Práctica 1: Modelo simple para la estimación del tiempo de latencia

Escuela Politécnica Superior
Ingeniería de Telecomunicación
Prácticas de Redes, Sistemas y Servicios
Practica 1
Versión:
27/09/2012 18:36
Práctica 1: Modelo simple para la estimación del tiempo de
latencia de un router
Objetivos de la práctica

Realización de un modelo simple para simular el tiempo de latencia de los paquetes que atraviesan
un router.

Estimación de la función de densidad de probabilidad del tiempo de latencia en el mismo mediante
simulación.

Comparación de la simulación con los resultados predichos por la teoría.

Presentación de los resultados de modo gráfico.
Introducción
Un router, en su forma más simple, se puede aproximar por un sistema con las siguientes características.

Recibe paquetes de múltiples fuentes.

Los encola hasta que pueda procesarlos (store and forward).

Los procesa para determinar qué ruta deben seguir.

Los envía a través de la ruta elegida.
Si no consideramos por el momento el proceso del envío del paquete a través de la ruta elegida, el router
responde al modelo de un sistema de colas con un único servidor. En nuestro caso vamos a considerar el
modelo más sencillo de estudio desde el punto de vista teórico, que será aquel en el que los paquetes se
reciben según un proceso de Poisson, el tiempo de proceso dentro del router (tiempo de servicio) es una
variable aleatoria distribuida exponencialmente, y no se producen pérdidas de paquetes, por tener el router
capacidad suficiente para almacenar todos los que recibe. De este modo, el modelo de colas que
representa el sistema será el modelo M/M/1.


Proceso

El tiempo de latencia del router será, por tanto, el tiempo de estancia en el sistema considerado. Este
tiempo, en un sistema de colas, es una variable aleatoria continua. Como toda variable aleatoria continua,
vendrá caracterizada por su función densidad de probabilidad (fdp), o por su función de distribución
acumulada (fda). En el caso del modelo M/M/1, estas funciones se pueden obtener de forma analítica (ver
bibliografía), demostrándose que el tiempo de estancia en el sistema es una variable aleatoria distribuida
exponencialmente, en la que:
fdp:
f  t        e    t (1)
   t
fda: F  t   1  e  
(2)
donde, como es habitual,  representa la tasa de llegada al sistema y  la tasa de servicio.
En esta práctica vamos a estimar esa función densidad de probabilidad a través de una simulación,
comparando posteriormente los resultados de la simulación con este resultado teórico.
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Práctica
Para realizar la simulación del sistema propuesto tomaremos como punto de partida el programa realizado
en la práctica 0 para simular un modelo de colas M/M/1. En nuestro estudio, consideraremos los siguientes
valores como datos:
 = 100 paquetes / s,  = 60 paquetes / s.
El alumno deberá determinar de manera experimental el número adecuado de paquetes que será necesario
generar para obtener unos resultados suficientemente próximos a los resultados teóricos.
1.- Obtención de una estimación del histograma de frecuencias relativas del tiempo
de latencia
El proceso para obtener dicha estimación es el siguiente:

Se simula el sistema, registrando los tiempos de latencia de cada paquete que circula por él.

Se realiza el histograma de frecuencias relativas de los tiempos registrados. Para ello debemos
determinar empíricamente, de forma que los resultados que obtengamos sean satisfactorios, los
siguientes valores:
o
Número de intervalos a considerar en el histograma, n.
o
Duración de cada uno de estos intervalos, t.
De este modo, la clase de orden i del histograma representará una estimación de la probabilidad de
que el tiempo de latencia se encuentre entre i * t e (i+1) * t.
Para registrar los tiempos de latencia por cada paquete, consultar en la documentación de la librería DSIM
los atributos correspondientes al objeto colam.
Para realizar el histograma, se puede utilizar la función de C que se suministra en el siguiente archivo:
http://www.ii.uam.es/~rss/practicas/code/rss-histograma.c.
Dibujar con gnuplot el histograma calculado, representando los valores obtenidos mediante cajas
(boxes).
2.- Comparación de la estimación de la función de densidad de probabilidad del
tiempo de latencia con la función teórica.
El alumno debe representar conjuntamente la gráfica anterior (debidamente modificada) y la equivalente
teórica, obtenida utilizando de forma adecuada la ecuación (1).
Dibujar ambas con gnuplot, representando la primera (simulada) mediante cajas (boxes).y la segunda
(teórica) con líneas.
Entrega de resultados de la práctica

contenidos.txt: Archivo de contenidos de la entrega, con el formato descrito en las normas de
las prácticas.

rss-pract1.c: Programa fuente para realizar la simulación. Si se han creado otros módulos, es
necesario entregarlos todos, explicando su contenido y uso tanto en la cabecera de los mismos
como en el archivo contenidos.txt.

Makefile: Archivo de datos para make que permita generar el o los ejecutables de la práctica.

rss-pract1-plot.gp: Script para generar las gráficas pedidas a partir de los archivos de datos
generados por el programa.
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
rss-pract1-hist.dat: Archivo de datos con los valores del histograma de frecuencias relativas
obtenidos a partir de la simulación.

rss-pract1-fig1.png: Representación gráfica de dicho histograma.

rss-pract1-teor.dat: Archivo de datos con los valores del histograma de frecuencias relativas
obtenidos a partir de la fórmula teórica.

rss-pract1-fig2.png: Representación gráfica conjunta de los histogramas teórico y resultado
de la simulación.

rss-pract1.pdf: Archivo de documentación, en formato PDF (debe seguir el modelo disponible
en “Archivos específicos de las prácticas”), en el que se incluirán:
o
Valores medios del factor de utilización, número de paquetes en el sistema y tiempo medio
de latencia del router obtenidos en el programa de simulación.
o
Gráfica del histograma de frecuencias resultado de la simulación. Comentarios que se
desee hacer sobre la misma.
o
Explicar la relación que existe entre este histograma y la función densidad de probabilidad
de la variable aleatoria considerada.
o
Gráfica comparativa del fdp teórico y resultados de la simulación. Comentarios que se
desee hacer sobre la misma.
Bibliografía
Los conceptos teóricos abordados en esta práctica se pueden consultar, entre otros, en los siguientes libros:
BOSE, S.K., An Introduction to Queueing Systems, Kluwer Academic/Plenun Publishers, 2002. Cap. 2º.
GROSS, D. y HARRIS, C.M., Queueing Theory, Wiley, 1998. 3ª Ed.Cap. 2º.
LEON GARCIA, Alberto, Probability and Random Proceses for Electrical Engineering, Addison-Wesley,
1994. 2ª Ed. Cap. 9º.
PAPOULIS, A., y PILLAI, S.U., Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw-Hill, 2002.
4ª ed. Cap. 16º.
PAZOS, J.J., SUÁREZ, A. Y DÍAZ, R., Teoría de colas y simulación de eventos discretos, Pearson, 2003.
Cap. 4º.
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