(x - h) + (y - k) = r

La ecuación utilizada es la ecuación estándar que tiene la
forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 donde h y k
son los
x e y coordenadas del centro del círculo y r es el
radio. En el contexto de la Geometría Analítica significa que
una circunferencia graficada con un centro definido
(coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la
podemos “ver” como gráfico y también la podemos
“transformar” o expresar como una ecuación matemática.
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la
elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F'(-c,0) y F(c,0).
Cualquier punto de la elipse cumple:
=
=
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2.
Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los
coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.
Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(−c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:
ejes
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra
ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor
anterior:
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que
aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del
sistema.
3. Resolvemos la ecuación obtenida:
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5. Solución
1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos
ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente
más bajo.
Ejemplo
7X – 3Y = -1 ec.1
2X + 6Y = 34 ec.2
Este método resuelve el sistema multiplicando las
ecuaciones de tal forma que una incógnita se elimine
quedando el sistema solo con una variable, en este caso
observamos que si multiplicamos la ec.1 por 2 nos
quedara lo siguiente
7X – 3Y = -1 * 2
14X – 6Y = - 2 ec.3
Ahora veamos lo que sucede si sumamos la ec.2 con la
ec.3
2X + 6Y = 34
14X – 6Y = -2
16X
= 32
Los valores de Y se eliminan por ser iguales y opuestos
quedando una ecuación de despeje sencilla
X= 32/16......... X=2
Ahora solo basta con sustituir el valor de X en la ec.1 o
bien en la ec.2 dará igual, en este caso lo haremos en la
ec.2
2X + 6Y = 34
2(2) + 6Y = 34
4 + 6Y = 34
6Y = 34 – 4
Debido al que el 4 pasa al otro lado del igual con signo
contrario
6Y = 30
Y=5
Y listo los valores de incógnitas del sistema son
X=2
Y=5
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del
sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De
esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de
reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma
columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Que es equivalente al inicial.
Es:
Solucionamos la tercera ecuación para obtener
:
En la primera y segunda ecuación, sustituimos
por la
solución de la tercera ecuación (
), para obtener:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera,
obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la
tercera y segunda ecuación la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (
ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular
superior:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola
incógnita,
, que resolvemos para obtener
.
Sustituimos, en la primera ecuación,
por 1 (
). Esto nos da una ecuación en
:
Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema
de ecuaciones inicial:
Resolver un triángulo consiste en hallar sus lados, ángulos y área.
Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos rectángulos: