teoría números reales

El número real
MATEMÁTICAS I
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1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL
1.1. El conjunto de los números reales.
Como ya sabes los números naturales surgen de la necesidad de contar, expresar medidas, para calcular y
ordenar. El conjunto de los números naturales se simboliza mediante la letra ℕ..
Una deficiencia de los números naturales es que no siempre se puede restar ni dividir con ellos.
Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que no pueden expresarse mediante números naturales, como
por ejemplo, la temperatura ambiente. Los números positivos y negativos sirven para expresar cantidades o
posiciones fijas. También sirven para expresar variaciones de cantidad (subir-bajar, gasto-ingreso,...).
Por este motivo, se amplia el conjunto de los números naturales con un nuevo conjunto numérico que es el
de los números enteros, que se simboliza con la letra ℤ .
Para medir suele ser necesario fraccionar la unidad. El conjunto de los números enteros no sirve para
expresar cantidades inferiores a la unidad: medio kilo, tres cuartos de un trayecto,... Con lo cual se introduce
un nuevo conjunto, el de los números racionales.
Los números racionales:
Se caracterizan porque pueden expresarse:
− En forma de fracción, es decir, como cociente de dos números enteros.
− En forma decimal: O bien son enteros o bien tienen expresión decimal finita o periódica.
Todo número racional tiene asociada una expresión decimal exacta o periódica, para obtenerla basta dividir
el numerador entre el denominador.
Una característica que tienen los números racionales es que entre dos números racionales cualesquiera
existen infinitos números racionales. Por ello, se dice que el conjunto de los números racionales es denso:
Dados dos números racionales cualesquiera, tomando la media aritmética de ambos obtenemos un
número racional comprendido entre los dos.
a

ℚ =  / a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0 
b


No obstante, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. Pueden
encontrarse números que tienen una expresión decimal infinita no periódica.
Ejemplo :
- La diagonal de un cuadrado de lado a.
- La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, el número π = 3,1415926535...
- La razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular, el número φ = 1,6180339887....


1
n
n
- El número e, que es el límite de la sucesión an =  1 +  : e = 2,71828845904…
Los números con infinitas cifras decimales no periódicas reciben el nombre de irracionales y su
conjunto se representa con la letra I.
Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de los
números reales y se simboliza con la letra ℝ.
Luisa Muñoz
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Este conjunto engloba a todos los conjuntos de números estudiados hasta ahora.





 Racionales
Reales 





 Irracionales

 Naturales
 Enteros 
 Enteros negativos


 Decimales exactos

Puros
 Decimales periódicos 

 Mixtos
N⊂Z⊂Q
R = {números racionales}∪ {números irracionales} = Q ∪ I
1.2. Representación sobre la recta
Una recta graduada es aquella en la que se han fijado dos elementos, el cero u origen, y la unidad, que
representa al número 1.
Existe un método exacto para representar geométricamente los números irracionales de la forma
n.
Ejemplo :
Representamos
2.
Trazamos sobre la recta real un triángulo de catetos 1 cm., en el que la hipotenusa, por el teorema de
Pitágoras es
2 . Con la ayuga de un compás lo situamos sobre la recta real.
C
A
C
B
1
0
A
C
B
1
0
A
B
1
0
De forma parecida podemos representar todos los números irracionales de la forma
en el teorema de Pitágoras.
2
n , basándonos
Ejemplo :
A continuación representamos de forma gráfica los números
2
0
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1
1
0
4
1
3
2
3,
1
2
2
3
0
1
2
3 2
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Aunque no seamos capaces de representar exactamente, por métodos geométricos, la mayor parte de los
números irracionales, la representación aproximada a partir de la expresión decimal será siempre fiable y
suficiente para nuestras necesidades.
Es fácil situar, sobre la recta real, los números enteros y los decimales exactos. Por ejemplo, para representar
el número 3,47 procederemos del siguiente modo:
0
1
2
3
4
3´4
3´47
3´5
Si el número es irracional, habría que repetir este proceso “infinitas veces” para situarlo exactamente en su
sitio. Si sólo lo efectuamos dos o tres veces, habremos aproximado el número hasta la segunda o tercera cifra
decimal.
Ejemplo :
Veamos algunos pasos para situar el número
2 = 1,4142135623730950488016887242097....
El número está situado en el tramo 1,4 y 1,5.
Dividiendo este tramo en 10 partes iguales no situaríamos en el segundo tramo, ya que está situado
entre los números 1,41 y 1,42.
Volviendo a repetir el proceso, nos situaríamos ahora en el 5º tramo ya que estaríamos entre los
números 1,414 y 1,415
1
2
1´4
1´41
1´5
1´42
1.3. Propiedades
Propiedades de la suma
La suma de números reales verifica las siguientes propiedades:
Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa: a + b = b + a
Elemento neutro: a + 0 = a
Elemento opuesto: a + (– a) = 0
Propiedades del producto
El producto de números reales verifica las siguientes propiedades:
Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c
Conmutativa: a · b = b · a
Elemento neutro: a · 1 = a
1
a
Elemento inverso: a · = 1
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a · (b + c) = a · b + a · c
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1.4. Relación de orden
Dados dos números a y b, decimos que:
a < b (a menor que b) si a – b < 0
a > b (a mayor que b) si a – b > 0
a ≤b
a ≥ b
La relación de orden entre números cumple las siguientes propiedades:
Si a < b y b < c, entonces a < c
Si a < b, para cual quier valor real c, se verifica a + c < b + c.
Si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c
Si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c
2. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS
La ordenación de los números reales permite hablar del conjunto de números comprendidos entre dos
números determinados
Hemos podido ver que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números reales. Para
referirnos a todos estos números se utilizan los intervalos.
2.1. Tipos de desigualdades
x > a : representa todos los números que son mayores que a.
x < a: representa todos los números que son menores que a
x ≥ a: representa todos los números mayores o iguales que a.
x ≤ a : representa todos los números menores o iguales que a.
Una desigualdad es doble cuando aparecen dos signos de desigualdad:
a < x < b: representa los números x tales que x > a y x < b
a > x > b: representa los números x tales que x>b y x<a.
a ≤ x ≤ b : representa los números x tales que x ≤ b y x ≥ a
a ≥ x ≥ b : representa los números x tales que x ≥ b y x ≤ a
Ejemplos:
−2 ≤ x ≤ 5 ⇒ Todos los números reales mayores o iguales que –2 y menores o iguales que 5
x > 7 ⇒ Todos los números mayores que 7
x ≤ −2 → Todos los números menores o iguales que -2
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2.2. Intervalos
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una
semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, siendo dos extremos en el caso de los segmentos o un
extremo en el caso de semirrecta.
Según incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
Nombre
Desigualdad
Intervalo
x>a
(a, + ∞ )
x<a
(– ∞, a)
x≥a
[a, + ∞ )
x≤a
(– ∞, a]
Intervalo abierto
a<x<b
(a, b)
a
b
Intervalo cerrado
a≤x≤b
[a, b]
a
b
a<x≤b
(a , b]
a
b
a≤x<b
[a, b )
a
b
Semirrecta
(intervalos no acotados)
Representación
a
a
a
a
Intervalo semiabierto
Actividades resueltas
1.- Dado el intervalo (-4,7] escribe tres números enteros que pertenezcan a dicho intervalo y tres que no
pertenezcan.
El intervalo (-4,7] está formado por todos los valores reales mayores que –4 y menores o iguales que
7.
Valores que pertenecen: -3, -2, 0, 4, 7
Valores que no pertenecen: -4, -5, 8, 12
2.- Representa los siguientes intervalos:
a) [2, 8]
b) [-2, 5)
c) [2, +∞)
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d) (-∞, 4)
e) (-1, 2)
f) (-5, 2]
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3.- Escribe como intervalo los puntos de los siguientes segmentos:
[ -3,+ ∞)
[-12,-7)
( 5, 8)
(-∞, 13 )
4.- Representa los intervalos (-2, 2) y [1, 4] y marca la zona común.
a) ¿Qué intervalo representa la zona común?
b) ¿Qué intervalo englobaría a todos los valores de ambos intervalos?
Los valores que pertenecen a la vez a ambos intervalos constituyen el intervalo intersección.
En nuestro caso serían los valores mayores o iguales que 1 y menores que 2:
(-2, 2) ∩ [1, 4] = [1, 2)
Los valores que pertenecen a uno de los dos intervalos constituyen el intervalo unión.
En nuestro caso serían los valores mayores que -2 y menores o iguales que 4:
(-2, 2) ∪ [1, 4] = (-2, 4]
2.3. Entornos
Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a – r , a + r).
Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto:
Er(0) = (-r, r) se expresa también | x |<0, o bien, -r < x < r.
Er(a) = (a – r, a + r) se expresa también | x – a |<0, o bien, a – r < x < a + r.
Se llama entorno reducido de centro a y radio r y se denota por E*(a,r), al intervalo:
E*(a,r) = E(a,r) – {a} = (a – r , a + r) – {a}
Entornos laterales
Por la izquierda: Er(a–) = (a – r, a)
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Por la derecha: Er(a+) = (a, a + r)
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2.4. Conjuntos acotados
Un conjunto A de números reales está acotado superiormente por un número real M si todos los
elementos de A son menores o iguales que M:
A acotado superiormente por M ⇔ a ≤ M, ∀ a ∈ A
Dicho número M se llama cota superior de A. Si A está acotado superiormente, existen infinitas cotas
superiores.
La menor de las cotas superiores se denomina supremo del conjunto A y se denota por sup A
Si existe alguna cota superior de A que pertenece al conjunto A se le denomina máximo del conjunto A.
Un conjunto A de números reales está acotado inferiormente por un número real N si todos los
elementos de A son mayores o iguales que N:
A acotado inferiormente por N ⇔ a ≥ N, ∀ a ∈ A
Dicho número N se llama cota inferior de A. Si A está acotado inferiormente, existen infinitas cotas
inferiores.
La mayor de las cotas inferiores se denomina ínfimo del conjunto A y se denota por inf A
Si existe alguna cota inferior de A que pertenece al conjunto A se le denomina mínimo del conjunto A.
Un conjunto A de números reales está acotado si lo está superior e inferiormente:
A acotado por M y N ⇔ N ≤ a ≤ M, ∀ a ∈ A
Actividades resueltas
Estudia la acotación de los siguientes conjuntos y halla en los casos que sea posible el máximo y el
mínimo:
a) A = {x ∈ ℝ / x ≤ 2}
Representamos gráficamente el conjunto A:
En la representación observamos que el conjunto está acotado superiormente pero no inferiormente.
Una cota superior puede ser cualquier número real que sea mayor o igual que 2. La menor de todas las
cotas superiores es 2, que pertenece al conjunto A.
Por tanto, máx A = 2.
b) B =  −2, 4 ) ∩ (1,6 
Representamos gráficamente el conjunto B:
Gráficamente observamos que la intersección de los dos conjuntos es el intervalo I = (1,4).
Dicho conjunto está acotado inferior y superiormente ya que cualquier elemento x de I verifica 1 < x < 4.
No tiene ni máximo ni mínimo.
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3. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real indica la distancia de ese número al origen 0.
Distancia = 12
Distancia = 12
Distancia = 3
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Distancia = 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
El valor absoluto de un número real a se representa por | a |
Si el número es positivo o 0, su valor absoluto es el mismo número.
Ejemplos:
| 12 | = 12 ;
|5|=5
Si el número es negativo, su valor absoluto es el opuesto del número.
Ejemplos:
| -3 | = 3 ;
| -12 | = 12
3.1. Propiedades
El valor absoluto de un número y su opuesto es el mismo: | a | = | – a |
| x | = a ⇔ x = ±a
| x | < a ⇔ -a < x < a ⇔ x ∈ ( −a,a )
| x | > a ⇔ x > a ó x < - a ⇔ x ∈ ( −∞, −a ) ∪ ( a, +∞ )
El valor absoluto de un producto de varios números es igual al producto de los valores absolutos de
cada factor:
|a·b|=|a |·|b|
El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos:
|a+b| ≤ |a |+|b|
3.2. Distancia entre dos puntos
Se define la distancia entre dos números reales “a” y “b”, que denotaremos d(a,b), como el valor absoluto de
la diferencia de esos números:
d(a,b) = |a – b|
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Actividades resueltas
1.- Realiza las siguientes operaciones con valores absolutos indicadas a continuación:
a) |3 – 7| + 5
b) 5 - |6 – 3| + |1 – 7|
c) | | 7 + 2 – 13| - |4 – 9| |
d)
4
7
− 2 − 1−
5
5
a) |3 – 7| + 5 = | -4 | + 5 = 4 + 5 = 9
b) 5 - |6 – 3| + |1 – 7| = 5 – 3 + 6 = 8
c) | | 7 + 2 – 13| - |4 – 9| | = | | -4 | - |- 5| | = | 4 – 5| = 1
d)
4
7
6 2 32
− 2 − 1−
= − =
5
5
5 7 35
2.- Indica qué valores de “x” cumplen las siguientes condiciones:
a)| x | = 4
b) | x | = 0
c) | x | = -2
d) | x | < 1
e) | x | > 4
a) Los valores de x son 4 y –4.
b) El único valor es 0.
c) No existe ningún valor ya que siempre el valor absoluto es positivo.
d) Hay que buscar en la recta real aquellos valores que disten menos de la unidad del 0. Por la
derecha del 0 tenemos los valores que son menores que 1 y por la izquierda del 0, los valores que
son mayores que –1.
e) Hay que buscar en la recta real aquellos valores que disten más de 4 unidades del 0. Por tanto,
serían los valores mayores que 4 y los valores menores que –4.
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