Tema de introducción

1ºBAT
El número real
INTRODUCCION AL NÚMERO REAL
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números no son un invento artificial sino que han ido surgiendo como
una necesidad a lo largo del tiempo. Así, cada conjunto numérico se ha ido
ampliando sucesivamente.
Haciendo un pequeño resumen:
Números Naturales. Se conocen prácticamente desde siempre y sirven,
básicamente, para contar . N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11….}
Aunque el cero fue un invento bastante posterior, para simplificar lo
consideramos también un número natural. El conjunto de los números naturales se
representa con la letra N
Números Enteros. Con el concepto de deuda aparecen los números
negativos. Si meto en un mismo saco positivos y negativos obtengo el conjunto de
los números enteros: Z={….. -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3,…} .
Números Racionales. Los griegos pitagóricos que sabían mucha geometría,
conocían perfectamente los números racionales a los que llamaban “proporciones
conmensurables”. En su concepción del mundo, cualquier fenómeno se tenía que
explicar con los números enteros o sus proporciones.
Así llegamos al conjunto de los números racionales, formado por todas las
fracciones con numerador y denominador enteros Q={a/b, a y b enteros}
Todos los números racionales tienen una expresión decimal:
1
 0,5
2
2
 0, 6
3
7
 3,5
2
Para expresar una fracción en forma decimal, basta con hacer la división.
Cuando dividimos dos números enteros puede resultar:



Una división exacta (sin decimales). Número entero
Las cifras decimales se acaban. Decimal exacto
Las cifras decimales no se acaban pero necesariamente se repiten (a
las cifras que se repiten se les llama periodo). Decimal Periódico, que
puede ser decimal periódico puro si todos los decimales se repiten o
decimal periódico mixto si hay una parte decimal no periódica
Si queremos expresar un decimal en forma de fracción, el proceso es un poco
más complejo pero cualquier número decimal exacto o decimal periódico siempre se
puede expresar como una fracción de dos números enteros. Por tanto se trata de
número racionales
En el caso de un número decimal con infinitas cifras que no se repiten
formando periodo (como por ejemplo, el número π) esto no puede hacerse y por
tanto no son números racionales.
1ºBAT
El número real
Cuestiones:
1) ¿Es el número -8/3 un número entero?
2) ¿Es el número -25 un número racional?
3) Expresa en forma decimal las siguientes fracciones y dí de qué tipo de decimal se trata en
cada caso: 5/4, 7/3, 3/7, 1/9, 3/10, 12/100
4) Expresa en forma de fracción irreducible (fracción que no se puede simplificar ya más): 1,45;
0,24; 0, 3 ; 2,34
5) Expresa el número 3/2 de cinco formas distintas.
6) ¿Por qué se utiliza la letra Z para designar al conjunto de los números enteros y la letra Q
para los racionales?.
Pero el mismo Pitágoras, con su famoso teorema, encontró segmentos cuya
medida no podía ser expresada con una fracción de números enteros (por ejemplo,
la diagonal de un cuadrado de lado 1), descubriendo un nuevo tipo de números. A
estos números tan raros les llamaron “alogos” (sin lógica, sin significado) o
“arratos” (sin proporción) y mantuvieron su descubrimiento en secreto pensando
que habían cometido un error. Hípaso de Metaponto lo reveló y fue expulsado de la
academia pitagórica. La leyenda dice que Hípaso fue castigado por los dioses y
murió en un naufragio, otros dicen que sus propios compañeros lo lanzaron por la
borda.
Nosotros conocemos perfectamente este tipo de números que llamamos
Números Irracionales . La expresión decimal de un número irracional tiene infinitas
cifras decimales que no se repiten periódicamente.
Al conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se le
llama conjunto de los Número Reales y se designa con la letra R
Cuestiones:
1)
Enuncia el teorema de Pitágoras y halla la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.
2)
Coloca los siguientes números en el lugar que les corresponda: 8/2; -3;
24
Q
9 ; 1/3; 3 ; 2, 3 ;
I
Z
N
3)
Di el conjunto numérico más pequeño en el que las siguientes ecuaciones tienen solución:
a. x+1=3
b. 2x=5
c. x+8=2
d. x2=25
e. x2=2
f. x2=-9
1ºBAT
El número real
LA RECTA REAL
Cada número real se puede representar en una recta que llamaremos la Recta Real.
En esta recta, cada nº representa un punto y cada punto representa un número real
(o sea, está totalmente llena de números)
Si consideramos un trozo de esta recta, tendremos un conjunto que llamamos
intervalo. Hay varios tipos de intervalos: abiertos, cerrados, semiabiertos y
semirrectas
INTERVALO
CONJUNTO
REP. GRÁFICA
DEFINICIÓN
abierto de
extremos a y b
(a,b)
{x/a<x<b}
nos comprendidos entre a
y b (no incluidos ni a ni b)
cerrado de
extremos a y b
[a,b]
{x/a≤x≤b}
nos comprendidos entre a
y b ambos incluidos
semiabierto
izquierda
(a,b]
{x/a<x≤b}
nos comprendidos entre a
y b (no incluido a; b sí).
(-∞,b]
{x/x≤b}
nos menores que b. (b
incluido)
(-∞,b)
{x/x<b}
nos menores que b. (b no
incluido)
[a,+∞)
{x/a≤x}
nos mayores que a. (a
incluido)
(a,+∞)
{x/a<x}
nos mayores que a. (a no
incluido)
semirrectas
Cuestiones:
1)
1
1
Dados los números: 0’25;  ; 2; 2’01; -2, 
9
100
a. ¿Cuáles pertenecen al intervalo [0 ,2 ] ?
b. ¿Cuáles pertenecen al intervalo (-0’01 , 2) ?
2) Expresa en forma de desigualdad y en foram de intervalo:
a. Números menores que 3
b. Números mayores o iguales que 2 y menores que 10
c. x tales que x>5
d. x tales que |x|<2
3) ¿De qué conjunto se trata: [-3,5]∩N?