Primer Nivel

Primer Nivel Primera Comunicación
Esta comunicación nos resulta un agradable momento para volver a encontrarnos,
al menos en este espacio, y nos gustaría que se constituyera en un ámbito de
intercambio y mutuo aprendizaje.
Para empezar queremos compartir con ustedes unas palabras.
A todos nos queda muy claro que en los tiempos en que vivimos la Matemática
pasa a tener un papel importantísimo e indispensable en el avance, tanto de la
Tecnología como de la Ciencia. Uno de los objetivos prioritarios de la educación
en la escuela secundaria es formar a ciudadanos con una sólida cultura general y
científica, en particular. Los que trabajamos en este proyecto pensamos,
humildemente, que introducir a nuestros estudiantes en el mundo de la resolución
de problemas podría ser la llave que abra las puertas a nuevas inquietudes y a la
constitución de aprendizajes significativos. Es por ello que seguimos trabajando en
esa línea y queremos contribuir a que hayan cada vez más participantes en
nuestras Olimpíadas, que se sientan parte integrante de ellas y que también
pueden abordar, interpretar y resolver las situaciones problemáticas que les
planteamos, todo ello en un clima de distensión y alegría.
También queremos destacar que al “hacer” Matemática se ingresa a un mundo de
impensadas posibilidades que puede contribuir, de manera insospechada, en la
constitución de una personalidad más clara y firme como personas. A los docentes
nos sigue produciendo una gran satisfacción y alegría que nuestros estudiantes se
involucren en actividades propias de la Matemática, superando la opacidad que
muchas veces generan actividades rutinarias o de menor valía.
Ahora los invitamos a realizar las siguientes actividades:
1) En su cumpleaños del año 1975, Juan alcanzó una edad que coincidía con la
suma de los dígitos del año en que nació. ¿En qué año nació si se sabe que
cumplió menos de 70 años? (Tomado en el examen de la Olimpíada 2012)
2) Determinar el valor de a2 − b2 sabiendo que a2 + b2 = 2ab, con a.b ≥ 0 .
3) De la ecuación - 2x 2 + bx + c = 0 se sabe que una de sus raíces es x1 = −2 y que
el coeficiente c supera al coeficiente b en 5 unidades. Calcular las raíces de la
ecuación 6x 2 − 3 bx − 3 c = 0
4) Una de las diagonales de un rectángulo de 56 cm de perímetro mide 20 cm,
calcular el área del rectángulo.
5) Mi amiga me invitó al teatro y se encargó de comprar las entradas, me dijo que
los números de los asientos eran el 139 y el 140. Llegué tarde y la luz estaba
apagada, para encontrar las butacas pregunté qué cantidad de filas tenía el teatro
y cuántos asientos había en cada una; las filas eran 16 con 22 butacas cada una y
la numeración comenzaba de izquierda a derecha desde la primera fila, donde
está el escenario, hacia atrás.
Si entro al teatro desde atrás y comienzo a contar las filas, ¿en cuál se encontrará
mi butaca? ¿Me conviene entrar por la derecha o la izquierda del teatro?
6) La biblioteca de Carolina tiene 24 libros infantiles y en algunos de ellos
encontraremos cuentos fantásticos, fábulas e historietas.
En 8 libros hay cuentos fantásticos, en 13 fábulas y las historietas se pueden
encontrar también en 13 libros.
En 5 libros encontraremos cuentos fantásticos y fábulas, en 3 libros cuentos
fantásticos e historietas
En 6 libros hay fábulas e historietas y solamente en 2 libros se escriben cuentos,
fábulas e historietas.
a) ¿En cuántos libros se incluyen solamente cuentos, fábulas ó historietas?
b) ¿Cuántos libros no tienen cuentos, fábulas o historietas?
c) ¿Cuántos libros no contienen cuentos?
7) En un octógono irregular conozco la medida de algunos de sus ángulos. Estos
miden 133°, 164°, 108° y 135°. Se sabe que los 4 restantes tienen la misma
amplitud, ¿Cuánto miden cada uno de estos últimos ángulos?
8) Para comprar 5 entradas al recital de “Los Soles” y 10 entradas al recital de
“Las Lunas” se invierten $500. Como se sabe que se van a adquirir muchas
entradas al recital de “Los Soles”, cuando llegan a comprarlas, los organizadores
las han aumentado en un 10%, mientras que para el recital de “Las Lunas” pueden
comprarlas con una promoción que les hace una rebaja del 20% sobre el precio
original. Cuando hacen cuentas comprueban que se ahorraron $70. ¿Cuál era el
precio de las entradas?
9) En una caja hay 9 billetes de $20, mientras que en otra caja hay 8 billetes de
$50. ¿Será posible pasar un número mínimo de billetes de una caja a la otra, de
manera tal que en las dos cajas la suma total de billetes arroje la misma cantidad
de dinero?
10) Se construye una tabla de doble entrada, los datos de las columnas son
números naturales consecutivos del 1 al 21 y los datos de las filas, también son
números naturales consecutivos, del 1 al 33.
Si se borran todas filas que no son múltiplos de 3 y todas las columnas que no se
identifican con un número par, ¿cuántas celdas quedan sin borrar en la tabla?
11) El beneficio semanal que obtiene el dueño de una estación de servicio está de
acuerdo con los litros de nafta sin plomo que vende, y se describe por medio de la
siguiente fórmula: y = -x2 + 46x - 205.
La variable x se mide en miles de litros y el beneficio en cientos de pesos. La
estación de servicio tiene capacidad de comercializar 50 mil litros por semana.
Se quiere conocer:
a) ¿Cuánto dinero pierde si no vende ningún litro de nafta?
b) ¿Cuántos litros se deben vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál será
ese beneficio?
c) ¿Para qué cantidad de litros no hay pérdida ni ganancia?
d) ¿Cuántos litros de combustible deberían venderse para que la actividad sea
rentable (produzca ganancia)?
12) Hallar todas las soluciones, si existen, de la ecuación 5 - x = x 5 − x
13) En el rectángulo MNPQ se sabe que el lado MN tiene una medida igual al
quíntuplo del lado NP. El perímetro de este rectángulo es igual a 48cm. Sobre el
lado QP se ubica el punto A de manera tal que QA = AP, y sobre el lado NP se
llama B a su punto medio. Con estos nuevos puntos se obtiene el cuadrilátero
MBPA, se pide hallar el área de este último cuadrilátero.
14) En un concierto se colocan 4 filas de 21 sillas cada una. Los organizadores
deciden reubicar la totalidad de las sillas de manera tal, que en cada fila siempre
haya la misma cantidad de sillas. Asumiendo que se va a formar más de una fila,
¿de cuántas maneras distintas se pueden acomodar las sillas? Luego, se decide
volver a acomodar la totalidad de las sillas, de manera tal que en cada fila siempre
haya 2 sillas más que en la fila anterior, ¿cuál es el mayor número de filas que se
puede formar?, ¿cuántas sillas habrá en la primera fila?
15) ¿Cuántos números naturales n satisfacen la relación 2/5 < n/17 < 11/13?
Respuestas:
1) 1955
2) 0
3) ½ y -2
4) 192 cm2
5) 10° fila y entrando por la izquierda
6) a) 12, b) 2 y c) 16
7) 135°
8) $20 y $40
9) Sí, por ejemplo, 3 billetes de $50 y 2 billetes de $20
10) 112
11) a) $20500, b) 23000litros y $32400, c) 5000 litros y 41000 litros, d) entre 5000
y 41000 litros
12) 1 y 5
13) 40cm2
14) de 10 formas distintas, 7 filas y la primera tendrá 6 sillas
15) 8 números naturales