Problemario para la asignatura Teoría General de

Problemario para la asignatura Teoría General de
Sistemas
M. en I. JOSÉ ANTONIO KURI ABDALA
2014
1
INDICE:
Nota: Para consultar, ubique el cursor en el tema deseado y pulse Ctrl-click
INTRODUCCIÓN.----------------------------------------------------------------------------------
PÁGINA
2
CAPITULO 1.- TEORIÁ GENERAL DE SISTEMAS (T.G.S.).

TEORIÁ GENERAL DE SISTEMAS (cuestionario y problemas sin resolver)---
3
CAPITULO 2.- PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA.----------------------------------------
8

PROGRAMACIÓN LINEAL (Problema resuelto).------------------------------------
8

PROGRAMACIÓN LINEAL (Problemas sin resolver)-------------------------------
15

TRANSPORTE (problema planteado y resuelto con el software LINDO).----------
31

TRANSPORTE (Problemas sin resolver).-------------------------------------------------
33
CAPITULO 3.- PRINCIPIOS DE REDES.
 FLUJO MÁXIMO (Problema Resuelto).------------------------------------------------
35

FLUJO MÁXIMO (Problemas sin resolver).-------------------------------------------
36

ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN (Problema resuelto).--------------------------
45

ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSION (Problemas sin resolver).---------------------
49

EL CAMINO MÁS CORTO (Problema resuelto).-------------------------------------
56

EL CAMINO MÁS CORTO (Problemas sin resolver).-------------------------------
57
CAPITULO 4.- CONTROL DE PROYECTOS.
 RUTA CRÍTICA (Cuestionario resuelto).-----------------------------------------------
71

RUTA CRÍTICA (Problemas sin resolver).---------------------------------------------
.
71
2
INTRODUCCIÓN
Un problema suele ser un asunto del que se espera una solución; Para definir un problema en
cualquier área del conocimiento, es necesario hacer preguntas y escuchar con atención al interlocutor
para conseguir información relevante y oportuna que nos permita:
a) Obtener una descripción exacta del fin u objetivo del estudio.
b) Identificar alternativas de solución.
c) Conocer las limitaciones, restricciones y requerimientos del sistema.
Resumiendo, un problema es la obtención de un enunciado que plantea unos datos y una pregunta a
partir de los cuales hay que dar una respuesta.
En Sociedad puede ser algún asunto particular que de ser solucionado, podría obtenerse entre
las partes afectadas mayor productividad o una menor confrontación; En Filosofía, la posibilidad e
imposibilidad de las cosas o situaciones que pueden generar inquietud, perturbar la paz o la existencia;
En Ingeniería, la mejor asignación de recursos en sus obras; En Matemáticas el encontrar un dato
desconocido a partir de otros conocidos, etc.
La Investigación de Operaciones (I.O.) es un procedimiento analítico aplicado a la solución de
problemas para ayudar a la toma de decisiones.
La I.O. requiere:
a) Definición del problema.
b) Diseñar el Modelo que represente el problema.
c) Solución del Modelo.
d) Prueba de validez del Modelo.
e) Implementación de resultados.
Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de
formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables,
parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar
comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.
Este problemario complementa la sección de ejercicios de los tres cuadernos de “Apuntes del curso
Teoría General de Sistemas” editados por la Facultad de Ingeniería de la UNAM con preguntas de
conceptos básicos de la teoría general de sistemas y problemas que contienen características comunes
para ser planteados en modelos matemáticos teóricos y ser resueltos por algoritmos o paquetes
computacionales que conducen a una solución óptima.
Algunos de los problemas de optimización son los que buscan como solución los: mínimos costos,
máximos beneficios, flujos de costo mínimo, flujo máximo, mínima distancia, ruta más corta, etc.
3
CAPITULO 1.- TEORIÁ GENERAL DE SISTEMAS.
Los conceptos de este capítulo se pueden consultar en el “Capítulo 1 de los apuntes del
curso Teoría general de Sistemas”, de la Facultad de Ingeniería de la UNAM.
TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS (cuestionario y problemas sin resolver)
El enfoque sistémico
1.1
¿Qué se entiende por enfoque sistémico o integrador?
1.2
¿Según Drucker en que consiste el enfoque de sistemas?
1.3
¿En qué consiste una decisión racional?
1.4
¿Cómo se puede evaluar un comportamiento y determinar un mayor o menor grado de
racionalidad?
1.5
¿Cuál es la afirmación de Ludwig Von Bertalanffy acerca de la ciencia general de las
totalidades?
1.6
¿Qué significó el Ordo inviniendi y ordo docendi en la edad media con respecto al
concepto de sistema?
1.7
¿Por qué en la filosofía es objeto de interés el pensamiento sistémico?
Sistemas:
1.8
Defina sistema
1.9
Representa esquemáticamente un sistema y menciona sus partes.
1.10 ¿Cuáles son las unidades menores de los sistemas y cómo se representan?
1.11 ¿Cuáles son las propiedades de los sistemas?
Clasificación de los sistemas:
1.13 ¿Como se clasifican los sistemas?
1.14 ¿Que se entiende por conjuntos desorganizados?
1.15 ¿Qué se entiende por sistema orgánicos y dar un ejemplo.
1.16 ¿Cómo opera una caja negra?
1.17 Explique las 3 hipótesis que se deben cumplir al identificar o combinar varias cajas negras.
4
1.18 ¿Cuáles son las reglas para la combinación de cajas negras? Menciona sus características
1.19 ¿Qué es un sistema equivalente?
1.20 Simplifica el siguiente sistema:
K1
X
K2
K3
K5
K6
K4
K7
K8
Y
K9
1.21 ¿Cómo funciona una retroalimentación negativa?
1.22 Describir algún sistema que le sea familiar. ¿Cuáles son sus componentes, sus objetivos y su
ámbito? ¿Cuáles son las relaciones entre sus componentes? ¿Con qué otros sistemas trata de ser
compatibles? ¿Cuáles son sus mecanismos de cambio? ¿Cómo es su diagrama de bloques?
1.23 Explicar, en términos de sistemas, al sistema legislativo de la República Mexicana.
1.24 En la tabla siguiente se muestran las transacciones entre las componentes de un sistema. Dibujar
el diagrama de bloques y construir la matriz equivalente del sistema.
De
A
valor
A
B
9
A
D
7
B
C
5
B
E
3
C
F
7
F
E
6
D
E
4
D
G
3
E
F
8
G
H
2
H
F
6
1.25 Del 100% de los alumnos que ingresan a la UNAM son aproximadamente: a) por pase
reglamentario el 70% y b) por concurso de selección el 30%; el 30% se inscribe en Ciencias
Físico Matemáticas y las Ingeniería; el 35% en Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud; el
20% en Ciencias Sociales y por último el 15% en Humanidades y las Artes:
a.) Construya el diagrama de bloques de este sistema de distribución de la oferta de estudios de
licenciatura
b.) Agregue al diagrama del inciso anterior otros subsistemas para construir el sistema de ingresoegreso de las áreas descritas.
1.26 Se dice que un sistema tiene una estructura paralelo-serie de orden (k, m) si consiste de k
subsistemas idénticos en serie y cada uno de ellos tiene m componentes en paralelo cuyas
funciones de transferencia son ki, con i = 1, 2,…m. Dibuje el diagrama de bloques del sistema y
calcule su función de transferencia.
1.27 Se dice que un sistema tiene una estructura serie–paralelo de orden (k, m) si consta de k
subsistemas idénticos en paralelo y cada uno de ellos tiene m componentes en serie cuyas
funciones de transferencia son ki con i = 1,2,...m. Dibuje el diagrama de bloques del sistema y
calcule su función de transferencia.
5
1.28 Un sistema está formado por 7 subsistemas estructurados como se muestra en la figura siguiente.
Calcular la función de transferencia del sistema total.
K1
K2
K3
K4
X
Y
K5
K6
K7
1.29 Construir un diagrama de flujo para un sistema computacional que calcule el valor de “x” de
una ecuación de segundo grado.
1.30 Construya el grafo de flujo que corresponde al siguiente diagrama.
1.31 Utilizar las reglas para simplificación de grafos de flujo para calcular las transmitancias
equivalente entre las variables X1 y X4 en los dos grafos de flujo siguientes.
3
0.5
0.5
2
2
X1
X2
1
X3
2
X1
X4
(a)
(b)
1
X2
X3
2
X4
-0.2
1.32 Sea el sistema de ecuaciones
X2 = aX1 + bX2
X3 = cX1 + dX2 + eX3
Dibujar el grafo de flujo que las representa.
Simplificar el grafo de flujo para demostrar que la transmitancias entre los nodos
a)
b)
X3
es:
X1
ad  c(1  b)

X3 1  (b  e)  be
X1
y
6
1.33 Calcular el flujo máximo que puede transportarse desde la ciudad del nodo 1 hasta la ciudad
del nodo 8 de la siguiente red conexa, si la capacidad de flujo del nodo i al nodo j es el número
que aparece en el arco (i, j).
1.34 Si las transmitancias de los arcos de las redes que se muestran en el ejercicio 1.33 son las
distancias que separar a las ciudades asociadas a sus nodos inicial y final, determinar la ruta más
corta entre las ciudades 1 y 8.
1.35 Un equipo de un sistema productivo puede estar ocioso o trabajando; si está ocioso puede
deberse a que está en reparación o en espera de trabajo. A los estados trabajando, en reparación
y esperando trabajo se les designa con 0, 1 y 2 respectivamente. Al observar el comportamiento
del equipo un número suficiente de días se observa que cumple la propiedad markoviana con la
matriz de probabilidades de transición siguiente:
P =
P00
P01
P02
0.8
0.1
0.1
=
P10
P11
P12
0.2
0.6
0.2
P20
P21
P22
0.6
0
0.4
Por ejemplo P01 = 0.1 significa que la probabilidad de que si el equipo está trabajando hoy, esté en
reparación mañana, es igual a 0.1; P11 = 0.6 significa que la probabilidad de que si el equipo se está
reparando hoy, continúe reparándose mañana es igual a 0.6; P21 = 0 significa que si el equipo está en
espera de trabajo hoy no puede estar descompuesto mañana.
a)
Construya el grafo y el árbol de estados y transiciones.
b)
Calcule la probabilidad de que el equipo continúe trabajando pasado mañana si hoy está
trabajando.
1.36 Un modelo simplificado para pronóstico del clima es una pequeña localidad es un sistema que
sólo tiene dos estados. Si el clima se clasifica como seco (estado 1) o húmedo (estado 2) la matriz de
transición del sistema es:
1
1
2
0.75 0.25
2
0.30 0.70
En donde los elementos de la matriz se estimaron con base en registros meteorológicos.
a)
b)
Construya el grafo y el árbol de estados y transiciones.
Calcular la probabilidad de que si hoy fue un día seco, pasado mañana también lo sea.
7
1.37 Un sistema S puede estar en uno de los tres estados S1, S2 o S3 que representan la posición de
un switch. La probabilidad de que el sistema se mueva de su estado actual a cualquiera de los tres
estados se da en la matriz de transición para S. Otro sistema W también contiene un switch de tres
posiciones que puede estar en uno de los estados W1, W2 o W3 con las probabilidades de transición que
se muestran en la matriz para W. Los dos sistemas se interconectan de manera que el sistema mayor
formado por S y W sólo opera en un instante dado si la descripción en dos estados del sistema total es:
S2 y W1 o S2 y W3.
a)
b)
S1
S2
S3
W1
W2
W3
S1
0.30
0.30
0.40
W1
0.70
0.15
0.15
S2
0.25
0.25
0.5
W2
0.25
0.50
0.25
S3
0.5
0.25
0.25
W3
0.40
0.20
0.40
Construya los grafos y los árboles de estados y transiciones.
Si el sistema está operando actualmente calcular la probabilidad de que también esté operando
dentro de dos épocas.
8
CAPITULO 2.- PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA.
Uno de los modelos que trata la programación matemática es el de programación lineal (PL), que se
encarga de resolver problemas por medio de modelos estructurados con funciones lineales.
Una vez obtenido o identificado un problema de programación lineal, se procede a su resolución que
consiste en:
1) Definir las variables de decisión.
2) Plantear el modelo de Programación Lineal con los datos del problema.
3) Si es de dos variables se puede resolver gráficamente. (Describe gráficamente el procedimiento
para encontrar la solución del problema).
4) Solución por el método Simplex.
5) Análisis de sensibilidad o pos-óptimo.
6) Solución por computadora (paquete LINDO)
PROGRAMACIÓN LINEAL (Problema resuelto):
Una fábrica produce dos productos P1 y P2, los cuales para su elaboración pasan por las máquinas M1,
M2 y M3; los tiempos unitarios de ejecución (en minutos) para cada producto están dados en la
siguiente tabla.
P1
P2
M1
12
7
M2
8
11
M3
6
8
Los tiempos disponibles de cada máquina para las actividades en un mes son:
TIEMPO (MINUTOS)
MAQUINA
10 000
1
8 500
2
9 600
3
Los productos P1 y P2 representan una ganancia unitaria respectiva de 900 y 1000 pesos.
¿Cuántos productos P1 y P2 deben producirse mensualmente a fin de tener una ganancia total
máxima?
1) Definir las variables de decisión:
Para definir las variables de decisión debemos averiguar cuáles son los datos no conocidos (incógnitas,
variables de decisión o actividades) del problema.
X1= Cantidad de productos P1 a producir en un mes.
X2= Cantidad de productos P2 a producir en un mes.
2) Plantear el modelo de programación Lineal.
La primera parte del modelo consiste en identificar cuál es el objetivo del problema, en este ejemplo,
sería el maximizar las ganancias por la venta de los productos P1 y P2, que se traduce en la siguiente:
Función Objetivo; Maximizar Z = 900 X1 + 1000 X2
La segunda parte consiste en identificar
las condiciones que nos impone el problema,
cuestionándonos: ¿cuáles son los recursos límite? y ¿Cuánto se consume del recurso por unidad de
actividad o variable?, esto da a lugar a la formulación de las restricciones explícitas del modelo.
9
Para nuestro ejemplo los recursos límite serían los tiempos disponibles para las máquinas M1, M2,
M3, anotándolos del lado derecho de cada restricción (término independiente), y al lado izquierdo de
cada restricción asociar el consumo del recurso por unidad de actividad o variable (coeficientes de las
variables), quedando las restricciones de la siguiente forma:
≤ 10 000 (restricción de tiempo de la M1)
8 X1 + 11X2 ≤ 8 500 (restricción de tiempo de la M2)
6 X1 + 8 X2 ≤ 9 600 (restricción de tiempo de la M3)
Sujeto a: 12 X1 + 7 X2
(Restricciones explícitas)
Por último definir las funciones que indican la no negatividad de los productos, o bien, las variables
no pueden asumir valores negativos, esta representación matemática se le conoce como las
restricciones implícitas:
X2 ≥ 0
(Restricciones implícitas)
X2 ≥ 0
Uniendo las anteriores relaciones funcionales nos queda el modelo estructurado de la siguiente forma:
Maximizar Z = 900 X1 + 1000 X2 (Función Objetivo)
Sujeto a: 12 X1 + 7 X2 ≤ 10 000 (restricción de tiempo de la M1)
8 X1 + 11X2 ≤ 8 500 (restricción de tiempo de la M2)
6 X1 + 8 X2
≤
X2
(Restricciones explícitas)
9 600 (restricción de tiempo de la M3)
≥0
(Restricciones implícitas)
X2
≥
0
3) Solución Gráfica. (para problemas de dos variables)
Una de las formas didácticas para resolver modelos de P.L. es graficando las restricciones y la función
objetivo, utilizando un problema de dos variables, como el ejemplo que hemos planteado con
anterioridad:
Las restricciones son desigualdades y se dibujan dentro del primer cuadrante de un par de ejes
cartesianos, ya que se deben satisfacer las restricciones implícitas de no negatividad.
 Calcular los valores de intersección con los ejes cartesianos para cada una de las restricciones.
 Dibujar las rectas uniendo el par de puntos de cada ecuación, dibujando en sus extremos
flechitas que indican el área de soluciones factibles de cada restricción.
 La intersección de todos los espacios de solución de las desigualdades nos describe el área de
solución factible del sistema de inecuaciones.
Aplicando lo anterior al ejemplo se tiene lo siguiente:
 Restricción de M1:
12 X1 + 7 X2 ≤ 10 000 (restricción de tiempo de la M1)
Utilizando su ecuación:
12 X1 + 7 X2 = 10 000
Calculando los puntos de intersección con los ejes:
Si X1 = 0, X2 = 1428.6 se obtiene (0, 1428.6)
Si X2 = 0, X1= 833.3 se obtiene (833.3, 0)
10
 Restricción de M2:
8X1 + 11X2 ≤ 8 500 (restricción de tiempo de la M2)
Utilizando su ecuación:
8 X1 + 11 X2 = 8 500
Calculando los puntos de intersección con los ejes:
Si X1 = 0, X2 = 772.7 se obtiene (0, 772.7)
Si X2 = 0, X1= 1062.5 se obtiene (1062.5, 0)
 Restricción de M3:
6 X1 + 8 X2 ≤ 9 600 (restricción de tiempo de la M3)
Utilizando su ecuación:
6 X1 + 8 X2 = 9 600
Calculando los puntos de intersección con los ejes:
Si X1 = 0, X2 = 1 200 se obtiene (0, 1 200)
Si X2 = 0, X1= 1 600 se obtiene (1 600, 0).
 Para dibujar la función objetivo se le asigna a la función Z un valor arbitrario y se
procede de igual forma que las restricciones:
900X1 + 1000X2 = (900)(1000)
Calculando los puntos de intersección con los ejes:
Si X1 = 0, X2 = 900 se obtiene (0, 900)
Si X2 = 0, X1= 1000 se obtiene (1 000, 0).
Graficando los valores del ejemplo:
Área factible
En la gráfica se aprecia que el punto óptimo lo define la pendiente de la recta Z al desplazarla
paralelamente sobre la región factible hasta que toque el punto más alejado del origen (máxima
Z), el cual corresponde al cruce de las rectas M1 y M2; para comprobar matemáticamente esta
solución, basta hacer las dos ecuaciones simultáneas y sustituir los valores de X 1 y X2 en la
función Z, los resultados obtenidos por estas operaciones pertenecen a la solución óptima y son:
X1 = 664.47
X2 = 289.47
Z = 887500.00
11
4) Solución analítica por el método Simplex.
Para encontrar la solución analítica se utiliza un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la
solución a cada paso, concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución, fue creado
en 1947 por el matemático George Dantzig, se utiliza sobre todo para resolver problemas de
programación lineal. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un
sistema de ecuaciones lineales, constituyen la base del método simplex.
A continuación se describe el método partiendo del modelo estándar. (la función objetivo es
maximizar y todos los signos de sus restricciones son del tipo menor o igual).
Maximizar Z= 900X1 + 1000X2
Sujeto a:
12X1 + 7X2 ≤ 10000
8 X1 + 11X2 ≤ 8500
6 X1 + 8X2 ≤ 9600
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Para construir la tabla donde se harán los cálculos, es necesario presentar el modelo con ecuaciones,
(modelo estándar) haciendo la función objetivo igual a cero y a cada una de las restricciones explícitas
agregarle una variable de holgura para conseguir las igualdades.
Maximizar Z― 900X1 ―1000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 = 0
Sujeto a:
12 X1 + 7X2 + H1
= 10 000
8 X1 + 11X2
+ H2
= 8500
6 X1+ 8X2
+ H3 = 9600
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
En la transformación a igualdades todos los términos independientes de las restricciones deben ser
positivos, y las variables de holgura formar una matriz identidad, lo cual constituyen una solución
inicial.
Para obtener una solución factible de un sistema, se deben igualar el número de ecuaciones con el
número de variables, aplicando esto al ejemplo, a las variables X1 y X2 se les asigna el valor cero para
tener tres ecuaciones con tres incógnitas y al mismo tiempo una solución inicial que sería la siguiente:
X1=0, X2=0, H1=10000, H2 = 8500, H3 = 9600, Z =0
Tabla Simplex:
Para comenzar con los cálculos en la tabla Simplex, se anotan los datos como se indica a continuación:
En cada una de las celdas de los renglones R1 al R4 anotar los coeficientes de las variables de la
función objetivo y de las ecuaciones del modelo estándar, en correspondencia a las variables
indicadas en la parte superior de la tabla.
Los nombres de las variables BÁSICAS (variables que se encuentran en la solución) están definidas
por los elementos uno de la matriz identidad, y sus valores son los que aparecen en la columna
SOLUCIÓN, que en principio son los términos independientes de cada una de las ecuaciones.
Operaciones con los
renglones
BÁSICAS
Z
X1
X2
H1
H2
H3 SOLUCIÓN RAZÓN
Z
1
-900
-1000
0
0
0
0
H1
0
12.00
7.00
1.00
0.00
0.00
10000
1429.00
R2
H2
0
8.00
11.00
0.00
1.00
0.00
8500
772.72
R3
H3
0
6.00
8.00
0.00
0.00
1.00
9600
1200.00
R4
R1
12
A partir de esta solución inicial, se hacen caculos iterativos para conseguir la solución del problema,
como se indica a continuación:
 Localizar en el renglón Z el valor mayor con signo negativo, para nuestro caso es -1000, el cual
indica que en la siguiente iteración la variable X2 debe entrar a la columna BÁSICAS.
 Para localizar la variable que abandone la base se calcula la columna RAZÓN, dividiendo cada
uno de los elementos de de la columna SOLUCIÓN y el elemento que le corresponda de la
columna de la variable que entra a la base (X2), en nuestro ejemplo: 10000/7=1429,
8500/11=772.72, 9600/8=1200; La variable que abandonará la base será aquella que tenga el
menor valor de los positivos, para este caso es 772.72 correspondiente a la variable H2,
 Para el cálculo de esta nueva iteración entra como Básica X2 en el lugar de H2, por lo tanto la
columna X2, se debe transformar en el correspondiente vector de la matriz identidad, estos
valores servirán como guía para calcular el sistema de ecuaciones mejorado, quedando la tabla:
Operaciones con los
renglones
BÁSICAS
Z
X1
X2
H1
H2
H3 SOLUCIÓN RAZÓN
Z
1
-900
-1000
0
0
0
0
H1
0
12.00
7.00
1.00
0.00
0.00
10000
1429.00
R2
H2
0
8.00
11.00
0.00
1.00
0.00
8500
772.72
R3
H3
0
6.00
8.00
0.00
0.00
1.00
9600
1200.00
R4
R1
Z
0
R5 =
H1
0
R6 =
X2
1
R7=R3/11
H3
0
R8=-
Por lo tanto la operación para que el elemento de valor 11 se convierta en uno, se especifica en la
columna de “Operaciones con los renglones”, operación que debe repetirse en las casillas de este
renglón que se considerará como pivote para el cálculo del Rn.
Operaciones con los
renglones
BÁSICAS
Z
X1
X2
H1
H2
H3 SOLUCIÓN RAZÓN
Z
1
-900
-1000
0
0
0
0
H1
0
12.00
7.00
1.00
0.00
0.00
10000
1429.00
R2
H2
0
8.00
11.00
0.00
1.00
0.00
8500
772.72
R3
H3
0
6.00
8.00
0.00
0.00
1.00
9600
1200.00
R4
R1
Z
0
R5 =
H1
0
R6 =
X2
H3
0
0.73
1.00
0
0.00
0.09
0.00
772.73
1062.50
R7=R3/11
R8 =
13
Haciendo reiteradamente este procedimiento hasta que los valores de Z sean todos positivos o 0 se
obtiene la iteración con la solución óptima.
Operaciones con los
renglones
BÁSICAS
Z
X1
X2
H1
H2
H3 SOLUCIÓN RAZÓN
Z
1
-900
-1000
0
0
0
0
H1
0
12.00
7.00
1.00
0.00
0.00
10000
1429.00
R2
H2
0
8.00
11.00
0.00
1.00
0.00
8500
772.72
R3
H3
0
6.00
8.00
0.00
0.00
1.00
9600
1200.00
R4
Z
1
-172.73
0.00
0.00
90.91 0.00
772727.27
H1
0
6.91
0.00
1.00
-0.64 0.00
4590.91
664.47
R6= (R7*7)-R2
X2
0
0.73
1.00
0.00
0.09
0.00
772.73
1062.50
R7=R3/11
H3
0
0.18
0.00
0.00
-0.73 1.00
3418.18
18800.00 R8=-R7(8)+R4
Z
1
0.00
0.00
25.00 75.00 0.00
X1
0
1.00
0.00
0.14
-0.09 0.00
664.39
R10= R6/6.91
X2
0
0.00
1.00
-0.11
0.16
0.00
287.73
R11=R10(-.73)+R7
H3
0
0.00
0.00
-0.03 -0.71 1.00
3298.59
R12=R10(-.18)+R8
887500.00
R1
R5=(-R7*1000+R1)
R9=R10(-172.73)-R5
Las cantidades obtenidas como solución óptima son semejantes a las que se obtuvieron en la solución
gráfica, debido a las aproximaciones que se hicieron en los cálculos de esta tabla simplex.
X1= 664.39, productos por mes
X2= 287.73 productos por mes
Z= $887500 Beneficios en un mes
5) Análisis de sensibilidad o pos óptimo.
El análisis de sensibilidad nos indica cuanto nos podemos desviar en los parámetros del modelo, sin
alterar la solución óptima.
En cierto sentido, el análisis de sensibilidad convierte la solución estática de programación lineal en un
instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes.
Lo que se puede cambiar en la función objetivo son sus coeficientes (Cij), ya que en la realidad los
beneficios o costos no permanecen estáticos. (Los valores de X1 y X2 de la solución óptima
permanecen iguales, no es así para el valor de Z)
Si las variables de decisión están en la solución las únicas variables que pueden cambiar son las
variables de holgura que están en la solución.
14
Solución por computadora con el paquete LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer).
El paquete Lindo se puede bajar de internet en su versión Demo LINDO para PC en la
dirección: http://www.lindo.com/
Una vez instalado el paquete en su computadora se ejecuta y aparece una pantalla para
introducir el modelo; en nuestro ejemplo sería de la siguiente forma:
Max 900X1 + 1000X2
st 12X1 + 7X2 < 10000
8 X1 + 11X2 < 8500
6X1 + 8X2 < 9600
End
Una vez introducido el modelo, se da click en Solve de la barra de opciones, a continuación se
muestra un submenú y se le vuelve a dar click en solve, aparece una nota Do range (sensitivity)
Analisis? Oprima que SÍ, y le mostrará el siguiente reporte:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 887500.0
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
X1
664.473694
0.000000
X2
289.473694
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
0.000000
25.000000
3)
0.000000
75.000000
4) 3297.368408
0.000000
5)
289.473694
0.000000
6)
289.473694
0.000000
NO. ITERATIONS=
2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
X1
900.000000
814.285706
172.727280
X2 1000.000000
237.500000
475.000031
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
2 10000.000000
2750.000000
4590.909180
3 8500.000000
4640.740723
1833.333496
4 9600.000000
INFINITY
3297.368408
5
0.000000
289.473694
INFINITY
6
0.000000
289.473694
INFINITY
15
PROGRAMACIÓN LINEAL (Problemas sin resolver)
2.1 Del siguiente problema plantear únicamente el modelo de programación lineal.
Para fabricar dos productos P1 y P2 se deben ejecutar ciertas operaciones sucesivas en 3
máquinas M1, M2 y M3. Los tiempos unitarios de ejecución están dados en la tabla en la cual se
puede ver el tiempo unitario de ejecución en minutos, de las piezas P1 y P2 en cada una de las
tres máquinas.
P1
P2
M1
11
9
M2
7
12
M3
6
16
Los productos P1 y P2 representan una ganancia unitaria respectiva de 900 y 1000 pesos. De
esta manera ¿Cuántas unidades de los productos P1 y P2 deben fabricarse?
2.2 Del siguiente problema plantear únicamente el modelo de programación lineal.
Una compañía tiene disponibles $1 500 000 para asignarlos a la adquisición de 3 productos A, B,
C, los cuales requieren respectivamente de 30, 3 y 15 pies3 de espacio por unidad, el espacio
disponible de almacenaje es de 300 000 pies3. El costo de los productos A, B, y C es de $12,
$4.50 y $15 respectivamente. ¿Que cantidad de cada producto debe adquirirse si los precios de
venta de los productos A, B y C son respectivamente $15, $6, y $21?.
 Defina las variables de decisión.
 Plantee el modelo de programación lineal.
2.3 Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda dos horas en ensamblar una mesa y
30 minutos en armar una silla. El ensamble lo realizarán cuatro trabajadores sobre la base de un
solo turno diario de 8 horas. Los clientes suelen comprar cuando menos cuatro sillas con cada
mesa, lo que significa que la fábrica debe producir por lo menos cuatro veces más sillas que
mesas. El precio de venta es de $135 por mesa y $50 por silla. Determine la combinación de
sillas y mesas en la producción diaria que maximizaría el ingreso total diario de la fábrica .
(Únicamente resuelva los dos siguientes incisos para este problema.)
 Defina las variables de decisión.
 Plantee el modelo de programación lineal.
2.4 Para producir una cierta aleación de acero con propiedades específicas se requiere que por cada
Tonelada de materia prima se use por lo menos 3 kilogramos de manganeso, 1 de silicón y no más
de 6 de cobre. La materia prima se obtiene de dos bancos de hierro cuyas composiciones de esos
elementos por tonelada es: el material del banco B1 contiene 3 kilogramos de manganeso, 1 de
silicón y 2 de cobre; el material del banco B2 contiene 7 kilogramos de manganeso, 4 de silicón y
2 de cobre. Si los costos de material (incluida la transportación) es de 4 y 5 unidades monetarias
por tonelada respectivamente ¿Que cantidad de material del banco B1 y del B2 debe transportarse
por unidad de materia prima?
 Defina las variables de decisión.
 Plantee el modelo de programación lineal.
16
2.5 Plantear el modelo dual
Max Z= 120X1 + 200X2
S.A: 25X1 + 50X2 ≤ 600
25X1 + 20X2 ≤400
15X1 + 60X2 ≤ 120
X1,
X2 0
2.6 Plantear el modelo dual
Max Z = 9 X1 + 5 X2
S.A: 2 X1 + 2 X2 ≤ 12
X1 + 2 X2 ≤ 8
X1 - 3 X2
3
X1, X2
0
PROBLEMAS DE P.L. (solución gráfica)
2.7 Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices
de las rectas asociadas a las desigualdades
Y
A(1,3)
B(5,2)
C(5,0)
O
X
a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto.
b) Maximizar la función Z = 3x - 6y sujeta a las restricciones del recinto.
2.8 Dada la región del plano definida por las inecuaciones:
x+y-1 0
0 x 3
0 y 2.
¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y?
2.9 Dada la región del plano definida por las inecuaciones:
x + y - 1 0; 0 x 3; 0 y
2
¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y?
17
2.10
Si consideramos la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones:
x + y 9; x + y 5; x + 2y 8
a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices.
b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x, y) = 3x + 2y alcanza el valor mínimo y
calcular dicho valor.
2.11 Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones
lineales:
x + 2y 10 ; x + y 2 ; x 8 ; x 0 ; y 0
2.12 Hallar el máximo y el mínimo de F(x, y) = x - 3y, sujeto a las restricciones representadas por las
inecuaciones del apartado anterior.
2.13 Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones:
x - 4y - 4
x + 2y - 4 0
x 0
y
0
a) Dibujar y hallar los vértices del recinto.
b) Razonar si es posible maximizar en él la función f(x, y)= x + 2y
c) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza
2.14 Resolver gráficamente.
Máx. Z= 3X + 5Y.
S. a: 3X + 2Y  18
X
4
2Y  12
X, Y  0
2.15 Resolver gráficamente.
Max Z = 3X1 + 2X2.
S. a: 4X1 + 5X2 ≤ 200
2X2 ≤ 50
6X1 + 3X2 ≤ 210
X1, X2 ≥ 0
2.16
Usando el procedimiento gráfico, encuentre el valor de X1 y X2 para el siguiente modelo:
Max Z = 9 X1 + 5 X2.
S. a: 2 X1 + 2 X2 ≤12
X1 + 2 X2 ≤ 8
X1 - 3 X2  3
X1, X2  0
2.17 Resuelva gráficamente el siguiente modelo.
Max Z = 500X1 + 300X2.
S. a: 15X1 + 5X2  300
10X1 + 6X2  240
8X1 + 12X2  450
X1,
X2  0
18
2.18
Usando el método Gráfico encuentre el valor de X1 y X2 para el siguiente modelo.
Min Z = 200 X1 + 240 X2.
S. a: 6 X1 + 12 X2  120
8 X1 + 4 X2  64
X1,
X2  0
2.19 Una compañía de transportes tiene 10 camiones con capacidad de 11 ton, y 5 camiones de 8
ton. Los camiones grandes tienen un costo de $5 / km y los pequeños de $3 / km En una semana debe
transportar la empresa 1350 ton en un recorrido de 100 km. La posibilidad de otros compromisos
recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva deba quedarse por lo menos
uno de los grandes. Utilizando el Método Gráfico, ¿Cuál es el número de camiones de ambas clases
que deben movilizarse para ese transporte de forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones
descritas?
2.20 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le
paga $5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes le paga $ 7 por impreso.
El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos
B, en la que caben 100, ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo.
Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Aplicando el método gráfico, cuantos impresos habrá de repartir
de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
2.21 Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, $1 000 100 en salarios y $1 700 000 en
energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad
de A que elabora gana $75 y $55 por cada unidad de B. El costo salarial, y energético que acarrea la
elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:
Productos
A
B
Costo
190
110
Costo energético
120
290
Utilizando el método gráfico, se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y
B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.
2.22
Resolver el siguiente modelo de P.L. por el :
a) Método gráfico.
b) Método analítico.
Max. Z = 4X + 3Y
S. a:
- 4X + 6Y  70
X + Y  25
X
 20
X + 2Y  50
X, Y  0
2.23
Resolver el siguiente modelo de P.L. por el:
a) Método gráfico.
b) Método analítico.
Max. Z = 3X + 2Y
S. a:
X + 3Y  45
-3X + 5Y  60
X + Y  20
X
 15
X, Y  0
2.24 Usando el método Simplex, encuentre los valores de las variables de decisión y la función objetivo
del siguiente modelo.
19
Max.
S. a:
2.25
Z = 200 X1 + 240 X2
6 X1 + 12 X2  120
8 X1 + 4 X2  64
X1,
X2  0
La Texas Electronics Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a
su línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados
y evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $300 000. El computador 1 tiene un valor
esperado en las ventas de 50 000 unidades por año, con una contribución en las utilidades de $20
por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300 000 y 100 000
unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La TEI ha asignado
800 horas mensuales de tiempo de la planta técnica para estos nuevos productos. Los
computadores 1, 2 y 3 requieren 1, 2 y 0,5 horas técnicas por unidad respectivamente. El
sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema
puede empacar y despachar como máximo 25.000 cajas de los minicomputadores 1,2, y 3. El
computador 1 es empacado en 1 caja; los computadores 2 y 3 son empacados, cada uno, 4
computadores por caja.

Describa las variables de decisión.

Formule el modelo de programación lineal para determinar las decisiones que aporten la
máxima utilidad a la TEI .

Formule el modelo dual.

Resuelva por el método Simplex
2.26 Resolver el siguiente modelo de P.L.
Minimizar Z = 6X1 + 8 X2
Sujeto a:
4 X1 + 7 X2  56
5X1 + 6X2  30
3X1 + 10X2  30
X1 , X2  0
2.27 Resolver el siguiente modelo de P.L.
Minimizar Z = 5 X1 + 7 X2
Sujeto a:
2 X1 + 3 X2  42
3X1 + 4 X2  60
X1 + X2  18
X1 , X2  0
2.28 Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio
(K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete.
Marca K P N Precio
A
4 6 1
15
B
1 10 6
24
¿Utilizando el método gráfico y el simplex, en qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono
para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?
20
ANÁLISIS POSÓPTIMO
2.29 De la siguiente. Solución óptima, calcular el rango de sensibilidad del coeficiente C1 de la
función objetivo.
CJ
-2
-3
0
0
V.B.
b
X1
X2
X3
X4

X1
4
1
1
0
-1
X3
6
0
2
1
-3
2.30 De la siguiente solución óptima de un modelo de maximización, calcular el rango de sensibilidad
del coeficiente C1 de la función objetivo.
CJ
40
60
0
0
V.B.
b
X1
X2
X3
X4

X1
500
1
0
0.5
-0.5
X3
250
0
1
-0.25
0.75
2.31
Supongamos que en un rancho agrícola de 150 hectáreas se puede sembrar azúcar (A) y maíz
(M), y que se tiene la siguiente información:
(Anual)
Azúcar (A)
Maíz (M)
-Agua requerida:
0.4 m3/ton
1.6 m3/ton
-Precio:
$15 /ton
$45/ton
-Costos:
$5 /ton
$15 /ton
-Reciproco de la
productividad de la tierra:
0.2 ha/ ton
0.4 ha/ton
El agua disponible es de 2.66 m3/ha ¿Qué cantidad de cada uno de los productos se debe
sembrar para que se maximice la utilidad?
Resuelva los siguientes incisos (igualmente para los problemas subsecuentes que lo indiquen):
a) Definir las variables de Decisión.
b) Plantear el modelo de P.L.
c) Plantear el modelo Dual.
d) Resolver por el método gráfico si es posible.
e) Resolver por el método Simplex.
f) Hacer el análisis pos-óptimo del coeficiente C1 de la función objetivo.
2.32 Aceros Monterrey produce dos tipos de vigas de acero, cada uno de estos tipos requiere de
trabajo de máquina y terminado, antes de ser vendidos. Los requerimientos de producción y
terminado son dados en la siguiente tabla:
Tipo de viga
Trabajo de máquina (hrs. requeridas)
Terminado (hrs. requeridas)
1
1
2
2
2
3
La planta tiene una capacidad semanal de: 300 horas de máquina y 200 horas de terminados
La viga tipo 1 y 2 dejan una utilidad de $120 y $80 respectivamente.
El estudio de mercado específica que la demanda de la viga uno no excede 60 piezas.
El gerente requiere conocer la producción de cada uno de los tipos para maximizar su ganancia.
(Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31).
21
2.33 Cámaras KADOC fabrica tres modelos de cámaras, las Diwisky, las Miraelpajarito y las
Notemuevas. También producen algunos accesorios para cámaras. El próximo año, basados
sobre un plan, planean vender diariamente al menos 51 cámaras Notemuevas, 17 Miraelpajarito
y 16 Diwisky. El exceso de capacidad de producción la usarán en la producción de accesorios,
actividad que es muy rentable.
La KADOC tiene dos plantas, en el Distrito Federal (A) y en Monterrey (B). La
administración de la KADOC desea conocer la producción diaria que debe asignarse a cada
planta para la producción de cámaras. La contabilidad de costos estima que los costos de
producción por cámara podrían de ser $500 en la planta (A) y $550 en la planta (B).
La tabla siguiente indica el máximo número de cámaras de cada modelo que pueden ser
producidas diariamente en cada planta. (Resolver los incisos solicitados en el problema
2.31).
1
Modelo
Notemuevas
Miraelpajarito
Diwisky
2 Producción diaria de cámaras
Distrito Federal
Monterrey
100
140
10
6
4
8
2.34 El dueño de una empresa no sabe cual debería ser su producción óptima semanal de cada
producto ya que produce únicamente dos tipos de cerveza: clara y oscura. El precio al mayoreo
de 1000 litros de cerveza clara es de $5000.00 mientras que el precio al mayoreo de 1000 litros
de cerveza obscura es de $3000.00.
Un estudio de tiempos y movimientos ha demostrado que para producir 1000 litros de cerveza
clara se requiere un total de tres obreros en el proceso de producción. En cambio se requieren 5
obreros para producir 1000 litros de cerveza obscura.
Se supone que producir 1000 litros de cerveza clara le cuesta al dueño de la planta $500.00,
mientras que 1000 litros de cerveza obscura le cuestan solamente $200.00. La planta cuenta
con 15 obreros y su capital no le permite gastar mas de $10000.00 semanales en la producción
de los dos tipos de cerveza. El objetivo del dueño es el de maximizar los ingresos semanales.
¿Cuántos litros de cerveza debe producir de cada tipo? (Resolver los incisos solicitados en el
problema 2.31).
2.35 Suponga que una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia
dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada
uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de
tiempo el siguiente verano, al igual que invertir en efectivo. Con el primer amigo al convertirse
en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas y la ganancia estimada sería $4500,
las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una
ganancia estimada de $4500. Sin embargo ambos amigos son flexibles y le permiten entrar en
el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la partición de las utilidades sería
proporcional a esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo
interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas
propuestas con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver
el problema de obtener la mejor combinación.
22
2.36 Una línea aérea considera la compra de aviones de pasajeros; los aviones cubrirán distancias
largas, medianas, cortas y serán del tipo (a), (b) y (c), respectivamente. el precio por cada avión
de tipo (a) es de $7.70, $6.0 por cada avión de tipo (b) y $4.5 por el avión de tipo (c). los
directores de la compañía autorizaron un máximo de $160 para esas compras. se estima que
estos aviones se utilizaran a máxima capacidad y que las ganancias para cada tipo de avión
serian $410 para cada avión (a), $320 para cada avión (b), $235 para el tipo (c).Se calcula que
habrá suficientes pilotos entrenados para volar 30 aviones nuevos.
Si se compraran aviones de tipo (c) solamente, el equipo y personal de mantenimiento actual
podrían mantener solo 40 aviones nuevos. Sin embargo, cada avión de tipo (b) equivale a 4/3
de tipo (c), y cada avión de tipo (a) equivale a 5/3 de tipo (c) en lo que respecta al uso
requerido de equipo y personal de mantenimiento.
Los directores quieren saber cuantos aviones de cada tipo se deben comprar para maximizar
sus ganancias.
Nota: $=millones de dólares. (Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31).
2.37 Un empacador de nueces dispone de 150 libras de cacahuates, 100 libras de nuez de la india y
50 libras de almendras. El empacador puede vender tres tipos de mezclas de estos productos:
Una mezcla barata que consta del 80% de cacahuates y del 20% de nuez de la india; Una
mezcla para fiestas que consiste en 50% de cacahuates, 30 % de nuez de la india y 20% de
almendras; y una mezcla de lujo con 20% de cacahuates, 50% de nuez de la india y 30% de
almendras. Si la lata de 12 0nzas de la mezcla barata, la mezcla para fiestas y la mezcla de lujo
se puede vender en $0.90, $1.10 y $1.30 respectivamente, ¿Cuantas latas de cada tipo debe
producir el empacador a fin de maximizar sus ganancias? Nota: una libra = 16 onzas
(Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31).
2.38 Cierta compañía de automóviles fabrica dos tipos de carros: el Típico y el Austero, Estos
carros se venden a los distribuidores en 200 y 170 (miles de pesos) respectivamente. Los carros
requieren lo siguiente para su fabricación:
Típico
Austero
3 Horas - Hombre
- Ensamble
150
60
- Pintura y acabados
40
30
- Control de Calidad
10
20
El departamento de ensamble dispone de 30000 horas - hombre por semana, el departamento
de pintura y acabados 12000 y el departamento de control de calidad 5000. (Resolver los
incisos solicitados en el problema 2.31).
2.39 Un estudio de tiempos y movimientos ha demostrado que para producir 1000 litros de cerveza
clara se requiere un total de tres obreros en el proceso de producción. En cambio se requieren 5
obreros para producir 1000 litros de cerveza obscura. Se supone que producir 1000 litros de
cerveza clara le cuesta al dueño de la planta $500.00, mientras que 1000 litros de cerveza
obscura le cuestan solamente $200.00. Se cuenta con 15 obreros en la planta y su capital no le
permite gastar mas de $10000.00 semanales en la producción de los dos tipos de cerveza. El
objetivo del dueño es el de maximizar los ingresos semanales. ¿Cuántos litros de cerveza debe
producir de cada tipo? (Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31)
23
2.40
La firma de contadores Guerra – Paz (G-P) especializada en preparar liquidaciones y pagos de
impuestos y auditar empresas pequeñas del área metropolitana, tienen interés en saber cuántas
auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera que obtengan los
máximos ingresos. Se dispone de 800 horas para trabajo directo y dirección y 160 horas para
revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y dirección y de 10
horas de revisión, aportando un ingreso de $300. Una liquidación de impuestos requiere 8 horas
de trabajo directo y de dos horas de revisión, y produce un ingreso de $100. (Resolver los
incisos solicitados en el problema 2.31).
2.41 TAESA la compañía aérea, está considerando la compra de jets para pasajeros en tres tamaños:
Grandes, medianos y pequeños, los precios de compra son: 8, 6 y 4.0 millones de dólares
respectivamente.
El consejo directivo ha considerado un gasto máximo de 170 millones de dólares para la compra
de aviones.
Considerando que el pasaje es completo en cada viaje, se estima que la ganancia anual neta será
de 400 millones de dólares para los aviones grandes, 300 millones de dólares para los aviones
medianos y 250 millones de dólares para los aviones pequeños; También se estima que habrá
suficientes pilotos para manejar 32 nuevos aviones; Si solamente se compran aviones pequeños
la posibilidad de mantenimiento será para 40 aviones, sin embargo, cada avión mediano equivale
a 11/3 de un pequeño y cada avión grande equivale a 12/3 de un pequeño, en términos de las
posibilidades de mantenimiento.
Los gerentes dela compañía desean saber cuántos aviones de cada tipo habrá que comprar para
maximizar las guanacias. (Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31)
2.42 Suponga que una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia
dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada
uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo
el siguiente verano, al igual que invertir en efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio
completo tendría que invertir $5000 y 400 horas y la ganancia estimada sería $4500, las cifras
correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia
estimada de $4500. Sin embargo ambos amigos son flexibles y le permiten entrar en el negocio
con cualquier fracción de la sociedad; la partición de las utilidades sería proporcional a esa
fracción.
Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600
horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas con la combinación que
maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor
combinación. (Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31)
2.43 Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos máquinas. Los tiempos de manufactura en
horas por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas.
Máquina
1
2
Producto 1
2
3
Producto 2
Producto 3
Producto 4
3
4
2
2
1
2
Tiempo por unidad [horas]
El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el
tiempo de máquina. Suponga que el costo por hora para las máquinas 1 y 2 es $10 y $15. Las horas
totales presupuestadas para todos los productos en las máquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de
venta por unidad para los productos 1, 2, 3, y 4 es $65, $70, $55 y $45, maximice los beneficios.
(Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31)
24
2.44 Una línea aérea considera la compra de aviones de pasajeros; los aviones cubrirán distancias
largas, medianas, cortas y serán del tipo (a), (b) y (c), respectivamente. el precio por cada avión
de tipo (a) es de $7.70, $6.0 por cada avión de tipo (b) y $4.5 por el avión de tipo (c). los
directores de la compañía autorizaron un máximo de $160 para esas compras. se estima que
estos aviones se utilizaran a máxima capacidad y que las ganancias para cada tipo de avión
serian $410 para cada avión (a), $320 para cada avión (b), $235 para el tipo (c). Se calcula que
habrá suficientes pilotos entrenados para volar 30 aviones nuevos. Si se compraran aviones de
tipo (c) solamente, el equipo y personal de mantenimiento actual podrían mantener solo 40
aviones nuevos. sin embargo, cada avión de tipo (b) equivale a 4/3 de tipo (c), y cada avión de
tipo (a) equivale a 5/3 de tipo (c) en lo que respecta al uso requerido de equipo y personal de
mantenimiento.
Los directores quieren saber cuantos aviones de cada tipo se deben comprar para maximizar sus
ganancias. $ = Millones de dólares. (Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31)
2.45 La empresa Engranitos S.A. de C.V fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una
técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 19 horas de obra de mano, 10
horas de prueba y produce una utilidad de $420. La máquina estándar requiere de 4 horas de
obra de mano, 5 horas de prueba y produce una utilidad de $220. Se dispone de 800 horas para
mano de obra y 560 horas para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual
para el modelo de lujo no es más de 80 y de la máquina estándar no es más de 140. La gerencia
desea saber el número de máquinas de cada modelo que deberá producirse para maximizar la
utilidad total. (Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31)
2.46 Un accionista de una compañía fabricante de radios escuchó en una comida, una información
veras de la importancia que tendrá la radiodifusión en los próximos años, por lo cual ha pedido a
sus expertos que investiguen la forma de maximizar las utilidades de la empresa, debidas a la
venta de radios AM y AM - FM.
Los expertos han consultado con sus proveedores y estos informan que pueden proporcionar 70
partes para radios AM – FM y 80 partes para radios AM solamente. Por condiciones de la
empresa y de los trabajadores, los expertos saben que se cuenta semanalmente con 300
horas/hombre para la producción de piezas, 175 horas/hombre para ensamble y 60 horas/hombre
para inspección, el departamento de ingeniería de métodos les ha proporcionado la siguiente
tabla respecto a lo que cada aparato requiere de cada concepto.
horas/hombre
producciòn
horas/hombre ensamble
horas/hombre
inspecciòn
AM
2
1
0.75
AM - FM
3
2
0.5
Aparato
El departamento de finanzas informa que la utilidad neta por radio AM es de $900.00 y de $1,
500.00 por radio AM-FM. ¿Cuántos aparatos de radio se deben producir?
La división de modulares Panasonic, S.A., desea maximizar sus utilidades por la venta de
modulares con ecualizador integrado y sin ecualizador. El modular con ecualizador integrado
obtendrá una ganancia de tres unidades, mientras que una encuesta realizada con anterioridad
demostró a la división que dejaría de ganar dos unidades por la venta de un modular sin
ecualizador.
De acuerdo con la encuesta realizada y a las técnicas de división en cuanto a producción y
ensamble se tienen disponibles:
Un máximo de una unidad de tiempo para producción de partes y no menos de cuatro unidades de
tiempo para el ensamble. En ambos casos los modulares requieren de una unidad de tiempo para
producción de partes y dos unidades de tiempo para ensamble (Resolver los incisos solicitados
en el problema 2.31).
25
2.47 Un taller mecánico automotriz desea anunciarse por radio y/o televisión. Tiene disponible para
esto $62,500.00. Cada diez segundos de un comercial por radio, cuestan $2,500.00 y cada 10
segundos de un comercial por televisión, cuestan 5,000.00.
Cada 10 segundos en radio alcanzan una audiencia de 12,000 personas y cada 10 segundos de
televisión, llegan a 20, 000 personas. El Taller requiere maximizar la audiencia total pero esta
interesado también en atraer a dos grupos específicos: mujeres entre 21 y 35 años y hombre de
más de 40. Quiere que su audiencia incluya cuando menos 10,000 mujeres en este grupo y 8,000
hombres. Los medios de difusión le proporcionaron los siguientes datos respecto a la audiencia
que se consigue por cada 10 segundos de comercial.
Audiencia por diez segundos de comercial
mujeres (21-35)
hombres (40)
radio
2,000
1,500
televisiòn
4,000
5,000
¿Cómo debe asignar el taller su presupuesto de publicidad? (Resolver los incisos solicitados en el
problema 2.31)
2.48 Una planta fabrica dos tipos de piezas A y B para automóvil. Compra piezas fundidas que se
maquinan, taladran y pulen, a continuación se proporcionan los siguientes datos:
Las piezas fundidas para la parte A cuestan dos pesos cada una, para la parte B cuestan 3 pesos.
Se venden a $5.0 y $6.0 respectivamente. Las tres capacidades tienen costos de operación de 20,
14 y 17.50 pesos por hora respectivamente. Se dispone como máximo de 1000 horas para
maquinado, 980 horas para taladro y 875 horas para pulido. Suponiendo que se puede vender
cualquier combinación de partes A y B ¿cuál es la cantidad de productos de A y B que
maximizan la utilidad? (Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31)
Capacidad de maquinado
Capacidad de taladro
Capacidad de pulido
2.49
Parte A
25 por hora
28 por hora
35 por hora
Parte B
40 por hora
35 por hora
25 por hora
Una planta de concreto empleada en la construcción de una presa, usa una mezcla de 30% de
arena y 70% de grava por peso.
Existen depósitos naturales en 5 lugares cercanos a la presa, cada uno con composiciones y
costos de explotación y transporte diferentes según se muestra en la siguiente tabla.
Por cada 100 toneladas de concreto producidas ¿Cuantas toneladas de cada depósito se deben
1
50%
50%
150
2
30%
70%
160
3
40%
60%
140
Arena
Grava
Costo/ton
(unid.mon)
usar?
(Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31)
4
35 %
65%
155%
5
80%
20%
170
26
2.50 La compañía ESPECIAS INDIAN C.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en
la producción de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea
curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede
vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas
de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de
HB2. Determine él consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa. (Resolver los
incisos solicitados en el problema 2.31)
Aderezo
Curry
Pimentón
Disponibilidad (Onzas)
Ingredientes (Onzas/Bot)
HB1
5
2
10000
HB2
3
3
8500
Demanda
(Botellas)
1500
Ilimitada
Precio de
Venta
por botella ($)
2750
1300
2.51 Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, el CPO (cemento portland ordinario) y
el CPP (cemento portland puzolánico). Él no puede hacer más de 1600 bolsas en un día debido a
una escasez de vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas
establece que él debe producir 500 bolsas al día de CPO; Debido a restricciones del proceso, se
requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de CPP en relación al tiempo requerido por el
CPO. Una bolsa de CPO consume para su fabricación 0.24 minutos y la planta opera 8 horas al
día para estos tipos de productos. Su ganancia es de 4 unidades monetarias por la bolsa para el
CPP y 3 unidades monetarias por la bolsa para el CPO. ¿Cuánto se debe producir de cada tipo de
cemento para maximizar las ganancias de la empresa? (Resolver los incisos solicitados en el
problema 2.31)
2.52 SONY fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete portátil y (2) el Shader TV, un
televisor en blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción de ambos
productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento
de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada
Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada
televisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de
producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien
horas en el de montaje. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dólares, mientras que
para un televisor el beneficio unitario es de cinco dólares. El problema de SONY es determinar
utilizando el Método Gráfico, la mejor combinación posible de Walkman y televisores que debe
producir para alcanzar el máximo beneficio. (Resolver los incisos solicitados en el problema
2.31)
2.53 Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de
espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no
refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos
refrigerados y 1200 no refrigerados. ¿Utilizando el Método Gráfico, cuántos camiones de cada
tipo debe alquilar la fábrica para minimizar costos si el tipo A se alquila a 30 $/Km y el B a 40
$/Km? (Resolver los incisos solicitados en el problema 2.31)
27
2.54
Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada.
Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto
es de US$ 40 por hectárea.
El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, también existen restricciones en la
disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica:
Mes
Octubre
Noviembre
Consumo m3 /
Hcta
Trigo
900
1.200
Consumo m3 / 3.1.1.1.1 Disponibilidad
Hcta
Cebada
m3
650
57.900
850
115.200
Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso.
Los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada.
Utilizando el método gráfico, determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe
sembrar el agricultor para que maximice su beneficio. (Resolver los incisos solicitados en el
problema 2.31)
2.55 La empresa CHANNEL produce el perfume Versay. Este perfume requiere de químicos y
trabajo para su producción. Dos procesos están disponibles. El proceso A transforma 1 unidad de
trabajo y 2 unidades de químico en 3 onzas de perfume. El proceso B transforma 2 unidades de
trabajo y 3 unidades de químico en 5 onzas de perfume. Cada unidad de trabajo le cuesta a
CHANNEL Bs. 1.000 y cada unidad de químico le cuesta Bs. 1.500. Se tiene una disponibilidad
máxima de 20.000 unidades de trabajo y un máximo de 35.000 unidades de químico para este
período de planificación. En ausencia de publicidad CHANNEL cree que puede vender 1.000
onzas de perfume. Para estimular la demanda de ese perfume CHANNEL puede contratar una
modelo famosa a quien se le pagará Bs. 50.000 la hora, hasta por un máximo de 25 horas. Cada
hora que la modelo trabaje para la empresa se estima que incrementará la demanda de Versay en
200 onzas. Cada onza de Versay se vende a Bs. 60.500. Utilizando el método Gráfico, determine
el volumen óptimo de la producción y venta del perfume. (Resolver los incisos solicitados en el
problema 2.31)
2.56 La empresa de computadoras COMPAQ toma las decisiones trimestral sobre la fabricación de
su mezcla de productos. Mientras todas sus líneas productivas incluyen una gran variedad de
artículos de computación, solamente se considerará un problema más simple con sólo dos
productos: las computadoras portátiles y las computadoras del escritorio. A COMPAQ les gustaría
saber cuántos de dichos productos deben fabricar para obtener máximas ganancias en el primer
trimestre del 2003. Hay varios límites del proceso que definen la capacidad productiva tanto de la
computadora portátil como la de escritorio:
1.- Cada computadora (portátil o escritorio) requiere un microprocesador. Debido a la escasez de
estos productos en el mercado, INTEL les ha asignado solamente 10,000 unidades trimestrales..
2.- Cada computadora requiere de memoria RAM. La memoria viene en 16MB por tarjeta. Una
computadora portátil requiere 16MB de memoria instalada (es decir, necesita 1 tarjeta RAM)
mientras una computadora de escritorio tiene 32MB (ó sea, requiere 2 tarjetas RAM). COMPAQ
dispone en inventario 15.000 tarjetas RAM para el próximo trimestre.
3.- Cada computadora requiere un tiempo de ensamblaje. Debido a las estrechas tolerancias para
ensamblar una computadora portátil, esta tarda un tiempo de 4 minutos contra 3 minutos para una
computadora de escritorio. Hay 25,000 minutos disponibles de tiempo de ensamblaje para el
próximo trimestre
Bajo las actuales condiciones del mercado, costos de los materiales y sistema productivo, la
venta de cada computadora portátil genera $ 750 US de ganancia y cada computadora de
escritorio produce $1000 ganancia.
28
Hay muchas preguntas que COMPAQ podría hacer. Por ello, aplicando el método Gráfico,
determinar la respuesta desde la más obvia que es ¿Cuántos computadoras de cada tipo debe
fabricar COMPAQ en el próximo trimestre para maximizar sus beneficios?, hasta las otras
preguntas, menos obvias, pero de interés para la gerencia de la empresa, entre ellas, ¿Cuánto
estaría dispuesta a pagar COMPAQ por una memoria RAM adicional? ¿Qué efecto tiene sobre la
ganancia, la perdida de 1,000 minutos de tiempo de ensamblaje por fallas en una de sus
máquinas? ¿Que ganancia se requiere para justificar la fabricación de una computadora portátil
con 32 MB de RAM?
2.57
Un ejecutivo de una empresa tiene $100.000 para invertir. Tiene dos inversiones: A y B. El
Plan A garantiza que por cada dólar invertido, se obtendrán $0,70 al final de un año (se entiende
que no puede fraccionarse este lapso de tiempo). El Plan B garantiza que por cada dólar
invertido, se obtendrán $2,00 al final de un período de dos años (se entiende que no puede
fraccionarse este lapso de tiempo). Aplicando el método SIMPLEX, asesore al ejecutivo para
obtener el mejor rendimiento por su dinero durante un período de tres años.
2.58
La empresa McDonald’s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso.
La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa
con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La
utilidad neta es la siguiente: 0,20$ por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0,15 por cada
hamburguesa con queso. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en
total. Aplicando el método SIMPLEX, determine la máxima utilidad que obtiene McDonald's.
2.59
Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una
empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9
conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de
los grandes cuesta 8000 Bs. y el de cada uno de los pequeños, 6000 Bs. ¿Utilizando el Método
SIMPLEX, cuantos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más
económico posible?
2.60 A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una
mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones:
No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g.
La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B.
No debe incluir más de 100 g de A
Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de
vitaminas y 150 calorías, utilizando el método SIMPLEX:
a) ¿Cuántos gramos de/c producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en
vitaminas?
b) ¿Y el más pobre en calorías?
2.61 Una compañía petrolífera requiere diariamente 9 Tm, 12 Tm y 24 Tm de petróleo de calidad alta,
media y baja respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce
diariamente 1 Tm, 3 Tm y 4 Tm de calidades alta, media y baja respectivamente. La refinería B
produce 2 Tm de cada una de las tres calidades. El coste diario de cada una de las refinerías es
de 20.000.000 de Bs. ¿Utilizando el método SIMPLEX, ccuántos días debe de trabajar cada
refinería para que el costo sea mínimo?
29
2.62 Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La
producción de estos está definida por las siguientes condiciones:
La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B.
La producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se
producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta
que une los puntos anteriores.
Dar la función objetivo de la venta de ambos productos.
Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.
Utilizando el Método SIMPLEX, determinar los kilos que se han de producir de cada producto
para obtener el máximo beneficio.
2.63 Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un reconstituyente de manera que cada frasco
contenga al menos 4 unidades de vitamina A, 23 unidades de vitamina B y 6 de vitamina C. Para
suministrar estas vitaminas se emplea un aditivo M que cuesta 10 Pesos. el gramo, el cual
contiene 4 unidades de vitamina A, 6 de B y 1 de C y un aditivo H a un costo de 16 Pesos. por
gramo que contiene 1 unidad de vitamina A, 10 de B y 6 de C. ¿Utilizando el Método
SIMPLEX, cuántos gramos de cada aditivo se deben incluir en cada frasco para minimizar el
costo?
2.64 Un expendio de carnes acostumbra a preparar la carne para hamburguesas con una
combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de
carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda Bs. 800 por kilo. La carne de cerdo contiene 68% de
carne y 32% de grasa, y le cuesta Bs. 600 el kilo. El expendio no desea que el contenido de grasa
de un kilo de hamburguesa preparada sea superior al 25%. Aplicando el método SIMPLEX,
¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda para preparar un kilo de
hamburguesas a fin de minimizar los costos?.
2.65 Una empresa láctea plantea la producción de dos nuevas bebidas. producir un litro del primer
tipo de bebida cuesta 2$, mientras que un litro del segundo tipo de bebida cuesta 5$. Para
realizar el lanzamiento comercial se necesitan más de 6.000.000 litros de bebida, aunque del
segundo tipo no podrán producirse (por limitaciones técnicas) más de 5.000.000. Además, se
desea producir más cantidad de bebida del segundo tipo que del primero. ¿Cuántos litros habrá
que producir de cada tipo de bebida para que el costo de producción sea mínimo?
2.66 Usted tiene 60 hectáreas de tierra que aún no ha cultivado, y piensa trabajarlas para la próxima
temporada junto a sus dos hijos, Pedro y Javier. Pedro insiste en sembrar ajo, pues tiene una
ganancia neta mayor: sacarían $300 por ha., una vez descontados los gastos, que son de $10 por
ha. Javier quiere sembrar tomate, que tiene una ganancia neta de $200 por hectárea, pues están
escasos de agua, y el tomate necesita menos agua que el ajo: 1 m3 por ha., contra 2 m3 por ha.
para el ajo. (Disponen para la época crítica de sólo 100 m3 de agua). Su administrador, por su
parte, hace notar que sólo tienen $1200 para comprar semillas, contratar obreros y otros gastos,
así que no les alcanza el dinero para sembrar tomate, ya que los gastos son de $30 por hectárea..
Evalúe las sugerencias de sus hijos Pedro y Javier. ¿Puede usted mejorar estas sugerencias?
30
2.67 Una compañía petrolera produce un tipo de gasolina a partir de petróleo. Puede comprar cuatro
tipos de petróleo y dispone de los siguientes datos:
Crudo
1
2
3
4
A
0,8
0,3
0,7
0,4
B
0,1
0,3
0,1
0,5
C
0,1
0,4
0,2
0,1
Precio
(Bs/lit)
43
31
47
37
A, B y C denotan los elementos a partir de los cuales se puede producir cada tipo de crudo. La
tabla muestra los porcentajes de cada elemento en cada crudo producido. Las exigencias del
mercado imponen que el crudo de base para la obtención de gasolina debe tener al menos el 60%
del elemento A y no más del 30% de C. Obtenga el crudo base mezclando los cuatro tipos
anteriores de forma tal que el coste sea mínimo.
2.68 Usted dispone de 2.200 euros para invertirlos durante los próximos cinco años. Al inicio de cada
año puede invertir parte del dinero en depósitos a un año o a dos años. Los depósitos a un año
pagan un interés del 5 %, mientras que los depósitos a dos años pagan un 11% al final de los dos
años. Además, al inicio del segundo año es posible invertir dinero en obligaciones a tres años de
la empresa Kola, S.A., que tienen un rendimiento (total) del 17 %. Plantea y resuelva el
problema lineal correspondiente a fin de lograr que al cabo de los cinco años tu capital sea lo
mayor posible.
2.69 Resolver los incisos abajo indicados para el siguiente modelo:
Min Z = 3X + 2Y
s. a:
X + Y
≥ 4
X
≥ 1
Y
≥ 1.5
X, Y ≥ O
g)
h)
i)
j)
Plantear el modelo Dual.
Resolver por el método gráfico si es posible.
Resolver por el método Simplex.
Hacer el análisis pos-óptimo del coeficiente C1 de la función objetivo.
31
TRANSPORTE: (problema planteado y resuelto con el software LINDO)
Los estados de Sinaloa, Nuevo León y Campeche, producen 2000, 1848 y 722 toneladas de trigo
respectivamente, se requieren 2000, 1800 1722 toneladas en los estados de Morelos, Tlaxcala y
Chihuahua respectivamente.
Los costos de transportación por tonelada en unidades monetarias se indican en la siguiente
tabla:
SINALOA
NUEVO LEON
CAMPECHE
MORELOS
20
25
16
TLAXCALA
16
22
19
CHIHUAHUA
12
9
25
Resuelva los siguientes:
a) Defina las variables de decisión.
b) Formule el modelo de programación lineal.
c) ¿Cuál será la mejor distribución del trigo a costo mínimo? (resolver por paquete de
computación)
a) Variables de decisión:
Xij= Cantidad de trigo en toneladas a transportar del origen i al destino j, donde i = 1, 2, 3
correspondientes.
b) Modelo de programación Lineal en el problema de transporte.
Minimizar Z= 20X11 + 16X12 + 12X13 + 25X21 + 22X22 + 9X23+ 16 X31 + 19X32 + 25X33
Sujeto a:
X11 + X12 + X13 ≥ 2000
X21 + X22 + X23 ≥ 1848
Restricciones de oferta
X31 + X32 + X33 ≥ 722
X11 + X21 + X31 ≥ 2000
X12 + X22 + X32 ≥ 1800
Restricciones de demanda
X13 + X23 + X33 ≥ 1722
Xij ≥ 0
c) Planteamiento con el software LINDO:
Min 20X11 + 16X12 + 12X13 + 25X21 + 22X22 + 9X23+ 16 X31 + 19X32 + 25X33
st X11 + X12 + X13 > 2000
X21 + X22 + X23 > 1848
X31 + X32 + X33 > 722
X11 + X21 + X31 > 2000
X12 + X22 + X32 > 1800
X13 + X23 + X33 > 1722
End
32
Resultado:
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 78232.00
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
X11
200.000000
0.000000
X12 1800.000000
0.000000
X13
0.000000
8.000000
X21
126.000000
0.000000
X22
0.000000
1.000000
X23 1722.000000
0.000000
X31 1674.000000
0.000000
X32
0.000000
7.000000
X33
0.000000
25.000000
XIJ
0.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
0.000000
-4.000000
3)
0.000000
-9.000000
4)
952.000000
0.000000
5)
0.000000
-16.000000
6)
0.000000
-12.000000
7)
0.000000
0.000000
8)
0.000000
0.000000
NO. ITERATIONS=
6
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
X11
20.000000
8.000000
1.000000
X12
16.000000
1.000000
12.000000
X13
12.000000
INFINITY
8.000000
X21
25.000000
0.000000
8.000000
X22
22.000000
INFINITY
1.000000
X23
9.000000
8.000000
0.000000
X31
16.000000
4.000000
0.000000
X32
19.000000
INFINITY
7.000000
X33
25.000000
INFINITY
25.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
2 2000.000000
952.000000
200.000000
3 1848.000000
952.000000
126.000000
4 722.000000
952.000000
INFINITY
5 2000.000000
INFINITY
952.000000
6 1800.000000
200.000000
952.000000
7 1722.000000
126.000000
952.000000
8
0.000000
0.000000
INFINITY
33
TRANSPORTE (Problemas sin resolver).
2.70 Se construyen los tramos de carretera A, B ,C, en una zona y se cuenta con las plantas de asfalto
X, Y, Z ; la cantidad diaria de asfalto que requiere cada tramo se muestra en la siguiente tabla:
TRAMO REQUERIMIENTO (m3/DIA)
A
800
B
900
C
700
Las cantidades de asfalto que produce cada planta son:
PLANTA
PRODUCCION (m3/DIA)
X
800
Y
900
Z
650
Los costos de transportación por m3en unidades monetarias son:
A
B
C
X
1
2
3
Y
1
3
4
Z5
4
1
Desarrolle los siguientes incisos:
a)
Defina las variables de decisión.
b)
Formule el modelo de programación lineal.
c)
¿Cuál será la mejor distribución del asfalto a costo mínimo? (resolver por paquete de
computación)
2.71 Una compañía tiene tres plantas de manufactura, P1, P2, y P3, que pueden producir cualquiera
de los tres productos diferentes A, B, y C. En la tabla se muestran los diferentes costos
variables de cada planta.
A
B
C
P1
4
5
6
P2
9
6
7
P3
8
10
4
La demanda de productos y las capacidades de las plantas son las siguientes:
La demanda de los diferentes productos es:
PRODUCTO
UNIDADES /
SEMANA
A
20
B
40
C
45
Las capacidades de cada una de las plantas son:
PLANTA
UNIDADES /
SEMANA
P1
30
P2
40
P3
50
a) Defina las variables de decisión.
b) Formule el modelo de programación lineal.
c) ¿Cuál será la mejor distribución de los tres productos a costo mínimo? (resolver por
paquete de computación)
34
2.72 La compañía constructora “LA TORRE”, desea conocer como transportar a costo mínimo el
material de asfalto para la construcción de una carretera; la siguiente tabla proporciona los
costos de transporte de cada una de las plantas procesadoras de asfalto a los sitios de
descarga(tramos), su disponibilidad y su demanda .
Tamo
Planta
A
B
DEMANDA
1
2
3
DISPONIBILIDAD
15
12
2
20
29
4
11
38
5
4
6
a) Defina las variables de decisión.
b) Formule el modelo de programación lineal.
c) ¿Cuál será la mejor distribución del asfalto a costo mínimo? (resolver por paquete de
computación)
2.73 La comisión Federal de Electricidad, tiene en su área cercana a Caborca, Sonora, cuatro
termoeléctricas que se abastecen de carbón, en tres minas cercanas. Cada una de esa minas
produce 750, 300 y 400 toneladas de carbón respectivamente. Cada termoeléctrica debe producir
125, 175, 300 y 200 Mega watts, respectivamente. El costo de producción de una tonelada de
carbón es de $10, $15 y $20 en las minas 1,2 y 3 respectivamente. El costo de transportar una
tonelada de carbón de la mina a la termoeléctrica se da en la siguiente tabla.
TERMOELÉCTRICA
MINAS
1
2
3
1
5
4
7
2
4
6
5
3
3
7
4
4
2
3
4
La eficiencia de las termoeléctricas es tal que una tonelada de carbón produce 0.5 Mega watts en
la termoeléctrica uno, 0.5 Mega watts en la termoeléctrica dos, 1/3 Mega watts en la
termoeléctrica tres y 0.25 Mega watts en la termoeléctrica cuatro.
a) Defina las variables de decisión.
b) Formule el modelo de programación lineal.
c) ¿Cómo debe distribuir el carbón para minimizar el costo total y cuál es la potencia
producida en cada termoeléctrica?
35
CAPITULO 3.- PRINCIPIOS DE REDES.
FLUJO MÁXIMO (Problema Resuelto)
Una Ciudad es atravesada por una red
interestatal de carreteras de norte a sur que le
permite alcanzar un nivel de 15,000
vehículos/hora en el horario pico. Debido a un
programa de mantenimiento general, el cual
exige cerrar dichas vías, un grupo e ingenieros
ha propuesto una red de rutas alternas para
cruzar la ciudad de norte a sur, la cual
incorpora avenidas importantes.
La red propuesta es la siguiente, incluye número
de vehículos (miles) que pueden circular por
dichas vías.
CADENA 1
CADENA 2
CADENA 3
CADENA 4
CADENA 5
R. El flujo de la red propuesta es de 13 000
vehículos, por lo que se concluye que es
insuficiente, ya que la demanda es de 15 000.
Investigación de Operaciones
M.C: Eduardo Bustos Farías
Edit. IPN, México 2003
36
FLUJO MÁXIMO (Problemas sin resolver)
3.1
Determinar el flujo máximo en la red siguiente:
3.2
La empresa MAQUIPES produce repuestos para maquinaria pesada en su planta ubicada en la
ciudad de Nuevo León (NL), los cuales deben de enviar a su centro de distribución ubicado en la
ciudad de México (CM). La planta produce mucho más de lo que puede enviar a este solo centro
de distribución, por ello, el factor limitante de cuanto puede enviar esta dado por la demanda de
la red de distribución de la compañía mostrada en la siguiente red.
0
FLUJO
NETO
CHI
0
BCN
50
NL
0
70
40
SLP
50
40
VER
0
3.3
60
80
0
0
0
0
PUE
0
CM
FLUJO
NETO
70
30
Una ciudad dispone de una red de agua potable desde la planta potabilizadora hasta la torre
tanque donde funciona el reservorio de la ciudad. Actualmente el sistema esta subutilizado y la
gerencia de la firma esta interesada en optimizar el uso de la red disponible. Este modelo se
formulo en base a encontrar el flujo máximo desde la planta potabilizadora (nodo A) hasta la
torre tanque de reserva (nodo G). Los números asignados a cada arco representan las
capacidades de cada tubería.
3
B
2
B
2
4
D
2
A
d
d
d
d
8
1
G
5
C
4
F
37
3.4
El sistema Cutzamala es un sistema hidráulico de almacenamiento, conducción, potabilización y
distribución de agua dulce, este sistema está ubicado en la cuenca de México y se requiere
determinar cuál es la máxima cantidad de agua que se puede enviar para la población e industria
de la zona metropolitana, usando plantas de bombeo y tuberías alternativas. La capacidad de las
tuberías se muestra en cada arco de la red (en millones de metros cúbicos por día), los nodos
representan a las Plantas de bombeo.
20
15
5
2
30
Cuenca de
México
25
50
60
50
4
7
3
6
30
3.5
75
8
30
20
10
15
20
20
1
9
11
Zona
Metropolitana
20
10
20
Cierto número de refinerías están conectadas a una fuente terminal a través de una red de
oleoductos, en los oleoductos de diferentes capacidades están montadas unidades de bombeo de
que impulsaran los productos derivados del petróleo hasta las terminal de distribución, se quiere
saber cuál es la cantidad máxima que pueden bombear las refinerías entre la fuente y la terminal
de distribución.
1
3
4
Flujo
Neto
4
2
7
Flujo
Neto
3
2
O
D
5
4
8
5
3
6
38
3.6
El gobernador del estado de México quiere organizar un recorrido en bicicleta para mostrar las
mejoras que ha hecho en la capital de su entidad, este empezara en la entrada Oeste de la ciudad
y terminara en el Palacio de gobierno, quiere que el recorrido sea de lo mejor posible para no
lastimar su popularidad, ya que es sabido por todos que aspira a la presidencia de la república;
ha pedido a sus especialistas que distribuyan a los ciclistas por diferentes rutas, pero pasando por
algunas de las calles que han sido remodeladas, lo cual se torna complicado en el paso por el
centro de Toluca ya que las calles son muy diferentes en cuanto a tamaño se refiere, se ha hecho
un estudio de la capacidad que tendrían estas vías para el paso de ciclistas por minuto a una
velocidad promedio de las bicicletas, con este estudio se obtuvo el siguiente mapa, donde en los
arcos se representa la cantidad máxima de ciclistas por minuto que pueden pasar sin que entre
ellas se atropellen al pedalear, encuentre la máxima cantidad de ciclistas que pueden circular del
principio al final.
D
8
inici
o
B
13
14
29
F
20
12
24
22
3
G
14
J
4
C
3.7
11
E
4
19
I
8
6
A
14
K
5
30
6
fin
20
20
L
H
El poblado de San José Iturbide, Gto. utiliza un sistema de distribución de agua potable que ha
sufrido una avería, mientras se arregla el desperfecto, el poblado puede abastecerse de una red de
tuberías alterna que se muestra en la siguiente figura, se indican ahí las capacidades de cada uno
de las estaciones bombeadoras (en m3/h). Encontrar cuál será el flujo máximo de agua que puede
recibir el poblado de San José Iturbide sirviéndose de la red alternativa.
39
3.8
Considere la siguiente red de distribución de varilla de la empresa Hylsa: la varilla debe ser
enviada de dos de sus fabricas, una de ellas se encuentra en el distrito federal (df) y la otra en
monterrey (my) a los centros de distribución que se encuentran ubicados en Guadalajara (gd) y
puebla (pu), se tienen dos restricciones: la fabrica que se encuentra en monterrey solo puede
producir 50 toneladas mensuales y la fabrica ubicada en el (df) no puede producir más de 130
toneladas, mientas que en los centros de distribución se tienen las siguientes restricciones, como
no pueden enviar más varilla de la que almacenan tenemos que: puebla solo almacena 50
toneladas por mes y Guadalajara 130 toneladas.
En la siguiente tabla se muestra la capacidad de material que se puede enviar por cada camino
que conecta a las ciudades:
Desde
Hasta
Capacidad (toneladas)
Monterrey (my)
Aguascalientes (ag)
60
Monterrey (my)
Oaxaca (oa)
20
Aguascalientes (ag)
Matamoros (mt)
40
Matamoros (mt)
Puebla (pu)
20
Oaxaca(oa)
Ensenada (en)
60
Ensenada(en)
Guadalajara (gd)
80
Distrito federal (df)
Oaxaca (oa)
50
Distrito federal (df)
Villahermosa (vi)
70
Distrito federal (df)
Morelia (mo)
40
Villahermosa (vi)
Ensenada (en)
40
Villahermosa (vi)
Querétaro (qr)
50
Morelia (mo)
Querétaro (qr)
30
Querétaro (qr)
Guadalajara (gd)
70
Matamoros (mt)
Guadalajara (gd)
10
Aguascalientes (ag)
Ensenada (en)
30
Ensenada (en)
Puebla (pu)
40
En la siguiente tabla se muestra el costo unitario que exixte entre las ciudades por las que pasa el
material.
Desde
Hasta
Costo $
my
ag
2000
my
oa
2400
ag
my
5700
my
pu
3000
oa
en
5900
en
gd
4200
df
oa
2900
df
vi
2500
df
mo
3200
vi
en
5400
vi
qr
6800
mo
qr
6100
qr
gd
3100
mt
gd
3400
ag
en
6300
en
pu
4000
¿Cuál es el flujo máximo con las restricciones pertinentes? (ubicarlo en la red)
¿Cuál es el costo total con las restricciones planteadas?
40
3.9
Acabo de comprar (en el tiempo 0) un automóvil nuevo por $12,000. El costo de mantener un
automóvil durante un año depende de su edad al comienzo del año, como se da en la tabla 1.
Para evitar costo de mantenimiento altos con un automóvil más antiguo, podría entregar a cuenta
mi automóvil y comprar uno nuevo. El precio que recibo por dejar a cuenta mi automóvil
depende de la edad del automóvil al momento de intercambio (véase la tabla 2). Para simplificar
los cálculos suponga que en cualquier instante de un automóvil nuevo son $12,000. El objetivo
es minimizar el costo neto (costo de compra + costo de mantenimiento - dinero recibido en el
intercambio) en que se incurren los cinco años siguientes.
Tabla 1
Tabla 2
Costos de mantenimiento del automóvil
Edad del automóvil
Costo de mantenimiento anual
(años)
($)
0
2,000
1
4,000
2
5,000
3
9,000
4
12000
Precios de intercambio del automóvil
Precio de intercambio
Edad del automóvil
($)
(años)
7,000
1
6,000
2
2,000
3
1,000
4
0
5
3.10 El Sistema de tuberías que une el municipio de Ecatepec con la presa el Vicente Guerrero en
Hidalgo, está en reparación, para no dejar sin agua al municipio de Ecatepec se requiere
determinar cuál es la cantidad máxima de agua que se le hacer llegar municipio, utilizando las
estaciones de bombeo y tuberías alternativas. El gasto que puede llevar cada tuvo se muestra en
los arcos del diagrama y está en m3/s, los nodos representan la estaciones de bombeo.
41
3.11 La compañía estatal de petróleo cuenta con una red de oleoductos que utiliza para transportar
petróleo desde su refinería hasta diversos centros de almacenamiento, la capacidad de los
oleoductos se encuentra en cada arco de la red, de la siguiente figura. Obtener el flujo máximo.
2
0
3
3
2
2
2
6
5
5
0
2
3
7
0
2
1
0
3
6
5
2
1
3
6
1
4
0
2
3.12 |La Compañía Nacional de Subsistencias Populares (CONASUPO) tiene un programa anual de
costalera. Esta se compra de dos fábricas, una en Mérida con capacidad de producción máxima
de 10 millones de costales al año, otra en Saltillo con capacidad de producción máxima de 7
millones de costales al año. Los excedentes en la fábrica de Mérida pueden transferirte a la
planta de Saltillo 8 millones de costales al año.
La disponibilidad de transporte entre las dos fábricas permite un máximo de 8 millones de
costales por año. Hay tres centros almacenadores: en la ciudad de México, Guadalajara y
Oaxaca.
En esta tabla se proporciona la capacidad máxima anual de transporte de las fábricas a los
centros almacenadores.
Origen \ Desatino
México
Guadalajara Oaxaca
Saltillo
4
8
Mérida
3
2
3
Los excedentes de Guadalajara y Oaxaca pueden transferirse a la Ciudad de México. La
capacidad máxima anual es de 3 y 4 millones de costales respectivamente. Una vez en los
centros almacenadores, los costales se entregan a los ejidatarios de la región. La capacidad
máxima anual de entrega es de 4 millones en la región almacenadora de Guadalajara, 7 millones
en la región del Distrito Federal y 5 millones en la región de Oaxaca. La pregunta es ¿Cuál es el
flujo máximo anual de costales nuevos que pueden circular en este sistema? El problema se
puede representar gráficamente en la red aquí mostrada.
Saltillo
2
0
8
0
4
0
3
0
7
1
0
0
10
Producción
8
3
2
Mérida
3
3
0
0
0
5
0
0
Guadalajara
4
4
4
6
7
D.F.
0
7
0
5
Oaxaca
Ejidatarios
42
3.13 La empresa de granos CARGILL, envía por tren sus productos desde Houston hasta San Luís.
Durante el invierno, la capacidad de envío por tren es limitada, por ello, considerando el número
de trenes diarios en las distintas redes de ferrocarril indicadas en el diagrama anexo, determinar
la cantidad diaria que puede enviar CARGILL por tren, si la capacidad de cada tren es de
300.000 kg.
Des Moines
8
Salt Lake
5
3
6
4
6
San Luis
Denver
4
2
Houston
8
7
6
Phoenix
Dallas
3.14 La empresa X produce repuestos para automóviles en su planta ubicada en la ciudad de ST, los
cuales debe enviar a su centro de distribución ubicado en la ciudad LA.
La planta produce mucho más de lo que puede enviar a este solo centro de distribución, por ello,
el factor limitante de cuanto puede enviar esta dado por la capacidad de la red de distribución de
la compañía.
El modelo de redes del problema es el siguiente:
43
3.15 La red de abastecimiento de agua potable que abastece a la ciudad de México ha sufrido un
desperfecto. Para cubrir las necesidades de la ciudad, se requiere determinar cuál es la máxima
cantidad de agua que se puede enviar usando estaciones bombeo y tuberías hidráulicas
alternativos. Las tuberías se muestran en cada arco de la red y las capacidades de flujo de cada
una están en millones de metros cúbicos por día.
2
15
0
30
0
1
5
20
0
60
0
20
0
100
3
250
500
4
30
0
150
7
9
15
0
20
0
50
0
8
75
0
30
0
6
20
0
1
1
20
0
1
0
3.16 Se desea transportar la mayor cantidad de agregados al concreto entre los nodos 0 y 10, la
capacidad máxima de los camiones que transitan por cada carretera está indicada en el arco, la
cual está en toneladas. ¿Cuál es la máxima cantidad de toneladas de agregados al concreto que se
puede enviar?
3.17 Tres refinerías envían su producto de gasolina a dos terminales. Las capacidades de aquéllas se
estiman en 200 000, 250 000 y 300 000 barriles por día. Se sabe que las demandas en las
terminales son de 400 000 y 450 000 barriles por día. La demanda que no se pueda satisfacer de
las refinerías se adquiere de otras fuentes. El producto de gasolina se transporta a las terminales
vía una red de conductos que son impulsados por tres estaciones de bombeo. La figura resume
los enlaces de la red junto con la capacidad de cada conducto. ¿Cuánto flujo debe pasar por cada
estación de bombeo?
44
3.18 Una ciudad dispone de una red de cañerías de agua potable desde la planta potabilizadora hasta
la torre tanque donde funciona el reservorio de la ciudad. Actualmente el sistema esta subutilizado y la
gerencia de la firma está interesada en optimizar el uso de la red disponible. Este modelo se formulo
en base a encontrar el flujo máximo desde la planta potabilizadora (nodo 1) hasta la torre tanque de
reserva. Los números asignados a cada arco representan los flujos máximos.
3
2
2
4
4
4
1
1
6
8
8
8
4
1
3
5
5
2
3.19 Una empresa dedicada a la extracción de agregados pétreos, quiere determinar cuál es la
cantidad neta; en este caso de arena que envían al D.F. medidos por carga de camiones volteo de
8 m3, para esto se tiene un esquema donde se representan los puntos por los que puede pasar
desde que salen de la mina principal, es de mencionar que en su recorrido parte de su carga se va
quedando en algunos puntos como parte de su mercado, así también en otros, nuevos
cargamentos salen de minas más pequeñas en dirección al D:F. de terminar ¿Cual es la cantidad
máxima que pueda llegar al D.F.?
15
2
20
10
1
Mina
6
12
3
25
8
15
DF
.
7
15
15
4
5
5
8
15
45
ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN (Problema resuelto).
La ciudad de Monterrey está planificando el desarrollo de una nueva línea de sistemas de
tránsito, el sistema debe comunicar los 8 puntos, de tal manera que la longitud de la red sea
mínima y que solo exista un solo camino para llegar de un punto a otro. A continuación se
presenta la Red conexa que une todos los puntos con las distancias entre ellos en decenas de
metros.
Solución aplicando el algoritmo gráfico para el cálculo del ‘Árbol de mínima expansión’.
Seleccionar el arco con menor valor,
para este caso es el (1,2) con longitud
igual a 28. Este arco forma parte del
árbol de mínima expansión.
46
De
los
nodos
seleccionados se marca el
arco de menor valor (2, 4)
este arco forma parte del
árbol
de
mínima
expansión.
El siguiente arco
seleccionado es el (4,3),
con 30m de longitud, en
este ejemplo se tiene una
rama del árbol.
Tener cuidado que el arco
seleccionado no forme un
ciclo.
Continuando con este
proceso, encontramos la
ramificación final, red que
representa la red optima:
De esta forma se tiene que
el árbol de mínima
expansión está compuesto
por los arcos:
(1, 2) = 28 m
(2, 4) = 32 m
(2, 5) = 35 m
(2, 7) = 37 m
(3, 4) = 30 m
(5, 8) = 38 m
(6, 7) = 36 m
Total 236 decenas de m.
La longitud mínima que
comunica a todos los
puntos es de 2360 metros.
47
Otra forma de resolver el problema es aplicando el algoritmo de la matriz booeliana modificada
para el cálculo del árbol de mínima expansión.
1 2 3 4 5 6 7
1 X - 28 33 - 40
2 X 28 - 34 32 35 41 37
3
33 34 - 30 50 4
- 32 30 - 39 5
- 35 50 39 - 45 6
- 41 - 45 - 36
7
40 37 - 36 8
- 55 - 38 43 44
1
1 X 2 X 28
3
33
4 X 5
6
7
40
8
-
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
2
28
34
32
35
41
37
-
8
55
38
43
44
-
3 4 5 6 7 8
33 - 40 34 32 35 41 37 - 30 50 - 55
30 - 39 50 39 - 45 - 38
- 45 - 36 43
- 36 - 44
55 - 38 43 44 -
1 2 3 4 5 6 7 8
X - 28 33 - 40 X 28 - 34 32 35 41 37 X 33 34 - 30 50 - 55
X - 32 30 - 39 - 35 50 39 - 45 - 38
- 41 - 45 - 36 43
40 37 - 36 - 44
- 55 - 38 43 44 -
X
X
X
X
X
1
28
33
40
-
2
28
34
32
35
41
37
-
3 4 5 6 7 8
33 - 40 34 32 35 41 37 - 30 50 - 55
30 - 39 50 39 - 45 - 38
- 45 - 36 43
- 36 - 44
55 - 38 43 44 -
Paso 1) Seleccionar el elemento de
menor valor de la tabla, si hay empate
seleccionarlo arbitrariamente, sea este
el elemento aij ; anular la columna ‘i’ y
la columna ‘j’ y marcar con X los
renglones i, j.
Paso 2) De los renglones marcados con
X marcar el elemento de menor valor,
sea este el elemento amn, anular la
columna ‘m’ y marcar con X el renglón
‘m’.
Para este ejemplo es el elemento a24=32
Paso 3) Seguir con el mismo
procedimiento hasta que se anulen todas
las columnas.
Para este ejemplo es el elemento a43=30
Paso 4) Seguir con el mismo
procedimiento hasta que se anulen todas
las columnas.
Para este ejemplo es el elemento a25=35
48
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4
X - 28 33 X 28 - 34 32
X 33 34 - 30
X - 32 30 X - 35 50 39
- 41 X 40 37 - 55 -
5
35
50
39
45
38
6
41
45
36
43
7
40
37
36
44
8
55
38
43
44
-
X
X
X
X
X
X
X
1
28
33
40
-
2
28
34
32
35
41
37
-
3 4 5 6 7 8
33 - 40 34 32 35 41 37 - 30 50 - 55
30 - 39 50 39 - 45 - 38
- 45 - 36 43
- 36 - 44
55 - 38 43 44 -
X
X
X
X
X
X
X
1
28
33
40
-
2
28
34
32
35
41
37
-
3 4 5 6
33 34 32 35 41
- 30 50 30 - 39 50 39 - 45
- 45 - 36
55 - 38 43
7
40
37
36
44
8
55
38
43
44
-
Paso 5) Seguir con el mismo procedimiento
hasta que se anulen todas las columnas.
Para este ejemplo es el elemento a27=37
Paso 6) Seguir con el mismo procedimiento
hasta que se anulen todas las columnas.
Para este ejemplo es el elemento a76=36
Paso 7) Seguir con el mismo procedimiento
hasta que se anulen todas las columnas.
Para este ejemplo es el elemento a58=38, dando
como terminado el procedimiento
De esta forma se tiene que el árbol de mínima expansión está compuesto por los arcos:
(1, 2) = 28
(2, 4) = 32
(2, 5) = 35
(2, 7) = 37
(4, 3) = 30
(5, 8) = 38
(7, 6) = 36
Total 236 decenas de metros
La longitud mínima que comunica a todos los puntos es de 2360 metros, coincidiendo este resultado
con el obtenido en el procedimiento gráfico anteriormente explicado.
49
ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSION (Problemas sin resolver)
3.20 La ciudad de La Paz, B.C. está planificando el desarrollo de una red de tránsito.
El sistema debe conectar ocho residencias y centros comerciales, de tal manera que el total de las
distancias que las une sea mínima.
55
Universidad
3
Zona Oeste
50
33
5
30
1
Distrito
Comercial
39
38
34
4
28
45
8
32
35
2
Zona Este
43
6
41
Zona
Centro
37
Shopping
Center
36
40
44
7
Zona Sur
3.21 La siguiente tabla muestra las distancias en millas entre 6 lugares de Irlanda. Dibujar la red
conexa y encontrar el árbol de mínima expansión que comunique a todos estos lugares.
Athlone
Dublin
Galway
Limerick
Sligo
Wexford
Athlone
78
56
73
71
114
Dublin
132
121
135
96
Galway
64
85
154
Limerick
144
116
Sligo
185
Wexford
-
3.22 Supóngase que la siguiente figura representa una red de ferrocarriles. Los números junto a cada
arco representan el tiempo que lleva el ferrocarril en recorrer la distancia de un nodo a otro en
horas. Determinar el mínimo tiempo que se puede hacer para pasar por todas las estaciones
2
2
1
4
2
3
4
3
3
1
2
5
4
6
50
3.23 El servicio de Parques Nacionales planea desarrollar una zona campestre para el turismo. Se han
señalado cuatro sitios en el área para llegar a ellos en automóvil. Los sitios y las distancias entre
ellos, se presentan en la tabla (millas).
Para dañar lo menos posible al medio ambiente, el Servicio de Parques desea minimizar el
número de millas de caminos necesario para proporcionar el acceso deseado. Determínese cómo
deberán construirse los caminos para lograr este objetivo.
Entrada al
parque
....
7.1
19.5
19.1
25.7
Entrada al parque
Cascada
Formación rocosa
Mirador
Pradera
Cascada Formación rocosa
7.1
19.5
....
8.3
8.3
....
16.2
18.1
13.2
5.2
Mirador
19.1
16.2
18.1
....
17.2
Pradera
25.7
13.2
5.2
17.2
....
3.24 En la construcción de un parque de diversiones el ingeniero encargado de llevar a cabo el control
de todas las actividades se le ha asignado encontrar la solución a las líneas telefónicas
subterráneas para establecer comunicación entre las estaciones, incluyendo la entrada. Como la
instalación es cara y perturba la ecología, se instalarán líneas que sigan sólo los caminos
necesarios para establecer comunicación entre cualquier par de estaciones. La pregunta es dónde
deben tenderse las líneas para lograr esto con el mínimo número total de millas de cable
instalado.
A
2
7
2
D
4
5
O
B
C
1
3
1
4
F
5
4
7
E
3.25 En un rally de Europa se tiene que completar un recorrido entre las ciudades de la A a la F, de
cualquiera manera que toque los seis puntos en el menor tiempo posible. Por lo que se desea
hacer un árbol de mínima expansión. La distancia entre las ciudades es la siguiente.
La siguiente tabla indica las distancias entre las ciudades en cientos de kilómetros.
A
A
B
C
D
E
F
7
15
11
7
10
B
7
11
18
3
12
C
15
11
27
8
13
D
11
18
27
18
20
E
7
3
8
18
9
F
10
12
13
20
9
51
3.26 El campus de la universidad estatal tiene 5 microcomputadoras. La distancia entre cada par de
computadoras (en cuadras de la ciudad) se da en la tabla 1. Las computadoras deben estar
interconectadas mediante un cable subterráneo. ¿Cuál es la longitud mínima de cable requerido?
3.27 La maderera El Pino talará árboles en 8 zonas de la misma área. Pero antes debe desarrollar un
sistema de caminos de tierra para tener acceso a cualquier zona desde cualquier otra. La
distancia (en millas) entre cada par de zonas es:
Distancia entre pares de Zonas
ZONAS
1
2
3
4
5
6
7
8
1
-
1.3
2.1
0.9
0.7
1.8
2.0
1.5
2
1.3
-
0.9
1.8
1.2
2.6
1.5
1.1
3
2.1
0.9
-
2.6
1.7
2.5
1.9
1.0
4
0.9
1.8
2.6
-
0.7
1.6
1.5
0.9
5
0.7
1.2
1.7
0.7
-
0.9
1.1
0.8
6
1.8
2.6
2.5
1.6
0.9
-
0.6
1.0
7
2.0
2.3
1.9
1.5
1.1
0.6
-
0.5
8
1.5
1.1
1.0
0.9
0.8
1.0
0.5
-
El problema es determinar los pares de zonas entre los que debe construirse caminos para
conectar todas con una longitud de caminos total mínima.
a)
Dibuja la red conexa
b)
Utiliza el algoritmo para resolver este problema.
52
3.28 Un banco ha decidido conectar terminales de computadora en cada una de sus sucursales a la
computadora central de su oficina matriz mediante líneas telefónicas especiales con dispositivos
de telecomunicaciones. No es necesario que la línea telefónica de una sucursal este conectada
directamente con la oficina matriz, La conexión puede ser indirecta de otra sucursal que esté
conectada (directa o indirectamente) a la matriz. El único requisito es que exista alguna que
conecte a todas las sucursales con la oficina matriz.
El cargo por las líneas telefónicas especiales es directamente proporcional a la distancia
cableada, en donde esta distancia en millas es:
Matriz
Oficina
matriz
Sucursal 1
Sucursal 2
Sucursal 3
Sucursal 4
Sucursal 5
---190
70
115
270
160
Distancia entre pares de oficina
S.1
S.2
S.3
190
--100
240
215
50
70
100
--140
120
220
115
240
140
--175
80
S.4
S.5
270
215
120
175
--310
160
50
220
80
310
---
Determinar cuáles son los pares de sucursales que deben conectarse con las líneas telefónicas
especiales de manera que cada una quede conectada (en forma directa o indirecta) a la oficina
matriz a un costo mínimo. Dibuje el árbol de mínima expansión
3.29 Suponga que en la red que se muestra en la figura, los nodos son centros de consumo eléctrico y
los números en los arcos son distancias en kilómetros. Se trata de encontrar el árbol que, con una
longitud total mínima, comunica a todos los nodos. El costo de tendido de cable eléctrico es
proporcional a la distancia por lo tanto se podrá encontrado con la distancia mínima, también el
costo mínimo.
53
3.30 CFE tiene que suministrar energía eléctrica a varias comunidades, para esto pide a sus ingenieros
que determine la conexión entre comunidades de manera que se ahorre lo más posible en
cableado utilizando el siguiente árbol de mínima expansión.
3.31 Una empresa de Telecomunicaciones desea saber como comunicar todos los nodos de su red de
manera que se minimice la distancia total por la que tiene que viajar la señal, la red se muestra
en la figura siguiente
55
4
2
3
6
5
2
3
1
5
3
2
1
5
6
3
2
7
4
1
0
4
3
4
1
3
8
2
1
9
3.32 Dada la red conexa, que representa a la red de plomería de una casa, con nodos {A,B,C,D,E,F} y
los siguientes valores para las distancias entre conexiones. Se desea encontrar la cantidad
mínima cantidad de tubería que conecte a todos los nodos.
Nodos
A
B
C
D
E
F
6
9
11
5
9
A
6
3
6
5
2
B
9
3
4
4
C
11
6
5
6
D
5
5
4
5
8
E
9
2
4
6
8
F
a)
b)
c)
Dibuje la red conexa.
Determine el árbol de mínima expansión.
Dibuje el árbol de mínima expansión.
54
3.33 En el Proyecto Hidroeléctrico “La Yesca”, se desea informar a todo el personal que la obra
suspenderá labores mas temprano ese día por mal tiempo. Debido a que las líneas de
comunicación han fallado por el mismo motivo, la única manera de informar a todos los frentes
de trabajo lo más rápido posible, solo se lograra al recorrer la menor distancia posible. El
diagrama representa la obra, cuyos nodos son los frentes de trabajo y los arcos los caminos
disponibles con su longitud en kilómetros.
3.34 En un sistema de tuberías del estado de Chiapas, se desea establecer una cierta conexión entre
pozos (nodos) como se muestran en la figura, de tal manera que la distancia (km) para esta
conexión de tuberías sea la mínima.
7
2
9
4
7
3
8
5
6
1
2
4
1
1
3
5
6
3.35 La figura muestra la longitud de los enlaces factibles que conectan nueve fuentes de gas natural
mar adentro con un punto de reparto en tierra. Como la ubicación de la fuente 1 es la más
próxima a la costa, está equipada con la capacidad de bombeo y almacenaje suficiente para
bombear la producción de las ocho fuentes o pozos restantes al punto de reparto. Determine la
red de tubería que enlaza todas las fuentes al punto de reparto que minimizará la longitud total
de los gaseoductos.
55
3.36 Un centro regional de computo (CRC) debe instalar líneas especiales para comunicación, a fin
de conectar a 5 usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañía telefónica
local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una red costosa. Con el
propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (km) sea la menor posible.
4
2
5
2
5
3
3
1
4
4
1
3
2
4
3
4
6
3.37
En una residencia se tienen 7 puntos a conectarse con cable de electricidad, el ingeniero
eléctrico desea saber la forma de unirlos ahorrándose cable, el diagrama muestra las distancias
entre los puntos en decenas de metros.
4
7
8
6
7
0
3
4
2
5
4
5
3
2
1
1
1
6
3
2
6
2
56
EL CAMINO MÁS CORTO (Problema resuelto).
De la siguiente red se requiere determinar la
ruta más corta para ir de una ciudad
representada con la letra “A” a otra ciudad
representada por la letra “G”. No hay una ruta
directa que conecte ambas ciudades por lo que
deberá pasar por otras ciudades representadas
con las demás letras. Las distancias ubicadas
sobre los arcos están expresadas en km.
Comenzando por el nodo A con una distancia
cero, este nodo queda incluido en la ruta, a el
se conectan los nodos B, C, D, donde se irán
rotulando de la siguiente forma [distancia
mínima desde el Nodo Inicial, Nombre del
nodo precedente].
Para el Nodo D, será: La distancia mínima
desde el Nodo precedente A al Nodo D es 15
por no haber otra alternativa, queda el rótulo:
[15, "A"] .
Al nodo C llegan dos arcos que tienen su origen en A y en D, La distancia desde A al nodo C es 8, y
desde D es la distancia que tiene en el rótulo mas la del arco = 15 +4 = 19: se toma el menor costo que
es el que viene de A quedando el rótulo [8, "A"].
La distancia desde A es 10, la distancia mínima al Nodo inicial desde C es: el la distancia del rótulo de
C: 8 + la distancia de C a B : 3 => 8 + 3 = 11. El mínimo es 10. Rótulo= [10, "A"].
Para el F: Desde C : 8 + 4 = 12 y desde D : 15 + 15 = 30. Entonces el Rótulo es [12, "C”]
Para el Nodo E: Desde B : 10 + 20 = 30 y desde C: 8 + 15 = 23 Rótulo : [23,"C"]
Por último para el Nodo G: la distancia desde E es 23 + 5 = 28 y desde F es 12 + 3 = 15 Rótulo [15, F]
Para calcular el camino más corto partimos del nodo G, cuyo rótulo indica que el nodo que le
antecede es el F; El rótulo de F indica que le antecede el nodo C y por último el rótulo de C indica
que le antecede el nodo A, por lo tanto la ruta más corta es la suma de los arcos (A, C), (C, F), (F, G) ,
que es 8+4+3=15
57
EL CAMINO MÁS CORTO (Problemas sin resolver)
3.38 Un camión debe repartir concreto de una planta de mezcla preparada a un sitio de construcción.
La siguiente red representa las distancias entre rutas disponibles desde la planta al sitio de
construcción. ¿Cuál es la ruta de la planta al sitio de la construcción de menor distancia?
1
2
4
1
7
3
Planta
1
6
Sitio de
Construcción
6
2
4
3
5
3
5
1
3.39 Existen 7 ciudades interconectadas, cada línea representa la trayectoria permitida de un ciudad
a otra, las distancias (o costos de transporte) entre ciudades están representados por un valor
sobre la línea.
Se pregunta por la secuencia de ciudades que dan la distancia mínima entre la ciudad
O(origen) y la ciudad D(destino).
A
6
4
E
3
O
5
4
7
25
B
6
5
3
D
8
2
F
7
C
3.40
Considérese una ciudad metropolitana con el área dividida en cuatro zonas y una red de
carreteras conectando las zonas. Los tiempos de viaje de un punto a otro están dados como
sigue.
Arco
Tiempo
de viaje
(1,2)
(2,4)
(2,5)
(3,2)
(4,3)
(5,1)
(5,4)
16
35
15
20
10
15
10
a) Dibuje la red.
b) Encuentre la asignación de tráfico de tiempo mínimo en la red
3.41 En la construcción de un parque de diversiones el ingeniero encargado de llevar a cabo el control
de todas las actividades se le ha asignado determinar qué ruta desde la entrada del parque O
hasta el mirador T, es la que tiene la distancia total más corta para la operación de los tranvías.
58
A
2
7
2
5
O
B
D
4
3
1
T
5
1
7
4
C
4
E
3.42 Considere el siguiente mapa de los Ferrocarriles Nacionales de México, donde las vías están
representadas por arcos y el número asociado al arco (i, j) representa el tiempo, en horas que
tarda un ferrocarril en recorrer el tramo de vía (i, j). Se desea calcular la ruta más corta del DF a
Veracruz.
Fuente: http://www.inf.utfsm.cl/~mcriff/fio/redes/redes.html
3.43 La siguiente red muestra el costo de peaje de las autopistas que hay entre las ciudades A, B, C, D
y E; encuentre cuál es la ruta de menor costo a seguir para llegar de A a E.
3.44 Al cuerpo de bomberos de la ciudad X se le presenta una disyuntiva, sobre cuál es la ruta que
debe seguir a la hora de atender emergencias en un sector de la ciudad alejado del sector donde
está ubicado el cuerpo. El modelo de redes del problema es el siguiente:
59
http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/gbriceno/IO-B2004/ruta%20mas%20corta.pdf
3.45 Considere una red telefónica, un mensaje puede tomar una cierta cantidad de tiempo sobre cada
línea (debido a la congestión, retardo en los switches, etc.).
Este tiempo puede variar considerablemente minuto a minuto y las compañías de
telecomunicaciones gastan mucho tiempo y dinero buscando la consecuencia de los retardos en
el sistema. Suponiendo un switch centralizado que conoce sus retardos, se puede rutiar una
llamada de tal forma de minimizar los retardos. La figura muestra el mayor retardo para cada
trayectoria desde el nodo 1 hasta el nodo 6 ¿Cómo poder determinar la trayectoria más rápida?
2
2
1
1
7
4
8
8
1
5
6
3
7
2
3
3
5
60
3.46 Dentro de las distintas plantas de proceso que constituyen una refinería se encuentran la planta
de desintegración catalítica. Se requiere enviar el producto de esta planta localizada en el nodo
A, a los tanques de almacenamiento que se localizan en el nodo H. Existen varios caminos
alternativos dentro de la refinería, que pasan por diversas plantas representadas en cada nodo. La
distancia se indica en kilómetros y se desea saber cuál es el camino más corto entre la planta de
desintegración catalítica y el área de almacenamiento.
3.47 El Parque de chapultepec está organizando de tal manera que se dispone de una entrada y una
serie de senderos que pasan por 5 estaciones intermedias que conducen al mirador, el cual
representa la estación terminal. El administrador del parque debe resolver el siguiente problema
propio de la gestión del parque. Determinar la ruta más corta desde la entrada al mirador.
61
3.48 El costo de un automóvil es de 12 000 Dólares, el costo de mantenimiento depende de la edad
del auto al inicio del año (ver tabla).Con la finalidad de evitar el costo de mantenimiento alto, se
da como cuota inicial de un nuevo que es valorado de acuerdo a su edad (ver tabla).La
preocupación es minimizar el costo neto incurrido en los próximos 5 años.
Precio De
Edad Precio Del
Mantenimiento Del
Auto Por
Anual
Auto Cuota Inicial
2000
1
7000
3.49
4000
2
6000
5000
3
2000
9000
4
1000
12000
5
50
El Ing. Fortín conduce diariamente a su trabajo, debido a que acaba de terminar un curso de
redes, él puede determinar la ruta más corta al trabajo. Desafortunadamente, la ruta seleccionada
está excesivamente patrullada por la policía y con todas las multas pagadas por exceso de
velocidad, la ruta más corta no es la mejor elección. Por consiguiente, El Ing. Fortín ha decidido
elegir una ruta que maximice la probabilidad de no ser detenido por la policía.
La red en la figura muestra las posibles rutas entre su hogar y el trabajo y las probabilidades
asociadas de que no lo detengan en cada segmento. Por consiguiente, la probabilidad de que no
lo detengan camino al trabajo es el producto de las probabilidades asociadas con los segmentos
sucesivos de la ruta seleccionada. Por ejemplo, la probabilidad de que no lo multen en la ruta
1 3  5  7 es 0.9 * 0.3 * 0.25 = 0.0675. El objetivo de Fortín es seleccionar la ruta
que maximice la probabilidad de que no lo multen.
0.8
0.35
4
2
6
0.2
0.5
0.6
1
0.4
0.1
7
0.9
0.25
3
0.3
5
62
3.50 En un restaurante en Londres se sirven piñas. Para asegurar su frescura las piñas son compradas
en Hawai y congeladas y son fletadas desde Honolulu hasta Heathrow en Londres, el siguiente
diagrama muestra las rutas posibles que las piñas podrían tomar.
Calcular el camino más corto con costos positivos:
3.51 En la siguiente red se requiere saber la ruta más corta de Guanajuato a la ciudad de México, ya
que un ingeniero civil tendrá una junta en la SCT. El nodo 1, indica Guanajuato y el 7 la Ciudad
de México. Y los datos sobre los arcos indican las distancias expresada en kilómetros.
5
10
8
2
2
1
1
5
1
4
10
6
7
4
4
3
7
3
63
3.52 El profesor Ernesto está en la ciudad 1 y debe estar en la ciudad 6 para un congreso en la noche de
ese mismo día, tiene varias rutas alternativas para llegar a la ciudad 6 desde donde se encuentra en la
ciudad 1. La siguiente red resume sus opciones para viajar.
La siguiente tabla muestra el modo de transporte con su tiempo y costo. Si el profesor gana un
salario de 15 unidades monetarias por hora, y la escuela no tiene recursos para financiarlo, ¿Cuál
sería la ruta que deberá escoger para minimizar el costo total del viaje?
RUTA
TRANSPORTE
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Tren
Avión
Taxi
Ómnibus
Tren
Ómnibus
Ómnibus
Taxi
Tren
Ómnibus
Taxi
Tren
Ómnibus
TIEMPO
(horas)
4
1
6
2
3.30
3
4.60
1
2.30
6.30
3.30
1.30
4.7
COSTO(unidades
monetarias)
120
115
590
100
150
150
200
150
150
250
500
100
200
64
3.53 Una constructora localizada en Sinaloa, busca transportar material de una población 1 hasta la
población 12 por la ruta más corta que exista, ya que el material es necesarios para terminar la
obra más rápido. A continuación se muestra la red carretera con sus distancias en Km.
3.54 La cadena de autobuses ETN quiere determinar el tiempo mínimo en el que un camión vaya de
la ciudad O, a la ciudad T. Para ello tiene toda una gama de posibilidades de carreteras por las
que puede circular el autobús, que a su vez unen distintas ciudades. La red carretera se muestra a
continuación y los valores en cada una de ellas indican las horas netas para ir de una ciudad a
otra.
A
7
2
2
5
D
5
0
T
4
B
2
3
4
1
7
C
E
4
65
3.55 La ciudad de Monterrey está planificando el desarrollo de una nueva línea de sistemas de
tránsito, el sistema debe comunicar los 8 puntos, de tal manera que la longitud de la red sea
mínima y que solo exista un solo camino para llegar de un punto a otro. A continuación se
presenta la Red conexa que une todos los puntos con las distancias entre ellos en cientos de
metros.
3.56 La pizzería “dominós paisa” recibió una llamada, y debe llevar un pedido del nodo A al nodo B
por la red siguiente, en donde los arcos, dirigidos y no dirigidos, representan calles de un sentido
y de doble sentido respectivamente y los nodos representan la intersección de las calles, además
la pizzería tiene todas la motocicletas en reparación por lo que el repartidor debe ir corriendo.
¿Cuál debe ser la ruta que siga el repartidor para que la pizza llegue lo mas calientita posible?
3.57 Renta-auto está desarrollando una política de reemplazo para su flota de coches para un
horizonte de 4 años de planificación. Al comienzo de cada año, se toma una decisión sobre si un
coche se debe mantener en funcionamiento o se sustituye.
66
Un coche debe estar en servicio un mínimo de 1 año y un máximo de 3 años. La siguiente tabla
muestra el costo de reposición en función de la campaña de un coche es adquirido y el número
de años de funcionamiento.
Años de funcionamiento
1
2
3
4
Costo de reposición en $ por años de operación
1
2
3
4000
5400
9800
4300
6200
8700
4800
7100
-----4900
-----------
El problema puede ser formulado como una red en la que los nodos 1 a 5 representan el
comienzo de los años 1 a 5. Arcos desde el nodo 1 (1 año) puede llegar a los arcos sólo 2,3 y 4
debido a que un vehículo debe estar en funcionamiento entre el 1 y 3 años. Los arcos de los otros
nodos se pueden interpretar de manera similar. La longitud de cada arco es igual al costo de
reposición. La solución del problema es equivalente a encontrar la ruta más corta entre los nodos
1y5
3.58 Suponga que cuando se envía potencia de la planta 1 (nodo 1) a la ciudad 1 (nodo 6), esta debe
pasar por subestaciones de retransmisión (nodos 2 al 5). Para cualquier par de nodos en los que
se puede transportar la potencia. Así, las subestaciones 2 y 4 están separadas 3 millas y la
potencia no se puede enviar entre la subestaciones 4 y 5. La CFE quiere que la potencia se envíe
de la planta 1 a la ciudad 1 para que recorra la distancia mínima posible, así que debe encontrar
la trayectoria más corta en la figura 1 que une el nodo 1 con el nodo 6.
Si el costo de enviar potencia fuera proporcional a la distancia que viaja la potencia, entonces
conocer la trayectoria más corta entre la planta 1 y la ciudad 1 sería necesario determinar los
costos de envió para la versión de transporte del problema de la CFE.
67
3.59 Tell-All, una compañía de teléfonos móviles, le da servicio a seis áreas geográficas. Las
distancias por satélite (en millas) entre las seis áreas se proporcionan en la figura, asi como el
direccionamiento de las señales de cada ciudad. Tell-All necesita determinar las rutas de
mensajes mas eficientes que se deben establecer entre las ciudades uno y seis.
Fuente: Hamdy A. Taha.
Investigación de Operaciones, segunda edición.
Editorial alfaomega.
3.60 Tomas pretende viajar en bicicleta desde su casa situada en Ciudad Satélite hasta Cuautla
Morelos para asistir a una fiesta, analiza que ruta le tomara menos tiempo para poder llegar al
evento. Las posibles rutas y el tiempo que tarda, expresan en el siguiente diagrama. El tiempo
está en horas.
¿Qué ruta le llevara menos tiempo para llegar a fiesta?
68
3.61 La siguiente red representa las rutas disponibles entre la planta y el sitio de construcción de una
empresa, cada ruta tiene una longitud d. ¿Cuál es la mejor ruta para llegar de la planta al sitio de
la construcción?
1
2
4
1
7
3
Planta
1
6
6
2
Sitio de
Construcción
4
3
5
3
5
1
Investigaciones de operaciones, Handy A. Taha,
3.62 Un transporte escolar se va a trasladar de la escuela representada por el nodo A, a la zona de
excursiones representada por el nodo G, atravesando otras poblaciones en camino al destino. Se
requiere determinar la ruta más corta en la cual el transporte escolar va a trasladarse. Distancias
marcadas en kilómetros
D
9
B
5
7
A
3
E
6
5
3
8
C
4
9
F
5
G
69
3.63 Un transportista debe realizar un flete a la ciudad de Mazatlán, el transportista debe partir de la
Cd. de México y tiene varias rutas posibles para llegar a su destino. Su contratista le dice que no
repare en gastos de casetas (nodos), pero que le urge que su producto este en el menor tiempo
posible en Mazatlán. Considerando que por cualquier ruta que elija el transportista su velocidad
será en promedio la misma, ¿Cuál será la ruta más corta que este puede elegir? Las posibles
rutas se muestran en la siguiente figura en Millas.
1
100
4
100
300
200
3
120
O
150
170
100
110
100
2
D
6
260
5
200
7
140
3.64 Un universitario tomo sin permiso el coche de su padre y tubo un pequeño accidente, estará
castigado hasta que pague el costo total de la reparación del vehículo, ha decidido liquidar lo
antes posible la deuda, después de ver las opciones decidió probar suerte como repartidor en un
restaurante. Sabe que entre más entregas haga más propinas recibirá, por eso conocer todas las
rutas posibles es vital. Después de un par de semanas en el trabajo, ha dominado bien casi todas
las rutas, pero aun tarda mucho en las entregas hasta la colonia más alejada de la ciudad,
después de varias pruebas no ha sabido cual es la formas más eficiente de llegar hasta allá. Así
que investigo en google maps todas las calles que llegan hasta allá y las longitudes de cada una.
Simplifico el mapa con líneas para las calles y con círculos las esquinas que estas forman; el
resultado es el que muestra a continuación. Ayude a este desafortunado universitario a encontrar
la ruta más corta entre el restaurante y la colonia en cuestión; nota: las distancias están en km.
1
8
4
16
Restauran
te
=R
2
6
12
2
9
10
10
2
2
9
1
13
3
5
1
Colonia
8
3
2
12
11
4
3
6
7
11
1
=C
3
4
70
3.65 Una línea de autobuses abrirá una nueva ruta que una dos comunidades de gran población A y J,
el problema es que existan diferentes vías para hacerlo, y no saben cuál elegir. Las vías están en
iguales condiciones y llegan al mismo fin así que se optó por buscar la vía más corta.
En el diagrama se muestran las diferentes rutas y sus distancias en kilómetros que hay entre los
puntos de enlace, identifique la más corta.
16
F
9
B
15
8
18
J
H
A
C
3
3
E
15
12
27
9
D
I
G
4
8
16
71
CAPITULO 4.- CONTROL DE PROYECTOS.
RUTA CRÍTICA (Cuestionario resuelto).
En los siguientes incisos especifique si es Verdadero (V) o Falso (F)
a.) Cada actividad ficticia tiene una duración cero ( ).
b.) Una sucesión de actividades de una red pueden formar un ciclo ( ).
c.) La ruta crítica presenta las actividades que tiene holgura total igual a cero ( ).
d.) Se puede demorar alguna actividad crítica y la duración del proyecto permanece igual ( ).
e.) La ruta crítica debe estar constituida solamente por la sucesión de actividades que deben ser
críticas ( ).
f.) En las actividades críticas la holgura libre también es cero ( ).
g.) Una actividad no crítica puede tener holgura libre diferente de cero ( ).
h.) Una actividad no crítica se puede programar en cualquier parte entre su terminación más
próxima y más tardía ( ).
i.) Una actividad no crítica con holgura libre igual a cero indica que el tiempo de inicio de una o
más actividades sucesivas dependerá de cuándo se complete esta actividad no crítica ( ).
j.) El cambio de recursos puede adelantar o retrasar el proyecto ( ).
k.) Es posible bajar la duración de una actividad sin que se incrementen los costos y los recursos. (
).
l.) Los tiempos de las holguras es fundamental para efectuar la nivelación de los recursos ( ).
m.) Es necesario actualizar periódicamente el programa de CPM ( ).
n.) La principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de
tiempo ( ).
o.) El CPM infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma probabilista ( ).
p.) La distribución de tiempo que supone el PERT para una actividad es una distribución Beta (
).
q.) El tiempo estimado de cada actividad se define por medio de los estimados de tiempo más
probable, optimista y el pesimista ( ).
Respuestas: a-V, b-F, c-V, d-F, e- V, f-V, g-V, h-F, i-V, j-V, k-F, l-V, m-V, n-V, o-F, p-V, q-V.
RUTA CRÍTICA (Problemas sin resolver).
4.1
¿Cuál es la matriz de secuencias que dio origen al siguiente diagrama de flechas?
B
A
E
D
C
F
H
G
4.2
Del diagrama de flechas del inciso anterior dibujar el diagrama de nodos.
72
4.3
Los cimientos de un edificio pueden terminarse en cuatro secciones consecutivas. Las
actividades para cada sección comprenden la excavación, cimbrado, colocación del acero y por
último el colado. El cavar una sección no puede comenzar hasta que la anterior se haya
terminado. Lo mismo se aplica al cimbrado, la colocación del acero y el colado del concreto 1.
a)
Especificar la tabla de orden
b)
La matriz de secuencias
c)
El diagrama de flechas.
4.4
Dibujar el diagrama de flechas correspondiente a las siguientes condiciones:
 A es el inicio del proyecto
 F y D pueden realizarse simultáneamente y las precede C
 B y C pueden iniciarse simultáneamente
 G depende de B
 E solo puede iniciarse hasta que D termine
 H solo puede iniciarse hasta que F y G terminen
 I depende de H y E
 I es la última actividad
4.5
Dibujar el diagrama de flechas correspondiente a las siguientes condiciones:
 A, B y C pueden comenzar simultáneamente.
 D no puede realizarse si A no se ha terminado.
 E y F deben seguir a C.
 B, D y E deben terminarse antes de que G y H se inicien.
 I depende de G.
 J depende de F.
 H, I y J son las últimas operaciones.
4.6
Para realizar un proyecto es necesario llevar a cabo las actividades A a T. Para representar la
secuenciación lógica y cronológica de estas actividades se utiliza la siguiente notación: X, Y >
W significa que X y Y no pueden iniciarse hasta que W se termine; W > X, Y significa que W
no puede iniciarse hasta X y Y se terminen. Las relaciones entre las actividades son: A, B y C
pueden iniciarse de inmediato; D, E > A; F >B; G, H > D; I > F, G; JK > C; M, L > J; N > K,
L; O > M, N; P >H, I, O; R, Q, >P; S > Q; T > R, S.
Dibujar el diagrama de actividades para este proyecto y etiquetar los nodos de manera tal que
(i, j) con i < j sea una actividad.
Actividad
Duración
Actividad
Duración
A
5
K
4
B
9
L
5
C
14
M
5
D
4
N
8
E
3
O
18
F
10
P
3
G
6
Q
6
H
12
R
13
I
10
S
5
J
3
T
7
73
4.7
En la figura se presenta la secuencia lógica y cronológica de las actividades que deben realizarse
en la ejecución de un proyecto constructivo; la duración de cada una en días se muestra sobre la
flecha correspondiente y se desea calcular la duración total del proyecto.
Se han introducido las actividades mudas con duración nula DC, GH e IJ. La primera es
necesaria porque AD y BC se deben terminar antes que CE y CG se inicien, pero AD sólo
precede a DH: La actividad muda GH se necesita porque CG, FG y DH preceden a HK pero
solamente CG y FG deben terminarse antes de que se inicien GI y GJ. La razón de IJ es
diferente, aquí se desea evitar que dos o más actividades tengan el mismo nodo inicial y el
mismo nodo terminal, ya que esto se presta a ambigüedades; esto es, como GI y GJ preceden a
IK y ellas se inician en el mismo nodo, se requiere de la actividad muda IJ para evitar que GI y
GJ tengan la misma identificación.
8
9
7
G
I
141
22
24
B
9
F
E
C
J
17
35
A
4.8
D
10
H
20
20
A partir del siguiente diagrama de flechas que contiene sus duraciones:
 Dibuje el diagrama de nodos y numérelo
 Calcule la tabla de tiempos y holguras
 Anote la duración del proyecto
 Señale en el diagrama la ruta crítica
3
3
7
4
6
3
4
5
7
8
8
R
U 9
T
A
C
R
Í
T
I
C
A
º
9
2
K
74
4.9
Una compañía constructora, ha estimado los tiempos que se anotan en la tabla como necesarios
para construir una cabaña:
actividad
Actividad
Activida Tiempo
d
esperado
Predece
(días)
soras
A
Pisos y plafón
B
5
B
Cimentación
3
C
Vigas del techado
A
2
D
Techado de madera tratada
C
3
E
Cableado eléctrico
A
4
F
Colocación de tejas.
D
8
G
Entablado de muros exteriores
H
5
H
Ventanas
A
2
I
Pintura
F,G,J
2
J
Tablero interior en muros
H,E
3
 Dibuje el diagrama de flechas
 Dibuje el diagrama de nodos y numérelo
 Calcule la tabla de tiempos y holguras
 Anote la duración del proyecto
 Señale en el diagrama la ruta crítica
4.10 En la siguiente lista se tienen las actividades en desorden para la construcción de una casa,
elabore la tabla de orden 1 y 2, asigne un número a cada una de las actividades del orden dos,
elabore la matriz de secuencias, el diagrama de flechas, el diagrama de nodos y la tabla de
tiempos y holguras.
ACTIVIDADES EN DESORDEN
TRABAJOS PRELIMINARES.
LIMPIEZA DEL TERRENO.
TRAZO Y NIVELACIÓN.
OBRA NEGRA.
EXCAVACIÓN.
CIMENTACIÓN.
DALAS DE CIMENTACIÓN.
ALBAÑAL Y REGISTROS.
MUROS Y CASTILLOS.
COLUMNAS..
TRABES (ARMADO, CIMBRADO Y
COLADO).
CIMBRADO DE LOSA.
ARMADO Y COLADO DE LOSA.
CURADO DE LOSA.
DESCIMBRADO.
RANURADO ELÉCTRICO Y DE
PLOMERÍA.
TERMINADOS.
PLOMERÍA.
ELECTRICIDAD.
FIRMES DE CONCRETO.
PISOS.
APLANADOS INTERIORES.
APLANADOS EXTERIORES.
HERRERÍA DE ALUMINIO.
AZULEJOS EN MUROS.
CARPINTERÍA.
PINTURA.
JARDINERÍA.
75
4.11 En un proyecto de mantenimiento luminoso de un estadio se tienen las siguientes actividades
con sus predecesoras y duraciones , determine:
 El diagrama de flechas.
 El diagrama de nodos.
 La Tabla de tiempos y holguras.
 Especifique la duración del proyecto.
 Marque la ruta crítica en el diagrama de nodos.
Código de
identificación
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
Actividad Duración
Actividad
precedente
inmediata
Integrar el equipo
1
Verificar lámparas quemadas
1
Obtener lámparas necesarias
B
2
Pintar estándares luminosos debajo de los bancos
A
14
Reemplazar lámparas quemadas
C
3
Desactivar el sistema
B
1
Verificar defectos en el cableado
A, F
4
Obtener alambre necesario
G
2
Limpiar lentes de las luces
A, F
6
Quitar alambres defectuosos
G
7
Cortar alambres nuevos para restituir defectuosos.
J, H
3
Verificar los aisladores de soporte de los alambres
J
2
Reemplazar los aisladores defectuosos.
L
2
Reemplazar alambre usado
M, K
4
Empalmar nuevo alambre con el antiguo
N
3
Aislar los empalmes
O
1
Pintar los bancos de luces
P
4
Reemplazar lentes rotos
E
4
Reactivar sistema
Q, D, I, R
1
Limpieza
R
2
76
4.12 De las actividades descritas en la siguiente tabla :
 Dibuja el diagrama de flechas
 Dibuja y numera el diagrama de nodos.
 Calcula la tabla de tiempos y holguras.
 Señala la ruta crítica en el diagrama de nodos.
 Especifica la duración del proyecto.
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
REFERENCIAS
Descripción
Actividad que le Duración (días)
precede
Selección de la música
--21
Aprendizaje de la música
A
14
Elaboración de copias y compra de libros
A
14
Pruebas
B,C
3
Ensayos del grupo
D
40
antecede
Ensayos individuales
D
40
Renta de candelabros
D
14
Compra de velas
G
1
Instalación y decoración de candelabros
H
1
Compra de artículos decorativos
D
1
Instalación de artículos decorativos
J
1
Alquiler de estolas para el coro
D
7
Planchado de estolas
L
7
Revisión del sistema de sonido
D
7
Selección de pistas musicales
N
14
Instalación del sistema de sonido
O
1
Ensayo final
E,F,P
1
Reunir al coro
Q,I,K
1
Programa final
M,R
1
BIBLIOGRAFÍA:
ANDER
ANDERSON, David R.; Sweeny Denis J. y Williams Thomas A. Métodos cuantitativos para los negocios. 9ª ed. México,
editorial Thomson, 2004, 822p.
EPPEN
EPPEN, G. D.; Gould F.J. y Schmidt C.P. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. 3ª ed. México, editorial
Prentice-Hall Hispanoamericana, 1992, 826p.
FLORES
FLORES ZAVALA, Víctor, Apuntes de Ingeniería de sistemas. México: UNAM, Facultad de Ingeniería, 1982 (Biblioteca del
Editor)
HILLIER
HILLIER, Frederick y Lieberman, Gerald. Introducción a la investigación de operaciones. 7ª ed. México, Editorial Mc Graw
Hill, 2001, 1223 p.
LINDO
LINDO, System. Software de optimización. http://www.lindo.com
MORENO
MORENO, Alberto, Apuntes del curso Teoría General de Sistemas Capítulo 1. 2ª edición. UNAM, Facultad de Ingeniería, 2010
MORENO
JAUFFRED, F. J.; Moreno Alberto y Acosta Jesús. Métodos de optimización. México, Ediciones Alfaomega, 1990, 720 p.
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MICROSOFT, Project Corporation. Software para el control de proyectos.
TAHA
TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. 2ª ed. México, Ediciones Alfaomega, 1992, 989 p.