R 2.4. EJERCICIOS VARIOS

R 2.4. EJERCICIOS VARIOS
3q 2
R 2.4.01. W = −
[J].
πε 0 L
R 2.4.02. (a) W = −
q2
(b) VC =
[J].
2πε 0 L
( 3 − 1) q
[V].
2 3πε 0 L
R 2.4.03. Aumenta en 36 %.
R 2.4.04. Ejemplo: tres partículas con cargas q, q y –q/2 en los vértices de un triángulo equilátero.
⎛ Q 2 + q 2 7Qq ⎞
+
⎜
⎟ [J]. W = U1 − U 2 = 0.
4πε 0a ⎝ 5
6 ⎠
1
R 2.4.05. (a) U1 = U 2 =
(b) Wext =
⎡⎛ 1
1⎞
⎛7 2 ⎞ ⎤
− ⎟ (Q 2 + q2 ) − ⎜ −
⎜
⎟ Qq ⎥ [J].
⎢
4πε 0a ⎣⎝ 2 6 5 ⎠
3⎠ ⎦
⎝6
1
2
1
⎛
⎞ q
R 2.4.06. Wext = ⎜ 2 +
− 2⎟
> 0 [J].
5
⎝
⎠ 4πε 0a
R 2.4.07. Wext
Q2
=
[J].
15πε 0
R 2.4.08. (a) Wext =
(4
4πε a
q
0
⎛1 1 ⎞
R 2.4.09. (a) q = ⎜ +
⎟Q .
2⎠
⎝4
R 2.4.10. (a) Wext = −
q2
πε 0a
)
⎛1 1 ⎞
2Q + (4 + 2) q [J]. (b) Q = ⎜ +
⎟q.
2⎠
⎝4
(b) Wext =
3(1 + 2)Q 2
[J].
4πε 0 L
[J]. (b) Wcampo = −
3
1 ⎞ Q2
⎛
R 2.4.11. (a) Wext = ⎜ 3 +
+
[J].
⎟
2
3 ⎠ 2πε 0 L
⎝
2q 2
[J].
πε 0a
(b) q =
3⎛
3
1 ⎞
3+
+
⎜
⎟Q .
8 ⎝
2
3⎠
R 2.4.12. v0 =
((
17 − 5)σ 1 + (2 5 − 17 − 1)σ 2
σ 2 = −σ 1 ⇒ v0 = −(2 + 5 − 17)
) 2qR
mε
[m/s].
0
qσ 1R
[m/s].
mε 0
C ⎡
R + R2 + x2 ⎤
2
2
2
R 2.4.13. (a) VP =
⎢ R R + x − x ln
⎥ [V].
4ε 0 ⎣⎢
x
⎦⎥
CR 2
2
2Q
(b) v0 = v +
[V], Q = π CR 3 [C].
(VP − V0 ) [m/s], V0 =
4ε 0
3
m
2
P
R 2.4.14. (a) V =
Q
4πε 0 R
[V], Q = −πσ 0 R 2 [C].
(b) Hacia el centro.
R 2.4.15. R ' = 3R .
R 2.4.16. (a) Vh =
(b) v =
Q
⎡ R22 + h 2 − R12 + h 2 ⎤ [V], h es la distancia al centro.
2
2 ⎣
⎦
2πε 0 ( R2 − R1 )
Q
2q
[V], q<0.
(V0 − Vh ) [m/s], V0 =
2πε 0 ( R1 + R2 )
m
(c) W = 0. El potencial es el mismo en ambos puntos.
R 2.4.17. v0 =
Q 2 ln ⎡⎣ 2( 3 − 1) ⎤⎦
[m/s].
3ε 0m
πR
Q2
Q
R 2.4.18. (a) W = 9.9 ⋅ 10
[J]. (b) Hacia el centro: v = 4.0 ⋅ 104
[m/s].
R
mR
9
⎧2
⎫ q
R 2.4.19. Wcampo = ⎨ πρ ( 2a 4 + a 3b − 5ab3 + 2b 4 ) − qb ⎬
[J].
⎩3
⎭ 4πε 0ab
R 2.4.20. (a) vP = v02 −
σ qe R
(b − R ) [m/s]. (b) d =
ε 0b
R 2.4.21. Eligiendo V (b) = 0 : V ( r ≤ a ) =
V ( a ≤ r ≤ b) =
R 2.4.22. VA − VB =
ρa2 b
ρ a 2 + 2σ b r
ln , V ( r ≥ b) = −
ln [V].
2ε 0 r
2ε 0
b
σ
{b ln(4 e) − a} [V].
ε0
R 2.4.24. (a) V ( R ) − V (2 R ) =
R 2.4.26. (a) α =
b
ρ ⎛ 2
2⎞
⎜ a (1 − 2 ln ) − r ⎟ ,
4ε 0 ⎝
a
⎠
σ ⎧ ⎛ 3b − a ⎞
⎛ 3b − a ⎞ ⎫
⎨ a ln ⎜
⎟ − b ln ⎜
⎟ ⎬ [V].
ε0 ⎩ ⎝ a + b ⎠
⎝ 2b ⎠ ⎭
R 2.4.23. VP − VQ = −
R 2.4.25. VA − VB =
b
[m].
ε 0mv02b
1+
2σ qe R 2
Q
3πε 0 R
kR
ε0
(1 − ln 2) [V]. (b) u =
π k 2R2
1
(ln 2 − ) [J/m].
2
ε0
[V].
8Q
[c/m3].
3
5π R
R 2.4.27. (a) V ( R ) − V (2 R ) =
(b) V ( R / 2) − V ( R ) =
3Q
[V].
20πε 0 R
Q2
1
(1 − ln 2) [J].
(ln 2 − ) [V]. (b) U =
4πε 0 R
4πε 0 R
2
Q
R 2.4.28. (a) Q1 = – Q, Q2 = Q. (b) Q1 = – Q, Q2 = 0. (c) Disminuyó en
Q2
[J].
16πε 0 R
R 2.4.29. (a) Q1 = Q, Q2 = – 2Q.
(b) V ( r ≤ R2 ) =
Q
Q
Q ⎛ 1
2 1⎞
, V ( r ≥ R1 ) = −
.
⎜ − − ⎟ , V ( R2 ≤ r ≤ R1 ) = −
2πε 0 R1
2πε 0 r
4πε 0 ⎝ R2 R1 r ⎠
(c) Q1 = Q, Q2 = 0.
R 2.4.30. (a) V0 =
Q ⎛3 2⎞
Q2
+
[V].
(b)
Disminuye
en
[J].
⎜
⎟
2πε 0b
6πε 0 ⎝ b a ⎠
(c) Inicial: Q1 = 0, Q2 = 0, Q3 = 0, Q4 = Q.
Intermedio: Q1 = – Q, Q2 = 0, Q3 = 0, Q4 = 2Q.
Final: Q1 = – Q, Q2 = 0, Q3 = 0, Q4 = 0.
a
a (b − a )Q 2
R 2.4.31. Q ' = − Q . U =
[J].
b
4πε 0b
R 2.4.32. (a) σ 1 = 0 , σ 2 =
R 2.4.33. (a) σ a =
(b) U =
Q12 ⎛ 1 1 ⎞
Q1
Q1
Q1 + Q2
,
σ
=
−
,
σ
=
.
(b)
=
U
3
4
⎜ − ⎟ [J].
8πε 0 ⎝ b c ⎠
4π b2
4π c 2
4π d 2
Q1
Q
Q +Q
, σb = − 1 2 , σc = 1 2 2 .
2
4π a
4π b
4π c
1 ⎧ 2⎛1 1⎞
2 1⎫
⎨Q1 ⎜ − ⎟ + (Q1 + Q2 ) ⎬ [J].
8πε 0 ⎩ ⎝ a b ⎠
c⎭
(c) La cara exterior de la capa conductora queda con una carga Q ' =
R 2.4.34. (a) Q1 = – Q, Q2 = 2Q, Q3 = – 2Q, Q4 = 3Q. (b) Disminuye de
b
(Q1 + Q2 ) [C].
c−b
9Q 2
[J] a 0.
16πε 0 R
R 2.4.35. (a) Antes: Q1 = – Q, Q2 = – 2Q, Q3 = 2Q, Q4 = 0.
Después: Q1 = – Q, Q2 = 0, Q3 = 0, Q4 = 0.
(b) Disminuyó en
R 2.4.36. Q ' = −
Q2
4πε 0 R
[J].
20
Q [C]. Q1 = 0, Q2 = 0, Q3 = – 20Q/11, Q4 = 2Q/11.
11
R 2.4.37. Antes: Q1 = – Q, Q2 = 2Q, Q3 = – 2Q, Q4 = 4Q, Q5 = – 4Q, Q6 = Q.
Después: Q1 = – Q, Q2 = – Q/2, Q3 = Q/2, Q4 = 3Q/2, Q5 = –3Q/2, Q6 = Q .
Disminuyó en
25Q 2
[J].
48πε 0 R
R 2.4.38. Está distribuida entre r = R y r = 4R/3.