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Diseño de un Prototipo Simple y Económico Para la Verificación de la Teoría
de los Absorsores de Vibraciones.
Eduardo Alba Ruiz, Tomás García Vázquez, Cesar Juan Ortega Núñez, Guillermo Rocha Aguilera, Miguel
Ángel Moreno Báez, Higinio Juárez Ríos, José Colín Venegas, J. Jesús Cervantes Sánchez, José María Rico
Martínez.
Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica, Universidad de Guanajuato.
Carretera Salamanca-Valle de Santiago km. 3.5 + 1.8km.Comunidad de Palo Blanco.
Salamanca, Guanajuato. 36730.
Email: [email protected], [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected], [email protected],
colin,jecer,[email protected]
Resumen.
Se presenta el diseño de la modificación de un prototipo simple y económico que, con un tacómetro,
permite verificar la teoría de los absorsores de vibraciones. Se presenta un ejemplo que ilustra los
resultados obtenidos y los resultados adicionales que, con un poco más de instrumentación, es
posible obtener mediante el prototipo.
Abstract.
This contribution presents the modification of the design of a simple and economic prototype which,
with only a tachometer, allows verifying the vibration absorber theory. An example is shown that
illustrates the results obtained and the results that, with a little more instrumentation, can be obtained
by using the prototype.
Sección 1. Introducción.
Desde los años ochenta del siglo pasado ha habido un marcado crecimiento en el número de
instituciones de educación superior que ofrecen estudios en el área de ingeniería mecánica. Este
crecimiento se ha vuelto casi exponencial en los últimos años, con la aparición de las Universidades
Tecnológicas y Politécnicas, entre otras. Una carencia frecuente en muchas universidades e institutos
tecnológicos, antiguos y nuevos, es la ausencia de infraestructura experimental que permita, a los
estudiantes y a sus maestros, verificar, de manera sencilla, los conocimientos teóricos presentados
durante sus estudios ---un problema, que se deja sin contestar, es decidir si esta verificación es
importante o significativa para el proceso enseñanza aprendizaje---. Sin embargo, es la opinión de
este grupo de autores que, un egresado de ingeniería mecánica que, durante sus vida estudiantil, no
ha presenciado el fenómeno de resonancia en un sistema vibratorio mecánico o el efecto del modo de
vibración en sistemas vibratorios de dos o tres grados de libertad ha perdido una experiencia
importante que, en el contexto apropiado, puede proporcionar enseñanzas duraderas.
Desde hace más de quince años, algunos de los miembros del grupo de autores de esta contribución,
han estado involucrados en el diseño de prototipos didácticos para la enseñanza de diversas áreas de
la ingeniería mecánica. En 2002, se construyó, en el Instituto Tecnológico de Celaya, un prototipo
didáctico para experimentación con sistemas vibratorios de dos o más grados de libertad. Una
segunda versión, mejorada de este prototipo, fue construido en la Facultad de Ingeniería Mecánica,
Eléctrica y Electrónica, FIMEE, de la Universidad de Guanajuato. Esta nueva versión del prototipo
permite experimentar con sistemas de hasta cinco grados de libertad y resuelve algunos de los
problemas que aparecieron en la primera versión del prototipo, la segunda version del prototipo se
muestra en la figura 1.
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Figura 1. Segunda Versión del Prototipo, de un Sistema de Cuatro Grados de Libertad.
El prototipo consta de varias “cajas” suficientemente rígidas que representan las masas del sistema y,
por lo tanto, los grados de libertad del sistema vibratorio. Entre las “cajas” están colocados 4
conjuntos de resortes que representan los elementos elásticos del sistema vibratorio. El conjunto
puede tener un resorte exterior y un resorte interior, existe dos tipos de resorte exterior y dos tipos de
resorte interior que permiten variar con suficiente amplitud las propiedades elásticas del sistema. Las
“cajas” y los resortes se mantienen en contacto mediante una precomprensión aplicada por los cuatro
espárragos del prototipo. Además, esta precomprensión prácticamente elimina los movimientos
laterales de las “cajas”. La “caja” inferior contiene al generador de vibraciones, que consiste en
cuatro desbalances idénticos colocados en los extremos de dos ejes que giran, con la misma
velocidad angular, en sentidos contrarios. Los contrapesos se colocan de manera que las
componentes horizontales de las fuerzas centrífugas se cancelan; mientras que las componentes
verticales de las fuerzas centrífugas se añaden. La masa de las cajas se determinó con una balanza
cuya precisión es de 1 g. y las constantes elásticas de los resortes se determinaron con la ayuda de
una máquina universal.
El objetivo principal en ambos esfuerzos, el del Instituto Tecnológico de Celaya y el de la
Universidad de Guanajuato, era el diseño, construcción y evaluación de un prototipo que, por un
lado, permitiera, con la mínima instrumentación posible, la verificación de algunos de los conceptos
fundamentales de la teoría de vibraciones mecánicas de uno o varios grados de libertad y, por el otro
lado, el costo del prototipo fuera menor a $12,000.00 M. N. Una descripción completa del diseño de
este prototipo y de los resultados que, con este prototipo, es posible obtener se presenta en [1].
Desde la construcción de la primera versión del prototipo resultó evidente que una sencilla
modificación del prototipo permite verificar la teoría del absorsor de vibraciones. El absorsor de
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vibraciones es un tópico que frecuentemente se incluye en el contenido de los cursos elementales de
vibraciones mecánicas y constituye una aplicación de la teoría de sistemas de dos grados de libertad,
aun cuando el absorsor de vibraciones puede aplicarse a sistemas discretos y continuos. La presente
contribución presenta los detalles de la modificación, vea la figura 3, del prototipo original, mostrado
en la figura 1, y los resultados obtenidos en la verificación de la teoría del absorsor de vibraciones
lineal y no amortiguado, empleando dos diferentes niveles de sofisticación en cuanto a la
instrumentación. En un primer nivel, sumamente básico, se emplea exclusivamente un tacómetro y,
en un segundo nivel, mas sofisticado y costoso, se emplean, adicionalmente, un adquisitor de datos,
acelerómetros y acondicionadores de señal.
Sección 2. Teoría del Absorsor de Vibraciones.
En esta sección se presenta de manera sumaria, la teoría de los absorsores de vibraciones, para una
discusión mas detallada, se refiere al lector a las referencias [2-6].
Considere un sistema de un solo grado de libertad que se encuentra bajo una excitación armónica
F1(t) = F01 sen(ωt), tal como el mostrado en la figura 2 a), donde la frecuencia natural, del sistema,
es muy semejante a la frecuencia de excitación; es decir, el sistema de un grado de libertad se
encuentra cerca de la condición de resonancia. Esta situación provoca que la vibración del sistema
sea muy elevada.
Una posibilidad para eliminar esta vibración, consiste en añadir un segundo sistema masa-resorte, el
cual, considerado como un sistema de un grado de libertad, tiene como frecuencia natural la
frecuencia de excitación; es decir, sus propiedades elásticas y másicas están relacionadas por k2 = m2
ω2. Esta adición hace que el sistema original de un solo grado de libertad, sea ahora un sistema de
dos grados de libertad. De esta manera, al sistema añadido se conoce como absorsor de vibraciones.
El sistema resultante se muestra en la figura 2 b). De la figura 2 b), las ecuaciones de movimiento del
sistema están dadas por
y la solución particular del sistema está dada por
al sustituir x1(t) y x2(t) y sus segundas derivadas en las ecuaciones de movimiento del sistema se
obtiene
Resolviendo el sistema lineal para las incógnitas X01 y X02, se tiene que
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A partir de estas ecuaciones, es evidente que una alternativa para que X01 sea cero es que F01 = 0. Sin
embargo, esta condición implica que el sistema no sufre excitación armónica alguna y por lo tanto no
es de interés. Por otro lado, si se sustituyen las constantes másicas y elásticas del absorbedor de
vibraciones, k2 = m2ω2, se tiene que la amplitud del sistema original es igual a X01 = 0 y la amplitud
de la vibración del absorsor es igual a
X02 = F01/k2.
Este es el sencillo fundamento teórico del absorsor de vibraciones. Las referencias [7-8], presentan la
teoría de absorsores de vibraciones para sistemas continuos o cuando el absorsor presenta no
linealidades.
Figura 2. Sistema Original de un Grado de Libertad y el Absorsor de Vibraciones
Sección 3. Diseño del Prototipo del Absorsor de Vibraciones.
En esta sección se describirá someramente el diseño de aquellas partes del prototipo del absorsor de
vibraciones que no formaban parte del prototipo construido originalmente y mostrado en la figura 1.
Las referencias [9-10] indican con mucho mayor detalle, el diseño de estas partes.
Después de analizar varios posibles diseños, se decidió por un sistema que consta de una barra de
aluminio lo suficientemente rígida para tratarse como un sistema discreto, la cual va colocada en la
parte superior del generador de vibraciones. Esta barra lleva masas que pueden deslizarse a lo largo
de la barra. Esta característica permite que el sistema absorbedor de vibraciones pueda sintonizarse y
de esa manera, eliminar o reducir la vibración cuando su amplitud es demasiado grande. Vea la
figura 3.
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Figura 3. Prototipo del Absorsor de Vibraciones
La barra se sujeta transversalmente en la placa superior de la “caja” que contiene al generador de
vibraciones, vea la figura 3 b) y actúa como una viga en voladizo, sujeta simétricamente a la “caja”
que contiene el generador de vibraciones. La longitud total de la barra es de 800 mm., de los cuales
sobresalen 325 mm. a cada lado, el ancho de la barra es a = 50.8 mm., (2 pulg.), y el espesor es h =
6.35 mm., (¼ pulg.). Además, la barra tiene en cada lado, una ranura de 275 mm. de longitud y b =
19.05 mm., (3/4 pulg.) de ancho sobre las cuales pueden deslizarse y sujetarse masas que permiten
variar la frecuencia natural del absorbedor de vibraciones, considerado como un sistema de un solo
grado de libertad, vea la figura 3 b). De esa manera, es posible sintonizar el absorbedor de
vibraciones.
Figura 4. Dimensiones de los Dos Tipos de Masas Empleado en el Absorsor de Vibraciones.
Se diseñaron dos tipos de cuerpos, de acero dulce, el cuerpo tipo 1, vea figura 4 a), de dimensiones
aproximadas, de ancho igual a 50.8 mm. (2 pulg.), de longitud igual a 26.9875 mm. (1-1/16 pulg.) y
de espesor igual a 6.35 mm. (1/4 pulg.). Este cuerpo tiene un pequeño borde que desliza dentro de la
ranura de la viga en voladizo y tiene una masa de m1 = 72.25 g. Por su parte, el cuerpo tipo 2, vea
figura 4 b), es simplemente un tramo de solera de acero dulce, sin el borde de la primera masa, de las
mismas medidas de longitud, anchura pero con un espesor de 9.525 mm. (3/8 pulg.). Este cuerpo
tiene una masa de m2 = 97.958 g.
Puesto que, en cada uno de las “alas” de la viga se emplean dos cuerpos tipo 1 y dos cuerpos tipo 2,
la masa total de este conjunto está dado por mT = 2 m1 + 2 m2 = 340.4 g.
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Sección 4. Resultados Experimentales.
En esta sección se muestran las pruebas que fueron llevadas a cabo, con la finalidad de mostrar que
para los fines que fueron propuestos, este dispositivo se comporta de acuerdo a la teoría. Esta sección
consta de dos apartados, el primero de ellos indica los resultados que pueden obtenerse con el
empleo exclusivo del tacómetro, la segunda muestra los resultados adicionales que pueden obtenerse
con el empleo de más instrumentación.
Subsección 4-1. Resultados obtenidos con el empleo exclusivo del tacómetro.
En esta sección se presentan algunos de los resultados obtenidos exclusivamente con el empleo del
tacómetro integrado al prototipo que mide la velocidad angular de los ejes, que soportan los
contrapesos, del generador de vibraciones. Esta velocidad angular es precisamente la frecuencia de la
excitación que se aplica al sistema. Evidentemente, otra alternativa es el empleo de un tacómetro
portátil.
El primer procedimiento consistió en registrar la velocidad angular del generador de vibraciones
cuando, visualmente, se determinaba que los sistemas vibratorios que se analizaban estaban
experimentando resonancia. De esa manera se determinó que:
1. La frecuencia natural del sistema mostrado en la figura 3 a), sin la barra de aluminio, está dada por
ωn = 1002 r.p.m.
2. La frecuencia natural del absorsor de vibraciones, vea la figura 3 b), cuando se sujeta firmemente
en el piso, está dada por
ωn = 990 r.p.m.
3. Finalmente, el sistema mostrado en la figura 3 a) se excitó a la frecuencia indicada en el paso 2. y,
visualmente, se comprobó que la vibración de la caja que contiene el generador de vibraciones se
volvía difícilmente perceptible.
Subsección 4-2. Resultados obtenidos con el empleo de más instrumentación.
En esta sección se presentan algunos de los resultados obtenidos con el empleo de más
instrumentación. La instrumentación empleada fue
1. Un sistema adquisitor de datos, National Instruments modelo S CB-68 Quick Reference
Label E Series, con siete canales,
2. Un acelerómetro, marca Bruel and Kjaer, modelo 4370, con una sensitividad de 1.008 pC/m-s2.
La equivalencia del voltaje medido por el acelerómetro y la amplitud de vibración fue de 1 V =
1 mm.
3. Un acelerómetro, marca Bruel and Kjaer, modelo 4384, con una sensitividad de 10.05 pC/m-s2.
La equivalencia del voltaje medido por el acelerómetro y la amplitud de vibración fue de 1 V =
1 mm.
En todos los casos, la velocidad de adquisición de datos fue de 1000 Datos/s, y la adquisición de los
datos se realizó durante un periodo de 30 segundos. Los datos se almacenaron en una computadora
personal del Laboratorio de Vibraciones de la Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y
Electrónica de la Universidad de Guanajuato, para su análisis posterior.
a. Determinación de la frecuencia natural del sistema mostrada en la figura 3 a) sin la barra
de aluminio.
La prueba consistió en medir la amplitud de la vibración del sistema mientras se llevaba a cabo un
barrido de frecuencias, en la vecindad de la frecuencia natural, en la que el sistema experimentaba
resonancia. Esta frecuencia es muy cercana a la frecuencia natural determinada a partir de la masa
del sistema vibratorio y de las constantes de los resortes.
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Figura 5. Gráfica de una parte de los resultados obtenidos para el sistema mostrado en la figura 3 a) sin
la barra de aluminio.
La figura 5 muestra la gráfica de algunos de los resultados obtenidos para este sistema. A partir del
archivo de los resultados obtenidos con el adquisitor de datos, se obtiene la Tabla I.
Tabla I. Tiempos a los cuales se presentan los máximos de la vibración para el sistema de la figura 3 a) sin
la barra de aluminio.
Con estos datos, se determina el periodo de la vibración de la siguiente manera
τ = (t18 – t0) /N = 0.059777 s.
La frecuencia natural del sistema, determinada experimentalmente, está dada por
ωn1e = 16.7286 Hz = 1003.71 r. p. m.
y es muy próxima a la determinada analíticamente, ωn1t = 1007.9 r. p. m.
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b. Determinación de la frecuencia natural del absorsor de vibraciones, figura 3 b) cuando se
sujeta firmemente al piso.
La prueba consistió en medir la amplitud de la vibración del sistema mientras se llevaba a cabo un
barrido de frecuencias, en la vecindad de la frecuencia natural, en la que el sistema experimentaba
resonancia.
La figura 6 muestra la gráfica de algunos de los resultados obtenidos para este sistema. A partir del
archivo de los resultados obtenidos con el adquisitor de datos, se obtiene la Tabla II. Con estos
datos, se determina el periodo de la vibración de la siguiente manera
τ = (t18 – t0) /N = 0.060638 s.
La frecuencia natural del sistema, determinada experimentalmente, está dada por
ωn1e = 16.49106 Hz. = 989.46 r. p. m.
Figura 6. Gráfica de una parte de los resultados obtenidos para el sistema mostrado en la figura 3 b)
cuando se sujeta fuertemente al piso.
Tabla II. Tiempos a los cuales se presentan los máximos de la vibración para el sistema de la figura 3 b)
cuando se sujeta firmemente al piso.
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c. Verificación del comportamiento del absorsor de vibraciones.
Para comprobar que el sistema absorbedor de vibraciones, funciona como fue planeado, se colocó un
acelerómetro en la parte media de la placa superior de la “caja” con el excitador y se colocó otro
acelerómetro en uno de los extremos libres de la viga en voladizo. Una vez colocados los
instrumentos de medición, se sintonizó el excitador a la frecuencia natural del absorsor obtenida en
la sección anterior; es decir
ωn1e = 16.49106 Hz. = 989.46 r. p. m.
y se procedió a capturar los datos de esta prueba.
Figura 7. Resultados obtenidos durante la verificación del absorsor de vibraciones.
Tabla III. Tiempos a los cuales se presentan los máximos de la vibración para las dos masas que
constituyen el absorsor de vibraciones.
La figura 7 muestra la gráfica de algunos de los resultados obtenidos para este sistema. La línea
dibujada en rojo y denominada x1 representa la vibración de la “caja” mientras que la línea dibujada
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en azul y denominada x2 representa la vibración del aislador. A partir del archivo de los resultados
obtenidos con el adquisitor de datos, se obtiene la Tabla III, que indica los valores de amplitud
máximos que se presentan tanto en la “caja” como en el absorsor de vibraciones.
Como resultado de la presencia del absorsor de vibraciones, la amplitud de la vibración de la “caja”
se redujo considerablemente, pasando de un valor máximo de 10.215 mm., vea la figura 5 y la Tabla
I, a un valor máximo de 0.094 mm., vea la figura 7 y la Tabla III.
El nivel de reducción de la amplitud de la vibración está dado por
N. R. = 10.215 mm. / 0.094 mm. = 108.67
Este resultado muestra, sin lugar a dudas, la eficacia del sistema absorbedor de vibraciones.
Subsección 4.3 Caracterización dinámica del absorsor de vibraciones.
Realizando un barrido de frecuencias del excitador de vibraciones del prototipo se determinó que las
dos frecuencias naturales del absorsor están dadas por
ωn1 = 852.27 r. p. m.
y
ωn1 = 1214.57 r. p. m.
Estos resultados completan la caracterización dinámica del absorsor de vibraciones.
Conclusiones.
Esta contribución ha mostrado que es posible construir prototipos didácticos económicos que
permitan verificar la teoría del absorsor de vibraciones con una mínima instrumentación. Si además
se tiene, a la mano, instrumentación más sofisticada, es posible obtener resultados que permiten
verificar conceptos más avanzados de la teoría de sistemas mecánicos vibratorios. Esta contribución
muestra solo una pequeña parte de los resultados que pueden obtenerse mediante una
instrumentación más completa. La tesis del primer autor, [10], incluye muchos mas resultados.
Agradecimientos.
Los autores agradecen el apoyo de la División de Investigación y Posgrado de la Universidad de
Guanajuato, del Consejo de Ciencia y Tecnología del Estado de Guanajuato, del Programa de
Mejoramiento del Profesorado de la Secretaria de Educación Publica a través de diferentes
proyectos.
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