POTENCIACIÓN La potenciación es una expresión ... a Se escribe a

POTENCIACIÓN
La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos
denominados: base a y exponente n.
Se escribe an, y se lee: «ha elevado a n». Su definición varía según el conjunto
numérico al que pertenezca el exponente:
Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número
por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.
Por ejemplo:
.
Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción
inversa de la base pero con exponente positivo.
Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:
Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 00
que, en principio, es una indefinición (ver cero).
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales,
complejos o incluso matriciales.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Potencia de exponente 0
Cualquier número
elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1
Potencia de exponente 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.
Ejemplo:
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la base
elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se
suman los exponentes):
ejemplos:
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la base a y elevada a la
resta de los exponentes respectivos.
ejemplo:
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto
elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b)
y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado
a "n"
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada
a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los
exponentes):
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
Propiedades que no cumple la potenciación
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:
No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base
y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:
Tampoco se cumple la propiedad asociativa:
Potencia de base 10
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas
posiciones hacia la izquierda o hacia la derecha como indica el exponente. Con
un exponente positivo se desplaza hacia la izquierda y con un exponente
negativo se desplaza hacia la derecha.
Ejemplos:
Potencia de números complejos
Para cualquiera de los números reales
Representación gráfica
se tiene la identidad:
Gráfico de
Gráfico de
La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola.
Su vértice se sitúa en el punto (0, 0), es decreciente en el segundo cuadrante y
creciente en el primero.
La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola.
Tiene un punto de inflexión en el vértice (0, 0), es siempre creciente, y ocupa el
tercer y primer cuadrante.
Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.
Límites
El caso especial 00 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden
ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas
que se quieran mantener.
Por ejemplo, puede argumentarse que 00 es el igual al valor del límite
y como x0 = 1 para
, dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo
también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite
y como 0x = 0 para
, dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la
0
forma 0 puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera
indefinida.
El debate sobre el valor de la forma 00 tiene casi 2 siglos de antigüedad.
Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal
del cálculo no se había establecido, era común aceptar que 0 0=1. Sin embargo,
en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale
Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista
dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los
1830s, Libri1 2 publicó un argumento para asignar 1 como valor de 0 0 y August
Möbius3 lo apoyó afirmando erróneamente que
siempre que
Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un
contraejemplo
cuyo límite cuando
es 1 / e, lo cual calmó el debate con la aparente
conclusión del incidente que 00 debería permanecer indefinida. Se pueden
encontrar más detalles en Knuth (1992).4
En la actualidad, suele considerarse la forma 00 como indefinida y no se le
asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga
sentido.
Radicación:
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación
mejor utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la
aproximación
2,
entonces:
a1
=
2
a2
=
1/2(2
+
5/2)
=
2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de
la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
Ejemplo:
=
.
Raíz de un producto
=
=
o también se puede hacer de esta manera
Raíz de un cociente
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del
numerador entre la raíz del denominador.
=
Ejemplo:
=
Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a
potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
=
Ejemplo:
=
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se
conserva la cantidad subradical.
=
Ejemplo:
=