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“Con Honestidad, Responsabilidad, Amor y Sentido de Pertenencia lograremos una formación
integral de calidad para nuestra comunidad lopista ”… Lic. Oscar Jáuregui Gelves
INSTITUCIÓN EDUCATIVA ALFONSO LÓPEZ PUMAREJO
PUERTO BERRIO-ANTIOQUIA
AÑO LECTIVO 2012
TALLER DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS
ÁREA: MATEMÁTICAS
GRUPO: 10°____
VALOR: 40%
FECHA SUSTENTACIÓN: 19 al 23 de NOVIEMBRE
DOCENTE: OSCAR JÁUREGUI GELVES
ESTUDIANTE: ______________________________________________
UNIDAD 1: REPASO SOBRE FACTORIZACIÓN Y MEDIDA DE ÁNGULOS
1.
a)
b)
c)
Factorizar las siguientes expresiones.
𝑥 2 − 6𝑥 − 16 = _______________________
𝑥 2 + 8𝑥 + 15 = _______________________
𝑋 4 − 16 = ___________________________________
3
3
2. Simplificar y resolver √128𝑝8 𝑞10 − 4𝑝2 𝑞 √16𝑝2 𝑞 7 = ______________________________
3. Simplificar y resolver √9𝑚3 𝑛2 ∗ √3𝑚2 𝑛5 ∗ √3𝑚𝑛2 = ______________________________
4. Solucionar la ecuación cuadrática 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
Rta: _____________________
1. 𝑥 6 + 7𝑥 3 − 30 RTA: ___________________________________________________________________
2. 5bc – 10cx – 7by + 14xy RTA: ______________________________________________________________
3.
7
3𝑎2 +𝑎−4
9𝑎+2
+ 3𝑎2 −2𝑎−8
3
RTA: ________________________________________________________________
3
4. √128𝑝8 𝑞10 − 4𝑝2 𝑞 √16𝑝2 𝑞 7
2
2
RTA: ______________________________________________________
2
5. √9𝑚3 𝑛2 ∗ √3𝑚2 𝑛5 ∗ √3𝑚𝑛2 RTA: ________________________________________________________
6. √5𝑏 *(√5𝑏 2 − √𝑏 ) RTA: ________________________________________________________________
3
3
7. 8√𝑚 + 7 √𝑛 + 7√𝑚 − 7 √𝑛 − 2√𝑚
RTA: ___________________________________________________
8. Hallar la solución de la ecuación cuadrática 5𝑋 2 − 720 = 0 RTA: _________________________________
9. Halla la solución de la ecuación cuadrática 6𝑋 2 + 13𝑋 + 7 = 0. Recuerda que 𝑋 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2∗𝑎
.
RTA: ______________________________________________________________________________________
10. Problema de aplicación a sistemas dos por dos: El perímetro de un salón es 18 metros y cuatro veces la
medida del largo equivale a cinco veces la medida del ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del salón?
RTA: ______________________________________________________________________________________
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PUERTO BERRIO-ANTIOQUIA
AÑO LECTIVO 2012
TALLER DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS
UNIDAD 2: MEDIDA ANGULAR Y APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA
1. Expresa la medida de cada ángulo en grados, minutos y segundos.
a) 20,601º = _________________________ b) 275,86º = _________________________
2. Expresa cada ángulo en grados:
a)
19
6
𝜋 = ______________________
3. Expresa cada ángulo en radianes:
a) - 810º = _____________________
b)
−3
6
𝜋 = ________________________
b) 335º = _______________________
4. Expresar en grados los siguientes ángulos
a) −
5.
a)
6.
a)
7.
a)
8.
5𝜋
4
= __________________________
b)
19𝜋
6
= _________________________
Expresar en radianes los siguientes ángulos
330º = ___________________________
b) - 810º = _______________________
Expresar los siguientes ángulos en grados
34º12’28’’ = ________________________
b) 48º52’25’’ = ______________________
Expresar los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos
12, 595º = _________________________
b) 20, 601º = __________________________
Construye un triángulo rectángulo que cumpla con las condiciones dadas y luego soluciónalo
completamente.
a) Sen 𝜃 =
9
41
b) tan 𝜃 =
√7
4
UINIDAD 3: APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA, LEY DEL SENO Y LA LEY DEL COSENO
1. En un automóvil, la manivela del cigüeñal tiene 7,62 cm de longitud y la biela tiene 12,56 cm. Cuando el
ángulo OPA es de 25º. ¿qué tan lejos está el pistón P del centro O del cigüeñal?
A
Biela
Manivela
25º (
O
P
Rta: __________________________________
2. Dos balsas, A y C, se mueven en línea recta desde el punto B, de tal manera que la recta sobre la que se
mueve la balsa C forma un ángulo de 52º con la recta sobre la que se mueve la balsa A, cuya velocidad es
el doble de la balsa C. Determinar la distancia que las separa cuando la balsa C ha recorrido 2,5 km a si
como se muestra en la figura.
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A
b =?
C
c = 5 km
a = 2,5 km
52º
B
Rta: ______________________________________
3. Dos remolques que están separados por 26 metros tiran de un contenedor, como se muestra en la figura.
Si la longitud de uno de los dos cables es de 64 m y la del otro es de 79 m. Determinar el ángulo que
forman entre ellos. Vértice del contenedor
𝑅1
64 m
C
)?
26 m
79 m
𝑅2
Rta: ______________________________________
4. Un terreno de forma triangular mide en dos de sus lados 16 m y 25 m, además el ángulo entre ellos es de
35º. Si se va a repartir en áreas iguales entre cuatro personas. ¿cuánto debe medir el área de la parte del
terreno que le corresponde a cada persona?.
B
25 m
35º
C
A
16 m
Rta: ______________________________________
5. Efectuar la operación indicada entre −11𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 8 cos 𝛽 − 5 sin 𝛽 − [−9 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 7 cos 𝛽 − 10sen 𝛽]
Rta: ______________________________________
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6. Efectuar la operación indicada entre 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 ∗ 2 csc 2𝜃 ∗ 2 sec 2𝜃 ∗ 2𝑐𝑜𝑠 2 2𝜃
Rta: ______________________________________
7. Factorizar la expresión 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 − 8 tan 𝜃 + 15
8. Factorizar 𝑐𝑠𝑐 4 𝜃 − 1 Rta: ______________________________________
9. Simplificar
cot 𝜃
1−𝑠𝑒𝑛2 𝜃
Rta: ______________________________________
10. Simplificar la expresión
csc 𝜃∗(1−𝑐𝑜𝑠2 𝜃)
3
Rta: ______________________________________
11. Expresar las siguientes medidas angulares a la unidad pedida:
a)
7
8
𝜋 𝑟𝑎𝑑 → grados
b) - 900º → 𝜋 𝑟𝑎𝑑
c) 49,375º → grados, minutos y segundos
12. Encuentra las funciones trigonométricas según el ángulo de referencia y condiciones dadas.
a)
b)
c)
c
√5
6 cm
𝛽
15cm
3 cm
𝜃
7 cm
5 cm
𝛼
b
4 cm
13. Teniendo en cuenta los valores para los ángulos especiales, hallar el valor de las siguientes
expresiones.
𝜋
𝜋
sen 45º + sen 60º
b) tan 4 + sec 3
c) sen 90º + tan 45º
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN A TRIÁNGULOS RECTANCGULOS (Hacer los gráficos de cada
situación)
14. Una colina forma un ángulo de 30º con la base. Si una persona recorre 2.500 m para llegar a la cima de la
colina, ¿cuál es la altura de la colina?
15. Una escalera de 2,13 m está apoyada contra la pared. La base de la escalera está 1,5 m de la pared, ¿cuál
es la medida del ángulo que forma la escalera con el piso? ¿cuál es la altura de la pared?
16. Un árbol proyecta una sombra de 1,25 m y forma un ángulo de elevación con el sol de 58º, ¿cuál es la
altura del árbol?
17. Una persona se encuentra en la terraza de un edificio de 10 m de alto y observa un automóvil que se
encuentra estacionado cerca al edificio. Si el ángulo de depresión que se forma con la línea visual de la
persona y el automóvil es de 39º, ¿a qué distancia se encuentra el automóvil del edificio?
18. Para determinar la altura de una torre, Wilmer Mesa se ubica a 10 m de la torre y con un ángulo de
elevación es de 40º. Si la estatura de Wilmer es de 1,64 m. ¿cuál es la altura de la torre?
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UNIDAD 4: IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
HERRAMIENTAS PARA EL TRABAJO: IDENTIDADES FUNDAMENTALES Y PITAGORICAS
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
A. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1
D. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = csc 𝜃
G. 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃
B. 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1
1
𝑐𝑜𝑠 𝜃
E. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = sec 𝜃
H. 𝑐𝑜𝑡 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃
2
2
C. 𝑐𝑠𝑐 𝜃 = 𝑐𝑜𝑡 𝜃 + 1
1
F. 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = cot 𝜃
2
Demostrar las siguientes identidades aplicando reemplazos, factorización, simplificación y demás
procedimientos matemáticos necesarios para ello. OJO:
1.
2.
csc 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃
+
sec 𝜃
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
1− 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
= 2𝑐𝑜𝑡 𝜃
− 1 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃
3. (𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑡 𝜃)2 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 ∗ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
8. 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 =
9.
𝑡𝑎𝑛2 𝜃
= 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
10.
11.
.
12.
6. (sec 𝜃 + 1)(sec 𝜃 − 1) = 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
13.
4.
5.
7.
cos 𝜃
sec 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑐𝑜𝑡 𝜃−1
csc 𝜃
1− 𝑡𝑎𝑛 𝜃
1
csc 𝜃−1
=
−
sec 𝜃
1
csc 𝜃+1
= 2 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
14.
+1
𝑡𝑎𝑛2 𝜃
2
𝑡𝑎𝑛 𝜃 – 𝑐𝑜𝑡 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃−𝑐𝑜𝑠 𝜃
= 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1) = 1
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 = 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 + 1
(𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
= 2 + sec 𝜃 csc 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 (csc 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
𝑡𝑎𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑐 𝜃− 𝑐𝑜𝑠 𝜃
=
𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑡𝑎𝑛 𝜃
SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
2 cos 𝜃 − 1 = 0
−5 + 4𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 0
2 𝑠𝑒𝑛 𝜃cos 𝜃 + cos 𝜃 = 0
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 + 3 tan 𝜃 − 11 = 0
2𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − cos 𝜃 = 1
sec 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑡 𝜃
2𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 1 = 1
cos 𝜃 𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 0
ÉXITOS