3.tema- LA INCERTIDUMBRE EN LAS MEDIDAS CIENTÍFICAS

3. LA INCERTIDUMBRE EN LAS MEDIDAS CIENTÍFICAS:
3.1. Tratamiento de datos y Forma de expresar las medidas
Sin embargo siempre se cometerán errores de tipo instrumental (sistemáticos) y humano
(accidentales). Suponga que se pesa un vaso de precipitados en una misma balanza durante cuatro
sesiones diferentes y que se obtuvieron los siguientes resultados, 20.52, 20.45, 20.40 y 20.43 g. Estas
diferencias podrían relacionarse con errores instrumentales, o con errores personales. Con una serie
de datos como éstos podría preguntarse ¿cuál es el mejor resultado y cuál es la incertidumbre de
éste?. Preguntas como éstas sólo podrán responderse haciendo el tratamiento estadístico de los
̅̅̅̅̅̅)
datos. El resultado, R de una serie de medias se reportará como el valor promedio de la serie (𝑿𝒎
más o menos la desviación estándar (𝑺𝒙 );
𝑹 = ̅̅̅̅̅
𝑿𝒎 ± 𝑺𝒙
a. La media. La media, media aritmética y promedio son términos sinónimos. Se obtiene dividiendo
la suma de los resultados de una serie de medidas por el número de determinaciones; la media
de una serie de mediadas como las del ejemplo anterior 20.52, 20.45, 20.40, 20.43, se calcula así:
̅̅̅̅̅= 20.52 + 20.45 +20.40 +20.43 =20.45
𝑿𝒎
4
b. Varianza: consiste en tomar el promedio de las diferencias al cuadrado de cada uno de los valores
experimentales (xi) y la media aritmética de la serie medida ̅̅̅̅̅
𝑿𝒎 :
̅̅̅̅̅)𝟐
Desviación de un valor experimental con respecto a la media = 𝑫𝒊 = (𝒙𝒊 − 𝑿𝒎
Serie de medidas
X1=20,52
X2=20,45
X3=20.40
X4=20.43
𝒔𝟐𝒙 =
desviaciones respecto a la media
D1= ( X1-Xm)2 =(20.52-20.45)2 = 0.0049
D2=( X2-Xm)2 =(20.45-20.45)2 =0.00
D3=( X3-Xm)2 =(20.40-20.45)2 =0.0025
D4=( X4-Xm)2 =(20.43-20.45)2 =0.0004
𝟐
∑𝒏
𝒊=𝟏(𝑿𝒊−𝑿𝒎)
𝒏−𝟏
=0.00195
c. Desviación estándar: La desviación media o desviación estándar corresponde a la raíz cuadrada
de la Varianza. La desviación media del ejemplo inmediatamente anterior es:
𝟐
𝑺𝒙 = √𝒔𝟐𝒙 , entonces
𝑺𝒙 =0.0442
Resultado: El resultado de la serie de medidas del ejemplo que hemos venido trabajando es:
R = 20.45 ± 0.0442
15/11/2015
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Precisión y exactitud de las medidas
3.2. Clases de errores:
Toda operación de medida está sujeta a errores o
incertidumbres. La confiabilidad de los resultados
dependen de la exactitud del instrumento y del
cuidado con el operario haga la medición.
Los instrumentos de medidas están construidos de
modo que pueden producir errores inherentes,
llamados errores sistemáticos.
ejemplo: una balanza podría dar lectura
consistentes pero que son 25 g demasiado altas, o un termómetro dar lecturas 2 ºC demasiado bajas.
Por
Las limitaciones en la habilidad del experimentador o en la capacidad para leer un instrumento
científico también conducen a errores dando resultados demasiados altos o demasiados bajos, estos
errores accidentales.
Clases de errores
Errores
sistemáticos
Errores
Accidentales
Causado
Instrumento
Instrumentista
Afecta
Exactitud
(vr)
Precisión
Solución
Calibrar el equipo
Cambiar el equipo Mejorar la sensibilidad
Mejorar el método de medida
Cambiar al operario
Vamos a observar en un ejemplo gráfico la representación de la exactitud y la precisión:
Excelente exactitud y
Buena exactitud y
Excelente precisión y
mala precisión y
precisión
mala precisión
mala exactitud
mala exactitud
↑E => ↑p ,
↑p ≠ ↑E
La observación diaria nos indica que en la obtención experimental de varias medidas de una cantidad
dada influyen tanto la calidad de los instrumentos de medida como la pericia de los operadores. Así,
que distintos operadores utilizando el mismo instrumento, o el mismo operador con distintos
instrumentos. Obtienen en general resultados diferentes. Es por tanto de interés definir los
conceptos de exactitud y precisión relacionados con estas variaciones.
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La exactitud: Se refiere a la aproximación de una medida a un valor aceptable o valor real.
̅̅̅̅̅ − 𝑽𝒓|,
𝑬 = |𝑿𝒎
La exactitud de una serie de medidas indica la aproximación de la media (el valor medio) de la serie al
valor verdadero (Vr) de la cantidad que se mide. De modo que comparando varias series de la misma
cantidad podemos decir que la más exacta es aquella cuyo valor medio se aproxima más al valor
verdadero.
Las medidas de precisión alta no son exactas, ya que podría existir un error sistemático grande. No
obstante, es más probable que las medidas de precisión altas sean más exactas que las de precisión
baja.
La precisión: Se refiere al grado de reproducibilidad de una cantidad medida. Esto es la proximidad
de los resultados cuando la misma cantidad se mide varias veces o lo mismo que la desviación
estándar.
𝟐
𝑺𝒙 = √𝒔𝟐𝒙 ,
𝒔𝟐𝒙 =
𝟐
∑𝒏
𝒊=𝟏(𝑿𝒊−𝑿𝒎)
𝒏−𝟏
La precisión de una serie de medidas indica la variabilidad entre los resultados de dicha serie. La
precisión de una serie de medidas es alta, o buena, si cada una de las medidas se desvía solamente
una pequeña cantidad del valor medio. A la inversa, si hay una desviación grande entre las medida, la
precisión es poca o baja.
3.3. CASO 1:
Analicemos cada influencia por separado. Supongamos que tres estudiantes obtienen la masa de una
moneda con la misma balanza, se conoce el valor real de la masa de la moneda Vr= 2.000 g y sus
resultados son:
Operadores inexpertos:
Estudiante A
Estudiante B
Estudiante C
1.980 g
1.971 g
2.000 g
1.970 g
1.973 g
1.998 g
̅̅̅̅̅)
1.975 g
1.972 g
1.999 g
Media (𝑿𝒎
̅̅̅̅̅
Exactitud (𝑿𝒎 − 𝑽𝒓)
0,025
0,028
0,001
Precisión(𝑺𝒙 )
±0,005
±0,001
±0,001
El estudiante A obtiene resultados más exactos que B, ya que su media está más cercana a 2.000 g. El
estudiante C tiene la mayor exactitud ya que la media es casi coincidente con el valor real de la masa
de la moneda.
Los resultados de B son más precisos que los de A ya que sus valores individuales se apartan menos
del valor medio (1.972) que los del A del suyo (1.975). En efecto los valores de A se apartan ±0.005
unidades; mientras que los de B se apartan ±0.001 unidades.
Sin embargo, los valores de C son tan precisos como los de B (Variación respecto al valor medio de
±0.001 unidades), sino que además son los más exactos. En resumen, con la misma balanza
diferentes operadores obtienen distintas medidas.
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3.4. CASO 2:
Si ahora intentamos que tres expertos profesores realicen la medida anterior pero usando 3 balanzas
de distinta sensibilidad, de modo que una sea capaz de leer sólo las décimas de gramos, otra las
centésimas y la tercera las milésimas los resultados podrían ser:
Operadores expertos:
̅̅̅̅̅)
Media (𝑿𝒎
̅̅̅̅̅ − 𝑽𝒓)
Exactitud (𝑿𝒎
Precisión (𝑺𝒙 )
Profesor A
1.9 g
2.1 g
2.0 g
0,0??
0,100
Profesor B
2.02 g
1.98 g
2.00 g
0,00?
0,020
Profesor C
2.003 g
1.999 g
2.001 g
-0,001
0,002
Los resultados de C serían precisos y exactos, los del B menos precisos y menos exactos puestos que
no sabemos qué cifra vendrá después del segundo cero, y los del A menos precisos y exactos que los
de B y A, ya que en este caso no sabemos nada de la segunda y tercera cifra después del primer cero.
Aunque el operador sea un experto, sus medidas dependen de la sensibilidad y precisión del
instrumento de medida. En este caso al pasar de A a C se aumenta la sensibilidad del instrumento,
mejorándose la precisión. Como comparación, cualquiera de los alumnos obtiene mayor precisión
con la balanza que los profesores A y B con los suyas.
El que un instrumento sea preciso no indica que sea exacto, si las marcas de una regla son
defectuosas el resultado de un conjunto de medidas sobre una cantidad puede ser muy preciso pues
para diferentes medidas se obtiene la misma respuesta, pero puede que el valor verdadero difiera del
encontrado, es decir, que la regla no da medidas exactas.
La precisión de una medida se puede contrastar cambiando el instrumento de medida. Si los
resultados son precisos los métodos lo son. La exactitud de una medida se puede contrastar
empleando el mismo método de medida que para la muestra estándar.
Ejercicios:
1. Al pesar varias veces un objeto se obtuvieron los siguientes resultados:
49.63; 49.84; 50.25; 49.68; 50.13; 50.40 g
̅̅̅̅ ± 𝑺𝒙
Expresé la anterior serie de mediciones según la forma de R=Xm
2. Una moneda cuyo valor real es de Vr=5,1660 g es pesada por 3 estudiantes quienes obtuvieron
la siguiente información. Diga cuál de los estudiantes obtuvo la mayor precisión y exactitud en
sus medidas.
Estudiante A
(g)
5,1659
5,1661
5,1658
15/11/2015
Estudiante B
(g)
5,1696
5,1680
5,1636
Estudiante C
(g)
5,1635
5,1636
5,1639
Ing. Químico-Cristian CONTRERAS [email protected]
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