Signos del Álgebra

Introducción al algebra
Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones
aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra
son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin
embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de
Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la
hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La
aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 +
42 = 52
. El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones
del teorema: a 2 + b 2 = c 2
. Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el
superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32 ; de la misma manera, a × a es
igual que a 2
.El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de
números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos
símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más
atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra
moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así,
en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra
es el idioma de las matemáticas.
Historia
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces
de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como
ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos
babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los
mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas
ecuaciones indeterminadas.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto
y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y
presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles.
Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el
mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra
árabe al-jabru que significa
‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático alJwārizmī; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación
sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones
incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró
las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan
complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz =
y2.
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando
abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos
árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron
el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos.
Este álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así
como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo
persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas
utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no
fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra
de al-Jwārizmī fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático
italiano
Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la
ecuación
Definición
Álgebra (del árabe: «al-jebr») es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada
del modo más general posible. Puede definirse como la generalización y extensión de
la aritmética.1 2
A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y
las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen
además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables) o cantidades
desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y
expresan una regla o un principio general.3 El álgebra conforma una de las grandes áreas de
las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis.
Signos y símbolos más comunes
Los signos y símbolos son utilizados en el álgebra — y en general en la teoría de conjuntos —
con los que se constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables,
ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.
Signos del Álgebra
12 Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y
signos de agrupación.
Signos de operación
En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que
en Aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se
indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del
signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación
colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a × b.
Signos de relación
Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los
principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. >, que se lee mayor que.
Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”. <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee
“a menor que b + c”.
Signos de agrupación
Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las
llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe
efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse
por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y bdebe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d}
índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos
son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ (a + b) - c] ⋅ d} indica que el resultado de la
suma de a + b debe restarse a c y el resultado de esto multiplicarse por d.
Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores
indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número
finito de operaciones. A los valores indeterminados se les suele llamar
variables.
Conceptualización
Una variable es una letra que representa cualquier número de un
conjunto dado de números. Si combinamos variables como (x, y, z),
algunos números reales y operadores básicos como los de la suma, resta,
multiplicación y división, obtendremos una expresión algebraica.
x + 9y2
Ejemplos de expresiones algebraicas son:
Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la
circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Axioma
1. Pedagogía en Matemáticas e Informática Educativa Prof. Jorge Ávila
Contreras 28 de marzo de 2011 Álgebra I AXIOMAS DE CUERPO EN R
2. Definiciones preliminares AXIOMAS: afirmaciones que se asumen como
verdaderas por su trivialidad. TEOREMAS: afirmaciones o proposiciones no
triviales y muchas veces poco intuitivas, que se demuestran utilizando
axiomas u otros teoremas ya demostrados. COROLARIOS: consecuencias
inmediatas que se deducen de un teorema.
3. Axiomas de cuerpo en R Existen dos operaciones internas denominadas
suma (+) y producto ( ): Si “x” e “y” R, entonces (x + y) R, y (x y) R.
Y se verifica que: Existe conmutatividad en la suma y en el producto: x + y
= y + x ; x y = y x. Existe asociatividad en la suma y la multiplicación: (x + y)
+ z = x + (y + z) ; (x y) z = x (y z). Existe distributividad del producto
respecto a la suma: x (y + z) = x y + x z. Existe un elemento de R, llamado
elemento neutro aditivo , denotado por 0 , tal que x + 0 = 0 + x = x para
todo x R. Para todo x R, existe el inverso aditivo de x ( opuesto de x ) ,
denotado por (-x) R , tal que x + (-x) = x – x = 0. Existe un elemento de R,
llamado elemento neutro multiplicativo , denotado por 1 , tal que x 1 = 1
x = x , para todo x R. Para todo x R, x 0, existe inverso multiplicativo
de x , denotado por tal que
4. Axiomas de cuerpo en R (con una presentación más sintética y
simbólica) Existen dos operaciones internas suma (+) y producto ( ) que
cumplen con la propiedad de clausura en R. Y se verifican los siguientes
axiomas: Respecto a la suma: Respecto a la multiplicación:
5. Ejemplos de consecuencias de los axiomas de cuerpo en R
Demostración, de la propiedad 1: a 0 = a 0 + 0 ; por axioma del
elemento neutro aditivo = a 0 + (a + ( a)) ; por inverso aditivo = (a 0 +
a ) + ( a) ; por asociatividad = (a 0 + a 1 ) + ( a) = a (0 + 1) + ( a) ;
por distributividad de con respecto a la + = a 1 + ( a) ; por elemento
neutro aditivo = a + ( a) ; por elemento neutro multiplicativo = 0 ; por
inverso aditivo ; por elemento neutro multiplicativo Proposición: Si a y b
son números reales, entonces: a 0 = 0 ( a) = a (a ) = a (ab) = a b 1
1 1 1 1 a 0 = 0 q.e.d.
6. Demostración, de la propiedad 2: ( a) = ( a) + 0 ; por axioma del
elemento neutro aditivo = ( a) + (a + ( a)) ; por inverso aditivo = (
a) + ( ( a) + a ) ; por conmutatividad = ( ( a) + ( a) ) + a ; por
asociatividad = 0 + a ; por inverso aditivo = a ; por elemento neutro aditivo
Demostración, de la propiedad 3: = 1 a ; por inverso multiplicativo = a ;
por elemento neutro multiplicativo ( a) = a q.e.d. 1 1 (a ) = 1 1
(a ) 1 ; por elemento neutro multiplicativo = 1 1 (a ) ; por inverso
multiplicativo 1 ( a a ) = 1 1 ((a ) ; por asociatividad 1 a ) a (a )
= a q.e.d. 1 1
Teorema
El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una
variable no constante con coeficientes complejos tiene un raíz compleja,
es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da
cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier
número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero.
Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo
polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes
complejos n tiene, contando con las multiplicidades, exactamente n raíces.
La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división
polinómica sucesiva por factores lineales.
Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren
bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. El nombre del
teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto
que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.
Postulado
Un postulado es una afirmación lógica que se acepta como verdadera
(generalmente por resultar evidente) y se emplea como base para
construir la matemática, por ejemplo, los 5 postulados de Euclides para la
geometría.
Aunque muchas personas piensan que un postulado es exactamente lo
mismo que un axioma, existe una gran diferencia entre ambos términos.
Los axiomas pueden ser verdades demostrables (incluso pueden no
resultar evidentes), aunque no se tomen como tales en la teoría que
desarrollan. Un ejemplo de esto son los axiomas de los números reales;
estos axiomas son demostrables mediante el álgebra superior, empleando
álgebra de conjuntos (conjuntos inductivos y relaciones de equivalencia), y
sin embargo, en cálculo se admiten como axiomas, es decir, no se
demuestran. Los postulados, en cambio, por su propia naturaleza no son
demostrables, pero se admiten como ciertos debido a que resultan
evidentes o a que, si no se admiten como ciertos, surgen situaciones raras
en las matemáticas.
Un caso curioso es el quinto postulado de Euclides. Este dice que "dado
un punto P exterior a una recta L, existe una y solo una recta paralela a L
que contiene a P". Desde que se postuló (valga la redundancia), los
matemáticos han objetado que esta afirmación no resulta una verdad
evidente, y que debería poder demostrarse y convertirse en teorema.
Durante muchos siglos los matemáticos se han roto la cabeza sin éxito
tratando de demostrar este postulado, y en dos de esos intentos, los
matemáticos Lobatchevsky y Riemann encontraron que, si no tomaban en
cuenta el 5to postulado como tal, surgían situaciones interesantes en la
geometría, y como resultado dieron origen a lo que hoy conocemos como
las geometrías no-euclidianas.
Corolario
Un corolario (del latín corollarium)1 es un término que se utiliza en
matemáticas y en lógica para designar la evidencia de un teorema o de
una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo
adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan
evidente que no necesita demostración.
A menudo se trata de una inferencia, si bien la distinción entre teorema y
corolario es tan subjetiva como entre lema y teorema.
Organizadores graficos
Bibliografía
http://html.rincondelvago.com/algebra_4.html
http://www.educlas.cl/Matematicas/Introduccion%20al%20Algebra.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra#Signos_de_agrupaci.C3.B3n
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Expresiones_algebraicas
http://www.slideshare.net/pablox16/axiomas-de-algebra