MATEMÁTICA - FQBF - Universidad Nacional de San Luis
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UNSL
MATEMÁTICA
CURSO DE APOYO FQBF
Prof. Rodolfo G. Acevedo
Prof. Roberto M. Sánchez
Colaboradores
Lic. Darío Díaz
Lic. Andrés A. García Blanco
Ing. Yésica S. Lambrese
Ing. Diana Palatnik
Mgter. Ana Rubio Duca
Ing. Bernarda Sánchez
Lic. Eduardo A. Takara
2015
NOTA INICIAL
(Nota Original de los autores del libro)
Esta guía de trabajos prácticos, con algunos conceptos teóricos básicos, se ha preparado
para el curso de Matemática, del Curso de Apoyo 1978 instrumentado por:
Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales (San Luis);
Facultad de Química, Bioquímica y Farmacia (San Luis);
Facultad de Ingeniería y Administración (Mercedes) de la Universidad Nacional de San
Luis.
Contiene los temas fundamentales del programa oficial para el ingreso a las
universidades nacionales; con ejercicios tipo y ejercicios propuestos al aspirante que
participe en cualquiera de los cursos a desarrollarse, a partir del 30 de Enero, en San
Luis y en Mercedes.
Las breves referencias de carácter teórico eluden las definiciones y las demostraciones.
Sólo aquellos conceptos, como el de función, cuya introducción en la escuela secundaria
no siempre se realiza, han sido explicados someramente para facilitar la consideración
de otros temas. Pero si en el programa oficial no aparecen taxativamente, su
conocimiento no se exigirá al aspirante, ni en las evaluaciones parciales de los cursos, ni
en el examen de ingreso.
Aquellos ejercicios propuestos que figuran precedidos por un asterisco, constituyen un
elemento ilustrativo más para el aspirante. Pero en los exámenes no aparecerán
problemas con tal grado de dificultad.
Lo mismo debe decirse respecto de los problemas en general. Algunos exigen ciertos
conocimientos en otras ciencias, y se proponen para facilitar el estudio. Pero cuando el
resultado de las evaluaciones puede depender de esos conocimientos no matemáticos, se
evitará su inclusión en las pruebas parciales o de ingreso.
La tabla de logaritmos será considerada muy superficialmente. No así el concepto de
logaritmo y sus propiedades elementales. En los cursos regulares de las distintas
facultades de la Universidad se contempla la enseñanza del manejo de calculadoras de
bolsillo, con lo que la importancia de aquellas tablas se reduce.
Los conceptos de geometría cuyo estudio se proyecta, son también mínimos.
Virtualmente, sólo se exigirá que el alumno conozca las propiedades básicas de las
figuras planas elementales, algunas relaciones, y las fórmulas que facilitan el cálculo de
áreas. De la geometría del espacio se considerarán, únicamente, algunos volúmenes y
áreas de superficies.
2
Asimismo, razones de tiempo obligan a limitar el número de temas a desarrollar y a
exigir en los exámenes. El aspirante debe tener en cuenta, sin embargo, que en algunas
carreras puede exigírseles un conocimiento más amplio de tales temas, habitualmente
incluidos en los programas del ciclo medio oficial.
Mercedes, Noviembre de 1977.
3
ÍNDICE GENERAL
CAPÍTULO I
NÚMEROS
1. Clasificación…………………………….………………………………………….10
2. Operación binaria en un conjunto…………….……………………………………10
3. Operaciones en Q…………………………….…………………………………… 10
4. Potencias de exponente entero no positivo ………………………………...………11
5. Expresión decimal de un racional ………………………………………….………11
Ejercicios tipo ……………………………………………………………………...12
Ejercicios propuestos ………………………………………………………………13
CAPÍTULO II
CONSTANTES Y VARIABLES
ECUACIONES
1. Constantes y variables ...….………………….………...………………………….19
2. Ecuaciones. Raíz ……………….………………………………….……………...19
Ejercicios tipo…….………..…..…….…...………………………………………..20
Ejercicios propuestos…………………………..…………..…...………………….20
CAPÍTULO III
NÚMEROS REALES
INECUACIONES
1. Expresión decimal de los Reales ....………..……………………………………….25
2. Definición de la raíz cuadrada...........……...….……………………………………25
3. Radicales ..………………………...........…………………………………………..25
Ejercicios tipo …….…………………..…..………………………………………..25
4
4. Valor Absoluto…..…………………………..……………………....……………..26
5. Inecuaciones……..…………………………….. ...…………………..……………26
Ejercicios tipo………..………….……………………………………..…………..26
6. Ejercicios propuestos….……………………………..…………………..……..…..27
CAPÍTULO IV
FUNCIONES REALES
1. Relaciones binarias………….…………….……………………………….……….32
2. Función…………………………………….………………………..……………...32
Ejercicios tipo………………………………………………………….....…………..32
Ejercicios propuestos……….…………………………………………….....………...33
3. Representación gráfica.….……………...…………………………………..………34
4. Ecuación de la recta…………………………………………………………..….…34
Ejercicios tipo…………………………………………………………………......….35
Ejercicios propuestos…..………………………………......…………………..…....35
5. Sistemas Lineales…..………...……………………………………………….…....37
Ejercicios tipo………………………………………………………………….…......37
Ejercicios propuestos………………………………………………………….….......38
CAPÍTULO V
POLINOMIOS
1.Polinomios como funciones ..…….………….……..………..….…..………….…46
2. Operaciones…………….…….…………………………….…......….……………46
3.Regla de Ruffini.. ……………………………………….…….……...…….…...…47
4.Teorema del resto….………………………………..………………....….……….47
5. Potenciación……….……….………………………………………….…...………47
6. Factoreo de Polinomios…….……………………..………….………….…........…47
5
Ejercicios Tipo……….……………...…………..….…..……………….…………48
Ejercicios Propuestos...………….………………….…..……………….…………49
CAPÍTULO VI
COMPLEJOS
1.Forma binómica..…..……......…………………..…....…………………….………53
2. Operaciones. .………..……………..………………...…………………….………53
3. Raíz cuadrada de números negativos ..………..….……………...……….………53
Ejercicios Tipo …………………………....…..…….………………...……………53
Ejercicios propuestos ……………………..……….………… .....……..………….54
4. Representación Gráfica
......………………..………...…………....…..…………57
5. Módulo .. ...………….……………………..……………...…………..….………57
Ejercicios propuestos . …………………………………………..…...…....………57
CAPÍTULO VII
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
1. Resolución. Fórmulas ..…..………………………….……………………………60
2. Ecuaciones Incompletas ....………………....……….……………………………60
3. Discriminante ..………………..……………........….……………………………60
4. Relación entre coeficientes y raíces ..……..………...……………………………60
Ejercicios Tipo ..........…………………..……………..…………………….…….60
Ejercicios Propuestos .......…..…………..…………….….……………….………62
5. Representación del trinomio de segundo grado ..…..….……...………………….64
6. Inecuaciones de segundo grado ... ………………..…….……...…………….…..65
Ejercicios Tipo ......……….…………………….………….…..………….………65
Ejercicios Propuestos ..........………………….…………….…...…………….….66
7. Solución gráfica de la ecuación de segundo grado ...………......…....……...……67
6
Ejercicios Tipo…………………………………………………………............…...67
Ejercicios Propuestos……...…………………………………………….............….67
CAPÍTULO VIII
PROGRESIONES Y LOGARITMOS
1. Progresión aritmética….…………………………………………………........……69
2. Progresión geométrica….……………..………………………………………........69
Ejercicios Tipo y Propuestos.......…………….......……………………………........69
3. Logaritmos. Definición…………..……………………...…………………........…71
Ejercicio Tipo……………………..……………………………………….…..........71
Ejercicios Propuestos…………...…..………….……………………………...........72
4. Aplicación de la definición de logaritmos.................................................................73
Ejercicios Tipo y Propuestos……………………...……..………………….............73
5. Propiedades…………………..………………………..………………….….........74
Primeras Propiedades. Ejercicio Tipo y Propuestos.............…......……….………74
Resto de las propiedades, Ejercicios Tipo y Propuestos..........................................75
6. Cambio de bases.....................................................................................................76
Problemas Tipo........................................................................................................77
Problemas Propuestos..............................................................................................78
7. La función logarítmica……….......…………………………………........……..…78
8. Gráfica………………………………....…………….…………………........…….78
Ejercicio Tipo………………………….........…………...……………….....……..78
Ejercicios Propuestos………………………........…….......………………..……..79
CAPÍTULO IX
GEOMETRÍA
1. Geometría plana………………………………………………………………….81
7
1.1 .Rectas y Ángulos ............….……..……………………………………..…….81
1.2. Propiedades básicas de figuras .......………………………………………..…..81
1.3. Teorema de Pitágoras....………....….......…………………………………..….83
1.4. Teorema de Thales.……......…….........……………………........………..….83
Ejercicios Tipo .............…………………………………………………….....83
Ejercicios Propuestos …….......…………………………………………….....84
2. Geometría del espacio
2.1. Volúmenes……….....……………………………………..........……………...88
Ejercicios Tipo....……….……………………………….......………………..88
Ejercicios Propuestos.......……………………………………........…………...89
CAPÍTULO X
TRIGONOMETRIA
1.Medida de ángulos ,,,,,,,,,,,,………….....................……………………………..92
2. Líneas trigonométricas ...........………………….....………………………….…92
3. Relaciones entre líneas de un mismo ángulo ............…………….……………...93
4. Circunferencias trigonométricas ..........……………….…….…………………..93
5. Signos de las líneas en los cuatro cuadrantes ...........….…….…………………..94
6. Valores de las líneas de 0, / 6, / 4, / 3 , / 2 radianes ..........…….……..94
7. Reducción al primer cuadrante……………………………….………............…..95
8. Resolución de triángulos rectángulos………………………………….................97
9.Líneas de la suma y diferencia de ángulos; del ángulo duplo y del ángulo mitad..97
10. Fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos….....………………… 98
11.Propiedades para triángulos oblicuángulos………………………………….......99
12. Fórmula de Herón…………………………………………………………….....99
Ejercicios Tipo………………………………………………………………....100
Ejercicios Propuestos…………………………………………………………..101
8
I - NÚMEROS
1. Clasificación…………………………….………………………………………….10
2. Operación binaria en un conjunto…………….……………………………………10
3. Operaciones en Q…………………………….…………………………………… 10
4. Potencias de exponente entero no positivo………………………………...………11
5. Expresión decimal de un racional………………………………………….………11
Ejercicios tipo……………………………………………………………………...12
Ejercicios propuestos………………………………………………………………13
9
CAPÍTULO I
NÚMEROS
1. Clasificación
Naturales ℕ ó ℤ⁺
Enteros
ℤ
Racionales
ℚ
Reales
Complejos
ℂ
R
cero
Negativos ℤ⁻
Fraccionarios
Irracionales
Imaginarios
2. Operación binaria en un conjunto
Es una ley unívoca, que a un par ordenado de elementos del conjunto, le hace
corresponder un único elemento de ese conjunto.
3. Operaciones en Q
Leyes operativas:
a)
3 1 4
5 5 5
;
3 5 3 10
7
4 2
4
4
1 1
b)
4 5
45
1
5 8
5.8
2
12
10
2 7
2.10
4
5 10
5.7
7
c)
3
23
8
2
d) 3
27
3
3
4. Potencias de exponente entero no positivo
a) Negativo
2 3
3
5
1 1
23 8
2
1
3
5
2
5 2 25
9
32
b) Exponente cero
0
4 1 ;
0
3
1 ;
5
0 0 carece de valor numérico.
5. Expresión decimal de un racional
1
0,25 decimal exacto.
4
1
0,333 ..... periódico.
3
Pasaje de una notación a otra:
4,25
425 17
100
4
0,333 .....
3 1
9 3
;
pero 0,999…es igual a 1.
11
0,41777 .....
417 41 376
94
900
900 225
Pero: 0,53999….= 0,54 (exacta);
Recíprocamente:
4
4 5 0,8 , exacta;
5
10
7
30
0, 1428571…
20
60
40
50
10
.
.
.
periódica
Ejercicios tipo
1. Efectuar:
a)
4 3 1
2 1
5 2 4
b)
35 36 8
64 49 15
0
31 17 77 143 1
c)
25 81 54 211 3
1
2
2 1 5
d) 1 8
3 2 4
Solución
2
4.3 1 1 6 1 1 24 5 10 19
=
a) Queda así:
5.2 4 2 5 4 2
20
20
12
1 3
5 9 1
35.36.8
3
b) Queda así:
64.49.15 14
8 7 3
2
1
c) Como el primer sumando es 1, resulta: 1+3= 4
25 1
250 45 900
695
139
2 3 1
10
d)
10
9 2
90
90
18
3 2
2
2. Escribir en forma decimal, o de fracción según corresponda:
a) 2,75 ;
b) 0,03131 ;
c)
13
;
5
d)
14
21
;
e) 7,413999……
Solución
a)
275
100
d)
14 2
0,666 .....
21 3
;
b)
31 0 31
990
990
;
c) 2,6
e) 7,414
Ejercicios propuestos
Ej.N°1 Efectuar:
a)
1 4 7
2 2 2
b)
12 16 21
13 13 13
c)
1 4 6
3 6 12
d)
4 11 1 19
5 15 3 15
e)
4 1 1 2
3 9 2 3
f)
4 1 2 1
1
5 3 5 2
g)
2 1 2 1
3 4 3 2
h)
5 6 1 1
2
2 3 4 5
i)
12 6 4 7
4 3 8 4
2 1 1
1
3 4 2
j)
13
Ej.N°2 Efectuar siempre que la operación tenga sentido
a)
4 5 1
3 8 5
b)
2 1
5 3
c)
6 2
1
4 3
d)
e)
20 10 5
3 4 2
f)
16
1 3
2
3
4 2
15 2 1
45 3 3
h)
4 1 12
6 3 4
14 7 1
9 3 3
j)
2 1 6
3 5 15
7 2 1
4 3 4
g)
i)
Ej.N°3 Efectuar las siguientes operaciones combinadas
a)
3 1 2 6
5 4 5 5
b)
4 1 2
1
3 5 3
c)
4 7 1 2
2
7 3 2 3
d)
4
2 1 3
7 1
5
14 3 2
1 2
2 3
e) 2
g)
1 4
4 16
3 15 2 1 2
5 4 3 2 3
4 2 6
1
2 3 3
i)
2 1 2
1
3 2 4
f)
h)
9 25 4 16 1
5 3 3 4 2
1 1 1 1
3 3 3 3
j)
Ej.N°4 Efectuar cuando el valor numérico exista.
2
2
2 1 1
a) 1
3 9 3
3
6 25 2
b)
5 6 3
2
14
1
1
1
3
1
1
c) 2
4
4
1
2
0
3
1 4
e)
4
3 3
0
3 4
1
1
g)
5 10 3
1
2 1
5
d)
3 4
3
2
1
2
0
1
1
3
6
f)
5
5
5
2
2
1 2
2
i) 4
2 3
3
1 154 4 1
2
h)
2 176 10 3
1
2
9 1 2 1
j)
3 2 3 5
1
Ej.N°5 Operaciones con potencias. Efectuarlas.
2 2 4 1 20 2
a)
3
5 3 3
12 3 1 2
b)
3 6 4 3
1
1
1
11 2
3
1
c)
4 3
4
0
1
2
2
12 12 1
1
3
d)
4 3 4
2
2
2
0
1 1
4 1 1
e)
4 2
3 5 2
1
2 1 6
2
f)
3
3 5 15
g)
2
1
3
5 1 1
1
2 1 2
3 5
2
9 4 25 1 2
h)
3 5 9 3 3
15
1
2 2 4 2
1
1
i)
3 3 3
3
2
1
6
5 1 12 13 7
9
j) 1
3 4 5 7 13
Ej.N°6 Escribir en forma decimal o de fracción según corresponda.
a) 1,725
b) 0,035
c) 10,005
d) 0,727272….
e) 1,2555….
f) 2,3121212….
g)
17
4
h)
24
6
j)
16
3
k) 4,3253253….
l) 4,5666….
m)
100
25
n) 0,5999….
ñ) 42,6399…
i) 1,0222….
Ej.N°7 Efectuar cuando el valor numérico exista:
2
0,25 1,333 ......
3
a)
b) 14,999.....
12 1
3 4
1
3
1
c) 0,666 .... 5,999 .... 1,666 .....
5
d) 0,8 2,333.... 4,5 2 1,999.....
e) 0,333 .... 0,666 ... 1
34 1
2 0
Ej.N°8 Operar aplicando las reglas correspondientes al producto y cociente de
potencias de igual base:
16
5
1
a) 2 .2 2
3
2
4 4
b)
7 7
2
6
1
1 7 7 7
c) 4
2 2 2 2
d) a 2 2a 2 a
e) a 2 .a .a 1 .a 3 a 0
f) a b .a b .a b
2
1
0
Ej.N° 9 Aplíquese la distributividad para expresar en forma de suma:
a) a b
b) a b
2
c) a b
2
d) a b
3
e) a b c
3
f) a b c
2
2
. Extraer la regla práctica
3
Aplicar la definición para obtener: a
Ej.N° 10
2
correspondiente.
Ej.N° 11 Convención: a
regla del Ej.N° 10 :
a) 2 3
2
2 1
d)
3
m
n
a m . Calcular a partir de esta convención y de la
n
b) 2 3
2
2
1
e)
2
c) 2 4
0
2 3
17
II- CONSTANTES Y VARIABLES.
ECUACIONES
1. Constantes y variables ...….………………….………...………………………….19
2. Ecuaciones. Raíz ……………….………………………………….……………...19
Ejercicios tipo…….………..…..…….…...………………………………………..20
Ejercicios propuestos…………………………..…………..…...………………….20
18
CAPÍTULO II
CONSTANTES Y VARIABLES
ECUACIONES
Signos como: -3,
2
, π , a , b , c , se usan como constantes.
5
En cambio, x , y , z ………,son variables.
4 3 7 es una identidad.
2 x 3 0 es una ecuación, en una variable o incógnita. Raíz de esta ecuación es el
3
número: .
2
La ecuación: x 2 4 x 0 es una ecuación en una incógnita, de segundo grado.
Ejercicios tipo
1. Determinar la raíz de las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 2 x
1
3
2
b) 3.x 2 x 5 x
Solución:
a) 2 x
1
1
7
3 2x 3
x
2
2
4
esto se lee: “si…,entonces…”
b) 3x 2 x 5 x
3x 6 x x 5 x 1
2. Obtener la raíz de la ecuación:
2 x
x
x2
Solución: (no es una ecuación entera; luego no puede hablarse de su grado).
2 x
x
x2
2 x
x x 1
x2
(ojo: si se hubiera “pasado” el divisor : 2 x xx 2 2 x x 2 2 x
19
x 2 3x 2 0
pero esta no es raíz de la ecuación original, o
sea que se ha introducido una solución extraña)
Ejercicios propuestos
Ej. N° 12. Determinar las raíces de las ecuaciones de primer grado siguientes:
a) 3x 2 17
sol . : 5
b) 2 6 x 16 4
sol . : 3
c) 3 x 2 2 x 11
sol . : 9
d) 14 x 6 x 20 0
sol . : 1
e) 3x 2 2x 1 6
f) 3x 23x 2 16
g) 6 x 2x x 15
h) 63x 2 2 25x
i) 9 y y y y 4 18 y 2
sol . : 2
j) 6t 2 t 3 t 42
Ej. N° 13. Resolver las ecuaciones siguientes:
a)
1
x 2 1 3x
3
5
b)
3
1
4
x 2 x 1
5
3
3
1
c) 4 x 2 2 x 1 x 2
3
d) 5 x
x2
6 3x 1
5
e)
x2 4
x 1
x 1
3
3
6
f)
5
3x x 2 x 1 6
3
3
20
1
1
g) 2 y y 2
4
3
h) 4 x 2
6x x x
4
x
1
5 x
6
3
i)
j)
1
t4
5 0
3
k) x
m)
sol . : 19
x 2 5x
12
2
l) 10 x
sol . : 4
8x 3
2 x 3
4
sol . :
2
19
sol . :
9
8
x 1 x 2 x 3
x5
2
3
4
5
n) x 5 x 1
7 5x
1
10
1
ñ) 572 45 126 2 x 3 0
2
Ej. N° 15. El triplo de un número, aumentado en dos unidades, es igual a su cuádruplo
disminuido en cuatro ¿Cuál es el número?.
Ej. N° 16. Juan tiene el doble de la edad de Pedro; la suma de ambas edades, aumentada
en 5 años, nos da el doble de la edad de Juan. ¿Cuántos años tiene Juan y cuántos
Pedro?
R.: Pedro 5, Juan 10.
Ej. N° 17. La suma de dos números es 106, y el mayor excede al menor en 8. Hayar
esos números.
Ej. N° 18. Entre A y B tienen $1.154, y B tiene $506 menos que A. ¿Cuántos tiene cada
uno?.
Ej. N° 19. A tiene 14 años menos que B, y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad
tiene cada uno?.
Ej. N° 20. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma es de 103.
Ej. N° 21. Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
21
Ej. N° 22. Pagué $ 32.500 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó
$8.000 más que el coche, y los arreos $2.500 menos que el coche. Hallar los precios
respectivos.
Ej. N° 23. Tres cestos contienen 575 naranjas. El primero contiene 10 más que el
segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas naranjas hay en cada cesto?.
Ej. N° 24. Repartir $310 entre tres personas, de manera que la segunda reciba $20
menos que la primera y $40 más que la tercera.
Ej. N° 25. El mayor de los números es seis veces el menor, y ambos suman 147.
Hallarlos.
Ej. N° 26. Dividir el número 254 en tres partes tales que las segunda sea el triplo de la
primera y 40 unidades mayor que la tercera.
Ej. N° 27. Una botella con corcho vale $110; la botella vale $100 más que el corcho.
¿Cuánto vale la botella y cuánto el corcho?.
Ej. N° 28. La suma de tres números es 72. El segundo es igual a la quinta parte del
tercero, y el primero excede al tercero en 6 unidades. Hallar los números.
R.: 36, 6 y 30 .
Ej. N° 29. El exceso de 8 veces un número, sobre 60, es igual al exceso de 60 sobre 7
veces ese número. Hallarlo.
Ej. N° 30. Sumando la tercera y la cuarta parte de un número, se llega al duplo del
número disminuido en 17 unidades. Hallar el número.
Ej. N° 31. Hallar el número que, disminuido en sus 3/8, es igual a su duplo disminuido
en 11 unidades.
Ej. N° 32. Hallar el número que , aumentado en sus 5/6 es igual a su triplo disminuido
en 14 unidades.
Ej. N° 33. ¿Cuál es el número que tiene 30 unidades de diferencia entre sus 5/4 y sus
7/8?
Ej. N° 34. Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenía, me quedaron $39.000. ¿Cuánto
tenía?.
Ej. N° 35. Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los 2/13 del
mayor con los 2/3 del intermedio, sea igual al menor disminuido en 8.
Ej. N° 36. A tiene dos años más que B, y éste dos años más que C. Si las edades de B y
C se suman, esta suma excede en 12 años a los 7/8 de la edad de A. Hallar las
respectivas edades.
22
Ej. N° 37. Dos personas tienen actualmente 24 y 16 años. ¿Dentro de cuánto tiempo la
razón de sus edades será de 13/11?
23
III- NÚMEROS REALES.
INECUACIONES
1. Expresión decimal de los Reales…………..……………………………………….25
2. Definición de la raíz cuadrada…..……...….………………………………………25
3. Radicales ..……………………………..…………………………………………..25
Ejercicios tipo……………………………………………………………………..25
4. Valor Absoluto…..…………………………………………………………………26
5. Inecuaciones…………..……………………………………………………………26
Ejercicios tipo………….………….………………………………………………..26
6. Ejercicios propuestos…..………………………………………………………..….27
24
CAPÍTULO III
NÚMEROS REALES
INECUACIONES
1. Expresión decimal de los números reales.
Los números irracionales admiten una expresión decimal de infinitas cifras, no
periódica. Con ello, todos los reales pueden escribirse en forma decimal. Así:
𝜋 = 3,141592653 ….
2. Definición de raíz cuadrada:
a con a 0 , es el número real b 0 tal que: b 2 a.
Esta definición vale para
n
a , con n par.
Si n es impar, a puede ser negativo y b positivo o negativo.
En todo caso, la raíz enésima, en el campo real, es única:
4 2
;
3
8 2
3. Radicales:
Operaremos con los números irracionales que tienen forma de radical. Para los que no la
tienen, usaremos aproximaciones decimales.
Ejercicios tipo
1. Efectuar: a) 4 2 5 2 8
3
d)
2.4 2
6
2
b)
3. 2
e)
2
c)
4
a. a
2. Eliminar radicales del divisor en:
a)
2
2
b)
2b
3
a
Otros conceptos teóricos:
25
4. Valor absoluto:
a
a
a
Propiedad importante: para x real, es
si
si
a0
a0
x2 x
5. Inecuaciones:
La relación “ < ” cumple:
a) si a y b son números reales, entonces es:
a b,
o bien: a b ,
o bien: b a .
b) a < b a x b x, para cualquier x R.
c) a b
x0
y
ax bx, para cualquier x R.
En base a estos axiomas se trabaja con inecuaciones, pudiéndose demostrar que:
ab
x0
y
ax bx
Ejercicios tipo
3. Probar que: x a a x a
Solución
Admitamos (se debería demostrar también) que:
x x x
(1)
Entonces:
x x
por (1) es:
y por hipótesis:
x a
x a (2)
Multiplicando por -1 ambos miembros, de la hipótesis resulta:
x a
x a (3)
y por (1) : x x
De (2) y (3) resulta la tesis.
26
Como se puede demostrar que vale también el condicional recíproco, resulta en
definitiva:
x a a x a
4. Determinar el conjunto de valores de x que cumple:
b) 5 3 x
a) 2 x 3 x
2
3
c)
4
2
x 1
Solución
a) 2 x 3 x
b) 5 3 x
2x x 3
2
3
3x
x3
2
13
13
5 3 x
x
3
3
9
c) si x 1 0 , o sea x 1 , es:
4 2( x 1)
4 2x 2
6 2x x 3
De manera que los x que cumplen, simultáneamente, ambas relaciones, son los que
x 1
cumplen:
Sí x 1 0
x 1 , es:
4 2( x 1)
4 2x 2 6 2x x 3
Los que cumplen, simultáneamente, son los que cumplen: x 3
En definitiva: gráficamente, la solución es la unión
de los conjuntos de puntos de la figura.
-2
-1 0
1
2
3
4
Ejercicios propuestos
Ej.N°38. Realizar las operaciones siguientes:
a) 5 2 125 20
b) 3 2 3 2 18
c) 3 3 12 ( 40 8 )
d)
e)
3
8a 3 a 3 27a
3
54 2
3
2 5
3
2
f) 3 a 3 a 3 a
Ej.N°39. Operar:
a)
2 3 4
b) ( 2 3) 5
27
c) (7 5 5 3) 2 3
d) (2 3 3 2 ) (3 2 2 3)
e) ( 5 2) (2 5 2)
f) (a ba b ). ab
g)
3
a 2 b (3 a 3 b)
h) ( (3 a b) (b a )
Ej.N°40. Efectuar las divisiones siguientes:
2 3 16
b) 2 3a 10 a
a)
3
c)
1
3
3ab
a
2
4
e)
2a 3 2
a
a 2
3
3a
d)
75a 2b3 5 3ab
f)
13 1 13 1
3 2 6 3
2 2
b)
9a 3a 2
c) 3 8a3b 4 4a 2
d)
1
1
2a 6 16 a 4
2
4
f)
43
1
4ab
2a 2
5
10
3
a3
Ej.N°41. Operar y simplificar:
a)
e)
3
3
5m2 n 5 m3n2
Ej. Nº 42. Efectuar:
4
a) √√𝑎 . √𝑎
3
d) √√5. √125 . 53
4
b) √√𝑎. √𝑏 − 2 √𝑎𝑏
e) √√√64 −2√2
3
3
c) √( √3 . √9). 3
4
3
f) √ √𝑎2 𝑏 3 . √𝑎𝑏. (𝑎𝑏)4
Ej.Nº 43. Eliminar los radicales del divisor en las expresiones siguientes:
a)
1
√3
2𝑎
d)
3
g)
4
√4𝑎2
5𝑎
√25 𝑎3
b)
e)
h)
3
c)
4√5
6
f)
3
5 √3𝑚
1
3
5 √3𝑝
i)
3
4
√9𝑎
2𝑎
√2𝑎𝑏
3𝑎2 𝑏
1 5√ 3
𝑎𝑏
3
28
Ej.Nº 44. Decidir cuáles de las siguientes expresiones corresponden a enunciados
verdaderos, y cuáles a falsos:
2 1 11
a) 2 2
i)
3 4 12
1 1
b)
j) 16 4 16 4
8 8
c)
d)
64 6 4
a2 a
e)
65 6 5
f)
x y x y
x2 x
k)
l)
0 0
m)
3
y3 y
g) 9 (3) 9 3
h) |16 ∶ 4| = |16|: |4|
Ej.Nº 45. Determinar, en cada caso, el conjunto de valores de x que satisface la
inecuación:
a) 2 x 3 x 5
x 5x
2
e) 3 x 4
4 2
b) 5 x 12 3x 4
3
6
f)
x2
c) x 6 21 8 x
d) 2 x
5 x
10
3 3
Ej. Nº 46. Demostrar que:
Para todo par (x, y) con x ≠ y, es: x 2 y 2 2 xy
1
Ej. Nº 47. Demostrar que: para todo x > 0, con x ≠ 1, es: x x 2
Ej. Nº 48. Demostrar que:
a) x 1 x x
2
b) 0 x 1 x x
2
c) x 1
x 1 x2 1
x 1 x2 1
29
d) x y 0 x 2 y 2 x y
2
Ej. Nº 49. Obtener el conjunto de valores de x que cumple:
a)
2x 1 3
b) 3x 2 1
c) 5x 1 4
d) 2x 1 1
e) 3x 1 4
f)
4x 3 1
g)
x6 9
h) 3x 2 7
i)
x 2 2x 3
30
IV- FUNCIONES REALES
1.Relaciones binarias…………….…………….……………………………………….32
2.Función……………………………………….……………………….……………...32
Ejercicios tipo………………………………………………………………………..32
Ejercicios propuestos………………………………………………………………...33
3.Representación gráfica.…….……………...…………………………………………34
4.Ecuación de la recta……………………………………………………………….…34
Ejercicios tipo…………………………………………………………………….….35
Ejercicios propuestos…………………………………………………………….…..35
5.Sistemas Lineales…..………...……………………………………………………...37
Ejercicios tipo…………………………………………………………………….….37
Ejercicios propuestos…………………………………………………………….…..38
31
CAPÍTULO IV
FUNCIONES REALES
1. Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados:
S = {(a,b), (a,c), (m,c), (n,c), (m,n)}
El conjunto de los primeros elementos de cada par es el dominio de la relación; y el
conjunto de los segundos elementos, el rango:
D (S)={a,m,n}
; R(S)={b,c,n}
2. Cuando una relación binaria es tal que cada elemento
del dominio tiene una sola imagen, la relación es una
función.
a*
m*
n*
*b
*c
*n
Trabajaremos con funciones reales, o sea con funciones cuyo dominio y rango están
constituidos por números reales.
La imagen de un elemento x, dada por la función f, se nota f(x). Así, f expresa la ley
analítica que debe utilizarse para obtener la imagen de cada número x del dominio.
Debiendo tenerse en cuenta que x es una variable muda, en el sentido de que puede
sustituirse por cualquier otra.
Ejercicios tipo
1. La ley de Boyle y Mariotte dice que el volumen que ocupa un gas a temperatura
constante es inversamente proporcional a la presión que soporta; y el coeficiente de
proporcionalidad es una constante c, que depende de las unidades. Resulta así que: V=
f(P). Expresar analíticamente esta función.
Solución
V f ( P)
c
P
2. Si f es la ley que hace corresponder a cada número real su inverso multiplicativo, se
pregunta cuál es el dominio de tal función.
32
Solución
f es tal que: f ( x)
1
x
; entonces, D (f)= 0
f (t ) t 2 t 2
3.Para:
, dar las imágenes de: t 0, t
1
, t 2
2
Solución
f (0) 2
;
1
1 1
f( ) 2
2
4 2
; f ( 2) 2
Ejercicios propuestos
Ej. Nº 50. El espacio recorrido por un móvil que se desplaza a velocidad vo, constante,
en línea recta, es directamente proporcional al tiempo. Expresar analíticamente esta
función.
Ej. Nº 51. Limitemos el dominio de la función: f(x) = 5 x-1, al conjunto de todos los
números reales comprendidos entre 0 y 13 inclusive. Se pregunta cuál es el conjunto
imagen correspondiente.
Ej. Nº 52. Si para: f(t) = - t-11, se limita el campo de variabilidad de t al conjunto de
los números comprendidos entre 2 y 9, ¿Cuál es el conjunto imagen?
Ej. Nº 53. Considérese, como dominio de: z (x) =3x2 + 2 , al conjunto formado por los
números 1, 2, 3 y 7. ¿Cuál es el conjunto imagen?.
Ej. Nº 54. Para cada una de las funciones siguientes, hallar las imágenes que se piden:
a) f(x)= 2x + 5
f(1) , f(-3) , f(6) , f(4)
b) f(u)= 2 – 5u
f(-1) , f(0) , f(2) , f(-3)
c) g(t) = 3t -1
g(-5) , g(-2) , g(1) , g(2)
d) h(v)= v2 - v – 1 ;
h(-3) , h(0), h(4) , h(t)
e) g (x) = x2 + 3x- 2 ;
g(-5) , g(3/2) , g(6)
f) i(t)= 2t3- 4t + 5 ;
i(0) , i(-1) , i(-1/2)
g) f(p) = (3+p) (p-2) (2p+3);
f(-3) , f(2) , f(4)
h) M(u)=(u-1) (u+3) (3u-1) ;
M(1) , M(5) ,M(-3)
Ej. Nº 55. Si la función L es tal que:
L(i)
i 2 i 1
,
i2
hallar: L(0) , L(3) , L(-1)
33
Ej. Nº 56. Para las funciones de dos y tres variables siguientes, se pide determinar las
imágenes indicadas en cada caso:
a) s( u,t)= u2t -2t+1 ;
s(2,1) , s(1,2)
b) g(r,q)= r3-2r2q+q3 ;
g(0,2) , g(3,4)
c) f(p,q,n)= qn+3pq- 4np ;
f(1,0,-1) , f(1,2,3)
d) F(x,y,z)= xyz +xy – 2xz ;
F(2,1,1) , F(-1,2,0)
Ej. Nº 57. Hallar las imágenes de los puntos que se indican, para cada una de las
funciones siguientes:
a) w(r )= 3r -2 ;
w (b +1) , w(2c-3)
b) h (t) = 2t +5 ;
h (1-2x) , h(2t +5)
c) g (r)= 2 -3r
;
g(3r +1) , g(r-1)
d) S(h) = h2+ 2h-3 ;
S(2h+1) , S(h-3)
e) f(t)= t2+2t-3
f(2-t) , f(2-5t)
;
Ej. Nº 58.
a) Si f(x)= x2- 3x+1 ,
hallar: f(x)+f(y) , y f(x+y)
b) Si f(x)=3x2-2x+4 ,
hallar: f(x+y) y f(x·y)
c) Si f(x)=2x2 +5x-1 ,
hallar: f(x+y) y f(x-y)
d) Si f(x)= x2-4x+3 ,
hallar: f(x)+ f(h) y f(x+h)
e) Si f(x)= 2x2-x-1 ,
hallar :
f) Si f(x)= 2x+3 , g(x)= 3x-2 ,
hallar: f [g(x)] ; g[f(x)] ; f[g(2)] ; g[f(2)]
𝑓(𝑥+ℎ)− 𝑓(𝑥)
ℎ
g) Si f(x)= x2-2x+3 , g(x)= 2x-5 , hallar: f [g(t)] ; g[f(u)] ; f[g(3)] ; g[f(3)]
Otros conceptos teóricos
Representación gráfica. Ecuación de la recta
3. En general, representamos los elementos del dominio de una función sobre un eje
horizontal; y sus respectivas imágenes sobre uno vertical, perpendicular a aquel.
4. En un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, o sea en un sistema de ejes
coordenados (x,y), ortonomado y derecho, la representación de la función:
34
f(x)= ax+b es una recta de pendiente a y ordenada al origen b.
Aquí es: y= f(x)
Ejercicios tipo
4. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (0,3), y es
paralela a: y = -2x+7.
Solución
Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente, es:
a= -2 ; b=3 . Entonces: y= -2x +3 es la ecuación buscada.
5. Obtener la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto (xo, yo).
Solución
El par (xo, yo) debe satisfacer la ecuación de la recta:
y = mx + b . Entonces: yo = mxo +b . Restando ésta de aquella queda:
y- yo = m (x- xo) , ecuación buscada.
6. ¿Cuáles son las ecuaciones de los ejes de coordenadas?
Solución
Si la recta es paralela al eje x, es m= 0. Entonces:
y= 0x + b
y = b es una paralela al eje x que pasa por (0,b).
Luego, el eje tiene por ecuación: y = 0 .
Ahora bien, una recta paralela al eje y tendrá una ecuación que no corresponde a una
función.
Es: x= c, la ecuación de la paralela que pasa por (c,0),
x = 0, la ecuación del eje y.
Ejercicios propuestos
Ej. Nº 59. El siguiente cuadro muestra el peso medio de las mujeres de 20 años en Sud
América. Se pide hacer la gráfica, fijando el peso en función de la altura.
35
Altura en cm.
Peso en kgr.
Altura en cm.
Peso en kgs.
152,5
47,5
165
60
155
50
167,5
63
157,5
52,5
170
66
160
55
172,5
69
162,5
57,5
175
72
Ej. Nº 60. En la siguiente tabla, la columna de la izquierda da la temperatura en grados
Fahrenheit, y en la columna de la derecha se indican los correspondientes tiempos
requeridos para obtener un negativo de un cierto tipo de película. Construir el gráfico.
Temperatura
tiempo
temperatura
tiempo
55º
15
75º
7,4
60º
12,8
80º
6
65º
10,9
85º
4,5
70º
9
90º
3,6
Ej. Nº 61. Representar las rectas cuyas ecuaciones son:
a) y 2 x
e) y 5
b) y 2 x 3
f) 2 x 4 y 6
c) y
g) 5 y 15
3
x 1
4
d) y x
h) 3x 9 0
1
2
Ej. Nº 62. Obtener la ecuación de la recta que cumple:
a) Es paralela a la ecuación: y=2x – 3 , y pasa por el punto P( -1,2);
b) Es la bisectriz del primer cuadrante;
c) Es paralela a:
x+2y = 4 , y pasa por el origen.
36
Ej. Nº 63. Obtener la ecuación general de una recta que pasa por dos puntos distintos
del plano.
Ej. Nº 64. Determinar las ecuaciones respectivas, de las rectas r 1 y r 2 de la figura.
4
y
3
r1
2
1
r2
0
-4
-2
0
2
4
6
x
Ej. Nº 65. Dar las ecuaciones de dos rectas de manera que se intersequen en el punto A
(1,-2).
Temas teóricos.
5. Sistemas lineales.
Si dos rectas se cortan, sus ecuaciones deben satisfacerse para el par de valores que
constituyen las coordenadas del punto de corte. Obtenerlas analíticamente es el
problema que lleva a buscar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con
dos variables. Utilizaremos, en general, el método de determinantes (regla de Cramer),
aunque conviene recordar otros recursos sencillos: sustitución, igualación, reducción
por suma y resta.
6. Si las rectas son coincidentes (sistema aparente, de infinitas soluciones) la regla de
Cramer conduce a una indeterminación conocida como “cero sobre cero”. Si son
paralela (sistema incompatible), sólo el denominador es nulo.
Ejercicios tipo
7. Determinar la compatibilidad o incompatibilidad de los siguientes sistemas, y
resolver los que tuvieran solución única. Indicar qué ocurre con los restantes.
3
2 x y 1 0
a)
6 x 4 y 1
2
3
2
3 x 2 y 2
b)
1 x y 5
3
2
37
8 y 6 x 2 0
c)
3
1
y 4 x 4
Solución
1 −1
| 1 −4|
a) 𝑥
=
𝑦=
3
1
|2
|
1
6 2
2
3
|2
−1|
6 −4
0
| 5
=
1
2
−6+6
=
−
7
2
0
incompatible
3
21
−6 − 4
4
=
=
0
0
3
2
−2
b) 𝑥
=
−4+
2
2
|31
3
−1
3
2
−1
|
=
|
15
4
2 1
−3−2
2−
=
7
4
7
−6
−
=
3
2
2
−2
|3
|
1 5
5 2
7
+3
3
2
3
𝑦=
=
= 3 = −2
7
7
7
−6
−6
−6
Solución del sistema: (3/2, -2)
c) 𝑥
=
−2
| −1
4
6
|3
4
8
1|
8
1 |
=
−2+2
6−6
=
0
0
indeterminado
6 −2
|3
1|
3 3
−4
−2 + 2 0
4
𝑦=
=
=
0
0
0
Ejercicios propuestos
Ej. Nº 66. Resolver, utilizando preferentemente el método de sustitución, los sistemas
siguientes:
x 3 y 6
a)
5 x 2 y 13
5x 7 y 1
b)
3x 4 y 24
38
4 y 3x 8
c)
8x 9 y 77
15y 11y 32
e)
7 y 9 x 8
x 5 y 8
d)
7 x 8 y 25
10x 18y 11
f)
16x 9 y 5
Ej. Nº 67. Resolver los sistemas que tuvieran solución única de entre los siguientes,
utilizando preferentemente el método de igualación:
2 x y 1
a)
3
3x 2 y 4
x 6 y 27
b)
7 x 3 y 9
3x 5 y 7
c)
2 x y 4
7 x 4 y 5
d)
9 x 8 y 13
9 x 16 y 7
e)
4 y 3x 0
14x 11y 29
f)
13y 8x 30
Ej. Nº 68.Resolver, por cualquier método, los sistemas siguientes. Indicar qué ocurre
con los que no tuvieran solución única.
2abx a 2 y a 2 b
a)
ay bx 0
7 x 15y 1
f)
x 6 y 8
6 x 5 y 9
b)
4 x 3 y 13
m x 2ny 3
g)
n2
y0
nx
m
4
1
1
2 x 3 y 4
c)
2 x y 1
3
3
9 x 11y 14
d)
6 x 5 y 34
12x 14y 20
e)
12y 14x 19
3x 2 2 y
h)
2 y 5 7 x
x 1 y 1
i)
x 3 3 y 7
11x 9 y 2
j)
13x 15y 2
Ej. Nº 69.Resolver los sistemas siguientes:
3x 9 x y 5 y 2 x 9 y
a)
4 x 3 y 7 5 y 47
39
x y 6 x 8 y 10x 5 y 3
b)
x y 9 y 11x 2 y 2 x
2x 5 4 y 4 x
c)
10 x y 11y 12x
Ej. Nº 70. La diferencia entre dos números es 40, y 1/8 de su suma es 11. Hallarlos.
Ej. Nº 71. 5 trajes y 3 sobretodos cuestan $418.000; y 8 trajes y 9 sobretodos $694.000.
Hallar el precio de un traje y de un sobretodo, suponiendo que cada prenda del mismo
tipo vale lo mismo.
Ej. Nº 72. Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor, la suma es
316; y si a 9 veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83.
Determinar esos números.
Ej. Nº 73. Dos vehículos están sobre un mismo camino, a 30 km, de distancia uno de
otro. Si parten al mismo tiempo y en la misma dirección, el primero pasa al segundo al
cabo de 8 horas. Si marchan uno hacia otro, se encuentran a las 3 horas. ¿Cuáles son sus
velocidades?
Ej. Nº 74. En un banco le dan monedas de 5 y 10 pesos por un total de 195 pesos.
¿Cuántas monedas de cada valor recibió, si le dieron 22 monedas?
Ej. Nº 75. Determinar las dimensiones de un rectángulo de 72 cm. de perímetro
sabiendo que el largo sobrepasa a la altura en el 25% de ésta.
Ej. Nº 76. Los 3/10 de la suma de dos números exceden en 6 unidades a 39; y los 5/6 de
su diferencia son 1 unidad menos de 26. Hallar esos números.
Ej. Nº 77. Si a los dos términos de una fracción se les suma el número 1, el valor de la
fracción es 2/3; y si a los dos términos se les resta 1, el valor de la fracción es ½. ¿Qué
fracción es?
Ej. Nº 78. Una caja de cartón contiene 144 cajas pequeñas, algunas de las cuales pesan
25 gr. y otras 50 gr. ¿ Cuántas cajitas hay de cada tipo, si el contenido total de la caja
pesa 51 Kg.?
Ej. Nº 79. Un joyero tiene dos barras de aleaciones de oro, una de 12 quilates y otra de
18 quilates. Teniendo en cuenta que el oro de 24 quilates es oro puro, de modo que el de
12 quilates es 12/24 puro, y el de 18 es 18/24 puro, se pregunta: ¿Cuántos gramos de
cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gramos de oro de 14 quilates?
Ej. Nº 80. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por la
intersección de las rectas cuyas ecuaciones son:
4x y 2 , 2x 3 y 8
40
Ej. Nº 81. Resolver, gráficamente:
x y 1
a)
x y 7
x 8 y 2
d)
y 4 x 2
5 x 3 y 0
b)
7 x y 16
5x y 4
e)
x 2 y 1
3x 4 y
c)
x 4 y 2
2 x y 6
f)
x 2 y 3
Ej. Nº 82. Aplicar la regla de Cramer para verificar los resultados obtenidos en el
ejercicio anterior.
Ej. Nº 83. Resolver, por cualquier método, los sistemas siguientes:
12( x 2 y) 8(2 x y) 2(5x 6 y)
a)
20( x 4 y) 10
3
2 x y 11
b)
x y 7
2
x y
7 3 5
c)
3 y x 26
14
12x 5 y 6 0
d) 5 x 7 y
12
6
3
x 3 y 4
3 4 0
e)
x 4 y 2 3
5
2
Ej. Nº 84. Los siguientes son sistemas de ecuaciones no enteras que pueden
transformarse en lineales. Operar y resolverlos.
3( x 3 y ) 21
5 x 6 y 17
a)
4 x 7 y 2
2 y 1
3
x y 1
x y 1 17
b)
x y 1 15
x y 1
7
7
2x 3 y 6
3x 2 y 1
c)
10
6
x y 4 y 2
Ej. Nº 85. Utilizar la regla de Cramer para resolver los sistemas de tres ecuaciones
lineales con tres incógnitas:
41
x y z
2 2 3 3
x y z
a) 5
3 6 2
x y z
6 3 6 0
yz
x 3 4
xz
10
b) y
8
yx
z 2 5
x 3 y z 2
c) x y 5 z 4
4 x z 7
x y z 1
1
1
3
d) x y z
2
2
2
3
1
2 x 2 y 2 z 6
Ej. Nº 86. Las edades de A y B están en la relación 5 a 7. Dentro de dos años, la
relación entre la edad de A y la de B será de 8 a11. Hallar las edades actuales.
R.: A= 30 años; B=42.
Ej. Nº 87. Hallar las dimensiones de una sala, sabiendo que: seis veces el ancho excede
en 4 metros a la longitud; y que si a la longitud aumentada en 3 metros se la divide por
el ancho, el cociente es 5 y el resto 3.
R.: 20 m. y 4 m.
Ej. Nº 88. Resolver los siguientes sistemas, cuando haya solución única. Indicar qué
ocurre con los que no la tienen.
x y z 40
a) x y z 50
y z x 60
x y z 11
b) x y 3z 13
2 x 2 y z 7
7 x 10 y 4 z 2
d) 5 x 2 y 6 z 38
7
x 5 y 2z 1
2
x 3 y 2z 1
c) 2 x y 3z 9
3 x 2 y 4 z 11
Ej. Nº 89. Dado un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, se pregunta:
42
a) ¿Puede tener solución?
b) En caso afirmativo, ¿esa solución es única?; ¿puede haber infinitas soluciones?
Justificar las respuestas mediante ejemplos.
Ej. Nº 90. Las misma preguntas del ejercicio anterior, pero referidas a un sistema de dos
ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Ej. Nº 91. Resolver los siguientes sistemas, si tuvieran solución (indicar si hay infinitas
soluciones en algún caso):
3 x 2 y 6
2
a) x y 2
3
2 y 4 3 x
x 3 y
b) y x 1
x
y
9
3
3
y x 1 0
e) y x 3 0
y 2x 0
x 5 y
f) 2 x y 4
4 x y 8
x 2 y z 3
c)
x y 4 z 1
2
1
1
5 x y z
d)
3
2
2
3x y 2
Ej. Nº 92. Encontrar, gráficamente, el conjunto solución (si existe) de cada uno de los
siguientes sistemas de inecuaciones:
y 2 1
a)
8 x 2 y 2
x y 2
b)
2 x y 4
3 x 2 y 6
c) 3
x y 1
2
x y 3
d)
x 2 0
43
Ej. Nº 93. Resuelto gráficamente el ejercicio anterior, se pregunta:
a) ¿El par (0,-5) pertenece al conjunto solución de alguno de los sistemas dados?
Explicitar.
b) ¿El origen pertenece a algún conjunto solución?
c) ¿Hay puntos del plano que no pertenecen a ninguno de esos conjuntos solución? .En
caso afirmativo, dar alguno.
Ej. Nº 94. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 24 metros. Hallar la longitud de
los lados, sabiendo que uno de los catetos mide las tres cuartas partes del otro.
Ej. Nº 95. Resolver, si tuvieran solución única, los sistemas siguientes:
2 x y 2 2
a)
1 2 x 3 y 5
a bx a by 2a
b)
ax a by b
3x 2 y 1
c) x z 3
4 y z 6
u v w 1
d) u v 0
u w 7
Ej. Nº 96. ¿Existe algún valor de k para el cual el siguiente sistema carece de solución
única? En caso afirmativo, determinarlo, y establecer si, para él, el sistema es
indeterminado o incompatible.
x ky z 1
2 x y z 3
x y 1
V- POLINOMIOS
1.Polinomios como funciones .…….………….……….…………….…….……….…46
2. Operaciones…………….……………………………..…….………………………46
3.Regla de Ruffini ………………………………………….…….……………………47
4.Teorema del resto…………………………………..………………….…………….47
5. Potenciación…………………………………………………………………………47
6. Factoreo de Polinomios…………………………..…………….……………………47
Ejercicios Tipo……….…....………….…………..……………………………………48
Ejercicios Propuestos.……....…….……………………………………………………49
45
CAPÍTULO V
POLINOMIOS
1.
Consideraremos a los polinomios como funciones enteras de una variable. O de
más, cuando sea necesario.
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + … … … … + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ; es un polinomio de grado n si 𝑎𝑛 ≠ 0.
En polinomios de más variables independientes, el grado está dado por el término de
mayor grado. Y el grado de un término es el número de factores variables del mismo.
P(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 𝑦 − 5𝑥𝑦 3 ; tiene grado cuarto.
2.
Operaciones.
a)
Suma: (2𝑥 2 − 5𝑥 + 3) − (3𝑥 3 − 2𝑥 + 1) =
= 2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 − 3𝑥 3 + 2𝑥 − 1; y en éste se reducen los términos semejantes:
= −3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2
b)
Producto:
4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5
2𝑥 2 − 𝑥 − 1⁄2
8𝑥 5 − 4𝑥 4
+ 10𝑥 2
−4𝑥 4 + 2𝑥 3
− 5𝑥
− 5⁄2
+ 11 𝑥 2 − 5𝑥 − 5⁄2
− 2𝑥 3 +
8𝑥 5 − 8𝑥 4
𝑥2
c)
Cociente: Para dividir un polinomio por un monomio basta aplicar la propiedad
distributiva, debiendo tenerse en cuenta que el cociente no siempre será un polinomio.
Para dividir polinomios procederemos como sigue, trabajando solamente con
polinomios en una variable. Sea:
(8𝑥 5 − 2𝑥 2 + 𝑥 3 − 3)/(4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 1)
Conviene escribirlos ordenados y “completos”, así:
46
8𝑥 5 + 0𝑥 4 + 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 0𝑥 − 3
−8𝑥 5 + 4𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2𝑥 2
4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 1
−2𝑥 2 − 𝑥 − 1⁄4
0𝑥 5 + 4𝑥 4 − 𝑥 3 + 0𝑥 2 + 0𝑥 − 3
−4𝑥 4 + 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥
0𝑥 4 + 𝑥 3 −
𝑥2 +
𝑥 − 3
−𝑥 3 + 1⁄2 𝑥 2 − 1⁄4 𝑥 + 1⁄4
0𝑥 3 − 1⁄2 𝑥 2 + 3⁄4 𝑥 − 11⁄4
3.
Cuando el divisor tiene la forma: 𝑥 + 𝑎, puede aplicarse la regla de Ruffini
3𝑦 6 − 2𝑦 4 + 𝑦 3 − 5𝑦 + 4 𝑦 + 1
Cuadrito:
3
0
-3
-3
-1
3
-2
3
1
1
-1
0
0
0
0
-5
0
-5
4
5
9
resto
coeficientes
El cociente es: 3𝑦 5 − 3𝑦 4 + 𝑦 3 + 0𝑦 2 + 0𝑦 − 5
y el resto = 9
4.
El teorema del resto dice que, si 𝐷(𝑥) es el dividendo, es
𝑟 = 𝐷(−𝑎)
En nuestro ejemplo:
𝑟 = 3(−1)6 − 2(−1)4 + (−1)3 − 5(−1) + 4 = 3 − 2 − 1 + 5 + 4 = 9
Aplicando todo esto, resulta el cuadro siguiente, para la divisibilidad de la suma o
diferencia de potencias de igual exponente, por la suma o diferencia de sus bases:
D
𝑥 + 𝑎𝑛
𝑥 𝑛 +𝑎𝑛
𝑥 𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 𝑛 − 𝑎𝑛
𝑛
5.
Potenciación:
d
𝑥+𝑎
𝑥−𝑎
𝑥+𝑎
𝑥−𝑎
Resto 0 si n es:
I
impar
N nunca
P
par
S
siempre
(𝑥 ± 𝑦)2 = 𝑥 2 ± 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
(𝑥 ± 𝑦)3 = 𝑥 3 ± 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 ± 𝑦 3
47
6.
Factoreo de polinomios.
Factor común:
8𝑥 4 𝑦 − 4𝑥 3 𝑦 2 + 6𝑥 2 = 2𝑥 2 (4𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2 + 3)
el coeficiente no interesa
Otro caso:
𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑧 2 𝑥 − 𝑧 2 𝑦 = 𝑥 2 (𝑥 − 𝑦) + 𝑧 2 (𝑥 − 𝑦)=
=(𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑧 2 )
Cuadrados y cubos:
4𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑥𝑦𝑧 3 + 𝑧 6 = (2𝑥𝑦 − 𝑧 3 )2
𝑎3 𝑥 3 + 3𝑎2 𝑥 2 𝑦 + 3𝑎𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 = (𝑎𝑥 + 𝑦)3
Diferencia de cuadrados:
𝑥 2 − 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
Suma o diferencia de potencias de igual exponente:
𝑥 5 − 32 = 𝑥 5 − 25 es divisible por la diferencia: 𝑥 − 2;
entonces:
𝑥 5 − 25 = (𝑥 − 2)(𝑥 4 + 2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 8𝑥 + 16)
Ejercicios tipo
1.
Operar:
a) (𝑥 3 − 𝑥 + 2)(𝑥𝑦 + 1)
Solución: se puede operar directamente:
𝑥 4 𝑦 − 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑥 3 − 𝑥 + 2, y no hay términos a reducir.
b) 7𝑥 3 𝑦 3 − 4𝑥 2 𝑦 2 − 5𝑥𝑦 + 1 𝑥𝑦 − 2
Ruffini: 7𝑥 2 𝑦 2 + 10𝑥𝑦 + 15
7
2
7
-4
14
10
-5
20
15
1
30
31
Resto: 31
2.
Factorear:
a) 4𝑥 3 − 8𝑥 2 + 4𝑥 − 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 − 𝑦
Solución: queda: 4𝑥(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) − 𝑦(𝑥 2 + 2𝑥 + 1)=
48
= (4𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) = (4𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 1)2
b) 𝑥 3 𝑦 4 − 𝑥 3 𝑧 4 8𝑦 4
𝑥 3 (𝑦 4 − 𝑧 4 ) − 8(𝑦 4 − 𝑧 4 ) = (𝑥 3 − 23 )(𝑦 4 − 𝑧 4 ) =
Solución: queda:
= (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 4)(𝑦 2 + 𝑧 2 )(𝑦 2 − 𝑧 2 ) =
= (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 4)(𝑦 2 + 𝑧 2 )(𝑦 + 𝑧)(𝑦 − 𝑧)
Ejercicios propuestos:
Ej. N° 97. Efectuar las siguientes operaciones:
a) Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 ; 𝑔(𝑥) = −2𝑥 2 − 𝑥; determinar (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
b) Con los mismos polinomios anteriores, determinar:
(𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑓. 𝑔)(𝑥); (𝑔⁄𝑓) (𝑥).
Ej. N° 98. Con: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 + 6; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 − 𝑥 + 1; realizar
a) (𝑓. 𝑔)(𝑥);
b) (𝑓 − 𝑔)(𝑥);
Ej. N° 99. Dividir:
a) (4𝑥 3 + 5𝑥 2 − 𝑥 + 2)/(2𝑥 2 − 𝑥 + 1)
b) (𝑦 4 𝑧 4 − 3𝑦 2 𝑧 2 + 1)/(𝑦 3 𝑧 3 + 2𝑦 2 𝑧 2 − 𝑦𝑧 + 1)
c)
𝑦 5 −2𝑦 3 +𝑦 2 −6
𝑦−2
Ej. N° 100. Dividir aplicando la regla de Ruffini cuando sea posible:
a) (3𝑥 + 5𝑥 2 − 1⁄2 − 𝑥 3 )/(𝑥 − 2)
4
b) (5 𝑦 7 − 2𝑦 5 + 𝑦 4 + 2𝑦)/(𝑦 + 1)
c) (2𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 5)/(2𝑥 + 1) (ojo con el resto!)
d) (𝑥 3 𝑦 3 + 5𝑥 2 𝑦 2 − 4)/(𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥𝑦 + 1)
Ej. N° 101. Aplicar el teorema del resto para verificar los resultados obtenidos en las
divisiones realizadas por la regla de Ruffini en el ejercicio anterior.
Ej. N° 102. Trabajando “por tanteo”, con números enteros pequeños, encontrar
polinomios divisores de:
a) 𝑥 2 − 4𝑥 − 5
49
b) 𝑥 3 − 5𝑥 2 − 4
c) 𝑥 5 + 3𝑥 4 − 𝑥 3 − 11𝑥 2 − 12𝑥 − 4
Ej. N° 103. Escribir un polinomio (desarrollado) que sea divisible:
a) Por 𝑥 − 2 y por 𝑥 + 3;
b) Por 𝑥 − 1 tres veces, y por 𝑥 + 1.
Ej. N° 104. ¿Qué valor debe tener k para que el polinomio:
𝑥 4 − 3𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 𝑘; sea divisible por 𝑥 − 2 ?
Ej. N° 105. Realizar las siguientes operaciones con polinomios:
1
a) (3𝑥 2 − 𝑥 + 1)(−5𝑥 3 + 2 𝑥 − 3)
b) (𝑥 + 3)3
c) (−2𝑥 − 1)2
d) (5𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥𝑦 − 3)/(𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 1)
e) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2
f) 𝑥 3 /(𝑥 2 − 5𝑥 + 2)
g) [(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)]2
h) (3 + 2𝑦 − 6𝑦 2 )(𝑦 3 − 2𝑦)
Ej. N°106. Factorear, descomponiendo cada polinomio en expresiones primas:
a) 𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦 2
b) 2𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 2𝑢𝑥 − 𝑢𝑦 − 2𝑣 2 + 𝑣 2 𝑦
c) 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 2 + 𝑦 2 − 𝑧 4 𝑥 2 + 2𝑥𝑧 4 − 𝑧 4
d) 𝑥 5 − 𝑦 2 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑦 2
e) 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 − 1
f) 𝑥 4 𝑦 2 + 2𝑥 3 𝑦 + 𝑥 2 𝑧 2 − 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥𝑦𝑧 − 𝑧 2
g) 𝑣 3 𝑥 4 − 𝑣 3 𝑦 4 + 8𝑥 4 − 8𝑦 4
h)
1 5
𝑧
2
+ 16
i) 𝑥 3 𝑦 2 − 3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 + 3𝑥𝑦 2 𝑧 2 − 𝑦 2 𝑧 3 − 𝑥 3 𝑤 2 + 3𝑥 2 𝑤 2 𝑧 − 3𝑥𝑤 2 𝑧 2 + 𝑤 2 𝑧 3
Ej. N° 107. Sabemos que si el número 𝑎 anula a un polinomio (es raíz del polinomio),
éste es divisible por 𝑥 − 𝑎. Entonces, se pide descomponer los polinomios que se dan en
productos de factores lineales, conociendo las raíces:
50
a) 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6; raíces: 1,2 y 3
b) 𝑥 5 + 3𝑥 4 + 2𝑥 3 − 2𝑥 2 -3x-1; raíces: 1 y -1
Ej. N° 108. Escribir una ecuación de segundo grado en x cuyas raíces sean:
a) 3 𝑦 − 2
b)
3
4
𝑦
1
2
c) 5 𝑦 − 5
51
VI- COMPLEJOS
1.Forma binómica..…………………………………..……………………….……..…53
2.Operaciones..……………………………………………………………….…..……53
3.Raíz cuadrada de números negativos……………….…………………….……..…53
Ejercicios Tipo………………………….……………………………………………53
Ejercicios propuestos………………………………………… .....………………….54
4.Representación Gráfica ...…………………………………………....………………57
5.Módulo... …………………………………………………………………….………57
Ejercicios propuestos…………………………………………………...…….………57
52
CAPÍTULO VI
COMPLEJOS
1. Forma binómica: 𝑎 + 𝑏𝑖 , con 𝑖 2 = −1; 𝑎 𝜖 ℝ, 𝑏 𝜖 ℝ.
2. Operaciones:
a) 𝑆𝑢𝑚𝑎: (4 + 3𝑖) + (−2 + 𝑖) = 2 + 4𝑖
b) 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜: (2 + 3𝑖)(5 − 𝑖) = 5.2 + 5.3𝑖 − 2𝑖 − 3𝑖 2 =
= 10 + 15𝑖 − 2𝑖 + 3 = 13 + 13𝑖
Se puede hacer directamente
𝑎 + 𝑏𝑖
recordando:
𝑐 + 𝑑𝑖………..
(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
Producto de complejos conjugados: (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏 2
c) Cociente:
𝑎+𝑏𝑖
𝑐+𝑑𝑖
=
(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)
(𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)
=
(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)
𝑐 2 +𝑑2
y solo basta realizar
este producto.
O sea:
2+3𝑖
1−𝑖
=
(2+3𝑖)(1+𝑖)
(1−𝑖)(1+𝑖)
=
−1+5𝑖
2
1
5
2
2
=− − 𝑖
d) Potencias: 𝑖 0 = 1; 𝑖 1 = 𝑖; 𝑖 2 = −1; 𝑖 3 = −𝑖; 𝑖 4 = 1; y
Recordar: 𝑖 4𝑛 = 1
así
siguiendo.
3. La introducción de los números imaginarios resuelve el problema de : √−4, que
ahora tiene un valor numérico en el campo complejo, atendiendo a que: (2𝑖)2 =
−4. Entonces se calcula pensando que √−4 =√4(−1) y considerando : 𝑖 = √−1.
Ejercicio tipo:
1.
Efectuar:
a) (5 − 𝑖) + 𝑖
53
b) (3 − 2𝑖)(6 − 𝑖)
c)
4+𝑖
1
𝑖
2
d) 𝑖 5
e) 𝑖 32
Solución:
a)
b)
c)
(5 − 𝑖) + 𝑖 = 5 − 𝑖 + 𝑖 = 5
3 − 2𝑖
6−𝑖
(18 − 2) + (−12 − 3)𝑖 = 16 − 15𝑖
4+𝑖
1
𝑖
2
=
1
2
1
1
(2𝑖)(−2𝑖)
(4+𝑖)(− 𝑖)
=
1
−2𝑖− 𝑖 2
1
4
2
1
−2𝑖
2
1
4
=
= 2 − 8𝑖
d) 𝑖 5 = 𝑖 4 . 𝑖 = 𝑖
e) 𝑖 32 = 𝑖 4𝑛 = 1
2.
Determinar las raíces de:
a) 𝑥 2 + 16 = 0
b) 𝑥 4 + 3𝑥 2 = 0
c) 𝑥 2 − 4𝑥 + 13 = 0
Solución:
a) 𝑥 2 = −16==> 𝑥 = ±√−16; 𝑥1 = 4 𝑖 𝑦 𝑥2 = −4𝑖
b) 𝑥 2 (𝑥 2 + 3) = 0; 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = 0
𝑥 2 = −3 ==> 𝑥 = ±√−3 ; 𝑥1 = √3𝑖 𝑦 𝑥2 = −√3𝑖
c) 𝑥 =
4±√16−52
2
=
4±√−36
2
==> 𝑥1 =
4+6𝑖
2
= 2 + 3𝑖 𝑦 𝑥2 = 2 − 3𝑖
Ejercicios propuestos:
Ej. N°109. Operar:
a) (1 + 4𝑖)+(3+5i)
b) (2 + 6𝑖) + (2 − 6𝑖)
c) (√2 + 3𝑖) + (2𝑖 + 1)
d) 4 + (𝜋 + 𝜋𝑖)
54
e) (3 + 2𝑖) + (√2 + 7𝑖) + √3𝑖
f) 3 + (7i − 3)
g) (2 + 3𝑖)(4 + 7𝑖)
h) 6𝑖. 3𝑖
i) (3 − 𝑖)(1 + 2𝑖)
j) (8 + √2𝑖)(1 + √3𝑖)
k) 𝑖(3 + 5𝑖)
l) 2𝑖(√2 − 𝑖)
Ej. N°110. Probar que la condición necesaria y suficiente para que la suma y el
producto de dos complejos sean números reales, es que ellos sean conjugados.
Ej. N°111. Calcular:
a) 𝑖 11
b) (1 − 𝑖)2
c) 𝑖 4𝑛+3
d) (4 + 2𝑖)2
e) (1 + 𝑖)3
f) – 𝑖 2
g) (4 − 3𝑖)2 (2 − 5𝑖)
h) (−𝑖)4
Ej. N°112. Hallar el inverso aditivo de cada uno de los siguientes números complejos:
a) 5 − 4𝑖
b) 3
c) 𝑖
d) 𝑎 + 𝑏𝑖
e) −4 − 3𝑖
f) −4
Ej. N°113. Obtener los valores de 𝑥 e 𝑦 que verifiquen:
a) 𝑥 − 𝑦𝑖 = 3 + 6𝑖
b) 𝑥 − 5𝑦𝑖 = 20𝑖
c) 8𝑥 + 3𝑦𝑖 = 4 − 9𝑖
55
d) 𝑥 − 𝑦 + (𝑥 + 𝑦)𝑖 = 2 + 6𝑖
e) 𝑥 + 𝑦𝑖 = 1 + 𝑖 2
f) 𝑦 2 𝑖 2 = 𝑖(1 − 𝑥 2 )
Ej. N°114. Sean 𝑥 𝑒 𝑦 números reales, con 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ; y sea: 𝑧 2 = 8 + 6𝑖. Se pide
determinar los pares (𝑥, 𝑦), reales que cumplen relación.
Ej. N°115. Determinar el inverso multiplicativo del complejo 2 + 3𝑖. Expresarlo, en
general, para 𝑎 + 𝑏𝑖, con 𝑎 y 𝑏 números reales.
Ej. N°116. Efectuar los siguientes cocientes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
7+6𝑖
3−4𝑖
13+5𝑖
2𝑖
1
2+𝑖
1+√2𝑖
1−√2𝑖
1+𝑖
2−𝑖
−5𝑖
3+5𝑖
√2+√3𝑖
1+√2𝑖
𝑎+2𝑏𝑖
2𝑎−𝑏𝑖
𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑦 𝑏 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 2𝑎 − 𝑏𝑖 ≠ 0
Ej. N° 117. Operar:
a)
b)
c)
d)
1+2𝑖 2−𝑖
3+4𝑖 2𝑖
2−3𝑖
3+2𝑖
1+𝑖
+
3+4𝑖
2−4𝑖
1−𝑖
1+2𝑖 1−2𝑖
2+36𝑖 7−26𝑖
6+8𝑖
3−4𝑖
56
Conceptos teóricos.
4. Representación gráfica.
Convendremos en representar a 𝑎 + 𝑏𝑖 en el plano cartesiano con el punto 𝑃(𝑎, 𝑏). O
sea, establecemos una correspondencia biunívoca entre los números complejos y el
conjunto de puntos del plano.
Gráficamente, se puede hallar 𝑧1 + 𝑧2: se construye el paralelogramo que tiene por
lados a los segmentos de origen en 0 y extremos en 𝑧1 y 𝑧2; y la diagonal de origen en
0 señala la suma 𝑧. Es decir:
𝑧1 = 2 + 3𝑖
𝑧2 = 1 − 𝑖
5. Modulo.
Es el número positivo: |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2 .
O sea:
|𝑧1| = √4 + 9 = √13
|𝑧2| = √1 + 1 = √2.
Ejercicios propuestos
Ej. N°118. Representar en el plano los complejos:
a) 3 + 2𝑖
b) 𝑖
c) −1
d)
1
2
1
− 2𝑖
57
e) 4 + 𝑖
f) −2𝑖
Ej. N°119. Determinar |𝑧| si:
a) 𝑧 = −2𝑖
b) 𝑧 = 𝑖 4 + 𝑖 7
c) 𝑧 = 𝜋 + √2𝑖
d) 𝑧 = 1 + 𝑖 2
Ej. N°120. Hallar el conjunto de puntos descripto por las ecuaciones siguientes:
a) 𝑧 = 1
b) 𝑧 = |𝑧|
𝑧
c) 𝑧 = |𝑧|
Ej. N°121. Mostrar que la distancia del punto 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, al origen, es el número |𝑧|.
Ej. N°122. Probar que 𝑧 es real si y solo si: 𝑧 = 𝑧̅ (conjugado de 𝑧 ); y que 𝑧 es
imaginario puro si: 𝑧 = −𝑧̅
Ej.N°123. Probar que: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 + 𝑧2 = ̅̅̅
𝑧1 + ̅̅̅
𝑧2
58
VII- ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO DE
VII- ECUACIÓN
1.Resolución. Fórmulas………………………………………………………………60
2.Ecuaciones Incompletas……………………....……………………………………60
3.Discriminante…………………………………........………………………………60
4.Relación entre coeficientes y raíces…………………..……………………………60
Ejercicios Tipo………………………………………….…………………….…….60
Ejercicios Propuestos……………………………………………………….………62
5.Representación del trinomio de segundo grado…………...……………………….64
6.Inecuaciones de segundo grado……………………………...……………………..65
Ejercicios Tipo ..……………………………………………..………….…………65
Ejercicios Propuestos.......……………………………………...………….……….66
7.Solución gráfica de la ecuación de segundo grado………………....………………67
Ejercicios Tipo……………………………………………………………….……..67
Ejercicios Propuestos………...…………………………………………….……….67
59
CAPÍTULO VII
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
1.
Forma general: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Teorema de Bhaskara: 𝑥
Reducida:
=
𝑎≠0
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0
𝑏
𝑐
𝑝
𝑝2
2
4
Con 𝑝 = 𝑎; 𝑞 = 𝑎; Fórmula: 𝑥 = − ± √
2. Incompletas:
−𝑞
𝑎𝑥 2 = 0 ==> 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 ⇒ 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = −
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑥 2 = −
𝑏
𝑎
𝑐
𝑐
𝑐
⇒ 𝑥1 = √−
𝑦 𝑥2 = −√−
𝑎
𝑎
𝑎
3. Discriminante:
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0 ∶ 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠.
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 ∶ 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 ∶ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠.
4. Relación entre coeficientes y raíces.
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝,
𝑥1 . 𝑥2 = 𝑞,
𝑜 𝑠𝑒𝑎: −
𝑜 𝑠𝑒𝑎:
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
Ejercicios tipo
1.
Obtener las raíces de las ecuaciones siguientes:
a) 6𝑥 2 − 5𝑥 − 4 = 0
b) 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 5𝑥 = 0
c) (3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 1) = 0
60
d) 𝑥 4 + 2𝑥 2 − 8 = 0
Solución
a) 𝑥 =
5±√25+96
12
=
5±√121
12
==> 𝑥1 =
𝑥2 =
5+11
12
5−11
12
=
4
3
𝑦
1
= −2
Verificación:
4 1 8−3 5
𝑏
− =
= =−
3 2
6
6
𝑎
4
1
2 𝑐
(− ) = − =
3
2
3 𝑎
b) 𝑥(𝑥 2 + 4𝑥 − 5) = 0 ⇒ 𝑥1 = 0; 𝑥2 = −5; 𝑥3 = 1
Se calcularon directamente, recordando la relación entre coeficientes y
raíces.
c) (3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 1) = 0 propiedad del producto nulo: un factor debe ser nulo.
Entonces:
2
3𝑥 − 2 = 0 → 𝑥1 = 3; una raíz;
𝑥 2 − 1 = 0 → 𝑥2 = 1; 𝑥3 = −1, las otras dos raíces.;
d) Esta es una ecuación bicuadrada. Se resuelve haciendo 𝑧 = 𝑥 2 . Entonces:
2
𝑧 2 + 2𝑧 − 8 = 0 ⇒ 𝑧 = − ± √1 + 8 ⇒ 𝑧1 = 2; 𝑧2 = −4
2
𝑥1 = √𝑧1 = √2;
𝑥2 = −√𝑧1 = −√2;
𝑥3 = √𝑧2 = √−4 = 2𝑖;
𝑥4 = −√𝑧2 = −√−4 = −2𝑖;
2
5
2. Determinar dos números cuya suma es − 3, y cuyo producto es − 36,
Solución: Aprovechando la relación entre coeficientes y raíces:
2
5
𝑥2 + 𝑥 −
= 0 ⇒ 36𝑥 2 + 24𝑥 − 5 = 0 ⇒
3
36
−24 ± √242 + 4.5.36 −24 ± 36
1
5
⇒𝑥=
=
⇒ 𝑥1 = ; 𝑥2 = −
72
72
6
6
3. La expresión 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 es equivalente a : 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) = 0, con 𝑟1 y
𝑟2 raices de la ecuación (se ha hecho la descomposición en factores del trinomio).
Resolver la ecuación 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0, utilizando este recurso.
61
Solución
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 2 − 2𝑥 − 3𝑥 + 6 = 0 ⇒
⇒ 𝑥(𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0 ⇒ (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0 ⇒
⇒ 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3;
Ejercicios propuestos
Ej.N°124. Dar el carácter de las raíces de las ecuaciones siguientes, sin calcularlas:
a) 15𝑥 2 + 5𝑥 + 1 = 0
b) 8𝑦 2 = 2𝑦 + 4
c) 𝑥 2 − 9𝑥 +
81
4
=0
d) 2𝑥 2 − 3𝑥 − 8 = 0
e) 5𝑧 2 = 2𝑧 − 1
f) 𝑥 2 + 8𝑥 + 4 = 0
Ej.N°125. Completando el cuadrado, resolver:
a) 𝑥 2 − 6𝑥 = 7
b) 𝑥 2 + 5𝑥 + 1 = 0
c) 𝑥 2 + 3𝑥 = 10
d) 𝑥 2 − 4𝑥 − 45 = 0
Ej.N°126. Utilizando las formulas o recursos convenientes, resolver:
a) 5𝑥 − 3𝑥 2 = 0
b) 2𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = 0
c) 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 = 0
d) 𝑧 2 − 4𝑧 − 8𝑎 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ 𝚁
e) 𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0
f) 16𝑥 2 = 8𝑥 + 9
g) 3𝑥 2 + 5𝑥 − 7 = 0
h) 2𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0
Ej.N°127. Resolver, utilizando la factorización del trinomio si fuera posible (raíces
reales):
62
a) 5𝑥 2 = 7𝑥 + 6
b) 𝑥 2 − 3𝑥 − 54 = 0
c) 𝑥 2 − 16 = 0
d) 2𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0
Ej.N°128. Verificar, aplicando la propiedad que vincula a coeficientes y raíces, los
resultados obtenidos en los ejercicios 125, 126 y 127.
Ej.N°129. Calcular las raíces de las ecuaciones del ejercicio 127 utilizando las formulas
(excepto caso c).
Ej.N°130. El perímetro de un rectángulo es de 20cm; y el área 21cm2 . Determinar largo
y ancho.
Ej.N°131. Determinar dos enteros positivos consecutivos, cuyos cubos difieran en
1261.
Ej.N°132. Un objeto lanzado verticalmente hacia abajo sobre un lago, desde lo alto de
un precipicio de 2400 metros, cae, según la ley física correspondiente: 𝑠 = 80𝑡 + 16𝑡 2 ;
siendo s la distancia en metros que cae el objeto durante los t primeros segundos. Se
pregunta:
a) ¿Qué tiempo necesita el objeto para caer 224 metros desde lo alto del precipicio?
b) ¿Cuánto tarda el objeto en llegar a la superficie del lago?
Ej. N°133. Las medidas de las aristas de dos cubos difieren en 2 cm., y sus volúmenes
en 728 cm3. Calcular la medida de la arista de cada uno de ellos.
Ej. N°134. Probar que no existe ningún número real tal que la suma de ese número, más
su inverso multiplicativo, dé 1.
Ej. N°135. Dos aviones parten de una ciudad al mismo tiempo. Uno vuela hacia el
norte, y el otro hacia el este. El primero vuela a razón de 100 km por hora más que el
segundo. Al cabo de una hora de viaje, la distancia entre los dos aviones es de 500 km.
¿A qué velocidad media vuelan?
Ej. N°136. Resolver, por cualquier recurso:
a) 4 x 2 12x 9 0
;
b) 2 y 3 3 y 2 5 y 0
c) 5t 2 3t 4 0
;
d)
t
e) 10x 3 3x 13x 2
;
f)
x4 7x2 0
2
2t 2 t 2 t 0
;
;
.
Ej. N°137. Determinar el valor que debe darse a k para que cada una de las ecuaciones
siguientes tenga raíces iguales:
63
a) 9 x 2 30x k 0
c) 9 x 8kx 4
2
;
b) ky 2 6 x 4
;
d ) kx kx 1 0
;
2
.
Ej. N°138. Construir una ecuación de segundo grado tal que sus raíces sean:
a) 3 y 2
;
b) 5 y 5
1 3
y
4 2
;
e) 3 i y 3 i
d)
;
c) 2 2 y 2 2
;
Ej. N°139. Se pregunta si una ecuación de segundo grado, a coeficientes reales, puede
tener una raíz imaginaria y otra real. Explicar.
Ej. N°140. Construir una ecuación de segundo grado que tenga:
a) la raíz i ;
b) la raíz
2 1 ; c) la raíz 1-i ; d) una raíz igual al doble de la otra
Ej. N°141. Resolver las ecuaciones:
a)
x 5x 9 1 0
;
b)
c)
2x 2
2
1
x 1
x 1
;
d)
x2 3
4
x 3
2
4
a b2 1 x x ab
Tema teórico.
5. Representación gráfica del trinomio de segundo grado.
En el plano cartesiano, la función polinómica de segundo grado:
f ( x) ax2 bx c , a 0
tiene como representación gráfica una
parábola (figura 1). Tal que:
y = ax2 tiene vértice en el origen, y
si: a < 0 , ramas hacia abajo
si: a > 0 , ramas hacia arriba
Si es: y = ax2 + bx, la parábola pasa
por el origen (y lo de a vale siempre).
fig. 1
2
Si es: y = ax + bx + c, no pasa por el origen.
64
Si las raíces son reales, éstas son las
abscisas de los puntos de corte de la curva
con el eje x . Si son imaginarias, no hay
puntos de corte.
fig. 2
6. Dada una inecuación de segundo grado como:
ax2 bx c 0 , entonces el conjunto de valores que la satisfacen (conjunto
solución), es el conjunto de valores de x para los cuales la ordenada es y es negativa en
la gráfica de la parábola: y = ax2 + bx + c (fig. 3)
En el caso de la figura, todos los
valores de x tales que:
x1 < r < x2
constituyen el conjunto solución.
fig. 3
Ejercicio tipo
65
1. Determinar el conjunto solución de: x 2 4 x 3 0 .
solución
Representaremos aproximadamente: y x 2 4x 3 0.
para lo cual, conviene determinar las
raíces de la ecuación:
x1 = 1
x 2 4x 3 0
x2 = 3
Entonces:
La solución es la unión de los
conjuntos:
x < 1 con x > 3
Ejercicios propuestos
Ej. N°142. Determinar el conjunto solución de las inecuaciones siguientes:
a) x 2 5 x 4 0
d ) 5 x 2 3x
2
;
b) x 2 16 0
;
e) 3x 1 5 x
2
;
c) x 2 6 x 9 0
;
f ) x 4x 5 0 .
;
2
Ej. N°143. Determinar los valores de h para los cuales cada una de las siguientes
ecuaciones no tiene raíces reales, tiene una raíz múltiple, tiene dos raíces distintas:
a) x 2 hx 9 0
;
b) x2 hx 9h 0
.
Ej. N°144. Dada la ecuación de segundo grado: kx2 – 8x + 3 = 0, determinar el valor de
k de manera que:
a) las soluciones sean iguales;
b) 3 sea una raíz.
66
Ej. N°145. Una locomotora arrastra un tren 140 km. Luego, una segunda máquina, cuya
velocidad es 5 km por hora mayor que la primera, releva a ésta y arrastra el tren 200 km.
El tiempo total empleado para los 340 km. es 9 horas. Determinar la velocidad media de
cada locomotora.
Conceptos teóricos.
7. Solución gráfica de la ecuación de segundo grado.
Sea: ax2 bx c 0 , a 0 ; o, mejor:
x2 + px + q = 0 .
Entonces, escribiendo: x2 = -px – q , se pueden representar las funciones:
y = x2 ; y = -px - q ; y la intersección, si es real, corresponde a los puntos cuyas
abscisas son las raíces de la ecuación.
Ejercicio tipo:
1. Determinar gráficamente, si fueran reales, las raíces de la ecuación: x2 – x – 2 = 0
solución
y x2
y x 2
Las curvas se cortan en los puntos de
abscisas -1 y 2.
Ejercicios propuestos
Ej. N°146. Determinar gráficamente las raíces de las ecuaciones siguientes que las
tuvieran reales:
a) 2 x 2 4 x 6 0
c) x 6 x 10 0
2
;
b) 4 x 2 12x 9 0
;
;
d) x 3 0
.
2
67
VIII- PROGRESIONES Y
LOGARITMOS
1. Progresión aritmética…………………………………………… …………………69
2. Progresión geométrica………………………………………………………………69
Ejercicios Tipo y Propuestos....….……………………………….…………………69
3. Logaritmos. Definición…………..…………………………………………………71
Ejercicio Tipo…………………………………………………………..……….…..71
Ejercicios Propuestos………………………….……………………….…………...72
4. Aplicación de la definición de logaritmos.................................................................73
Ejercicios Tipo y Propuestos………………………………………………………..73
5. Propiedades……………………………………………..…………………………..74
Primeras propiedades .................................................................................................74
Ejercicio Tipo y Propuestos…………………………………………..……………..74
Resto de las propiedades............................................................................................75
Ejercicio Tipo y Propuestos…………………………………….…………………..75
6. Cambio de bases........................................................................................................76
Problemas Tipo...........................................................................................................77
Problemas Propuestos................................................................................................78
7. La función logarítmica……………………………………………….….………..…78
8. Gráfica……………………………………………………………………………….78
Ejercicio Tipo………………………………………………………………………..78
Ejercicios Propuestos……………………………………………………….………..79
68
CAPÍTULO VIII
PROGRESIONES Y LOGARITMOS
1. Progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos
(término) se obtiene del anterior sumando un número fijo (razón).
Si a es el primer término, l el último, r la razón y n el número de términos, es:
l a n 1 r
;
y
S
1
n a 1 es la suma de los n términos
2
2. Progresión geométrica: difiere de la anterior en que el cociente entre dos términos
concecutivos es un número fijo, también llamado razón. Llamando q a la razón, es:
l a q
n 1
;
y
1 qn
S a
es la suma de los n términos
1 q
Ejercicios tipo
1. Determinar el número de términos de la progresión aritmética de razón -2, cuyos
1
15
y
términos primero y último son, respectivamente:
2
2
solución
l a n 1 r
Entonces: n
La progresión es:
1 a
r
n 1 n
1 a
1.
r
15 1
2 2 1 8 1 5 .
2
2
1
3
7
11
15
,
,
,
, .
2
2
2
2
2
2. Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que el mayor sobrepasa en
10 unidades la suma de los otros dos; y que la suma de los tres números es 26.
Solución
69
Si q es la razón, tenemos: x + xq + xq2 = 26
y también: xq2 – (x + xq) = 10 ;
Sistema que puede resolverse sumando y restando:
2
x xq xq 26
2
xq x xq 10
O sea: x
sumando
2 xq 2 36 xq 2 18 ;
do
res
tan
2 x xq 16 x xq 8 .
18
8
; x
. Igualando, resulta la ecuación de segundo grado:
2
1 q
q
4q 2 9q 9 0 , cuyas raíces son: 3 y
3
.
4
Para la primera, es x = 2 , para la segunda, x = 32. Es decir, tendríamos:
2 , 6 , 18 y 32 , -24 , 18
Sólo la primera solución es la que sirve.
Ejercicios Propuestos
Ej. N°147. Calcular la altura de una torre, sabiendo que para alcanzar su cima deben
subirse 120 escalones, de los cuales el primero tiene 25 cm de altura, y los demás, 16
cada uno.
Ej. N°148. ¿Cuántas campanadas da, en un día, un reloj que sólo da las horas?
Ej. N°149. Hallar tres números, en progresión aritmética, tales que la suma dé 15 y el
producto de ellos 105.
Ej. N°150. Formar una progresión aritmética creciente, con 10 términos, cuyos
extremos sean los números 3 y 18.
Ej. N°151. En la fórmula que da la suma de los n términos de una progresión
geométrica:
l qn
si q es menor que la unidad, qn se hace tan pequeño como se quiera con n
1 q
a
aumentando indefinidamente. En tal caso, la suma S tiende al valor límite: S
1 q
S a
Utilizar esta idea para resolver el problema siguiente:
Si en un cuadrado de lado n se unen sus puntos medios,
de manera de obtener otro cuadrado; y luego los puntos
70
medios de los lados de éste, para determinar un tercero; y así siguiendo; se pregunta
hacia qué valor límite tiende la suma de las áreas de todos los cuadrados así formados.
3. Tema teórico: Logaritmos
Cuando tenemos tres números 𝑎, 𝑏, 𝑥 ∈ ℝ relacionados en una expresión de la forma
𝑎 𝑥 = 𝑏,
𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0
dados dos de ellos, podemos encontrar el tercero, es decir:
dados 𝑎 = 2 𝑥 = 3 calculamos 𝑏 = 23 = 8
dados 𝑏 = 36 𝑥 = 2 calculamos 𝑎 = √36 = 6
y si los datos son 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 125 ¿Cómo calculamos 𝑥?, es decir: 5𝑥 = 125.
La respuesta nos la da el logaritmo:
Definición: Sea 𝑎 un número positivo con 𝑎 ≠ 1. El logaritmo con base 𝑎 se denota por
log 𝑎 , y se define:
log 𝑎 𝑏 = 𝑥 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 𝑥 = 𝑏
Así, log 𝑎 𝑏 es el exponente al que hay que elevar la base 𝑎 para obtener 𝑥.
Cuando se usa la definición de logaritmos para intercambiar entre la fórmula
logarítmica (log 𝑎 𝑏 = 𝑥) y la fórmula exponencial (𝑎 𝑥 = 𝑏) es útil observar que en
ambas formas la base es la misma:
Forma logarítmica
Forma exponencial
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
log
𝑎
⏟
𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑏=
⏞
𝑥
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
⏟
𝑎
⏞
𝑥
=𝑏
𝑏𝑎𝑠𝑒
Las formas logarítmica y exponencial son ecuaciones equivalentes, si una es cierta
entonces la otra también lo es. Por lo tanto se puede intercambiar de una forma a la
otra.
Ejercicios Tipo
Ejemplo 1: Emplea la definición de logaritmo para transformar las siguientes
expresiones en su forma exponencial:
71
Forma logarítmica
Forma exponencial
243 = 35
1. log 3 243 = 5
1
1 6
=( )
64
2
1
2−3 =
8
3
1
1
( ) =
3
27
1
2. log 1 64 = 6
2
1
3. log 2 8 = −3
1
4. log 1 27 = 3
3
Ejemplo 2: Transforma las siguientes expresiones exponenciales en expresiones
logarítmicas:
Forma exponencial
1. 𝑁 = (√2)
2.
1
125
Forma logarítmica
3
log √2 𝑁 = 3
= 5−3
log 5
4
1
= −3
125
log √5 25 = 4
3. (√5) = 25
4. 𝑥 𝑝 = 𝑦
log 𝑥 𝑦 = 𝑝
Ejercicios propuestos
Ej. N° 152. Convierte a su forma exponencial los siguientes logaritmos:
1
a) log 2 8 = 3
b) log 𝑥 16 = 4
c) log 3 81 = 4
e) log √3 9 = 4
f) log 7 343 = 𝑥
g) log 𝑎 √6 = 2
h) log 3 (𝑥 − 1) = 2
i) log 𝑤 625 = 4
j) log (𝑥−1) 128 = 7
k) log 3𝑥 243 = 5
l) log (2𝑥−1) 256 = 8
1
d) log 6 36 = − 2
Ej. N° 153: Transforma a su forma logarítmica las siguientes expresiones:
1
1
b) 625 = 54
c) 643 = 4
d) 16 = 𝑁 2
e)(3) = 9
f)(𝑥 + 3) = 24
g) 2𝑥 = 256
h) (𝑥 − 2)3 = 8
i) 𝑥 𝑤 = 𝑧
j) 81 = 3−4
k) 5−3𝑥 = 125
l) 441 = (3𝑥 + 1)2
a) 172 = 𝑎
2 2
4
1
72
4. Aplicación de la definición de logaritmo
Ejercicios Tipo
En los siguientes ejemplos se aplica la definición de logaritmo para encontrar el valor de
la incógnita.
Ejemplo 3: Encuentra el valor de 𝑎 en la expresión: log 𝑎 216 = 3.
Solución:
Se escribe el logaritmo en su forma exponencial y se despeja la incógnita:
log 𝑎 216 = 3 → 216 = 𝑎3 →
3
√216 = 𝑎 → 6 = 𝑎
Por consiguiente, el resultado es: 𝑎 = 6
Ejemplo 4: Encuentra el valor de 𝑚 en log √2 𝑚 = 3.
Solución:
Se transforma a la forma exponencial la expresión y se desarrolla el exponente:
3
2
log √2 𝑚 = 3 → 𝑚 = (√2) = (√2) √2 = 2√2
Por lo tanto, el resultado es 𝑚 = 2√2
1
Ejemplo 5: Determina el valor de 𝑥 en la expresión: log 3 729 = 𝑥.
Solución:
La expresión se transforma a la forma exponencial.
log 3
1
=𝑥
729
→
3𝑥 =
1
729
El número 729 se descompone en factores primos y la ecuación se expresa como:
3𝑥 =
1
1
→ 3𝑥 = 6 → 3𝑥 = 3−6
729
3
De la última igualdad se obtiene: 𝑥 = −6
Ejercicios propuestos
Ej.N°154: Encuentra el valor de las incógnitas en las siguientes expresiones:
a) log 𝑥 25 = 2
b) log 𝑥 64 = 3
c) log 𝑦 81 = 4
d) log 𝑏 3125 = −5
73
2
5
e) log 𝑥 32 = 2
f) log 𝑎 49 = 3
i) log 0,5 𝑦 = 5
j) log 4 𝑁 = 2
k) log 27 𝑤 = 3
l) log 3 𝑥 = −2
m) log 32 𝑏 = 0,2
n) log 8 𝑥 = 0,33 …
o) log 6 216 = 𝑥
p) log 32 4 = 𝑎
r) log16 0,5 = 𝑦
s) log 1 512 = 𝑥
t) log 3 −9 = 𝑥
g) log 3 𝑥 = 4
3
1
q) log √3 27 = 𝑥
h) log 2 𝑚 = 3
1
8
2
1
5. Propiedades
Los logaritmos tienen unas propiedades muy útiles que se pueden deducir en forma
directa de la definición y de las leyes de los exponentes.
Primeras propiedades:
1) log 𝑎 1 = 0
Porque
se debe elevar 𝑎 a la potencia 0 para obtener 1
2) log 𝑎 𝑎 = 1
Porque
se debe elevar 𝑎 a la potencia 1 para obtener 𝑎
3) log 𝑎 𝑎 𝑥 = 𝑥
Porque
se debe elevar 𝑎 a la potencia 𝑥 para obtener 𝑎 𝑥
4) 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏
Porque
log 𝑎 𝑏 es la potencia a la cual se debe elevar 𝑎 para
obtener 𝑏.
Ejercicios Tipo
Ejemplo 6:
log 5 1 = 0
pues
50 = 1
log 5 5 = 1
pues
51 = 5
log 5 58 = 8
pues 58 = 58
5log5 12 = 12
pues log 5 12 es el exponente al que debo elevar 5
para que me de 12
Ejercicios Propuestos
Ej. N°155: Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver y justificar:
a) log 4 1 =
por propiedad ___
b) log √7 √7 =
por propiedad ___
c) 6log6 20 =
por propiedad ___
d) 2log2 𝜋 =
por propiedad ___
e) log16 16
1⁄
2
=
por propiedad ___
74
Definición: El logaritmo con base 10 se llama logaritmo decimal, común o de
Briggs. Y se denota omitiendo la base
log10 𝑥 = log 𝑥
Definición: El logaritmo con base e se llama logaritmo natural, y se denota por 𝑙𝑛:
ln 𝑥 = log 𝑒 𝑥
ln 𝑥 = 𝑦
𝑒𝑦 = 𝑥
↔
Reescribamos las propiedades vistas hasta ahora para los logaritmos naturales
Propiedad 1
ln 1 = 0
Propiedad 2
ln 𝑒 = 1
Propiedad 3
ln 𝑒 𝑥 = 𝑥
Propiedad 4
𝑒 ln 𝑥 = 𝑥
Resto de las propiedades:
En las siguientes propiedades 𝑀, 𝑁, 𝑎 son números reales positivos con 𝑎 ≠ 1, y 𝑟 es
cualquier número real.
5) log 𝑎 (𝑀. 𝑁) = log 𝑎 𝑀 + log 𝑎 𝑁
𝑀
6) log 𝑎 𝑁 = log 𝑎 𝑀 − log 𝑎 𝑁
1
7) log 𝑎 𝑁 = − log 𝑎 𝑁
8) log 𝑎 𝑀𝑟 = 𝑟 log 𝑎 𝑀
Ejercicios Tipo
Ejemplo 7:
a) log 4 2 + log 4 32 = log 4 (2 × 32) = log 4 64 = 3 𝑝𝑢𝑒𝑠 43 = 64
80
b) log 2 80 − log 2 5 = log 2 ( 5 ) = log 2 16 = 4
1
c) − 3 log 2 64 = log 2 64−1⁄3 = log 2 3
1
√64
3
1
1
= log 2 4 = −2
1
d) log √10 = log 101⁄3 = 3 log 10 = 3
75
e) ln 𝑒 6 − ln 𝑒 2 = 6 ln 𝑒 − 2 ln 𝑒 = 6 − 2 = 4
Ejercicios Propuestos
Ej. N° 156: Resuelvan aplicando las propiedades:
a) log 3 √27=
b) log 2 160 − log 2 5=
c) log 4 192 − log 4 3=
d) log 4 16100 =
e) log 2 833 =
f) log
g)log 3 (27. √3) =
h) ln(𝑒 3 . √𝑒) =
i) log 2
1
j) log 8 (2.3√2) =
m) log 7 5
1
√49.√7
k) log 5
1
.√5
125
3
√25
l) log 3
=
n) log 3
p) log 4 8 + log 4 512 =
√3.9
81
=
8
√2
=
3
√3.27
81
=
0,001 3
1
=
1
√1000
o) log (
=
q) log 6 1080 − log 6 5 =
√10
) =
𝑒
r) ln(ln 𝑒 𝑒 )
6. Cambio de base
Para algunos propósitos, es útil cambiar la base de los logaritmos. Supongamos que se
da log 𝑎 𝑥 y se quiere hallar log 𝑏 𝑥. Para esto recurrimos a la siguiente fórmula
log 𝑏 𝑥 =
Como la calculadora trae las teclas 𝑙𝑜𝑔
log 𝑎 𝑥
log 𝑎 𝑏
y 𝑙𝑛 , para calcular logaritmos podemos
recurrir a la fórmula de cambio de base,
log 𝑏 𝑥 =
Ejemplo 8:
log16 8 =
log2 8
log2 16
=
log 𝑎 𝑥 log 𝑥 ln 𝑥
=
=
log 𝑎 𝑏 log 𝑏 ln 𝑏
log 8
log 16
=
ln 8
ln 16
=
3
4
Ej. N°157: Encontrá usando la calculadora:
a) log 7 25 =
b) log 3 107 =
c) log 5 2,5 =
d) log 0,3 33 =
e) log 44 12 =
Problemas Tipo y ejercicios de aplicación
76
Los logaritmos son una herramienta excelente para la solución de problemas propios de
las ciencias, a continuación se ejemplifica su uso:
QUÍMICA
En química los logaritmos se emplean para calcular la acidez de las soluciones.
𝑝𝐻 = − log[𝐻 + ]
Dónde:
pH= acidez de una solución.
[𝐻 + ] = concentración de iones de hidrógeno en iones-gramo equivalentes por litro.
Problema 1: Determina el pH de una solución, que tiene una concentración de iones de
hidrógeno de 10−8 iones-g/lt.
Solución:
La concentración de iones de hidrógeno en la solución es de:
[𝐻 + ] = 10−8 𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 − 𝑔/𝑙𝑡
Se sustituye este valor en la fórmula y se obtiene:
pH=− log[𝐻 + ]
pH=− log[10−8 ]
se aplica la propiedad 8
pH=−(−8) log[10] = (8)(1)
pH=8
Problema 2: Encuentra la concentración de iones de hidrógeno de una solución, si su
pH es de 7.
Solución:
Se sustituye pH=7 en la fórmula y se despeja [𝐻 + ]
𝑝𝐻 = − log[𝐻 + ]
7 = −log[𝐻 + ]
−7 = log[𝐻 + ]
10−7 = [𝐻 + ]
Luego, la concentración de iones de hidrógeno de una solución es: [𝐻 + ] = 10−7ionesg/lt.
77
Problemas Propuestos
1. Obtén el pH de una solución, cuya concentración es de 1,90 × 10−5 iones de
hidrógeno /lt.
2. La concentración de una conserva de vinagre de iones de hidrógeno es de 6 × 10−4 .
Determina su pH.
3. ¿Cuál es la concentración de iones de hidrógeno de una sustancia cuyo pH es de 9?
7. Tema teórico: la función logarítmica.
Sólo nos interesa señalar que:
y log x
es una función real, cuyo dominio es el
conjunto de los números reales
positivos, y el rango, todo .
8. La curva representativa es tal que
corta al eje x en x = 1 ; y pasa por le
punto (10 , 1). No presenta cortes.
Para x tendiendo a cero, la curva se aproxima asintóticamente al eje y ; para x tendiendo
a infinito, la función también tiende a infinito.
La gráfica de:
y ln x
es una curva similar, que pasa por (1 , 0) y ( e, 1)
Ejercicio tipo
5. Trazar la gráfica de la
función: y log2 x
Solución
78
Es una curva sin cortes, con las mismas características de las gráficas ya discutidas,
pero que pasa por el punto (2 , 1).
Ejercicios propuestos
Ej. N°163. Verificar que, si se toma como base de logaritmos un número, siempre
positivo, inferior a 1, la curva de la función correspondiente es “descendente”, o sea que
la función es decreciente. Representar, tomando valores convenientes para x (por
ejemplo: ¼, ½, 1, 2, 4, …) la función: y log1 / 2 x
Ej. N°164. Representar, aproximadamente, la gráfica de la función: y log3 x
Ej. N°165. Utilizar logaritmos para calcular, con aproximación:
a) x 3
2
c) x 100, 42
;
b) x 101,54
;
d ) x 10
Ej. N°166. Sea la expresión: u 1 t
;
2
x
Se quiere calcular x para:
a) u = 8,25 y t = 1 ;
b) u = 8,25 y t = 11 .
79
IX- GEOMETRÍA
1.Geometría plana
1.1.Rectas y Ángulos ..…………...….……..…………………………………………81
1.2.Propiedades básicas de figuras…….……………………………………………….81
1.3.Teorema de Pitágoras....………....…………………………………………………83
1.4.Teorema de Thales.………………………………………….……………………83
Ejercicios Tipo ..…………………………………………………………………..83
Ejercicios Propuestos ……………………………………………………………..84
2.Geometría del espacio
2.1.Volúmenes…………….….…………………………………………..…………….88
Ejercicios Tipo ....……….…………………………………………………………88
Ejercicios Propuestos .......…………………………………………………………89
80
CAPÍTULO IX
GEOMETRÍA
1. Geometría plana.
1.1 Rectas y ángulos.
a) El paralelismo cumple transitividad.
b) Dos rectas perpendiculares a una tercera, son paralelas.
c) Los ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos, entre paralelas,
son, respectivamente, congruentes
d) Los ángulos conjugados entre paralelas, son suplementarios (la suma de sus medidas
vale 2R o sea, dos rectos, es decir 180°).
e) Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
1.2 Propiedades básicas de figuras.
1.2.1 Para el triángulo.
a) La suma de las medidas de sus ángulos interiores vale 2R.
b) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los interiores
no adyacentes.
c) La medida de un lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos, y mayor
que su diferencia.
d) Las alturas se intersectan en un punto: el ortocentro; las medianas, en el baricentro;
las mediatrices en el circuncentro; y las bisectrices en el incentro.
e) El área de un triángulo puede obtenerse utilizando:
A
l hl
siendo hl la medida de la altura correspondiente al lado de longitud l.
2
f) En el triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo formado por las semirrectas que
contienen a los lados congruentes, es, a la vez, mediana, mediatriz y altura.
g) Dos triángulos son congruentes si tienen todos sus lados y ángulos, respectivamente,
congruentes.
81
1.2.2 Para cuadriláteros convexos.
a) La suma de las medidas de sus ángulos interiores vale 4R.
b) Las diagonales se intersecan..
c) Cuando los lados opuestos se encuentran incluidos en rectas paralelas, el cuadrilátero
es un paralelogramo.
Paralelogramos
a) Ángulos opuestos congruentes.
b) Las diagonales se cortan en partes congruentes.
c) Si un ángulo es recto, los otros también lo son, y el paralelogramo es un rectángulo.
d) Si dos lados consecutivos son congruentes, los cuatro lo son, y el paralelogramo se
llama rombo.
e) Un rectángulo, que es a la vez rombo, se llama cuadrado.
f) El área de un paralelogramo se obtiene por: l hl siendo hl la medida de la altura
correspondiente al lado de longitud l.
g) El área del rectángulo puede calcularse mediante el producto: l1 l 2 , donde l1 y l 2
don las medidas de dos lados consecutivos; el del cuadrado por, l2 , donde l es la medida
d d
del lado; el del rombo:
, siendo d y d’ las medidas de las diagonales.
2
1.2.3. Para polígonos en general.
a) Un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos, congruentes.
b) La suma de las medidas de los ángulos interiores es: 2R (n-2). O sea, dos rectos por
el número de lados menos dos.
c) La suma de las medidas de los ángulos exteriores vale 4R.
1.2.4. Circunferencia y círculo.
a) Dos circunferencias son congruentes si tienen radios congruentes.
b) En una circunferencia, a arcos congruentes, corresponden cuerdas congruentes, y
recíprocamente.
c) Tanto la medida de un ángulo inscripto en un arco de circunferencia, como la de un
semiinscripto, es igual a la mitad de la medida del ángulo central que abarca el mismo
arco.
82
d). Longitud de la circunferencia de radio r: l 2 r 2 .
e). Área del círculo de radio r: a r 2 .
1.3 Teorema de Pitágoras.
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a
la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Aritméticamente, es: a2 = b2 + c2 , con a, b, c , medidas de la hipotenusa y los catetos,
respectivamente.
1.4 Teorema de Thales.
Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón entre las medidas de
dos segmentos determinados sobre una de éstas es igual a la razón entre las medidas de
los segmentos correspondientes determinados sobre la otra.
Notación: Notaremos como |𝐴𝐵|a la medida del segmento AB. Y |𝐴̂| es la medida del
ángulo 𝐴̂.
Ejercicios tipo
1. Probar que, en todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de
las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.
Solución
Aˆ 180 180 Aˆ
pero:
Aˆ Bˆ Cˆ 180 Bˆ Cˆ 180 Aˆ
Bˆ Cˆ
Luego:
2. Un paralelogramo es un rectángulo si sus diagonales son congruentes.
Solución
Debemos demostrar que:
83
rect. AC BD
a)
Ocurre que:
1) son rectángulos por hipótesis
por:
2) DC DC
3)
AD BC
Luego: AC BD .
b)
AC BD
es rectángulo
Ocurre que:
1) DC DC
por:
2) AD BC (paralelogramo)
3)
AC BD por hipótesis.
ˆ Cˆ
Luego: D
ˆ Cˆ y
Y como: A
Bˆ Dˆ , resultan los cuatro ángulos iguales, y por lo tanto,
rectos.
3. El triángulo inscripto en una semicircunferencia es rectángulo.
Solución
El ángulo  es recto, pues su medida es igual a la
mitad del ángulo central (que es llano) que abarca el
mismo arco.
Ejercicios Propuestos
84
Ej. N°167. ¿Por qué dos rectas diferentes no pueden tener dos puntos (únicamente) de
intersección?
Ej. N°168. Demostrar que, si una recta corta a una de dos paralelas, también corta a la
otra.
Ej. N°169. Sea
un triángulo; M, un punto del lado AB , N un punto del lado BC .
Se pide señalar los ángulos correspondientes y los alternos internos determinados por
las rectas que incluyen a AB y AC , y la secante que incluye al segmento MN .
Ej. N°170. Dado la medida del ángulo α = 30°,
Calcular la de los restantes.
Ej. Nº 171. Determinar el valor de la medida de los ángulos enumerados en la figura,
con los datos que se dan y sabiendo que: a ∥ b y e c
Ej. Nº 172. Si un triángulo, 𝐴𝐵𝐶, es |𝐴̂| = 39°, |𝐵̂ | = 68° y |𝐶̂ | = 73°, se pide hallar
la medida de los ángulos exteriores.
Ej. Nº 173. En un triángulo ABC es |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, y |Â|= 54º 15´. Calcular el valor de
|𝐵̂ | y |𝐶̂ |.
Ej. Nº 174. En un triángulo ABC es |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, y adyacente a C mide 115º. Hallar
el valor de las medidas de los tres ángulos del triángulo.
Ej. Nº 175. MNP es un triángulo cualquiera. Las rectas a y b son paralelas. Con los
datos de la figura determinar los valores de las medidas de los ángulos numerados.
85
Ej. Nº 176. Dada las medidas de las siguientes ternas de segmentos, establecer con
cuales de ellas se pueden construir triángulos y con cuáles no.
a)
b)
c)
d)
e)
|𝐴𝐷|= 12
|𝐴𝐷|= 14
|𝐴𝐷|= 8
|𝑀𝑁|= 9
|𝐴𝐷|= 11
; | 𝐵𝐶|= 8
; |𝐵𝐶|= 9
|𝐵𝐶|= 10
;
| 𝑁𝑃|= 27
;
; | 𝐵𝐶|= 11
|𝐶𝐷|= 16
| 𝐶𝐷|= 23
|𝐶𝐷|= 1
|𝑃𝑄|= 32
;
|𝐶𝐷|= 11
;
;
;
;
Ej. Nº 177. Determinar incentro, ortocentro, baricentro, circuncentro de un triángulo
isósceles, de uno equilátero y de uno escaleno.
Ej. Nº 178. El mismo problema anterior, pero para un triángulo acutángulo, uno
rectángulo y uno obtusángulo.
Ej. Nº 179. Calcular el área de:
a) El triángulo ABC, con  recto, |𝐴𝐵|=10 m y |𝐴𝐶|=14 cm.
b) La superficie sombreada en la figura, con los datos allí consignados.
Ej. Nº 180. Demostrar que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un
cuadrilátero (siempre convexo) es igual a 360º
86
Ej. Nº 181. Demostrar que un paralelogramo con diagonales perpendiculares, es un
rombo.
Ej. Nº 182. Seleccionar los condicionales y bicondicionales verdaderos de entre los
siguientes:
a) ABCD
es rombo
⇒ ABCD es cuadrado.
b) ABC
es equilátero ⇔ ABC es isósceles.
c) Las diagonales de ABCD se cortan en sus puntos medios ⇔ ABCD es
rectángulo.
d) ABCD es cuadrado ⇒ ABCD es rectángulo.
e) ABCD es un paralelogramo ⇔ ABCD es romboide.
Ej. Nº 183. La medida del ángulo de un paralelogramos es de 64º 15` 12``. Determinar
la medida de los otros tres.
Ej. Nº 184. La medida de un lado de un paralelogramo es de 6 cm. El perímetro mide
20 cm. Calcular el valor de la medida de los otros tres lados.
Ej. Nº 185. Un ángulo exterior de un paralelogramo mide 110º determinar la medida de
los otros cuatro ángulos internos.
Ej. Nº 186. Demostrar que si un paralelogramo tiene un ángulo recto, es un rectángulo.
Ej. Nº 187. Demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadrado son los
vértices de otro cuadrado.
Ej. Nº 188. Hallar el área de un paralelogramo, uno de cuyos lados mide 3,2 m y la
medida de la altura correspondiente es 1,1 m.
Ej. Nº 189. Determinar el área de la superficie de un rectángulo, uno de cuyos lados
mide el triplo de la medida de la altura correspondiente, sabiendo que el perímetro mide
16 m.
Ej. Nº 190. Determinar el área de un rectángulo, uno de cuyos lados mide 12 m y el otro
es 2/3 de este.
Ej. Nº 191. ¿Cuál es el área de un rectángulo, si el perímetro mide 50m y la diferencia
entre las medidas de sus lados es de 5 m ?.
Ej. Nº 192. Determinar, en metros cuadrados, el área del cuadrado cuyo perímetro
mide:
a) 740 m
;
b) 52,4 m
;
c) 64 m
d) 86 dm
;
e) 426 m
;
f) 16 dm
Ej. Nº 193. Hallar el área del rombo que tiene:
87
a) Medida de la diagonal mayor: 18 m ; medida de la menor: un tercio de la
mayor
b) La medida de su diagonal menor igual a ¾ de la medida de la mayor la cual es 1
m.
Ej. Nº 194. El área de un rombo es de 18 m2, y una diagonal mide 20 cm ¿Cuál es la
longitud de la otra?
Ej. Nº 195. Calcular la medida de los ángulos inscriptos en arcos de circunferencia
cuyos ángulos centrales miden:
a) 80º 16´
b) 126º 32´ 56´´
c)
210º 10´ 05´´
Ej. Nº 196. Determinar las medidas de los ángulos centrales de una circunferencia en
cuyos correspondientes arcos se han inscripto ángulos de las medidas que se dan:
a) 47 º
b) 18º 13´
c) 95º 10´ 46´´
d) 107º 30´ 40´´
e) 81 º 07´ 54 ´´
Ej. Nº 197. Determinar la medida del ángulo interior de un pentágono regular, inscripto
en una circunferencia aplicando la propiedad de los ángulos inscripto en arcos de
circunferencia.
Ej. Nº 198. Determinar el valor del radio de una circunferencia si:
a) Su longitud es de 94,2 m
b) El perímetro de un hexágono regular inscripto en ella es de 34,8 cm.
c) El área del círculo correspondiente es de 4,5216 m2.
Ej. Nº 199. Demostrar que la menor cuerda que puede trazarse en una circunferencia,
por un punto interior, es perpendicular al diámetro que pasa por ese punto.
Ej. Nº 200. ¿Cuál es el número de lados de un polígono regular convexo, cuyo ángulo
interior mide 156º?
Ej. Nº 201. Calcular el área de un trapecio isósceles, cuyo ángulo agudo mide 60º, y
cuyas bases miden respectivamente 36 y 22 m.
Ej. Nº 202. Calcular el área de un hexágono regular, si su lado mide 4 m.
Teoría
2. Geometría del espacio.
2.1. Volúmenes
Paralelepípedo:
correspondiente.
b.h
con b: área de una cara y h la longitud de la altura
88
V= I3
Cubo de arista I:
Prisma recto: b.h; con b: área de una base, y h: longitud de la altura o arista lateral
Pirámide: 1/3 b.h ; con b: área de la base ;
Cono: 1/3 π.r2.h ;
r: radio de la base ;
h: longitud de la altura
h: medida de la altura del cono
Esfera de radio r: 4/3 π.r3
Superficie de la esfera: 4 π.r2
Ejercicios tipo
4. determinar el área lateral del cono de radio r y altura h
Solución
√ℎ2 + 𝑟 2
La generatriz, g , es:
Entonces
𝐴 = 𝜋. 𝑟. 𝑔 = 𝜋. 𝑟. √ℎ2 + 𝑟 2
Determinar el volumen del casquete esférico cuyo diedro mide 30º
Solución
360º --------------------
4
3
30º --------------------- x
π r3
======== X=
4. 𝜋 . 𝑟 3 . 30º
3 . 360º
89
Ejercicios propuestos
Ej. Nº 203. Un cono esta engendrado por un triángulo rectángulo cuyo ángulo agudo, en
el vértice del cono, mide 30º. El radio de la base del cuerpo mide 17 cm. Se pide:
a) El área total del cono
;
b) Su volumen
Ej. Nº 204. Una pirámide regular tiene por base un hexágono regular de 3 cm de lado y
la arista lateral mide 13cm. Hallar el volumen
Rta :18 √30
Ej. Nº 205. El volumen de una esfera es 113,04 m3. Hallar la longitud del radio.
Rta: 3 m
Ej. Nº 206. El área lateral de un cilindro es 94,2 cm2, y el área total, 108,33 cm 2 se pide
hallar las medidas de la altura y el radio de la base del cilindro.
Ej. Nº 207. Sobre las caras de un cubo cuya arista mide a se construyen pirámides
regulares que tengan por base las caras del cubo. Las aristas de las pirámides son iguales
a las de este. Hallar el volumen del poliedro así formado.
Rta= a3 ( 1+√2)
Ej. Nº 208. Demostrar que en un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de la medida
de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las tres aristas
que concurren a un mismo vértice.
Ej. Nº 209. Calcular el volumen de una esfera circunscripta a un cubo cuyo volumen es
un metro cubico
Ej. Nº 210. Demostrar que las cuatros diagonales de un paralelepípedo se cortan
mutuamente en partes cuyas medidas son iguales.
90
IX- TRIGONOMETRÍA
1.Medida de ángulos…………………………………………………………………...92
2.Líneas trigonométricas…………………………………………………………….…92
3.Relaciones entre líneas de un mismo ángulo………………………………………...93
4.Circunferencias trigonométricas……………….……………………………………..93
5.Signos de las líneas en los cuatro cuadrantes….……………………………………..94
6.Valores de las líneas de 0, / 6, / 4, / 3 , / 2 radianes.……………………….94
7.Reducción al primer cuadrante……………………………………………………….95
8.Resolución de triángulos rectángulos………………………………………………...97
9.Líneas de la suma y diferencia de ángulos; del ángulo duplo y del ángulo mitad.…..97
10.Fórmulas para la suma y diferencia de senos y cosenos….....…………………… 98
11.Propiedades para triángulos oblicuángulos…………………………………........…99
12.Fórmula de Herón……………………………………………………………......…99
Ejercicios Tipo…………………………………………………………………….100
Ejercicios Propuestos……………………………………………………………...101
91
CAPÍTULO X
TRIGONOMETRÍA
1. Medida de ángulos.
Ángulos orientados: se genera a partir del semieje positivo de las x, en sentido contrario
al de giro de las agujas del reloj. Generándose en el otro sentido, el ángulo es negativo.
Sistema sexagesimal: el ángulo recto mide 90º
Sistema circular: la unidad es el radián, que es el ángulo que abarca un arco de
circunferencia cuya longitud es igual a un radio.
360º----------------- 2 π radianes
180º ------------------ π radianes
2. Líneas trigonométricas
Para el ángulo dirigido de la figura, vale:
Sen = y / p
Cotan = x / y
cos = x / p
;
;
sec = p / x
tan = y / x
;
;
cosec = p / x
Si π/2 puede considerarse un triángulo rectángulo OPQ, entonces:
92
sen = CO / H
cos = CA / H
;
cotan = CA/ CO
sec = H / CA
;
tan = CO / CA
;
cosec = H / CO
;
(Leyendo los numeradores, resulta: co, ca, co, co, ca, hache, hache; y leyendo los
denominadores de derecha a izquierda, lo mismo: co, ca, co, co, ca, hache, hache.)
3. Relación entre líneas del mismo ángulo
a) sen = 1 / cosec
b) sen / cos = tan
cos = 1/ sec
;
;
tan = 1 / cotan
;
sen2 + cos2 = 1
4. Circunferencia trigonométricas
Radio: r = 1 . Entonces la medida de los siguientes segmentos, tomado respecto a esta
unidad dan:
PQ = sen
;
OQ = cos
;
MN = tan
;
RS = cotan
Trazando la tangente t , por P, resulta:
93
OF= sec
;
OG = cosec
5. Signo de las líneas en los cuatro cuadrantes
En la figura, se ilustra el caso del segundo cuadrante
sen
cos
tan
cotan
sec
cosec
I
II
III
IV
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
-
6. Valor de la línea de los ángulo de 0, π/6, π/4, π/2, radianes.
94
0
π/6
Seno
0
1
2
Coseno
1
√3
2
Tangente
√3
3
0
Cotangente
∞
√3
Secante
1
2. √3
3
Cosecante
∞
2
π/4
√2
2
π/3
π/2
√3
2
1
√2
2
1
2
0
1
√3
∞
√3
3
0
√2
2
∞
√2
2. √3
3
1
1
7. Resolución al primer cuadrante
Del II al I:
sen (π-)=
cos (π-)=
tan (π- ) =
cotan (π-)=
sec (π-)=
cosec (π-)=
sen
- cos
- tan
- cotan
- sec
- cosec
Del III al I:
95
sen (π+) = - sen
cos (π+) = - cos
tan (π+) = tan
cotan (π+)= cotan
sec (π+)= - sec
cosec (π+)= - cosec
Del IV al I cuadrante:
sen ( 2π - ) = sen ( - ) = - sen ( )
cos( 2π - ) = cos(- )= cos( )
96
tan( 2π - ) = tan( - ) = - tan( )
cotan( 2π - ) = cotan ( - ) = - cotan( )
sec( 2π - ) = sec ( - ) = sec ( )
cosec ( 2π - ) = cosec ( - ) =- cosec ( )
8. Resolución de triangulo rectángulo
Datos
Incógnitas
|𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐶| = 30º
|á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵|
b= 2√3 m
ay c
Calculo del ángulo
|𝐵̂ | = 90º - |𝐶̂ |
|𝐶̂ | = 60º
=========
Calculo de c :
𝑐
tan 30 º = 2√3
=======
c = 2√3 tan 30 º = 2√3 .
√3
√3
=2
Calculo de a :
sen 30º =
𝑐
𝑎
=
2
𝑎
========
a=
2
1
2
= 4
Otros problemas se resuelven en forma análoga.
9. Líneas de la suma y diferencia de ángulos; y del duplo y la mitad de un ángulo.
a) sen ( + ) = sen cos + sen cos
(1)
cos ( + ) = cos cos - sen sen
(2)
tan ( + ) =
tan + tan
(3)
1−(tan . tan )
b) sen ( - ) = sen cos - sen cos
cos ( - ) = cos cos + sen sen
(4)
(5)
97
tan − tan
tan ( - ) =
(6)
1+(tan . tan )
c) sen (2 ) = 2 sen cos
(7)
cos ( 2) = cos2 - sen 2
(8)
2 tan
tan ( 2 ) =
(9)
1−(tan2 )
sen 2 /2 + cos2 /2 = 1
d)
cos2 /2 - sen 2 /2 = cos ( 2)
-----------------------.-------------------.Sumando =
2. cos2 /2 = 1 + cos
Restando = 2. sen 2 /2 = 1 - cos
[resultada de la ec. (8)
========= cos /2 =√
=========
sen /2 =√
1+ cos
2
1− cos
2
10. Formula de la suma y diferencia de seno y coseno
Sea: x + y =
x–y=
----------------------2x = +
================= x =
================== y =
2y =-
Entonces:
Sumando
+
2
−
2
sen = sen (x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
sen = sen (x - y ) = sen x cos y - cos x sen y
----------------------------------------------------------------------------+
−
sen + sen = 2 sen x cos y = sen
.
cos
2
2
Restando
sen - sen = 2 cos x sen y = 2 cos
+
2
. sen
−
2
Por el mismo camino se obtienen:
cos + cos = 2 cos
+
2
. cos
−
2
98
+
cos - cos = - 2 sen
2
. sen
−
2
11. Propiedad para triangulo oblicuángulos.
𝑎
Teorema del seno:
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐴
= 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝑐
(10)
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2 𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴̂
Teorema del coseno:
(11)
Teorema de las tangentes
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑡𝑎𝑛
𝑡𝑎𝑛
𝐴+𝐵
2
𝐴−𝐵
2
(12)
12. Formula de Herón relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes
de sus lados.
En un triángulo oblicuángulo, sea:
2p = a + b + c
Entonces: 2p – 2 a = b + c – a
P– a =
P– b =
P– c =
D (11) es : cos A=
1 + cos A= 1 +
𝑏+𝑐+𝑎
2
𝑎+𝑐−𝑏
2
𝑏+𝑎−𝑐
2
𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐 2
−2𝑏𝑐
𝑐 2 + 𝑏 2 − 𝑎2
2𝑏𝑐
=
=
𝑐 2 + 𝑏2 − 𝑎2
2𝑏𝑐
2𝑏𝑐+𝑐 2 + 𝑏2 − 𝑎2
2𝑏𝑐
=
=============>
(𝑏+ 𝑐) 2 − 𝑎2
2𝑏𝑐
=
(𝑏+𝑐+𝑎)( 𝑏+𝑐−𝑎)
2𝑏𝑐
=====
99
1 + cos A=
𝑝 (𝑝−𝑎).4
==========
2𝑏𝑐
Análogamente, es:
1 + cos A
(𝑝−𝑏) (𝑝−𝑐).
2
𝑏𝑐
=
1 + cos A
𝑝 (𝑝−𝑎).
2
𝑏𝑐
=
Ahora bien, en el triángulo ABC es:
Area = ½ b h = ½ b c sen A = ½ b .c . 2 . sen
𝐴
. cos
2
𝐴
2
Utilizando la formula d) del punto 9:
1− cos 𝐴
Area = b.c .√
2
1 + cos 𝐴
.√
2
𝑝 (𝑝−𝑎)
= b.c .√
Area = √𝑝 (𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
𝑏𝑐
( 𝑝−𝑏) (𝑝−𝑐)
.√
𝑏𝑐
Formula de Herón
Ejercicios tipo
1. Calcular la línea de los ángulos que se indican:
a) sen 120º ; b) cos (-45)
; c) tg
7𝜋
6
Solución
a) Del segundo cuadrante:
sen 120º = sen ( π - ) = sen (180º - 60º) = sen 60º =
√3
2
√2
b) Del IV: cos (-45º) = cos 45º = 2
c) Del III:
tg (210º) = tg ( π + ) = tg (180º + 30º) = tg 30º =
√3
3
100
2. Obtener una fórmula para el seno del ángulo triple.
Solución
sen 3 = sen (2 + ) = sen 2 cos + cos 2 sen
= 2 sen . cos2 + cos2. sen - sen3 = 3 sen . cos2 - sen3
3. Calcular el área de un triángulo cuyo lados miden, respectivamente, 3, 4 y 5 m.
Solución
A = √𝑝 (𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
con p=
3+4+5
2
=6
A = √6 . 3 . 2 . 1 = 6 m2
Ejercicios propuestos
Ej. Nº 211. Dar el valor de las líneas trigonométricas del ángulo B del triángulo ABC de
la figura, que es rectángulo en A.
Ej. Nº 212. Por el punto p (-3,-4) pasa el radio vector que genera el ángulo dirigido .
Se pide escribir las líneas trigonométricas del ángulo .
Ej. Nº 213. Conociendo que sen = a, se pide determinar las restantes líneas de .
Ej. Nº 214. El mismo problema anterior, pero suponiendo conocida ahora la tangente:
tan = c.
Ej. Nº 215. Determinar las líneas de los ángulos que se dan:
a) sen 315º
e) tan 390º
;
b) cos 180 º
; f) cotan 45º
;
;
c) tg (-30º)
g) sen
5𝜋
4
;
;
d) cos
𝜋
3
h) cos (- 60)
Ej. Nº 216. En una circunferencia trigonométrica, dibujar un ángulo del II cuadrante, y
trazar:
a) El segmento que representa el seno de ese ángulo.
b) El segmento que representa la tangente.
c) El segmento que representa la secante.
101
Ej. Nº 217. El mismo problema anterior, pero para un ángulo del IV cuadrante, y
representando con segmento:
a) La tangente
b) La cosecante
Ej. Nº 218. Si se considera la expresión: y = sen x, esta es un función real, con tal de
atribuir, a f (2) = sen 2, por ejemplo, el valor que toma la línea: seno de 2 radianes.
Se pide entonces
a) Dar dominio y rango de f (x) = sen x
b) Dar dominio y rango de f (x) = sen x
π
π
c) Obtener los imagines : f(π), g (2), f (3), g (-π)
Ej. Nº 219. Representar las funciones reales:
a) f(x)= sen x
sen 2 x
;
b) g (x) = cos x
; c) h (x)= tan x
;
d) F (x) =
Ej. Nº 220. Resolver, con los datos que aparecen en las respectivas figuras, los
triángulos que se dan (el ángulo recto aparecen marcado con un triangulito)
(A)
(B)
Ej. Nº 221. Calcular, sin utilizar tablas:
a) sen 15º
;
b) cos 75º
;
c) tan 15 º
Ej. Nº 222. Trabajando únicamente con tablas de valores naturales (o calculadoras),
resolver el triángulo oblicuángulo de la figura, con los datos que se consignan.
102