Ejercicios #5

MA-2210 Ejercicios #5
36
Resolver los SED
1.
3x (t ) − y ′(t ) − 2 y (t ) = 8t

−t
 x ′(t ) − 2 x (t ) + y (t ) = 16e
y compruebe que las columnas de la matriz fundamental son l.i.

 x (t )   e −t e t  A   − 8t − 8te −t


 =  − t t   + 
−
t
−
t
 y (t )   3e e  B   8 − 16t + 24e − 24te 
R.
Xc
Xp
 x (0) = 0

 y (0) = 0
R.
 x (t ) = 16e t − 16e −t − 8t − 8te −t

t
−t
−t
−t
 y (t ) = 16e − 48e + 8 − 16t + 24e − 24te
R.

2 Et + Et 2 + B − 2t
 x (t ) =

t
 y (t ) = Et 2 + B
2.
El ejercicio anterior con
3.
 t 2 x ′(t ) − ty ′(t ) + y (t ) = 0
, t>0

− tx (t ) + y ′(t ) + y (t ) = 2t
4.
t 2 x ′(t ) − (t − 3) x (t ) − t 2 y ′(t ) + ty (t ) = −6
, t>0

x ′(t ) + x (t ) − y (t ) = 0

R.
 x (t ) = At −1 + Bt 3 − 2

−2
−1
2
3
 y (t ) = − At + At + 3Bt + Bt − 2
5.
t 2 x ′(t ) − (t − 3) x (t ) − t 2 y ′(t ) + ty (t ) = −6t 2
, t>0

x ′(t ) + x (t ) − y (t ) = 0

R.
 x (t ) = At −1 + Bt 3 − 2t 2

−2
2
−1
3
2
 y (t ) = − At + 3Bt − 4t + At + Bt − 2t
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ − ‫ ݕݐ‬ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ − ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = −5‫ ݐ‬ସ
൝
7.
 x ′′(t ) − x (t ) − y ′(t ) + y (t ) = 0

+ y ′′(t )
= t+3
 x ′(t ) + x (t )
R.
 x = Aet + Be −t + C cos t
+ E sen t + t + 2

t
 y = −2 Ae + (C + E ) cos t + (− C + E ) sen t + t + 3
8.
 x ′(t ) + y ′(t ) = y (t ) − x (t ) + 3e 2t − 4

2t
 x ′(t ) + y ′(t ) = x (t ) − y (t ) + e + 4
R.
 x (t ) = e 2t + A

 y (t ) = A + 4
9.
 x ′(t ) + y ′′(t ) = x (t ) + y (t ) − t 3 − t 2 + 8t

3
2
 x ′′(t ) + y (t ) = − y ′(t ) − x (t ) + t + 4t + 2
R.
 x (t ) =
A + Bt + Ce t
+ t2

t
−t
3
 y (t ) = ( B − A) − Bt − Ce + Ie + t
10.
 x ′′(t ) + y ′(t ) = x (t ) − y (t ) − 1

2
 x ′(t ) + y ′(t ) = x (t ) + t
R.
 x (t ) = ( A + Bt )e t + Ce −t − t 2 − 4t − 6

− Be t − 2Ce − t − t 2 − 2t − 3
 y (t ) =
 x ′(t ) = 6 x (t ) − 3 y (t ) + e5t
11. 
 y ′(t ) = 2 x (t ) + y (t ) + 4
R.
4t
3t 5 1 5t
3
 x (t )   2 Ae + Be − 2 + 2 e 

=

 y (t )   Ae 4t + Be 3t − 3

12. ቊ
R. ቊ
13.
‫ ݔݐ‬ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ − 2‫ݕݐ‬′ሺ‫ݐ‬ሻ − 4‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ + 10‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2‫ ݐ‬ସ
‫ ݔ‬ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ + ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ + ‫ ݕ‬ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ = −5݁ ଶ௧
‫ ݔ‬ᇱᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ − ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ + ‫ ݕ‬ᇱᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ = −13݁ ଶ௧
(
)
 D 2 − 4 x (t ) + (− 2 D + 1) y (t ) = t

+ D 2 y (t ) = 0
 (2 D + 1) x (t )
,‫ > ݔ‬0
 x (t ) = 3 At 2 + 4 Bt 3

2
3
4
 y (t ) = At + Bt + t
6.
R.
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ି ݁ܣ‬௧ + ݁ ଶ௧
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ି ݁ܤ‬௧ − 4݁ ଶ௧
R.
 x (t ) = Ae t + Be −t + C cos t + E sen t

t
−t
 y (t ) = −3 Ae + Be + (C + 2 E ) cos t + ( E − 2C ) sen t + 2 + t
MA-2210 Ejercicios #5
37
R.
 x (t ) = Ae − t + Be 4t − 5e 2t

−t 2
4t
2t
 y (t ) = − Ae + 3 Be − 5e
R.
1
 1
 1
  t
  2t
 
X (t ) = a 1e + b 1 e + c 0 e 2t
1
 0
 1
 
 
 
 x ′(t ) = 3x (t )

16.  y ′(t ) = 2 x (t ) + 2 y (t ) − z (t )
 z ′(t ) =
y (t )

R.
 0
 0   0  
  t
   
X (t ) = a  1 e + b  1 t +  1 e t
    
 1
 
 1   0 
 x ′(t ) = x (t ) + y (t ) − z (t ) + e t

17.  y ′(t ) = x (t ) + y (t ) + z (t )
 z ′(t ) = − x (t ) − y (t ) + z (t ) + e 2t

 x (t ) = A + Be t + Ce 2t − te t

t
2t
t
R.  y (t ) = − A − ( B + 1)e + 1 e + te
2

t
2t
t 1 2t
t
 z (t ) = − Be − Ce + e + 2 e + te
14.
 x ′(t ) = 2 x (t ) + 3 y (t ) + 15e 2t

2t
 y ′(t ) = 2 x (t ) + y (t ) + 5e
 x ′(t ) = 3x (t ) − y (t ) − z (t )

15.  y ′(t ) = x (t ) + y (t ) − z (t )
 z ′(t ) = x (t ) − y (t ) + z (t )
