Curvas Cónicas - IES José Cadalso

Tema 4: CURVAS CÓNICAS
¿Qué son las curvas cónicas?
Se llaman curvas cónicas a las que surgen al seccionar un cono por
un plano. Dependiendo de la inclinación que demos al plano que produce
dicha sección, la curva cónica se llamará: circunferencia, elipse, parábola o
hipérbola.
CONO
A. LA ELIPSE
La elipse es una curva plana, bisimétrica, que resulta de seccionar un
cono mediante un plano oblicuo con respecto a su eje central, de manera
que corte a todas sus generatrices. Podemos definirla como el lugar
geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a dos fijos llamados
focos, sumadas, es igual a una constante que mide lo mismo que el eje
mayor de la misma.
Sus elementos son:
-
Eje mayor AB=2a
Eje menor CD=2b
Foco F
Distancia focal: distancia de un foco a otro 2c
Radios vectores: los que unen cualquier punto de la curva con los
focos. Los radios vectores trazados desde un punto, sumados, dan
siempre lugar a lo que mide el eje mayor. En el gráfico distancias
QF1, QF2
Trazado de la elipse
El método de trazado que vamos a estudiar en este curso es el
método por puntos. El dato del que partimos es el de la medida de sus
dos ejes. Y los pasos para su construcción son los que siguen:
1º. Se dibujan los dos ejes cortándose, formando 90º, en su punto
medio
2º. Para trazar los focos, tomamos con el compás la distancia AO y
haciendo centro en C, la marcamos sobre el eje mayor AB. Como
resultado los puntos F y F´, quedan dibujados sobre AB.
3º. Marcamos sobre el eje mayor (AB) y entre los focos puntos
arbitrarios 1, 2, 3.
4º. Tomando con el compás la distancia A1 y haciendo centro en los
focos (F, F´) dibujamos cuatro arcos.
5º. Tomando con el compás la distancia B1 y haciendo centro en los
focos (F, F´) Dibujamos cuatro arcos que cortan a los anteriores. El
punto 1´ y sus simétricos con respecto a los ejes son puntos de la
curva.
6º. Hacemos la misma operación con los puntos 2 y 3. Obtenemos
así los puntos 2´ y 3´. La elipse se dibuja a mano alzada uniendo los
puntos obtenidos
B. LA PARÁBOLA
La parábola es una curva abierta, simétrica, surge, como ya
hemos visto, al seccionar un cono por un plano oblicuo respecto a
su eje central, de manera que dicho plano se sitúe paralelo a una de
sus generatrices. Se puede definir como lugar geométrico diciendo
que es el conjunto de puntos que equidistan al mismo tiempo de
una recta (a la que llamamos directriz) y de un punto (foco).
Sus elementos son:
-
El foco, F
El vértice, V
El eje focal
La recta directriz, D
Parámetro: distancia AB
Trazado de la parábola
Utilizaremos el método por puntos. Partimos del eje, la recta
directriz y el foco. Los pasos en el trazado son los que siguen:
1º. Trazamos la mediatriz de la distancia OF, obtenemos, así, el
punto A vértice de la curva.
2º. Marcamos puntos arbitrarios en el eje de la parábola: 1, 2, 3, 4
3º. Trazamos paralelas a la recta directriz por dichos puntos.
4º. Con la distancia O1 y haciendo centro en el foco marcamos los
puntos M y M´ sobre la paralela a la directriz trazada por 1. Dichos
puntos son puntos de la curva
5º. Con la distancia O2 y centro en F marcamos los puntos N y N´
sobre la paralela trazada por 2 a la recta directriz. Obtenemos así otros
dos puntos de la curva. Así sucesivamente hasta dibujar los puntos
suficientes para trazar la parábola a mano alzada
C. LA HIPÉRBOLA
La hipérbola es una curva plana, abierta, bisimétrica, que resulta de
seccionar un cono mediante un plano oblicuo con respecto a su eje
central, de manera que dicho plano se sitúe paralelo a dos de las
generatrices del cono. Podemos definirla como el lugar geométrico de los
puntos del plano cuyas distancias a dos fijos llamados focos, restadas, es
igual a una constante que mide lo mismo que el eje real de la curva.
Sus elementos son:
-
Eje real o focal
Eje imaginario o no focal
Vértices: VV´ o AB
Focos= F, F´
Radios vectores: los que unen cualquier punto de la curva con los
focos. Los radios vectores trazados desde un punto, restados, dan
siempre lugar a la distancia entre sus vértices.
Trazado de la hipérbola
El método de trazado que vamos a estudiar en este curso es el
método por puntos. Los datos de los que partimos para su construcción
son, la ubicación de los vértices en el eje focal o real, y los focos. Los
pasos a seguir son los que siguen:
1º. Marcamos sobre el eje mayor (AB) y a un lado del foco los
puntos arbitrarios 1, 2, 3, 4,…
2º. Tomando con el compás la distancia A1 y haciendo centro en los
focos (F, F´) dibujamos cuatro arcos.
3º. Tomando con el compás la distancia B1 y haciendo centro en los
focos (F, F´) Dibujamos cuatro arcos que cortan a los anteriores. Los
puntos obtenidos son puntos de la curva
4º. Hacemos la misma operación con los puntos 2, 3, 4,…,
obteniendo así más puntos de la curva. La hipérbola se dibuja a mano
alzada uniendo todos los obtenidos