 7 · 7 = 343
g.
3
512 = 8
83 = 8 · 8 · 8 = 512
h.
3
729 = 9
93 = 9 · 9 · 9 = 729
1.000 = 10
103 = 10 · 10 · 10 = 1.000
3
i.
Página 75
8. Reduce a la forma ap (a entero, p racional) las siguientes expresiones:
a) 2 · 2
2
b) 8 · 2 · 2
2
e) 5 3 · 125 · 5 · 5
3
1
4
c) 3 2 · 3 · 3
4
3
g) 3 · 27
3
3·3
–
f) 8 · 2 · 2
2
d) 32 · 4
1
2
2
2
3
3
h) 1 7 · 7 · 7
2
7 4 ·( 7)– ·7
2
5
Soluciones
1
2
4
5
2
a) 2 · 2 = 2 2 · 2 2 = 2
4
1
3
6
4
1
8
b) 8 · 2 · 2 = 2 · 2 2 · 2 = 2 2 · 2 2 2 2 = 2
1
1
2
1
4
c) 3 2 · 3 · 3 = 3 2 · 3 2 3 2 = 3
1
d) 32 · 4 2 = 2
1
5 2
· 2
2
1
2 2
15
2
3
5
2
7
= 2 2· 2 2 = 2 2
2
1
2
e) 5 3 · 125 · 5 · 5 3 = 5 3 · 5 3
1
1
4
3
9
3
· 5 2· 5 = 5 6 · 56 · 56 · 5
6
1
8
18
6
=5
34
6
1
f) 8 · 2 · 2 – 4 = 2 3 · 2 2 · 2 – 4 = 2 2 · 2 2 · 2 – 2 = 2 – 2
2
2
3
9
4
3
3
2
– 3
– 18
– 8
–
g) 3 · 27 = 3 1 · 3 6 = 3 6 · 3 6 · 3 6 · 3 6 = 3 6 = 3
3
3·3
3 2·32
2
1
2
3
7 3· 7 · 7
h) 1
2
7 4 · ( 7 )– · 7
2
5
=
7 3 · 7 2· 7
1
4
7 ·7
2
– 2
·7
3
2
5
3
4
18
4
3
25
250
6
6
6
60
6
= 75 · 720 · 7 8 = 7 7 = 7 21 = 7
–
–
–
7 20 7 60
7 20 ·7 20· 7 20
271
60
9. Reduce a la forma ap bq (a y b enteros, p y q racionales) las siguientes expresiones:
2
a) 3 · 6 · 2
2
3
3
3
2
3
e) 5 · 35 · ( 5 ) · 5 · 7
132
1
2
b) 5 · 10 3 · 2 · 2
3
5
4
5
f) 2 · 3 – 4 · 8 – 2 ·
12 · 6
c) 2 · 14 · 7
5
2
24
3
2
3
2
3
3
g) 15 5 · 3 · 5
–1
3·5
1
d) 3 2 · 9 · 15 · 25
0
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Soluciones
2
3
1
2
1
7
3
5
a) 3 · 6 · 2 = 3 · 2 2 · 3 2 · 2 = 2 2 · 3 2
1
2
5
1
2
1
b) 5 · 10 3 · 2 · 2 = 5 · (2 · 5 ) 3 · 2 2 · 2 5
1
1
1
2
3
30
6
1
35
7
= 2 3 · 22 · 25 · 52 · 5 3 = 2 6 · 2 6 · 2 6 · 5 3· 5 3 = 2 6· 53
c) 2 · 14 · 7
2
3
1
1
1
2
= 2 2 · 2 2 · 7 2· 7 3 = 2 · 7
1
1
1
1
2
2
1
1
7
6
5
d) 3 2 · 9 · 15 · 25 = 3 2 · 3 2 · 3 2 · 5 2 · 5 = 3 3 · 5 2
2
3
3
e) 5 3 · 35 · ( 5 3 ) · 5 2· 7 3 = 5 3 · 5 2 · 7 2 · 5 2 · 5 2 · 7 2 = 7 2· 5
f)
4
5
3
2 · 3 · 8–2 ·
–4
12 · 6
5
1
24 =
23· 3
1
2
2
2
0
· 2 3· 3
1
5
1
–6
· 2 5 · 2 · 2 · 3 15 · 3 5 · 3 2 · 3
3
–1
4
1
–3
· 2 5 · 3 15 · 3
3
17
–1
2
=23·2
g) 15 3 · 3 3 · 5 3
5
–1
3·5
–2
–4
5 – 45 + 9
15
·3
·2
–4
· 23
3 ·4 ·3
=23·2
=2
1
2
1
4 3
5
14
3
14 – 15 + 120
30
=2
4
·3
31
– 15
1
1
4
4
·3
119
30
=1
Se trata de una pregunta capciosa, puesto que la cantidad entre paréntesis de corchete es diferente de 0 y
está elevada a 0, de manera que no hay que hacer cálculo alguno y el resultado es simplemente 1, porque
si a ≠ 0 ⇒ a 0 = 1.
10. Haciendo uso de la aproximación 1 + ε ≈ 1 + 1
2
rencia de la figura.
ε , calcula la longitud del diámetro AB de la circunfe-
9 cm
4 cm
A
B
Solución
En virtud del teorema de Pitágoras, la longitud h de la hipotenusa AB está dada por:
h = 9 2 + 4 2 = 81 + 16 = 97
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133
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Para calcular h usaremos la descomposición 97 = 100 – 3. De esa forma,
3
97 = 100 – 3 =
100 · 1 – 100
=
3
100 1 – 100
Pero, 100 = 10 .
De acuerdo a la aproximación, 1 + ε ≈ 1 + 1
2
97 ≈ 10 · 1 –
ε , esta vez con ε =
3
se tendrá que:
100
3
1
3
197
·
= 10 –
=
= 9,85 ⇒
100
2
20
20
∴ h = 9 7 cm ≈ 9,85 cm
(Con una calculadora de bolsillo: 9 7 cm ≈ 9,8488578 , de manera que el error porcentual es aproximadamente 0,01 %.)
11. Salvador no recuerda el área de su terreno rectangular, pero sabe que sus lados están en la razón 2:3.
D
C
A
B
Para resolver su duda, Salvador mide la diagonal AC del terreno, que resulta ser 140 m.
a) ¿Cuál es la longitud de los lados del terreno?
b) ¿Cuál es su área?
Soluciones
Como los lados están en la razón 2 : 3, podemos escribir:
AB = 3x
BC = 2x
En virtud del teorema de Pitágoras: (3x) 2 + (2x) 2 = (140) 2
⇒ 13 x 2 = (140) 2
∴
x = 140 m = 140
13
x ≈ 38,83 m
AB = 3x ≈ 116,5 m ;
BC = 2x ≈ 77,7 m;
13
13 m = 140 13 m
13
13
S = AB·BC ≈ 9.052 m2
Página 76
12.
a) ¿Cuál de los gráficos representa con más fidelidad la función x ?
b) Argumenta en cada uno de los otros casos para descartarlo como representación de x .
134
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10/8/09 17:35:39
A
B
C
D
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135
10/8/09 17:35:40
E
Solución
a. Curva B
b. x no está definido para x < 0, lo que elimina las curvas C, D y E. La curva A representa un crecimiento
cuadrático.
Página 77
13. Grafica las siguientes funciones:
a) f (x) =
x–2
b) g (x) =
x+2
c) h (x) =
5x
d) k (x) =
4x – 3
Define en cada caso el dominio y el recorrido de la función.
Soluciones
X
XŸ
X X Ÿ
136
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10/8/09 17:35:40
Función
f(x) =
Dominio
Recorrido
[2,∞)
[0,∞)
[– 2,∞)
[0,∞)
[0,∞)
[0,∞)
,∞)
[0,∞)
x–2
g(x) = x + 2
h(x) = 5x
k(x) =
3
4
4x – 3
14. Encuentra, en cada caso, qué expresiones son iguales entre sí:
a) 2 ; 3 2 + 1 ; 8 –
2
b) 18 ; 8 +
c) 2
d)
2 ;5 2 –
6 ;3 3 +
20 ; 4 5 +
2
4
2
6
; 12 + 3
3
3
1
;–4 5+3 2
5
10
Soluciones
a) Desarrollemos la segunda y la tercera expresión para compararlas entre ellas y con la primera:
1
1
2
=3 2 + 2 = 7 2
3 2 + 2 = 3 2 + 2⋅
2
2
2
8 –
4⋅2–
2 =
2 = 2 2 –
2 =
2= 8 –
La tercera expresión es, entonces, equivalente a la primera:
2
2.
b) Desarrollemos en este caso las tres expresiones:
18 = 9 ⋅ 2 = 3 2
8+ 2 = 4⋅2+ 2 = 2 2+ 2= 3 2
5 2 –
4
4
=5 2–
2
2
2
4 2
= 5 2–
=5 2–2 2 = 3 2
2
2
Todas ellas resultan ser iguales entre sí:
18 = 8 +
4
2=5 2 – 2
c) Desarrollemos las expresiones dadas:
2 6 = 2 2⋅3=2 2⋅ 3
6 3
6 3
3 3 + 6 =3 3+ ⋅
= 3 3+
=3 3+ 2 3=5 3
3
3
3
3
12 + 3 3 = 4 ⋅ 3 + 3 3 = 2 3 + 3 3= 5 3
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137
10/8/09 17:35:41
Por lo tanto, las dos últimas expresiones dadas son iguales entre sí:
6
3 3 + 3 = 12 + 3
3
d) Desarrollemos las tres expresiones que debemos comparar:
20 = 4 ⋅ 5 = 2 5
4 5 +
5
5
21 5
5 = 4 5+ 5 = 5
1
1
=4 5+ 5
5
– 4 5 + 3 2 10 = – 4 5 + 3 2 2 ⋅ 5 = – 4 5 + 3 2 2 5 = – 4 5 + 6 5 = 2 5
En consecuencia, 20 = – 4 5 + 3 2 10
15. Encuentra en cada caso la menor de las expresiones:
a) 3 + 2 ;
5– 2
b) 3 + 2 ;
21 – 2
c) 3 + 2 ;
20 – 2 ;
23 – 3
d) 5 + 7 ;
56 – 7 ;
57 – 7
e) 3 + 8 ; 3 6 – 8
Soluciones
a) Comparemos con 1 el cociente entre las expresiones dadas:
5 + 2 = 15 + 6 + 10 + 2 = 15 + 6 + 10 + 2 > 1 ⇒
3+ 2 = 3+ 2
⋅
5– 2
5–2
3
5+ 2
5– 2
3+ 2> 5– 2
b) Procediendo en forma análoga al ejercicio anterior, construyamos el cociente entre las expresiones que
debemos comparar:
3
2 = 3 + 2 21 + 2
⋅
21 – 2
21 – 2
21 + 2
63 + 6 + 42 + 2 = 63 + 6 + 42 + 2
21 – 2
19
En este caso la comparación con 1 no resulta tan fácil, pues al tratar de estimar el numerador 63 + 6 + 42 + 2
el primer término es cercano a 8, el segundo es mayor que 2, el tercero es mayor que 6 y el cuarto es 2, de
manera que su suma es cercana a 19 y es difícil decidir si es mayor o menor que 19. Es decir:
63 + 6 + 42 + 2 ≈ 8 + 2,... + 6,... + 2 ≈ 19
Conviene adoptar otra estrategia. Vamos a decir que entre las expresiones dadas existe una relación de
orden que puede ser <, = ó > y que denotaremos genéricamente con el símbolo R.
3+ 2
R
21 – 2
Si sumamos 2 a ambos miembros de la desigualdad, la relación de orden no se altera:
3+2 2
138
R
21
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10/8/09 17:35:41
Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad:
3+8+4 6
R
21
Restando 11 a ambos miembros de la desigualdad:
4 6
R
10
2 6
R
5
Dividiendo por 2 ambos miembros:
Elevando nuevamente al cuadrado:
24
R
25
La última expresión nos indica que el símboloR es <, de modo que:
3+ 2
c) Vamos a comparar en primer lugar
3+ 2 y
3+ 2
Reordenando términos:
21 – 2
<
20 – 2
R
3+2 2
20 – 2
R
20
Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad:
3+8+4 6
4 6
96
Por lo tanto,
3+ 2
R
R
R
>
20
9
81 ⇒
20 – 2
Ya sabemos que 3 + 2 no es la menor de las expresiones. Debemos comparar entonces 20 – 2 con
23 – 3 .
23 – 3
R
20 – 2
23 + 2
R
20 + 3
Reordenando los términos:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad y reordenando términos:
23 + 2 46 + 2
Dividiendo la desigualdad por 2:
R
⇒ 2 46 + 2
46 + 1
20 + 2 60 + 3
R
R
2 60
60
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139
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Elevando nuevamente al cuadrado y reduciendo términos:
46 + 2 46 + 1
⇒ 2 46
R
R
60
13
Elevando al cuadrado:
184 R 69
∴ R es >
Por lo tanto,
23 – 3
Es decir, la menor de las tres expresiones es
>
20 – 2
20 – 2 .
d) 56 – 7
e) 3 6 –
8
16. Una nave abastece de diferentes tipos de productos a varios poblados en ambas orillas de un mismo
curso de agua y en las islas entre ellos. El lunes va de A a B y enseguida a C, mientras que el martes viaja
de C a D para finalmente atracar en E.
a) ¿Qué distancia recorrió cada día?
KM
!
KM
#
%
KM
$
"
KM
b) ¿En cuál de los trayectos recorre una distancia mayor?
Solución
KM
!
a)
KM
#
KM
KM
KM
%
KM
KM
KM
KM
"
KM
$
KM
De la figura, si llamamos R1 y R2 a los recorridos del lunes y del martes, respectivamente, y haciendo uso
del teorema de Pitágoras, se tendrá:
140
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R1 = AB + BC = 6 2 + 1 2 + 6 2 + 4 2 (km) = 36 + 1 + 36 + 16 (km) = 37 + 52 (km)
R1 ≈ 6,08 + 7,21 (km) ≈ 13,3(km)
R2 = CD + DE = 6 2 + 3 2 + 6 2 + 1 2 (km) = 36 + 9 + 36 + 1 (km) = 45 + 37 (km)
R2 ≈ 6,71 + 6,08 (km) ≈ 12,8 (km)
Entonces, el lunes recorre: AB + BC ≈ 13,3 km, mientras que el martes la longitud de su recorrido es: CD +
DE ≈ 12,8 km.
b) AB + BC > CD + DE
17. Grafica q (x) =
3 – x y determina el valor de q (-6).
Solución
q (– 6) = 3 – (– 6) = 3 + 6 = 9 = 3
(observar el punto destacado en el gráfico)
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
Ͳ8
Ͳ7
Ͳ6
Ͳ5
Ͳ4
Ͳ3
Ͳ2
Ͳ1
0
1
2
3
4
18. Si g (x) = x 2 – 3x , calcula el valor de la expresión g (x + a) – g(x) , a ≠ 0.
a
Solución
[(x + a) 2 – 3(x + a)] – [x 2 – 3x ]
[x 2 + 2ax + a 2 – 3x – 3a] – [x 2 – 3x]
g (x + a) – g(x)
=
=
a
a
a
2
2
2
2
x + 2ax + a – 3x – 3a – x + 3x
2ax + a – 3a
=
=
a
a
= 2x + a – 3
Página 78
19. Considera la función cuadrática y = x 2 – 2x – 3.
Determina las coordenadas:
a) de los ceros de la función.
b) del vértice de la parábola que representa.
c) de las intersecciones de la parábola con el eje de las ordenadas.
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141
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Soluciones
a)
y = x 2 – 2x – 3 = (x – 3) (x + 1) = 0 ⇒
b)
xv =
x1 =
3
x2 = – 1
x1 + x2
3 + (– 1) 1
=
=
=1
2
2
2
yv = xv 2 – 2xv – 3 = 1 – 2 – 3 = – 4
⇒ las coordenadas de los ceros
de la función son (–1, 0) y (3, 0).
⇒ las coordenadas del vértice V
son: (1, –4)
c. La intersección de la parábola con el eje de las ordenadas se encuentra imponiendo x = 0 ⇒ y = –3 , de
modo que las coordenadas de la intersección son (0, –3).
20. De la función de cuadrática x2 – 3x + 2 se dice que:
I. su vértice está localizado en el punto 3 , –1 .
2 4
II. sus ceros se encuentran en x = 1 y en x = 0.
III. su intersección con el eje Y es el punto (0,2).
De las afirmaciones anteriores, son válidas:
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d) I, III
e) Todas
Solución
Busquemos los ceros de la función y(x) = x2 – 3x + 2 o lo que es equivalente, las raíces de la ecuación x2 – 3x
+ 2 = 0 y en seguida la abscisa del vértice como el promedio de las raíces:
y = x 2 – 3x + 2 = (x – 2) (x – 1) = 0 ⇒
x1 =
1
x2 =
2
⇒
x1 + x2
3+2
3
=
=
2
2
2
9
1
9
2
yv = xv – 3xv + 2 =
–
+2=–
2
4
4
xv =
De modo que las coordenadas del vértice V son:
3 , –1
2 4
Para encontrar la intersección de la parábola con el eje de las ordenadas, imponemos x = 0 ⇒ y = 2 , de
modo que las coordenadas de la intersección son (0, 2).
La alternativa es la d).
142
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21. Considera la parábola f(x) = x2 – 4x – 12 y determina:
a) sus ceros.
b) su intersección con el eje Y.
c) su eje de simetría.
Solución
f (x) = x 2 – 4x – 12 = (x – 6) (x + 2) = 0 ∴
a.
x1 =
6
x2 = – 2
b. La intersección de f(x) con el eje Y se encuentra imponiendo x = 0 ⇒ y = –12 , de modo que las coordenadas de la intersección son (0, –12).
x + x2 6 – 2
4
c.
xv = 1
=
=
2
2
2
yv = xv 2 – 4xv – 2 = 4 – 8 – 2 = –6
Por lo tanto, la ecuación del eje de simetría es x = 2.
22. Resuelve, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x 2 + 6x – 3 = 0
b) x 2 – 2x – 5 = 0
c) x 2 – 5x + 5 = 0
d) x 2 +
2
x–1=0
3
e) 3x 2 + 2x – 1 = 0
Soluciones
a)
x 2 + 6x – 3 = (x + 3) 2 – 9 – 3 = (x + 3) 2 – 12
x 2 + 6x – 3 = 0 ⇒ (x + 3) 2 – 12 = 0 ⇒ (x + 3) 2 = 12
⇒ x + 3 = ± 12
∴ x =–3± 2 3
b)
x 2 – 2x – 5 = (x – 1) 2 – 1 – 5 = (x – 1) 2 – 6
x 2 – 2x – 5 = 0 ⇒ (x – 1) 2 – 6 = 0 ⇒ (x – 1) 2 = 6
⇒ x –1=± 6
∴ x =1± 6
c)
25
5 2 5
+5= x–
–
4
2
4
2
2
5
5
5
5
–
=0⇒ x–
=
x 2 – 5x + 5 = 0 ⇒ x –
2
4
2
4
5
5
5
=±
=±
⇒
⇒ x–
2
4
2
±
∴ x = 5 5
2
x 2 – 5x + 5 = x –
5
2
2
–
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143
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d)
2
1 2 1
1 2 10
x–1= x–
–
–1= x+
–
3
3
9
3
9
2
2
1
10
1
10
–
=0⇒ x+
=
x2 + 2 x – 1 = 0 ⇒ x +
3
3
9
3
9
1
10
10
⇒ x+
=±
=±
⇒
3
9
3
–1 ± 10
∴x =
3
x2 +
e)
3x 2 + 2x – 1 = 3 x 2 +
⇒3 x+
⇒x+
1
3
2
1
=±
3
∴ x =–1
–
2
1
1
x–
=3 x+
3
3
3
4
1
=0⇒3 x+
3
3
2
=
2
–
1
1
–1=3 x+
3
3
4
1
=0⇒ x+
3
3
2
=
2
–
4
3
4
9
2
2
4
1
=± ⇒x=–
±
3
3
9
3
y x=
1
3
23. Haciendo uso de la variable auxiliar indicada en cada caso, auxiliar que permite reescribir la ecuación
dada como el producto de una suma por diferencia igual a una constante:
i. resuelve las respectivas ecuaciones.
ii. verifica que las soluciones efectivamente satisfacen dichas ecuaciones.
a) x 2 – 5x + 2 = 0
y=x– 5
2
b) x 2 + 2 x – 3 = 0
7
y=x+ 1
7
c) –x 2 + 2x + 3 = 0
y=x–1
d) 3x 2 – 2x – 1 = 0
y=x– 1
3
144
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Soluciones
x 2 – 5x + 2 = 0
x 2 – 5x + 2 = x(x –5) +2
⇒y = x– 5
2
⇒x = y+ 5
2
5
⇒x–5 = y–
2
a)
⇒ x(x – 5) + 2 = 0
⇒ y+
b)
5
5
y–
+2 = 0
2
2
25
⇒y2–
= –2
4
17
⇒y2 =
4
17
⇒y = ±
2
5
17
+
⇒x = ±
2
2
±
∴ x = 5 17
2
x2 + 2 x – 3 = 0
7
2
x2 +
x–3 = x x+ 2 –3
7
7
1
⇒y = x+
7
1
⇒x = y–
7
2
⇒x+
= y+ 1
7
7
2
⇒x x+
–3 = 0
7
1
1
⇒ y–
y+
–3 = 0
7
7
1
⇒y2–
–3 = 0
49
148
⇒y2 =
49
148
⇒y = ±
7
2 37
⇒y = ±
7
1
2 37
⇒x = ±
–
7
7
– 1 ± 2 37
∴x =
7
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145
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–x 2 + 2x + 3
–x 2 + 2x + 3
⇒y
⇒x
⇒x–2
⇒ – x (x – 2) + 3
⇒ – (y + 1) (y – 1) + 3
⇒ –y2 + 1 + 3
⇒ –y 2
⇒ y
⇒x
c)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∴x =
0
– x (x – 2) + 3
x–1
y+1
y–1
0
0
0
–4
±2
±2+1
3
–1
3x 2 – 2x – 1 = 0
d)
3x 2 – 2x – 1 = 3x x – 2
3
1
y = x–
3
⇒x = y+ 1
3
2
1
⇒x–
= y–
3
3
2
⇒ 3x x –
–1 = 0
3
1
1
⇒3 y+
y–
–1 = 0
3
3
1
⇒3 y2–
–1 = 0
9
1
1
⇒y2–
=
9
3
4
⇒y2 =
9
2
⇒y = ±
3
2
1
⇒x = ±
+
3
3
x = 1
∴
1
x = –
3
146
–1
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Página 126
Desigualdades
1. La condición que se ha impuesto es:
A ≥ 3B
De la figura:
A = a · (a-x)
B = ax
La desigualdad se puede reescribir como:
a ∙ (a – x) ≥ 3ax
⇒ a2 – ax ≥ 3ax
⇒ a2 ≥ 4ax
Como a > 0, podemos dividir la desigualdad por a sin alterar la relación, o sea:
a ≥ 4x o bien x ≤ a
4
Esta es la condición que debe satisfacer x para que A ≥ 3B.
2. La condición que imponemos en este caso es
B≤ 1 A
2
donde vemos denotado por B al área de la región triangular
y A al resto (ver figura).
La condición la podemos reescribir como:
x
B
x
área de la región triangular
a
A
1 2 1 2 1 2
x ≤
a –
x
2
2
2
área del cuadrado
o bien
x2 ≤ a2 –
⇒
⇒
3 2
x ≤ a2
2
2 2
x2 ≤
a
3
a
1 2
x
2
Como ambos miembros son positivos, podemos extraer raíz cuadrada sin alterar la relación de orden:
∴x ≤
2
a
3
Esta es la condición que debe satisfacer x para que se cumpla B ≤
1
A.
2
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Página 127
3. a) La figura representa la situación que llamaremos 1 en que Q ≡ D.
D≡Q
C
a
a
B
M≡
Q
-1
C#
aA
"
B
A
En ese caso: P1 = 2a + a 2 = (2 + 2 )a.
En el caso de la figura siguiente que llamaremos 2,
Q coincide con M, punto medio de DC.
D
$
aA
A!
Notemos que en virtud del teorema de Pitágoras:
AM = BM =
a2 +
De modo que:
P2 = a + 2
a2
5a 2
5
=
=
a
4
4
2
5
a = (1 + 5) a
2
Comparemos P1 y P2.
Para ello veamos la relación de orden R que existe entre 2 + 2 y 1 + 5 .
Elevado al cuadrado:
2+ 2 R 1+ 5⇒
1+ 2 R 5
1+2+2 2 R 5⇒
2 2 R 2⇒
2 R 1
Entonces R es >, de manera que P1 > P2.
148
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Es posible demostrar que cuando Q está entre D y M (llamemos 3 a esta situación), entonces:
P2 < P3 < P1
(1 + 5 )a ≤ P ≤ (2 + 2 )a
b) Respecto al área, todos los triángulos ABQ tienen la misma base a), de modo que:
2
Área ∆ ABQ = a , ∀ Q en DC
2
El área de todos los triángulos ABQ es la mitad del área del cuadrado ABCD.
4. El área S del atajo se puede calcular como el área del círculo de radio a menos el área del círculo de
2
radio a – x, dividido por 4 (ver figura).
2
8
círculo de radio a – x
2
Entonces,
S = 1 xπ a
4
2
círculo de radio a
2
2
área del círculo
de radio a
2
2
–π a –x
2
área del círculo
de radio a – x
2
Como el área del parque es 2a2 y el área del atajo debe ser a lo sumo el 2% de dicha área, se puede establecer la siguiente desigualdad:
π a 2– π a – x 2 ≤ 2 ∙ 2a2
100
4 2
4 2
2
2
4a 2
⇒ π a – π a – ax + x2 ≤ 100
4 4
4 4
4a 2
⇒ π (ax – x2) ≤ 100
4
16a 2
⇒ ax – x2 ≤ 100 π
4a 2
⇒ ax – x2 ≤ 25 π
x2
4a
x
∴ a – a 2 ≤ 25 π
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149
10/8/09 17:35:46
Como x es una fracción de a, podemos escribir x = α • a donde α es un número positivo menor que 1. La
desigualdad se traduce en:
4
α – α2 ≤ 25 π
Como α es un número pequeño en comparación con 1, α2 es aun más pequeño, de manera que podemos
despreciar α2 frente a α, es decir, se cumple aproximadamente que:
α≤
4 ≈ 0,051
25 π
En otras palabras α ≈ 5 %, por lo cual x ≈ 5 % a.
Página 128
5. El pago mensual de la cuenta telefónica de Max es P y sabíamos que no puede exceder las 3 UF que
ha autorizado en el banco. Por lo tanto, P ≤ 3 UF. Aun cuando ha superado los 300 minutos mensuales en
llamadas.
Por otro lado, su pago nunca es menor de lo pactado en el plan, es decir:
P ≥ $23.500
Supongamos que 1 UF = $21.000, o sea 3 UF = $63.000.
La desigualdad que satisface P es:
23.500 ≤ P ≤ 63.000
6. a) El costo C de una carrera se calcula como la “bajada de bandera” ($500) más, el número n de veces
que el taxímetro cambia por $300.
C = 500 + 300 n
Se sabe que en este caso C < 3.000, es decir:
500 + 300 ∙ n < 5.000
⇒ 300 ∙ n < 4.500
⇒ 3 ∙ n < 45
∴ n < 15 ⇒
Es decir, el taxímetro cambió a lo sumo 15 veces después de la “bajada de bandera”.
b) La distancia que recorre el taxi es lo que cubre la “bajada de bandera” (800 m) más 200 metros adicionales
por cada cambio del taxímetro.
s = 800 + 200 · n < 800 + 200 · 15 ⇒
⇒ s < 800 + 3.000 (m)
⇒ s < 3.800 (m)
∴ s < 3,8 (km)
150
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10/8/09 17:35:46
Inecuaciones
1. a) 3 < x –7 ⇒ 10 < x ∴ x > 10
b) 3x > 8 ∴ x > 8
3
c) –7x + 5 < x + 1 ⇒ 4 < 8x ∴ x > 1
2
d)
3 + 2 (–3x + 1) > – 5 (x + 2) + 3
⇒ 3 – 6x + 2 > – 5x – 10 + 3
⇒ 5 – 6x > – 5x – 7
12 > x ∴
e)
–2 (–1,6 + 5,2x) > – 0,5x
⇒ 3,2 – 10,4x > – 0,5x
32
⇒ 3,2 > 9,9x ⇒ 99 > x ∴
f)
g)
x < 12
32
x > 99
3x
5 < –5
⇒ –10x – 3x < –5
5
13x
⇒–
5 < –5 ⇒ –13x < –25 ⇒ 13x > 25 (al multiplicar por –1 se invierte la relación de orden)
25
∴ x > 13
– 2x –
3x – 1
<–5
3
⇒ –15x – 3x – 1 < – 5
3
⇒ –18x – 1 < –15
–5x –
⇒ 18x + 1 > 15
14
18 x > 14 ⇒ x > 18 ∴
h)
7
x> 9
x+7
2 – 8x
– 2x > –5 –
3
6
x + 7 – 6x > –30 – 2 + 8x
6
3
⇒ 2x + 14 – 12x > – 32 + 8x
⇒ 46 > 18x
46
⇒ 18 > x ∴
23
x< 9
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151
10/8/09 17:35:47
2. a) 2x – 5 < 3 ⇒ 2x < 8 ⇒ x < 4 ∴ x ∈ [-∞; 4]
b) –11 ≤ 3 (x – 1) – 2 ≤ 16
⇒ –11 ≤ 3x – 3 – 2 ≤ 16
⇒ –6 ≤ 3x ≤ 21 ⇒ –2 ≤ x ≤ 7
∴ x ∈ [–2;7]
c) 1 < 3 – 2x ≤ 7 / ·5
5
3
⇒ 5 < 3 – 2x ≤ 35 / ·3
3
⇒ 15 < 9 – 6x ≤ 35
⇒ 6 < – 6x ≤ – 26
⇒ –1 > x ≥ – 13
3
⇒ – 13 ≤ x < – 1
3
∴ x ∈ [– 13 ; –1]
3
I
I
d) 3 – 2x < 9
Por definición de valor absoluto:
I3 – 2xI =
{
3 – 2x
si 3 – 2x ≥ 0 (caso i)
2x – 3
si 3 – 2x < 0 (caso ii)
La desigualdad original se trata, entonces, como dos desigualdades dependiendo del valor de 3 – 2x.
3
Caso i) 3 – 2x ≥ 0 ⇒ 3 ≥ 2x ⇒ x ≤
2
3 – 2x < 9 ⇒ –6 < 2x ⇒ x > –3
3
3
Ambas condiciones son satisfechas, si –3 < x ≤
, es decir, si x ∈ –3 ;
2
2
(
]
3
2
2x – 3 < 9 ⇒ 2x < 12 ⇒ x < 6
Caso ii) 3 – 2x ≤ 0 ⇒ 3 ≤ 2x ⇒ x ≥
Ambas condiciones se satisfacen cuando
3
≤ x < 6, o lo que es equivalente si:
2
3
x∈
;6
2
[
)
En consecuencia, la desigualdad original se cumple cuando:
3
3
x ∈ –3 ;
U
;6
2
2
(
152
) [
)
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Que es lo mismo que x ∈ (–3 ; 6)
I
I
e) 3x – 1 > 11
I 3x – 1I =
{
3x – 1
si 3x – 1 ≥ 0 (caso i)
1 – 3x
si 3x – 1 ≤ 0 (caso ii)
1
3
3x – 1 > 11 ⇒ 3x > 12 ⇒ x > 4
Caso i) 3x – 1 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 1 ⇒ x ≥
La segunda condición incluye a la primera, de modo que x ∈ (4 ; ∞)
1
Caso ii) 3x – 1 ≤ 0 ⇒ 3x ≥ 1 ⇒ x ≥
3
10
1 – 3x > 11 ⇒ –3x > 10 ⇒ x < –
3
10
También aquí la segunda desigualdad incluye a la primera, entonces x ∈ –∞ ; –
.
3
(
)
Resumiendo los caso i) y ii), la desigualdad original se satisface cuando:
10
x ∈ –∞ ; –
U (4 ; ∞)
3
f) 2< x–1 <5
x – 1 si x – 1 ≥ 0 (caso i)
x–1 =
1 – x si x – 1 ≤ 0 (caso ii)
(
I
I
I
I
)
{
Caso i) x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
2<x–1<5⇒3<x<6
La segunda serie de desigualdades contiene a la primera.
Por lo tanto, x ∈ (3 ; 6)
Caso ii) x – 1 ≤ 0 ⇒ x ≤ 0
2 < 1 – x < 5 ⇒ 1 < – x < 4 ⇒ –1 > x > –4
⇒ – 4 < x < – 1, es decir, x ∈ (–4 ; –1)
Considerando los casos i) y ii) la desigualdad original se satisface, si:
x ∈ (–4 ; –1) U (3 ; 6)
g) (x + 3) (x – 4) ≥ 0
Si el producto de dos números es positivo o nulo, entonces ambos números son positivos o nulos, o
bien, ambos son negativos o nulos.
Debemos entonces estudiar dos casos:
Caso i) x + 3 ≥ 0 y x – 4 ≥ 0 es equivalente a: x ≥ –3
y
x ≥ 4.
La segunda desigualdad incluye a la primera, por lo cual: x ∈ [4 ; ∞)
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153
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(x + 3) ≥ 0
Caso ii)
⇒ x ≤ –3
y
y
(x – 4) ≤ 0 ⇒
x≤4
En este caso, la primera desigualdad incluye a la segunda, de modo que: x ∈ (–∞; 3]
Resumiendo los casos i) y ii) la desigualdad original se satisface cuando:
x ∈ (– ∞ ; – 3) U [4 ; ∞)
h) 3x2 + 2x – 6 < 2x2 + 6x –1
Reduciendo los términos semejantes, la desigualdad deriva en:
x2 – 4x – 5 < 0
Factorizando:
(x – 5) (x + 1) < 0
Lo cual quiere decir que los factores tienen signos opuestos.
Caso i) x – 5 < 0 y x + 1 > 0 ⇒
x < 5 y x > – 1 ∴ x ∈ (–1 ; 5)
Caso ii) x – 5 > 0 y x + 1 < 0 ⇒
x>5 y x<–1
No existe x alguno que satisfaga ambas desigualdades, por lo tanto, el intervalo de soluciones es el
encontrado al estudiar el caso i), es decir: x ∈ (–1 ; 5)
i)
x–2
>0
2x + 5
En forma análoga a la situación del producto de dos factores, en el caso del cociente de dos términos
cuyo resultado es positivo, debe cumplirse que ambos términos tienen el mismo signo.
Caso i) x – 2 > 0
y
2x + 5 > 0 ⇒
5
2
5
La desigualdad x > 2 incluye a la desigualdad x > – , de manera que: x ∈ (2 ; ∞)
2
5
Caso ii) x – 2 < 0 y 2x + 5 < 0 ⇒ x < 2 y x < –
2
5
En este caso la desigualdad x < –
incluye a la desigualdad x < 2, de forma que:
2
5
x ∈ –∞; –
2
x>2
y
2x > – 5 ⇒ x > –
(
)
Resumiendo las conclusiones de los casos i) y ii) x satisface la desigualdad original si:
5
x ∈ –∞; –
U (2 ; ∞)
2
(
154
)
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2x
<0
x2 + 5
j)
Como en el caso anterior, pero esta vez los términos deben tener signos diferentes, pero para cualquier
x, x2 + 5 > 0. ⇒ 2x < 0 ⇒ x < 0
Por lo tanto, x ∈ (–∞ ; 0)
Página 129
I
I
3. a) x – 6 > 6
Por definición,
I x – 6I =
{
x–6
si x – 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 6 (caso i)
6–x
si x – 6 ≤ 0 ⇒ x ≤ 6 (caso ii)
{
x–5
si x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5
5–x
si x – 5 ≤ 0 ⇒ x ≤ 5
Caso i) x ≥ 6
x – 6 > 6 ⇒ x > 12
Caso ii) x ≤ 6
6 – x > 6 ⇒ –x > 0 ⇒ x < 0
Afirmación 1: Verdadera
Afirmación 2: Verdadera
I
I
b) x – 5 < 8
I x – 5I =
Caso i) x ≥ 5
x – 5 < 8 ⇒ x < 13 ∴ x ∈ [5 ; 13)
Caso ii) x ≤ 5
5 – x < 8 ⇒ – x < 3 ⇒ x > – 3 ∴ x ∈ (-3 ; 5]
La solución de la desigualdad está dada por
x ∈ (– 3 ; 5] U [5 ; 13) o lo que es lo mismo x ∈ (– 3 ; 13)
Afirmación 1: Verdadera
Afirmación 2: Falsa
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155
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No se puede “mover” el –5 solo a la derecha; lo que realmente se puede hacer es sumar 5 en todos los
miembros.
–8<x–5<8
/+5
–8+5<x<8+5
– 3 < x < 13
que es la solución encontrada.
Además al “pasar” –5 a la derecha, debe cambiar de signo. Los casos siguientes son bastante similares
y procederemos con menos explicaciones.
I
I
c) x – 8 ≤ 4
I x – 8I =
{
x–8
si x – 8 ≥ 0 ⇒ x ≥ 8 (caso i)
8–x
si x – 8 ≤ 0 ⇒ x ≤ 8 (caso ii)
Caso i) x ≥ 8
x – 8 ≤ 4 ⇒ x ≤ 12 ⇒ x ∈ [8 ;12]
Caso ii) x ≤ 8
8 – x ≤ 4 ⇒ 4 ≤ x ⇒ x ∈ [4 ;8]
Intervalo solución x ∈ [4 ; 12]
Afirmación 1: Falsa
Afirmación 2: Falsa
I
I
d) x – 6 ≥ 3
I x – 6I =
{
x–6
si x – 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 6 (caso i)
6–x
si x – 6 ≤ 0 ⇒ x ≤ 6 (caso ii)
Caso i) x ≥ 6
x – 6 ≥ 3 ⇒ x ≥ 9 ⇒ x ∈ (9;∞]
Caso ii) x ≤ 6
6 – x ≥ 3 ⇒ 3 ≥ x ⇒ x ∈ (–∞;3]
Intervalo solución x ∈ (–∞;3] U [9;∞)
Afirmación 1: Verdadera
Afirmación 2: Falsa
156
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I
I
e) x – 7 > 2
I x – 7I =
{
x–7
si x – 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ 7 (caso i)
7–x
si x – 7 ≤ 0 ⇒ x ≤ 7 (caso ii)
Caso i) x ≥ 7
x – 7 > 2 ⇒ x ≥ 9 ⇒ x ∈ [9;∞)
Caso ii) x ≤ 7
7 – x > 2 ⇒ 5 > x ⇒ x < 5 ⇒ x ∈ (–∞;5]
Intervalo solución x ∈ (–∞;5] U [9;∞)
Afirmación 1: Verdadera
Afirmación 2: Falsa
Desigualdades literales
1. Solución
a) Desarrollemos (a – 2) 2.
(a – 2)2 ≥ 0 ⇒ a2 – 4a + 4 ≥ 0
⇒ a2 + 4 ≥ 4 a / ÷ a
∴ a+ 4 ≥4
a
b)
(a –1)2 (a2 + 1)
⇒ (a2 – 2 a + 1) (a2 + 1)
⇒ a4 + a4 – 2a3 – 2a + a2 + 1
⇒ a4 + 1
≥0
≥0
≥0
≥ 2 (a3 – a2 + a)
∴ a2 + 12 ≥ 2 (a + 1 ) – 2
a
a
/ ∙ 12
a
(a – 1)4 ≥ 0
c)
/ ∙ 12
a
1
1
1
2
⇒ a – 4a + 6 –
+ 2 ≥0
/∙ 2
a
a
a
1
1
2
∴a + 2 ≥4 a+ 2 –6
a
a
⇒ a4 – 4a3 + 6a2 – 4a + 1 ≥ 0
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157
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d) Si a ≥ 1, entonces (a – 1)3 ≥ 0
⇒ a3 – 3a2 + 3a – 1 ≥ 0
⇒a–3+ 3 –
a
3
∴a+
–
a
1 ≥0
a2
1 ≥3
a2
/ ∙ 12
9
(b – 1)2 + (c – 1)2 ≥ 0
2.
⇒ b2 – 2b + 1 + c2 – 2c + 1 ≥ 0
∴ b2 + c2 + 2 ≥ 2 (b + c)
Página 130
3. La trayectoria que sigue el proyectil está dada por:
y = 5x – 4x2
Como debe superar un obstáculo de altura n a una distancia a del punto de lanzamiento (origen del sistema
de coordenadas), se debe cumplir que cuando x = a, y debe satisfacer y ≥ n, es decir:
5a – 4a2 ≥ h
Es la relación que satisfacen a y n para que se cumpla la condición impuesta.
4.
b
a
Llamemos a y b a los lados del rectángulo.
El área S de la bodega es S = a ∙ b = 80 m2 y el perímetro P = 2 (a + b) ≤ 40 m.
De la expresión de S se puede despejar b:
80
b= a
Que podemos introducir en la desigualdad que satisface el perímetro:
80
2a + 2 ∙ a ≤ 40
⇒ a + 80
/· a
a ≤ 20
⇒ a2 + 80 ≤ 20 a
⇒ 20 a – a2 ≥ 80 es la condición que debe satisfacer a.
Análogamente,
20 b – b2 ≥ 80 es la condición que debe satisfacer b.
158
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Página 183
Medición de ángulos
1.
a)
17,6° = 17° + 0,6 · 60’
= 17° + 36’ = 17°36’
b)
35,7° = 35° + 0,7 · 60’ = 35°42’
c) 183,52° = 183° + 0,52 · 60’ = 183° + 31,2’
= 183° + 31’ + 0,2 · 60’’ = 183°1’12’’
d) 22,222° = 22° + 0,222 · 60’=
= 22° + 13,32’ = 22° + 13’ + 0,32 · 60’’
= 22° + 13’ + 19,2’’ = 22°13’19,2’’
2
a)
22,6° = 22° + 0,6 · 60’ = 22°36’
b) 22,66° = 22° + 0,66 · 60’ = 22° + 39,6’
= 22° + 39’ + 0,6 · 60’’ = 22° + 39’ + 36’’ = 22° 39’ 36’’
c) 22, 6° = 22° + 0,6 · 60’ = 22° + 2 · 60’
3
= 22° + 40’ = 22°40’
d) 22,06° = 22° + 0,06 · 60’ = 22° + 2 · 6’
3
= 22° + 4’ = 22°4’
3.
a)
b)
c)
38°42’ = 38° + 7 42 · 1°/60 10 = 38° + 0,7° = 38,7°
192°24’ = 192° + 4 24 · 1°/60 10 = 192,4°
25°9’26’’ = 25° + 9°/60 + 26°/3600
= 25° 540 + 26°/3600 = 25° + 0,1572
= 25,1572°
d) 68° 15’ 34,5’’ = 68° + 15°/60 + 34,5°/3600
= 68° + 900 + 34,5°/3600 = 68° + 934,5°/3600
= 68,259583°
4. a)
( ) ( )
2.013 °
= 33° + ( 1.980 + 33 ) ° = 33° + (
3.600 )
3.600
2.013
π
rad
= (33 + 3.600 ) ∙
180
33
33
33°33’33’’ = 33° + 60 ° + 3.600
= (33,55916)° ∙
π
rad
180º
≈ 0,586 rad
b)
57 °
)
( 6023 )° + ( 3.600
= 56° + ( 1.380 + 57 ) ° = 56° + ( 1.437 ) °
3.600
3.600
56°23’57’’ = 56° +
= 56,39916° ≈ 0,984 rad
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159
10/8/09 17:35:50
c)
29,12 °
)
( 6055 ) ° + ( 3.600
3.329,12
3.300 + 29,12 °
= 98° + (
= 98° + ( 3.600 )°
)
3.600
98°55’29,12’’ = 98° +
= 98,92475° ≈ 1,727 rad
3
( 602 )° + ( 3.600
)°
120 + 3 °
123 °
= 1° + (
= 1° + (
3.600 )
3.600 )
d)
1°2’3’’ = 1° +
= 1° + 0,03416 = 1,03416°
≈ 0,018 rad
5. 100© = 90° ⇒ 1© = 0,9°
6.
11
12
1
10
2
9
3
8
4
7
5
6
A las 2:30 el minutero está frente al número 6 y el horario está exactamente a medio camino entre el 2
y el 3.
El ángulo que separa a dos números consecutivos es de 30°, Por lo tanto, el ángulo que forma el horario
y el minutero a las 2:30 es α = 15° + 30° + 30° + 30° = 105°.
7.
11
12
1
10
2
70°
9
3
8
4
7
5
6
A la una exacta el horario estaba frente al número 1, 30° más adelante que el minutero que estaba frente
al número 12.
x minutos después de la 1, el horario se ha desplazado 0,5x° y el minutero 6x°.
160
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Entonces:
6x – (30 + 0,5x) = 70
⇒ 6x – 30 – 0,5x = 70 ⇒ 5,5x = 100
100 ’
∴x=
= 18,18’ = 18’ + (18 · 60)’’
( 5,5 )
Es decir, entre la 1 y las 2, el horario y el minutero forman un ángulo de 70° a la 1h 18’ 10,90’’.
8.
De acuerdo a la expresión aproximada que se encontró en el texto para la distancia D, a la que se encuentra el horizonte para un observador a h metros de altura:
D = 3,57 h (km) con h expresado en (m).
En este caso, h = 15 (m) ⇒ D ≈ 3,57 15 (km) ≈ 13,8 (km)
9. 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252
Por lo tanto, los números 7, 24 y 25 forman un trío pitagórico.
Los números 48, 14 y 50 se obtienen multiplicando por 2 respectivamente los elementos del trío 24, 7 y 25.
10.
5 cm
12 cm
CASO 1
c
5 cm
a
CASO 2
12 cm
Caso i)
c2 = 52 + 122 (cm2) = 25 + 144 (cm2) = 169 (cm2) => c = 169 (cm) = 13 cm
Caso ii)
a2 = 122 – 52 (cm2) = 144 –25 (cm2) = 119 cm2 ⇒ a = 119 (cm) ≈ 10,9 cm
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161
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11.
0,5 m
d
0,7 m
1m
d2 = [(0,5)2 + (0,7)2 + 12] (m2) = (0,35 + 0,49 + 1) (m2) = 1,84 (m2) ∴ d ≈ 1,35 (m)
En este caso, conviene redondear “hacia abajo” para tener seguridad de que el paraguas quepa en el
baúl.
Página 184
12.
F
G
H
E
S
R
P
Q
A
D
C
B
Consideremos, en general, un octágono regular A B C D E F G H de lado a. Tracemos las rectas auxiliares AF, BE y HC y GD (paralelas a los lados GH y DC) como se aprecia en la figura.
Además, AF y BE son perpendiculares a HC y GD.
d = AF = AP + PS + SF, pero PS = a y AP = SF
Además, AP es cateto del triángulo rectángulo isóceles APH cuya hipotenusa AH = a.
Por lo tanto,
162
2(AP)2 = a2 ⇒ AP =
2
2
a ⇒ d = 2 · 2 a + a ⇒ d = ( 2 + 1) a
2
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E
F
G
D
d
D
C
G
A
B
Tracemos en este caso las diagonales AF = d y AE que denotaremos por δ, El ∆ AFE es rectángulo
en F. Por el teorema de Pitágoras:
a2 + d2 = δ2 ⇒ δ2 = a2 + ( 2 + 1)2 a2
⇒ δ2 = (2 + 1 + 2 2 +1) a2 = 2 (2 + 2 ) a2 ⇒
∴ δ = 2 (2 + 2 ) a
F
E
G
D
O
H
C
S
A
B
Tracemos ahora la diagonal AC que denotaremos por S y los radios OA y OC de la circunferencia circunscrita al octágono (O es el punto de intersección de las diagonales AE y CG, que son perpendiculares
entre sí).
Entonces ∆ AOC es rectángulo en O es isósceles, y su hipotenusa es S. La longitud de los catetos es
δ , calculado recientemente.
2
Por el teorema de Pitágoras
S2 = 2 δ
2
2
=2
2
2
δ2
= δ ⇒s=
δ= 2
2
4
2
2
2(2 + 2) a
S = 2 + 2) a
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163
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Aplicación numérica
Si a = 5 (cm), como establece el enunciado del ejercicio, entonces:
d = ( 2 + 1) · 5 (cm) ≈ 12,07 cm
δ = 2(2 + 2) 5 (cm) ≈ 13,07 cm
S = 2 + 2 5 (cm) ≈ 9,24
13.
Se construye primero sobre una recta un trazo AB de longitud 1cm y, a continuación, sobre la misma
recta otro BC de magnitud 6 cm.
Con centro en el punto medio O del trazo AC se traza una circunferencia que pase por A y C. Se levanta
en seguida la perpendicular a AC en el punto B que intersecta a la circunferencia en D.
D
a
b
h
O
A
AB ≡ q ≡ 1cm
B
q
BC ≡ p ≡ 6 cm
C
p
BD ≡ h
CD ≡ a
AD ≡ b
En virtud del teorema de Euclides (dado que ∆ ACD es rectángulo en D)
h2 = p · q = 6 (cm2)
∴h=
6 cm
b2 = qc = 1 · 7 (cm2) ⇒ b =
y
7 cm
h y b tienen, respectivamente, las longitudes de los trazos que se pedía construir.
14.
El trío (20, 21, 29) es pitagórico, puesto que 202 + 212 = 400 +441 = 841 =292
Entonces a = 20 (cm) y b = 21 (cm) son los catetos del triángulo y C = 29 (cm) su hipotenusa.
La altura se puede determinar si se conocen p y q (ver figura) dado que por el teorema de Euclides
h2 = p · q ∴ h = pq
21 cm
20 cm
h
q
164
p
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También por el teorema de Euclides
b2 = pc
b2
a2
∴ p = c , a2 = qc ∴ q = c
b2
a2
a 2b 2
⇒ h2 = pq = c = c = c 2 ⇒ h =
a·b
20 · 21
⇒ h = c 2 cm
c
∴ h ≈ 14,48 (cm)
Trigonometría
1.
b
a
A
25 cm
1
a
senα = 5 = 25 ⇒ a = 5(cm)
Teorema de Pitágoras:
52 + b2 = 252 ⇒ 25 + b2 = 625 ⇒ b2 = 600 (cm2) ⇒ b ≈ 24,5 cm
2. β = 44º20’
7,2 cm
a
B
c
7,2
= tg β ⇒ a = 7,2
a
tg β
7,2
= sen β ⇒ c = 7,2
c
sen β
⇒
a ≈ 7,37 cm
c ≈ 10,30 cm
Verificación
(7,2)2 + (7,37)2 = 51, 84 + 54,32 = 106,16 ≈ (10,3)2
3.
3m
2m
d
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2
senθ = 3
∴ θ ≈ 41,8º.
Q
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Por el teorema de Pitágoras: 32 = 22 + d2 ⇒ 9 = 4 + d2 ⇒ d = 5 (m)
4.
C
15 cm
Como cosβ =
b
= senβ ⇒ c =
c
a
A
b
= tgβ ⇒ a =
a
Bβ
c
∴ d ≈ 2,24 (m)
b
sen β
b
tg β
B
8
1
1
1
8
⇒ cos2β =
⇒ sen2β = 1 –
=
⇒ senβ = 3 ⇒ tgβ = 8
3
9
9
9
15 · 3
45 8
(cm) =
(cm) ∴ c ≈ 15,91 (cm)
8
8
15
15 8
a = 8 (cm) =
(cm) ∴ a ≈ 5,30 (cm)
8
c=
Verificación
(5,30)2 + (15)2 = 28,09 + 225 = 253,09 = (15,91)2
5.
C
6,4 cm
α
A
c2 = a2 + b2 ⇒ a2 = c2 – b2
a
12,75
∴ a = 12,75 senα
cosα =
b
12,75
∴ b = 12,75 cosα
166
B
7,8 cm
a
4,46
≈
≈ 0,57
7,8
7,8
senα =
senα = sen 33,2º
cosα = cos 33,2º
a ≈ 12,75 · 0,55
b ≈ 12,75 · 0,84
A
= (7,8)2 – (6,4)2 (cm2)
= 60,84 – 40,96 (cm2) = 19,88 (cm2)
⇒ a ≈ 19,88 cm ≈ 4,46 cm
cosα =
6.
α
a
≈ 0,55
≈ 0,84
≈7,01 cm
≈ 10,71 cm
C
a
A
33,2º
33,2°
12,75 cm
B
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7.
10
10
10
= sen 5º ⇒ d = sen 5˚ ⇒ d ≈ 0,087 ≈ 114,9 (m)
d
d
10 m
5°
8.
Como sen2α + cos2α = 1 para cualquier α, entonces:
sen2 α = 1 – cos2 α ⇒ senα = 1 – cos2 α
Si cosα = 0,8 , cos2α = 0,64 ⇒ senα =
1 – 0,64 =
0,36 ⇒ senα = 0,6
Haciendo uso de una calculadora científica o de una planilla de cálculo, se puede deducir α como el
arcsen (0,6) o el arcocos (0,8) y se obtiene: α = 37º
Página 185
9.
En forma análoga al caso anterior, si senα =0,8 , entonces cosα = 0,6 y se obtiene que: α≈ 53º
Vale la pena observar que el ángulo obtenido en el ejercicio anterior es complementario del obtenido
aquí, es decir: 37º + 53º = 90º
10.
y = (tg 30º)x
Y
1
sen 30º = 2
cos 30º =
3
⇒ tg 30º =
2
1
2
3
2
=
3
1
=
3
3
Por lo tanto, la ecuación de la recta es y =
30°
3
x
3
X
11.
Si la altura del joven es h, entonces
h
3
3 = tg 30º ⇒ h = 3 · 3 m
∴ h ≈ 1,73 (m)
h
30°
3m
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167
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12.
Si la altura de la pino es h, entonces:
h
40 = tg 30º ⇒ h = 40
h
3
(m) ⇒ h ≈ 23,1 (m)
3
30°
40 m
13.
G
De acuerdo a lo que se dedujo
en el Texto del Estudiante, el
área S de un triángulo isósceles
de base c y ángulo del vértice γ
está dada por:
γ = 30º
c2
S = 4 tg γ
2
10 cm
γ
En este caso, C = 10 (cm) y 2 = 15º, por lo cual:
S=
100
(cm2)
4 · t g 15º
Como tg 15º ≈ 0,27, entonces
25
S ≈ 0,27 = 93,3 cm2
14.
a) Del gráfico f(x) = sen x + cos x asume el máximo valor en 45º.
En tal caso sen 45º = cos 45º = 2
2
∴ f (45º) = 2 ≈ 1,41
b) La función f(x) = sen x + cos x tiene un mínimo en x = -135º.
f (-135º) = sen (-135º) + cos (-135º)
∴ f (-135º) = – 2 ≈ -1,41
168
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CUARTA PARTE
AUTOEVALUACIÓN
Unidad 1: Funciones Raíz Cuadrada y Cuadrática
Todos los problemas tienen la misma ponderación.
1. Dispones de 120 m2 de carpeta de pasto y te han encargado que hagas un campo polideportivo
cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado más grande que puedes empastar?
120 m2
El área S de un cuadrado de lado a está dada por la expresión S = a2, de manera que en este caso
a = 120 . Como 120 está entre a = 10 y b = 11, utilizando la aproximación para N encontrada al
inicio de la unidad
N≈
N
a+b
+ a+b
4
podemos escribir que:
120 ≈
21
120
+ 10 + 11 = 120 +
≈ 5,71 + 5,25 = 10,96
4
21
10 + 11
4
A modo de verificación elevamos al cuadrado el número obtenido:
(10,96)2 ≈ 120,12
El resultado entregado por una calculadora de bolsillo para 120 es 10,954451, de modo que la aproximación difiere alrededor de un 0,05% de 120
2. Haciendo uso de alguno de los métodos estudiados, estima 150 y calcula el error porcentual de tu
estimación comparada con el resultado que obtienes con una calculadora de bolsillo.
El valor obtenido con la aproximación difiere en alrededor de 0,02% de 12,247449 obtenido con una
calculadoras de bolsillo.
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169
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3. Una fábrica produce cajones de madera de 30lt y 60lt y tales, que sus dimensiones correspondientes
son proporcionales. Encuentra la relación que debe existir entre los precios de venta de los dos tipos
de cajones para que en ambos casos la razón “precio : costo” sea la misma. Supón que el costo solo
depende de la cantidad de madera utilizada en la fabricación.
Solución
Supongamos que las dimensiones de los cajones de 30lt son a, b, y c. Su capacidad será entonces
C30 = abc. Si los cajones de 60lt tienen sus dimensiones correspondientes proporcionales, sus lados
medirán ka, kb y kc, respectivamente, y su capacidad será C60 = k3abc. Como C60 = 2C30, se tendrá que
k3 = 2, de manera que k = 3 2
La cantidad de madera utilizada en los cajones es proporcional a su superficie. En el caso de los cajones más pequeños, su superficie es k2(ab + bc + ca) y en el caso de los cajones más grandes, será
2k2(ab + bc + ca), de modo que la razón entre el material usado en los cajones de 60lt será k2 veces el
material usado en los cajones de 30lt. Por lo tanto, para mantener la relación precio-costo, el precio
de los cajones grandes será k2 veces el precio de los cajones chicos, es decir, Precio cajones grandes/
Precio cajones chicos =
(
3
2
)
2
~ 1,59.
4. Con un tubo de 12m se quiere fabricar un arco como el que se ilustra en la figura. ¿Qué altura debe
tener el arco para que el área del rectángulo ABCD sea la mayor posible?
D
C
A
B
Solución
Llamemos L a la longitud del tubo y x a la altura del arco. En tal caso la longitud del travesaño DC es L – 2x
y el área S del rectángulo ABCD, será S(x) = (L – 2x) x, es decir, S(x) = –2x2 – Lx, que representa una parábola abierta hacia abajo y que pasa por el origen. La función S(x), es decir, el área del rectángulo, alcanza
su máximo en el punto medio entre las raíces de la ecuación S(x) = 0. Como S(x) = 0 en x = 0 y en x= L ,
2
entonces el máximo se encuentra en x= L . En tal caso, dado que L = 12m, la altura del arco será 3m y al
4
ancho del arco 6m.
170
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5. Para dar mayor estabilidad a una estructura como la que se muestra en el dibujo, se le va a soldar
una diagonal BC como se indica. La condición que debe cumplirse es que la magnitud AB debe ser el
doble que la magnitud de CD.
a. ¿Cuánto debe medir CD para que la barra BC tenga la menor longitud posible?
b. ¿Cuál es esa longitud?
a
A
C
D
B
Solución
Llamemos x a la longitud del segmento CD y a, a la longitud de AD, entonces –de acuerdo a las condiciones del problema– la longitud de AB será 2x.
En consecuencia la longitud de BC será:
BC = (AB)2 + (AC)2 = (2x)2 + (a – x)2 = 5x2 – 2ax + a2
BC será un mínimo cuando la cantidad subradical f(x) = 5x2 – 2ax + a2 lo sea.
Como el coeficiente de x2 es positivo, entonces f(x) representa una parábola abierta hacia arriba; si calculamos el discriminante, podemos ver que no corta al eje de las abscisas. La coordenada x del mínimo
se encuentra como la semisuma de las raíces. Por las propiedades de las raíces de una ecuación de
2° grado, sabemos que la suma de las raíces es el coeficiente de x dividido por el coeficiente de x2 con
2
a
signo menos, y la semisuma de las raíces es
lo cual implica que f a = 4a por lo cual BC = 2 5 a
5
(5)
5
5
6. Encuentra una ecuación cuadrática, cuyas raíces sean el triple de las raíces de la ecuación x 2 – 2x – 3 = 0.
Solución
Por simple inspección, las raíces de la ecuación x 2 – 2x – 3 = 0 son 3 y –1 (para factorizarla hay
que encontrar dos números, cuya suma sea 2 y cuyo producto sea –3). En consecuencia, las
raíces de la ecuación que estamos buscando son 9 y –3. La ecuación será entonces (x – 9)(x +
3) = 0 ó bien, x 2 – 6x – 27 = 0.
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171
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Unidad 2: Inecuaciones lineales
Todos los problemas tienen la misma ponderación.
1. La velocidad en metros por segundo (m/s) de un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba está dada
por v = 80 – 32t, donde t se mide en segundos. ¿En qué intervalo de tiempo la velocidad estará entre 32m/s
y 64m/s?
Solución
1. La condición para la velocidad es
32 < 80 – 32t < 64
Restando 80 a todos los miembros de la inecuación
32 – 80 < 80 – 80 – 32t < 64 – 80
Es decir,
–48 < –32t < –16
Dividiendo por –32 (lo cual invierte el orden de las desigualdades)
–48 > –32t > –16
(–32)
(–32)
(–32)
Lo que conduce a
1,5 > t > 0,5
que se puede reescribir como
0,5 < t < 1,5
La respuesta sería entonces que la velocidad tendrá un valor comprendido entre 32m/s y 64m/s en el intervalo
de tiempo comprendido entre 0,5s después del lanzamiento, y 1,5s después del lanzamiento.
2. Quieres invertir $3.000.000. Una parte la invertirás en una cuenta de ahorro estable con 5% de interés
anual fijo. El resto lo pondrás en el negocio familiar que se compromete a entregarte un 7% de interés anual.
El monto obtenido anualmente es para ayudar a un hogar de niños. Calcula la menor cantidad de dinero que
debes invertir en el negocio familiar para obtener al menos $190.000 de interés.
Solución
La fórmula para el interés simple es G = K i T donde G es el interés, K es el capital inicial, i es la tasa de
interés y T es el tiempo en años.
Llamemos x a la cantidad que invertirás en el negocio familiar. Entonces te quedarán 3.000.000 – x para
colocar en la cuenta de ahorro.
El interés que te proporciona el negocio familiar después de un año, suponiendo que les va bien, será:
x • 0,07 • 1 = 0,07x
172
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-48 >
-32t > -16
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El interés en la cuenta de ahorro será:
(3.000.000 – x)0,05 • 1 = 150.000 – 0,05x
Entonces el interés total que obtendrás con ambas inversiones será:
0,07x + (150.000 – 0,05x) = 0,02x + 150.000
Como al menos necesitas $190.000, tendremos que:
0,02x + 150.000 > 190.000
0,02x > 40.000
x > 2.000.000
Es decir, necesitarás invertir al menos $ 2.000.000 en el negocio familiar para obtener un ingreso de $190.000
anuales en intereses. Como en el negocio con mayor riesgo quieres invertir el mínimo posible, deberás poner
2.000.000 en el negocio familiar al 7%.
C +C +C
3
3. En una carrera universitaria, para eximirse de Biología es necesario que el promedio simple N = 1 32
de los tres controles (C1 , C2 , C 3 ) del semestre sea igual o superior a 5,5. Como de costumbre, si 5,45 ≤ N ≤ 5,54
entonces N se aproxima a 5,5.
Alejandro obtuvo un 5,1 en el primer control y un 6,2 en el segundo. Encuentra el intervalo para la nota que
debe obtener en el tercer control de modo de obtener un 5,5 de promedio.
Solución
Llamemos x a la nota del tercer control. El promedio N de los tres controles será entonces,
N = C1 + C2 + C3 = 5,1 + 6,2 + x = 11,3 + x y debe cumplirse que 5,45 ≤ 11,3 + x ≤ 5,54, lo cual. amplificado
3
3
3
3
por 3 resulta: 16,35 ≤ 11,3 + x ≤ 16,62
∴ 5,05 ≤ x ≤ 5,32
Aproximando a las décimas, se tendrá que Alejandro debe sacarse una nota x tal que: 5,1 ≤ x ≤ 5,3.
Por supuesto, con cualquier nota superior a 5,1 se eximirá, pero en el intervalo encontrado, su nota de eximición será exactamente la mínima necesaria.
4. Cierta aleación necesita contener entre un 46% y un 50% de cobre. Encuentra la menor y la mayor cantidad
de aleación al 60% de cobre que debe mezclarse con una aleación al 40% de cobre para obtener 30 kg de la
aleación que contenga la proporción adecuada de cobre.
Solución
El razonamiento, que está esquematizado en la tabla siguiente, es así:
a. Para preparar los 30kg de la aleación con las especificaciones dadas, utilizaremos x kg de la
aleación al 60% de cobre.
b. Con ello, la mezcla final tendrá 0,6xkg de cobre proveniente de esa aleación.
c. Para completar 30kg necesitamos entonces (30 – x)kg que provendrán de la otra aleación.
d. De ese modo la aleación final tendrá 0,4(30 – x)kg de cobre provenientes de esta segunda aleación.
e. Los 30kg de la aleación resultante deben tener un mínimo de 0,46 • 30kg = 13,8kg de cobre y un
máximo de 0,5 • 30kg = 15kg de cobre.
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173
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Aleación
Al 60% de Cu
Al 40% de Cu
Mezcla (46–50% de Cu)
kg
x
30 – x
30
% Cu
0,6
0,4
Entre 0,46 y 0,5
kg de Cu
0,6x
0,4(30 – x) = 12 – 0,4x
Entre 13,8 y 15
Por otro lado, la cantidad de cobre que tiene la aleación final es la suma del cobre aportado por las aleaciones disponibles, inicialmente 0,6x + (12 – 0,4x), por lo que
13,8 < 0,6x + (12 – 0,4x) < 15
Reduciendo términos semejantes,
13,8 < 0,2x + 12 < 15
Restando 12 a todos los miembros de la inecuación,
1,8 < 0,2x < 3
Multiplicando por 5 la inecuación,
9 < x < 15
Se necesita usar entre 9kg y 15kg de aleación al 60% de Cu.
5.Resuelve: 3(x – 2) + 4 > 2(2x – 3).
Solución
3(x – 2) + 4 > 2(2x – 3)
3x – 6 + 4 > 4x – 6
4 > x ó bien x < 4
6. Un DVD cuesta $6.500 y un CD $4.000. Una persona cuenta con $40.000. Escribe una desigualdad que
indique cuántos CD puede comprar si debe comprar un DVD. Encuentra el número máximo de CD que
puede comprar dadas esas condiciones.
Solución
Si llamamos x al número de CD que puede comprar, la desigualdad que restringe los valores de x es:
6.500 + 4.000x < 40.000
Para encontrar el valor máximo que puede adoptar x, restamos 6.500 a ambos miembros de la inecuación:
4.000x < 33.500
Dividiendo ambos miembros por 4.000,
x < 33.500
4.000
Es decir,
x < 8,375
Por lo que a lo sumo puede comprar el DVD y 8 CD
174
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Unidad 3: Más Sobre Triángulos Rectángulos
Todos los problemas tienen la misma ponderación.
1. Un ciclista parte desde su casa y viaja 10km en dirección hacia el Norte. En seguida vira y recorre 7km
hacia el Este. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra del punto de partida?
Solución
En virtud del Teorema de Pitágoras,
distancia del punto de partida 102 + 72 km = 149 km ≈ 149 + 25 km = 12,21 km
25
4
(En la aproximación para el cálculo de raíces cuadradas desarrollado en la Unidad anterior, se usó que la
raíz cuadrada de 149 está entre 12 y 13).
2. Una persona se aleja de un poste de luz cuyo foco está a 6m de altura. Si la persona mide 2m, calcula
a qué distancia se encuentra del poste cuando su sombra tiene 5m de longitud.
6m
2m
5m
x
Solución
6
= x => x = 15m
2
5
3. Una varilla de bambú de 3m de altura se quiebra de modo que su extremo superior queda tocando el
suelo a 1m de la base. Calcula la altura a la que se produjo el quiebre.
x2 + 12 = (3 – x)2
x2 + 1 = 9 – 6x + x2
6x = 8
x = 4 m ≈ 1,33 m
x
3
1m
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4. Un asta de bandera se asegura con dos vientos de cable diametralmente opuestos, cada uno de los
cuales es 5m más largo que el asta. La distancia entre los puntos donde los cables están anclados al suelo
es igual a la longitud de uno de los cables. Calcula la altura del asta.
Longitud del asta = L
Longitud de un cable = L + 5
Distancia entre los anclajes = L + 5
Por el Teorema de Pitágoras,
2
L +
( L +2 5 ) = (L + 5)
2
2
2
2
2
L + L + 10 L + 25 = L + 10L + 25
4
2
2
2
4L + L + 10L + 25 = 4L + 40L + 100
2
L – 30L – 75 = 0
L = 30 + 900 + 300 = 15 + 10
2
3
L ≈ ( 15 + 10 • 1,73) m ≈ 32,3 m
5. Un estanque tiene forma de cono invertido. Su diámetro es 1 m y su altura 1,25 m. El estanque, inicialmente vacío, está siendo llenado con agua. En cierto instante el agua ha alcanzado una altura de 35 cm.
Determina en ese momento el radio de la parte superior del agua en el estanque.
1m
Solución
1,25m
0,35m
0, 35 x
= ⇒ x = 0, 28m
1, 25
1
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6. Un astronauta determina con un altímetro que la montaña sobre la que está en el planeta desconocido
sobre el cual se posó su nave, tiene una altura de 6.000m. Con un instrumento de precisión mide el ángulo
al horizonte y encuentra que es 87º. ¿Cuál es el radio del planeta?
Solución
Altura montaña
Horizonte
87º
Radio
planeta
Línea de visión
R = radio del planeta
h = altura de la montaña
α = ángulo que forma la línea de visión con la vertical
R
= sen α
R+h
⇒ (R + h) sen α = R ⇒ R (1 – sen α ) = h sen α ⇒ R =
h sen α
(1 – sen α )
En este caso h = 6.000m y = 87°, de manera que:
R=
6.000 • 0,99862953
hsen 87º
= 6.000 • sen 87º m ≈
m ≈ 6.000 • 728,7
0,00137047
(1 – sen 87º)
(1 – sen 87º)
∴ R ≈ 4.372 km
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Unidad 4: El estudio de probabilidades
Todos los problemas tienen la misma ponderación.
1. Un ramo de flores tiene tres rosas blancas, dos rojas y cuatro amarillas. Se toma una rosa al azar del ramo,
por su tallo. Encuentra la probabilidad de que:
a. sea roja o blanca
b. sea roja o amarilla
c. sea blanca o amarilla
Solución
P(blanca) =
3
1
=
;
9
3
a. P (roja o blanca) =
P(roja) =
2
9
;
4
9
P(amarilla) =
2
3
5
+
=
9
9
9
b. P (roja o amarilla) =
2
4
6
2
+
=
=
9
9
9
3
c. P (blanca o amarilla) =
3
4
7
+
=
9
9
9
3
de los días de Julio. Se
5
seleccionan arbitrariamente tres días. Calcula la probabilidad de que llueva en los días seleccionados:
a. llueva los tres días
b. llueva exactamente dos de ellos
c. al menos en 2 de ellos no llueva
2. Una investigación establece que en cierta localidad, en promedio, llueve los
3
Sea P(1) = Probabilidad de que llueva el día 1 =
y, análogamente, P(2) y P(3), para el día 2 y el día 3
5
respectivamente.
2
–
y, análogamente, para los otros días.
Y sea P (1) = 1 – P (1) probabilidad de que no llueva el día 1 =
6
3
a. Probabilidad de que llueva los 3 días = P (1) P (2) P (3) =
5
•
•
•
3
5
•
3
5
•
( )
3
5
3
=
27
125
b. La probabilidad P2 de que llueva exactamente dos de los tres días es igual a la probabilidad de que
llueva en el primero y en el segundo, pero no en el tercero; más la probabilidad de que llueva el primero y
el tercero, pero no en el segundo; más la probabilidad de que llueva en el segundo y el tercero, pero no en
el primero.
De esa manera,
–
–
–
P2 = P (1) • P (2) • P (3) + P (1) • P (2) • P (3) + P (1) • P (2) • P (3) ⇒
P2 =
3
5
•
178
3
5
•
2
3
+
5
5
•
2
5
•
3
2
+
5
5
•
3
5
•
3
3
=3•
5
5
•
3
5
•
2
54
=
5 125
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–
c. La probabilidad P≤ 2 de que al menos en dos de ellos no llueva es la probabilidad de que no llueva en los
–
–
tres días P 3 , más la probabilidad P 1 de que llueva exactamente uno de los tres días:
– –
–
–
P3 = P (1) • P (2) • P (3) =
( )
3
2
5
=
8
125
–
–
–
–
–
–
P1 = P (1) • P (2) • P (3) + P (1) • P (2) • P (3) + P (1) • P (2) • P (3) ⇒
3
2 3
•
+
5
5 5
8
36
44
+
=
P≤ 2 =
125 125 125
P1 =
2
5
•
2
5
•
•
2
3
+
5
5
•
2
5
•
2
2
=3•
5
5
•
2
5
•
3
36
=
5
125
3. La tabla muestra las calificaciones de 0 a 100% de una asignatura de Matemática de 200 jóvenes universitarios.
Calificaciones
Nº de estudiantes
1 – 10
2
11 – 20
3
21 – 30
14
31 – 40
25
41 – 50
59
51 – 60
45
61 – 70
21
71 – 80
15
81 – 90
12
91 – 100
4
Encuentra cuántos estudiantes obtuvieron
a) más de 60%
b) menos de 41%
c) entre 31% y 70%
Solución
a) 21 + 15 + 12 + 4 = 52
b) 2 + 3 + 14 + 25 = 44
c) 25 + 59 + 45 + 21 = 150
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4. Al clasificar la masa de una muestra de 100 trozos de roca, provenientes de una explosión en una mina,
se encuentra que:
Masa (kg)
Nº de trozos
1,0 – 1,9
3
2,0 – 2,9
4
3,0 – 3,9
10
4,0 – 4,9
15
5,0 – 5,9
19
6,0 – 6,9
21
7,0 – 7,9
13
8,0 – 8,9
10
9,0 – 9,9
5
a) Encuentra la frecuencia relativa de los trozos, cuya masa está entre 5,0kg y 5,9kg.
b) La frecuencia porcentual de los trozos, cuya masa está entre 6,0kg y 8,0kg.
Solución
Total de trozos = 100
Frecuencia absoluta de trozos entre 6,0kg y 8,0kg = 21 + 13 = 34
a. Frecuencia relativa =
54
= 0,34
125
b. Frecuencia porcentual = 34%
5. De los diez mejores deportistas del colegio, dos de ellos representarán al establecimiento en las olimpíadas
regionales. ¿Cuántas elecciones posibles existen?
Con 10 elementos se pueden formar
( )
10
parejas.
2
( )
10!
10 • 9 • 8!
10
=
=
= 45
(10 – 2)! 2!
8! 2!
2
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6. De la siguiente tabla de calificaciones, determina:
a. el promedio
b. la mediana
c. la moda
2
1
2
6
7
6
3
7
1
7
3
6
5
4
3
4
4
1
5
3
6
2
4
7
2
1
2
6
4
7
4
7
7
6
2
6
7
5
4
3
1
7
6
5
6
2
6
6
2
3
Solución
Nota
1
2
3
4
5
6
7
Frecuencia
absoluta
5
8
6
7
4
11
9
a) Promedio:
5 • 1 + 8 • 2 + 6 • 3 + 7 • 4 + 4 • 5 + 11 • 6 + 9 • 7
=
50
216
= 4,32 ≈ 4,3
N=
50
N=
5 + 16 + 18 + 28 + 20 + 66 + 63
50
⇒
b) Mediana:
Me =
4+4
=4
2
c) Moda:
Mo = 6
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Bibliografía
1. Robert A.J. Matthews, Proceedings of the Royal Institution 70, 75-95 (1999).
2. Matthews, R.A.J., Blackmore, S.J. Why are coincidences so impressive? Perceptual and Motor Skills 80
1121-1122 (1995).
3. Naus, J. I. An extension of the Birthday Problem, The American Statistician 22, 27-29 (1968).
4. Deborah Ashby, Bayesian methods. Biostatistics in clinical trials; Editores: Carol K. Redmond, Theodore
Colton, Wiley (2001).
5. David J. Spiegelhalter, Jonathan P. Myles, David R. Jones y Keith R. Abrams, Methods in health service
research: An introduction to Bayesian methods in health technology assessment. BMJ 319, 508-512
(1999).
6. Laurence Freedman, Bayesian statistical methods. BMJ 313, 569-570 (1996).
7. R. J. Lilford y D. Braunholtz, For Debate: The statistical basis of public policy: a paradigm shift is overdue.
BMJ 313, 603-607 (1996).
Sitios de interés
1. http://www.conceptstew.co.uk/PAGES/what_is_risk.html
2. http://inclinedtocriticize.blogdrive.com/archive/240.html
3. http://www.efgh.com/math/birthday.htm
4. http://www.teamten.com/lawrence/puzzles/birthday_paradox.html
5. http://science.howstuffworks.com/question261.htm
6. http://mathworld.wolfram.com/BirthdayProblem.html
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Mapas de Progreso:
algunas ideas para su uso como apoyo al mejoramiento
continuo del aprendizaje
Los Textos Escolares son una importante herramienta para la implementación del
currículum en la sala de clases. En conjunto con los Programas de Estudio y los Mapas de
Progreso, buscan apoyar el trabajo que se realiza en los establecimientos educacionales
para que los estudiantes logren mayores aprendizajes, en base a las definiciones que
establece el Marco Curricular nacional.
En el siguiente esquema se presenta la pregunta orientadora que busca responder cada
uno de los instrumentos curriculares:
Los Mapas de Progreso describen resumidamente los conocimientos, habilidades
y comprensiones que caracterizan cada uno de los 7 niveles en que se desarrolla el
aprendizaje de una determinada competencia o dominio clave. Son una herramienta
curricular no obligatoria, que complementa a los Programas de Estudio y los Textos
Escolares, y pueden ser utilizados de diversas formas.
A continuación se describen dos de ellas, que pueden ser de utilidad para apoyar el
desarrollo del aprendizaje que promueve este texto de estudio:
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1.- Reflexión conjunta sobre la progresión de los aprendizajes que promueve el
currículum para mejorar la articulación entre profesores del sector.
Si se hace una lectura de los siete niveles de los Mapas ya pueden ser un interesante
aporte, debido a que muestran una visión sintética de lo que se espera se logre como
aprendizaje en los 12 años de escolaridad. Su estructura concisa describe una panorámica
de todo el trayecto escolar, aportando una mirada longitudinal, que favorece la reflexión
pedagógica entre profesores de distintos cursos.
Por ejemplo, a partir de la revisión de un Mapa de Progreso, puede hacerse una reflexión
conjunta respecto de la manera en que progresa el aprendizaje, estableciendo un análisis
general, entre profesores del sector y la jefatura técnica, en relación a ¿cómo estamos
entendiendo la progresión del aprendizaje respecto de este referente? Los profesores
y profesoras pueden revisar y analizar en conjunto los aprendizajes constitutivos de
una determinada competencia, y definir acciones a seguir que sean coherentes con
el logro de dichos aprendizajes, en base a preguntas como: ¿de qué forma estamos
ordenando el trabajo y organizándonos en conjunto para ir progresando en el logro de
estos aprendizajes de nuestros alumnos y alumnas?
Los Mapas favorecen la articulación dentro y entre los ciclos de enseñanza de un
establecimiento educacional, promoviendo una comprensión común respecto al
aprendizaje y aportando claves para observar su progresión. Ello propicia la responsabilidad
compartida entre docentes y el trabajo en equipo dentro del establecimiento.
2. Reflexión conjunta sobre los trabajos de alumnos y alumnas, para monitorear el
progreso de su aprendizaje en relación a la expectativa que describe el Mapa.
Los Mapas de Progreso definen el crecimiento del aprendizaje de los estudiantes, a
través de descripciones de sus distintas etapas y de trabajos de alumnos en cada una de
estas. Con el fin de apoyar la observación del aprendizaje, los Mapas presentan tareas,
estímulos o motivaciones que se utilizaron para recoger evidencias del aprendizaje,
buscando observar el desempeño de los alumnos en la competencia descrita en el
Mapa.
El docente puede aplicar estas tareas, las que puede encontrar en los anexos de cada
uno de los Mapas (www.curriculum-mineduc.cl) u otras que el equipo docente puede
desarrollar, para luego analizar la evidencia del desempeño de sus estudiantes e inferir
el nivel de aprendizaje en relación a las descripciones realizadas por el Mapa.
Es importante que esta observación y análisis de los trabajos de los alumnos sea
desarrollado en conjunto por los profesores del sector, de modo de reflexionar entre
pares y desarrollar una visión compartida respecto a cómo progresa el aprendizaje de
sus alumnos en las distintas competencias claves.
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