CÓNICAS

CÓNICAS
Si hacemos girar una recta ( generatriz) sobre otra recta (eje) obtenemos una
superficie cónica :
La razón de llamarse CÓNICAS creo que es evidente viendo la forma cómo
se obtienen :
Este es el punto de vista geométrico, ahora vamos a verlo desde el punto de
vista analítico , es decir, vamos a obtener las ecuaciones de cada cónica en
función de sus condiciones analíticas.
CIRCUNFERENCIA :
lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo ( CENTRO ). Esa distancia se llama RADIO.
(
Circunferencia = {
(
Si
√(
)
)
(
(
)
} siendo C el centro y r el radio.
) luego :
)
Desarrollándola :
 (
)
(
)
( ecuación reducida)
; que suele escribirse así:
( ecuación desarrollada) ; luego la relación entre
los coeficientes es :
; lo que nos
permite pasar de una ecuación a otra.
NOTA : Para evitar “chapar” fórmulas, MEJOR COMPLETAR CUADRADOS
CASOS PARTICULARES :
a) Ecuación de una circunferencia de centro C y tangente a una recta “r”
sólo falta calcular el radio, que evidentemente es radio = d( Centro, recta )
b) Ecuación de la circunferencia que pasa por 3 puntos A; B ; C ( no
alineados, evindentemente )
Se puede hacer analíticamente ( sustituyendo las coordenadas de los puntos
A,B,C en la ecuación desarrollada ) o geométricamente hallando el centro y el
radio ( el centro es el punto de corte de dos mediatrices, y el radio….)
POSICIÓN RELATIVA DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA
Si d( Centro, recta ) > r EXTERIORES
Si d( Centro ,recta) = r TANGENTES
Si d( Centro ,recta ) < r SECANTES
El sistema no tiene solución
El sistema tiene solución única
El sistema tiene DOS soluciones.
POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS
d= distancia entre los centros de la circunferencias
Si resolvemos el sistema formado por las dos circunferencias, en función de su
posición relativa, ¿ cuántas soluciones puede tener ese sistema?.
ELIPSE :
lugar geométrico de los puntos del plano tales que la SUMA de
las distancias a dos puntos fijos ( FOCOS ) es constante.
(
O sea , elipse ={
)
(
)
} (*)
A , A’ , B , B’ son los VÉRTICES de la elipse.
F, F’ son los FOCOS
2a es el eje mayor
2b es el eje menor
2c es la distancia focal
Excentricidad
que en la elipse ,evidentemente, es < 1
Relación entre los parámetros de la elipse :
Desarrollando (*) nos queda la ecuación reducida :
=1
Si el centro no fuera el origen de coordenadas y fuera C (
) la ecuación
quedaría :
(
)
(
)
Si los ejes de la elipse “están cambiados” , es decir, si el eje mayor está sobre
el eje Y ( o es paralelo a él) y el eje menor está sobre el eje X ( o paralelo a el)
las ecuaciones anteriores se transforman en :
;
(
)
(
)
HIPÉRBOLA :
lugar geométrico de los puntos del plano tales que la
DIFERENCIA de las distancias a dos puntos fijos ( FOCOS ) es constante.
| (
O sea : hipérbola={
)
(
)|
}
A, A’ ,B, B’ son los VÉRTICES
F, F’ son los FOCOS
2a es el EJE REAL
2b es el EJE IMAGINARIO
2c es la DISTANCIA FOCAL
Excentricidad
; que evidentemente es > 1
Relación entre los parámetros de la hipérbola :
Ecuación reducida :
;ó
) , las ecuaciones serían :
Si el centro fuera C (
(
)
(
)
=1
Asíntotas de la hipérbola :
; ó
(
)
(
)
PARÁBOLA : lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo ( FOCO) y de una recta ( DIRECTRIZ )
(
O sea : parábola = {
)
(
)}
p = distancia del foco a la directriz ( en la gráfica sería 2p )
La perpendicular a la directriz pasando por el foco es el eje de simetría.
El punto medio entre el foco y la directriz es el VÉRTICE.
Si el Vértice coincide con el origen de coordenadas , las ecuaciones son :
( hacia la dcha)
Si el Vértice es (
(
)
;
( hacia la izqda. )
) , las ecuaciones se transforman en :
(
)
;
(
)
(
)
Si la directriz es horizontal , las ecuaciones se transformarían en :
(hacia arriba )
(
)
(
;
)
( hacia abajo)
;
(
)
(
)