LOS NÚMEROS REALES Área
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INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULADA Coordinación Formando líderes estudiantiles para un futuro mejor Vo. Bo. Eje temático: LOS NÚMEROS REALES Área: MATEMÁTICAS Asignatura: Matemáticas Profesor: Periodo:1 Grado:8 Guía: 3 Tiempo:4 h Estudiante: Estándar(es): * Reconoce los conjuntos que conforman al conjunto de los números Reales R. *Justifica y realiza escritura de Reales. Competencia(as): (* ) Interpretativa. ( - ) Argumentativa. (&) Propositiva. - Identifico y resuelvo situaciones que involucren los números irracionales y sus propiedades. * Representa enunciados de desplazamientos con números irracionales. Indicador(es) de Desempeño: * Identifico y utilizo números reales en la solución de diversas situaciones. * Efectuó operaciones con números reales aplicando correctamente sus propiedades. * Aplic0 los números reales en la solución de ejercicios y problemas. * Formulo y resuelvo problemas cotidianos aplicando los números reales. NÚMEROS REALES Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos. ) Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero. . Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma m y n son enteros , donde . Números Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas. Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales ( ) está formado por los elementos del conjunto unido con I . El siguiente cuadro es ilustrativo: Importante: Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes: 1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas. 2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada. En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo. Infinito no es un número real Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina. Recuerde, además, que cualquier fracción con numerador cero, tiene como resultado final, el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero) Representación gráfica: Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros. Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real. Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica. A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales. Definición de igualdad y sus propiedades El signo de igualdad (=) se emplea para unir dos expresiones, cuando ambas son los nombres o descripciones del mismo objeto. Significa que a y b son dos nombres del mismo objeto. Naturalmente igual a b. , significa a no es Si dos expresiones algebraicas con una o más variables se unen mediante el signo igual, la forma así obtenida recibe el nombre de ecuación algebraica. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD Si a, b y c son nombres de objetos, tenemos: Propiedad reflexiva: Propiedad simétrica: Si Propiedad transitiva: Si , entonces: y , entonces: Principio de sustitución: Si , cualquiera de las dos puede reemplazar a la otra en una proposición, sin alterar la verdad o falsedad de dicha proposición. SINTESIS El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por . Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.
