CALIFICACIÓN
TEMA 1
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
TEMA 2
TEMA 3
NOMBRE…………………………………………………………Grupo.................
TEMA 4
TOTAL
EXAMEN
Firma………………………Número de Matrícula………………………………….
NOTA: señor estudiante se le recuerda que el examen está diseñado para ser desarrollado
individualmente. Desarrolle los temas en orden. Si tiene cualquier inquietud puede comunicarse solo con el
profesor que está en la sala, no con sus compañeros ni con personas fuera del aula. Apague su celular. Todos
los temas tienen ponderación de acuerdo al grado de complejidad.
Quito, 27 de Noviembre del 2014
Tema 1
1.- Señale la respuesta
correcta
(2 puntos)
Observe y complete el gráfico
H(r)
Antiderivada
Derivada
Opciones:
a)
b)
c)
d)
h(r) ------H(r)
H(x)------h(r)
H(x)------H(t)
h(r)------h(r)
2.- Dada las funciones racionales P(x)/Q(x), si Q(x) tiene factores lineales (a1x+b1),
… (anx+bn) no repetitivos entonces la descomposición en fracciones parciales sería:
Opciones: (2 puntos)
a)
b)
c)
d)
𝑃(𝑥)
(𝑎1𝑥+𝑏1)(𝑎2𝑥+𝑏2),……………,(𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
𝑃(𝑥)
(𝑎1𝑥+𝑏1)(𝑎2𝑥+𝑏2),……………,(𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
𝑃(𝑥)
(𝑎1𝑥+𝑏1)(𝑎2𝑥+𝑏2),……………,(𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
=
𝑃(𝑥)
(𝑎1𝑥+𝑏1)(𝑎2𝑥+𝑏2),……………,(𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
=
𝐴1
𝐴2
𝐴𝑛
+ (𝑎2𝑥+𝐵2)2 +, … … … . , (𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)𝑛
(𝑎1𝑥+𝐵1)
𝐴1
𝐴2
𝐴𝑛
=
+ (𝑎2𝑥+𝑏2) +, … … … . , (𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
(𝑎1𝑥+𝑏1)
=
𝐴1
(𝑎1𝑥+𝑏1)
𝐴1𝑥
(𝑎1𝑥+𝑏1)
𝐴2
𝐴𝑛
−, … … … . , − (
𝑎2𝑥+𝑏2)
𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
𝐴2𝑥 2
𝐴𝑛𝑥 𝑛
−(
+ (𝑎2𝑥+𝑏2) +, … … … . , (𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
3.- Dada las funciones racionales P(x)/Q(x), si Q(x) tiene factores cuadráticos
irreducibles (anx
sería: (2 puntos)
Opciones:
a)
b)
c)
d)
2
+bn)2
repetitivos entonces la descomposición en fracciones parciales
𝑃(𝑥)
(𝑎1𝑥+𝑏1)(𝑎2𝑥+𝑏2),……………,(𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
𝑃(𝑥)
(𝑎1𝑥+𝑏1)(𝑎2𝑥+𝑏2),……………,(𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
𝑃(𝑥)
(𝑎1𝑥+𝑏1)(𝑎2𝑥+𝑏2),……………,(𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
=
𝑃(𝑥)
(𝑎1𝑥+𝑏1)(𝑎2𝑥+𝑏2),……………,(𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
=
=
=
𝐴1𝑥+𝐵1
𝐴2𝑥+𝐵2
(𝑎1𝑥 2 +𝑏1)
𝐴1𝑥
(𝑎1𝑥+𝐵1)
𝐴1+𝑥
(𝑎1𝑥+𝐵1)
𝐴2𝑥
a)
a)
a)
𝐴2+𝑥
𝐴1𝑥
𝐴2𝑥 2
(2 puntos)
Tema 2: Integración por sustitución o cambio de variable
𝑑𝑥
√(1 + 𝑥 2 )ln(𝑥 + √1 + 𝑥 2 )
PROCESO
Elección de la sustitución correcta
Derivar la sustitución
Solución de la integral
∫
∫
PUNTAJE
1
1
2
𝑑𝑥
(2𝑥 2 + 3)3
PROCESO
Elección de la sustitución correcta
Derivar la sustitución
Solución de la integral
PUNTAJE
1
1
2
𝑑𝑥
2 sin(𝑥) + cos(𝑥) + 5
PROCESO
Elección de la sustitución correcta
Derivar la sustitución
Solución de la integral
𝐴𝑛𝑥 𝑛
+ (𝑎2𝑥+𝑏2) +, … … … . , (𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
(𝑎1𝑥+𝑏1)
Resuelva las siguientes integrales
∫
𝐴𝑛+𝑥
− (𝑎2𝑥+𝐵2) −, … … … . , − (𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
𝑥
sin(2𝑎𝑥)
+ 4𝑎
2
𝑥
sin(2𝑎𝑥)
+ 4
2𝑎
𝑥
sin(2𝑎𝑥)
+
4
4𝑎
𝑥
cos(2𝑎𝑥)
+
8
𝑎
5.- Demuestre el teorema de sustitución
𝐴𝑛𝑥
+ (𝑎2𝑥+𝐵2) +, … … … . , (𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛)
4.- La solución de la integral ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 es: (2 puntos)
a)
𝐴𝑛𝑥+𝐵𝑛
+ (𝑎2𝑥 2 +𝑏2)2 +, … … … . , (𝑎𝑛𝑥 2 +𝑏𝑛)𝑛
PUNTAJE
1
1
0
