Solución de la interrogación 2 del año 2002

Teorı́a de la Integración: Segunda Interrogación
Profesor: Rolando Rebolledo
25 de noviembre de 2002
Ejercicio 1 Sea K el conjunto de Cantor y f la función definida sobre [0, 1]
por:
(
0, si x ∈ K,
f (x) =
n, si x ∈ Kn−1 \ Kn ,
donde cada Kn es el cerrado
R 1 que se obtiene en la n-ésima etapa de la construcción de K. Calcular 0 f (x)dx.
Solución. Kn se obtiene de Kn−1 retirando 2n−1 intervalos abiertos de largo
3−n , luego
n−1
Z 1
∞
∞
X
2
1X
n
.
f (x)dx =
n2n−1 3−n =
3
3
0
n=1
n=1
P
n
Por otra parte, si se considera la serie geométrica ∞
n=0 q , sobre |q| < 1,
se observa que la sucesión de derivadas con respecto a q, es decir nq n−1 es
sumable (verifica el criterio de D’Alembert). Luego, usando el Teorema de
Derivación de integrales:
∞
∞
X
1
d X n
q =
=
nq n−1 .
dq
(1 − q)2
n=0
Luego,
R1
0
n=1
`j
`
f (x)dx = 3. ^
R∞
Ejercicio 2 Probar las fórmulas siguientes, donde Γ(α) = 0 e−x xα−1 dx
es la integral de Euler cuya existencia debe comenzar por justificar:
Z n
x n α−1
Γ(α) = lı́m
1−
x
dx.
(1)
n→∞ 0
n
nα n!
.
n→∞ α(α + 1) . . . (α + n)
Γ(α) = lı́m
1
(2)
Solución. Sea f (x, α) = e−x xα−1 , donde x ∈ [0, ∞[, α > 0. f (·, α) es una
función continua sobre ]0, ∞[, luego, sobre cada intervalo de la forma [0, N ]
es integrable y se puede escoger N de modo que f (x, α) ≤ Ke−x para alguna
constante K > 0, si x > N . Como x 7→ e−x es integrable sobre [0, ∞[, resulta
que f (·, α) también lo es.
Se verifica que
x n α−1
lı́m 1 −
x
1[0,n] (x) = e−x xα−1 ,
n→∞
n
n
y además 1 − nx xα−1 1[0,n] (x) ≤ e−x xα−1 . Y como x 7→ e−x xα−1 es integrable, se puede aplicar el Teorema de la Convergencia Dominada, de donde
resulta
Z n
x n α−1
Γ(α) = lı́m
1−
x
dx.
n→∞ 0
n
La fórmula (2) resulta del cálculo:
Z n
x n α−1
nα n!
1−
x
dx =
.
n
α(α + 1) . . . (α + n)
0
`j
`
^
Problema 1 Probar que
Z n
Z ∞
x n
1−
log xdx =
e−x log xdx,
lı́m
n→∞ 0
n
0
y deducir el valor de la última integral.
Solución. Para 0 < x < n, la desigualdad
x
x
log 1 −
≤− ,
n
n
implica
1−
x x n
= exp n log 1 −
≤ e−x ;
n
n
de donde,
x
|1[0,n] (x) 1 −
log x| ≤ e−x | log x|.
n
El Teorema de la Convergencia Dominada puede ser entonces aplicado
y se deduce
Z n
Z ∞
x n
lı́m
1−
log xdx =
e−x log xdx.
n→∞ 0
n
0
2
Por otra parte,
Z n
Z 1
x n
1−
log xdx = n
tn log(n(1 − t))dt
n
0
0
Z 1
Z 1
n
= n log n
t dt + n
tn log(1 − t)dt
0
0
Z 1 n+1
n log n
t
−1
=
+
dt
n+1
1−t
0
Z 1
n log n
n
=
+
(1 + t + . . . + tn )dt
n+1
n+1 0
n
1
1
=
log n − 1 − − . . . −
.
n+1
2
n+1
R∞
Llamando 0 e−x log xdx = −γ, se obtiene
1
1
γ = lı́m 1 + + . . . + − log n ,
n→∞
2
n
`j
`
que se conoce como la constante de Euler. ^
Problema 2 Las funciones K y E definidas para |x| < 1 por
K(x) =
π/2
Z
(1 − x sen2 θ)−1/2 dθ,
0
y
E(x) =
Z
π/2
(1 − x sen2 θ)1/2 dθ,
0
son conocidas, respectivamente, por los nombres de integrales elı́pticas de
primera y segunda especie. Probar que K y E son de clase C ∞ y determinar
su desarrollo en serie entera en una vecindad del origen.
Solución. Consideremos la función K (para E se razona de una manera
similar). Derivando k veces con respecto a x la función f (x, θ) := (1 −
x sen2 θ)−1/2 , que es de clase C ∞ , se obtiene
(−1)k (2k)!
sen2k θ (1 − x sen2 θ)−(2k+1)/2 .
22k k!
Ahora bien, si |x| ≤ a < 1, se tiene
| sen2k θ (1 − x sen2 θ)−(2k+1)/2 | ≤ (1 − a)−(2k+1)/2 ,
3
y, siendo la función constante del segundo miembro aquı́ arriba, una función
integrable sobre [0, π/2], se puede aplicar el Teorema de derivación bajo la
integral. Se obtiene ası́ que K (y de similar forma E) es de clase C ∞ . Las
respectivas derivadas se calculan además integrando las derivadas parciales
de f (x, θ) con respecto a x. Dichos cálculos se expresan en términos de la
R π/2
integral 0 sen2k θdθ y se obtiene
!
2
π
1
1·3 2 2
1·3·5 3 3
K(x) =
1+
x+
x +
x + ... ,
2
2
2·4
2·4·6
y
π
E(x) =
2
!
2
1
1·3 2 2
1·3·5 3 3
1−
x−
x −
x − ... .
2
2·4
2·4·6
`j
`
Las dos series anteriores convergen para |x| < 1. ^
4